Contents 1 實數 1 2 多項式 4 3 指數與根式 8 4 有理式 12 5 線性方程式與非線性方程式 16 6 線性不等式與非線性不等式 22 7 絕對值方程式與絕對值不等式 26 8 解析幾何 28 9 函數 線性函數 變換與圖形 二次函數 49

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1 Contents 1 實數 1 多項式 4 3 指數與根式 8 4 有理式 1 5 線性方程式與非線性方程式 16 6 線性不等式與非線性不等式 7 絕對值方程式與絕對值不等式 6 8 解析幾何 8 9 函數 線性函數 變換與圖形 44 1 二次函數 函數的代數性質及反函數 多項式函數 有理函數 指數函數 對數函數 79 i

2 ii CONTENTS 18 指數與對數方程式 橢圓和雙曲線 88 0 圓錐曲線 95 1 三角函數實數值觀點 97 三角函數角度觀點 和角, 倍角與半角公式 三角函數的圖形 14 5 反三角函數以及其圖形 三角方程式 正弦定理與餘弦定理 140

3 Chapter 1 實數 數系的分類實數 ( 以 R 表示 ) 包含以下的集合自然數 ( 以 N 表示 ) 自然數 ( 又稱為計數 ) 為 : 1,, 3, 4,... 整數 ( 以 Z 表示 ) 整數包含了自然數, 負自然數, 和 0:, -3, -, -1, 0, 1,, 3, 4,... 有理數 ( 以 Q 表示 ) 可表示為 3 513, 5.13 = 1 100, 無理數 ( 以 H 表示 ) 不是有理數的實數稱為無理數, 例 : π,, 4 7, 3 π m n, ( 其中 m 與 n 為整數, 而且 n 0.) 的數稱為有理數. 有理數的例子為 3 7, 4 9, 3 = EXAMPLE 屬於 Z, Q 以及 R; 屬於 Q 以及 R; π 屬於 H 以及 R 實數公設令 a, b, 與 c 為實數, 即 a, b, c R 封閉律實數相加與相乘仍為實數. 即 a + b R 且 a b R 交換律順序交換不影響加法與乘法. a + b = b + a; ab = ba 結合律當對三個數相加或相乘, 先加或乘哪兩個不影響結果. (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c; (ab)c = 1

4 CHAPTER 1. 實數 a(bc) = abc 分配律乘法在加法下可分配. a (b + c) = ab + ac; (a + b) c = ac + bc 單位元素律 0 稱為加法單位元素, 因為 0 + a = a + 0 = a. 1 為乘法單位元素, 因為 1 a = a 1 = a. 反元素律對任意 a R, 存在一實數 a 使得 a + ( a) = ( a) + a = 0. 數字 a 稱為 a 的加法反元素或 a 的負數. 對任意非零實數 a, a R 且 a 0, 存在另一實數 a 1 使得 a a 1 = a 1 a = 1. 數字 a 1 稱為 a 的乘法反元素或 a 的倒數. 零因子定律若 a R, 則 a 0 = 0. 若 ab = 0, 則 a = 0 or b = 0. 負數定律 1. ( 1) a = a.. ( a) = a. 3. ( a)( b) = ab. 4. ( a) b = a ( b) = ( a) ( b) = ab 5. (a + b) = a b. 6. (a b) = b a 商式定律設 a, b, c, d R 且 b, d a b = a b = a b = a b.. a b = a b 3. a b = c d 若且唯若 ad = bc. 4. a b = ka kb, 其中 k 是非零的實數. 數字的絕對值若 a 為一實數, 則 a 的絕對值, 以 a 表示, 定義為

5 3 a = { a, 若 a 0 a, 若 a < 0. EXAMPLE 1. 將下列式子不使用絕對值符號 重新寫過 : (a) 5 5 (b) π 3. (a) 5 5 = ( 5 5) = 5 5. (b) π 3 = π 3. 絕對值的性質 1. a 0.. a = a. 3. ab = a b. 4. a b = a b. EXERCISES for Chapter 判斷下列數字為 N, Z, Q, H, R 或皆非 : (a) 3 (b) 0.7 (c) 5 (d) 3 (e) 3 3. answer: (a) N, Z, Q and R. (b) Q 和 R. (c) H 和 R. (d) 皆非. (e) H 和 R.. 將下列式子不使用絕對值符號重新寫過. (a) 8 (b) x 5, 若 x < 5 (c) x y y x, 若 x > y (d) x y + y x, 若 x > y. answer: (a) 6. (b) 5 x. (c) 0. (d) (x y).

6 Chapter 多項式 多項式的定義多項式的變數 x 1, x,, x m 可以被表示為一項或多於一項 ax n 1 1 x n x nm m a 為實數, n 1, n,, n m 為非負整數. 單項式單項式為只有一項的多項式 : 5, π, x y, 4x 3 y 4 z 5 是單項式. 二項式二項式為兩個單項式的和 : 5 + πx, x y + 3x 3 y 4 z 5 是二項式. 三項式三項式為三個單項式的和 : 5x 3x + πx, 4xy 7xy 4 z + 3 是三項式. 項的次數 (degree) 項的次數為所有變數的次方之和. 若有一項沒有變數, 則為 0, 而此項稱為常數項. EXAMPLE.1 (a) x 5 的次數為 5; (b) 4x 3 y z 5 的次數為 10; (c) π 的次數為 0. 多項式的次數多項式的次數為所有個別項中最大的次數. 的形式相加, 其中 EXAMPLE. 試問下列式子是否為多項式. 如果是, 決定為哪一種形式 ( 單項式, 二項式, 三項式 ) 及判定它的次數. (a) 4x 3 (b) 4x 3 y z 5 x 1 (c) x (d) πx 3x + (e) x π (a) 4x 3 是一個次數為 3 的單項式 4

7 5 (b) 4x 3 y z 5 x 1 是一個次數為 1 的二項式. (c) x 不是一個多項式. (d) πx 3x + 是一個次數為 的三項式. (e) x π 不是一個多項式. 單變數的多項式的標準形式變數為 x 次數為 n 的多項式可以被表示為下列形式 a n x n + a n 1 x n a x + a 1 x + a 0 其中 a n, a n 1,, a 1, a 0 為實數且 n 為非負整數. 相似項與非相似項相同變數且次方相同的項稱為相似項. 不是相似項的項稱為非相似項. EXAMPLE.3 (a) x 5 和 4x 5 為相似項 ; (b) 4xyz 和 4pqr 為非相似項 多項式的運算多項式的加減, 我們將相似項合併 ; 而多項式的乘積, 則重複的使用分配律. EXAMPLE.4 (y 5y + 7) + (3y 5y + 1) = 4y 10y + 19 EXAMPLE.5 (y 5y + 7) (3y 5y + 1) = y 5 EXAMPLE.6 (x + y)(x 3 3x + xy ) = x 4 3x 3 + x 3 y + x y 6x y + xy 3 特別的乘法公式 1.(a + b)(a b) = a b.(a + b) = a + ab + b 3.(a b) = a ab + b 4.(a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 5.(a b) 3 = a 3 3a b + 3ab b 3 平方差和平方差平方和立方差立方 因式分解我們使用分配律展開代數的表示式, 還原式子則利用因式分解, 將表示式分解為兩個較簡單項式的乘積. 一個不能被因式分解的多項式稱為質因式. 分解因式常用的技巧為 :

8 6 CHAPTER. 多項式 提出共同因式 使用十字交乘法 (FOIL, Firsts Outsides, Insides, Lasts) 分解三項式 分組合併再提出共同因式 特殊的分解公式 EXAMPLE.7 提出共同因式 : (a) 6x 5 4x 4 + 1x 3 (b) x y 3 4x 3 y + 6xy 4 (a) 6x 5 4x 4 + 1x 3 = 6x 3 (x 4x + ) (b) x y 3 4x 3 y + 6xy 4 = xy (xy x + 3y ) EXAMPLE.8 使用十字交乘法分解三項式 : (a) x 14x + 13 (b) (5x + 1) (5x + 1) 3 (a) x 14x + 13 = (x 1)(x ( 13) )( ) (b) (5x + 1) (5x + 1) 3 = (5x + 1) + 1 (5x + 1) 3 = (5x + )(5x ) EXAMPLE.9 分組合併再提出共同因式 : (a) y 3 + y + 3y + 3 (b) x 3 x 3x + 6 (a) y 3 + y + 3y + 3 = y (y + 1) + 3(y + 1) = (y + 3)(y + 1) (b) x 3 x 3x + 6 = x (x ) 3(x ) = (x 3)(x ) 特殊的因式分解形式 a b = (a + b)(a b) a + b 為質因式 ( 不可被因式分解 ) a + ab + b = (a + b) a ab + b = (a b) a 3 + b 3 = (a + b)(a ab + b ) a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ) 平方差平方和和平方差平方和立方差立方 EXAMPLE.10 藉由特殊的分解因式形式分解 : (a) 4x 9y (b) t 6 8 (a) 4x 9y = (x) (3y) = (x + 3y)(x 3y) (b) t 6 8 = (t ) 3 () 3 = (t )(t 4 + t + 4)

9 7 EXAMPLE.11 因式分解 : (a) x 3 + x 9x 9 (b) 7x 3 y + 8y (a) x 3 + x 9x 9 = x (x + 1) 9(x + 1) = (x 9)(x + 1) = (x 3)(x + 3)(x + 1) (b) 7x 3 y + 8y = y (7x 3 + 8) = y (3x + )(9x 6x + 4) EXERCISES for Chapter. 1. 試問下列式子是否為多項式. 如果是, 決定為哪一種形式 ( 單項式, 二項式, 三項式 ) 及判定它的次數. (a) 3y 5 (b) xy y (c) 3x 1 (d) π x (e) 6xy z 3 4x 7 (f) 0 answer: (a) 次數為 5 的單項式. (b) 次數為 3 的三項式. (c) 不是多項式. (d) 不是多項式. (e) 次數為 7 的二項式. (f) 次數為 0 的單項式.. 設 A = 8x 3 y 3 及 B = x 5xy + y 3, 求 A + B 及 A B. answer: A + B = 8x 3 + x 5xy ; A B = 8x 3 x + 5xy y 因式相乘 : (a) (a + b)(a 3) (b) (x 3) (c) (x 5)(4x + 10x + 5). answer: (a) a 3a + ab 3b; (b) 4x 1x + 9; (c) 8x 因式分解 : (a) x 3 + x + x + 1 (b) 15x 4 10x 3 + 5x (c) x 4 y 4 + x 3 xy answer: (a) (x + 1)(x + 1); (b) 5x (3x x + 5); (c) (x + y)(x y)(x + y + x)

10 Chapter 3 指數與根式 指數的表示法若 a 為一個非零的實數且 n 為一個正整數, 則 a 的 n 次方為 在此, a 稱為底數, n 稱為指數. 零與負數的指數表示若 a 為一個非零的實數且 n 為一個正整數, 則 a n = a a a }{{} n terms 註 : 0 0 與 0 n 沒有定義, 但 0 n = 0. 指數律 1. a m a n = a m+n. (ab) n = a n b n 3. (a m ) n = a mn a m 4. a = n am n = 1 ( a ) n a n 5. = ( b b n a ) n ( b n 6. = b a) a m 7. b = bn n a m a n m a 0 = 1 及 a n = 1 a n 8

11 9 ( EXAMPLE 3.1 化簡 x ) 3 ( xy : (a) 4a 3 (b) 4 (c) (b 3 ) 4 (d) (x 3 y )(3xy 4 ) 3 (e) y z (a) 4 a 3 (b) 1 16 (c) 16b1 (d) 54x 6 y 14 (e) x7 y 5 EXAMPLE 3. 化簡 8ab 4 8a a = a b b b = 4a3 4 b 6 z 4 8ab 4 a b 且使用正的指數表示答案. 根式若 n 為一個正整數, a 的 n 次方根為 a 1/n. 定義如下 : n 為偶數, 亦即 n =, 4, 6, a 1/n = n b, a > 0 及 a = b n a = 0, a = 0 非實數若 a < 0 n 為奇數, 亦即 n = 3, 5, 7, a 1/n = n a = b, ( 若 a = b n ) 註 : 符號 稱為根式, n 稱為根式的次數, a 稱為被開方數. EXAMPLE 3.3 求下列式子的值為何 : (a) 16 1/ (b) ( 7) 1/3 (c) ( 81) 1/4 (d) 81 1/4 (a) 16 1/ = 16 = 4 (b) ( 7) 1/3 = 3 7 = 3 因為 ( 3) 3 = 7 (c) ( 81) 1/4 非實數 ) (d) 81 1/4 = (81 1/4 = 4 81 = 3 根式的性質 n 假設 n a 及 b 皆有定義, 則 1. n ab = n a n b n a n a. b = n, n b 0 b m n a = mn a n an = { a, n 為奇數 a, n 為偶數 ) 4

12 10 CHAPTER 3. 指數與根式 註 : n a ± b n a ± n b EXAMPLE 3.4 簡化下列式子 : (a) a (b) 3 a 3 (c) a 4 (d) a 6 (a) a = a (b) 3 a 3 = a (c) a 4 = a = a 因為 a 大於或等於零. (d) a 6 = (a 3 ) = a 3 EXAMPLE 3.5 簡化下列式子 : (a) 3 a 5 (b) 4 16 a 4 b 1 c 8 (a) 3 a 5 = a 3 a (b) 4 16 a 4 b 1 c 8 = a b 3 c. 有理指數令 m, n 為整數且 n > 0, 則 a m/n = = ) m ( ) (a 1/n = n m a ( a m ) 1/n = n a m a 1/n 必須為實數. ( 亦即, 若 n 為偶數, 則 a 必須為非負整數.) EXAMPLE 3.6 求下列式子的值 : (a) 8 1/3 (b) ( 7) /3 (c) ( 64) 3/4 (d) 64 4/3 (a) 8 1/3 = 1 8 = 3 1 = 1 1/3 8 ) ( (b) ( 7) /3 = (( 7) 1/3 = 3 7 ) = ( 3) = 9 (c) ( 64) 3/4 非實數, 因為 ( 64) 1/4 沒有定義. (d) 64 4/3 = 1 1 = 644/3 4 = EXAMPLE 3.7 將分母有理化 : (a) 3 5 (b) 1 5 a (c) 5 1 (a) 3 5 = = 3 5 5

13 11 1 (b) 5 = 1 a 5 a 5 15 (c) 1 = 6 5 a 3 5 a 3 = 5 a 3 a EXERCISES for Chapter 3. 假設下列選項中的底數為正數 ( 除了另有規定的題目 ) ( 1. 求值 4 ) 1/ : (a) ( 3) /5 (b) 3 /5 (c) (d) answer: (a) 4 (b) 4 (c) 3 (d) 沒有定義.. 簡化下列式子 : (a) (b) 5x + x 5 answer: (a) 7 (b) (x + 5) x. 3. 簡化且使用正的指數表示答案 : (a) x y 3 x 3 y 3 answer: (a) x5 y (b) 1 64a6 (c) 6 (x + y ) b. 3 (b) (x + y ) (c) ( a 3 b 4 4a 5 b 3 ) 3 4. 假設下列選項中的底數不一定為正數, 使用正指數表示答案. (a) 4 x 4 (b) 3 a3 b 6 c 9 ( a b 4 c 6 d 8 ) 1/ (c) answer: (a) x (b) a d4 b c 3 (c) ac3 b. 5. 簡化下列式子 : (a) 6 x 5 3 x (b) 3 t t (c) 5 a 3 b 10 a 4 b 16 (d) answer: (a) x 3/ (b) t 1/ (c) ab (d) a 1/6 (e) 4 s t. 3 8a a (e) 16s3 t st 5 6. 將分母有理化 : (a) x 6 (b) x 3 y (c) s 3t answer: (a) 6x 6 (b) x 3 y y (c) 3st. 3t

14 Chapter 4 有理式 有理式可以寫成兩個多項式相除的式子稱為有理式. EXAMPLE 4.1 判斷下列選項是否為有理式. (a) x + 3 x 1 (b) x x 4 + (c) πx x + 5 (d) 3y + y y + 3 (e) 3 3 x (a) 是 (b) 不是, 因為 x 不是多項式 (c) 是 (d) 是 (e) 不是 有理式的定義域並不是有理式中所有變數的值都是有定義的. 有理式的定義域是使有理數有定義的變數所形成的集合. EXAMPLE 4. 找出下列式子的定義域 : (a) 3x 4 x + 4x 4x 5 (b) (c) x 4 x + 4 (a) 對於多項式, 所有變數的值 x 都是有定義的 ; 定義域為實數 R. 4x x 4 = 4x (x + )(x ). 因為分母 (b) 我們只擔心使分母為 0 的值, 因此我們先將分母分解 : 在 x = 或 為 0, 因此定義域為除了 x = ± 的實數, 亦即 {x x ±} 或 R \ {, } (c) 沒有實數使得分母為 0, 定義域為實數 R. 1

15 13 分式的基本準則 a, b, 及 k 為實數 (b, k 0), 則 ak bk = a b EXAMPLE 4.3 化簡 x xy 1y x 4xy = x xy 1y x 4xy (x 4y)(x + 3y) x(x 4y) 有理式的運算假設所有式子的分母都不為 0, 則 ( a b a b c d = ac bd ) 1 = b a a b c d = a b d c = ad bc a b ± c b = a ± c b a b ± c d = ad bd ± bc bd = ad ± bc bd 至最低項. = x + 3y x EXAMPLE 4.4 完成指定的運算並化簡 : y 4 y 4 y + 5y + 6 y 3y 4 y 4 y 4 y + 5y + 6 y 3y 4 = y 4 (y + ) (y + 3) (y + ) (y ) (y 4) (y + 1) = y + 3 (y ) (y + 1) EXAMPLE 4.5 完成指定的運算並化簡 : x + x 3 x + 8x + 16 x 1 3x + 1 = x + x 3 3x + 1 x + 8x + 16 x 1 x + x 3 x + 8x + 16 x 1 3x + 1 (x 1) (x + 3) 3(x + 4) = (x + 4) x 1 = 3(x + 3) x + 4 EXAMPLE 4.6 完成指定的運算並化簡 : x x + 3 x 1 x x + 3 x 1 = x(x 1) (x 1) (x + ) 3(x + ) (x 1) (x + ) = (x x) (3x + 6) (x 1) (x + ) = x 4x 6 (x 1)(x + )

16 14 CHAPTER 4. 有理式 EXAMPLE 4.7 完成指定的運算並化簡 : (x + 1) 1 x 1 (x + 1) 1 x 1 = (x + 1) 1 (x + 1)(x 1) = (x 1) (x + 1) (x 1) x + 1 (x + 1) (x 1) = (x 1) (x + 1) (x 1) (x + 1) = x 3 (x 1) (x + 1) EXAMPLE 4.8 化簡 : x x 1 y y 1 x y = = = x x 1 y y 1 x y x (y 1) y (x 1) xy x yx + y (x 1) (y 1) (x 1) (y 1) = x y x y y x (x 1) (y 1) (x y) = (x y) 1 (x 1) (y 1) = (x 1) (y 1) y x (x 1) (y 1) x y 1 x y EXERCISES for Chapter 找出以下有理式的定義域 : (a) x + 1 x x (b) x6 + 3 (c) x 1 x 3 1 answer: (a) 除了 與 1 以外的實數 (b) 所有實數 (c) {x x 1}.. 將下列有理式化簡至最低項 : (a) x3 y 3 y x (b) 5a 8a + 3 5a 9 answer: (a) x xy y (b) a 1 5a 完成指定的運算 : (a) x 7x + 1 x 9 answer: (a) (x 3) x(x + 3) (b) a x(x + a). (c) x + a. x3 4x x 3 6x + 9x (b) 1 x + a 1 x (c) (x + a) x a

17 15 4. 完成指定的運算 : (a) a 5a + 4 a 3 6a + 8a 3 a 3a + (b) 3x 1 (x + 4) + x 5 x + 4 answer: (a) a a + 1 3a (b) x3 5x + 11x 1 (x + 4). 5. 化簡下列式子 : (a) 1 a + h 1 a h (b) 1 + x y 1 y x (c) y + x y y answer: (a) 1 a(a + h) (b) x (x + y) y (x y) (c) x + y y 3.

18 Chapter 5 線性方程式與非線性方程式 方程式一個方程式是兩個數學式子相等的敘述. 對於一個變數的方程式, 使敘述兩邊相同的變數值稱為方程式的解. EXAMPLE 5.1 x = 為 x = 4 的一個解, 但 0 不是 x 3 = 1 的一個解. 等價方程式兩個有相同解的方程式稱為等價方程式. EXAMPLE 5. 方程式 x 6 = 0 與 x = 6 稱為等價方程式, 因為 6 是它們的解. 然而, x = 1 與 x = 1 不是等價方程式 ; x = 1 和 x = 1 的解分別是 ±1 及 1. 線性方程式 ( 一階方程式 ) 一個變數的線性方程式與 等價, 其中 a 與 b 為實數, x 為變數. ax + b = 0, 線性方程式 ax + b = 0, 若 a 0, 則方程式有一個解為 b a ; 若 a = b = 0, 則方程式為一個恆等式且任意 x 皆滿足方程式 ; 若 a = 0 且 b 0, 則方程式無解. 非線性方程式若方程式不是線性方程式, 則為非線性方程式. 16

19 EXAMPLE x = 為一個變數 x 的線性方程式 ; 它有一個解為. 方程式 4 x = 0 為非線性方程式, 因為它的變數有平方. x = 1 為非線性方程式, 因為它有平 方根. x x = 3 為非線性方程式, 因為它包含變數的倒數. 解線性方程式找出方程式的解的過程稱為解線性方程式. 在變數為 x 的線性方程式的情況下, 我們需要將 x 放在等號的一邊, 而常數項則放在另一邊. 17 二次方程式 ( 二階方程式 ) 二次方程式的標準形式為 其中 a, b, c 為實數, 且 a 0. ax + bx + c = 0, EXAMPLE 5.4 x 3x =, x + 1 = 3x 與 解二次方程式解二次方程式有四個常用的方法 : 1 3 x = 5x 4 都是變數為 x 的二次方程式. 1. 因式分解 : 有些二次方程式可以藉由因式分解及使用零乘積性質求解 : ab = 0 若且唯若 a = 0 或 b = 0 註若且唯若 (If and only if) 有時簡寫為 iff 且代表的符號為. A iff B 用符號表式為 A B. A iff B 表示 A B 且 B A, 表示 推得. EXAMPLE 5.5 解方程式 : x 5x = 4 解為 x = 3 與 x = 8. x 5x = 4 x 5x 4 = 0 (x + 3)(x 8) = 0 x + 3 = 0 或 x 8 = 0 x = 3 或 x = 8.. 平方根性質 : 若二次方程式可以表示成 x = c 的形式, 其中 c 為非負實數, 則方程式的解為 x = ± c.

20 18 CHAPTER 5. 線性方程式與非線性方程式 EXAMPLE 5.6 解方程式 : (a) x = 3 (b) (x + ) = 3 (a) x = 3 x = ± 3 = ±4. 解為 ±4. (b) (x + ) = 3 (x + ) = ± 3 x = ± 3. 解為 ± 配方法 : 根據下列四個步驟完成此方法 : 步驟 1. 將二次方程式轉換成 : x + px = q 步驟. ( 加 p ( 在方程式的兩邊使 p ) ( p x ) + px + = q + ) 步驟 3. ( 將 p x + px + 重寫成 (x + ) p 的形式產生 ) (x + p ) = q + p 4 步驟 4. 應用平方根性質得到解為 p ± q + p 4 EXAMPLE 5.7 解方程式 x 8x + 13 = 0. x 8x + 13 = 0 x 8x = 13 x 8x + ( 4) = 13 + ( 4) (x 4) = 3 x = 4 ± 3. EXAMPLE 5.8 解方程式 3x 1x + 6 = 0. 3x 1x + 6 = 0 3x 1x = 6 4. 二次方程式公式解 : 二次方程式 ax + bx + c = 0 的解為 x 4x = x 4x + 4 = + 4 (x ) = x = ±. x = b ± b 4ac. a

21 19 其中 a 0 EXAMPLE 5.9 解方程式 x x = 0. a = 1, b = 與 c = 利用公式解得 x = ( ) ± ( ) 4 1 ( ) 1 = ± 1 = ± 3 = 1 ± 3. EXAMPLE 5.10 解方程式 3x = 5x + 1. 將原方程式重新寫成標準形式 3x 5x 1 = 0 其中, a = 3, b = 5, 與 c = 1 利用公式解得 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 1) 3 = 5 ± 判別式二次方程式的標準形式為 ax + bx + c = 0, 定義判別式為 D = b 4ac. 若 D > 0, 方程式有兩相異實根. 若 D = 0, 方程式有一重根. 若 D < 0, 方程式沒有實根. EXAMPLE 5.11 使用判別式決定以下方程式根的數目 : (a) x x = 0 (b) x 6x+9 = 0 (c) 4x + x + 1 = 0. (a) 判別式 D = ( ) 4 1 ( ) = 1 > 0, 方程式有兩相異實根. (b) 判別式 D = ( 6) = 0, 方程式有一重根. (c) 判別式 D = (1) = 15 < 0, 方程式沒有實根. 其他型態的方程式現在我們將致力於解包含有高階項, 有理式及根式的方程式. EXAMPLE 5.1 解方程式 5x x + x = 0. 5x x + x = 0 x (5x + 16x + ) = 0 x = 0 或 5x + 16x + = 0 8 ± 3 x = 0 或 6. 5

22 0 CHAPTER 5. 線性方程式與非線性方程式 EXAMPLE 5.13 解方程式 x 3 5x 9x + 45 = 0. 解為 x = 5 或 ±3. x 3 5x 9x + 45 = 0 x (x 5) 9(x 5) = 0 (x 5) (x 9) = 0 (x 5)(x + 3)(x 3) = 0. EXAMPLE 5.14 找出此方程式的所有實根 x 4 10x + 9 = 0. x 4 10x + 9 = 0 ) ) (x 10 (x + 9 = 0 EXAMPLE 5.15 解方程式 方程式左右同乘 x + 1 可得 6 x + 1 = 5 6x x + 1. Y 10Y + 9 = 0 ( 令 Y = x ) (Y 1)(Y 9) = 0 Y = 1 或 9 x = 1 或 9 x = ±1 或 ± 3. 6 = 5(x + 1) 6x x = 1. 然而, 在這情況下, x = 1 使原方程式的分母為零, 因此此方程式無解. 3 x + 5 x + =. 方程式左右同乘最小共同分母 x (x + ) 可得 EXAMPLE 5.16 解方程式 3(x + ) + 5x = x(x + ) EXAMPLE 5.17 解方程式 x + = x 4. 8x + 6 = x + 4x x 4x 6 = 0 (x 3)(x + 1) = 0 x = 3 或 1. 方程式左右平方可得 x + = (x 4) x + = x 8x + 16 x 9x + 14 = 0 (x )(x 7) = 0 x = 或 7.

23 x = 與 x = 7 為方程式的潛在解. 例如, 解 x = 不滿足原方程式 ( + 4) 但 x = 7 滿足 ( 7 + = 7 4). 因此, 解只有 x = 7. 1 EXERCISES for Chapter 解 x: (a) 9x = 6x (1 3x) (b) (3x + 4) (1 + x) = 7(5x 4) 5(6x 7) answer: (a) 無解 (b) 此敘述對任何數 x 都對 ; 方程式為恆等式. 解 x: (a) x = 8x 13 (b) 4x x = 0 (c) (x + 5) + (x 7) = 8 answer: (a) 4 ± 3 (b) 1 ± 33 8 (c) 5 或 使用判別式決定以下方程式根的數目 : (a) x + 8x + 5 = 0 (b) 1 3 x + x 4 = 0 (c) 3x + 5x = (d) 4x 4x + 1 = 0. answer: (a) 零 (b) 二 (c) 二 (d) 一. 4. 解 x (a) x 4 5x + 4 = 0 (b) y 3 = 3y(y 1) (c) t 4 13t + 40 = 0 answer: (a) ±1, ± (b) 0 (c) ±, ± 找出以下方程式的所有實根 : (a) x + 3 x + 1 = 4 (b) x 5 3x 4 = x 8 (c) 1 x 1 x = 0 answer: (a) 1 ± 33 8 (b) (c) 無解. 6. 解 x: (a) x = 1 x (b) x = x (c) x 5 + x = 5 answer: (a) 1 4 (b) 4 (c) 1.

24 Chapter 6 線性不等式與非線性不等式 不等式實數 a 小於實數 b, 記成 a < b, 若 b a > 0 即在實數線上實數 a 位於實數 b 的左邊. 若 a 小於或等於 b, 則記成 a b. 不等式的規則設 a, b, 與 c 為實數, a b a + c b + c a b a c b c 若 c > 0, 則 a b ac bc 若 c < 0, 則 a b ac bc 若 a > 0 且 b > 0, 則 a b 1 a 1 b 若 a b 且 c d, 則 a + c b + d 解線性不等式解一個變數的不等式是找出所有變數使得不等式成立. 一個不等式會有無窮多個解. 為了解線性不等式, 我們會將變數移至不等式的某一邊. 等價不等式若兩個不等式有相同的解, 則稱此兩個不等式為等價.

25 3 EXAMPLE 6.1 解不等式 9x < 3x + 4. 因此, 解的集合包含所有小於 9x < 3x + 4 1x < 4 x < 的實數且可用區間符號表示為 (, 1 3 ). EXAMPLE 6. 解不等式 1 < 3x < 3x 17 3 < 3x 15 1 > x 5 5 x < 1. 因此, 解集合的區間表示法為 [ 5, 1). 解非線性不等式為了解包含變數為平方或更高次方的不等式, 我們將利用以下分解技巧, 步驟如下 : 步驟 1. 將所有項移至不等式的某一邊使另一邊為零. 步驟. 因式分解不等式不為零的一邊. 步驟 3. 找出所有使因式為零的值. 畫一條線將使因式為零的值標示在線上. 而這些值會把實數線分成數個區間. 步驟 4. 在每個區間內選擇測試的點, 且製作一個表格紀錄所有因式乘積的正負號. 步驟 5. 解並寫下解集合. EXAMPLE 6.3 解不等式 x x 3. x x 3 x x 3 0 (x + 1)(x 3) 0. (x + 1)(x 3) = 0 的解為 x = 1 與 x = 3; 將 1 與 3 畫在實數線上, 而實數線分成三個區間 : (, 1), ( 1, 3), 與 (3, ). 接下來我們在每個區間內選一個點測試, 決定哪個區間會使 (x + 1)(x 3) 0.

26 4 CHAPTER 6. 線性不等式與非線性不等式 x = 1 x = 3 (, 1) ( 1, 3) (3, ) 測試點 x = 4 測試點 x = 1 測試點 x = 5 (x + 1) 的正負號 (x 3) 的正負號 乘積的正負號 在區間 (, 1): (x + 1) < 0 且 (x 3) < 0 (x + 1)(x ) > 0 在區間 ( 1, 3): (x + 1) > 0 且 (x 3) < 0 (x + 1)(x 3) < 0 在區間 (3, ): (x + 1) > 0 且 (x 3) > 0 (x + 1)(x 3) > 0 因為點 x = 1 與 x = 3 也滿足不等式 ; 因此解為 {x 1 x 3} = [ 1, 3]. EXAMPLE 6.4 解不等式 (x + 1) (x ) 3 (x 5) 0. (x + 1) (x ) 3 (x 5) = 0 的解為 x = 1,, 5; 將這些值畫在實數線上, 而實數線分成四個區間 : (, 1), ( 1, ), (, 5), 與 (5, ). 接下來我們在每個區間內選一個點測試, 決定哪些區間會滿足不等式. x = 1 x = x = 5 (, 1) ( 1, ) (, 5) (5, ) (x + 1) 的正負號 (x ) 3 的正負號 (x 5) 的正負號 乘積的正負號 從以上表格, 我們看見只有 x 與 x 5 使 (x + 1) (x ) 3 (x 5) 為正. 因此, 解為 {x x or x 5} = (, ] [5, ).

27 5 EXAMPLE 6.5 解不等式 3 + x 3 x x 3 x x (3 + x) (3 x) x 3 x 0 x 3 x 0. 不等式左手邊的分解式為 x 與 3 x. x = 0 的解與 3 x = 0 分別為 x = 0 與 3; 將這些值畫在實數線上, 而實數線分成三個區間 : (, 0), (0, 3), 與 (3, ). 接下來我們在每個區間內選一個點測試, 決定哪些區間會滿足不等式. x = 0 x = 3 (, 0) (0, 3) (3, ) x 的正負號 3 x 的正負號 x 3 x 的正負號 從以上表格, 我們看見 0 < x < 3 使 [0, 3). EXERCISES for Chapter 6. + x 3 x 為正. 因為 x = 0 也滿足不等式, 因此解為 1. 解 x: (a) 6 x x + 9 (b) 8 x < 1 (c) 1 4 3x 5 ( 9 ] [ 11 answer: (a) (, 1] (b), 5 (c) 1, 13 ] 解 x: (a) (x + 3)(x 5) < 0 (b) x 4x 1 0 (c) x 8x + 9 (d) x x 1. answer: (a) ( 3, 5) (b) (, ] [6, ) (c) [ 1, 9] (d) 所有實數. 3. 解 x: (a) (x ) (x 3)(x + 1) 0 (b) answer: (a) [ 1, 3] (b) (3, 9) (c) [ 3, ). x x 3 > 3 (c) x + 3 x 0

28 Chapter 7 絕對值方程式與絕對值不等式 絕對值的幾何意義一個實數的絕對值是此數與原點的距離. 因此, 1. a = a. a = a 3. ab = a b 4. a + b a + b ( 三角不等式 ) 解絕對值方程式以下為解絕對值方程式的想法. 設 c 為實數, 情況 1: c 0, 則 x = c x = ±c 情況 : c < 0, 則 x = c x 沒有定義 ( 絕對值恆為非負 ) EXAMPLE 7.1 解以下方程式 : 3 x = 5. 3 x = 5 (3 x) = ±5 x = 3 ± 5 x = 或 x = 8. EXAMPLE 7. 解以下方程式 : x 4 = 3x + 1. x 4 = 3x + 1 x 4 = ±(3x + 1) x 4 = 3x + 1 or x 4 = (3x + 1) x = 5 或 4x = 3 x = 5 或

29 7 絕對值不等式的性質設 c 為正實數, 則 x < c c < x < c x c c x c x > c x > c 或 x < c x c x c 或 x c EXAMPLE 7.3 解不等式 x + 5. x x x 3. EXAMPLE 7.4 解不等式 3 x > 9. 3 x > 9 3 x > 9 或 3 x < 9 x < 6 或 x > 1 x < 3 或 x > 6. EXERCISES for Chapter 解 x: (a) x 5 = 4 (b) 3 x = 10 (c) 3 5 x + 4 = 9. Answer: (a) 無解 (b) x = 7 或 13 (c) x = 5 3 或 解 x: (a) x 9 = x + 3 (b) 1 x = x 8 (c) x 3 = x 6 Answer: (a) x = 1 或 (b) 無解 (c) 所有實數. 3. 解 x: (a) 3x + 4 (b) x < (c) 3 x ( ] [ ) Answer: (a), 3, (b) ( 4, 8) (c) (, 3] [ 1, ).

30 Chapter 8 解析幾何 笛卡爾平面一個笛卡爾平面含有兩條互相垂直的數線, 此兩條數線稱為座標軸, 交於原點. 通常一條為水平的且以往右邊方向為正, 稱為 x- 軸 ; 另一條則是垂直的且以往上面方向為正, 稱 y- 軸. 這兩條軸將平面分成四個象限, 標記為 I, II, III, 與 IV. 在 x- 軸與 y- 軸上的點不屬於任何象限 P (, 3) II. 1. I III. IV 在笛卡爾平面上任何點 P 可以被唯一一個有序元素對 (a, b) 標記. a 與 b 各別被稱為是 P 的 x- 座標與 y- 座標. 兩點之間的距離 P (x 1, y 1 ) 與 Q(x, y ) 兩點之間的距離為 d(p, Q) = (x 1 x ) + (y 1 y ). 8

31 9 EXAMPLE 8.1 找出 P (1, ) 與 Q(, ) 兩點間的距離. d(p, Q) = (1 ( )) + (( ) ) = = 5 = 5. 中點公式 P (x 1, y 1 ) 與 Q(x, y ) 兩點形成的線段的中點為 ( x1 + x, y 1 + y 雙變數方程式之圖形一個方程式變數為 x 與 y 的圖形為在笛卡爾平面上滿足方程式的所有序對 (x, y) 之集合. EXAMPLE 8. 畫出方程式 x 3y = 1 與 x + y = 的圖形. 3. x + y =. ). 1. x 3y = 截距. x- 截距一個點的 x- 截距為圖形通過 x- 軸的點. 可以由令 y = 0 解出 x. y- 截距一個點的 y- 截距為圖形通過 y- 軸的點. 可以由令 x = 0 解出 y. EXAMPLE 8.3 找出圖形 x + y = 的 x- 截距與 y- 截距. 為了找出 x- 截距, 令 y = 0 可得 x = 1. 因此 x- 截距為 1; 為了找出 y- 截距, 令 x = 0 可得 y =. 因此 y- 截距為. 從之前的例題, 我們也可看見圖形各別與 x- 軸與 y- 軸交於 (1, 0) 與 (0, ).

32 30 CHAPTER 8. 解析幾何 圓的方程式一個圓心為 (h, k) 且半徑 r > 0 的圓方程式為 (x h) + (y k) = r. 若圓心為原點 (0, 0), 則方程式可化簡成 x + y = r. 若圓心為原點且 r = 1, 則稱為單位圓. EXAMPLE 8.4 找出半徑為 4 且圓心為 (, 3) 的圓方程式. 利用圓方程式公式, h =, k = 3, 與 r = 4 可得 (x + ) + (y 3) = 16. EXAMPLE 8.5 某圓以點 A( 1, ) 與點 B(5, 6) 為直徑的兩端點, 求此圓方程式. 利用中點公式找出圓心 : h = 也就是 A 到 B 距離的一半, 因此 : r = (x ) + (y + ) = 5. = 與 k = + ( 6) 對稱性對稱性可以幫助我們畫出複雜的圖形. 在這, 我們討論四種對稱的型態 : 關於 y- 軸的對稱性 (y- 軸對稱 ) 當 x 被 x 取代, 方程式不會改變 對 y- 軸反射, 圖形不會改變 若點 (x, y) 在圖形上, 則 ( x, y) 也在圖形上 =. 半徑 r 為直徑的一半, = 5. 由以上所有條件可得圓方程式為 :

33 31 關於 x- 軸的對稱性 (x- 軸對稱 ) 當 y 被 y 取代, 方程式不會改變 對 x- 軸反射, 圖形不會改變 若點 (x, y) 在圖形上, 則 (x, y) 也在圖形上 關於原點的對稱性 ( 原點對稱 ) 當 x 被 x 取代且 y 被 y 取代, 方程式不會改變. 對原點旋轉 180 o, 圖形不會改變 若點 (x, y) 在圖形上, 則 ( x, y) 也在圖形上 1. 關於直線 y = x 的對稱性 當 x 與 y 互相交換, 方程式不會改變 對直線 y = x 反射, 圖形不會改變 若點 (x, y) 在圖形上, 則 (y, x) 也在圖形上

34 3 CHAPTER 8. 解析幾何 註 : 一個圖形可能都沒有以上四種對稱型態中的其中一種. 對稱性的檢驗 將 y 取代為 y 可得相同的方程式, 則圖形對稱於 x- 軸 將 x 取代為 x 可得相同的方程式, 則圖形對稱於 y- 軸 同時將 x 取代為 x 且將 y 取代為 y 可得相同的方程式, 則圖形對稱於原點 將 x 與 y 互相交換可得相同的方程式, 則圖形對稱於直線 y = x EXAMPLE 8.6 檢驗方程式 y = x 3 x 的對稱性並且畫出圖形. 若我們將方程式裡的 x 取代為 x 且 y 取代為 y, 可得 ( y) = ( x) 3 ( x) y = x 3 + x y = x 3 x 且方程式沒有改變. 所以圖形對稱於原點. 可由以下圖形驗證. y = x 3 x EXAMPLE 8.7 檢驗方程式 x = y 的對稱性並且畫出圖形. 若將方程式裡的 y 取代為 y, 可得 x = ( y) x = y 且方程式沒有改變. 所以圖形對稱於 x- 軸. 可由以下圖形驗證.

35 33 x = y EXERCISES for Chapter 點 P (6, 7) 與點 Q(5, 8) 哪個較靠近原點? Answer: P.. 設點 A( 3, 4) 與點 B(1, 6) 在 xy- 平面, 找出 (a) 點 A 與點 B 的距離 (b) 點 A 與點 B 形成的線段的中點 (c) 半徑為 5 且圓心為 A 的圓之方程式 (d) 以點 A 與點 B 為直徑兩端點的圓之方程式. Answer: (a) 9 (b) ( 1, 1) (c) (x + 3) + (y 4) = 5 (d) (x + 1) + (y + 1) = 找出方程式 x y = 的 x- 截距與 y- 截距. Answer: x- 截距為 與 ; y- 截距為. 4. 證明頂點為 P ( 1, ), Q(5, 5) 與 R(1, 3) 的三角形為直角三角形. 5. 找出方程式 x + y + 4x 1y = 9 的圓心與半徑. Answer: 圓心 (, 6); 半徑為 分析截距與對稱性, 並畫出 4x + 9y = 16 的圖形. Answer: x- 截距為 與 ; y- 截距為 4/3 與 4/3. 圖形有三種對稱性的型態 : x- 軸, y- 軸, 與原點對稱. 圖形顯示於下方.

36 34 CHAPTER 8. 解析幾何 1. 4x + 9y = 不將圖形畫出來, 分析以下方程式的對稱性. (a) 3x + 4y = 1 (b) xy = 4 (c) x + xy = 3 (d) x + y + y = 1. Answer: (a) 沒有對稱 (b) x- 軸對稱 (c) 圓點對稱 (d) y- 軸對稱.

37 Chapter 9 函數 函數的定義函數 f 是一個規則, 其將在集合 A 裡的每一個元素 x 對應到集合 B 裡的唯一一個元素 ( 稱為 f(x)). 我們接下來解釋 y = f(x) 中一些符號的術語. f 為函數的名字 x 為自變數 ( 輸入 ) 而 y 為應變數 ( 輸出 ) 集合 A 為函數 f 的定義域, 亦即收集了所有有意義的 x 值之集合 {f(x) x A} 為函數的值域, 亦即收集了所有相對應的 y 值之集合 集合 B 為函數的對應域 f(a) 為當 x = a 時的函數值, 其中 a 為實數 EXAMPLE 9.1 找出以下函數的定義域. (a) f(x) = 3 x 4x (b) g(x) = 3 x x (c) h(x) = x 1 x (d) l(x) = 3 x. (a) 因為函數在分母 x 4x 為 0 時沒有定義, 也就是 x = 0 或 x = 4. 因此 f 的定義域為 {x x 0, x 4}, 即除了 0 和 4 以外的實數. 亦可寫成 (, 0) (0, 4) (4, ) (b) 因為在根號裡的項必須為正或 0, 因此 3 x x 0. 解出不等式可得 3 x 1. 因此 g 的定義域為 {x 3 x 1} = [ 3, 1]. (c) 因為在根號裡的項必須為非負且分母不可為 0, 因此 1 x > 0, 亦即, 1 < x < 1. 因此 h 的定義域為 {x 1 < x < 1} = ( 1, 1). (d) 因為在三次根裡可以是任何實數, 因此 l 的定義域為實數 R. 35

38 36 CHAPTER 9. 函數 EXAMPLE 9. 令 f(x) = x + 1, 求 (a) f( 3) 與 f(3t), (b) f 的定義域與值域. (a) f( 3) = ( 3) + 1 = 7, f(3t) = (3t) + 1 = 18t + 1 (b) f 的定義域包含所有有效實數 x. 因為對於任何實數皆可以計算 f, 因此 f 的定義域為任何實數 R. f 的值域包含所有函數可能輸出的值. 因為對於任何 x, x 0, 則 x + 1 1, 因此對於任何 x, f(x) 1. 所以, 值域為 {y y 1} = [1, ). x EXAMPLE 9.3 令, x < 0 f(x) = x 3, 0 x 3 7, x > 3 f( ) = ( ) = 4; f(0) = 0 3 =, 與 f(π) = 7., 求 f( ), f(0), 與 f(π). 函數的圖形函數 f 的圖形為所有點 (x, y) 使得 x 在 f 的定義域且 y = f(x). 垂直線測試法若一條垂直線與圖形交點超過一個點, 則此圖形不為一個函數的圖形. (a) 函數的圖形 (b) 非函數的圖形 遞增與遞減函數 若在區間 I 內, 當 a < b 時, f(a) < f(b), 則 f 在區間 I 為遞增. 若在區間 I 內, 當 a < b 時, f(a) > f(b), 則 f 在區間 I 為遞減. 若在區間 I 內, 對所有 a, b 屬於 I, f(a) = f(b), 則 f 在區間 I 為常數.

39 37 EXAMPLE 9.4 給定 f 的圖形, 判斷 f 為遞增, 遞減, 或為一常數 在 ( 3, 1) 與 (1, 4), 函數 f 為遞增 ; 在 ( 1, 1) 與 (4, 6), 函數 f 為遞減 ; 在 ( 4, 3), f 為一常數. 函數的平均變化率函數 y = f(x) 在 x = a 到 x = b 的平均變化率為平均變化率 = f(x) 的變化量 x 的變化量 = f(b) f(a). b a 若考慮某區間從 x 到 x + h, 則平均變化率變成 也就是差商 (difference quotient). f(x + h) f(x), h EXAMPLE 9.5 求在區間 [1, 4], f(x) = x 的平均變化率. f(x) 的變化量 x 的變化量 = 奇函數與偶函數令 f(x) 為一函數, f(4) f(1) 4 1 = = 5. 若在 f 的定義域裡的 x, f( x) = f(x), 則 f 為偶函數且圖形為 y- 軸對稱. 若在 f 的定義域裡的 x, f( x) = f(x), 則 f 為奇函數且圖形為原點對稱.

40 38 CHAPTER 9. 函數 EXAMPLE 9.6 判斷以下函數為奇函數, 偶函數或兩者皆非. (a) f(x) = x (b) g(x) = x 3 (c) h(x) = x 3 x (d) l(x) = 5. (a) 因為 f( x) = x = f(x), 根據定義, f(x) 為偶函數. (b) 因為 g( x) = x 3 g(x), 所以此函數不為偶函數. 而 g( x) g(x), 所以 g(x) 不是奇函數. 因此, g(x) 兩者皆非. (c) 因為 h( x) = x 3 x = x + 3 x = (x 3 x) = h(x), h(x) 為奇函數. (d) 因為 l( x) = 5 = l(x), l(x) = 5 為偶函數. ( 即使 5 為奇數!) EXERCISES for Chapter 給定 f(x) = x 4x +, 求 (a) f(5) (b) f( 3) (c) f(a + b) (d) f(a) + f(b). Answer: (a) 7 (b) 3 (c) a + b + ab 4a 4b + (d) a + b 4a 4b 令 g(x) = x 1, x x + 3, < x < x, x, 求 (a) g( 4) (b) g( ) (c) g(1) (d) g(). Answer: (a) 5 (b) 3 (c) (d) 找出以下函數的定義域 : (a) f(x) = 1 x + 3x 4 (b) g(x) = (c) h(x) = 3 x 8x + 1 (d) l(x) = 4 x + 8x 1. Answer: (a) 所有實數 (b) {x x 0, 4, 6} (c) 所有實數 (d) [, 6]. x + 1 x 3 + x 4x 4. 求 f(x) = 3 5x 9 在區間 [ 5, 0] 的平均變化率. Answer: 判斷以下函數為奇函數, 偶函數或兩者皆非. (a) f(x) = x3 x (b) g(x) = x4 Answer: (a) 奇函數 (b) 兩者皆非 (c) 偶函數 (d) 奇函數. x (c) h(x) = x 3 x (d) l(x) = (x 1)3 + (x + 1) 3.

41 Chapter 10 線性函數 線性函數的定義一個線性函數的形式為 f(x) = mx + b, m 0. 註 : 線性函數的圖形必為直線. 函數 f(x) = b 為常數函數, 且圖形為水平直線. 直線的斜率一條非垂直 ( 不與 y- 軸平行 ) 直線且通過兩相異點 A(x 1, y 1 ) 與 B(x, y ) 的斜率 m 為上升 m = = 前進 y 的變化量 = x 的變化量 y y 1 x x 1 (a) 斜率為正 : 直線上升 (b) 斜率為負 : 直線下降 EXAMPLE 10.1 求通過 A(, 1) 與 B(8, 5) 兩點之直線的斜率. m = 上升前進 = y 的變化量 x 的變化量 = = 3. 39

42 40 CHAPTER 10. 線性函數 直線方程式 斜截式斜率 m 且 y- 截距為 b 的直線方程式為 y = mx + b. 點斜式一條通過點 (x 1, y 1 ) 且斜率為 m 的直線, 其方程式為 y y 1 = m (x x 1 ). 標準式一直線方程式可寫成 ax + by + c = 0 之形式, 其中 a, b, c 為常數 ; a 與 b 不同時為 0. EXAMPLE 10. 求斜率為 且 y- 截距為 5 的直線方程式. 使用斜截式 m = 且 b = 5 可得 y = x + 5. EXAMPLE 10.3 求直線 y 3x = 8 的斜率與 y- 截距. 將方程式重新改寫為斜截式 y = mx + b: y 3x = 8 y = 3 x 和直線的斜截式比較, 可得斜率為且 y- 截距為 b = 4. EXAMPLE 10.4 求通過點 A(1, 3) 且斜率為 1 的直線方程式. 使用點斜式 m = 1, (x 1, y 1 ) = (1, 3) 可得 y ( 3) = ( 1) (x 1). y = x. EXAMPLE 10.5 求通過 A(, 3) 與 B(1, 0) 的直線之方程式. 斜率 m = 0 ( 3) = 3. 1 使用點斜式可得方程式為 y 0 = ( 3) (x 1) y = 3x + 3. 水平線與垂直線

43 41 水平線 垂直線 一條水平線 ( 一條平行於 x- 軸的線 ) 的斜率為 0, 因為直線上任何兩點的 y 值相同, 亦即 y 的變化量為 0. 一條水平線的直線方程式為 y = b, 其中 b 為 y- 截距. 一條垂直線 ( 一條平行於 y- 軸的線 ) 的斜率沒有定義, 因為直線上任何兩點的 x 值相同而且 x 的變化量為 0. 一條垂直線的直線方程式為 x = a, 其中 a 為 x- 截距. y =. (1, ) x = 1 註 : 一條通過點 (a, b) 的水平線方程式為 y = b. 一條通過點 (a, b) 的垂直線方程式為 x = a. 平行線與垂直線 平行線兩條非垂直的線互相平行若且唯若它們的斜率相同. 兩條垂直線亦為互相平行. 垂直線兩條斜率分別為 m 1 與 m 的線互相垂直若且唯若 m 1 m = 1, 亦即它們的斜率互為負倒數 : m 1 = 1 m. 一條水平線 ( 斜率為 0) 與一條垂直線 ( 斜率無定義 ) 亦為互相垂直.

44 4 CHAPTER 10. 線性函數 EXAMPLE 10.6 求通過點 (5, ) 且平行於直線 4x + 6y + 1 = 0 的直線方程式. 首先, 將給定的方程式重新改為斜截式 : 4x + 6y + 1 = 0 y = 3 x 1 6. 因此可得給定的方程式的斜率為 3. 因為所求平行於給定的線, 所以兩條線的斜率必定相同, 為 3. 使用點斜式公式可得 y = 3 (x 5) y = 3 x + 16 或 x + 3y 16 = 0. 3 EXAMPLE 10.7 求通過點 ( 3, 4) 且垂直於直線 3x 6y + 1 = 0 的直線方程式. 首先, 將給定的方程式重新改為斜截式 : 3x 6y + 1 = 0 y = 1 x 因此可得給定的方程式的斜率為. 因為所求垂直於給定的線, 因此所求的直線方程式的斜率為給定方程式斜率的負倒數. 所以所求的直線方程式的斜率為. 使用點斜式公式可得 y 4 = (x + 3) y = x. EXERCISES for Chapter 下列哪個選項為線性方程式? (a) f(x) = (b) f(x) = x 1 (c) f(x) = 5x (d) f(x) = πx + π. Answer: (b) 及 (d). 求通過點 (3, ) 的水平線方程式. Answer: y = 3. 求通過點 ( 6, 8) 且斜率為 Answer: y = 3 4 x 的直線方程式.

45 43 4. 求通過 (3, 4) 與 ( 7, ) 的直線方程式. Answer: y = 3 5 x 求通過原點且平行於 y = x + 7 而形式為標準式的直線方程式. Answer: x + y = 求通過點 (5, 3) 且平行於 (a) y = 3x 5 (b) x + 7y = 4 (c) x = 6 (d) y = 7. 的直線方程式 Answer: (a) y = 3x 18 (b) x + 7y + 11 = 0 (c) x = 5 (d) y = 求通過點 (8, ) 且垂直於 (a) x + 3y = 6 (b) x = 7 (c) y = 3. 的直線方程式 Answer: (a) y = 3x 6 (b) y = (c) x = 求線性方程式 g 滿足 g(0) = 5 且 g(10) = 1. Answer: g(x) = 7 10 x + 5.

46 Chapter 11 變換與圖形 圖形的垂直平移與水平平移若 c > 0, 則 y = f(x) + c 的圖形為 y = f(x) 圖形向上平移 c 單位. y = f(x) c 的圖形為 y = f(x) 圖形向下平移 c 單位. y = f(x c) 的圖形為 y = f(x) 圖形向右平移 c 單位. y = f(x + c) 的圖形為 y = f(x) 圖形向左平移 c 單位. (a) 向上平移 c 單位 (b) 向下平移 c 單位 (c) 向右平移 c 單位 (d) 向左平移 c 單位 44

47 45 EXAMPLE 11.1 利用 y = f(x) = x 的圖形畫出以下方程式的圖形 : (a) f 1 (x) = x + (b) f (x) = (x 3) (c) f 3 (x) = x (d) f 4 (x) = (x + ). y = x + y = (x + ) y = x y = (x 3) y = x EXAMPLE 11. 利用 f(x) = x 的圖形畫出 g(x) = x 的圖形. y = x y = x + 3 y = x EXAMPLE 11.3 利用 f(x) = x 的圖形畫出 g(x) = x 3 的圖形. y = x y = x 3 y = x 3

48 46 CHAPTER 11. 變換與圖形 圖形的垂直伸展與收縮畫 y = c f(x) 的圖形 : 若 c > 1, 則將 y = f(x) 的圖形垂直伸展 c 倍. 若 0 < c < 1, 則將 y = f(x) 的圖形垂直收縮 c 倍. 圖形的水平伸展與收縮畫 y = f(cx) 的圖形 : (a) 垂直伸展 : c > 1 (b) 垂直收縮 : 0 < c < 1 若 c > 1, 則將 y = f(x) 的圖形水平收縮 c 倍. 若 0 < c < 1, 則將 y = f(x) 的圖形水平伸展 c 倍. (a) 水平收縮 : c > 1 (b) 水平伸展 : 0 < c < 1 EXAMPLE 11.4 假設 f(x) 的圖形已給定. 以下函數圖形如何用給定函數 f 的圖形描繪出來? (a) f 1 (x) = f(x) 5 (b) f (x) = f(0.x) + 3. (a) 將 f 的圖形垂直伸展 倍且向下平移 5 單位. (b) 將 f 的圖形水平伸展 0. 倍且向上平移 3 單位.

49 47 圖形的反射 畫 y = f(x) : 將 f(x) 的圖形對 x- 軸反射, 可得 y = f(x) 的圖形 畫 y = f( x) : 將 f(x) 的圖形對 y- 軸反射, 可得 y = f( x) 的圖形 (a) 對 x- 軸反射 (b) 對 y- 軸反射 EXAMPLE 11.5 畫出以下函數的圖形. (a) f 1 (x) = x (b) g 1 (x) = x. (a) 從 f(x) = x 的圖形, y = f 1 (x) = x 的圖形為 f 對 x- 軸反射. (b) 從 g(x) = x 的圖形, g 1 (x) = x 的圖形為 g 對 y- 軸反射. (a) y = f 1 (x) = x (b) y = g 1(x) = x EXERCISES for Chapter 假設 f 的圖形已給定. 以下函數圖形如何用給定函數 f 的圖形描繪出來? (a) y = f(x + 3) (b) y = 1 f( x) + 3. Answer: (a) 對 x- 軸反射, 再向左平移 3 單位, 再向下平移 單位. (b) 垂直收縮 1 倍, 再對 y- 軸反射, 再向上平移 3 單位.

50 48 CHAPTER 11. 變換與圖形. 說明 g(x) = 7 (x 4) 3 與 h(x) = (x + ) 3 1 的圖形如何從 f(x) = x 3 的圖形獲得. Answer: 對 g(x) 而言 : 對 x- 軸反射, 再向右平移 4 單位, 再向上平移 7 單位. 對 h(x) 而言 : 向左平移 單位再向下平移 1 單位. 3. 給 y = x 的圖形, 畫出 (a) y = x 1 (b) y = x (c) y = x+ 1 (d) y = x +3 的圖形. Answer: x x x + 1 x 1 x + 3

51 Chapter 1 二次函數 二次函數的定義二次函數的形式為 f(x) = ax + bx + c, 其中 a, b, c 是常數且 a 0. EXAMPLE 1.1 f 1 (x) = 3x, g 1 (t) = 3 t t + 1, 和 h 1 (u) = 5 u 是二次函數 ; f (x) = x 3 4x + 5, g (t) = 3t + t, 和 h (u) = u 4 不是二次函數. 二次函數的標準式一個二次函數 f(x) = ax + bx + c 藉由配方法可以表達成標準式 f(x) = a(x h) + k f 的圖形為一拋物線 (parabola), 其頂點 (vertex) 為 (h, k) 且對稱軸 (axis of symmetry) 為 x = h. 若 a > 0: 拋物線開口向上且對稱軸為 x = h. 當 x = h 時, f 有最小值 f(h) = k. f 的定義域為整個實數 R, 因為對所有實數 x, f 都可以被定義. f 的值域為 [k, ). 49

52 50 CHAPTER 1. 二次函數 x = h k 頂點 (h, k) 最小值 f(h) = k h 若 a < 0: 拋物線開口向下且對稱軸為 x = h. 當 x = h 時, f 有最大值 f(h) = k. f 的定義域為整個實數 R, 因為對所有實數 x, f 都可以被定義. f 的值域為 (, k]. k 最大值 f(h) = k 頂點 (h, k) h x = h EXAMPLE 1. 考慮二次函數 f(x) = 3 (x + 3) + 5, 求頂點和對稱軸. 和 f(x) = a(x h) + k 做比較, 可以得到頂點為 ( 3, 5) 和對稱軸為 x = 3. EXAMPLE 1.3 考慮二次函數 f(x) = 1 4 (x 1) 3, 求最大值或最小值. 和 f(x) = a(x h) + k 做比較, 可以得到 a = 1 4 < 0, 因此當 x = 1 時, 此拋物線有最大值 3. EXAMPLE 1.4 將 f(x) = x 1x + 1 化成標準式 f(x) = a(x h) + k. f(x) = x 1x + 1 = (x 6x) + 1 = (x 6x + 9) = (x 3) 17

53 51 EXAMPLE 1.5 將 g(x) = 3x 1x + 17 化成標準式 g(x) = a(x h) + k. g(x) = 3x 1x + 17 = 3(x + 4x) + 17 = 3(x + 4x + 4) = 3(x + ) + 9 EXAMPLE 1.6 考慮函數 f(x) = x + 4x 5, 分析此函數的圖形並討論它的 (a) 頂點 (b) 對稱軸 (c) 最大值或最小值 (d) 定義域和值域 (e) 說明如何由 y = x 得到 f(x). 將函數化成標準式 : f(x) = x + 4x 5 = (x x + 1) 5 + = (x 1) 3. (a) 因為 a = < 0, 拋物線開口向下且頂點為 (1, 3). (b) 拋物線對直線 x = 1 做對稱, 因此對稱軸為 x = 1. (c) 因為 a < 0, f 有最大值 3. (d) f 的定義域為整個實數且 f 的值域為 (, 3]. (e) 由拋物線 y = x, 向右移動一單位, 垂直拉長 倍, 且向下移動三單位. EXAMPLE 1.7 考慮函數 g(x) = 1 x + x + 3, 分析此函數的圖形並討論它的 (a) 頂點 (b) 對稱軸 (c) 最大值或最小值 (d) 定義域和值域 (e) 說明如何由 y = x 得到 g. 將函數化成標準式 : g(x) = 1 x + x + 3 = 1 (x + 4x + 4) + 3 = 1 (x + ) + 1. (a) 因為 a = 1 > 0, 拋物線開口向上且頂點為 (, 1). (b) 拋物線對直線 x = 做對稱, 因此對稱軸為 x =. (c) 因此 a > 0, g 有最小值 1. (d) g 的定義域為整個實數且 g 的值域為 [1, ). (e) 由拋物線 y = x, 向左移動兩單位, 垂直收縮 倍, 且向上移動一單位. 二次函數 f(x) = ax + bx + c 的最大值和最小值二次函數 f(x) = ax + bx + c 的最大值或最小值發生在 若 a > 0, 拋物線開口向上, 頂點為 若 a < 0, 拋物線開口向下, 頂點為 x = b a. ( b ( a, f b )) a ( b ( a, f b )) a ( 且最小值為 f b a ( 且最大值為 f b a ). ).

54 5 CHAPTER 1. 二次函數 EXAMPLE 1.8 求函數 f(x) = 1 4x x 的最大值或最小值. 此二次函數的 a = 1 且 b = 4, 因此最大值或最小值發生在 x = b 因為 a = 1 < 0, 函數有最大值 f( ) = = 5. a = 4 =. EXERCISES for Chapter 下列何者為二次函數? (a) f(x) = x + πx (b) f(x) = x π (c) f(x) = 4 5 x + 3x (d) f(x) = πx + π. Answer: (a) 和 (c). 求函數的定義域和值域. (a) f 1 (x) = 3(x 1) 5 (b) f (x) = 4 7 (x + 1). Answer: (a) 定義域 : R; 值域 : (, 5] (b) 定義域 : R; 值域 : [0, ). 3. 求函數 f(x) = x + 4x 的最大值或最小值. Answer: 最小值為 4 4. 求下列函數的值域. (a) f 1 (x) = 3x 5 (b) f (x) = x (c) f 3 (x) = x 6x (d) f 4 (x) = 1 x + x + 3 (e) f 5 (x) = x + 4x + 5. Answer: (a) [ 5, ) (b) (, 1] (c) [ 9, ) (d) [1, ) (e) (, 7]. 5. 考慮函數 f(x) = x + 4x 7, 分析此函數的圖形並討論它的 (a) 頂點 (b) 對稱軸 (c) 最大值或最小值 (d) f(x) 的定義域和值域 (e) 說明如何由 y = x 得到 f. Answer: (a) ( 1, 9) (b) x = 1 (c) 最小值為 9 (d) f 的定義域為整個實數且值域為 [ 9, ) (e) 向左移動一單位, 垂直伸展 倍, 且向下移動九單位.

55 53 6. 考慮函數 h(x) = x + 4x +, 分析此函數的圖形並討論它的 (a) 頂點 (b) 對稱軸 (c) 最大值或最小值 (d) h(x) 的定義域和值域 (e) 說明如何由 y = x 得到 h. Answer: (a) (, 6) (b) x = (c) 最大值為 6 (d) h 的定義域為整個實數且值域為 (, 6] (e) 向右移動兩單位, 對 x- 軸反射, 且向上移動六單位.

56 Chapter 13 函數的代數性質及反函數 函數的代數組合給定兩個函數 f 和 g, 其定義域分別為 D f 與 D g. 和, 差, 積, 與商函數的定義如下 : 和 : 差 : 積 : (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f + g) 的定義域為 D f D g (D f 和 D g 的交集 ) (f g)(x) = f(x) g(x) (f g) 的定義域為 D f D g (f g)(x) = f(x) g(x) (f g) 的定義域為 D f D g 商 : ( f ) (x) = f(x) g g(x) ( f ) g 的定義域為 D f D g 且 g(x) 0. EXAMPLE 13.1 給定 f(x) = 3x 和 g(x) = 3 x, 求 (f + g)(x), 描述其定義域. ( f ) ( (x), 和 g ) (x) 且 g f 54

57 55 (f + g)(x) = f(x) + g(x) = 3x + 3 x. 因為 f 的定義域為 R 且 g 的定義域為 {x x 3}, 因此 (f +g) 的定義域為 D f D g, {x x 3}. ( f g ) (x) = f(x) g(x) = 3x 3 x. 因為 f 和 g 的定義域分別為 R 和 {x x 3}, 且不存在 x 使得 ( g(x) 0. 因此 f ) (x) 的定義域為 {x x < 3}. g ( g ) (x) = g(x) 3 x f f(x) =. 3x 因為 f 和 g 的定義域分別為 R 和 {x x 3}, 且不存在 x 使得 f(x) 0. 因此 ( g f ) (x) 的定義域為 {x x 3, x 0}. f g g f 的分母為零, 換句話說 的分母為零, 換句話說 合成函數給定兩個函數 f 和 g, 其合成函數 (composition function) f g ( 也被稱為 f 的 g 的合成 ) 定義為 ( ) ( ) f g = f g(x). 注意 : 一般而言, f g g f. EXAMPLE 13. 若 f(x) = x 和 g(x) = x 4, 求以下的函數和其定義域. (a) f g g f (c) f f (d) g g. (a) ( ) ( ) ( x ) x f g (x) = f g(x) = f 4 = 4 = 4 x 4. f g 的定義域為 {x x 4 0} = {x x 4} = [4, ). (b) ( ) ( ) ( x ) g f (x) = g f(x) = g = x 4. g f 的定義域為 {x x 0 and x 4 0} = {x x 16} = [16, ). (c) ( ) ( ) ( x ) f f (x) = f f(x) = f = x = 4 x. f f 的定義域為 {x x 0} = [0, ). (d) ( ) ( ) ( x ) g g (x) = g g(x) = g 4 = x g g 的定義域為 {x x 4 0 and x 4 4 0} = {x x 4 and x 0} = {x x 0} = [0, ). (b)

58 56 CHAPTER 13. 函數的代數性質及反函數 EXAMPLE 13.3 若 f(x) = x 和 g(x) = 4 x, 求 (a) f g 和 g f 的合成函數和其定義域 ( ) ( ) (b) f g (1) 和 g f (1). ( ) ( ) ( ) (a) f g (x) = f g(x) = f 4 x = (4 x). ( ) ( ) ( ) g f (x) = g f(x) = g x ) = 4 x. f g 和 g f 的定義域皆為 R. ( ) ( ) (b) f g (1) = f g(1) = f(3) = 3 = 9. ( ) ( ) g f (1) = g f(1) = g(1) = 4 1 = 3. EXAMPLE 13.4 若 f(x) = ( ) ( ) ( ) f g h (x) = f g(h(x)) = f g(x + 1) x 7 x, g(x) = x8, 和 h(x) = x + 1, 求 f g h. ) = f ((x + 1) 8 = (x + 1)8 7 (x + 1) 8. 一對一函數若一個函數的定義域 A 內沒有兩個元素對應到值域 B 內相同的值, 則此函數被稱為一對一 (one-to-one) 函數, 換句話說, 對所有 x 1, x A, 若 f(x 1 ) = f(x ), 則 x 1 = x 一對一函數的另一種表示方法若 x 1 x, 則 f(x 1 ) f(x ). EXAMPLE 13.5 請說明 f(x) = x 5 是否為一對一函數? 因為 f() = f( ) = 1, 當 x = 和 x = 對應到相同的函數值 1, 因此, f 不是一對一函數. EXAMPLE 13.6 請說明 g(x) = x 5 是否為一對一函數? 若 g(x 1 ) = g(x ), 我們可以得到 x 1 5 = x 5 x 1 = x. 因此, g 是一對一函數.

59 57 水平線測試法一個函數是一對一函數若且唯若沒有水平線會跟其圖形相交於兩點以上. EXAMPLE 13.7 利用水平線測試法說明 f(x) = x 是否為一對一函數? 從 f(x) = x 的圖形中, 我們可以知道沒有一條水平線會和 f 的圖形交於兩點以上. 因此, 根據水平線測試法, f 是一對一函數. y = x 反函數的定義若 f 是一對一函數且定義域為 A, 值域為 B. 則反函數 (inverse function) f 1 的定義域為 B 且值域為 A, 對所有 y 屬於 B, 反函數 f 1 定義為 f 1 (y) = x f(x) = y. 換句話說, 如果 f 從 x 對應到 y, 則 f 1 從 y 對應回 x. 注意 : 如果 f 是一對一函數, 那麼 f 1 的定義域 = f 的值域且 f 1 的值域 = f 的定義域 f 1 也是一對一函數且 x = f 1 (y) 若且唯若 y = f(x) 反函數的性質如果 g 是 f 的反函數, 即 g = f 1, 則 ( ) ( ) 1. g f(x) = f 1 f(x) = x, 對所有 x 屬於 f 的定義域. ( ) ( ). f g(y) = f f 1 (y) = y, 對所有 y 屬於 f 的值域.

60 58 CHAPTER 13. 函數的代數性質及反函數 求反函數的步驟為了求給定函數的反函數, 我們必須驗證函數是一對一. 若是一對一函數, 則根據以下的步驟求反函數. 若函數不是一對一, 則反函數不存在. 寫下方程式 y = f(x) 如果可以, 解將 x 表示成 y 的方程式. 由上一步驟獲得的方程式中互換 x 和 y. 得到的方程式為 y = f 1 (x) EXAMPLE 13.8 求 f(x) = x + 1 的反函數. 我們首先驗證 f 是一對一 : f(x 1 ) = f(x ) x = x + 1 x 1 = x, 因此根據定義, f 是一對一且反函數存在. 接下來寫下 y = f(x), 即 y = x + 1. 然後我們去解 x 可以得到 x = y 1. 我們互換 x 和 y 可得 y = x 1. 因此, 反函數為 f 1 (x) = x 1. EXAMPLE 13.9 求 f(x) = x3 + 7 的反函數. 我們首先驗證 f 是一對一 : f(x 1 ) = f(x ) x = x3 + 7 x 1 = x, 因此根據定義, f 是一對一且反函數存在. 接下來寫下 y = f(x), 即 y = x3 +, 然後我們去解 x 可以得到 x 3 = 7y, 其等價於 7 x = 3 7y. 互換 x 和 y 可得 y = 3 7x. 因此, 反函數為 f 1 (x) = 3 7x. EXAMPLE 求 f(x) = x + 3 x 1 的反函數. 寫下 y = f(x), 即 y = x + 3 x 1. 解 x 可以得到 y(x 1) = x + 3 xy y = x + 3 xy x = y + 3 x(y ) = y + 3 x = y + 3 y. 互換 x 和 y 可得 y = x + 3 x. 因此, 反函數為 f 1 (x) = x + 3 x.

61 59 EXERCISES for Chapter 求下列函數的定義域 : (a) f(x) = x x (b) g(x) = x + 3 x 1. Answer: (a) [ 1, 0) 或 (0, ) (b) [ 3, 1) 或 (1, ).. 給定 f(x) = 9 x 且 g(x) = x 4, 求以下方程式並描述定義域 : (a) f + g (b) f g (c) f g (d) f g. Answer: (a) 9 x + x 4; 定義域 : [ 3, ] or [, 3] (b) 9 x x 4; 定義域 : [ 3, ] or [, 3] (c) x x 36; 定義域 : [ 3, ] or [, 3] (d) 義域 : [ 3, ) or (, 3]. 9 x x 4 ; 定 ( ) 3. 給定 f(x) = 3x 5 且 g(x) = x, 求 (a) f g(0) (g g)(). ( ) (b) g f(0) (c) (f f)( 1) (d) Answer: (a) 1 (b) 3 (c) 9 (d). 4. 若 f(x) = x 且 g(x) = x + 3, 求下列方程式並描述定義域 : (a) f g (b) g f (c) f f (d) g g. ( ) Answer: (a) f g 義域 : (, ) (c) 義域 : (, ). (x) = x + 3 且定義域 : (, ) ( ) f f (x) = x 且定義域 : (, ) (d) ( ) (b) g f (x) = x + 3 且定 ( ) g g (x) = 4x + 9 且定 5. 若 f(x) = x 且 g(x) = x 3, 求下列方程式並描述定義域 : (a) f g (b) g f (c) f f (d) g g. ( ) f g Answer: (a) (x) = x 3 且定義域 : [3, ) {x x 3 or x ( 3} (c) f f ( ) (d) g g (x) = x 3 3 且定義域 : [1, ). (b) ) (x) = x 4 且定義域 : (, ) ( ) g f (x) = x 3 且定義域 :

62 60 CHAPTER 13. 函數的代數性質及反函數 6. 若 f(x) = 1 x, g(x) = x3, 且 h(x) = x +, 求 f g h. Answer: 1 x 6 + 6x 4 + 1x 判斷以下函數是否為一對一. (a) f(x) = 3 (b) f(x) = x + 1 (c) f(x) = 3x 5 (d) f(x) = x + 1. Answer: (a) 否 (b) 是 (c) 否 (d) 是. 8. 求以下一對一函數的反函數. (a) f(x) = x 3 (b) f(x) = x + 3 且定義域為 [0, ) (c) f(x) = x 4 且定義域為 [4, ). Answer: (a) f 1 (x) = x + 3 (b) f 1 (x) = x 3 (c) f 1 (x) = 4 + x.

63 Chapter 14 多項式函數 多項式函數一個變數為 x, 最高次數為 n 的多項式函數基本形式為 f(x) = a n x n + a n 1 x n a x + a 1 x + a 0, 其中 n 是一個非負的整數 ( 亦即正整數或零 ) 且 a n 0. 其中 a n, a n 1,, a, a 1, a 0 皆為實數且被稱為此多項式的係數 (coefficients). a n 為最高次的係數, 被稱為領導係數 (leading coefficient), 且 a n x n 項被稱為首項 (leading term). a 0 為常數項 (constant term). 特殊多項式函數 ( n 次多項式 ) n = 0: 標準形式 : f(x) = a 0 其為常數函數且圖形為水平直線. n = 1: 標準形式 : f(x) = a 1 x + a 0 其為線性函數且圖形為直線, 斜率為 a 1 且和 y 截距為 a 0. n = : 標準形式 : f(x) = a x + a 1 x + a 0 其為二次函數且圖形為拋物線. 61

64 6 CHAPTER 14. 多項式函數 多項式的零根 ( 根 ) 若 f(x) 是一個多項式且 c 為實數, 以下敘述為等價關係 : c 是 f 的一個零根 (zero). x = c 是方程式 f(x) = 0 的一個解. x c 是 f(x) 的一個因式. c 是 f 圖形的 x 截距. EXAMPLE 14.1 求多項式 f(x) = x 4x 1 的零根, 因式分解 f 可得 f(x) = (x 6)(x+). 因此, 以下敘述為等價關係 : 是 f 的一個零根. x = 是方程式 f(x) = 0 的一個解. x ( ) = x + 是 f(x) 的一個因式. 是 f 圖形的 x 截距. EXAMPLE 14. 求多項式 f(x) = x 3 x 3x 的零根. f(x) = x 3 x 3x = x(x x 3) = x(x 3)(x + 1). 0, 3, 1. 因此根據定義, f 的零點為 多項式的除法若多項式 g(x) 是另一個多項式 f(x) 的因式, 則 f(x) 可被 g(x) 整除 (divisible). 如果一個多項是不能被其他多項式整除, 我們可利用長除法或綜合除法 (synthetic division) ( 如果適用 ) 去尋找商式和餘式. EXAMPLE 14.3 因為 P (x) = x 3 +8 = (x+)(x x+4), P (x) 可被 x+ 和 x x+4 整除. 多項式的除法公式若 f(x) 和 d(x) 皆為多項式, 且 d(x) 0, 則存在唯一一個多項式 q(x) 和 r(x) 使得 f(x) = d(x) q(x) + r(x) 或 f(x) d(x) = q(x) + r(x) d(x).

65 63 多項式 f(x) 和 d(x) 分別稱為被除式 (dividend) 和除式 (divisor). q(x) 為商式 (quotient), 且 r(x) 為餘式 (remainder). 餘式 r(x) 為以下兩者之一 : r(x) = 0 (f(x) 可被 d(x) 整除 ) 或 r(x) 的次數比 d(x) 的次數低. 如果 d(x) 的次數為 1, 則 r(x) 的次數為 0, 亦即餘式為一個常數. EXAMPLE 14.4 求 x 3 7x + 6 除以 x 1. 依照降冪排列 (descending power) 先整理被除式 x 3 7x + 6, 和除式 x 1, 缺項補零和利用長除法技巧. x + x 6. x 1 ) x 3 7x + 6 x 3 + x x 7x x + x 6x + 6 6x 6 商式為 x + x 6 且餘式為 0. 因此 0 x 3 7x + 6 = (x 1) (x + x 6) EXAMPLE 14.5 求 x 4 x 6 除以 x + x 1. or x 3 7x + 6 x 1 依照降冪排列先整理被除式 x 4 x 6, 和除式 x + x 1. 技巧. x 4x + 9. x + x 1 ) x 4 x 6 x 4 4x 3 + x 4x 3 + x 4x 3 + 8x 4x 9x 4x 6 9x 18x + 9 x + 3 商式為 x 4x + 9 且餘式為 x + 3. 因此 x 4 x 6 = (x +x 1) (x 4x+9)+( x+3) or = x + x 6. 缺項補零和利用長除法 x 4 x 6 x + x 1 = x 4x+9+ x + 3 x + x 1.

66 64 CHAPTER 14. 多項式函數 EXAMPLE 14.6 若 f(x) = x 4 + 6x x + 1 和 d(x) = x +. 求多項式 q(x) 和 r(x) 使得 f(x) = d(x) q(x) + r(x). 利用長除法可得 x 3 + x x x + ). x 4 + 6x x + 1 x 4 x 3 x 3 + 6x x 3 4x x x x + 4x x + 1 x + 4 可知 q(x) = x 3 + x x 和 r(x) = 5. 也就是, x 4 + 6x x + 1 = ( x + ) (x 3 + x x ) + 5. 綜合除法當因式為 x c 的形式時, 綜合除法是一個快速的多項式除法. 綜合除法寫成三列 (array), 第一列為被除式 f(x) 的係數 ( 按照降冪排列 ). 第三列的最後一個係數為常數餘數 ; 第三列的其他係數為商式的係數. EXAMPLE 14.7 利用綜合除法求 x 5 3x 4 3x 3 3x + 51x + 36 除以 x 從綜合除法最後一列可得知商式為 x 4 + 5x 3 3x 15x 9 且餘式為 0. 5 EXAMPLE 14.8 利用綜合除法求 3x 5 + 5x 4 4x 3 + 7x + 3 除以 x 從綜合除法最後一列可得知商式為 3x 4 x 3 x + 4x 1 且餘式為 5.

67 65 餘式定理 (Remainder Theorem) 如果將多項式 P (x) 除以 x c, 則餘式為 P (c). EXAMPLE 14.9 令 f(x) = x 3 5x + 7x 9. (a) 求 f(x) 除以 x + 1 的商式和餘式 (b) 利用餘式定理求 f( 1) 且和 (a) 的結果比較餘式. (a) 商式為 x 6x + 13 且餘式為. (b) f( 1) = =. EXAMPLE 利用餘式定理求 3x 5 + 5x 4 4x 3 + 7x + 3 除以 x + 的餘式. 令 f(x) = 3x 5 + 5x 4 4x 3 + 7x + 3. 根據餘式定理可以得知餘式為 r = f( ) = 5. 因式定理 (Factor Theorem) c 是 f(x) 的一個零根若且唯若 x c 是 f(x) 的一個因式. EXAMPLE 利用因式定理驗證 x + 1 為 x 3 3x 的一個因式. 令 f(x) = x 3 3x, 則 f( 1) = = 0. 根據因式定理, 我們可以得到 x ( 1) = x + 1 是 x 3 3x 的一個因式. EXAMPLE 14.1 令 f(x) = x 3 7x + 6. 說明 f() = 0, 並利用結論因式分解 f(x). 首先, 我們可得知 f() = = 0. 根據因式定理, x 是 f(x) 的一個因式. 利用綜合除法或長除法可得 f(x) = x 3 7x + 6 = (x )(x + x 3) = (x )(x 1)(x + 3). EXAMPLE 給定 3 是 f(x) = x 4 7x 3 +13x +3x 18 的一個零根且重根數 (multiplicity) 為. 因式分解 f(x).

68 66 CHAPTER 14. 多項式函數 因為 3 是一個重根數為 的零根, 則存在一個多項式 q(x) 使得 f(x) = (x 3) (x 3) q(x). 利用綜合除法或長除法可得 q(x) = x x. 因此, f(x) = (x 3) (x )(x + 1). EXAMPLE 求一個四次多項式, 其零根為 3, 0, 1, 和 5. 因為 3, 0, 1, 和 5 皆為多項式 f(x) 的零根, 根據因式定理, x ( 3), x 0, x 1, 和 x 5 皆為 f 的因式. 因此, 我們可以選擇 f(x) = (x + 3) x (x 1) (x 5) 因為 f(x) 的最高次數為 4, 此 f 為其中一個解. 事實上, 通解為 f(x) 乘上一個常數倍數. 有理根定理 (Rational Zeros Theorem)( 一次因式檢定法 ) 若多項式 f(x) = a n x n + a n 1 x n a x + a 1 x + a 0, 為整係數多項式 ( 亦即, a n, a n 1,, a, a 1, a 0 皆為整數 ), 則 f 的所有有理根的形式為 p 是常數係數 a 0 的因數且 q 是領導係數 a n 的因數. p q, 其中 EXAMPLE 利用有理根定理列出 3x + 5x 8 有理根的所有可能. 所有有理根的可能如下 : 8 的因數 3 的因數 = ±1, ±, ±4, ±8 ±1, ±3 = ±1, ±, ±4, ±8, ± 1 3 ± 3, ±4 3, ±8 3. 求多項式的有理根根據以下步驟求多項式的有理根.

69 67 Step 1. 列出所有可能的有理根 : 根據有理根定理列出所有可能的有理根. Step. 除法 : 對第一步得出的零根候選者做綜合除法. 若餘式為 0, 我們可以得到一個商式. Step 3. 重複 : 對步驟 得到的商式重複步驟 1 和. 當商式為一個二項式則停止. 利用因式分解或二次方程式公式解去找剩下的有理根. EXAMPLE 求 f(x) = x 4 5x 3 5x + 3x + 10 的所有零根. 根據有理根定理, 我們可以得到有理根的所有可能性 : 10 的因數 = ±1, ±, ±5, ±10. 1 的因數從較小的正數候選者開始, 利用綜合除法可以得知 1 和 不是零根, 但 5 是 f 的一個零根. 因此可得知 f 的因式為 : f(x) = x 4 5x 3 5x + 3x + 10 = (x 5) (x 3 5x ). 下一步因式分解商式 q 1 (x) = x 3 5x. 再一次利用有理根定理獲得有理根的可能性為 ±1 和 ±. 因為我們已經知道 1 和 不是 f 的零根, 所以它也不可能是 q 1 的零根. 檢驗其它的候選者, 1 和, 可以得知 是 q 1 的零根且 f 可以更進一步的因式分解為 : f(x) = x 4 5x 3 5x + 3x + 10 = (x 5) (x 3 5x ) = (x 5)(x + )(x x 1). 利用二次方程式公式解發現 x x 1 的兩個零根且可得 x = 1 ±. 因此, f(x) 的零根為 5,, 和 1 ±. EXERCISES for Chapter 下列何者代表多項式? (a) f(x) = x 4πx (b) f(x) = x π (c) f(x) = 5 + 4x 3 5 x + x 3 (d) f(x) = x + 1 (e) f(x) = 5x (f) f(x) = x 5. Answer: (a), (c), 和 (f).

70 68 CHAPTER 14. 多項式函數. 利用長除法求 f(x) 除以 d(x) 的商式和餘式. (a) f(x) = 3x 5 7x 3 + 5x + 6x 6; d(x) = x 3 x + (b) f(x) = 8x 4 + 6x 3x + 1; d(x) = x x +. Answer: (a) q(x) = 3x 4; r = x + x + (b) q(x) = 4x + x; r = 7x 利用長除法和綜合除法求 f(x) 除以 d(x) 的商式和餘式. (a) f(x) = x 3 7x + 5; d(x) = x 3 (b) f(x) = x 3 + 3x + 4x + 3; d(x) = 3x + 6 (c) f(x) = x 3 + 3x 13x + 5; d(x) = x 3. Answer: (a) q(x) = x x 3; r = 4 (b) q(x) = 1 3 x x + 3 ; r = 1 (c) q(x) = x + 3x ; r = 利用餘式定理求 f(x) 除以 d(x) 的餘式. (a) f(x) = 4x + 1x + 5; d(x) = x + 1 (b) f(x) = x 3 1x + 9x 00; d(x) = x 11 (c) f(x) = x 3 x + 1; d(x) = x 1 4 (d) f(x) = 6x5 + 10x 3 + x + 1; d(x) = x +. Answer: (a) 3 (b) 0 (c) (d) 對給定的 c, 利用因式定理說明 x c 為 f(x) 的一個因式. (a) f(x) = x 3 3x + 3x 1; c = 1 (b) f(x) = x 4 + 3x 3 16x 7x + 63; c = 求以 1, 1, 3, 和 5 為零根的四次多項式之通式. Answer: c(x + 1)(x 1)(x 3)(x 5), 其中 c 是一個常數. 7. 列出以下多項式所有可能的有理根 (a) x 4 5x 3 5x + 3x + 10 (b) x 3 + x 13x + 6. Answer: (a) ±1, ±, ±5, ±10 (b) ±1, ±, ±3, ±6, ± 1, ±3. 8. 求以下多項式的零根. (a) f(x) = x 4 x 3 + 3x (b) g(x) = x 3 x 4x + 8 (c) h(x) = x 3 + x 13x + 6 (d) l(x) = 3x x 3 + 0x 9x 18.

71 69 Answer: (a) 0 ( 重根數 : ), 3 和 1 (b) 和 ( 重根數 : ). (c), 3, 1 (d), 3, 1 ± 因式分解下列多項式. (a) f(x) = x 4 + x 3 x 6x 3 (b) g(x) = x 3 5x x +. Answer: (a) (x + 1) (x 3)(x + 3) (b) (x 1)(x 1 3)(x 1 + 3). 10. 解下列方程式. (a) x 3 19x 30 = 0 (b) 1x 4 + 8x 3 = 49x + 39x 18. Answer: (a) 3,, 5 (b), 1 3, 3.

72 Chapter 15 有理函數 有理函數一個有理函數 (rational function) 的形式為 f(x) = P (x) Q(x) 其中 P 和 Q 皆為多項式且沒有公因式. 有理函數的定義域為使 Q(x) = 0 之外的所有實數. 注意 : 如果 P 和 Q 之間有公因式則函數需化簡為最簡形式. 有理函數的圖形有理函數 f(x) = P (x) Q(x) 的圖形可由對稱性, x- 截距和 y- 截距, 漸近線, 和函數的正負號來分析. 若 Q(x) 沒有零根, 則 f(x) 的定義域為整個實數且對所有實數 x, f(x) 的圖形為平滑曲線. 若 Q(x) 有實數零根 (real zero), 則 f(x) 的定義域為使 Q(x) = 0 以外的所有實數. f(x) 的圖形由在不包含零根的開區間中的平滑曲線 (smooth curves) 所組成. 而且, 在 Q(x) 的每一個零根, 圖形有鉛直漸近線 (vertical asymptote). 鉛直漸近線的定義當 x 從左邊或右邊趨近 (approach) 於 a, 使得 y 趨近於 或 ( 指無窮大 (infinity)), 則直線 x = a 為 y = f(x) 的鉛直漸近線 (vertical asymptote). 總結為以下四個例子. Case 1: 當 x 從左邊趨近於 a, f(x) 為正數且遞增到無窮大 (i.e. x a, f(x) ). 70

73 71 x = a Case : 當 x 從左邊趨近於 a, f(x) 是負數且遞減到負無窮大 (i.e. x a, f(x) ). x = a Case 3: 當 x 從右邊趨近於 a, f(x) 是正數且遞增到無窮大 (i.e. x a +, f(x) ). x = a Case 4: 當 x 從右邊趨近於 a, f(x) 是負數且遞減到負無窮大 (i.e. x a +, f(x) ). x = a 水平漸近線 (Horizontal asymptote) 若當 x 趨近於 或, y 趨近於 b, 則直線 y = b 被稱為函數 y = f(x) 的水平漸近線. 總結為以下兩個例子.

74 7 CHAPTER 15. 有理函數 Case 1: 對 x 為非常大的正數, f(x) 趨近於 b.(i.e. x, f(x) b) y = b Case : 對 x 為非常小的負數, f(x) 趨近於 b.(i.e. x, f(x) b) y = b EXAMPLE 15.1 說明 y = 1 x 下表為當 x 從左右兩邊趨近於, y 的值 : 的鉛直漸近線為 x = 且水平漸近線為 y = 0. x y 從表可以得知當 x 從左邊趨近於, 所有對應的 y 值皆為負數且遞減至負無窮大 ; 當 x 從右邊趨近於, 所有對應的 y 值皆為正數且遞增. 因此, 根據定義, x = 為 y 的鉛直漸近線. 此外, 當 x 遞增或遞減至無窮 ( 即 x 或 x ), y 0. 根據定義, y = 0 是 y 的水平漸近線. 以上觀察可由函數的圖形得到驗證.. 1. x = y =

75 73 求鉛直漸近線和水平漸近線若 f(x) 是一個有理函數 f(x) = P (x) Q(x) = a nx n + + a 1 x + a 0 b m x m + + b 1 x + b 0 其中 a n 0 和 b m 0. 鉛直漸近線 : f 的鉛直漸近線為 x = a, 其中 Q(a) = 0. 水平漸近線 : 若 n < m, f 的水平漸近線為 x- 軸 ( 即 y = 0). 若 n = m, f 的水平漸近線為 y = a n b m. 若 n > m, f 沒有水平漸近線. EXAMPLE 15. 求 y = f(x) = 3x x 1 x 4 鉛直漸近線 : f(x) = 3x x 1 = x 4 直漸近線為直線 x = 和 x =. 水平漸近線 : 因為分子和分母的次數相同分子的領導係數分母的領導係數因此, 水平漸近線為直線 y = 3. 觀察函數的圖形可以驗證. 的鉛直漸近線和水平漸近線. (3x + 1)(x 1) (x + )(x ). 因為 x = ± 使分母為 0, 因此鉛 = 3 1 = 3. 注意 : 漸近線為直線, 因此我們需要寫成直線方程式而不是數字. 例如, 鉛直漸近線為直線 x = 和 x = 而不是 和. 相同地, 水平漸近線為直線 y = 3, 而不是 3. EXAMPLE 15.3 求 y = f(x) = x3 x + 3 x 4 的鉛直漸近線和水平漸近線. 鉛直漸近線 : 因為 x = 4 使分母為 0, 因此鉛直漸近線為直線 x = 4. 水平漸近線 : 因為分子的次數大於分母次數, 所以沒有水平漸近線.

76 74 CHAPTER 15. 有理函數 EXERCISES for Chapter 求以下函數的鉛直漸近線. (a) f(x) = x x 3x + (b) f(x) = x3 x + 5 (c) f(x) = x x x 4 (d) f(x) = 4 x Answer: (a) x = 1, x = (b) 沒有 (c) x = (d) x = 1.. 求下列函數的鉛直漸近線和水平漸近線. (a) f(x) = x x 3x + (b) f(x) = x3 x + 5 (c) f(x) = x x x 4 (d) f(x) = 4 x Answer: (a) y = 0 (b) 沒有 (c) y = 1 (d) y = 求 y = f(x) = x x 的截距和漸近線. Answer: x- 截距為 0, y- 截距為 0, 鉛直漸近線為直線 x =, 水平漸近線為直線 y =. 4. 求 y = f(x) = x x 的截距和漸近線. Answer: x- 截距為 0, y- 截距為 0, 鉛直漸近線為直線 x =, 沒有水平漸近線.

77 Chapter 16 指數函數 指數函數 (Exponential function) 對所有實數 x, 底數為 a 的指數函數定義為 f(x) = a x (a > 0, a 1). ( EXAMPLE 16.1 f 1 (x) = 3 x, g 1 (t) = 3 x + 5, g (t) = 3t + t, 和 h (u) = u π 皆不是指數函數. ) t, 和 h 1 (u) = π u 皆為指數函數的例子 ; f (x) = 數字 e ( 當 n 變為相當大的數字時, ) n 會趨近於 e. e 是一個無理數, 所以沒辦法以小 n 數 (decimal) 表示他精確的值. 它接近的值 ( 小數點後五位 ) 為 e 自然指數函數 (Natural exponential function) 自然指數函數是以 e 為底數的指數函數. f(x) = e x. 指數的性質假設 a, b > 0, a, b 1, 則對所有實數 x 和 y, 會有以下性質 : 1. a x a y = a x+y 75

78 76 CHAPTER 16. 指數函數. (ab) x = a x b x 3. (a x ) y = a xy a x 4. a = y ax y 5. ( a ) x a x = b b x 指數函數的圖形我們總結 f(x) = a x, a > 0, a 1 的圖形有以下兩種例子. Case I: a > 1 f 的定義域為整個實數且值域為 (0, ). 當 x 則 y 0, 當 x 則 y. 直線 y = 0 (x- 軸 ) 是 f 的水平漸近線, f 沒有鉛直漸近線. 沒有 x- 截距, y- 截距為 1. 圖形為單調遞增 (monotonically increasing). Case II: 0 < a < 1 f 的定義域為整個實數且值域為 (0, ). 當 x 則 y, 當 x 則 y 0. 直線 y = 0 (x- 軸 ) 是 f 的水平漸近線, f 沒有鉛直漸近線. 沒有 x- 截距, y- 截距為 1. 圖形為單調遞減 (monotonically decreasing). (a) f(x) = a x for a > 1 (b) f(x) = a x for 0 < a < 1

79 77 EXAMPLE 16. 畫出 f(x) = e x 的圖形且說明如何從 f 的圖形得到以下函數. (a) g(x) = e x 1 (b) h(x) = e x (c) l(x) = e x 1. (a) 和 f 相同圖形但向右移一單位. (b) 和 f 相同圖形但對稱 y- 軸. (c) 和 f 相同圖形但向下移一單位. 複利 (Compound Interest) 假設投資的本金 (principal) 為 P 元, 而年利率 (interest rate) 為 r, 且每年複利共計 n 次, 則在 t 年後可得到的金額為 A(t), 可得到複合利息公式 : A(t) = P ( 1 + r n) nt. EXAMPLE 16.3 若 $4000 的本金且存入年利率為 5.75% 的帳戶, 一季複利一次, 求八年後可得到的本利和共多少? 利用複合利息公式 P = 4000, r = , n = 4, 且 t = 8. 八年後可得本利和 = 4000 ( ) 3 = EXERCISES for Chapter 16.

80 78 CHAPTER 16. 指數函數 1. 說明如何從 y = 5 x 的圖形獲得以下函數的圖形. (a) g(x) = 5 x 1 (b) h(x) = 5 x+ 3 (c) l(x) = 5 x + 1. Answer: (a) 向右移動 1 單位且對 x- 軸做對稱 (b) 向左移動 單位且向下移動 3 單位 (c) 對 y- 軸反射且向上移動 1 單位.. 以下為許多指數函數的圖形. 將 0, 1 以及 a 到 d 從小排到大排列. Answer: 0 < c < d < 1 < a < b. 3. 若以 $1000 為計算一次本金且年利率為 1%, 求 3 年後的本利和, 其中複利每 (a) 半年度 (b) 一季 (c) 每月計算一次. Answer: (a) $ (b) $ (c) $

81 Chapter 17 對數函數 對數函數的定義令 a 為正數且 a 1. 以 a 為底數的對數函數表示為 log a, 定義為 log a x = y a y = x. 亦即, log a x 是以 a 為底數時, 欲得到 x 所需的次方 (exponent). EXAMPLE 17.1 利用對數函數計算以下的數值. (a) log 16 (b) log (c) log 5 5 (d) log 7 1 (e) log 3 ( 3). (a) log 16 = 4 因為 4 = 16. (b) log = 3 因為 10 3 = (c) log 5 5 = 1 因為 5 1/ = 5. (d) log 7 1 = 0 因為 7 0 = 1. (e) log 3 ( 3) 不存在, 因為沒有一個實數 x 使得 3 x = 3. 特殊對數函數 一般對數 : log x := log 10 x (log x = y x = 10 y ) 自然對數 (Natural logarithm): ln x := log e x (ln x = y x = e y ) 79

82 80 CHAPTER 17. 對數函數 前面提過 e.7188 定義為當 n 非常大, (1 + 1/n) n 趨近的數值. 對數的性質令 a, b, m, 和 n 皆為正數且 a, b 1, 則 1. log a m a n = n m. a log a x = x EXAMPLE 17. 利用對數的性質求以下數值. (a) log 3 81 (b) log 10 (c) log 1/ 4 (d) ln 1. (a) log 3 81 = log = 4. (b) log 10 = log / = 1. (c) log 1/ 4 = log 1 = 1 =. (d) ln 1 = ln e 0 = 0. 對數函數的圖形因為指數函數 f(x) = a x, a > 0, a 1 為一對一函數, 它的反函數 f 1 (x) = g(x) = log a x 存在且有下列性質. g 的定義域為 (0, ) 且值域為整個實數. 當 x 0 + 時 y, 當 x 時 y. x- 截距為 1, 沒有 y- 截距. 圖形為遞增且可由 y = a x 的圖形對直線 y = x 做對稱得到.

83 EXAMPLE 17.3 畫出函數 f(x) = ln x 的圖形且說明如何從 f 的圖形得到以下函數的圖形. (a) g(x) = ln(x 1) (b) h(x) = ln ( x) (c) l(x) = ln x 1 (e) m(x) = ln x. (a) 將 f 的圖形向右移動一單位. (b) 將 f 的圖形對 y 軸做反射. (c) 將 f 的圖形向下移動一單位. (d) 將 f 的圖形對 x 軸做反射. 81 EXAMPLE 17.4 下圖為一些對數函數的圖形. 安排 a 到 c, 從最小到最大. 對每一給定的 x, 對比較大的底數會對應到比較小的 y; 因此, 可以得到 a < b < c. EXAMPLE 17.5

84 8 CHAPTER 17. 對數函數 考慮函數 f(x) = log(x 3), 分析函數的圖形並討論 (a) 定義域和值域 (b) x- 截距和 y- 截距. (a) f 的定義域為 {x x 3 > 0} = {x x > 3} = (3, ) 且值域為 R. (b) f 的圖形可以從 y = log x 向右移動三單位得到. y = log x 的 x- 截距為 1, 因次, f 的 x- 截距為 4 且 f 沒有 y- 截距. 對數函數的規律令 a 和 b 皆為正數且 a 1. 令 M 和 N 皆為正實數, 則 1. log a (MN) = log a M + log a N.. log a ( M N ) = log a M log a N. 3. log a ( x b ) = b log a x. EXAMPLE 17.6 計算 : (a) log 4 + log 4 3 (b) log 80 log 5 (c) 1 3 ) (a) log 4 + log 4 3 = log 4 ( 3 ) (b) log 80 log 5 = log ( 80 5 (c) 1 3 log 8 = log ( 8 1/3 ) = log = log 4 64 = log = 3. = log 16 = log 4 = 4. ( ) log 8. EXAMPLE 17.7 合併 log x 3 log (x 1) + 1 log (x + 1) 為一個對數. log x 3 log (x 1) + 1 log (x + 1) = log x log (x 1) 3 + log x + 1 = log x x + 1 (x 1) 3 EXAMPLE 17.8 合併 3 log(x 4 + ) 為一個對數. (x + 1) EXAMPLE 17.9 展開 ln ln (x + 1) ex 3 3 log(x 4 + ) = log 100 log(x 4 + ) 3 = log ( ) = ln(x + 1) ln(ex 3 ) ex 3 爲對數的和. = ln(x + 1) 100 (x 4 + ) 3 ( ) ln e + 3 ln x = ln(x + 1) 1 3 ln x

85 83 換底公式令 a, c 為正數且不等於 1, 則 log a b = log c b log c a = log b log a = ln b ln a. EXAMPLE 用計算機計算以下對數至小數點後第五位. (a) log 8 5 (b) log 9 0. (a) 利用換底公式 a = 8 且 b = 5: (b) 利用換底公式 a = 9 且 b = 0: log 8 5 = log 5 log 8 = ln 5 ln log 9 0 = log 0 log 9 = ln 0 ln EXERCISES for Chapter 計算下列對數的值. (a) log 4 64 (b) log 3 7 (c) log 1 (d) log 7 (e) ln 1 e (f) log 1/ Answer: (a) 3 (b) 6 (c) 0 (d) 3 (e) (f) 3.. 求下列函數的定義域. (a) f(x) = log 4 (8 x) (b) log 6 (x 1) (c) log(10 x) + x. Answer: (a) (, 4) (b) (, 1) or (1, ) (c) [, 10).

86 84 CHAPTER 17. 對數函數 3. 合併下列式子為一對數. (a) 4 ln a 3 ln b ln(c + 1) (b) log 3 x log 3 y 3 (c) 1 5 log x + 7 log(x + 3). Answer: (a) ln a4 3 c + 1 b 3 (b) log 3 x 7y (c) log 10(x + 3) 7 x 展開下列對數為對數的和 3x. (a) log 5 (b) ln e a 3 yz 3 b 8 Answer: (a) 1 log 5(3x ) log 5 y 3 log 5 z (b) + 3 ln a 8 ln b. 5. 用計算機計算下列對數的值至小數點後第五位. (a) log 5 (b) log 1.5 (c) log Answer: (a).3193 (b) (c) 假設以下對數皆有定義, 確認下列敘述是否正確. ( M ) (a) ln = ln M N ln N (b) log(m + 3N) = log M + log 3N (c) log M log N = log M log N (d) log M + 1 = log (M) (e) ( log 4 x) 3 = 3 log4 x ( 1 ) (f) ln = ln M M (g) log(mnp ) = log M + log N + log P Answer: (a) 錯 (b) 錯 (c) 錯 (d) 對 (e) 錯 (f) 對 (g) 對

87 Chapter 18 指數與對數方程式 指數方程式變數為指數的方程式稱為指數方程式. 例如, x = 7 和 x = 53 皆為指數方程式的例子. 解指數方程式的步驟我們總結以下的步驟. Step 1: 將有指數的項移到方程式的一邊. Step : 兩邊取對數且利用對數規則將位於指數的變數往下移. 基底 e 或基底 10 是最常用的對數. Step 3: 解變數. EXAMPLE 18.1 解 x 1 = 7. ) ( ) x 1 = 7 ln ( x 1 = ln 7 (x 1) ln = ln 7 x 1 = ln 7 ln x = 1 + ln 7 ln EXAMPLE 18. 解 e x = 5. ) ( ) e x = 5 e x =.5 ln (e x = ln.5 x = ln.5 x = ln

88 86 CHAPTER 18. 指數與對數方程式 EXAMPLE 18.3 解 4xe x x e x = 0. 4xe x x e x = 0 x(4 x)e x = 0 x(4 x) = 0 ( 因為 e x 0) x = 0 或 x = 4. EXAMPLE 18.4 解 e x e x 6 = 0. e x e x 6 = 0 (e x ) (e x ) 6 = 0 e x = ( 不可能 ) 或 e x = 3 x = ln ( ) ( ) e x + e x 3 = 0 對數方程式變數在對數的方程式稱為對數方程式. 例如, log (x + 3) = 4, ln(y 1) = 7, 和 log 3z + 皆為對數方程式的例子. = 1 解對數函數的步驟我們總結以下的步驟. Step 1: 將有對數的項移至方程式的一邊. 利用對數規則將所有對數項組合成一個對數. Step : 以指數形式重寫方程式, 或將底數放到方程式的每一邊. Step 3: 解方程變數. EXAMPLE 18.5 解 log (x 5) = 4. log (x 5) = 4 (x 5) = 4 x = = 1 x = 1. EXAMPLE 18.6 解 log(4x) = log(4x) = 10 3 log(4x) = 6 log(4x) = 4x = 10 x = 5.

89 87 EXAMPLE 18.7 解 log(x + ) + log(x 1) = 1. ( ) log(x + ) + log(x 1) = 1 log (x + )(x 1) = 1 (x + )(x 1) = 10 1 x + x 1 = 0 (x + 4)(x 3) = 0 x = 4 or x = 3. 當檢查兩個有可能的答案時, 我們發現 x = 4 不是方程式的解, 因為對數在負數上沒有沒有定義但是 x = 3 是一個解. EXERCISES for Chapter 解下列方程式. (a) 3x 4 = 15 (b) x = 6 (c) 5 4 x = 7 3x+1. Answer: (a) x = ln ln 3 ln.64 (b) x = ln 6 ln.5849 (c) x = 4 ln 5 ln 7 ln ln 解方程式. (a) e x 3e x + = 0 (b) x e x + xe x e x = 0. Answer: (a) x = 0 or x = ln (b) x = 1 ± 解方程式. (a) log x = log + log(3x 4) (b) ln(x 1) + ln(x + ) = 1 (c) log 5 (x + 1) log 5 (x 1) = (d) log x + log(x + 3) = 1. Answer: (a) x = or x = 4 (b) x 1.79 (c) x = 13 1 (d) x =.

90 Chapter 19 橢圓和雙曲線 橢圓的定義橢圓是平面上所有點 P 的集合, 使得從 P 到兩個固定點 F 1 和 F 的距離和為常數. 這兩個固定點 F 1 和 F, 稱為橢圓的焦點 (foci (focus) 的複數形式 ). 專有名詞解釋 P 短軸 F 1 F 頂點焦點中心焦點 焦軸頂點 長軸 通過焦點的線稱為橢圓的焦軸 (focal axis). 在焦軸上且到兩焦點等距離的稱為中心點 (center). 在橢圓上穿過焦軸的點稱為頂點 (vertices). 連接兩個頂點的線稱為長軸 (major axis). 88

91 一通過長軸的中心且垂直於長軸的線段, 其兩個端點位於橢圓上, 稱此線段為短軸 (minor axis). 中心為原點的橢圓圖形 ( 標準位置 ) 焦點在 x- 軸 焦點在 y- 軸 方程式 : x a + y b = 1, a > b > 0 頂點 : ( a, 0) 和 (a, 0) 焦點 : ( c, 0) 和 (c, 0), 其中 c = a b 中心點 : (0, 0) 長軸 : 水平, 長度為 a 短軸 : 鉛直, 長度為 b 方程式 : x b + y a = 1, a > b > 0 頂點 : (0, a) 和 (0, a) 焦點 : (0, c) 和 (0, c), 其中 c = a b 中心點 : (0, 0) 長軸 : 鉛直, 長度 a 短軸 : 水平, 長度 b 89 EXAMPLE 19.1 某橢圓方程式為 x 9 + y 4 = 1 求焦點, 頂點, 長軸和短軸的長度, 並且畫出此橢圓圖形. 由於 x 的分母比較大, 所以橢圓具有水平長軸. 與標準形式比較, 我們可以得到 a = 9, b = 4, 和 c = a b = 5. 因此, a = 3, b =, 和 c = 5. 焦點和頂點分別為 (± 5, 0) 及 (±3, 0); 長軸和短軸的長度分別為 6 和 4. 圖形如下所示.

92 90 CHAPTER 19. 橢圓和雙曲線 (a) 焦點在 x- 軸 (b) 焦點在 y- 軸. 1. F 1 ( 5, 0) F ( 5, 0) EXAMPLE 19. 求橢圓 16x + 9y = 144 的焦點和頂點, 並畫出橢圓圖形. 以標準形式重寫原方程 :. x 9 + y 16 = 1. 因為 x 的分母比較小, 橢圓具有鉛直長軸. 與標準形式比較, 我們可以得到 a = 4, b = 3, 和 c = a b = 7, 表示 c = 7. 橢圓的焦點和頂點分別為 (0, ± 7) 和 (0, ±4). 圖形如下所示. EXAMPLE 19.3 若橢圓的頂點為 (±4, 0), 焦點為 (±, 0). 求此橢圓的方程式並繪圖. 由於頂點為 (±4, 0), 可以得知 a = 4, 且長軸為水平線. 已知焦點為 (±, 0) 所以 c =, 所以可得 b = a c = 16 4 = 1. 因此, 橢圓方程式為 橢圓圖形如下表示. x 16 + y 1 = 1.

93 91 雙曲線 (hyperbola) 的定義雙曲線是平面上點的集合, 使得集合上的點到兩個固定點 F 1 與 F 的距離差為一個常數. 這兩個固定點稱為雙曲線的焦點 (foci). 名詞解釋 連接兩個頂點的線稱為雙曲線的貫軸 (transverse axis). 雙曲線由兩個部分組成, 稱為分支 (branches). 以原點為中心點的雙曲線圖形 ( 標準位置 )

94 9 CHAPTER 19. 橢圓和雙曲線 焦點在 x- 軸 方程式 : x a y = 1, a > 0, b > 0 b 頂點 : ( a, 0) 和 (a, 0) 焦點 : ( c, 0) 和 (c, 0), 其中 c = a + b 中心點 : (0, 0) 貫軸 : 水平, 長度 a 焦點在 y- 軸 方程式 : y a x = 1, a > 0, b > 0 b 頂點 : (0, a) 和 (0, a) 焦點 : (0, c) 和 (0, c), 其中 c = a + b 中心點 : (0, 0) 貫軸 : 鉛直, 長度 a (a) 焦點在 x- 軸 (b) 焦點 y- 軸 EXAMPLE 19.4 某雙曲線方程式為 x 16 y 9 = 1

95 93 求焦點, 頂點, 且畫出此雙曲線圖形. 由於 x 項是正的, 雙曲線有水平貫軸且頂點和焦點位在 x- 軸. 由標準形式, 我們可以得到 a = 16, b = 9, 和 c = a + b = 5. 也就是說, a = 4, b = 3, 和 c = 5. 因此, 焦點和頂點分別為 (±5, 0) 和 (±4, 0). 圖形如下所示. EXAMPLE 19.5 求雙曲線 x 9y + 9 = 0 的焦點, 和頂點, 並畫出此雙曲線圖形. 將方程式重寫成標準形式 y x 9 = 1. 因為 y 項是正的, 此雙曲線有鉛直貫軸且它的頂點和焦點位 y- 軸. 與標準式比較, 我們可以得到 a = 1, b = 9, 和 c = a + b = 10. 也就是說, a = 1, b = 3, 和 c = 10. 因此, 焦點和頂點分別為 (0, ± 10) 和 (0, ±1). 圖形如下所示. EXAMPLE 19.6 求雙曲線方程式, 其中頂點 (±3, 0) 和焦點 (±4, 0). 由於頂點位在 x- 軸, 雙曲線有水平貫軸. 方程式為且 b = c a = 7. 因此, 雙曲線的方程式為 x 3 y b = 1. 我們得 a = 3, c = 4, x 9 y 7 = 1.

96 94 CHAPTER 19. 橢圓和雙曲線 EXERCISES for Chapter 求下列橢圓的焦點, 頂點, 長軸和短軸的長度. (a) x 5 + y 9 = 1 (b) 9x + 4y = 36 (c) x 4 + y 16 = 1. Answer: (a) 焦點 (±4, 0); 頂點 (±5, 0); 長軸長度 10; 短軸長度 6 (b) 焦點 (0, ± 5); 頂點 (0, ±3); 長軸長度 6; 短軸長度 4 (c) 焦點 (0, ± 3); 頂點 (0, ±4); 長軸長度 8; 短軸長度 4.. 求滿足下列條件的橢圓方程式. (a) 焦點 (±4, 0); 頂點 (±5, 0) (b) 焦點 (0, ±3); 頂點 (0, ±5) (c) 長軸長度 6, 短軸長度 4, 焦點位置在 x- 軸 (d) 焦點 (±5, 0); 短軸長度 1 Answer: (a) x 5 + y 9 3. 求下列雙曲線的焦點和頂點. = 1 (b) x 16 + y 5 x = 1 (c) 9 + y 4 = 1 (d) x 36 + y 11 = 1. (a) x 4 y 16 = 1 (b) 9x 4y = 36 (c) x y + 4 = 0 (d) x 4y 8 = 0. Answer: (a) 焦點 (± 5, 0); 頂點 (±, 0) (b) 焦點 (± 13, 0); 頂點 (±, 0) (c) 焦點 (0, ± ); 頂點 (0, ±) (d) 焦點 (± 10, 0); 頂點 (±, 0). 4. 求滿足下列條件的雙曲線方程式. (a) 焦點 (±5, 0); 頂點 (±3, 0) (b) 貫軸長度為 1, 焦點 (0, ±1). Answer: (a) x 9 y 16 = 1 (b) 4y 4x 3 = 1.

97 Chapter 0 圓錐曲線 圓錐曲線的定義圓錐曲線 (Conic sections) 是由平面和圓錐 (Cone) 相交而成的曲線. 例如, 如果我們水平切割圓錐, 橫截面是一個圓. 有四個主要可能性 : 圓, 橢圓, 拋物線, 和雙曲線. 二階方程式的分類變量為 x 與 y 的二階方程式圖形 是一個圓錐曲線. 我們將討論以下四種可能 : Case I. 如果沒有 xy 項 ( 即 b = 0) 如果 a = c, 圖形是一個圓. 如果 a c, 則 ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0 如果 ac = 0, 圖形是一個拋物線. 如果 ac > 0, 圖形是一個橢圓. 如果 ac < 0, 圖形是一個雙曲線. Case II. 一般情形 如果 b 4ac = 0, 圖形是一個拋物線. 如果 b 4ac < 0, 圖形是一個橢圓 ( 或一個圓如果 b = 0 和 a = c). 如果 b 4ac > 0, 圖形是一個雙曲線. 注意 : b 4ac 被稱為二階方程式的判別式 (discriminant). 95

98 96 CHAPTER 0. 圓錐曲線 EXAMPLE 0.1 求方程式 3x + 8x + 1y = 16 的圖形. 與標準二階方程式比較, 我們可以得到 a = 3, b = c = 0. 由於 b = 0 和 ac = 0, 因此方程式的圖形為一個拋物線. EXAMPLE 0. 求方程式 3x + 8xy + 1y = 16 的圖形. 與標準二階方程式比較, 我們可以得到 a = 3, b = 8, 且 c = 0. 判別式 b 4ac = 64 > 0, 因此方程式的圖形為一個雙曲線. EXERCISES for Chapter 將以下方程式確認其為圓, 橢圓, 拋物線, 或雙曲線. (a) 3x 3y + 8x + 1y = 16 (b) 3x + 3y + 8x + 1y = 16 (c) 3x + 6xy + 3y + 8x + 1y = 16 (d) 3x + xy + 3y + 8x + 1y = 16 (e) x + 3y + 8x + 4y 50 = 0. Answer: (a) 雙曲線 (b) 圓 (c) 拋物線 (d) 橢圓 (e) 橢圓.

99 Chapter 1 三角函數實數值觀點 單位圓單位圓是 xy- 平面上以 (0,0) 為圓心, 半徑為 1 的圓. 單位圓的方程式為 x + y = 1. 單位圓上的點假設 t 為實數. 可由以下方式定義單位圓上一點 P 與 t 的關係 : t = 0 對應到單位圓上的點 (1, 0). 若 t > 0, 由點 (1, 0) 開始, 以逆時針方向在單位圓上移動 t 個單位的距離, 為 P 點的位置. 若 t < 0, 由點 (1, 0) 開始, 以順時針方向在單位圓上移動 t 個單位的距離, 為 P 點的位置. 注意 : 以此方法得到的點 P (t) = P (x, y) 稱為對應於實數 t 的終點. EXAMPLE 1.1 求 t = π 4 時所對應的終點. 97

100 98 CHAPTER 1. 三角函數實數值觀點 (a) t 大於零 ( 逆時針方向 ) (b) t 小於零 ( 順時針方向 ) 令 P 為 t = π 時所對應的終點. 由以下圖形, P 位於第四象限而且其 x- 座標為正, y- 4 座標為負. 所以終點為 ) P. (, 三角函數的定義令 t 為實數而且令 P (x, y) 為單位圓上對應於實數 t 的終點. 六個 t 的三角函數, 也就是, 正弦 (sine), 餘弦 (cosine), 正切 (tangent), 餘切 (cotangent), 正割 (secant), 與餘割 (cosecant)( 通常分別簡寫為 sin, cos, tan, cot, sec, csc) 由以下方式定義 sin t = y cos t = x tan t = y x csc t = 1 y (y 0) sec t = 1 x (x 0) cot t = x y (x 0) (y 0) EXAMPLE 1. 若實數 t 是使得 P ( 3 5, 4 5) 為單位圓上對應於 t 的終點. 求 t 的六個三角函數.

101 P 點的 x- 座標和 y- 座標分別為數為 : 3 5, 和 4 5. 即, x = 且 y = 4 5. 所以 t 的六個三角函 sin t = y = 4 5 cos t = x = 3 5 tan t = y x = = 4 3 csc t = 1 y = = 5 4 sec t = 1 x = = 5 3 cot t = x y = = 3 4 單位圓上的點所滿足之對稱性令 t 為一實數. 則我們有以下結果 : 1. P (t + π) = P (t). 若 P (t) = (x, y), 則 P ( t) = (x, y) 3. 若 P (t) = (x, y), 則 P (t + π) = ( x, y). EXAMPLE 1.3 求 t = 5π 時的六個三角函數. 因為數為 : 5π = π + π, 所以 P ( 5π ( 5π sin ) ) ( 5π = y = 1 cos ( = P π + π ) ) ( π ) = P ( 5π = x = 0 tan = (0, 1). 所以 t 的六個三角函 ) = y x = 1 0 = 無定義 ( 5π csc ) = 1 y = 1 ( 5π 1 = 1 sec ) = 1 x = 1 ( 0 = 無定義 5π cot ) = x y = 0 1 = 0 三角函數的定義域 函數 sin, cos tan, sec cot, csc 定義域任意實數 π 除了 + nπ, (n 為任意整數 ) 以外的任意實數除了 nπ(n 為任意整數 ) 以外的任意實數

102 100 CHAPTER 1. 三角函數實數值觀點 三角函數的正負號 象限 I 大於零的函數皆是 小於零的函數無 II sin, csc cos, sec, tan, cot III tan, cot sin, csc, cos, sec IV cos, sec sin, csc, tan, cot 奇偶性質 Sine, cosecant, tangent, 以及 cotangent 為奇函數 ; cosine 與 secant 為偶函數. sin( t) = sin t cos( t) = cos t tan( t) = tan t csc( t) = csc t sec( t) = sec t cot( t) = cot t 恆等式一個恆等式為對其所包含的變數都是對的方程式, 只要方程式的兩邊都是有意義的. 三角恆等式 平方關係 sin t + cos t = 1 tan t + 1 = sec t 1 + cot t = csc t

103 101 倒數關係 商數關係 sin t = 1 csc t csc t = 1 sin t tan t = sin t cos t cos t = 1 sec t sec t = 1 cos t cot t = cos t sin t tan t = 1 cot t cot t = 1 tan t EXAMPLE 1.4 若 sin t = 1 而且 t 在第二象限. 求 t 的其他三角函數. 由平方關係, 我們可以得到 ( 1 ) sin t + cos t = 1 + cos t = 1 cos t = cos t = ±. 3. 因為 t 在第二象限, cos t 必須小於零. 所以, cos t = 已知 sin t 與 cos t, 所以我們可由倒數關係與商數關係得到 t 的其他三角函數 : sin t = 1 3 cos t = tan t = sin t cos t = 1 3 csc t = 1 sin t = sec t = 1 cos t = 3 cot t = 1 tan t = 3 EXAMPLE 1.5 若 tan t = 且 t 在第四象限, 求 t 的其他五個三角函數值. 由平方關係, tan t + 1 = sec ( ) + 1 = sec t sec t = 5 sec t = ± 5. 因為 t 在第四象限, sec t 必須大於零. 即, sec t = 5 而且 cos t = 1 t 的其他三角函數可由三角恆等式得到 : sec t = 1. 5

104 10 CHAPTER 1. 三角函數實數值觀點 sin t = tan t cos t = 5 cos t = 1 sec t = 1 5 tan t = csc t = 1 5 sin t = sec t = 5 cot t = 1 tan t = 1 EXAMPLE 1.6 化簡 cos x + tan x sin x. cos x + tan x sin x = cos x + ( sin x ) sin x = cos x + sin x cos x cos x = 1 cos x = sec x EXAMPLE 1.7 化簡 1 cos x. sin x EXAMPLE 1.8 化簡 1 cos x sin x sin x cos x + cos x 1 + sin x. = sin x sin x = sin x sin x cos x + cos x 1 + sin x = sin x(1 + sin x) + cos x cos x(1 + sin x) = sin x + 1 cos(1 + sin x) = 1 cos x = sec x = sin x + sin x + cos x cos x(1 + sin x) 驗證三角恆等式為了驗證三角函數的敘述是恆等式, 我們常利用一連串的代數技巧將敘述由一邊轉換到另一邊, 舉例來說, 我們常用到化簡與代換, 以及三角恆等式. 我們可利用以下步驟做為證明三角恆等式的方法. 第一步 : 由一邊開始通常由敘述中複雜的一邊開始. 試著把他轉換到另外一邊. 第二步 : 利用已知的恆等式利用代數技巧以及三角恆等式將已選取的一邊做轉換.

105 103 第三步 : 轉換為 sine 和 cosine 將三角函數改寫為用 sine 和 cosine 表示常有助於驗證. EXAMPLE 1.9 驗證以下恆等式 : tan x sec x = 右手邊看起來比左手邊複雜, 所以我們選擇由右手邊開始. RHS = = 1 1 sin x sin x. 1 1 sin x 1 (1 + sin x) (1 sin x) = 1 + sin x (1 sin x) (1 + sin x) sin x 1 sin x = sin x ( sin x ) ( 1 ) cos x = = tan x sec x = LHS cos x cos x EXAMPLE 1.10 驗證 cos x 1 sin x = sec x + tan x. LHS = = cos x 1 sin x = cos x 1 sin x 1 + sin x 1 + sin x cos x(1 + sin x) = 1 + sin x cos x cos x = cos x (1 + sin x) 1 sin x = 1 cos x + sin x cos x = sec x + tan x = RHS EXERCISES for Chapter 求由以下 t 值所決定的終點 : (a) 5π 4 (b) 7π 4 (c) π. ( Answer: (a) P, ) ( ) (b) P, (c) P ( 1, 0). (. 若 t 為一實數使得點 P 5 ) 13, 1 為由 t 所決定之單位圓上的終點. 求此 t 的六個三 13 角函數. Answer: sin t = 1 13, cos t = 5 1, tan t = 13 5, cot t = 5, sec t = 13, csc t =

106 104 CHAPTER 1. 三角函數實數值觀點 ( 3. 若 t 為一實數使得點 P 5, 1 ) 5 為由 t 所決定之單位圓上的終點. 求此 t 的六個三角函數. Answer: sin t = 1 5, cos t = 5, tan t = 1, cot t =, sec t = 5, csc t = 若 cos t = 3 5 而且 t 在第四象限. 求此 t 的六個三角函數. Answer: sin t = 4 5, cos t = 3 5, tan t = 4 3, cot t = 3 4, sec t = 5 3, csc t = 化簡以下三角函數的表達式. (a) cos 3 x + sin x cos x (b) 1 + cos x 1 + sec x (c) 1 + sin x cos x + cos x 1 + sin x (d) cos x sec x + tan x. Answer: (a) cos x (b) cos x (c) sec x (d) 1 sin x. 6. 驗證以下的恆等式 : (a) sin x + cos x cot x = csc x (b) cos( x) sin( x) = cos x + sin x (c) sin 4 x cos 4 x = sin x cos x (d) cos x sec x + sin x csc x = 1 (e) 1 + sec x 1 + tan x = 1 + cos x.

107 Chapter 三角函數角度觀點 角度一角度包含了兩條有相同端點的射線, 此端點稱為此角的頂點. 出發的射線稱為始邊, 結束的射線稱為終邊. 如果旋轉方向為逆時針, 稱此角度為正, 如果旋轉方向為逆時針, 稱此角度為負. (a) 正角 (b) 負角 角的測度 (measure) 角的測度是一個角對於頂點需要由始邊往終邊旋轉的量. 有兩種角度的單位 : 角度與弧度. 弧度的定義畫一半徑為 1 的圓, 若某角度 θ 以圓心為其端點, 則此角的弧度 ( 常簡寫為 rad) 為對應於此角度的弧長. 弧度與角度的轉換 105

108 106 CHAPTER. 三角函數角度觀點 (a) θ = 1 (b) θ = π (c) θ = π 角常以角度來度量. 因為繞一圈的角度為 360 o 而且其弧長為 π rad, 所以我們用以下觀念來轉換此兩個單位. 180 o = π rad 1 rad = 若想將角度轉換為弧度, 方法為將角度乘以 ( 180 ) o π π 180. 且 1 o = π 180 rad 若想將弧度轉換為角度, 方法為將弧度乘以 180 π. EXAMPLE.1 轉換 (a) 60 o 為弧度 (b) 3π 4 (a) 60 o = 60 ( π ) rad = π rad 為角度. (b) 3π 4 = 3π 4 ( 180 ) o = 135 o π 圓周的弧長一半徑為 r 的圓, 其圓心角為 θ 弧度的角所對應的弧長 s 為 s = r θ.

109 107 EXAMPLE. 求某個以半徑為 10 的圓上, 圓心角 θ = 30 o 時所對應的弧長. 首先將 θ 由角度換為弧度 : 30 o = π 6 rad. 所以弧長為 s = r θ = 10 π 6 = 5π 3. EXAMPLE.3 在某半徑為 5 公分的圓上, 若一弧度為 θ 的圓心角其對應的弧長為 0 公分. 求 θ 的弧度. 利用 r = 5 而且 s = 0 可得 s = r θ 0 = 5θ θ = 4 rad. 扇形面積在一半徑為 r 的圓內, 圓心角為 θ 弧度的扇形其面積 A 為 A = 1 r θ. 注意 : 因為半徑為 r 的圓其面積為 π r 且圓心角為 θ 弧度的扇形其面積占了圓的所以此扇形面積為 A = θ ) (πr π = 1 r θ θ π 部分. EXAMPLE.4 若某圓半徑為 6 公尺, 求圓心角為 θ = 60 o 的扇形面積. 首先將圓心角 θ 由角度轉換為弧度 : 60 o = π 3 rad. 所以此扇形面積為 A = 1 ( π ) (6) = 6π 公尺 3

110 108 CHAPTER. 三角函數角度觀點 餘角與補角令 α 與 β 為兩角. 若 α + β = π, α 與 β 稱為餘角. 若 α + β = π, α 與 β 稱為補角. EXAMPLE.5 令 α = π 5 且 β = 130 o. 求 α 的餘角和 β 的補角. α 的餘角為 π π 5 = 3π 10. β 的補角為 180 o 130 o = 50 o. 標準位置的角若某角頂點為 (0,0), 始邊為正的 x- 軸, 稱此角位於標準位置. 同界角若兩個位於標準位置的角有相同的終邊, 稱此兩角同界. For example, 在下圖, α 與 β 為同界角. 給定一角, 其有無窮多個同界角. 求一給定角度的同界角, 可由加或減 π ( 若此角以弧度度量 ) 或 360 o ( 若此角以角度度量 ) 得到. EXAMPLE.6 求 α = π 4 的四個同界角, 兩個正的兩個負的. π 因為 α 以弧度表示, 我們增加 π 的任意倍數來得到 α 的兩個正同界角. 所以 4 + π 1 = 9π 4 和為 α 的兩個正同界角. 類似地, 我們減 π 的任意倍數來得到 α 的兩個負 π 17π + π = 4 4

111 109 同界角. 所以 π 4 π = 7π 4 和 π 4π = 15π 4 4 為 α 的兩個負同界角. EXAMPLE.7 求 β = 40 o 的一個正同界角與一個負同界角 因為 β 以角度表示, 我們增加 360 o 的任意倍數來得到 β 的正同界角. 所以 β o = 300 o 是 α 的一個正同界角. 類似地, 我們減 360 o 的任意倍數來得到 β 的負同界角. 所以 β 360 o 1 = 780 o 是 β 的一個負同界角. 以邊長比為定義的三角函數令 θ 為位於標準位置的角而且令點 P (x, y) 為位於終邊的任意點 ( 除了原點以外 ). 若 r = x + y 為點 P 與原點的距離, 則 θ 的六個三角函數, 即, sine, cosine, tangent, cotangent, secant, 和 cosecant( 常分別簡寫為 sin, cos, tan, cot, sec, csc) 由以下方式定義 : sin θ = y r cos θ = x r tan θ = y x (x 0) csc θ = r y (y 0) sec θ = r x (x 0) cot θ = x y (y 0) EXAMPLE.8 令角 θ 位於標準位置而且 P ( 7, 4) 為 θ 終邊上一點. 求 θ 的六個三角函數值. 因為 x = 7, y = 4 而且 r = ( 7) + 4 = 5; 所以 sin θ = y r = 4 5 csc θ = r y = 5 4 銳角, 鈍角與直角的定義令某一角為 θ, 則 cos θ = x r = 7 5 sec θ = r x = 5 7 tan θ = y x = 4 7 cot θ = x y = 7 4 θ 為銳角若 0 < θ < π ( 以弧度表示 ) 或 0 < θ < 90 o ( 以角度表示 ) θ 為鈍角若 π < θ < π ( 以弧度表示 ) 或 90 o < θ < 180 o ( 以角度表示 )

112 110 CHAPTER. 三角函數角度觀點 θ 為直角若 θ = π ( 以弧度表示 ) 或 θ = 90 o ( 以角度表示 ) 直角三角形的邊長比令 θ 為以下直角三角形的銳角, 則 θ 的六個三角函數定義如下 : sin θ = csc θ = 對邊 (opposite) 斜邊 (hypotenuse) 斜邊對邊 cos θ = sec θ = 鄰邊 (adjacent) 斜邊鄰邊 斜邊 tan θ = cot θ = 對邊鄰邊鄰邊對邊 兩個特殊直角三角形的邊長比 : 與 (a) (b) EXAMPLE.9 求 θ = 30 o 的六個三角函數值. 由 直角三角形的邊長比, 我們可以得到對邊 sin θ = = 斜邊 1 鄰邊 cos θ = 斜邊斜邊斜邊 csc θ = = sec θ = 對邊鄰邊 = 3 tan θ = = 3 cot θ = 對邊鄰邊鄰邊對邊 = 1 3 = 3

113 111 EXAMPLE.10 求 θ = 60 o 的六個三角函數值. 由 直角三角形的邊長比, 我們可以得到 sin θ = csc θ = 對邊斜邊斜邊對邊 = 3 cos θ = = 3 sec θ = 鄰邊斜邊斜邊鄰邊 = 1 tan θ = = cot θ = 對邊鄰邊鄰邊對邊 = 3 = 1 3 EXAMPLE.11 已知 cos α = 5 13, 其中 α 為一直角三角形的銳角. 求 α 的六個三角函數值. 因為 cos α 定義為鄰邊與斜邊的邊長比, 我們可以畫一個斜邊長為 13 且 α 的鄰邊長為 5 的直角三角形. 由畢氏定理, 可得對邊長為 1. 所以 sin α = csc α = 對邊斜邊斜邊對邊 = 1 13 = 13 1 cos α = sec α = 鄰邊斜邊斜邊鄰邊 = 5 13 = 13 5 tan α = cot α = 對邊鄰邊鄰邊對邊 = 1 5 = 5 1 參考角令角 θ 位於標準位置. 對應於 θ 的參考角 θ 為由 x- 軸與 θ 之終邊所形成的銳角.

114 11 CHAPTER. 三角函數角度觀點 (a) 第一象限 : θ = θ (b) 第二象限 : θ = π θ = 180 o θ (c) 第三象限 : θ = θ π = θ 180 o (d) 第四象限 : θ = π θ = 360 o θ EXAMPLE.1 分別對 (a) 5π 3 (b) 870o (c) 300 o 求其參考角. (a) 5π 的終邊在第四象限, 所以參考角為 π 5π 3 3 = π 3. (b) 870 o 與 150 o 為同界角, 即他們有相同的始邊與終邊. 所以 870 o 的終邊在第二象限, 其參考角為 180 o 150 o = 30 o. (c) 300 o 與 60 o 為同界角, 有相同的始邊與終邊. 所以 300 o 的終邊在第一象限, 其參考角為 60 o. 利用參考角求任意角的三角函數值我們可由以下步驟求任意角 θ 的六個三角函數值. Step 1 檢查給定的角 θ 位於第幾象限, 決定 θ 的三角函數之正負號 ( 大於零或小於零 ). Step 求對應於 θ 的參考角 θ. Step 3 除了正負號可能不同, θ 的三角函數值與 θ 的三角函數值相同.

115 113 EXAMPLE.13 求 (a) cos 40 o (b) cot 495 o (c) tan 16π 3 ( (d) sin π ). 4 (a) 因為 40 o 的終邊在第三象限, 所以 cos 40 o 小於零. 40 o 的參考角為 40 o 180 o = 60 o. 所以, cos 40 o = cos 60 o = 1. (b) 因為 495 o 與 135 o 為同界角, 而且 135 o 的終邊在第二象限, 所以 cot 135 o 小於零. 135 o 的參考角為 180 o 135 o = 45 o. 所以 cot 495 o = cot 135 o = cot 45 o = 1. 與 16π 4π (c) 因為 3 3 4π 角為 3 π = π 3. 所以 為同界角, 而且 4π 3 的終邊在第三象限, 所以 tan 4π 3 tan 16π 3 = tan 4π 3 = + tan π 3 = 3. (d) 因為 π ( 的終邊在第四象限, 所以 sin π ) 4 4 小於零. π 4 的參考角為 ( sin π ) = sin π 4 4 = 1 =. 大於零. π 4. 所以 4π 3 的參考 EXAMPLE.14 已知 tan θ = 3 而且 θ 位於第三象限, 求 θ 的所有三角函數值. 首先我們畫出位於第三象限的 θ 而且求出他所對應的參考角 θ. 然後我們畫一個直角三角形, 以參考角 θ 為他的其中一個銳角. 因為 tan θ 定義為對邊與鄰邊的邊長比, 所以此直角三角形的對邊長度為 3, 而且 θ 的鄰邊長度為. 由畢氏定理, 斜邊長為 + 3 = 13.

116 114 CHAPTER. 三角函數角度觀點 所以利用 θ 位於第三象限的結果, 可得 sin θ = 3 13 cos θ = 13 tan θ = 3 csc θ = 13 3 sec θ = 13 cot θ = 3 EXERCISES for Chapter. 1. 轉換 (a) 315 o 為弧度 (b) π 6 為角度 (c) 4π 5 為角度 (d) 300 o 為弧度. Answer: (a) 7π 4 rad (b) 30o (c) 144 o (d) 5π 3 rad.. 分別對以下角求兩個同界角 (a) 弧度 (b) 60 o (c) 60 o. Answer: (a) + π and π (b) 300 o and 660 o (c) 40 o and 300 o. 3. 求一個角, 其介於 0 o 與 360 o 之間而且與 190 o 為同界角. Answer: 10 o. 4. 某圓有一個 3 弧度的圓心角, 對應於圓上的弧長為 30 公尺, 求此圓半徑. Answer: 10 公尺. 5. 某扇形位於半徑為 3 公尺的圓內, 中心角為 10 o, 求此扇形之面積 Answer: 3π 公尺. 6. 假設某圓的面積為 7 公尺. 求此圓內對應到中心角為 π 6 弧度的扇形面積. Answer: 6 公尺.

117 假設角 θ 為位於標準位置, 而且 P ( 3, 4) 為 θ 終邊上一點. 求 θ 的六個三角函數. Answer: sin θ = 4 5, cos θ = 3 5, tan θ = 4 3, cot θ = 3 4, sec θ = 5 3, csc θ = 若 α 為一銳角, 求 α 的六個三角函數值, 當 (a) sin α = 3 5 (b) tan α = 3. Answer: (a) sin α = 3 5, cos α = 4 5, tan α = 3 4, cot α = 4 3, sec α = 5 4, csc α = 5 3. (b) sin α = 13, cos α = 3 13, tan α = 3, cot α = 3, sec α = 13 3, csc α = 9. 分別求以下角的參考角 (a) π 3 (b) 10o (c) 300 o (d) 17π 4. Answer: (a) π 3 (b) 30o (c) 60 o (d) π 分別求以下角的三角函數值 (a) θ = 45 o (b) α = 150 o (c) β = 300 o (d) γ = 100 o. Answer: (a) sin θ = 1, cos θ = 1, tan θ = 1, cot θ = 1, sec θ =, csc θ =. (b) sin α = 1 3, cos α =, tan α = 1, cot α = 3, sec α =, csc α = (c) sin β =, cos β = 1, tan β = 3, cot β = 1, sec β =, csc β = (d) sin γ =, cos γ = 1, tan γ = 3, cot γ = 1, sec γ =, csc γ = 分別求滿足給定條件下的三角函數值. (a) sin θ = 3 5 而且 θ 位於第二象限 (b) sec θ = 而且 θ 位於第四象限. Answer: (a) sin θ = 3 5, cos θ = 4 5, tan θ = 3 4, cot θ = 4 3, sec θ = 5 4, csc θ = (b) sin θ =, cos θ = 1, tan θ = 3, cot θ = 1, sec θ =, csc θ =. 3 3

118 Chapter 3 和角, 倍角與半角公式 和角公式令 x 與 y 為任意實數, 則正弦函數和角公式 : sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y sin(x y) = sin x cos y cos x sin y 餘弦函數和角公式 : cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y cos(x y) = cos x cos y + sin x sin y 正切函數和角公式 : tan(x + y) = tan(x y) = 餘角公式令 x 為任意實數, 則 ( π ) sin x tan x + tan y 1 tan x tan y tan x tan y 1 + tan x tan y ( π ) ( π ) = cos x cos x = sin x tan x = cot x ( π ) ( π ) ( π ) csc x = sec x sec x = csc x cot x = tan x 116

119 117 EXAMPLE 3.1 求 cos 75 o 的值 因為 75 o = 45 o + 30 o, 由餘弦函數和角公式可得 cos 75 o = cos(45 o + 30 o ) = cos 45 o cos 30 o sin 45 o sin 30 o 3 = 1 6 = 4 EXAMPLE 3. 求 sin π 1 的值. 因為 π 1 = π 4 π 6, 由正弦函數和角公式可得 sin π 1 = sin ( π 4 π 6 ) = sin π 4 cos π 6 cos π 4 sin π 6 = 3 1 = 6 4 EXAMPLE 3.3 求 cos 85 o cos 5 o + sin 85 o sin 5 o 的值 cos 85 o cos 5 o + sin 85 o sin 5 o = cos(85 o 5 o ) = cos 60 o = 1. EXAMPLE 3.4 驗證以下等式 : 1 + tan x ( π ) 1 tan x = tan 4 + x. ( π ) RHS = tan 4 + x = tan π 4 + tan x 1 tan π 4 tan x = 1 + tan x 1 tan x = LHS ( EXAMPLE 3.5 驗證以下等式 π ) : cos x = sin x. ( π ) LHS = cos x = cos π cos x + sin π sin x = 0 cos x + 1 sin x = sin x

120 118 CHAPTER 3. 和角, 倍角與半角公式 倍角公式令 x 為任意實數, 則 sin x = sin x cos x cos x = cos x sin x = cos x 1 = 1 sin x tan x = tan x 1 tan x EXAMPLE 3.6 若 cos x = 3 而且 x 位於第二象限, 求 (a) sin x (b) cos x (c) tan x. (a) 為了使用倍角公式 sin x = sin x cos x, 我們需要先求出 sin x. ( ) sin x = 1 cos 5 5 x = 1 = 3 9 sin x = ± 3 因為 x 位於第二象限, sin x 大於零. 所以 5 sin x = 3 5 ( sin x = sin x cos x = 3 ) = ( ) (b) cos x = cos 8 x 1 = 1 = = 1 9 (c) 利用 tan θ = sin θ 可得 cos θ tan x = sin x cos x = = 4 5 EXAMPLE 3.7 驗證 cos 3x = 4 cos 3 x 3 cos x. cos 3x = cos(x + x) = cos x cos x sin x sin x = ( cos x 1) cos x ( sin x cos x) sin x = cos 3 x cos x sin x cos x = cos 3 x cos x cos x (1 cos x) = cos 3 x cos x cos x + cos 3 x = 4 cos 3 x 3 cos x

121 119 降次方公式令 x 為任意實數, 則 sin x = 1 cos x cos x = 1 + cos x tan x = 1 cos x 1 + cos x 半角公式令 x 為任意實數, 則 sin x = ± 1 cos x cos x = ± 1 + cos x tan x = ± 1 cos x 1 + cos x 注意 : 正負號 + 或 的選取是由 = ±1 cos x sin x x EXAMPLE 3.8 若 cos x = 1 5 而且 = ± sin x 1 + cos x 位於第幾象限所決定. 3π 給定 x 滿足 < x < π, 所以和 tan x 分別為大於零, 小於零, 和小於零. cos x 1 1 = + 5 = 5 (b) cos x 1 + cos x = = 5 3 = 5 (c) tan x 1 cos x = 1 + cos x = = 3 5 (a) sin x = + 1 cos x 3π < x < π, 求 (a) sin x (b) cos x (c) tan x. 3π 4 < x < π. x 因為 位於第二象限, 由此可得 sin x,

122 10 CHAPTER 3. 和角, 倍角與半角公式 EXAMPLE 3.9 求 sin.5 o 的值 因為.5 o 是 45 o 的一半, 由正弦函數的半角公式以 x = 45 o 代入可得. sin 45o 1 cos 45 = + o 1 = = 4 = EXAMPLE 3.10 已知 sin x = 5 而且 π < x < π, 求 cos x 與 tan x. cos x = 1 sin x = 1 ( 5 ) = 17 5 π < x < π, 所以 由正切函數的半角公式, 我們可以先得到 cos x. 因為 x 得位於第一象限, 所以 cos x 小於零而且 tan x 大於零. 積化和差公式令 x 與 y 為任意實數, 則 sin x cos y = 1 cos x = 1 sin x = tan x = +1 cos x sin x ( ) sin(x + y) + sin(x y) = ( 1 5 ) = = π 4 < x < π. 由此可 cos x sin y = 1 cos x cos y = 1 sin x sin y = 1 ( ) sin(x + y) sin(x y) ( ) cos(x + y) + cos(x y) ( ) cos(x + y) cos(x y)

123 11 EXAMPLE 3.11 將 sin 3x sin 5x 表示為三角函數相加或相減. 由積化和差公式以及餘弦函數是偶函數的性質, 我們可以得到 和差化積公式令 x 與 y 為任意實數, 則 sin 3x sin 5x = 1 ( ) cos(3x + 5x) cos(3x 5x) = 1 ( ) cos 8x cos( x) = 1 cos x 1 cos 8x sin x + sin y = sin x + y cos x y sin x sin y = cos x + y cos x + cos y = cos x + y sin x y cos x y cos x cos y = sin x + y sin x y EXAMPLE 3.1 將 sin 6x sin 10x 表示為三角函數相乘. 由和差化積公式以及正弦函數是奇函數的性質, 我們可以得到 sin 6x sin 10x = cos 6x + 10x sin 6x 10x = cos 8x sin( x) = cos 8x sin x EXERCISES for Chapter 證明以下恆等式. (a) cos(x ( π) = cos x π ) ( π ) (b) sin x = sin + x sin(x y) (c) tan x tan y = cos x cos y (d) cos(x + y) + cos(x y) = cos x cos y.

124 1 CHAPTER 3. 和角, 倍角與半角公式. 求以下每個式子的值. (a) sin 18 o cos 7 o + cos 18 o sin 7 o (b) cos 10 o cos 80 o sin 10 o sin 80 o tan π (c) 18 + tan π 9 1 tan π 18 tan π 9 (d) sin 3 o + cos 3 o Answer: (a) (b) 0 (c) 1 3 (d) 求以下三角函數的值 (a) sin 75 o (b) cos 195 o (c) tan 165 o (d) sin 19π 1 (e) tan 7π 1. Answer: (a) (b) (c) 3 (d) (e) 證明 sin 3x = 3 sin x 4 sin 3 x. 5. 求 sin x, cos x, 與 tan x 的值, 如果 (a) sin x = 5 13 而且 0 < x < π (b) csc x = 4 而且 tan x < 0 (c) sin x = 5 而且 x 位於第三象限 (d) cot x = 3 而且 sin x > 0. Answer: (a) sin x = (b) sin x = (c) sin x = , cos x = 7 8, cos x = 17 5, cos x = , tan x = , tan x = 7 4 1, tan x = 17 (d) sin x = 1 13, cos x = 5, tan x = 求以下三角函數的值 (a) sin 15 o (b) cos 165 o (c) tan 3π 8 (d) sin ( 11π ) Answer: (a) (b) (c) + 1 (d).

125 13 7. 求 sin x, cos x, 與 tan x 的值, 當 (a) sin x = 3 5 而且 sec x > 0 (b) tan x = 1 而且 x 位於第一象限. Answer: (a) sin x 10 = 10, cos x = , tan x = 1 3 (b) sin x =, cos x + =, tan x = 1 8. 已知 sin α = 3 5, 0 < α < 90o, 而且 cos β = 3, tan β < 0, 求 (a) cos(α + β) (b) tan(α + β) (c) (α + β) 位於第幾象限. Answer: (a) (b) (c) 第四象限. 9. 將 cos x cos 5x 表示成三角函數相加或相減. Answer: cos x cos 5x = 1 cos 4x + 1 cos 6x. 10. 將 sin 3x + sin 5x 表示成三角函數相乘. Answer: sin 3x + sin 5x = sin 4x cos x

126 Chapter 4 三角函數的圖形 正弦與餘弦函數的圖形正弦與餘弦函數的圖形以及圖形的性質如下所示. 正弦函數 f(x) = sin x: sin x 的定義域為任意實數, R, 值域為 [ 1, 1]. sin x 是週期函數, 其週期為 π. 也就是說, 對任意實數 x, sin(x + π) = sin x. 振幅定義為函數最大值與最小值之間距離除以二. 正弦函數的振幅為 1. 餘弦函數 f(x) = cos x: cos x 的定義域為任意實數, R, 值域為 [ 1, 1]. cos x 是週期函數, 其週期為 π. 也就是說, 對任意實數 x, cos(x + π) = cos x. 振幅定義為函數最大值與最小值之間距離除以二. 餘弦函數的振幅為 1. 正切函數 f(x) = tan x: 14

127 15 tan x 的定義域為 {x x π + nπ, x 3π + nπ}, 值域為任意實數 R. tan x 是週期函數, 其週期為 π. 也就是說, 對任意實數 x, tan(x + π) = tan x. 餘切函數 f(x) = cot x: cot x 的定義域為 {x x nπ}, 值域為任意實數 R. cot x 是週期函數, 其週期為 π. 也就是說, 對任意實數 x, cot(x + π) = cot x. 正割函數 f(x) = sec x: sec x 的定義域為 {x x π + nπ, x 3π + nπ}, 值域為 (, 1] 與 [1, ). sec x 是週期函數, 其週期為 π. 也就是說, 對任意實數 x, sec(x + π) = sec x.

128 16 CHAPTER 4. 三角函數的圖形 餘割函數 f(x) = csc x: csc x 的定義域為 {x x nπ}, 值域為 (, 1] 與 [1, ). csc x 是週期函數, 其週期為 π. 也就是說, 對任意實數 x, csc(x + π) = csc x. 正弦函數與餘弦函數經過轉換後的圖形 y = sin x 與 y = cos x 的圖形稱為基本正弦與餘弦曲線. 以下函數的圖形由基本正弦與餘弦曲線的變換而來. Case 1: y = a sin x 與 y = a cos x

129 17 當 a > 0, 將 y = sin x 的圖形垂直方向拉長 a 個單位, 可得 y = a sin x 的圖形, 所以其振幅為 a. 當 a < 0, 將 y = a sin x 的圖形對 x- 軸反射, 可以得到 y = a sin x 的圖形, 其振幅為 a. 當 a > 0, 將 y = cos x 的圖形垂直方向拉長 a 個單位, 可得 y = a cos x 的圖形, 所以其振幅為 a. 當 a < 0, 將 y = a cos x 的圖形對 x- 軸反射, 可以得到 y = a cos x 的圖形, 其振幅為 a. Case : y = sin bx 與 y = cos bx (b > 0) 將 y = sin x 的圖形對 x- 軸壓縮 b 個單位, 可得 y = sin bx 的圖形, 所以, 其振幅為 π 1 而且週期為 b. 將 y = cos x 的圖形對 x- 軸壓縮 b 個單位, 可得 y = cos bx 的圖形, 所以, 其振幅為 1 而且週期為 π b. Case 3: y = sin(x c) 與 y = cos(x c) 當 c > 0, 將 y = sin x 的圖形沿水平方向往右平移 c 個單位, 可得 y = sin(x c) 的圖形. 當 c < 0, 將 y = sin x 的圖形沿水平方向往左平移 c 個單位, 可得 y = sin(x c) 的圖形.

130 18 CHAPTER 4. 三角函數的圖形 (a) sin x v.s. 3 sin x (b) cos x v.s. 3 cos x (c) sin x v.s. sin x (d) cos x v.s. cos x 當 c > 0, 將 y = cos x 的圖形沿水平方向往右平移 c 個單位, 可得 y = cos(x c) 的圖形. 當 c < 0, 將 y = sin x 的圖形沿水平方向往左平移 c 個單位, 可得 y = cos(x c) 的圖形. Case 4: y = sin x + k 與 y = cos x + k 當 k > 0, 將 y = sin x 的圖形往上移動 k 個單位, 可得 y = sin x + k 的圖形. 當 k < 0, 將 y = sin x 的圖形往下移動 k 個單位, 可得 y = sin x + k 的圖形. 當 k > 0, 將 y = cos x 的圖形往上移動 k 個單位, 可得 y = cos x + k 的圖形. 當 k < 0, 將 y = cos x 的圖形往下移動 k 個單位, 可得 y = cos x + k 的圖形. EXAMPLE 4.1 解釋如何由 y = sin x 的圖形得到 y = 5 sin x 的圖形. 將 y = sin x 的圖形對 x- 軸反射而且往上移動 5 個單位, 即可得到 y = 5 sin x 的圖形. 一般的正弦與餘弦曲線

131 19 (a) sin x v.s. sin x (b) cos x v.s. cos x (c) sin x v.s. sin x (d) cos x v.s. cos x (a) sin x v.s. sin(x π 4 ) (b) cos x v.s. cos(x π 4 ) (c) sin x v.s. sin(x + π ) (d) cos x v.s. cos(x + π ) 假設 b, c, 與 k 為大於零的實數, 則正弦與餘弦曲線 有以下性質 : 定義域皆為實數. y = a sin(bx c) + k 與 y = a cos(bx c) + k 當 a > 0, 值域為 [ a + k, a + k]; 當 a < 0, 值域為 [a + k, a + k]. 振幅為 a. 週期為 π b.

132 130 CHAPTER 4. 三角函數的圖形 (a) sin x v.s. sin x 1 (b) cos x v.s. cos x + 水平方向位移 ( 常稱為相位移 ) 為 c b. ( EXAMPLE 4. 求 y = 3 sin x π ) + 4 的振幅, 週期, 相位移, 極大值與極小值. 振幅為 3 = 3, 週期為 當 sin ( x π ) π π = π, 相位移為 = π ( 4. x π ) = 1, 極小值為 1. = 1, 極大值為 7; 當 sin ( EXAMPLE 4.3 求 y = 4 cos x π ) 1 的振幅, 週期, 相位移, 極大值與極小值. 3 振幅為 4 = 4, 週期為 ( 當 cos x π ) 3 π π = π, 相位移為 3 = π ( 3. x π ) = 1, 極小值為 5. 3 = 1, 極大值為 3; 當 cos EXERCISES for Chapter 4. ( 1. 分別對以下函數求振幅, 週期, 相位移, 極大值與極小值. (a) y = cos ( ) y = 7 3 sin 4 x π (c) y = 3 4 cos ( x + π 3 Answer: (a) 振幅 = ; 週期 = π 3 ; 相位移 = 3 ; 極大值 = 5; 極小值 = 1 (b) 振幅 = 3; 週期 = π ; 相位移 = π; 極大值 = 10; 極小值 = 4 (c) 振幅 = 3 4 ; 週期 = π; 相位移 = π 3 ; 極大值 = 3 4 ; 極小值 = 3 4 ). ) 3x + 3 (b)

133 Chapter 5 反三角函數以及其圖形 我們知道一個函數 f 的反函數 f 1 將 f 的函數規則對調, 而且只有當 f 為一對一函數時, f 1 才會存在. 因為三角函數為週期函數, 他們不是一對一函數, 所以在三角函數的整個定義域上沒有反函數存在. 我們需要在小心選取的定義域上重新定義每一個三角函數, 使得新定義的三角函數是一對一函數, 則反函數才能存在. 反三角函數的定義 反正弦函數 : y = arcsin x = sin 1 x 反正弦函數或 arcsine 函數是定義域為 [ 1, 1] 而且值域為 [ π, π ] 的函數 sin 1, 其定義為 sin 1 x = y sin y = x (a) y = sin x, π x π (b) y = sin 1 x y = sin 1 x 是介於 [ π, π ] 的數, 使得 sin y = x 131

134 13 CHAPTER 5. 反三角函數以及其圖形 ( ) sin sin 1 x = x, 當 1 x 1 ( ) sin 1 sin x = x, 當 π x π EXAMPLE 5.1 求以下反三角函數的值. (a) sin 1 1 (b) sin (c) sin 1 ( (a) 因為 sin π 6 = 1, 我們可以得到 sin 1 1 = π 6. (b) 因為 arcsine 函數的定義域為 [ 1, 1], 所以 sin 1 5 沒有定義. 3 ( (c) 因為 sin π ) 3 ( = 3, 我們可以得到 3 ) sin 1 = π 3. 反餘弦函數 : y = arccosx = cos 1 x 反餘弦函數或 arccosine function 是定義域為 [ 1, 1] 而且值域為 [0, π] 的函數 cos 1, 其定義為 cos 1 x = y cos y = x 3 ). (a) y = cos x, 0 x π (b) y = cos 1 x y = cos 1 x 是介於 [0, π] 的數, 使得 cos y = x ( ) cos cos 1 x = x, 當 1 x 1

135 133 ( ) cos 1 cos x = x, 當 0 x π EXAMPLE 5. 求以下反三角函數的值. (a) cos 1 1 (b) cos 1 ( (a) 因為 cos π 3 = 1, 我們可以得到 cos 1 1 = π 3. ( (b) 因為 3π ) ( cos = 4, 我們可以得到 cos 1 (c) 因為 cos π = 1, 我們可以得到 cos 1 ( 1) = π. ) = 3π 4. ) (c) cos 1 ( 1). 反正切函數 : y = arctan x = tan 1 x 反正切函數或 arctangent function 是定義域為 R 而且值域為 ( π, π ) 的函數 tan 1, 其定義為 tan 1 x = y tan y = x (a) y = tan x, π < x < π (b) y = tan 1 x y = tan 1 x 是介於 ( π, π ) 的數, 使得 tan y = x ( ) tan tan 1 x = x, 對所有實數 x. ( ) tan 1 tan x = x, 當 π < x < π EXAMPLE 5.3 求以下反三角函數的值. (a) tan 1 3 (b) tan 1 ( 1) (c) tan 1 0. ( (a) 因為 π ) tan = 3, 我們可以得到 tan 1 3 = π 3 3.

136 134 CHAPTER 5. 反三角函數以及其圖形 (b) 因為 tan = 1, 我們可以得到 tan 1 ( 1) = π 4. (c) 因為 tan 0 = 0, 我們可以得到 tan 1 0 = 0. 反餘切函數 : y = arccot x = cot 1 x 反餘切函數或 arccotangent function 是定義域為 R 而且值域為 (0, π) 的函數 cot 1, 其定義為 cot 1 x = y cot y = x 反正割函數 : y = arcsec x = sec 1 x 反正割函數或 arcsecant function 是定義域為 [1, ) 與 (, 1], 值域為 [0, π ) 與 ( π, π] 的函數 sec 1, 其定義為 sec 1 x = y sec y = x 反餘割函數 : y = arccsc x = csc 1 x 反餘割函數或 arccosecant function 是定義域為 [1, ) 與 (, 1], 值域為 [ π, 0) 與 (0, π ] 的函數 csc 1, 其定義為 csc 1 x = y csc y = x EXERCISES for Chapter 5. ( 1. 求以下反三角函數的值. (a) sin 1 1 ) (e) sin 1 4. ( (b) cos 1 1 ) 3 ) (c) tan ( 1 3 (d) cos 1 0 Answer: (a) π 6 (b) π 3 (c) π 6 (d) π (e) 無定義.

137 Chapter 6 三角方程式 求解基本三角方程式為了求解任意的三角函數方程式, 我們常將方程式化簡為具有 f(x) = c 這種形式的基本的角函數方程式, 其中 f 為三角函數, c 為常數. EXAMPLE 6.1 求解 sin x = 1. 因為正弦函數週期為 π, 我們先考慮落在 [0, π) 內的解. 首先, x = sin 1 1 = π 6 因為 sine 在第一與第二象限內大於零, 所以還有一解位於第二象限內, 其參考角為 說 π π 6 = 5π 6. π 6, 也就是 接著我們考慮實數線上其他的解. 因為正弦函數每 π 個單位就會重複其函數值, 此方程式的所有解可由已經找到的解增加 π 的整數倍得到 : 此結果也可以由以下圖形得到驗證. x = π 6 + nπ or x = 5π 6 + nπ, n 為任意整數. 135

138 136 CHAPTER 6. 三角方程式 EXAMPLE 6. 求解 cos x =. 因為餘弦函數週期為 π, 我們先考慮落在 [0, π) 內的解. 首先, ( ) x = cos 1 = 3π 4 因為餘弦函數在第二與第三象限內小於零, 所以還有一解位於第三象限內, 其參考角為 就是說 π + π 4 = 5π 4. π 4, 也 接著我們考慮實數線上其他的解. 因為 cosine 每 π 個單位就會重複其函數值, 此方程式的所有解可由已經找到的解增加 π 的整數倍得到 : 此結果也可以由以下圖形得到驗證. x = 3π 4 + nπ or x = 5π 4 + nπ, n 為任意整數. EXAMPLE 6.3 求解 tan x = 1. 因為正切函數週期為 π, 我們先考慮落在 (0, π) 內的解. 首先, x = tan 1 ( 1) = π 4. 接著我們考慮實數線上其他的解. 因為正切函數每 π 個單位就會重複其函數值, 此方程式的所有解可由已經找到的解增加 π 的整數倍得到 : 此結果也可以由以下圖形得到驗證. x = π 4 + n π, n 為任意整數.

139 137 EXAMPLE 6.4 求解 sin x + 1 = 0. 首先我們將此方程式改寫為基本三角函數方程式 : 我們利用反正弦函數得出落在 [0, π) 內的解, sin x + 1 = 0 sin x = 1 ( x = sin 1 1 ) = 7π 6 π 因為正弦函數在第三與第四象限內小於零, 所以還有一解位於第四象限內, 其參考角為 6, 也就是說 π π 6 = 11π 6. 接著我們考慮實數線上其他的解. 因為正弦函數每 π 個單位就會重複其函數值, 此方程式的所有解可由已經找到的解增加 π 的整數倍得到 : x = 7π 6 此結果也可以由以下圖形得到驗證. + nπ or x = 11π 6 + nπ, n 為任意整數.

140 138 CHAPTER 6. 三角方程式 EXAMPLE 6.5 求解 tan x 3 = 0. 將此方程式改寫為基本三角函數方程式 : tan x 3 = 0 tan x = ± 3 因為正切函數週期為 π, 我們先考慮落在 (0, π) 內的解. 首先, x = tan 1 ( 3) = π 3 and x = tan 1 ( 3) = π 3. 因為正切函數每 π 個單位就會重複其函數值, 此方程式的所有解可由已經找到的解增加 π 的整數倍得到 : x = π 3 + n π or x = π 3 + n π, n 為任意整數. EXAMPLE 6.6 求解 cos x 7 cos x + 3 = 0. 將此方程式改寫為基本三角函數方程式 : cos x 7 cos x + 3 = 0 (cos x 3) ( cos x 1) = 0 cos x = 3 or cos x = 1. 因為餘弦函數的值域為 1 到 1, 第一條方程式無解, 所以我們只需要考慮第二條方程式. 我們先考慮落在 [0, π) 內的解 : ( 1 ) x = cos 1 = π 3 因為餘弦函數在第一與第四象限內大於零, 所以還有一解位於第四象限內, 其參考角為 就是說 π π 3 = 5π 3. 對已經找到的解增加 π 的整數倍可以得到 x = π 3 + nπ or x = 5π 3 + nπ, n 為任意整數. π 3, 也 EXERCISES for Chapter 6.

141 求解 (a) sin x = 3 3 (b) cos x = (c) tan x = 1 (d) cot x = 1. Answer: (a) x = π 3 + nπ 或 x = π 3 + nπ, n 為任意整數 (b) x = 5π 6 + nπ 或 x = 7π 6 + nπ, n 為任意整數 (c) x = π 4 + nπ, n 為任意整數 (d) x = 3π 4 + nπ, n 為任意整數. 求解 (a) sin x + 1 = 0 (b) sec x = 0 (c) cos x 1 = 0. Answer: (a) x = 5π 4 + nπ 或 x = 7π 4 + nπ, n 為任意整數 (b) x = π 4 + nπ 或 x = 3π 4 + nπ, n 為任意整數 (c) x = π 4 + nπ 或 x = 3π 4 + nπ, n 為任意整數 3. 求解 (a) 4 cos x 4 cos x + 1 = 0 (b) cot x 1 = 0 (c) 3 tan 3 x tan x = 0. Answer: (a) x = π 3 + nπ 或 x = 5π 3 + nπ, n 為任意整數 (b) x = π 4 + nπ 或 x = 3π 4 + nπ, n 為任意整數 (c) x = n π, x = π 6 + nπ 或 x = 5π 6 + nπ, n 為任意整數

142 Chapter 7 正弦定理與餘弦定理 解三角形解三角形的意思是求出三角形的三邊 a, b, 與 c, 以及三個對應的角, α, β, 與 γ. EXAMPLE 7.1 考慮直角三角形 ABC, 已知 c = 0, α = 30 o, 且 γ = 求解此三角形. 利用 sin α = a c 與 cos α = b c 可得 a = 0 sin 30 o = 10 而且 b = 0 cos 30 0 = 此外, β = 180 o α γ = 60 o. 140

143 解斜三角形不包含直角的三角形稱為斜三角形. 我們通常利用正弦定理或餘弦定理解斜三角形. 由三角形給定條件的不同, 可以分成以下五種情形 : ASA 或 SAA: 給定兩個角與一邊長度 SSA: 給定兩邊長與一個非介於此兩邊內的夾角 SAS: 給定兩邊長與介於此兩邊內的夾角 SSS: 給定三邊長 141 (a) ASA 或 SAA (b) SSA (c) SAS (d) SSS 注意 : (a) 與 (b) 利用正弦定理求解 ; (c) 與 (d) 利用餘弦定理求解. 正弦定理正弦定理的定義如下. 任何三角形內, 邊的長度正比於對角. 也就是說, 在 ABC, sin α a = sin β b = sin γ c

144 14 CHAPTER 7. 正弦定理與餘弦定理 EXAMPLE 7. 已知三角形 ABC 中 α = 60 o, β = 75 o, 且 c = 340. 求解此三角形 首先我們由已知條件畫出此三角形. 我們可以得到 γ = 180 o α β = 45 o. 利用 α = 60 o, β = 75 o, γ = 45 o, c = 340 以及正弦定理可得 sin α a = sin β b = sin γ c sin 60o a = sin 750 b = sin 45o 340 所以, a = 340 sin 60o sin 45 o 且 b = 340 sin 75o sin 45 o EXAMPLE 7.3 已知三角形 ABC 中 α = 4 o, a = 43, 且 b = 35. 求解此三角形. 首先我們由已知條件畫出此三角形. 由正弦定理以及 α = 4 o, a = 43, 與 b = 35 可得 sin α a = sin β b = sin γ c sin 4o 43 = sin β 35 = sin γ c sin β = 35 sin 4o 因為正弦函數在第一與第二象限內大於零, α 在 0 o 與 180 o 之間有兩種可能的角度使得 sin β 一個是 β = sin 1 (0.331) 19.3 o, 另一角為 180 o 19.3 o = o. 因為 α = 4 o, 因為 α + β = o > 180 o, 所以 β 不可能 = o. 所以 β 19.3 o. 所以 γ = 180 o α β = 180 o 4 o 19.3 o = o. 再次利用正弦定理 : sin 4 o 43 = sin 136.7o c c = 43 sin 136.7o sin 4 o 7.5.

145 143 EXAMPLE 7.4 已知三角形 ABC 中 α = 40 o, a = 85, 且 b = 143. 求解此三角形. 首先我們由已知條件畫出此三角形. 得 sin α a = sin β b 143 sin 40o 所以 sin β = 由正弦定理以及 α = 40 o, a = 85, 與 b = 143 可 = sin γ c sin 40o 85 = sin β 143 = sin γ c 因為正弦函數的值域為 [ 1, 1] 而且 不在值域內, 所以 β 不存在, 因此無滿足給定條件的三角形. EXAMPLE 7.5 已知三角形 ABC 中 a = 30, c = 5, 且 γ = 50 o. 求解此三角形. 由正弦定理以及 a = 30, c = 5, 與 γ = 50 o 可得 sin α 30 = sin β b = sin 50o 5 sin α = 30 sin 50o α 在 0 o 與 180 o 之間有兩種可能的角度使得 sin α 一個角為 α = sin 1 (0.919) 66.8 o 另一角為 180 o 66.8 o = 113. o. 所以需要分兩種情形討論. 若 α = 66.8 o, 則 β = 180 o α γ = 63. o 且 b = 5 sin 63.o sin 50 o 9.1. 若 α = 113. o, 則 β = 180 o α γ = 16.8 o 且 b = 以下為兩種可能的三角形. 5 sin 16.8o sin 50 o 9.4. (a) Case I: α 66.8 o (b) Case II: α 113. o 餘弦定理