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修华
6 years ago
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1 方程式的公式解 ( 根式解 ) 高雄中學數學科蔡哲淵根號的意義定理 : 設 a 為一正數,n 為自然數, 則方程式 x n = a恰有一個正實根此正實根稱為 a 之正 n 次方根, 以符號 n a 表示之特別地, 當 n = 時, 以 a 表示 a 之正次方根方程式的根式解方程式的解用係數的加減乘除或開根號來表示, 稱為方程式的根式解一次方程式 ax+ = 0, a 0 解為 x = a 二次方程式 ax x c + + = 0, a 0 遠在公元前 1700 年, 巴比倫時期的泥板就有類似二次方程式公式解的記載, 只是沒有用現代的形式希臘人重視幾何, 認為負數是不真實的, 即負數沒有幾何意義, 導致其解二次方程式時, 分 ax = x+ c ax x c ac + = (,, > 0) ax + c = x 三種情形來討論這想法亦嚴重的影響希臘在代數學上的發展印度人遠在西元 68 年就已認同負數的存在, 代數學在印度有系統的發展起來, 後經阿拉伯人的整理與潤飾, 傳到西方世界代數學的英文 algera 便是來自 1

2 阿拉伯文的 al-jar (al 為冠詞,jar 為恢復還原的意思 ) 現在書中所看到的二次方程式公式解的形式, 就是在回教帝國時代首度出現的解二次方程式 ax x c + + = 0, a 0 ax x c x + + = 0 + x+ ( ) = c + ( ) a a a a ac ( x + ) = a a ac x + =± a a ± ac x =. a 其中 D = ac 稱為二次方程式的判別式當 D > 0 時, 方程式有相異二實根 ; D = 0 時, 方程式有相同二實根 ; D < 0時, 方程式無實根 ( 有共軛虛根 ) 練習 : (1) x 5x = 0 () x x = 0 () x x+ 5= 0 () 6x 1x+ 6 = 0

3 三次方程式四次方程式 ax x cx d = 0, a 0 ax x cx dx e = 0, a 0 義大利人帕西歐里 (Pacioli, ) 於 19 年出版算數摘要一書, 特別強調解一次及二次方程式但其對三次方程式無法可解, 並相信不可能去解尋求三次方程式之解的故事便開始展開這問題的突破由波隆那大學的德費洛 (del Ferro, ) 開始, 德費洛解了所謂不完全的三次方程式, 也就是 ax cx d + + = 0 的形式, 並把解法當成秘密, 於臨終前傳給他的學生費歐爾 (Fior, 1506?) 費歐爾以這解法當武器, 向當時著名學者方特那 (Fontana, , 綽號大舌頭 ) 挑戰, 提出了 0 個不完全的三次方程式的問題結果費歐爾挑戰失敗, 方特那成功地解出了不完全的三次方程式接著故事主角卡當 (Cardano, ) 力促方特那透露他的方法, 並答應守密 ( 西元 159) 西元 15 年, 卡當與其學生費拉利 (Ferrari, ) 察看了德費洛的論文, 發現德費洛早已解出了不完全的三次方程式, 所以在 155 年, 不顧當初的誓言, 在他的數學大作大法 (Ars Magna, 原文意為偉大的技藝 ) 中, 將不完全的三次方程式的解法整理發表這便是一般所稱的卡當公式在此同時, 費拉利成功發現了求解四次方程式的技巧, 但它視能否將四次簡化至相關的三次方程式而定解不完全的三次方程式 x + px+ q = 0 令 x = u+ v x = u + v + uv( u+ v) x = u + v + uv( x) x uvx u + v = ( ) 0 比較原方程式, 可得 uv = p ( u + v ) = q p uv = 7 + = u v q

4 u, u v v 是二次方程式 t p + qt = 0 的二根 7 p q+ q + 7 q q p = = + +, 7 p q q + 7 q q p = = + 7 u q q p 7 = + + 或 q q p + + ω 或 7 q q p ω v q q p 7 = + 或 q q p + ω 或 7 q q p + 7 ω 又因為 uv = p, 所以方程式 x + px+ q = 0 的根 x = u+ v為 q q p q q p 或 7 7 q q p q q p ω + + ω 或 1 ω + = 是 x + x+ 1= 0的根 q q p q q p + + ω + + ω 7 7 解三次方程式 ax x cx d = 0, a 0 令 x = a a + + c + d = a a a ( ) ( ) ( ) 0 c a c d + ( ) ( ) 0 a + + 7a a = 為一不完全的三次方程式, 利用上面的方法, 可解得三根 1,, 所以, 三次方程式 = 0 的三根為 1,, a a a ax x cx d

5 解不完全的四次方程式 x + px + qx+ r = 0 x px qx r = 0 x = px qx r 兩邊同加 x + x + x + = px qx r + x + ( x + ) = ( px ) qx+ r 為一完全平方式判別式 D = 0, 即 ( q) ( p)( r) = 0, 整理得 p r+ ( pr q ) = 0 為一三次方程式, 利用上面方法可解得三根 1,, 因此 ( x + ) = ( px ) qx+ r q ( x + ) = ( p)( x ) ( p) q ( x + ) =± ( p) x ( p) 分別將 1,, = 代入, 可得 x 的二次方程式, 利用二次方程式之公式解, 解得之 x, 即為 x + px + qx+ r = 0 的解解四次方程式 ax x cx dx e = 0, a 0 令 x = a a + + c + d + e = a a a a ( ) ( ) ( ) ( ) 0 c d c a + ( c ) ( d ) ( e ) 0 8a + a + 8a + a + 16a 56a = 為一不完全的四次方程式, 利用上面的方法, 可解得三根 1,,, 所以, 四次方程式 ax x cx dx e = 0的四根為 1,,, a a a a 5

6 練習 : (1) x 9x 8= 0 () x + 6x 0 = 0 () x 0x + 16x 50 = 0 11 () x 6x + 15x = 0 五次或五次以上的方程式三次及四次方程式問題解決後, 大家注意的焦點自然便落在五次方程式了但兩個世紀過去了, 問題還是未解決, 人們不禁懷疑 : 五次方程式的根式解根本就不存在這懷疑直到 186 年, 才由挪威數學家阿貝爾 (Ael, ) 完全地證明出來但並不是所有的五次或五次以上方程式均無根式解, 因此問題又轉移到了怎樣的方程式才有根式解這問題沒有困擾人們多久在 181 年, 法國數學家伽羅瓦 (Galois, ) 就提出了方程式有根式解的充分必要條件 (*) 至此, 方程式的根式解問題也就此劃下句點了! 註 : 定理 : 令方程式 f( x ) = 0的係數都在體 K 之內,G 是方程式 f( x ) = 0的 Galois 群則 f( x ) = 0有根式解的充分必要條件是, 可以找到置換群 G = G0, G1, G, L, Gn, 其中 G i 是 Gi 1 的正則子群,[ Gi 1 : Gi] 是質數, 且 G n 只含有一個排列 6

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