摘要 目標 : 記錄自己教學參考用的基本重點與補充重點, 還有課外知識. 目前的目標讀者 : 敝人 在下 小弟 不才 我自己 XD, 囧. 內容很少, 而且很不完整, 偶爾穿插出現少數的題目, 目前內容尚在慢慢增加中. L A TEX 語法練習中, 所以排版不甚好看, 請見諒. :p

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1 瑋岳的數學筆記 編著 : 陳瑋岳 最後編譯時間 : August 8, 010

2 摘要 目標 : 記錄自己教學參考用的基本重點與補充重點, 還有課外知識. 目前的目標讀者 : 敝人 在下 小弟 不才 我自己 XD, 囧. 內容很少, 而且很不完整, 偶爾穿插出現少數的題目, 目前內容尚在慢慢增加中. L A TEX 語法練習中, 所以排版不甚好看, 請見諒. :p

3 目錄 1 預備知識 4 邏輯與集合 5.1 集合 邏輯 函數 數與坐標系 整數 在課堂之外 有理數與實數 平面坐標與直線方程式 複數與複數平面 數列與級數 等差數列與等比數列, 等差級數與等比級數 無窮等比級數 數學歸納法與遞迴關係 多項式 多項式的基本概念 在課堂之外 餘式定理與因式定理 最高公因式與最低公倍式 多項函數 多項方程式 多項不等式 指數與對數函數 指數 指數函數及其圖形 對數 對數函數及其圖形 查表法與內插法 課堂之外 三角函數 銳角三角函數 三角函數的基本關係 簡易測量與三角函數值表 廣義角的三角函數

4 7.5 正弦定理與餘弦定理 在課堂之外 基本三角測量 三角函數的圖形 和角公式 倍角公式與半角公式 和差化積 積化和差 在課堂之外 正弦與餘弦函數的疊合 反三角函數 複數的極式 在課堂之外 平面向量 有向線段與向量 向量的基本應用 在課堂之外 平面向量的坐標表示法 平面向量的內積 空間向量與空間幾何 空間概念 空間坐標系 空間向量的坐標表示法 空間中的平面 空間中的直線 一次方程組 ( 與行列式 ) 圓與球面 圓的方程式 圓與直線的關係 球面方程式 球面與平面的關係 圓錐曲線 圓錐截痕 拋物線 拋物線考古題 橢圓 雙曲線 圓錐曲線的切線與光學性質 圓錐曲線的切線 圓錐曲線的光學性質 排列組合 加法原理與乘法原理 排列 組合 二項式定理 機率與統計一 140

5 14 機率與統計二 坐標的旋轉與平移 平移 旋轉 二元二次方程式的平移與旋轉 矩陣 不等式 絕對不等式 條件不等式 線性規劃 微積分 線性代數 其他 155 3

6 第 1 章預備知識 要點 1.1 ( 數學名詞 ) 常見數學符號 : 所有 任意 或 且 包含於 包含 屬於 交集 聯集 存在! 存在且唯一, s.t. (such that) 使得 蘊含 imply 連加, 讀作 sigma 連乘, 讀作 pi 若且唯若若且唯若 當且僅當 充分且必要條件, 反之亦然 ( vise versa), 這些皆為同義詞. 要點 1. ( 乘法公式 ) (x + y + z) = x + y + z + (x y + yz + zx), (a 1 + a + + a n ) = (a1 + a + + a n) + a i a j 1 i<j n, x 3 + y 3 = (x + y) 3 3x y(x + y) = (x + y)(x x y + y ), x 3 y 3 = (x y) 3 3x y(x y) = (x y)(x + x y + y ), x 3 + y 3 + z 3 3x yz = (x + y + z)(x + y + z x y yz zx). 4

7 第 章邏輯與集合 待補上 : 文氏圖 合成函數. 集合.1 要點.1 ( 集合與元素 ) 集合 : 以 {...} 表示, 中間圍住特定物件, 在大括弧內的物件稱之為 元素. 集合通常以大寫字母表示, 元素通常以小寫字母表示, 並以 a S 表示 a 為集合 S 內的元素, 以 a S 表示 a 不為集合 S 內的元素, 集合內的元素不考慮排列順序及重複次數. 集合的表示法有 : 列舉法 描述法. 常用的集合 : N: 所有正整數所成的集合. Z: 所有整數所成的集合. Q: 所有有理數所成的集合. R: 所有實數所成的集合. C: 所有複數所成的集合. 5

8 要點. ( 區間 ) 設 a, b R, a b, 則定義 開區間 : 1. (a, b) = {x R a < x < b}. (, b) = {x R x < b}, 3. (a, ) = {x R a < x}. 閉區間 : [a, b] = {x R a x b}. 半開半閉區間 : 1. (a, b] = {x R a < x b},. [a, b) = {x R a x < b}, 3. (, b] = {x R x b}, 4. [a, ) = {x R a x}. 要點.3 ( 子集合 ) 子集 : 設 A, B 為兩集合, 且 A 中的任一元素都屬於 B, 則稱 A 為 B 的子集, 記作 A B 或 B A, 讀作 A 包含於 B 或 B 包含 A. 若存在有至少一元素 a A, 但 a B, 則 A 不是 B 的子集, 記作 A / B. 集合的相等 : 設 A, B 兩集合的元素完全相同 ( 不考慮元素的排列順序及重複次數 ), 則稱 A, B 為相等的集合, 記作 A = B. 此等價於 A B 且 B A. 空集合 : 不含任何元素的集合稱為空集合, 記作 ϕ 或 { }. 空集合為任何集合的子集合. 冪集合 : 集合 A 的所有子集所成集合稱為 A 的冪集合, 以 A 表之. 真子集 : 設 A, B 為兩集合,A B, 若存在有一元素 b B 且 b A, 則稱 A 為 B 的真子集, 記作 A B. 顯然子集 : 對任意集合 A, 顯然有 A A 且 ϕ A, 故 ϕ 與 A 稱為集合 A 的顯然子集. 6

9 要點.4 ( 集合的運算 ) 交集 :A B = {x x A x B}. 聯集 :A B = {x x A x B}. 宇集 : 所討論對象的全體所成的集合, 通常以 U 表示. 補集 ( 餘集 ):A = A = A c = {x U x A}. 差集 :A B = {x x A x B} = A B. 元素個數 : 設 A 為集合, 則以 n(a) 或是 A 表示 A 集合內元素的個數. 常用性質 : 分配律 : A (B C) = (A B) (A C) 且 A (B C) = (A B) (A C). 迪摩根律 : (A B) = A B 且 (A B) = A B. 排容原理 : n(a B) = n(a) + n(b) n(a B). n(a B) = n(a) n(a B). n( A ) = n(a). Note: 可以使用文氏圖理解之. 要點.5 ( 高斯符號 ) 設 x R, [x] 表示不超過 x 的最大整數值, 稱為高斯符號. x 1 < [x] x < [x + 1] 設 n, m N, 則在 1 至 n 的正整數中, m 的倍數有 [ n m ] 個. 練習.1 (91 年北一女數學科競試 ) 設 [x] 表示不大於 x 的最大整數值 ( 高斯符號 ). 對任意正整數 n, 定義 S n = [ n 1 ]+[n ]+ +[n n ], 1. 試求 S 00 S 001 之值.. 證明 S N N 1. 解答 : 1. 因為 00 = , 所以 00 的正因數有 (1 + 1) (1 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 16 個. 若 k 為 00 的正因數, 則 [ 001 k ] 恰多 k 是整數, 故 [ 001 k ] = [00 1 k k ] = [00 k ] 1, 亦即 [ 00 k ] 比 若 1 < k < 00 且 k 不為 00 的正因數, 則存在整數 q, r 使得 00 = qk + r, 其中 0 < r < k 7

10 0 r 1 < k 1, 所以 001 = qk + (r 1), 故 [ 00 k ] = q = [001 k ], 亦即 [ 00 k ] 與 [ 001 k ] 相等. 由以上兩點, 可得 S 00 S 001 = 16.. 對任意正整數 n, 若 n, 則 n 至少有兩個正因數 1 與 n, 所以同上小題的討論, 可得 S n S n 1. 因此 S N = (S N S N 1 ) + (S N 1 S N ) + + (S S 1 ) + S 1 N 1. 邏輯. 要點.6 ( 命題 ) 敘述 : 可以判定對錯的語句. 命題 : 由兩個可以判斷真 ( 正確 ) 或偽 ( 錯誤 ) 的敘述所組成的複合敘述就稱為命題, 我們常見的命題是以 若 P, 則 Q 的形式寫出 ( 稱為蘊涵式命題 ), 其中 P, Q 為兩敘述, 記作 P Q, 且稱 P 為假設 ( 前提 ), Q 為結論. 若命題 P Q 為真, 則用符號 P Q 表示, 讀作 P 蘊涵 Q. 判斷命題真偽的方法 : 舉反例 ( 命題為偽 ) 直接證法 ( 命題為真 ) 反證法 ( 命題為真 ). 要點.7 ( 真值表 ) p q p q p q p q q p p q T T T T T T T T F F T F F F F T F T T T T F F F F T T T Note: p q, q p 和 p q 三者皆等價. 要點.8 ( 命題 ) 給定一命題 P Q, 可演生出以下三命題 : 逆命題 : 即命題 Q P. 轉命題 否命題 : 即命題 P Q. 逆轉命題 否逆命題 對偶命題 : 即命題 Q P. 等價命題 : 具有相同真偽值的命題. 任何命題與其否逆命題互為等價命題, 記作 P Q Q P. 8

11 要點.9 ( 命題的結合 ) 合取 : P Q, 讀作 P 且 Q, 當 P, Q 兩命題皆為真時, 合取命題才為真, 其餘為偽. 析取 : P Q, 讀作 P 或 Q, 當 P, Q 兩命題至少有一為真時, 折取命題即為真, 其餘為偽. 迪摩根律 : (P Q) ( P) ( Q) 且 (P Q) ( P) ( Q) 要點.10 設 P Q, 則稱 P 為 Q 的充分條件, 稱 Q 為 P 的必要條件. 設 P Q, 則稱 P, Q 互為對方的充要條件. 讀作 若且唯若 P 則 Q. 函數.3 要點.11 ( 函數的定義 ) f X Y 為函數, 若且唯若, 對任意 x X 恰 ( 存在且唯一 ) 有一個 y Y, 使得 f x y, 亦可表為 f (x) = y. 此集合 X 稱為函數 f 的定義域 (domain), 集合 Y 稱為函數 f 的對應域 (co-domain). 定義集合 R( f ) = {y Y x Xs.t. f (x) = y} = f (X), 稱 R( f ) 為 f 的值域 (range); 對任意集合 S X, 定義 f (S) = {y Y x Ss.t. f (x) = y}, 稱 f (S) 為 S 集合經函數映射之後的像 (image); 對任意集合 T Y, 定義 f 1 (T) = {x X f (x) T}, 稱 f 1 (T) 為 T 集合關於函數映射的前像 (pre-image). 函數是一種介於集合元素與集合元素之間的對應關係. 練習. 已知函數 f N N 且 f () =, f (mn) = f (m) f (n), f (m) > f (n) m > n, 試求 f (00) =? ( 解題提示 : 可以證明 f (k) = k k N) 要點.1 ( 單調函數 ) 設 f 是定義在實數系的子集合 (a, b) 區間上的實函數, 若對於 (a, b) 區間上的任意實數 x 1, x 恆有 x 1 < x f (x 1 ) f (x ), 則稱 f (x) 為遞增函數. x 1 < x f (x 1 ) f (x ), 則稱 f (x) 為遞減函數. x 1 < x f (x 1 ) < f (x ), 則稱 f (x) 為嚴格遞增函數. x 1 < x f (x 1 ) > f (x ), 則稱 f (x) 為嚴格遞減函數. Note: 遞增 遞減 嚴格遞增或嚴格遞減的函數, 皆稱為單調函數. 9

12 要點.13 ( 奇函數與偶函數 ) 設 f 是定義在實數系的子集合上的函數, 1. 若函數 f 滿足 f ( x) = f (x), 則稱 f 為奇函數. 若 f 為奇函數, 則 y = f (x) 的圖形會對稱於原點.. 若函數 f 滿足 f ( x) = f (x), 則稱 f 為偶函數. 若 f 為偶函數, 則 y = f (x) 的圖形會對稱於 y 軸. Note: 奇函數的典型例子 : f (x) = x 3. 偶函數的典型例子 : f (x) = x. 要點.14 ( 函數圖形的凹向性 ) 設 a, b R, a < b, f R R, y = f (x), 且 f 為連續函數, 則下列為互為等價條件, 1. y = f (x) 函數圖形在 (a, b) 區間開口凹項上 ;. 對任意 c, d, R 且 a < c d < b, 任意 m, n R + 皆滿足 f ( ( 中點函數值 < 中線長 ;) nc + md n f (c) + m f (d) ) < m + n m + n 3. 對任意 c, d R 且 a < c d < b, 滿足 f ( c + d f (c) + f (d) ) < ( 中點函數值 < 中線長 ;) 4. 對任意 c, d, R 且 a < c d < b, 滿足 f (λc + (1 λ)d) < λ f (c) + (1 λ) f (d), 0 < λ < 1; 5. f (x) > 0, x (a, b). 將上列式子的不等號方向改變, 則為凹向下的定義. 10

13 第 3 章數與坐標系 整數 3.1 待補上 : 中國剩餘定理, 最大公因數表現定理及通解之證明, 尤拉法 秦九韶求一術. complete residue system, reduced residue system, 連分數 (continued fraction), quadratic residue.. 整數對於加 減 乘法皆有封閉性, 對於加 乘法有交換律與結合律, 0 是加法單位元素, 1 是乘法單位元素. 要點 3.1 ( 整數的離散性 ) 若 x, y Z 且 x y, 則 x y 1. 要點 3. ( 除法原理 ) 若 a, b, q, r Z, (b 0), 且 a = bq + r, 其中 0 r < b, 則稱 a 為被除數, 稱 b 為除數, 稱 q 為商數, 稱 r 為餘數. 所有整數被非零整數 b 除, 恰有 b 種餘數, 且此餘數為 {0, 1,,..., b 1} 當中之一元素. 整數被 除, 恰為奇數 (k + 1) 或是偶數 (k) 之一種. 練習 3.1 Note: 被除數 = 除數 商數 + 餘數. 求 100 的個位數字為何? 答 : 6. 要點 3.3 ( 因數與倍數 ) 設 a, b Z, (b 0), 若存在 q Z 使得 a = bq, 則稱 a 被 b 整除, 且 b 為 a 之因數, 且 a 為 b 之 倍數, 記作 b a. 1 為任意整數之因數,0 為任意整數之倍數. 正負號改變之後, 因 倍數關係不會改變. 11

14 要點 3.4 ( 因數的性質 ) 設 a, b, c, m, n Z, 則 1 a, a 0, a a. a b, b c a c. a b, a c a mb ± nc. ( mb ± nc 稱做 b 與 c 的線性組合.) 若 a bc 且 (a, b) = 1, 則 a c. 若 p 為質數, 則 p ab p a 或 p b.( 延伸 : p 為質數, 則 p a p a.) 要點 3.5 ( 倍數的判別 ) 的倍數 : 個位數字為偶數. n 的倍數 : 末尾 n 位數為 n 的倍數. 5 的倍數 : 個位數字為 0 或 5. 5 n 的倍數 : 尾 n 位數為 5 n 的倍數. 3 的倍數 : 所有數字和為 3 的倍數. 9 的倍數 : 所有數字和為 9 的倍數. 11 的倍數 : 奇數位數字和 偶數位數字和 為 11 的倍數. 7, 11, 13 的倍數 : 末位起, 每三位為一節, 奇數節和 偶數節和 為 7, 11, 13 的倍數. ( 因為 = 1001.) k 個連續整數乘積 : 必為 k! 之倍數.( 其中 k! = 1 3 k.) 要點 3.6 ( 同餘的定義 ) 設 a, b, n 皆為整數, 且 n 0, 若 a, b 除以 n 的餘數相同, 則稱 a, b 被 n 除之後會 同餘, 記作 a b (mod n). ( 英文讀作 : a is congruent to b modulo n) Note: a b (mod n) n (a b) 1

15 要點 3.7 ( 同餘的性質 ) 若 a, b, c, d, n, p Z, m N, n 0 且 a b (mod n), 且 c d (mod n), 則 a(± )c b(± )d (mod n) a m b m (mod n) 若 p n, 則 a b (mod p). 考題 3.1 (63 年聯招 ) 設 m, n 為任意正整數, 且 m > n, 令 x = m n, y = 3mn, z = m + n, 例如 m =, n = 1, 則 x = 3, y = 4, z = 5, 而下列各敘述成立, 今問其中哪些敘述在一般情形恆成立? (A) x < y (B) x + y > z (C) x, y 中必有一數為 4 的倍數 (D) x, y 中必有一數為 3 的倍數 (E) x, y, z 中必有一數為 5 的倍數. 答 :B,C,D,E 要點 3.8 ( 質數 ) 設 n N, n > 1, 若 n 除了 1 與 n 兩個正因數之外, 沒有其他的正因數, 則稱 n 為質數. 設 n N, n > 1, 若 n 非質數, 則稱 n 為合數. 1 既非質數, 亦非合成數. 質數中, 除了 為偶數以外, 其餘皆為奇數. 質數有無窮多個. 要點 3.9 ( 質數檢驗法 ) 設 n N, 若 n 為合數, 則 n 必有 n 的質因數. 設 n N, 欲判斷 n 是否為質數, 只需檢驗 n 的質數中, 是否有 n 的因數即可. 練習 3. ( 歐基里德定理 ) 證明 : 質數有無窮多個. ( 提示 : 矛盾證法.) 要點 3.10 ( 標準分解式 ) 設 n N, n > 1, 則必存在唯一的表示法 n = p α 1 1 p α pαr r, 其中,r N 且 p 1 < p < < p r 為相異質數,α 1, α,, α r N, 並稱此表示法為 n 的標準分解式. 13

16 要點 3.11 ( 標準分解式相關性質 ) 設 n N, n > 1, 且 n = p α 1 1 p α pαr r 為標準分解式, 則 n 的正因數必形如 p β 1 1 p β pβr r, 其中 β i 為整數, 且 0 β i α i, i = 1,,, r. n 的所有正因數個數有 (α 1 + 1)(α + 1) (α r + 1) 個. n 的所有因數個數為正因數個數的兩倍. n 的所有正因數和為 (1 + p 1 + p p α 1 1 )(1 + p + p + + p α ) (1 + p r + p r + + p αr r ). n 的所有因數和為 0. n 的所有正因數乘積為 n n 的所有正因數倒數和為 正因數個數. 正因數和. n n 的正因數中, 為完全 k 次方的數字共有 ([ α 1 k ]+1) ([ α k ]+1) ([ α r k ]+1) 個. α 1 k n 的正因數中, 為完全 k 次方的所有數字和為 (1 + p1 k + p k k p1 )(1 + p k + p k + + α k α r k k p ) (1 + pr k + p k k r + + pr ). 在 1 至 n 中, 與 n 互質的數有 n(1 1 p 1 )(1 1 p ) (1 1 p r ) 個. n 在 1 至 n 中, 與 n 互質的數之和為 (1 至 n 中, 與 n 互質的數的個數 ). 要點 3.1 ( 尤拉的 ϕ(n) 函數 ) 設 n N, 且 n = p α 1 1 p α pαr r 為標準分解式, 則由 1 至 n 中, 與 n 互質的自然數的個數為 ϕ(n) = n (1 1 p 1 ) (1 1 p ) (1 1 p r ). 可由機率觀點解讀, 方便記憶. 14

17 要點 3.13 ( 最大公因數與最小公倍數 ) 已知 a, b 為整數, 則 a 與 b 的所有共同因數中, 最大者稱為最大公因數 (g.c.d.), 以 (a, b) 表示之, a 與 b 的所有共同正公倍數中, 最小者稱為最小公倍數 (l.c.m.), 以 [a, b] 表示之, 設 d Z, 若 d a 且 d b, 則 d (a, b), 設 k Z, 若 a k 且 b k, 則 [a, b] k, 若 (a, b) = 1, 則稱 a 與 b 互質, 若 (a, b) = d, 則存在有兩整數 h, k, 使得 a = dh, b = dk, (h, k) = 1 且 [a, b] = dhk, ab = (a, b)[a, b], 若 (a, b) = 1, 則 (a ± b, ab) = 1 且 (a n, b n ) = 1, n N. 設 n N, 已知 a 1, a,..., a n Z, 則 a 1, a,..., a n 的所有共同因數中, 最大者稱為 a 1, a,..., a n 的最大公因數 (g.c.d.), 以 (a 1, a,..., a n ) 表示之, a 1, a,..., a n 的所有共同正公倍數中, 最小者稱為 a 1, a,..., a n 的最小公倍數 (l.c.m.), 以 [a 1, a,..., a n ] 表示之, 若 (a 1, a,..., a n ) = 1, 則稱 a 1, a,..., a n 互質, 若 (a 1, a,..., a n ) = ((a 1, a,..., a n 1 ), a n ). 註 : (a, b), [a, b] 皆為正數 ;(a, b, c)[a, b, c] 不見得等於 abc, 除非 a, b, c 兩兩互質. 要點 3.14 ( 輾轉相除法 歐基里德演算法 的原理 ) 若 a, b, q, r Z, (b 0), 且 a = bq + r, 其中 0 r < b, 則 (a, b) = (b, r). 亦即, 被除數與除數的最大公因數 等於 除數與餘數的最大公因數. ( 廣義版 ) 若 a, b Z, (a, b 0), 則對任意整數 n 皆滿足 (a, b) = (a bn, b) = (a, b an). 要點 3.15 ( 最大公因數的表現定理 ) 設 a, b Z, 則整係數二元一次不定方程式 ax + by = (a, b) 可由輾轉相除法找到, 至少一組整 x = x x = x 0 0 ± bt 數解 ( 稱為特殊解 ) ( 又名 Bézout s lemma), 且一般解 ( 稱為通解 ) 為 (a, b) y = y 0 y = y 0 at, (a, b) 其中 t Z. 另外, 找特殊解的方式還有尤拉法與秦九韶大衍求一術. 要點 3.16 整係數二元一次不定方程式 ax + by = c 有整數解的充要條件為 (a, b) c. 15

18 要點 3.17 ( 階乘 ) 設 n 為非負整數, 則定義 n! = 1, 若 n = 0; n (n 1)!, 若 n N. 設 n 為非負整數, 且的標準分解式為 p α 1 1 p α n! pαr r 則 α i = [ n ] + [ n ] + [ n ] + p i p i p 3 i 其中 [ ] 為高斯符號. n! 乘開之後, 末尾共有 [ n 5 ] + [ n 5 ] + [ n 5 3 ] + 個連續的零. 要點 3.18 ( 鴿巢原理, 抽屜原理 ) 設 n N, 若有 n + 1 隻鴿子飛回 n 個鴿巢裡, 則至少有一個鴿巢住有 隻以上的鴿子. 設 m, n N m > n, 若有 m 隻鴿子飛回 n 個鴿巢裡, 則至少有一個鴿巢住有不少於 條件進位法取整數值 ) 的鴿子. m n 隻 ( 無 在課堂之外 要點 3.19 (Fermat 小定理 ) 設 p 為質數, n 為任意正整數且 p / n, 則 n p 1 1 (mod p). 要點 3.0 (Euler 對於 Fermat 小定理的推廣 ) 設 a, n 皆為正整數, 且兩者的最大公因數 (a, n) = 1, 則 n ϕ(a) 1 (mod a). Note: 其中 ϕ(a) 是 Euler phi function, 表示小於 a 且與 a 互質的正整數個數. 要點 3.1 (Fermat 大定理, Fermat 最後定理 (Fermat s last theorem)) 設 n 為正整數, 且 n 3, 則方程式 x n + y n = z n, 沒有 (x, y, z) 的正整數解. Note: Fermat 大定理於 1637 年, 被原職律師的業餘數學家 Pierre de Fermat 寫在書底, 但是直 到 1995 年才被 Princeton 大學教授 Andrew Wiles 證明完畢. 16

19 要點 3. (Fermat Number) 設 n 為非負整數, 則定義 F n = n +1, 並稱此數為費馬數 ( Fermat number). F 0, F 1, F, F 3, F 4 皆為質數, 但是 F 5 = = 4, 94, 967, 97 = 641 6, 700, 417 並非質數. ( Fermat 曾 猜測 所有費馬 數皆為質數 ). 跟 Fermat number 有關的定理 : 1. 設 n 為非負整數, 如果 n + 1 為質數, 則 n = 0 或者 n = k (k N).. 設 n 為正整數, 則 正 n 邊形可以尺歸作圖 的充分且必要條件是 n = k p 1 p p s, 其中 k, s 是非負整數, 且 p 1, p,, p s 是相異的費馬數的質數. 要點 3.3 (Wilson 定理 ) 設 p 為質數, 則 (p 1)! 1 (mod p). 要點 3.4 ( 孿生質數 (Twin Primes)) 若 p 1, p 皆為質數, 且滿足 p p 1 =, 則稱 p 1, p 為孿生質數 (twin primes). 例如 : (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (9, 31), (41, 43) 都是孿生質數. Note: 是否有無限多組孿生質數, 仍然是尚未被證明的猜想. 有理數與實數 3. 要點 3.5 ( 有理數的定義 ) 設 a R, 若 a = q p, 其中 p, q Z, p 0, (p, q) = 1, 稱 a 為有理數, 記作 a Q. 不是有理數的實 數, 稱為無理數. 有理數包含有整數 有限小數及無限循環小數. 無理數為無限不循環小數, 包含有不盡根號數與超越數. 要點 3.6 ( 反證法, 矛盾證題法 ) 欲證明 P Q, 則先假設 Q 不成立, 進而逐步推論而得 P 亦不會成立 ( 產生矛盾現象 ). 故 P 成立時, Q 不可能不成立. 此證題法稱為反證法, 或稱矛盾證題法. 矛盾證題法的原理是利用 p q 與 q p 等價. 要點 3.7 給定單位長, 對任意整數 m, n (n 0) 可經由尺規作圖而得 作圖得 ab. 要點 3.8 有理數系對於 +,,, 有封閉性. 若 M 表示可以尺規做圖的數所成的集合, 則 1 M 且 M 對於 +,,,, m n. 對任意給定長度 a, b, 可以尺規 有封閉性. 17

20 要點 3.9 ( 分點公式 ) 若 a, b R, a < b, 在 a, b 之間且與 a, b 距離比為 m n 的點坐標為 na + mb m + n. 要點 3.30 ( 阿基米德性質 ) 若 a, b R 且 a > 0, 則存在 n N 使得 n a > b. 要點 3.31 ( 實數的稠密性 ) 任兩個相異的有理數之間, 必存在有其他的有理數. 同理, 任兩個相異的無理數之間, 必存在有其他的無理數. 實數的稠密性 : 任兩個相異的實數之間, 必存在有其他的實數. 要點 3.3 要點 3.33 設 a, b Q, 若 a + b = 0, 則 a = b = 0. 設 a, b, c, d Q, 若 a + b = c + d, 則 a = c 且 b = d. 設 a, b Q, ω / Q, 若 a + bω = 0, 則 a = b = 0. 設 a, b, c, d Q, ω / Q, 若 a + bω = c + dω, 則 a = c 且 b = d. 若 a 為有限小數, 將 a 化為最簡分數之後, 分母只有, 5 的質因數. 要點 3.34 ( 算幾不等式 ) 設 a, b R +, 則 當算幾不等式 = 成立時 a = b. 設 n N 且 a 1, a,..., a n R +, 則 a + b ab, a 1 + a + + a n n a 1 a a n, 當算幾不等式 = 成立時 a 1 = a = = a n. 要點 3.35 ( 數線上的絕對值 ) 設 a R, 則 a, 若 a 0; a = a = a, 若 a < 0, 且 a = a. 設 a, b R, 則 a b 表示數線上 a, b 兩點間的距離. 18

21 要點 3.36 ( 絕對值不等式 ) 設 a, b R, a < b, 則 a x b" x a + b b a, x a x b" x a + b b a. 上兩式要用圖形去看才會快 : x 到中點距離 小於或等於半徑, 以及 x 到中點距離 大於或等於半徑. 要點 3.37 ( 三角不等式 ) 設 a, b R, 則 a b a b a + b. 三角形任兩邊和大於第三邊, 任兩邊差小於第三邊. 要點 3.38 ( 雙重根號的化簡 ) 設 p q 0, 則 (p + q) ± p q = p ± q. 要點 3.39 設 n N 且 a 1, a,..., a n R, 則 f (x) = x a 1 + x a + + x a n 的最小值, 發生在當 x 為 a 1, a,..., a n 由小排到大的中位數時. ( 註 : 若 n 為偶數, 則 x 在最接近中位數的兩數的區間內的任何值, f (x) 都有相等的最小值.) f (x) = (x a 1 ) + (x a ) + + (x a n ) 的最小值, 發生在當 x 為 a 1, a,..., a n 的算術 a 平均數 1 + a + + a n 時. n 平面坐標與直線方程式

22 要點 3.40 設 A(x 1, y 1 ), B(x, y ), 則 AB 的中點為 AB = A + B = ( x 1 + x (x x 1 ) + (y y 1 )., y 1 + y ). 在 AB 上, 且與 A, B 兩點距離比為 m n 的點坐標為 na + mb m + n = (nx 1 + mx m + n, ny 1 + my m + n ) A(x 1, y 1 ) B(x, y ) x x 1 y y 1 若 x 1 x, 則 AB 之斜率為 斜率的特性 y y 1 x x 1.( 鉛錘線無斜率.) 斜率的定義 斜率為正 : 直線由左下至右上傾斜, 斜率為負 : 直線由左上至右下傾斜, 斜率為零 : 直線為水平線, 無斜率 : 直線為鉛錘線, 斜率的絕對值 : 斜率的絕對值越大, 則直線越陡. 要點 3.41 ( 平行與垂直直線之斜率 ) 若直線 L 1, L 的斜率分別為 m 1, m, 則 L1 與 L 平行或重合 m 1 = m, L1 與 L 垂直 m 1 m = 1. 已知直線 L ax + by + c = 0, 則 與 L 平行之直線方程式可以設為 ax + by + k = 0 (k R), 與 L 垂直之直線方程式可以設為 bx ay + k = 0 (k R). 0

23 要點 3.4 ( 直線方程式 ) 點斜式 : 通過 (x 0, y 0 ) 且斜率為 m 之直線方程式為 : (y y 0 ) = m(x x 0 ), 兩點式 : 通過相異兩點 (x 1, y 1 ), (x, y ) 之直線方程式為 : (y y 0 ) = y y 1 x x 1 (x x 0 ) ( 其中 x1 x,) 截距式 : x 截距為 a, y 截距為 b (ab 0), 的直線方程式為 : x a + y b = 1, 斜截式 : 斜率為 m, y 截距為 b 的直線方程式為 : y = mx + b 一般式 : 形如 ax + by + c = 0 ( 其中 a, b 不全為 0) 之方程式為直線. 若 b 0, 則此直線斜率為 a b. 高二之後更應該知道 : ax + by + c = 0 直線的法向量為 (a, b), 方向向量為 ( b, a) 或 (b, a), 法向量為 (a, b), 且過點 (x 0, y 0 ) 的直線方程式為 a(x x 0 ) + b(y y 0 ) = 0, 法向量為 (a, b), 且過點 (x 0, y 0 ) 的直線參數方程式為 (x, y) = (x 0, y 0 ) + (a, b)t, t R, 亦即 x = x 0 + at, t R. y = y 0 + bt, 要點 3.43 ( 二元一次聯立方程式的解與幾何意義 ) 二元一次聯立方程式 : a 1 x + b 1 y = c 1 a x + b y = c 表示兩直線的幾何意義與解的關係如下 : 重合 : 平行 : a 1 a = b 1 b = c 1 c, 無限多組解, a 1 a = b 1 b c 1 c, 無解, 恰交於一點 : a 1 a b 1 b, 唯一一組解. ( 以上如有遇到分母為零情形, 則另外討論之.) 要點 3.44 ( 直線系 ) 通過 L 1 a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 L a x + b y + c = 0 交點的所有直線可以設為 ( 以下三種任選一種 ) k(a 1 x + b 1 y + c 1 ) + l(a x + b y + c ) = 0, 其中 k, l R, k + l 0, k(a 1 x + b 1 y + c 1 ) + (a x + b y + c ) = 0 a x + b y + c = 0, 其中 k R, (a 1 x + b 1 y + c 1 ) + l(a x + b y + c ) = 0 a 1 x + b 1 y + c 1 = 0, 其中 l R. 1

24 要點 3.45 ( 對稱點與投影點 ) 直角坐標平面上, 有一點 P(x 0, y 0 ), 直線 L ax + by + c = 0, 則 1. P 對 L 之投影點為 P (x 0 + at, y 0 + bt),. P 對 L 之投影點為 P (x 0 + at, y 0 + bt), ax 3. P 到 L 之距離為 0 + by 0 + c, a + b 其中 t = ax 0 + by 0 + c a + b. 要點 3.46 ( 對稱斜率為 ±1 之直線 ) 平面上, 點 (x 0, y 0 ) 對於直線 x ± y + k = 0 的對稱點坐標為 ( y 0 k, x 0 k). 平面上, 曲線 Γ f (x, y) = 0 對於直線 x ± y + k = 0 的對稱圖形方程式為 f ( y k, x k) = 0. 要點 3.47 ( 對稱坐標軸或原點 ) 平面上, 點 (x 0, y 0 ) 對於 x 軸的對稱點坐標為 (x 0, y 0 ). y 軸的對稱點坐標為 ( x 0, y 0 ). 原點 (0, 0) 的對稱點坐標為 ( x 0, y 0 ). 平面上, 曲線 Γ f (x, y) = 0 對於 x 軸的對稱圖形方程式為 f (x, y) = 0. y 軸的對稱圖形方程式為 f ( x, y) = 0. 原點 (0, 0) 的對稱圖形方程式為 f ( x, y) = 0. 要點 3.48 ( 平面上, 內心 重心 外心 垂心的求法 ) 設 ABC 的 A, B, C 對邊長分別為 a, b, c, 則 ABC 的內心 重心 外心 垂心定義如下 : 內心 : 三條內角平分線的交點, 內心到三點邊等距離, 內心為三角形內切圓的圓心, aa + bb + cc 內心坐標為. a + b + c 重心 : 三條中線的交點, 重心坐標為 A + B + C. 3 外心 : 三邊中垂線的交點, 外心到三頂點等距離, 外心為三角形外接圓的圓心 垂心 : 過三頂點的高的交點. 一個三角形的外心 重心 垂心必會共線, 此直線稱為尤拉線.

25 要點 3.49 ( 解析證題法 ) 將幾何圖形放在直角坐標平面, 並將幾何圖形坐標化的證題法, 稱為解析證題法. 要點 3.50 ( 求 PA + PB 最小值, RA RB 最大值 ) 直角坐標平面上有一直線 L, 與不在 L 上的相異兩點 A, B, 在 L 上求點 P, R, T 使得 PA + PB 有最小值的方法 ( 利用三角形任兩邊之和大於第三邊 ): 若 A, B 在 L 的同側, 作 A 對於直線 L 的對稱點 A, 連接 AB 交 L 於 P, 此點即為所求. 若 A, B 在 L 的異側, 連接 RA RB 有最大值的方法 ( 利用三角形任兩邊之差小於第三邊 ): 若 A, B 在 L 的同側, 連接 AB 交 L 於 R, 此點即為所求. 若 A, B 在 L 的異側, 作 A 對於直線 L 的對稱點 A, 則連接求. TA + TB 有最小值的方法 ( 利用三角形中線定理 ): A B 交 L 於 P, 此點即為所求. A B 交 L 於 R, 此點即為所 若 A, B 在 L 的同側, 作 AB 中點 M, 作 M 在 L 上的投影點 T, 此點即為所求. 若 A, B 在 L 的異側, 作 A 對於直線 L 的對稱點 A, 作 A B 中點 M, 作 M 在 L 上的投影點 T, 此點即為所求. ( 或是直接作 AB 中點 M, 作 M 在 L 上的投影點 T, 此點亦為所求, 此兩方法求出的都是相同的一點.) 要點 3.51 ( 測量師公式, 坐標凸多邊形面積公式 ) 設凸 n 邊形之頂點坐標逆時針方向繞一圈分別為 P 1 (x 1, y 1 ), P (x, y ),, P n (x n, y n ), 則此凸 n 邊形的面積為 1 x 1 x x n x 1 y 1 y y n y 1 註 : 順時針方向, 則為面積數值的相反數. 複數與複數平面 3.4 要點 3.5 ( 複數的定義 ) 定義 i = 1, 亦即 i = 1, 且對於任意 b R, b > 0, 規定 b = bi. 設 a, b R, 形如 a + bi 的數稱為複數, 則 a 稱為此複數的實部, 記作 Re(a + bi) = a, 且 b 稱為此複數的虛部, 記作 Im(a + bi) = b, 實部為零的數稱為純虛數. a bi 稱為 a + bi 的共軛複數, 記作 a + bi = a bi. 要點 3.53 (i 的性質 ) 設 k Z, 則 i 4k = 1, i 4k+1 = i, i 4k+ = 1, i 4k+3 = i 且 1+i+i +i 3 = 0 i 4k +i 4k+1 +i 4k+ +i 4k+3 = 0. 3

26 要點 3.54 ( 複數的基本運算 ) 已知 a, b, c, d R, 則定義 相等 a + bi = c + di a = c 且 b = d, 相加 (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, 相減 (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i, 相乘 (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i, 相除 a + bi c + di = ac + bd c + d bc ad + c + d i. 要點 3.55 ( 共軛複數的性質 ) 設 z, z 1, z C, 則 (z) = z, z 1 ± z = z 1 ± z, z 1 z = z 1 z, ( z 1 z ) = (z 1) (z ), z n = (z) n, 實數的共軛複數仍為本身 : z = z z R, 純虛數的共軛複數為其相反數 : z = z z = bi, b R. 註 : 共軛可以穿透加減乘除. 要點 3.56 ( 實數的性質 ) 實數 : 可以畫在數線上的數. 實數與數線上的點有一對一的對應關係. 實數的性質 : 乘法及加法的運算性質 : 結合律 交換律 消去律 分配律, 運算的單位元素 運算的反元素. 次序性質 : 三一律 遞移律 等量加法律 乘法律 平方恆為正. 實數具有完備性 ( 最大 最小元素的存在性 ). 要點 3.57 ( 有 i 的複數就不能比大小 ) 有 i 的複數就不能比大小, 複數沒有三一律 ( 若定義 i > 0, i = 0, i < 0 皆會產生矛盾 ), 所以複數無法畫在實數線上, 也因此才會建立高斯平面 複數平面. 4

27 要點 3.58 ( 複數平面 ) 設 a, b R, 將 z = a + bi 畫在直角坐標平面 (a, b) 的位置上, 稱橫軸為實軸, 縱軸為虛軸. 此平面稱為複數平面, 亦稱為高斯平面. 虛軸 b z = a + bi O a 實軸 要點 3.59 ( 複數的絕對值 ) 設 a, b R, 定義 a + bi = a + b, 表示 a + bi 在複數平面上與原點 0 + 0i 的距離. 設 a, b, c, d R, 且 z 1 = a + bi, z = c + di, 則 z 1 z = (a c) + (b d), 表示在複數平面上 z 1 到 z 之間的距離. 要點 3.60 ( 複數絕對值的性質 ) 設 z, z 1, z C, 則 z = z, z = z z, z 1 z = z 1 z, z 1 z = z 1 z, z 1 z z 1 + z z 1 + z ( 三角不等式 ), z n = z n, z = 0 z = 0. 練習 3.3 (a + b) (b + c) (c + a) 設 a, b, c 為複數, 且滿足 a = b = c = 1, 試證明 abc ( 證明提示 : 利用 z = 1 z = 1 z 以及 z = z z R.) 為實數. 5

28 練習 3.4 設 z C, 若 z = 1, 證明 : z 1 + z = z z z = 1. 要點 3.61 ( 根式的乘或除 ) 設 a, b R, 則 a b = ab, 若 a < 0 且 b < 0; ab, 其他. a = b a b, 若 a > 0 且 b < 0; a b, 其他. 要點 3.6 ( 複數的平方根, 快速解法 ) 設 p q 0, 則 (p q) + p qi 的平方根 = ± ( p + qi), (p q) p qi 的平方根 = ± ( p qi). ( 註 : 高二之後, 若遇到三次方根以上, 就用隸美弗定理解之.) 練習 3.5 ( 求複數的平方根 ) 求 8 + 6i 的平方根? 答 : 3 + i 或 3 i. 練習 3.6 求 (1 + i) 0 之值. 答 : 所求 = (i) 10 = 104. ( 提示 : (1 ± i) = ±i) 6

29 要點 3.63 ( 一元二次方程式 ) 設 a, b, c R, a 0, 則實係數一元二次方程式 ax + bx + c = 0 的解為 令 D = b 4ac, 稱為方程式的判別式, D > 0 方程式有兩相異實根. D = 0 方程式有兩相等實根 ( 重根 ). D < 0 方程式有兩共軛虛根. x = b ± b 4ac, a 設 a, b, c C, a 0, 則一元二次方程式 ax + bx + c = 0 的解為 x = b ± (b 4ac 的平方根 ). a 要點 3.64 實係數多項方程式, 虛根成共軛對出現. 一元二次有理 ( 整 ) 係數多項方程式, 無理根成對 ( 有理化因子對 ) 出現. 一元高次有理 ( 整 ) 係數方程式, 若有一無理根 a + b c (a, b, c Q, b 0), 則必有另一無理根 a b c. 一元高次有理 ( 整 ) 係數多項方程式, 無理根不見得會成有理化因子對出現, 例如 : x 3 = 的三個 i 1 3i 根為, ( ), 3 ( ). 7

30 要點 3.65 ( 根與係數關係式, 韋達定理, Viète s formulas) 設 a, b, c C, a 0, 且 ax + bx + c = 0 有兩根 α, β, 則 α + β = b a 且 αβ = c a. 此外, 還有 根的意義 : aα + bα + c = 0 且 aβ + bβ + c = 0, 由根創造方程式 : a(x α)(x β) = ax + bx + c. 根與係數關係式亦可推廣到高次方程式 : 設 a 0, a 1, a,..., a n C, a n 0, 且 a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0 有 n 個根 ω 1, ω, ω 3,..., ω n, 則 ω 1 + ω + ω ω n = a n 1 a n, (ω 1, ω, ω 3,..., ω n 任取兩數相乘之和 ) = a n a n, (ω 1, ω, ω 3,..., ω n 任取三數相乘之和 ) = a n 3 a n, (ω 1, ω, ω 3,..., ω n 任取 n 1 數相乘之和 ) = ( 1) n 1 a 1 a n, 根的意義 a n ω n i + a n a ω n i a 1 ω i + a 0 = 0 i = 1... n, ω 1 ω ω 3 ω n = ( 1) n a 0 a n. 由根創造方程式 a n (x ω 1 )(x ω )(x ω 3 ) (x ω n ) = a n x n + a n a x n a 1 x + a 0. 要點 3.66 ( 滾雪球公式 ) 設 ax + bx + c = 0 (a 0) 的兩根為 α, β, 且定義 f (n) = α n + β n ( n N), 則對任意自然數 n, 下式恆成立 a f (n + 1) + b f (n) + c f (n 1) = 0. 8

31 要點 3.67 若實係數一元二次方程式 f (x) = ax + bx + c = 0, 有兩根 α, β, 則 方程式有兩正根 判別式 0 且 α + β > 0, αβ > 0. 方程式有兩負根 判別式 0 且 α + β < 0, αβ > 0. 方程式有一正根一負根 判別式 > 0 且 αβ < 0. 方程式兩根皆大於常數 k 判別式 0 且 (α k) + (β k) > 0, (α k)(β k) > 0. 方程式兩根皆小於常數 k 判別式 0 且 (α k) + (β k) < 0, (α k)(β k) > 0. 常數 k 介於方程式兩根之間 判別式 > 0 且 (α k)(β k) < 0. ( 方程式的圖形觀點 ) 方程式兩根皆大於常數 k 判別式 0 且 α + β > k, a f (k) > 0. ( 方程式的圖形觀點 ) 方程式兩根皆小於常數 k 判別式 0 且 α + β < k, a f (k) > 0. ( 方程式的圖形觀點 ) 常數 k 介於方程式兩根之間 判別式 > 0 且 a f (k) < 0. 若有理係數一元二次方程式 ax + bx + c = 0, 有有理根 判別式 0 且判別式為完全平方數. 要點 3.68 (1 的三次方虛根 ω) 令 ω = 1 + 3i, 則 ω = 1 3i, 1 + ω + ω = 0, ω 3 = 1. ω 與 ω 互為對方的共軛複數. ω, ω 為方程式 x + x + 1 = 0 的兩根.1, ω, ω 為方程式 x 3 = 1 的三根. (x ω)(x ω ) = x + x + 1. 練習 3.7 設 ω 為 1 的立方虛根, 則 1. 證明 :(a + bω) (a + bω ) = a ab + b.. 若 a, b 為實數, 且 1 ω + 3ω + 4 = aω + b, 求 a, b. 答案 :1. 略.. a = 3, b =

32 第 4 章數列與級數 待補上 : generating fucntion. 等差數列與等比數列, 等差級數與等比級數 4.1 要點 4.1 ( 數列與級數 ) 練習 4.1 定義 有限數列 < a k > n k=1 =< a 1, a, a 3,..., a n >, 無窮數列 < a k > k=1 =< a 1, a, a 3,... >, 有限級數 無窮級數 n k=1 k=1 a n = a 1 + a + a a n, a n = a 1 + a + a 3 +. 設 S n 表示數列 < a k > 前 n 項的和, 則 a n = S 1, 若 n = 1; S n S n 1, 若 n. 設有一數列 < a k > 滿足 a 1 + a + 3a na n = n(n + 1)(n + ), 試求 a n 之值. 答 : a n = 3(n + 1) n 1. 練習 4. ( 分群數列 ) 要點 4. 有一數列 1,,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6,..., 試求此數列第 00 項之值為何? 答 : 0. ( 提示 : 分群, 觀察, 估計.) 設 a, b, c 為三個大於一的自然數, 自所有自然數中 1,, 3,..., 去除 a, b, c 的倍數, 形成新的數列, 此數列以 ϕ([a, b, c]) 個數字為分群單位, 且各群被 [a, b, c] 所除的餘數相同.. 30

33 練習 4.3 正整數中, 把, 3, 5 倍數去掉後成為新數列, 試求第 100 項之值為何? 答 : = 109. ( 提示 30k, 30k + 1, 30k +, 30k + 3,...30k + 14 去掉, 3, 5 的倍數之後, 剩下八個, 故每八個一群.) 要點 4.3 ( 的性質 ) 設 c R, n N, 則 n k=1 n k=1 n k=1 c = n 個 c + c + + c = nc, (a k + b k ) = (a 1 + b 1 ) + (a + b ) + + (a n + b n ), = (a 1 + a + + a n ) + (b 1 + b + + b n ) = (a k b k ) = (a 1 b 1 ) + (a b ) + + (a n b n ), n k=1 = (a 1 + a + + a n ) (b 1 + b + + b n ) = ca k = (ca 1 + ca + ca ca n ) = c(a 1 + a + a a n ) = c n k=1 a k. n k=1 n k=1 a k + a k n k=1 n k=1 b k, b k, 31

34 要點 4.4 ( 常用的 的公式 ) 設 c R, n N, 則 n k=1 n k=1 n k=1 n k = n = k=1 n k=1 n k=1 k(k + 1) 1 k(k + 1)(k + ) 1 3 k(k + 1) (k + m 1) 1 m n k=1 n k=1 k = n = k 3 = n 3 = ( = = = 1 k(k + c) = 1 c 1 k(k + 1)(k + ) = 1 n k=1 1 k + c + k = 1 c n(n + 1)(n + ), 1 3 n(n + 1), n(n + 1)(n + )(n + 3), n(n + 1)(n + 1), 6 n(n + 1) ), n(n + 1) (n + m 1)(n + m), 1 m (m + 1) n k=1 n ( 1 k 1 k + c ) ( 分項對消法 ), 1 ( k(k + 1) 1 (k + 1)(k + ) ) ( 分項對消法 ), k=1 n k=1 ( k + c k) ( 分項對消法.) 註 : 等差 等比 型的題目, 利用錯位相減法. 的意義為 累加. 練習 4.4 ( 錯位相減法典型考題 ) 練習 4.5 設 x 1, 化簡 1 + x + 3x + 4x nx n 1 之值. 1 x 答 : n (1 x) nxn 1 x.( 本題亦可用微分法求值.) 試求 : 0 n=3 答 : 提示 : n(n + a) = 1 a ( 1 n 1 n + a ) 1 (n )n =? 3

35 要點 4.5 設 < a k > 為等差數列 (A.P., 算數數列 ), 且公差為 d, 此數列前 n 項之和為 S n, 則 a n = a 1 + (n 1)d, 其中 n N. S n = n(a 1 + a n ) = n(a 1 + (n 1)d) = n a n+1, 其中 n N. 練習 4.6 設 m, n N, m n, 則 d = a m a n m n. 設 < a k > 為等比數列 (G.P., 幾何數列 ), 且公比為 r, 此數列前 n 項之和為 S n, 則 a n = a 1 r n 1, 其中 n N. S n = na, 若 r = 1; a 1 (1 r n ) = a 1(r n 1), 1 r r 1 若 r 1, 其中 n N. 設數列 < a n >, 若滿足 < 1 a n > 為等差數列, 則 < a n > 稱為調和數列 (H.P.). 設 a, b, c 為三質數, a < b < c 且 a, b, c 為公差為 8 的等差數列, 試求有序數組 (a, b, c) 之值. 答 : (3, 11, 19). ( 提示 : 設此三數為 a, a + 8, a + 16, 則此三數被 3 除的餘數有 0, 1,, 故三數中必有 3 的倍數, 且三數皆為質數, 故 a = 3.) 練習 4.7 設滿足 1 < a < b < c 的四個數 1, a, b, c, 其中兩兩之和形成的 6 個數互不相同, 若此 6 個數由小到大排列後構成等差數列, 且此 6 個數的總和為 01, 是求有序數組 (a, b, c) 之值. 答 : (a, b, c) = (15,, 9) 或 (10, 19, 7). ( 提示 : 此等差數列為 1+ a, 1+b, 1+ c, a +b, a + c, b + c 或是 1 + a, 1 + b, a + b, 1 + c, a + c, b + c ) 要點 4.6 ( 合併兩等差數列 ) 設有 A, B 二等差數列, 若 A 的公差 d 1 且 B 的公差 d, 則當以 A, B 中相同項形成的新數列時, 即以 d 1, d 的最小公倍數為公差的新等差數列, 且觀察第一個相同項即為新數列的首項. 33

36 要點 4.7 ( 等差中項, 等比中項, 調和中項 ) 若 a, b, c 三數形成等差數列, 則 b 稱為等差中項, 且 b = a + c b = a + c. 若 a, b, c 三數形成等比數列, 則 b 稱為等比中項, 且 b = ac b = ± ac. 若 a, b, c 三數形成調和數列, 則 b 稱為調和中項, 且 b = 1 a + 1 c b = ac a + c. 設 a.b > 0, 且 A, G, H 分別為 a, b 之等差 等比 調和中項, 若 G > 0, 則 A G H. G = A H. 要點 4.8 ( 利率計算 ) 要點 4.9 設 P 為本金, r 為利率, n 為期數, 則 單利計算 : 本利和 = P(1 + nr). 複利計算 : 本利和 = P(1 + r) n. r 年利率 1 分為 10%, 月利率 1 分為 1%. 若年利率為 r, 按月複利, 則月利率為 1. 註 : 借還款問題 : 善用 零存整付. 若 S n 表示某等差 ( 等比 ) 數列的前 n 項和, 則 S n, S n S n, S 3n S n, S 4n S 3n,... 亦成等差 ( 等 比 ) 數列. 要點 4.10 若三數成等差, 則可設此三數為 a d, a, a + d. 若三數成等比, 則可設此三數為 a r, a, ar 或設 a, ar, ar. 要點 4.11 若 < a n >, < b n > 皆為等差數列, 且 A n, B n 分別表示此兩數列前 n 項之和, 則 A n B n = a n+1 b n+1. a n b n = A n 1 B n 1. 註 :A n B n = n(a 1 + a n ) n(b 1 + b n ) = n (a 1 至 a n 數列的中間項 ) n (b 1 至 b n 數列的中間項 ) 34

37 無窮等比級數 4. 待補 : 夾擠定理, 數列收斂的比較檢驗法,ratio test, root test. 要點 4.1 ( 數列的極限 ) 設數列 < a n >, 當 n 趨近於無窮大時, a n 會趨近於固定的數字 α, 則稱 < a n > 為收斂數列, 稱 α 為數列 < a n > 的極限值, 記作 lim n a n = α. 若 < a n > 不是收斂數列, 則稱 < a n > 為發散數列. 要點 lim x n = 0. 若 r < 1, 則 lim x r n = 0. 要點 4.14 ( 判斷數列的收斂 ) 設 < a n > 為無窮等比數列, 且首項為 a, 公比為 r, 則 若 1 < r 1, 則數列收斂, 且 lim a n = lim ar n 1 = n n 若 r > 1 或 r 1, 則數列發散. a, 若 r = 1; 0, 若 1 < r < 1. 要點 4.15 ( 極限的特性 ) 設 < a n >, < b n > 為兩收斂數列, 且已知 lim n a n = α, lim n b n = β, 其中 α, β, c R, 則 lim n (ca n ) = cα = c lim n a n. lim n (a n ± b n ) = α ± β = lim n a n ± lim n b n. lim n a n b n = α β = lim n a n lim n b n. n a n a n lim = α lim n b n β = lim n b n, 其中 β 0. 要點 4.16 ( 有理多項式的極限 ) 設 f (x) = a m x m + a m 1 x m a 1 x + a 0, g(x) = b n x n + b n 1 x n b 1 x + b 0, m, n N 其中 a 0, a 1,..., a m, b 0, b 1,..., b n R 且 a m, b n 0, 則 lim x f (x) g(x) = 不存在, 若 m > n; a n b m, 若 m = n; 0, 若 m < n. 35

38 要點 4.17 ( 判斷級數的收斂 ) 練習 4.8 設 n=1 a n 為無窮等比級數, 且首項為 a, 公比為 r, 則 若 1 < r < 1, 則級數收斂, 且 若 r 1 或 r 1, 則級數發散. 註 : n=1 a n = lim m ( m n=1 a n ) n=1 a n = 設 a = 1, b = π, c = 3, 且 x n = αan 之 ). 答 :β + γ. 練習 4.9 練習 4.10 a 1 r. 試求 之值. 答 : a + βbn n 1 + b + γcn n 1 + c, 則試求 lim x n n 之值 ( 以 α, β, γ 表示 n 已知等腰三角形 ABC 之兩腰長分別為 6, 6, 4, 自兩腰取 1 之等分點 D, E( 此二點接較靠近頂點 ), 自底邊取中點 F, 然後對等腰三角形 DEF, 如上自兩腰與底邊的線段比例取節點形成新的三角形, 如上持續作無窮多個三角形, 求所有三角形面積之總和? ( 解答提示 : 雖然三角形之間不是相似形, 不過面積依然成比例, 利用三角形扣去三角落的面積, 可的內部三角形面積佔外部的面積比例的 ( ), 再用無窮等比級數可求得所有面積和.) 要點 4.18 ( 相似幾何圖形的解法 ) 相似幾何圖形, 求無窮多個面積和的解法 : 找出相似邊的比例 面積比 = 邊長平方比 再首項利用, 求全部面積和. 1 公比計算點 邊 堆垛個數 : 利用階差數列, 找出規律. 要點 4.19 設一無窮等比級數首項為 a, 公比為 r ( 1 < r < 1), 前 n 項和為 S n, 無窮多項和為 S, 則 S S n = arn 1 r. 要點 4.0 循環小數化為分數 : 0.abc de f gh = abcde f gh abc = 全部 不循環的部分有循環寫 9, 沒循環寫 0 36

39 數學歸納法與遞迴關係 4.3 要點 4.1 ( 數學歸納法的原理 ) 若要證明 對任意自然數 n, f (n) 皆成立, 則只需證明 1. 當 n = 1 時, 驗證 f (1) 會成立.. 假設當 n = k (k N) 時, f (k) 會成立, 則當 n = k + 1 時, 推導至 f (k + 1) 也會成立. 則對任意自然數 n, f (n) 皆成立. 要點 4. ( 遞迴數列的求法 ) 求數列關係可以利用 1. 利用階差數列, 令 b 0 = a 1, b n = a n+1 a n n 1. 若 a n = a n 1 + f (n), 利用累加法. 3. 若 a n = a n 1 f (n), 利用連乘法. 4. 若 a n = pa n 1 + q, 變形成 (a n α) = p(a n 1 α) ( 比較常數項求出 α ), 再利用連乘法. 5. 若 a n = pa n 1 + qa n 且 p + q = 1, 則可由 a n a n 1 = q(a n 1 a n ), 再利用階差數列, 或是連乘法. 6. 若 a n = pa n 1 + qa n, 利用特徵方程式 x px q = 0 得兩實根 α, β 則 (a) 若 α β, 則可令 a n = Aα n + Bβ n, 再由 a 0, a 1 解出 A, B. (b) 若 α = β, 則可令 a n = Aα n + nbα n, 再由 a 0, a 1 解出 A, B. ( 可由生成函數的觀點看此法, 或由滾雪球公式證明之.) 7. 若 a n+1 = pa n + q ra n + s 且 p q r s, r 0, 則先求出 x = px + q rx + s (a) 若 α β, 則 < a n β a n α > 為等比數列. (b) 若 α = β, 則 < 1 a n α > 為等差數列. 的解 α, β, a n+1 = pa n + qb n 8. 若 b n+1 = ra n + sb n 之值, 而後求出 a n, b n., 則令 < a n + kb n > 為等比數列, 將聯立方程式帶入, 可解出 k 與公比 9. 利用生成函數. 37

40 要點 4.3 ( 費波納契 (Fibonacci) 數列與盧卡斯 (Lucas) 數列 ) 若數列 < a n > 滿足 a 1 = 1, a =, a n = a n 1 + a n n 3, 則稱為費波納契 (Fibonacci) 數列. 若數列 < a n > 滿足 a 1 =, a = 1, a n = a n 1 + a n n 3, 則稱為盧卡斯 (Lucas) 數列. 練習 4.11 ( 費波納契 (Fibonacci) 數列的一般項 ) 練習 4.1 已知數列定義為 a 0 = a 1 = 1,a n = a n 1 + a n n, 試証此數列之一般項為 a n = 1 (( n ) ( 1 n 5 ) ), n N. 證明提示 : 除了可以透過遞迴數列 ( 生成函數 ) 求法, 亦可以用數學歸納法証明之. 已知濃度分別為 a 1 = 10%, b 1 = 0% 的溶液各 100 毫升, 分別自兩溶液取出 10 毫升, 然後放入對方容器中, 得濃度為 a, b, 延續此步驟 n 1 次得 a n, b n, 試求 a n, b n =? 答 :a n = 15 5 ( 1 5 )n 1. 提示 : 分點公式可得 a n, b n, 兩者終將向 15% 靠攏. 或另解, 可先求 a n, b n 之遞迴關係式. 練習 4.13 試求級數和 1 1! +! + 3 3! n n! =? 答 :(n + 1)! 1. 提示 :k k! = (k + 1 1) k! = (k + 1)! k! 38

41 第 5 章多項式 多項式的基本概念 5.1 待補上 : 綜合除法, 牛頓逼近法 逐次漏項法 ( 詳細版 ) 泰勒展開式 ( 補充 ). 要點 5.1 經由文字符號 ( 變數 ) x, y, z,... 與數字的加 減 乘法運算而得的式子, 稱為多項式. 文字符號 ( 變數 ) 稱為 元. 例如 : x + x +1 ( 一元二次多項式 ), 5 3x +6y ( 二元一次多項式 ), x y +6x y + ( 二元三次多項式 ),x y + yz + zx ( 三元二次齊次多項式 ). 設 n 為非負整數, 令 f (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, 其中 a n, a n 1,..., a 1, a 0 為常數, 且 a n 0, 則 a n, a n 1,..., a 1, a 0 稱為 係數,a n x n, a n 1 x n 1,..., a 1 x, a 0 稱為 項. 定義 deg f (x) = n, 稱為此多項式的 次數. a n 稱為 領導係數, 或是 首項係數.a 0 稱為 常數項. 若 n = 0 且 a 0 0, 則 f (x) 稱為 零次多項式. 若 n = 0 且 a 0 = 0, 則 f (x) 稱為 零多項式. 零次多項式以及零多項式, 皆稱為 常數多項式. 多項式的次方又稱為 冪. 多項式依照 x 的次方由高至低, 將各項排列, 稱為 降冪排列. 多項式依照 x 的次方由低至高, 將各項排列, 稱為 升冪排列. 若多項式 f (x) 的係數皆為整數, 則稱 f (x) 為整係數多項式, 記作 f (x) Z[x]. 同理, 若 f (x) 的係數皆為有理數 ( 或是實數, 複數 ), 則 f (x) 稱為有理係數 ( 或是實係數, 複係數 ) 多項式, 記作 f (x) Q[x] ( 或是 f (x) R[x], f (x) C[x]). 要點 5. ( 多項式的相等 ) 設有兩多項式 f (x), g(x), 若 f (x) = g(x) 恆成立, 則 f (x) 與 g(x) 有相同的次數, 且各同次項 對應係數相等. 39

42 要點 5.3 ( 零多項式定理與多項式的恆等定理 ) 設有多項式 f (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 為次數不超過 n 次或次數不存在的零多項式, 若 f (x) = 0 有超過 n 個以上的相異根, 則 f (x) = 0 恆成立, 亦即, f (x) 為零多項式. 設有兩多項式 f (x) 與 g(x) 皆為次數不超過 n 次或次數不存在的零多項式, 若 f (x) = g(x) 有超過 n 個以上的相異根, 則 f (x) = g(x) 恆成立, 亦即, f (x) 與 g(x) 為相同的多項式. 要點 5.4 (Lagrange 插值法 ) 若 f (x) 為二次多項式, 且存在三個相異數 x 0, x 1, x 使得 f (x 0 ) = a, f (x 1 ) = b, f (x ) = c, 則 f (x) = a (x x 1) (x x ) (x 0 x 1 ) (x 0 x ) + b (x x 0) (x x ) (x 1 x 0 ) (x 1 x ) + c (x x 0) (x x 1 ) (x x 0 ) (x x 1 ). 若 f (x) 為 n 次多項式, 且存在 n+1 個相異數 x 0, x 1,..., x n+1 使得 f (x 0 ) = a, f (x 1 ) = b,..., f (x n+1 ) = c, 則 a n (x x k ) k=1 f (x) = n + (x 0 x k ) k=1 b (x x 0 ) n (x x k ) k= (x 1 x 0 ) n (x 1 x k ) k= + + (x x k ) k=1. n 1 (x n x k ) k=1 c n 1 要點 5.5 ( 縮小版的 Lagrange 插值法及逐次漏項法 ) 對任意的相異實數 a, b, c, 所有的 a x + a 1 x + a 0 恆可以表示成 l(x a)(x b) + m(x b)(x c) + n(x a)(x c), 或是 l(x a)(x b) + m(x a) + n, 其中 l, m, n R. 註 : 上兩式皆可以推廣到 n 次方程式. 要點 5.6 已知 a R, a 0, n N, 則 1. f (x) 為 n 次多項式 f (x + a) f (x) 為 n 1 次多項式 ;. f (x) 為 n 次多項式 f (x ) 為 n 次多項式. 設 f (x) 與 g(x) 皆為非零多項式, 且 f (x) + g(x) 0, 則 deg ( f (x) + g(x)) max{deg f (x), deg g(x)} deg ( f (x) g(x)) = deg f (x) + deg g(x) 40

43 要點 5.7 設 n N 且 f (x) 為 n 次多項式函數, 若已知 f (x), f (x + a),, f (x + na) 的函數值, 利用 f (x + a) f (x) 會降次的特性, 可以將 f (x) 經由 n 次差分, 降為常數函數, 利用階差數列的技巧, 可求得 f (x + ka) (k Z) 的函數值. Note: 如此速算, 會比用 Lagrange 插值法來的快. 要點 5.8 (Babbage 定理 ) 設 f (x) 為多項式, 且 a 為任意實數, d 為非零實數,, 則 1. 若 f (x) 為常數多項式, 則 f (a + d) f (a) = 0.. 若 deg f (x) = 1, 則 f (a + d) f (a + d) + f (a) = 若 deg f (x) =, 則 f (a + 3d) 3 f (a + d) + 3 f (a + d) f (a) = 若 deg f (x) = 3, 則 f (a + 4d) 4 f (a + 3d) + 6 f (a + d) 4 f (a + d) + f (a) = 若 deg f (x) = n 1, 則 C n 0 f (a + nd) C n 1 f (a + (n 1)d) + + ( 1) n 1 C n n 1 f (a + d) + ( 1) n C n n f (a) = 0. Note: 善用差分方程式, 解題速度才會快. 要點 5.9 ( 多項式的加法 減法 乘法與除法 ) 舉例教學 : 多項式的加 減 乘法, 用觀察法 ( 分配律及同次項合併 ) 分離係數法. 長除法與綜合除法. 綜合除法對於除式領導係數不為 1 的情形, 或是除式為二次以上的情形. 連續使用綜合除法, 將 x 的多項式, 改變為 (ax + b) 的多項式. 練習 5.1 設 a, b, c, d, p, q, r, s R 且 f (x) = 8x 3 + 4x 16x + 5 = a(x 1) 3 + b(x 1) + c(x 1) + d = p(x+1) 3 +q(x+1) +r(x+1)+s, 求有序數組 (a, b, c, d, p, q, r, s) 之值? 求 f (0.999) 及 f ( 0.499) 到小數點以下第三位 ( 第四位四捨五入 ). 答 :(a, b, c, d, p, q, r, s) = (8, 8, 16, 1, 1,, 7, 13),0.984, 要點 5.10 ( 除法原理 ) 被除式 = 除式 商式 + 餘式 等價於 被除式除式 其中,deg( 餘式 ) < deg( 除式 ) 或是餘式 = 0. 善用 逐次漏項法 來假設餘式. = 商式 + 餘式除式 41

44 練習 5. 若 n 1 次多項式 f (x) 滿足 f (a i ) = a n i i = 1,,..., n, 試証 : f (x) = x n (x a 1 )(x a ) (x a n ). 提示 : 利用多項式的粧等定理, 或是利用因式定理 ( 令 g(x) = f (x) x n, 由 g(a i ) = 0 i = 1,,..., n 可得 (x a i ) g(a i ) i = 1,,..., n) 且利用比較首項係數, 即可得証. 要點 5.11 ( 多項式的係數 ) 設 n 為非負整數, 且多項式 f (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, 則 f (x) 的常數項 a 0 = f (0) f (x) 的所有係數和 a 0 + a 1 + a + a a n 1 + a n = f (1), a 0 a 1 + a a ( 1) n 1 a n 1 + ( 1) n a n = f ( 1), f (x) 的偶次項係數和 a 0 + a + a 4 + = f (x) 的奇次項係數和 a 1 + a 3 + a 5 + = f (1) + f ( 1), f (1) f ( 1), a 0 a + a 4 = f (i) 的實部, a 1 a 3 + a 5 = f (i) 的虛部, a 0 + a 3 + a 6 + = f (ω) 中的常數, a 1 + a 4 + a 7 + = f (ω) 中 ω 的係數, a + a 5 + a 8 + = f (ω) 中 ω 的係數,. 練習 5.3 P(x) = x 6 1x x 4 1x 3 + 1x x 3, Q(x) = x 4 1x x 4, 已知 Q(x) = 0 之 四根為 a, b, c, d, 求 P(a) + P(b) + P(c) + P(d) 之值為何? 答 :336. 提示 : 先求 P(x) Q(x) 之餘式 R(x) = x x + 1, 再求 R(a) + R(b) + R(c) + R(d) 在課堂之外 4

45 要點 5.1 ( 三次方程式的判別式 ) 設 p, q, r R, 若 a, b, c 是 f (x) = x 3 px + qx r = 0 的三根, 則此多項式的判別式 f = {(a b)(b c)(c a)} = p q 4p 3 r + 18pqr 4q 3 7r, 且 1. f 0 f (x) = 0 有三實根.. f < 0 f (x) = 0 有一實根及兩共軛虛根. Note: 1. 設 p, q R, 若 a, b, c 是 f (x) = x 3 + px + q = 0 的三根, 則此多項式的判別式 f = {(a b)(b c)(c a)} = 4p 3 7q. ). 參考資料 : 許志農教授的算術講義第 35 單元. ( 網址 : maco/arith.htm 要點 5.13 ( 泰勒展開式 ) 設 n N, 已知 f (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, 則對任意實數 a, f (x) = n k=0 由泰勒展開式可知, f (k) (a) (x a) k k! = f (a) + f (a) 1! f (x) 有 (x a) 的因式 f (a) = 0, (x a) + f (a)! f (x) 有 (x a) 的因式 f (a) = 0 且 f (a) = 0. (x a) + + f (n) (a) (x a) n. n! 餘式定理與因式定理 5. 待補 : 高斯引理 ( 代數學的版本 ), 艾森斯坦判別法 要點 5.14 ( 餘式定理與因式定理 ) 設 a, b R, a 0, f (x) 為多項式, 則 f (x) 除以 ax b 之餘式為 b a. f (x) 有整係數一次因式 ax b f ( b a ) = 0 練習 5.4 設 f (x) 為五次多項式, 且 f (1) = 1, f () = 4, f (3) = 9, f (4) = 16, f (5) = 5, f (6) = 156, 試求 f (0) 之值. 答 : 84. 提示 : 令 h(x) = f (x) x. 43

46 要點 5.15 ( 廣義餘式定理 ) 設 f (x) 為多項式, 則 f (x) 除以 a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 (a n 0) 之餘式為 f (x) 中 x n 以 1 a n (a n 1 x n a 1 x + a 0 ) 重複帶入之結果. 原理 : 想想高次綜合除法的運算過程吧. 練習 5.5 設 f (x) = x 1 + x 9 3x 6 + 4x 5, 求 f (x) 除以 (1) x 1 () x (4) x 5 1 (5) x x + 1 之各別餘式. 答 : x 3, 4x 8, x 4 + 5x 3x 5, 4x 1 練習 5.6 設 f (x) = x 3 3x 4 + 3x 14, 求 f (x) 除以 (1) x + x + 1 () x 3 x + x 1 (3) x 4 x 3 + x x + 1 之各別餘式. 答 : 4x 9, 3x 4, x. 要點 5.16 ( 牛頓定理, 整係數多項式的整係數一次因式檢驗法 ) 設 n 次整系數多項式 f (x) = a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x +a 0, 若 f (x) 有整系數一次因式 (ax b), 其中 a N, b Z, (a, b) = 1, 則 a a n, b a 0. 高斯引理 : 對於任意整數 m, am b f (m) a b f (1), a + b f ( 1) 最高公因式與最低公倍式 5.3 待補 : 轉轉相除法求 H.C.F. 要點 5.17 ( 最高公因式與最低公倍式 ) 1. f (x) 與 g(x) 的 最高公因式 : f (x) 與 g(x) 的共同的因式當中, 次方數最大的多項式, 記作 HCF.. f (x) 與 g(x) 的 最低公倍式 : f (x) 與 g(x) 的共同的倍式當中, 次方數最小的多項式, 記作 LCM. 3. 設 f (x) 與 g(x) 的 HCF 與 LCM 分別為 d(x), m(x), 則 f (x)g(x) = k (d(x)m(x)), 其中 k 為任何非零的常數. 4. 差異為非零常數倍的多項式, 並不影響因倍式的關係. 5. 互質的多項式 : 若兩多項式 f (x) 與 g(x) 的最高公因式恰為非零常數, 則稱 f (x) 與 g(x) 互質. 44

47 要點 5.18 ( 因式 倍式的關係 ) 設 f (x), g(x), d(x) 皆為多項式, 則 1. 若 d(x) f (x) 且 f (x) g(x), 則 d(x) g(x).. 若 d(x) f (x) 且 d(x) g(x), 則對任意多項式 m(x) 與 n(x), 恆有 d(x) f (x)m(x)±g(x)n(x) 成立. 善用 : 削頭去尾法, 找最高公因式. 練習 5.7 ( 削頭去尾法 ) 若 f (x) = x 3 + ax + 11x + 6, g(x) = x 3 + bx + 14x + 8 的為高公因式為二次式, 試求 a, b 之值. 答 : a = 6, b = 7. 要點 5.19 ( 輾轉相除法的原理 ) 設 f (x), g(x) 為兩多項式, 且 f (x) 除以 g(x) 的商式為 Q(x), 餘式為 r(x), 則 f (x) = g(x)q(x) + r(x), 且 f (x) 與 g(x) 的 HCF = g(x) 與 r(x) 的 HCF. 多項函數 5.4 要點 5.0 ( 函數 ) 若給定 x 值, 則 y 值唯一確定, 則可稱 y 為 x 的函數, 記作 y = f (x) 或是 f x y, 其中 x 稱為 自變數, y 稱為 應變數. 若 y = f (x) 為 x 的函數, 則 1. 若 f (x) 為多項式, 則稱 f (x) 為 多項式函數 或 多項函數.. 若 f (x) 為 n 次多項式, 亦可稱 f 為 n 次函數. 3. 若 f (x) 為常數多項式, 亦可稱為 f 常數函數. 4. 若 f (x) = ax + b, 其中 a, b R, 則函數圖形為一直線, 且 f 稱為線性函數. 要點 5.1 ( 函數的圖形 ) 描繪所有 (x, f (x)) 的點, 形成的圖形稱為 函數 f 或 y = f (x) 的圖形. 若 y = f (x) 為 x 的函數, 則對任意的 x = a 直線, 與 y = f (x) 的圖形至多交於一點. ( 判斷是否為函數圖形 : 鉛筆法.) 45

48 要點 5. ( 平移與伸縮 ) 直角坐標平面上, 將 f (x, y) = 0 的圖形, 沿 x 軸方向平行移動 a 單位, 沿 y 軸方向平行移動 b 單位, 則平移後的圖形新方程式為 f (x a, y b) = 0. 直角坐標平面上, 將 f (x, y) = 0 的圖形, 平行 x 軸方向伸縮為原來的 a 倍, 平行 y 軸方向伸縮為原來的 b 倍, 則平移後的圖形新方程式為 f ( x a, y b ) = 0. 要點 5.3 ( 拋物線的頂點與對稱軸 ) 二次函數 y = ax + bx + c 經配方可以表示成 y = a (x + b a ) + 1. 圖形為拋物線.. 頂點為 ( b 4ac b, ). a 4a 3. 對稱軸為 x = b a. 4ac b, 4a 要點 5.4 直角坐標平面上, 二次函數 y = ax + bx + c, 判斷係數正負號, 1. a 正負 : 看拋物線開口上下 ; a 愈大, 則開口愈小.. b 正負 : 看 (0, c) 之切線斜率正負值 ; 或看對稱軸 x = b 所在位置, 判定 a 與 b 同號或異號. a 3. c 正負 : 看 y 截距之正負值 ; 4. b 4ac 正負 : 看拋物線與 x 軸相交情形 ( 無交點 相切 或是交於相異兩點 ); 5. a + b + c 正負 : 看拋物線與 x = 1 直線交點之 y 坐標正負值 ; 6. a b + c 正負 : 看拋物線與 x = 1 直線交點之 y 坐標正負值 ; 7. 4a + b + c 正負 : 看拋物線與 x = 直線交點之 y 坐標正負值. Note: 拋物線 y = ax + bx + c 之頂點為 ( b 4ac b, ). a 4a 要點 5.5 ( 二次函數與 x 軸的交點 ) 二次函數 y = ax + bx + c 與 x 軸 (y = 0) 的相交情形, 相交於兩點 b 4ac > 0 相切於一點 b 4ac = 0 沒有交點 b 4ac < 0 46

49 要點 5.6 ( 二次函數恆正 恆負 恆非負 恆非正的充要條件 ) 二次函數 y = ax + bx + c > 0 恆成立 ( 恆正, 正定性 ) a > 0 b 4ac < 0 ( 拋物線開口向上且與 x 軸無交點.) 二次函數 y = ax + bx + c < 0 恆成立 ( 恆負 ) a < 0 b 4ac < 0 ( 拋物線開口向下且與 x 軸無交點.) 二次函數 y = ax + bx + c 0 恆成立 ( 恆非負 ) a > 0 b 4ac 0 ( 拋物線開口向上且與 x 軸無交點或相切.) 二次函數 y = ax + bx + c 0 恆成立 ( 恆非正 ) a < 0 b 4ac 0 ( 拋物線開口向上且與 x 軸無交點或相切.) 註 :1. 如果題目沒有說明是 二次函數, 則須討論是否有可能 a = 0.. y = ax + bx + c 圖形恆在 y = k 上方 ax + bx + (c k) > 0 恆成立. 要點 5.7 ( 最小平方法 找算術平均數 ) 設 n N 且二次函數 y = f (x) = (x a 1 ) + (x a ) + + (x a n ), 則當 x = a 1 + a + + a n 時, y 有最小值 f ( a 1 + a + + a n ) = a1 +a n n + +a n (a 1 + a + + a n ) n 為最小值. 練習 5.8 設 y = (x 1) + (x ) + 3(x 3) (x 100), 則當 x 為何時, y 會有最小值. 答 : 67. 要點 5.8 ( 絕對值函數的折線圖 找中位數 ) 設 n N, 二次函數 y = f (x) = x a 1 + x a + + x a n 且 a 1 a a n, 則當 x 為 a 1, a,, a n 的中位數 時, y 有最小值. 註 : 若 n 為偶數, 則 x 為介在最中間兩數之間的任一數值, 都會有相同的最小 y 值. 練習 5.9 ( 柯西不等式 ) 利用多項式的恆正 恆負, 證明柯西不等式 : 已知 a 1, a,..., a n, b 1, b,..., b n 皆為實數, 則 (a 1 + a + + a n)(b 1 + b + + b n) (a 1 b 1 + a b + + a n b n ), 且當等號成立時, 存在 k R 使得 k(a 1, a,..., a n ) = (b 1, b,..., b n ). 多項方程式 5.5 待補 : 勘根定理 ( 利用迷你綜合除法, 勘正根時, 勘到全部同號, 堪負根時, 勘到正負交錯, 則停止.) 牛頓法求近似值 額外補充均值定理. 要點 5.9 ( 方程式的根 ) 若 f (x) 為 n 次多項式, 則 f (x) = 0 稱為 n 次多項 ( 式 ) 方程式, f (x) = 0 之 解, 亦稱為 根. 47

50 要點 5.30 ( 代數基本定理 ) 設 n 為自然數, 對於任何一個複數係數 n 次多項式方程式, 在複數系中恆有解. 推廣 : 設 n 為自然數, 對於任何一個複數係數 n 次多項式方程式, 恰有 n 個複數根 ( 重根要重複 計算次數 ). 要點 5.31 ( 多項方程式的公式解 ) 多項式方程式的公式解 : 利用多項式方程式的係數做 +,,, 以及開二次方根, 用以表示此方 程式的根. 對於任意的一次多項式方程式 ax + b = 0 的公式解 : x = b a. 對於任意的二次多項式方程式 ax + bx + c = 0 的公式解 : x = b ± b 4ac. a 對於任意的五次 ( 含 ) 以上的多項式方程式, 並不存在公式解. 要點 5.3 ( 實係數方程式虛根成對出現 ) 設 f (x) 是實係數多項式, 若 f (x) = 0 有複數根 z 0, 則 z 0 也會是 f (x) = 0 的根. Note: 設 f (x) 是實係數多項式, 則 f (z) = f (z). 要點 5.33 ( 二次無理根成對出現 ) 設 f (x) 是有理係數多項式, 若 f (x) = 0 有無理數根 a + b c (a, b, c Q), 則 a b c 也會是 f (x) = 0 的根. 要點 5.34 ( 倒數方程式 ) 設 n 次實係數多項式方程式 a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0, 若方程式係數左右對稱 ( 亦即, 1 將 x 以帶入之後, 有相同方程式 ), 則稱此方程式為倒數方程式. x 解倒數方程式 : 若 n 為偶數, 則同除以 x n, 再解方程式 ( 令 t = x ± 1 x, 則 x + 1 x = t ). 若 n 為奇數, 則提出 (x + 1) 或 (x 1), 再解剩下的 n 1 次倒數方程式. 考題 5.1 已知 x 4 1x 5 = 0 有兩根之和為, 試求方程式的所有根. 答 :1 ±, 1 ± i. 提示 : 由根與係數, 可知另兩根和為, 令 x 4 1x 5 = (x + x + a)(x x + b) 左右比較係數, 可求出 a, b. 48

51 要點 5.35 ( 勘根定理 ) 設 f (x) 是連續函數, a, b 為兩個相異實數, 若 f (a) f (b) < 0, 則必存在 c 介於 a, b 之間, 使得 f (c) = 0. 重要性質 : 1. 若 f (a) f (b) < 0, 則 f (x) = 0 在 a, b 之間有奇數個根 ( 重根要重複計算 ); 若 f (a) f (b) > 0, 則 f (x) = 0 在 a, b 之間有偶數個根 ( 重根要重複計算 ).. 利用縮小版綜合除法時, 正根勘到 係數全同號, 負根勘到 係數正負交錯, 則停止. 練習 5.10 設 f (x) = x 3 + ax + bx + c 為整係數多項式, 且 f (x) = 0 的三根皆為有理數, 若 f ( ) < 0, f ( 6) > 0, f (π) < 0, f ( 3) > 0, 求 a, b, c 之值. 答 : a = 9, b = 6, c = 4. ( 提示 : 利用整係數一次因次檢驗法, 可得三根皆為整數. 再由勘根定理, 可得三根為, 3, 4, 所以 f (x) = (x )(x 3)(x 4).) 要點 5.36 ( 中間值定理 ) 設 f (x) 是連續函數, a, b 為兩個相異實數, 若 m 是介在 f (a) 與 f (b) 之間的任一實數, 則必存在 c 介於 a, b 之間, 使得 f (c) = m. 多項不等式

52 要點 5.37 ( 一次與二次多項式不等式 ) 設 a, b, c 皆為實數, 三一律 : a > b, a < b, a = b 恰有其中一個成立. 遞移律 : 若 a > b 且 b > c, 則 a > c. 等量加法律 : 若 a > b, 則 a + c > b + c. 乘法律 : 若 a > b, 且 1. 若 c > 0, 則 ac > bc.. 若 c < 0, 則 ac < bc. 設實係數多項式函數 f (x) = ax + bx + c, a > 0, 若 f (x) = 0 之兩根為 α, β 且 α < β, 則 f (x) = a(x α)(x β) < 0 α < x < β, f (x) = a(x α)(x β) 0 α x β, f (x) = a(x α)(x β) > 0 x < α 或 x > β, f (x) = a(x α)(x β) 0 x α 或 x β. Note: 1. 此法, 或若遇到重根, 亦可以用函數圖形的觀點解之.. 若 f (x) = 0 無實根, 則 f (x) 恆正或恆負. 3. 若首項係數為負, 則不等號左右可以先同乘以 1. 要點 5.38 ( 有重根的高次不等式 ) 若高次不等式經因式分解之後有重根, 則 代數法 圖形法 1. 若為奇數次方, 則直接降為 1 次方.. 若為偶數次方, 則直接拿掉, 並且另外討論零根. 1. 若為奇數次方, 則圖形直接穿過 x 軸.. 若為偶數次方, 則圖形在該點與 x 軸恰相切. 50

53 要點 5.39 ( 分式不等式與根式不等式 ) 設 A, B 為兩多項式, 則 A B > 0 AB > 0 A B 0 AB 0 B 0 A < B A 0 B > 0 A < B A > B A 0 (B < 0 (B 0 A > B )) 51

54 第 6 章指數與對數函數 指數 6.1 要點 6.1 ( 正整數指數的定義與指數律 ) 對任意實數 a, 正整數 n, 定義 Note: 0 0 無意義. ( 指數律 ) 對任意實數 a, b, 正整數 m, n, 則 1. a n a m = a n+m,. (a n ) m = a nm, 3. a n b n = (ab) n. a n = a a a. n 次 要點 6. ( 整數指數的定義與指數律 ) 對任意實數 a, a 0, 整數 n, 定義 ( 指數律 ) 對任意非零實數 a, b, 整數 m, n, 則 1. a n a m = a n+m,. (a n ) m = a nm, 3. a n b n = (ab) n. a 0 = 1, a n = 1 a n. 5

55 要點 6.3 ( 有理數指數的定義與指數律 ) 對任意實數 a, a > 0, 正整數 n, 整數 m, 定義 a 1 n = n a, a m n = ( n a) m = n a m. ( 指數律 ) 對任意正實數 a, b, 有理數 m, n, 則 1. a n a m = a n+m,. (a n ) m = a nm, 3. a n b n = (ab) n. 要點 6.4 ( 實數指數的定義與指數律 ) 對任意實數 a, a > 0, 實數 r, 定義 a r = lim n a rn, 其中,< r n > 數列為有理數數列, 且滿足 lim n r n = r. ( 指數律 ) 對任意正實數 a, b, 實數 m, n, 則 1. a n a m = a n+m,. (a n ) m = a nm, 3. a n b n = (ab) n. 要點 6.5 練習 6.1 練習 6. 對任意非零實數 a, 恆有 a + 1 = a 1 設 a > 0, x R, 已知 a x + a x = t, 則 1. 證明 : t,. 將 a x + a x, a 3x + a 3x, a x a x 以 t 表示. 答 : 1. 略. a x + a x = t, a 3x + a 3x = t 3 3t, a x a x = ± t 4. 解方程式 (4 x + 4 x ) 5( x + x ) + 6 = 0. 答 : x = 0. 53

56 練習 6.3 已知 x 0, 解方程式 x x x = (x x) x. 答 : x = 1 或 x = 9 4. ( 提示 : 考慮是否 x = 0, 1, 1, 若 x 0, 1, 1, 則 x a = x b a = b.) 練習 6.4 若 α, β 為 3 x 3 x = 0 之兩根, 求 α + β 之值. 答 : x = 3. 練習 6.5 設 m R, 若 3 x (m + 3)3 x (m 1) = 0 有兩相異實根, 求 m 之範圍. 答 : 0 < m < 1 ( 提示 : 令 t = 3 x, 則 t 的一元二次方程式有兩相異正根 判別式 > 0, 兩根之積 > 0, 兩根之和 > 0.) 練習 6.6 練習 6.7 設 ABC 的三邊長分別為 a, b, c, 且 7 a + 7 b + 7 c = 3 a+b+c+1, 則 ABC 為何種三角形? 答 : 正三角形. ( 提示 : 利用算幾不等式.) 設 a, x, y 皆為實數, 且 x + y = a, x y = 1, x + y = 3, 求 a 之值. 1 答 :. 33 指數函數及其圖形 6. 待補 : 指數函數的圖形 54

57 要點 6.6 ( 指數函數, 及其圖形 ) 設 a > 0, a 1, x R, 則稱 y = f (x) = a x 是 以 a 為底數的指數函數. 若 a > 1, 則 1. 圖形恆在 x 軸上方,. 必通過 (0, 1), 3. f (x) 為增函數, 亦即對任意實數 α, β, α > β f (α) > f (β), 4. 開口凹向上, 5. 漸近線 x 軸, 6. f (x) 為一對一函數, 亦即對任意實數 α, β, f (α) = f (β) α = β. 若 0 < a < 1, 則 1. 圖形恆在 x 軸上方,. 必通過 (0, 1), 3. f (x) 為減函數, 亦即對任意實數 α, β, α > β f (α) < f (β), 4. 開口凹向上, 5. 漸近線 x 軸, 6. f (x) 為一對一函數, 亦即對任意實數 α, β, f (α) = f (β) α = β. Note: 指數函數圖形的升降都超快. 要點 6.7 ( 半衰期 ) 半衰期 : 某種特定物質的物理量經過長時間之後, 降低到剩下原來的一半所需要的時間. 對數 6.3 要點 6.8 ( 對數的定義 ) 設 a > 0, a 1, x > 0, y R, 若 a y = x, 則定義 y = log a x, 其中 a 稱為 底數, b 稱為 真數, y 稱為 當 b 以 a 為底數時的對數值. Note: 1. 魚鉤法記憶.. 對數符號有意義 底數 > 0, 底數 1, 真數 > 0. 55

58 要點 6.9 ( 對數的性質 ) 設 a > 0, a 1 且 x, y 皆為正實數, 則 1. log a a = 1,. log a 1 = 0, 3. log a x y = log a x + log a y, 4. log a x y = log a x log a y, 5. log a x t = t log a x, 其中 t 為任意實數, 6. ( 換底公式 ) log a x = log b x log b a, 其中 b 為任意正實數, 且 b 1, 7. log a x = 1 log x a, 其中 x 1, 8. log a s x t = t s log a x, 其中 s, t 為任意實數, 且 s 0, 9. a log a b = b, 10. ( 蹺蹺板公式 ) x log a y = y log a x, 11. ( 連鎖公式 ) log a b log b c log c d log d e = log a e, 其中 a, b, c, d, e 皆滿足為底數的條件. 練習 6.8 若 log x 1 ( 3x + 11x 6) 有意義, 求 x 的範圍. 答 : 3 < x < 1 或 1 < x < 3. 練習 6.9 練習 6.10 已知 (log 10 x) log 10 x + 8 = 0 之兩根為 α, β, 求 αβ 之值. 答 : 100. 解方程式 x log 10 x = 100x, 求 x 之值. 1 答 : 100 或 10. 對數函數及其圖形 6.4 待補 : 函數的圖形. 56

59 要點 6.10 ( 對數函數, 及其圖形 ) 設 a > 0, a 1, x > 0, 則稱 y = f (x) = log a x 是 以 a 為底數的對數函數. 若 a > 1, 則 1. 圖形恆在 y 軸右方,. 必通過 (1, 0), 3. f (x) 為增函數, 亦即對任意實數 α, β, α > β f (α) > f (β), 4. 開口凹向下, 5. 漸近線 y 軸, 6. f (x) 為一對一函數, 亦即對任意實數 α, β, f (α) = f (β) α = β. 若 0 < a < 1, 則 1. 圖形恆在 y 軸右方,. 必通過 (1, 0), 3. f (x) 為減函數, 亦即對任意實數 α, β, α > β f (α) < f (β), 4. 開口凹向上, 5. 漸近線 y 軸, 6. f (x) 為一對一函數, 亦即對任意實數 α, β, f (α) = f (β) α = β. 要點 6.11 ( 對稱圖形 ) 設 a > 0, a 1, 則 y = a x 與 y = ( 1 a ) x 的函數圖形對稱於 y 軸. y = log a x 與 y = log 1 a x 的函數圖形對稱於 x 軸. y = a x 與 y = log a x 的函數圖形對稱於 y = x 直線. 練習 6.11 ( 剝殼法 ) 練習 6.1 若 log 10 log 3 log 1 log x 有意義, 求 x 的範圍. 答 : 1 < x <. 若 1 < x < 100, 求 y = f (x) = x 1 log 1 0x 的最大值與最小值. 答 : 最大值為 , 最小值為

60 練習 6.13 求下列各方程式的實根個數, 1. x 1 = log x.. x = log x + 1 答 : 1. 3 個 ;. 個. ( 提示 : 第二個方程式可以先改寫成 x 1 = log x.) 查表法與內插法 6.5 待補 : 對數表與查表法, 內插法. 要點 6.1 ( 常用對數與自然對數 ) 以 10 為底的對數, 稱為常用對數, 底數可以省略不寫, 如 log = log 10. 以無理數 e = 為底數的對數, 稱為自然對數, 可以簡寫為 ln, 如 ln = log e. 要點 6.13 (1 至 10 的常用對數值 ) 若 log = , log 3 = , log 7 = , 則 log 1 = 0, log 4 = log = 0.600, log 5 = 1 log = , log 6 = log + log 3 = , log 8 = 3 log = , log 9 = log 3 = 0.954, log 10 = 1. 要點 6.14 ( 首數與尾數 ) 設 a > 0, 則存在正實數 b 與整數 n, 滿足 0 b < 1, 使得 a = b 10 n, 此種表示法稱為 a 的科學記號 ( 或科學符號 ) 表示法, 此時 log a = n + log b, 其中 n 稱為 log a 的首數, log b (0 log b < 1) 稱為 log a 的尾數. Note: 首數必為整數, 而尾數必為 正小數或 0. 58

61 要點 6.15 ( 首數與尾數的公用 ) 要點 6.16 設 a > 0, 且 log a 的首數為 n, 尾數為 log b, 則 1. 若 n 0, 則 a 的整數部分為 n + 1 位數, 且最高位數字為 [b]. ( 最高位數字 亦稱為 首位數字.). 若 n < 0, 則 a 在小數點之後第 ( n) 個數字開始不是 0, 且小數點之後第一個不是 0 的數字是 [b]. Note: [b] 為 b 的高斯符號, 也就是不超過 b 的最大整數. 設 x, y 皆為正實數, 1. 若 log x 與 log y 尾數相等, 則 log x log y 為整數.. 若 log x 與 log y 尾數和為 1, 則 log x + log y 為整數 課堂之外 要點 6.17 ( 自然對數的底數 ) 定義 e = lim (1 + 1 n n n ), 則稱 e 為 自然對數的底數, 並且稱 以 e 為底數的對數函數 為 自然對數, 並以 ln x = log e x 表示. e 的性質有 e = ! + 1! + 1 3! + = 1 n=0 n!, 亦有書籍將此當作是 e 的定義. d dx ex = e x 且 1 x dx = ln x + c, 其中 c 為常數. 對任意實數 θ, 定義 e iθ = cos θ + i sin θ, 且 e iπ + 1 = 0 ( 尤拉公式 ). 59

62 第 7 章三角函數 待補上 : 已知三角形三高求面積的題目, 三角函數定義的 S,C,T 記憶法, 六角形記憶法 四賤客互換 萬能公式 廣義角與狹義角的快速切換公式. cos θ, sin θ 連乘 連加 ( 角度成公差 ) 公式. 銳角三角函數 7.1 待補 : 三角函數與單位圓上線段的關係. 要點 7.1 ( 銳角三角函數的定義 ) 設 ABC 的 C = 90, 則定義 sin A = A 的對邊斜邊 cos A = A 的鄰邊斜邊 = A 的正弦函數值, = A 的餘弦函數值, tan A = A 的對邊 = A 的正切函數值, A 的鄰邊 cot A = A 的鄰邊 = A 的餘切函數值, A 的對邊 sec A = 斜邊 = A 的正割函數值, A 的鄰邊 csc A = 斜邊 = A 的餘割函數值. A 的對邊 Note: 對任意角度 θ 與任意正整數 n, 定義 sin n θ = (sin θ) n, 其餘三角函數亦同理定義之. 要點 7. ( 求半角的方法 ) C θ D θ A θ B 已知 θ 的任何一個三角函數值, 要求 θ BAC = θ 且 AC = AD, 則 BDC = θ. 的六個三角函數值, 可藉由如上圖, 做出直角 ABC, 使得 60

63 要點 7.3 ( 三角函數與在單位圓上的線段 ) C D A E O θ B F 如圖為以原點為圓心的單位圓, 則 sin θ = AB, cos θ = OB, tan θ = EF, cot θ = CD, sec θ = OE, csc θ = OD. 要點 7.4 ( 斜率與斜角 ) 直角坐標平面上, 若有一直線 L ax + by + c = 0 交正向 x 軸的夾角為 α ( 斜角 ), 則 tan α = L 的斜率 = a b. 要點 7.5 ( 特殊角的三角函數值 ) sin cos tan cot sec csc

64 要點 7.6 ( 大小關係式 ) 設 θ 為銳角 ( 0 < θ < 90 ), 則 0 < sin θ < 1, 0 < cos θ < 1 且 sec θ > 1, csc θ > 1. sin θ, tan θ, sec θ 皆為遞增函數, 且 sin θ < tan θ < sec θ. cos θ, cot θ, csc θ 皆為遞減函數, 且 cos θ < cot θ < csc θ. 正餘函數的比較, 若 0 < θ < 45, 則 正函數 小於 餘函數, 即 sin θ < cos θ, tan θ < cot θ, sec θ < csc θ. 若 θ = 90, 則 正函數 等於 餘函數, 即 sin θ = cos θ, tan θ = cot θ, sec θ = csc θ. 若 45 < θ < 90, 則 正函數 大於 餘函數, 即 sin θ > cos θ, tan θ > cot θ, sec θ > csc θ. Note: 注意六個三角函數, 在以圓點為圓心的單位圓, 由圓心往第一象限所做的三角形的對應線段長. 三角函數的基本關係 7. 要點 7.7 ( 倒數關係式 ) 設 θ 為銳角, 則 sin θ csc θ = 1, cos θ sec θ = 1, tan θ cot θ = 1. 要點 7.8 ( 商數關係式 ) 設 θ 為銳角, 則 tan θ = sin θ cos θ, cot θ = cos θ sin θ. Note: 六角形的任一頂點, 都等於與之相鄰兩頂點的乘積. 要點 7.9 ( 平方關係式 ) 設 θ 為銳角, 則 sin θ + cos θ = 1, tan θ +1 = sec θ, 1 + cot θ = csc θ. 6

65 要點 7.10 ( 餘角關係式 ) 設 θ 為銳角, 則 sin (90 θ) = cos θ, cos (90 θ) = sin θ, tan (90 θ) = cot θ, cot (90 θ) = tan θ, sec (90 θ) = csc θ, csc (90 θ) = sec θ. 練習 7.1 設 θ 為銳角, 若 sin θ + cos θ =, 試求 sin θ 之值. 答 : 4 5. 要點 7.11 設 θ 為銳角, 則 sin θ ± cos θ, sin θ cos θ 與 tan θ + cot θ 三者可以互相轉換, 關係如下 (sin θ ± cos θ) = 1 ± sin θ cos θ. tan θ + cot θ = 1 sin θ cos θ. 練習 7. 已知 θ 為銳角, 對任意正整數 n, 定義 f (n) = cos n θ+sin n θ, 試証 : 對任何大於 的正整數 n 皆會成立. f (n) f (n + ) f (n ) = cos θ sin θ, 簡易測量與三角函數值表 7.3 要點 7.1 ( 邊角關係式 ) 設 ABC 的 C = 90, 則 1. 若斜邊為 l, 則 A 的對邊為 l sin A, A 的鄰邊為 l cos A.. 若 A 的鄰邊為 l, 則 A 的對邊為 l tan A, 斜邊為 l sec A. 3. 若 A 的對邊為 l, 則 A 的鄰邊為 l cot A, 斜邊為 l csc A. 要點 7.13 ( 度 分 秒 ) 1 = 60, 1 =

66 要點 7.14 ( 簡易三角測量 ) 視線 : 觀測者與觀測目標之連線. 鉛垂線 : 物體與地心之連線. 水平線 : 與鉛垂線垂直之直線. 俯角 : 由水平線往下移至視線之夾角. 仰角 : 由水平線往上移至視線之夾角. 斜角 : 平面上的直線與正向 x 軸的夾角. 坡度 : 即為斜率, 若平面上的直線之斜角為 θ, 則斜率為 tan θ. 方位 : 北 30 東, 即為由正北方偏東方 30 之視線. 東北, 即為正東邊與正北邊的角平分線. 東北東, 即為 東北 與正東邊的角平分線. 要點 7.15 ( 查三角函數值的表 ) 查詢三角函數值表時, 上方欄位 跟 左方欄位 相搭配, 左方欄位由上至下時, 角度由小至大. 下方欄位 跟 右方欄位 相搭配, 右方欄位由下至上時, 角度由小至大. 要點 7.16 ( 內插法 ) 欲使用內插法求三角函數直的近似值時, 先列出最接近角度的三角函數值, 然後比例, 找出 角度差距的比值 與 函數值差距的比值. 廣義角的三角函數 7.4 待補 : 象限角的三角函數值, 與圖解. 要點 7.17 ( 廣義角 ) 由始邊旋選至終邊, 逆時針為正, 順時針為負, 如此定義的有方向性的 有向角, 稱為 廣義角. 以正向 x 軸為始邊, 以原點為頂點的角, 稱為 標準位置角. 終邊位在象限軸上的標準位置角, 稱為 象限角. 終邊位在第一象限的角, 稱為第一象限角. ( 第二 三 四象限角, 亦同理定義之.) 64

67 要點 7.18 ( 同界角 ) 同界角 : 任兩角度如果相差的度數是 360 的整數倍數, 則稱為同界角. 兩同界角如果始邊及頂點重合, 則終邊亦會重合. α, β 為同界角 α β = 360 n, 其中 n 為整數. 最小正同界角 : 介在 0 ( 不含 ) 至 360 之間的同界角. 最大負同界角 : 介在 360 至 0 ( 不含 ) 之間的同界角. 要點 7.19 ( 廣義角的三角函數值 ) 設 θ 為標準位置角, 且在 θ 的終邊上任取異於原點的一點 P(x, y), 令 OP = r = x + y, 則定義 θ 的六個三角函數值如下 : sin A = y r, cos A = x r, tan A = y x, cot A = x y, sec A = r x, csc A = r y. O r = x +y θ x P(x, y) y Note: 1. 如果有分母為 0 的情形, 則該定義無意義.. 狹義角時所學到的三角函數關係式, 在廣 義角亦成立. 3. 同界角的三角函數值必相同. 65

68 要點 7.0 ( 廣義三角函數值的正負 ) 設 θ 為標準位置角, 若 θ 為第一象限角, 則 θ 的六個三角函數值皆正. 若 θ 為第二象限角, 則 sin θ, csc θ 為正, 其餘為負. 若 θ 為第三象限角, 則 tan θ, cot θ 為正, 其餘為負. 若 θ 為第四象限角, 則 cos θ, sec θ 為正, 其餘為負. 要點 7.1 ( 廣義三角函數值的範圍 ) 設 θ 為標準位置角, 則 sin θ 1 且 cos θ 1. tan θ R 且 cot θ R. sec θ 1 且 csc θ 1. 要點 7. ( 廣義角化狹義角的快速換算公式 ) 設 θ 為銳角,n 為整數,F 為某三角函數,coF 為 F 正餘互換之後的三角函數名稱, 則 F(90 n ± θ) = ± F(θ), 若 n 為偶數. cof(θ), 若 n 為奇數. 其中, 換算之後函數外的 ± 依照 F 在 90 n ± θ 所在象限時的正負值而定. Note: 1. 就算 θ 不是狹義角, 上述換算公式換算的結果, 依然會成立.. 最常用到 sin(180 θ) = sin θ, cos(180 θ) = cos θ. 66

69 要點 7.3 ( 三角函數的奇函數與偶函數 ) 設 θ 為標準位置角, 則 sin θ, tan θ, cot θ, csc θ 為奇函數, 亦即 sin( θ) = sin θ, tan( θ) = tan θ, cot( θ) = cot θ, csc( θ) = csc θ. cos θ, sec θ 為偶函數, 亦即 cos( θ) = cos θ, sec( θ) = sec θ. 正弦定理與餘弦定理 7.5 要點 7.4 ( 三角形面積之基本公式 ) 在 ABC 中, 已知 A, B, C 對邊分別為 a, b, c, 則 ABC 面積 = 1 ab sin C = 1 bc sin A = 1 ac sin B. 要點 7.5 ( 正弦定理 ) 在 ABC 中, 已知 A, B, C 對邊分別為 a, b, c, 且外接圓半徑為 R, 則 亦可寫成 a sin A = b sin B = c sin C = R. a = R sin A, b = R sin B, c = R sin C. 或是 a b c = sin A sin B sin C. 要點 7.6 ( 由四邊形對角線 夾角, 求面積 ) 在四邊形 ABCD 中, 已知兩對角線 AC 與 BD 夾角為 θ, 則 1 四邊形 ABCD 面積 = AC BD sin θ. 67

70 要點 7.7 ( 三角形面積之內切圓與外接圓半徑公式 ) 在 ABC 中, 已知 A, B, C 對邊分別為 a, b, c, h a, h b, h c 分別為 a, b, c 邊上之高, 令 s = a + b + c, 外接圓半徑為 R, 內切圓半徑為 r, 則 且 ABC 面積 = abc 4R = sr = R sin Asin B sin C, 1 r = , h a h b h c h a h b h c = 1 a 1 b 1 c tan A = r s a, tan B = r s b, tan C = r s c. 要點 7.8 ( 三角形面積之旁切圓半徑公式 ) 在 ABC 中, 已知 A, B, C 對邊分別為 a, b, c, 且 r a, r b, r c 分別為 a, b, c 三邊外側對應之傍切圓的半徑, 令 s = a + b + c, 則 ABC 面積 = r a (s a) = r b (s b) = r c (s c). 要點 7.9 ( 投影定理 ) 在 ABC 中, A, B, C 對邊分別為 a, b, c, 則 a = b cos C + c cos B, b = a cos C + c cos A, c = a cos B + b cos A. 練習 7.3 在 ABC 中, A, B, C 對邊分別為 a, b, c, 試證明 a(b + c ) cos A + b(c + a ) cos B + c(a + b ) cos C = 3abc. 證明提示 : 利用投影定理. 68

71 要點 7.30 ( 餘弦定理 ) 在 ABC 中, A, B, C 對邊分別為 a, b, c, 則 或可改寫成 a = b + c bc cos A, b = a + c ac cos B, c = a + b ab cos C. cos A = b + c a, bc cos B = a + c b, ac cos C = a + b c. ab 要點 7.31 ( 三角形形狀判斷 ) 在 ABC 中, 已知三邊長分別為 a, b, c, 且最大邊長為 a, 則 a > b + c ABC 為鈍角三角形. a = b + c ABC 為直角三角形. a < b + c ABC 為銳角三角形. 要點 7.3 ( 三角形的中線定裡與平行四邊形定理 ) 在 ABC 中, 已知 AD 為中線, 則 AB + AC = (AD + BD ). 在平行四邊形中, 已知兩相臨邊長為 x, y 對角線長為 a, b, 則 a + b = (x + y ), 即 對角線的平方和 等於 四邊的平方和. 69

72 要點 7.33 ( 斯圖爾特定理 (Stewart s theorem)) 在 ABC 中, 若 D 是 BC 上一點, 且 BD = p, DC = q, AB = c, AC = b, 則 AD = b p + c q p + q pq. 練習 7.4 證明提示 : 使用餘弦定理. ABC 中, 已知 D 為 BC 邊上的點, 且 AB = BD = 3, AC = 7, CD = 5, 試求 AD 長. 答 : 3. ( 解題提示 : 利用餘弦定理及 ABD 與 ABC 的 cos B 值會相等.) 要點 7.34 ( 三角形的內分比性質與外分比性質 ) 在 ABC 中, 已知 AD 為 A 內角角平分線, AE 為 A 外角角平分線, 則 1.. AB AC = DB DC, AB AC = EB EC. 要點 7.35 ( 三角形內角平分線速算法一 ) 在 ABC 中, D 為 BC 上一點, 且 AD 平分 A, 則 AD = AB AC DB DC. 70

73 要點 7.36 ( 三角形內角平分線速算法二 ) 在 ABC 中, D 為 BC 上一點, 且 AD 平分 A, 則利用 ABC 面積 = ABD 面積 + ADC 面積 1 AB AC sin A = 1 AB AD sin A + 1 AD AC sin A 利用正弦函數的倍角公式, 即可求得 AD = AB AC AB + AC cos A. 要點 7.37 ( 三角形外角平分線速算法一 ) 在 ABC 中, E 為 BC 上一點, 且 AE 平分 A 的外角, 則 AE = EB EC AB AC. 要點 7.38 ( 三角形外角平分線速算法二 ) 在 ABC 中, D 為 BC 上一點, 且 AD 平分 A, 則利用 ABC 面積 = ABE 面積 ACE 面積 1 AB AC sin A = 1 AB AE sin (90 + A ) 1 AE AC sin (90 A ) 利用正弦函數的倍角公式, 即可求得 AD = 要點 7.39 ( 三角形面積公式之海龍 (Heron) 公式 ) AB AC AB AC sin A. 在 ABC 中, 已知三邊長分別為 a, b, c, 令 s = a + b + c, 則 ABC 面積 = s(s a)(s b)(s c). 要點 7.40 設正 ABC 的內部有一點 P, 且 P 到 ABC 的三頂點距分別為 a, b, c, 則 ABC 面積 = 1 ( 3 4 (a + b + c ) + 3 s(s a)(s b)(s c)), 其中 s = a + b + c. ( 證明提示 : 把 PAB, PBC, PAC 各別以 A, B, C 三點為中心, 同方向旋轉至正 ABC 外面, 且與正 ABC 的三邊重合, 形成一個特大號六邊形, 則此六邊形面積為 ABC 面積的兩倍, 且是由三個邊長分別為 a, b, c 的正三角形, 與三個三邊長為 a, b, c 的全等三角形所形成, 再利用海龍公式可求出六邊形面積.) 71

74 要點 7.41 ( 托勒密定理 ) 要點 7.4 設四邊形 ABCD 內接於一圓上, 則 亦即, 對角線乘積 = 兩對邊乘積之和. AC BD = AB CD + BC AD. Note: 對平面上的任意四邊形 ABCD, 恆有 AC BD AB CD + BC AD. 若 a 1 x + b 1 y + c 1 z = 0 a x + b y + c z = 0, 則 x y z = b 1 c 1 b c c 1 a 1 c a a 1 b 1 a b. 要點 7.43 ( 圓內接四邊形, 求對角線長 ) 圓內接四邊形, 已知四邊長, 要求對角線長時, 可利用對角互補的特性, 分列兩個餘弦函數值, 解 聯立方程式. 要點 7.44 ( 三角形給三中線長, 求面積 ) 已知 ABC 三中線長分別為 m a, m b, m c, 且令 m = m a + m b + m c, 則 ABC 面積 = 4 3 m (m ma ) (m m b ) (m m c ). 證明提示 : 延長重心到任一邊上中點的距離, 做出以三中線的 海龍公式求出該三角形面積, 再放大三倍即為所求. ( 圖形待補 ) 要點 7.45 ( 三角形給三高長, 求面積 ) 證. 倍線段長為三邊的三角形, 利用 3 已知 ABC 三高長分別為 h a, h b, h c, 且令 ABC 面積為 S, 則 1 S = ( ) ( ) ( ) ( ). h a h b h c h a h b h c h a h b h c h a h b h c 證明提示 : 利用 S = 1 ah a = 1 bh b = 1 ch c a = S h a, b = S h b, c = S h c, 再帶入海龍公式, 即可得 在課堂之外 7

75 要點 7.46 ( 圓內接四邊形對角線長公式 ) 設四邊形 ABCD 內接於一圓上, 且四邊長 AB, BC, CD, DA 長分別為 a, b, c, d, 則 (ab + cd) (ac + bd) 對角線 BD 長 =. ad + bc 證明提示 : 利用 cos DAB = cos BCD 及餘弦定理. 要點 7.47 ( 圓內接四邊形面積公式, 婆羅摩笈多公式 (Brahmagupta s formula)) 設四邊形 ABCD 內接於一圓上, 且四邊長依序為 a, b, c, d, 令 s = a + b + c + d, 則 四邊形 ABC 面積 = (s a)(s b)(s c)(s d). 要點 7.48 ( 任意的四邊形面積公式, 推廣的婆羅摩笈多公式 ) 推廣的婆羅摩笈多公式, 對任意的四邊形面積如下, (s a)(s b)(s c)(s d) abcd cos θ, 其中 θ 是四邊形的一組對角和的一半. (s a)(s b)(s c)(s d) 1 4 (ac + bd + pq)(ac + bd pq), 其中 p, q 是四邊形的兩條對角線長. 要點 7.49 (Pick 公式 ) 若 ABC 的三個頂點都是格子點, 且 ABC 內部格子點總數目為 I, 三邊上格子點的數目為 S, 則 ABC 面積 = I + 1 S 1. 基本三角測量 7.6 要點 7.50 ( 畫圖與解題技巧 ) 若題目敘述中有出現 仰角 俯角, 且同時出現方位, 則圖形為立體圖, 畫圖時, 先將三個軸的方向畫出來, 然後將題目切割成眾多小三角形, 再找邊角關係, 會較容易解題. 若有直角三角形可用畢氏定理, 或是特殊角度的三角形可用邊長比例, 其他則用正弦定理與餘弦定理處理. 三角函數的圖形 7.7 變 ). 待補 : 三角函數的圖形 週期函數, 最小正週期, 三角函數的圖形, 圖形的伸縮與平移 ( 與週期的改 73

76 要點 7.51 ( 弧度的定義 ) 設扇形之圓心角為 θ, 半徑為 r, 弧長為 s, 則 θ( 弧度 ) = s r. π( 弧度 ) = 180 且 1( 弧度 ) = ( 180 π ) 且 1 = ( π 180 ) ( 弧度 ) ( 弧度 ) 且 1( 弧度 ) 要點 7.5 ( 扇形面積公式 ) 設扇形之圓心角為 θ ( 弧度 ), 半徑為 r, 弧長為 s, 則扇形面積 = 1 r θ = 1 sr. 要點 7.53 ( 週期函數 ) 對於函數 f (x), 若存在實數 p > 0, 使得 f (x + p) = f (x) 恆成立, 則稱 f (x) 為 週期函數, 並稱 p 為 f (x) 的 週期. Note: 對於三角函數, 常簡稱其 最小正週期 為三角函數的 週期. 74

77 要點 7.54 ( 正弦與餘弦函數的圖形 ) 正弦函數 y = sin x, 週期 : π, 且函數值的範圍 : 1 sin x 1, 振幅 : 1. 餘弦函數 y = cos x, 週期 : π, 且函數值的範圍 : 1 cos x 1, 振幅 : 1. Note: 振幅的定義為 函數最大值 函數最小值. 75

78 要點 7.55 ( 正切與餘切函數的圖形 ) 正切函數 y = tan x, 週期 π, 且當 x = π + π k (k Z) 時,tan x 不存在, 且函數值的範圍 : tan x R. 餘切函數 y = cot x, 週期 π, 且當 x = π k (k Z) 時,cot x 不存在, 且函數值的範圍 : cot x R. 76

79 要點 7.56 ( 正割與餘割函數的圖形 ) 正割函數 y = sec x, 週期 π, 且當 x = π + π k (k Z) 時,sec x 不存在, 且函數值的範圍 : sec x 1 或 sec x 1. 餘割函數 y = csc x, 週期 π, 且當 x = π k (k Z) 時,csc x 不存在, 且函數值的範圍 : csc x 1 或 csc x 1. 77

80 要點 7.57 ( 圖形的伸縮與平移 ) 若方程式 y = f (x) 的圖形為 Γ 1, 將 Γ 1 平行 x 軸方向, 移動 k 單位, 所得新圖形 Γ 的新方程式為 y = f (x) + k. 將 Γ 1 平行 y 軸方向, 移動 h 單位, 所得新圖形 Γ 3 的新方程式為 y = f (x h). 將 Γ 1 平行 y 軸方向, 以 x 軸為中心, 伸縮為原來長度 a 單位, 所得新圖形 Γ 4 的新方程式為 y = a f (x). 將 Γ 1 平行 x 軸方向, 以 y 軸為中心, 伸縮為原來長度 b 單位, 所得新圖形 Γ 5 的新方程式為 y = f ( x b ). Note: 週期函數若經 上下平移 左右平移 上下伸縮 皆不影響週期, 唯有 左右伸縮 會影響週期. 和角公式 7.8 要點 7.58 ( 正弦與餘弦函數的和角公式 ) 設 α, β 為實數, 則 sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β, sin (α β) = sin α cos β cos α sin β, cos (α + β) = cos α cos β sin α sin β, cos (α β) = cos α cos β + sin α sin β. 要點 7.59 ( 正弦與餘弦函數的平方差公式 ) 設 α, β 為實數, 則 sin (α + β) sin (α β) = sin α sin β = cos β cos α, cos (α + β) cos (α β) = cos α sin β = cos β sin α. 78

81 要點 7.60 ( 正切與餘切函數的和角公式 ) 設 α, β 為實數, 則 tan (α + β) = tan (α β) = cot (α + β) = cot (α β) = tan α + tan β 1 tan α tan β, tan α tan β 1 + tan α tan β, cot α cot β 1 cot β + cot α, cot α cot β + 1 cot β cot α. Note: 1. tan 角度相加 ( 減 ), 則分子相加 ( 減 ), 分母異號.. cot 公式, 對於 tan 公式, 剛好上下顛 倒, 左右交換. 要點 7.61 在 ABC 中, 三內角分別為 A, B, C, 則 tan A + tan B + tan C = tan Atan B tan C, cot Acot B + cot B cot C + cot C cot A = 1, cot A + cot B + cot C = cot A cot B cot C, tan A tan B + tan B tan C + tan C tan A = 1. Note: 將上式的充分條件改成 A + B + C = k π (k Z) 亦可. 要點 7.6 若 α + β = π 4, 則 (1 + tan α) (1 + tan β) =. Note: 將上式的充分條件改成 α + β = π 4 + k π (k Z) 亦可. 練習 7.5 練習 7.6 試求 (1 + tan 1 ) (1 + tan ) (1 + tan 3 ) (1 + tan 45 ) 之值. 答 : 3. 設 tan α, tan β 為 x +9x 4 = 0 的兩根, 試求 sin (α+β)+9 sin(α+β) cos(α+β) 4 cos (α+β) 的值. 答 : 4. 79

82 要點 7.63 ( 兩直線的交角 ) 平面上, 相交於一點的兩直線 L 1, L 斜角分別為 α, β, 斜率分別為 m 1, m, 且兩直線交角為 θ, 則 m 1 = tan α, m = tan β. tan θ = ± m 1 m 1 + m 1 m. 若 L 1 逆時針旋轉 θ 角可與 L 重合, 則 tan θ = m 1 m 1 + m 1 m. Note: 若 ax + bx y + cy + dx + e y + f = 0 表示相交的兩直線, 且交角為 θ, 則 b 4ac tan θ = ±. a + c 倍角公式與半角公式 7.9 要點 7.64 ( 二倍角公式 ) 設 θ 為實數, 則 sin θ = sin θ cos θ = tan θ 1 + tan θ, cos θ = cos θ sin θ = cos θ 1 = 1 sin θ = 1 tan θ 1 + tan θ, tan θ tan θ = 1 tan θ. 要點 7.65 ( 三倍角公式 ) 設 θ 為實數, 則 sin 3θ = 3 sin θ 4 sin 3 θ, cos 3θ = 4 cos 3 θ 3 cos θ. Note: 記憶用諧音 : 1. 三上富士山上.. 塊三 = 四塊三減三塊 ( 台語發音 ) 額外補充 : tan 3θ = 3 tan θ tan3 θ. 1 3 tan θ 練習 7.7 試求 sin 18 之值. 答 : sin 18 = ( 提示 : 除了使用倍角公式, 亦可畫圖直接證明.) 80

83 要點 7.66 sin(60 θ) sin θ sin(60 + θ) = 1 sin 3θ 4 cos(60 θ) cos θ cos(60 + θ) = 1 cos 3θ 4 tan(60 θ) tan θ tan(60 + θ) = tan 3θ 要點 7.67 ( 半角公式 ) 設 θ 為實數, 則 sin θ cos θ tan θ θ 其中 ± 依照所在的該三角函數正負而定. Note: 降次, 則角度倍增. 要點 7.68 設 θ 為實數, 則 1 cos θ = ±, 1 + cos θ = ±, 1 cos θ = ± 1 + cos θ sin θ = 1 + cos θ = 1 cos θ = sin θ 1 + sin θ = sin θ + cos θ, 1 sin θ = sin θ cos θ, 1 + cos θ = cos θ, 1 cos θ = sin θ. 1 + sin θ cos θ 1 + sin θ + cos θ. 要點 7.69 設 θ 為實數,n 為正整數, 則 sin π n = cos π n = ( 其中分子有 n 1 個 ), ( 其中分子有 n 1 個 ). 81

84 要點 7.70 在 ABC 中, A, B, C 對邊分別為 a, b, c, 令 s = a + b + c sin A (s b)(s c) =, bc cos A s(s a) =, bc tan A = (s b)(s c). s(s a), 則 練習 7.8 考題 7.1 證明提示 : 利用半角公式及餘弦定理. 設 0 < x < π, 試求 (cos x + 1) sin x 的最大值為何? 答 : 提示 : 半角公式加上算幾不等式. 空間中, 有三球面兩兩外切, 且三球的半徑分別為 4, 9, 16, 已知有兩相異平面為三球之公切面, 若此兩公切面所夾銳角為 θ, 試求 cos θ. 答 :cos θ = ( 解題提示 : 先考慮三個球心所構成的三角形邊長為 13, 0, 5, 用海龍公式可求出三角形面積, 球心到切平面的投影點的三角形邊長 ( 外公切線長 ) 分別為 4 9, 4 16, 9 16, 亦即 1, 16, 4, 且由海龍公式可求得投影後的三角形面積, 投影後三角形面積 = cos θ 原三角形面積, 可求得 cos θ, 再用倍角公式可得 cos θ.) 要點 7.71 設 O 為原點, 且直線 L ax + by + c = 0 與圓 C x + y = r 交於 A, B 兩點, 且以正向 x 軸為始邊旋轉到 OA, OB 為終邊的的有向角分別為 α, β, 則 tan ( α + β ) = 自 O 往 L 所作垂線的斜率 = b a. 和差化積 積化和差

85 要點 7.7 ( 積化和差 ) 對任意實數 α, β, 恆有 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α β), cos α sin β = sin (α + β) sin (α β), cos α cos β = cos (α + β) + cos (α β), sin α sin β = cos (α + β) cos (α β). 要點 7.73 ( 和差化積 ) 對任意實數 α, β, 恆有 sin α + sin β = sin ( α + β sin α sin β = cos ( α + β cos α + cos β = cos ( α + β cos α cos β = sin ( α + β ) cos ( α β ), ) sin ( α β ), ) cos ( α β ), ) sin ( α β ). 練習 7.9 設 a, b, A, B 皆為實數,b 0, 若 sin A + sin B = a 且 cos A + cos B = b, 試求 (1) cos (A B), () tan ( A + B ), (3) sin (A + B), (4) cos (A + B), (5) tan (A + B). 解答 : (1) a + b 1, () a b, (3) 要點 7.74 sin, cos 連加或連乘的題目, 解題技巧 : ab a + b, (4) b a a + b, (5) ab b a. 遇到 cos 連乘, 且角度 倍增, 則同乘 n sin θ, 再利用 sin 的倍角公式解之. 公差 遇到 sin 或 cos 連加, 角度成等差, 則同乘 sin ( ), 再利用積化和差解之. 要點 7.75 對於任意角度 θ, cos θ + cos (θ + 10 ) + cos (θ + 40 ) = 0, sin θ + sin (θ + 10 ) + sin (θ + 40 ) = 0. Note: 善用靜力平衡的觀念來解釋. 83

86 要點 7.76 ( 正切定理 ) 在 ABC 中, A, B, C 對邊分別為 a, b, c, 則 A B a b tan a + b = tan A + B, b c b + c = c a tan c + a = tan B C tan B + C C A tan C + A,. 要點 7.77 在 ABC 中, 三內角分別為 A, B, C, 則 sin A + sin B + sin C = 4 cos A cos B cos C, sin A + sin B + sin C = 4 sin Asin B sin C, cos A + cos B + cos C = sin A sin B sin C, cos A + cos B + cos C = 1 4 cos Acos B cos C. 練習 7.10 在銳角 ABC 中, 已知 sin (A + B) = 3 5, sin (A B) = 1 5, 設 AB = 3, 且 AB 邊上的高為 CD, 求 CD 長. 答 : + 6. ( 提示 : CD = 3 (cot A + cot B), 其中 cot A+ cot B = cos A sin A + cos B sin B 可得 sin Asin B, 帶回即可得 CD.) 練習 7.11 = sin (A + B) sin Asin B, 利用積化和差, 已知四邊形 ABCD 內皆於以 AB 為直徑的圓且 AD + BC = 9, AC + BD = 18, AC 與 BD 的銳夾角為 θ, 求 sin θ 之值. 答 : 4 5. ( 提示 : 令 ABD = α, CAB = β, 則 tan α + β 之值, 再用萬能公式, 可得 sin θ = sin (α + β) 之值.) AD + BC AC + BD = 9 sin α + sin β 18 cos α + cos β = 1, 再用和差化積, 可得 在課堂之外 84

87 要點 7.78 對任意實數 α, β, 恆有 tan α tan β = cot α cot β = tan α cot β = tan α + tan β cot α + cot β cot α + cot β tan α + tan β tan α + cot β α cot β = tan cot α + tan β cot α tan β. = tan α tan β cot α cot β, = cot α cot β tan α tan β, 要點 7.79 對任意實數 α, β, γ, 恆有 sin α sin β sin γ = 1 ( sin (α + β + γ) + sin ( α + β + γ) + sin (α β + γ) + sin (α + β γ)), 4 cos α cos β cos γ = 1 (cos (α + β + γ) + cos ( α + β + γ) + cos (α β + γ) + cos (α + β γ)), 4 sin α sin β cos γ = 1 ( cos (α + β + γ) + cos ( α + β + γ) + cos (α β + γ) cos (α + β γ)). 4 正弦與餘弦函數的疊合 7.11 待補 : 疊合之後的圖形. 要點 7.80 ( 正弦與餘弦函數的疊合 ) 設 a, b 為非零實數,θ 為任意實數, 則 y = a cos θ + b sin θ = a a + b ( a + b cos θ + b sin θ) a + b = a + b sin (θ + α) = a + b cos (θ + β) 其中 α = tan 1 a b, β = tan 1 b a. 要點 7.81 ( 正弦與餘弦函數疊合後的值域 ) 設 a, b 為非零實數,θ 為任意實數, 則 a + b a cos θ + b sin θ a + b 85

88 要點 7.8 設 x 為實數, 如果令 t = sin x + cos x, 則 1. sin x cos x = t 1,. tan x + cot x = 1 sin x cos x = t 1, 且 t = sin x + cos x = sin (x + π 4 ) 有範圍限制 : t. Note: 1. 設 a, b, c 為實數, 則形如 f (x) = a (sin x + cos x) + b sin x cos x + c 的函數, 可以利用上 列的變數變換, 找出函數的最大值與最小值.. 凡有變數變換, 皆要注意變數的範圍是否有所改變. 要點 7.83 設 a, b, c, d 皆為實數, 則 f (x) = a sin x + b sin x cos x + c cos x + d 要求極值, 可以利用倍角公 1 cos x sin x 1 + cos x 式降次, 變成 f (x) = a + b + c + d, 經整理成 Asin x + B cos x + C, 再經由疊合, 可求得極值. 練習 7.1 練習 7.13 設 f (x) = 3 cos x sin x + sin x cos x, 求 f (x) 的最大值與最小值. 答 : 與 1 5. 已知 f (x) = (1 + sin x) (1 + cos x), 1. 若 x R, 試求 f (x) 的最大值與最小值.. 若 π 4 x π, 試求 f (x) 的最大值與最小值. 答 : 1. 最大值 : 3 + ; 最小值 : 0.. 最大值 : 3 + ; 最小值 :. ( 解題提示 : 令 t = cos x + sin x, 則 sin x cos x 可以 t 表示, 且 t 有範圍限制. ) 練習 7.14 求 y = 1 3 cos x + sin x 的最大值與最小值. 答 : 與 練習 7.15 求 3 cos 10 1 sin 10 之值. 答 : 4. 反三角函數 7.1 要點 7.84 定義反正弦函數 sin 1 x = y 為滿足條件 1 x 1 且 π y π 且 sin y = x 的函數. 86

89 要點 7.85 定義反正餘函數 cos 1 x = y 為滿足條件 1 x 1 且 0 y π 且 cos y = x 的函數. 要點 7.86 定義反正切函數 tan 1 x = y 為滿足條件 x R 且 π < y < π 且 tan y = x 的函數. 要點 7.87 ( 反三角函數的性質 ) 設 x 為滿足各反三角函數定義的實數, 則 sin 1 ( x ) = sin 1 x, tan 1 ( x ) = tan 1 x, cos 1 ( x ) = π cos 1 x. 要點 7.88 ( 解三角方程 ) 解三角方程式, 求角度的時候, 如果答案要以反三角函數表示, 必須要注意該三角函數在一個週期內的解, 及其同界角, 都是解答. ( 先求特殊解, 再求通解 ) 複數的極式 7.13 待補 : 尤拉公式,e iθ 的定義. 要點 7.89 ( 複數的極式 ) 設複數平面上一點 P z = x + yi (x, y R) 為非零複數, 且 O 為原點, 則 z = z ( x z + y z i) = z (cos θ + i sin θ), 其中 z = x + y 稱為 z 的向徑, θ 為 由正向 x 軸為始邊旋轉到 OP 為終邊的有向角, 稱為 z 的幅角, 記作 θ = arg(z), 如果 0 θ < π, 則稱為 z 的主幅角, 記作 θ = Arg(z). 練習 7.16 Note: 0 = 0(cos θ + i sin θ), θ R, 0 沒有主幅角. 設複數 z 滿足 z 1 = z 且 Arg ( z 1 z ) = π 3, 試求 z 的值. i 解答 :. 3 87

90 要點 7.90 ( 複數極式的乘法與除法 ) 設 z 1, z 為兩複數, 且化為極式為 z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ), z = r (cos θ + i sin θ ), 則 z 1 z = r 1 r (cos (θ 1 + θ ) + i sin (θ 1 + θ )). z 1 z = r 1 r (cos (θ 1 θ ) + i sin (θ 1 θ )), 其中 z 0. 1 z 1 = 1 r 1 (cos ( θ 1 ) + i sin ( θ 1 )), 其中 z 1 0. 要點 7.91 ( 複數乘法的幾何意義 ) 設 z 1, z 為兩複數, 且化為極式為 z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ), z = r (cos θ + i sin θ ), 若 z 1 在複數平面上的對應點為 P, 且 Q 點對應複數為 z 1 z = r 1 r (cos (θ 1 + θ ) + i sin (θ 1 + θ )), 則表示將 OP 伸縮 z 倍, 再以 O 為圓心旋轉 θ 角, 即可得 P 點坐標. 複數平面上, 對於任異於原點 O 的兩點 A(z 1 ), B(z ), 則 為 AOB 或其同界角. 練習 7.17 Note: 用複數乘法, 可以作平面上點坐標的旋轉. z 1 z 的主幅角即為 AOB, z 1 的幅角即 z 設 α, β 為兩複數, 滿足 β αβ + 4α = 0 且 α beta = 3, 求 0, α, β 在複數平面上所代表的點, 所形成之三角形的面積值. 答 : 3. ( 提示 : 先由 ( β α ) ( β α ) + 4 = 0 β α = 1 ± 3i = (cos (±60 ) + i sin (±60 )), 令 α = r, β = r, 利用 α, β 主幅角相差 ±60, α β = 3, 及餘弦定理, 可得 r, 即可得三角形面積為 1 r r sin 60. ) 要點 7.9 ( 隸美弗定理 ) 設 z 為複數, 且化為極式為 z = r(cos θ + i sin θ), r > 0, 則 z n = r n (cos nθ + i sin nθ), n N. Note: 1. 複數 n 次方, 則長度 n 次方, 且角度 n 倍.. 當 n 為 0, 負整數, 有理數, 甚至實數時, 隸 美弗定理也成立, 其中實數次方數的證明可用有理數數列逼近之. 要點 7.93 ( z = 1 的性質 ) 設 z 為複數, 若 z = 1, 則 z 1 + z = z z z = 1. 88

91 要點 7.94 設 z 為複數, 且滿足 z + 1 z = cos θ, 則 1. z n + 1 = cos nθ. zn. z n 1 = ±i sin nθ. zn Note: 可解得 z = cos θ ± i sin θ. 要點 7.95 (1 的 n 次方根 ) 設 z 為複數, 解 z n = 1 可得 1 的 n 個 n 次方根為 z k = cos kπ kπ + i sin n n = (cos π n + i sin π k n ) 其中,k = 0, 1,,, n 1. 此 n 個根畫在複數平面上, 即為以原點為圓心, 以 1 為半徑的內接正 n 邊形的 n 個頂點 ( 恰有一頂點通過 1 + 0i). Note: 1. 通常令 ω = cos π n + i sin π n, 只要滿足 gcd(k, n) = 1 的 ω k 皆稱為 1 的 n 次本原根 ( 所有根 的生成元 ).. 只要 k 屬於 modulo n 的完全剩餘系 (complete residue system), 則 z k 所成的解集合皆相同. 要點 7.96 ( 複數的 n 次方根 ) 設 z, a 為複數, 解 z n = a 時, 先將 a 化成極式 a = r (cos θ + i sin θ), 其中 r = a, θ = arg(a), 則 a 的 n 個 n 次方根為 z k = = n r (cos θ + kπ n + i sin θ + kπ ) n n r (cos θ n + i sin θ n ) (cos π n + i sin π n ) k 其中,k = 0, 1,,, n 1. 此 n 個根畫在複數平面上, 即為以原點為圓心, 以 θ 邊形的 n 個頂點 ( 旋轉角度的正 n 邊形 ). n Note: n r 為半徑的內接正 n 1. 通常令 α 0 = n r (cos θ n + i sin θ n ) ( 特殊解 ) 且 ω = cos π n + i sin π n, 則 z k = α 0 ω k. 只要 k 是屬於 modulo n 的完全剩餘系 (complete residue system), 則 z k 所成的解集合皆相同. 89

92 要點 7.97 (1 的 n 次方根的性質 ) 令 ω = cos π n + i sin π n, 則 1. ω 為 z n = 1 的複數根, 亦即 ω n = 1.. ω, ω,, ω n 1 為 1 + x + x + + x n 1 = 0 的根. 3. (x ω) (x ω ) (x ω n 1 ) = 1 + x + x + + x n ω + ω + + ω n 1 = 對於任意整數 k 恆有 ω k + ω k+1 + ω k+ + + ω k+n 1 = (1 ω) (1 ω ) (1 ω n 1 ) = n. 要點 7.98 ( 極坐標 ) 設 P (x, y) 為直角坐標平面上一點, 且 O 為原點, 令 OP = r, 以正向 x 軸為始邊且以 OP 為終邊的有向角為 θ, 則 其中 [r, θ] 稱為 P 點的 極坐標. 要點 7.99 P (x, y) = P (r cos θ, r sin θ) = P [r, θ], 若平面上有兩點極坐標分別為 P[r 1, θ 1 ], Q[r, θ ], 且 O 為原點, 則 1. PQ = r 1 + r r 1r cos (θ 1 θ ).. ABC 面積 = 1 r 1r sin ( θ 1 θ ). Note: 第一點利用餘弦定理, 第二點利用三角形面積公式, 即可得證 在課堂之外 要點 (sin, cos 連乘式的公式速解 ) 設 n 為正整數, 則 π sin n + 1 sin π n + 1 sin 3π n + 1 sin nπ n + 1 π cos n + 1 cos π n + 1 cos 3π n + 1 cos nπ n + 1 sin π π sin n n cos π π cos n n 3π (n 1)π sin sin n n 3π (n 1)π cos cos n n = = = = n + 1, n 1, n n, n 1 n. n 1 90

93 證明 : Step 1. 令 ω = cos π n i sin π n + 1, 則 (x ω)(x ω ) (x ω n ) = xn+1 1 x 1 將 x = 1 代入上式, 並取絕對值, 可得 = x n + x n x + 1. 其中, 對任意正整數 k = 1 n, 1 ω k = 1 cos kπ kπ i sin n + 1 n + 1 = sin kπ n + 1 sin (1 ω)(1 ω ) (1 ω n ) = n + 1. kπ n + 1 i cos = sin kπ kπ n + 1 = sin i sin kπ n + 1 kπ n + 1. n + 1 cos kπ n + 1 故, π sin n + 1 sin π n + 1 sin 3π nπ sin n + 1 n + 1 π ( sin n + 1 sin π n + 1 sin 3π sin nπ n + 1 n + 1 ) π sin n + 1 sin π n + 1 sin 3π sin nπ n + 1 n + 1 π sin n + 1 sin π n + 1 sin 3π n + 1 sin nπ n + 1 Step. 將 Step 1. 證明中, 改以 x = 1 代入, 後續同理化減, 可得 = n + 1 = n + 1 = n + 1 n + 1 =. n Step 3. cos π n + 1 cos π n + 1 cos 3π n + 1 cos nπ n + 1 = 1. n 將 Step 1. 證明中, 改以 ω = cos π π + i sin 開始, 後續 x = 1 帶入, 同理化減, 可得 n n 且由 cos π π cos n n sin π π sin n n = sin ( π π n ) sin (π π (n 1)π = sin sin n n = n 1 3π (n 1)π sin sin n n 3π (n 1)π cos cos n n n ) sin (π 3π (n )π n sin = n n 1 n ) sin (π (n 3)π sin π n n (n 1)π ) n 91

94 第 8 章平面向量 待補上 : 西瓦定理 孟氏定理 迪沙格定理 費馬點 尤拉線 九點圓 尤拉定理 (V +F = E+) 幾何學相關知識 有向面積 重心規範坐標 重心坐標 ( 面積坐標 ), 坐標化解題法, 斜坐標表示法, i, j, k. 有向線段與向量 8.1 要點 8.1 ( 向量 ) 定義 AB 表示由起始點 A 至終點 B 所形成的向量, 且向量大小 AB = AB. 若兩向量大小相等且方向相同, 亦即經平移之後, 兩向量的始端與終端會重合, 則稱兩向量相等. 若起始點與終點重合, 則稱為 零向量, 記做 0, 例如對任意點 A, B, AA = BB = 0. Note: 1. AB = B A.. 向量與其所在位置無關, 只有跟它的大小及方向有關. 3. 向量可以任意平移. 4. 習慣上, 常以小寫字母表示向量的名稱, 以大寫字母表示坐標點的名稱. 要點 8. ( 向量加減法 ) 向量加法, 1. 平行四邊形法 : 始端相合. 平行四邊形 ABCD 中, AB + AD = AC.. 三角形法 : 頭尾相接. AB + BC = AC. 3. 對任意點 O, 恆有 向量減法, 對任意點 O 恆有, 1.. AB = AO BO. AB = OB OA. 其它特形, AB = AO + OB. 1. 對任意點 P 1, P,, P n, 恆有. 3. AB + 0 = 0 + AB = AB. AB = AP1 + P 1 P + + P n B. AB = BA, 且 AB + ( AB) = AB + BA = 0 9

95 要點 8.3 ( 向量的係數積 ) 對於任意非零向量 a 與任意實數 r, 則有 1. 若 r > 0, 則 r a 與 a 方向相同, r a 長度為 a 的 r 倍.. 若 r < 0, 則 r a 與 a 方向相反, r a 長度為 a 的 r 倍. 3. 若 r = 0, 則 r a = 0. Note: r a a. 對於任意兩非零向量 a, b 與任意實數 r, s, 恆有 1. 分配律 : r ( a + b ) = r a + b. 分配律 : (r + s) a = r a + s a 3. 結合律 : r (s a ) = rs ( a ) = s (r a ) 要點 8.4 ( 向量的內積 ) 設 a, b 為兩非零向量, 若 a, b 兩向量經平移至起始端相合之後, 夾角為 θ (0 θ 180 ), 則定義 a b = a b cos θ, 稱為 a, b 兩向量的 內積. 定義 : 零向量與任意向量的內積皆為 0. Note: 1. 向量求夾角時, 一定要先讓始端相合, 且夾角取介在 0 到 180 之間者.. 若兩向量夾鈍角, 則內積為負 ; 夾銳角, 則內積為正 ; 夾直角, 則內積為零. 內積的性質 : 對於任意向量 a, b, c, 與任意實數 r, s, 恆有 a b = b a. ( 交換律 ) a ( b + c ) = a b + a c. ( 分配律 ) a a = a. 4. (r a ) b = a (r b ) = r ( a b ) 5. r a + s b = r a + rs a b + s b. 6. a + b + c = a + b + c + ( a b + b c + c a ). 7. ( a + b ) ( a b ) = a b. 93

96 要點 8.5 ( 向量的平行與垂直 ) 設 a, b 為兩非零向量, 且 a, b 兩向量的夾角為 θ (0 θ 180 ), 1. 若 θ = 90, 則稱 a 與 b 垂直, 記作 a b.. 若 θ = 0 或 θ = 180 ( 亦即, 方向恰相同或相反 ), 則稱 a 與 b 平行, 記作 a b. 定義 : 零向量 0 沒有方向, 且零向量 0 與任意向量皆平行, 也與任意向量都垂直. (Note: 零向量與任何向量都是共線向量.) 對於任意兩向量 a 與 b, 1. 垂直的性質 : a b a b = 0.. 平行的性質 : a b 存在實數 r, 使得 a = r b. 向量的基本應用 8. 待補 : 單位向量 投影量 投影 要點 8.6 ( 向量的線性組合 ) 成 設平面上有不平行的兩向量 u, v, 則 1. 對任意 α, β R,α u + β v = 0, 若且唯若 α = β = 0.. 對該平面上任一向量 w, 恰 ( 存在且唯一 ) 有一組 (α, β) R, 使得 w = α u + β v. 設 O, A, B 為不共線的相異三點, 則對於 O, A, B 所在平面上的任意點 C, OC 必可唯一地表示 OA 與 OB 的線性組合, 亦即存在有唯一的一對實數 x 與 y, 使得 OC = xoa + yob. 要點 8.7 ( 分點公式 ) 設 O 為任意動點, P 為 AB 上的一點, 且 AP BP = m n, 則 若 P 為 AB 的內分點, 亦即 A P B, 則 若 P 為 AB 的外分點, 且 A B P, 則 若 P 為 AB 的外分點, 且 P A B, 則 OP = OP = OP = n m OA + OB. m + n m + n n m OA + OB. m n m n n m OA + OB. m + n m + n Note: 最後的兩個外分點公式, 其實是相同的, 可以只敘述一個就好. 94

97 要點 8.8 ( 共線定理 ) 1. 設 A, B, P 為三相異點, 則 A, B, P 三點共線 存在有非零實數 t, 使得 AP = tab.. 設 O, A, B 為不共線的相異三點, P 為任意點, 則 P, A, B 三點共線 存在有兩實數 α, β, 滿 足 α + β = 1, 使得 OP = αoa + βob. 要點 8.9 ( 重心的性質 ) 設 ABC 的重心為 G, O 為任意點, 則 AG = 3 ( AB + AC). 1 OG = 3 ( OA + OB + OC). GA + GB + GC = 0. 要點 8.10 ( 內心的性質 ) 設 ABC 的內心為 I, O 為任意點, 且 BC = a, CA = b, AB = c, 則 AI = a + b + c (b AB + c AC). 1 OI = a + b + c (a OA + b OB + c OC). 3. a IA + b IB + c IC = 0. 要點 8.11 ( 外心的性質 ) 設 ABC 的外心為 O, 且 BC = a, CA = b, AB = c, 則 1.. Note: 其它 1 AO AB = AB = 1 c. 1 AO AC = AC = 1 b. 要點 8.1 ( 垂心的性質 ) BO, CO 與 ABC 邊長所形成向量的內積, 皆同理可得之. 設 ABC 的垂心為 H, 且 BC = a, CA = b, AB = c, 則 Note: 其它 Ah AB = AH AC = AB AC = 1 (b + c a ). BH, CH 與 ABC 邊長所形成向量的內積, 皆同理可得之. 95

98 要點 8.13 設平面上有不平行的兩向量 u, v, 且 r, s 為兩非零實數, 令 u, v 所形成的三角形面積為 S, 且 r u, s v 所形成的三角形面積為 S, 則 S S = rs. 要點 8.14 已知平面上有 ABC 與三角形內部的一點 P, 則 l PA + m PB + n PC = 0 (l, m, n > 0) PAB PBC PAC = n l m. 推廣版 : 已知平面上有任意點 P 與 ABC, 且滿足 l PA + m PB + n PC = 0, 則 1. PAB PBC PAC = n l m. l + m + n 0( 可証喔!) 且對於任意點 O 皆可得 l OA + m OB + n OC OP = l + m + n 要點 8.15 ( 三角形的五個心 ) 設 ABC 的內心為 I, 重心為 G, 外心為 O, 垂心為 H, A, B, C 的傍心分別為 I a, I b, I c, 則 1. GA + GB + GC = 0. a IA + b IB + c IC = 0 3. sin A IA + sin B IB + sin C IC = 0 4. sin A OA + sin B OB + sin C OC = 0 5. tan A HA + tan B HB + tan C HC = 0 6. a I a A + b I a B + c I a C = 0 ( 同理, I b, I c 的式子可類推 ) 7. sin A I a A + sin B I a B + sin C I a C = 0 ( 同理, I b, I c 的式子可類推 ) 8..1 在課堂之外 待補 : 更多幾何學的知識 要點 8.16 ( 孟式定理 ) 若有一直線截 ABC 三邊之延長線 AB, BC, CA 分別於 D, E, F 三點, 則 AD DB BE EC CF FA = 1. Note: 孟式定理 亦有被翻譯為 梅內勞斯 (Menelaus) 定理 96

99 要點 8.17 ( 孟式定理的逆定理 ) 線. 在 ABC 中, D, E, F 三點分在 AD AB, BC, CA 上, 若已知 DB BE EC CF FA = 1, 則 D, E, F 三點必共 要點 8.18 ( 西瓦定理 ) 在 ABC 中, 設 D, E, F 分別為 AB, BC, CA 上的點, 且 D, E, F 均非 ABC 的頂點, 若 AE, CD, BF 三線共點, 則 AD DB BE EC CF FA = 1. Note: 西瓦 (Ceva) 定理 亦有被翻譯為 帥式定理. 要點 8.19 ( 西瓦定理的逆定理 ) 在 ABC 中, D, E, F 三點分在 AB, BC, CA 上, 且至少有一點在 ABC 的邊上, 若已知 BE EC CF FA = 1, 且 AE, CD, BF 中任兩線都有相交, 則 AE, CD, BF 三線必共點. AD DB 平面向量的坐標表示法 8.3 要點 8.0 ( 平面向量的坐標表示法 ) 對於坐標平面上的任何向量 v, 經平移後, 變成以原點 O 為起始點, 以 P 為終點, 若 P 點坐標為 (a, b), 則定義 v = OP = (a, b), 並稱 a, b 分別為 v 的 x 分量與 y 分量, 且 v = OP = a + b. 設直角坐標平面上有兩點 P (x 1, y 1 ), Q (x, y ), 則定義 PQ = (x x 1, y y 1 ), 且 PQ = (x x 1 ) + (y y 1 ). 設兩向量 a = (x1, y 1 ), b = (x, y ) 且 r 為實數, 則 a = b x 1 = x 且 y 1 = y. a = ( x 1, y 1 ). r a = (rx 1, r y 1 ). a + b = (x 1 + x, y 1 + y ). a b = (x 1 x, y 1 y ). 要點 8.1 ( 向量坐標化的解題方式 ) 對於空間或平面向量之問題, 可以適當的將其坐標化, 然後轉化為空間或平面坐標的問題. 97

100 要點 8. ( 直角坐標與斜坐標 ) 直角坐標平面上, 任意向量 u = (x, y) 可以唯一的表示為兩不平行單位向量 i = (1, 0), j = (0, 1) 的線性組合, 亦即 u = x i + y j. 平面上, 任意向量皆可唯一的表示為兩不平行向量的線性組合. 善用此點, 可以利用斜坐標快速解題. 要點 8.3 ( 向量的方向角 ) 在坐標平面上, 若向量 v 的長度為 r, 且 v 與正向 x 軸夾角為 θ (0 θ 360 ), 則 v = (r cos θ, r sin θ), 且稱 θ 為 v 的方向角. 要點 8.4 ( 向量的平行 ) 設坐標平面上有兩向量 a = (x1, y 1 ), b = (x, y ), 則 a b 存在實數 t, 使得 a = t b x 1 y = x y 1.( 亦即, x 1 x = y 1 y.) Note: 在學完下節 ( 平面向量的內積 ) 之後, 更會知道, a b a b = 0 x 1 x + y 1 y = 0. 要點 8.5 ( 平面坐標的分點公式 ) 在坐標平面上, 設有任意兩點 A(x 1, y 1 ), B (x, y ), 若 P AB 且 AP PB = m n, 則 P 點坐標 為 ( nx 1 + mx m + n, ny 1 + my m + n ). 要點 8.6 ( 直線的參數式 ) 已知在坐標平面上, 有一直線 L 通過定點 A(x 0, y 0 ), 且與非零向量 v = (a, b) 平行, 設 P (x, y) 為 L 上的任意動點, 則 P L AP v x = x 0 + at, y = y 0 + bt, (t 為實數 ). 此稱為直線 L 的 參數式, 其中 t 稱為 參數, 且 v 稱為此直線的 方向向量. Note: 直線的參數式表示法, 並非唯一的. 平面向量的內積 8.4 待補 : 點到線的距離公式, 點到線的對稱點 投影點公式, 角平分線公式, 三角形的內心求法. 98

101 要點 8.7 ( 平面向量坐標表示法的內積 ) 設兩向量 a = (x1, y 1 ) 與 b = (x, y ), 兩向量夾角為 θ, 其中 0 θ π, 則 a b = a b cos θ = x1 x + y 1 y. 要點 8.8 ( 向量的平行與垂直 ) 設 a = (x1, y 1 ) 與 b = (x, y ) 皆非零向量, 則 1.. a b 存在實數 t, 使得 a = t b x1 y = x y 1 ( 亦即 a b a b = 0 x1 x + y 1 y = 0. x 1 x = y 1 y ). 要點 8.9 ( 直線的法向量與方向向量 ) 設 a, b, c 皆為實數, 且 L ax + by + c = 0 為平面上的直線, 則 1. L 的法向量為 (a, b) 且方向向量為 ( b, a).. 若 b 0, 則 L 的斜率為 a b. 若已知直線 L 的斜率為 m, 則 L 的方向向量為 (1, m), L 的法向量為 ( m, 1). 若已知直線 L 的斜角 ( 與正向 x 軸夾角 ) 為 θ, 則 L 的斜率為 tan θ. Note: 法向量與方向向量並非唯一, 伸縮之後亦是. 要點 8.30 ( 兩直線的交角 ) 平面上, 相交於一點的兩直線 L 1, L 交角為 α, 則 若 L 1, L 兩直線斜率分別為 m 1, m 則 tan α = ± m 1 m 1 + m 1 m 若 L 1, L 兩直線法向量分別為 a = (a1, b 1 ), b = (a, b ), 則 a b cos α = ± a b a 1 a + b 1 b = ±. a 1 + b1 a + b Note: 若 ax + bx y + cy + dx + e y + f = 0 表示相交的兩直線, 且交角為 θ, 則 b 4ac tan θ = ±. a + c 99

102 練習 8.1 已知有一梯形 ABCD, 其中 AB CD, 且有兩點 M, N 各別在 AD, BC 線段上, 且滿足 BF FC = m n, 則 要點 8.31 ( 面積公式 ) 設 a = (x1, y 1 ) 且 b = (x, y ), 則 n AB + m CD EF = n + m. 由 a 與 b 所張的三角形面積 = 1 a b ( a b ) AE ED = = 1 x 1 y 1 x y Note: 學到空間坐標之後更會學到, 由 a 與 b 所張的三角形面積 = 1 a b = 1 a b. 練習 8. 1 在 ABC 中, 已知 AB BC = α, BC CA = β, CA AB = γ, 試求證 ABC 的面積為 αβ + βγ + γα. 要點 8.3 ( 單位向量 ) 長度為 1 的向量稱為單位向量. 對任意非零向量 a, 實數 m, 則 1. 與 a 同方向之單位向量為 a a.. 與 a a 反方向之單位向量為 a. 3. 與 a 同方向且長度為 m 的向量為 m a a. 要點 8.33 ( 正射影 ) 設 a 與 b 為兩個不平行的向量, 且兩向量的夾角為 θ, 則定義 b 在 a 上的正射影 = ( b 在 a 方向的投影量 ) a 方向的單位向量 = ( a b cos θ) a = a b a a. 100

103 要點 8.34 ( 平面上, 點到直線的距離公式 ) 設坐標平面上有點 P(x, y) 及直線 L ax + by + c = 0, 則 P 到 L 的距離 = d(p, L) = ax 0 + by 0 + c a + b. 要點 8.35 ( 平面上, 點到直線的對稱點與投影點公式 ) 設坐標平面上有點 P(x, y) 及直線 L ax + by + c = 0, 則 1. P 對 L 的投影點為 (x 0 + at, y 0 + bt).. P 對 L 的對稱點為 (x 0 + at, y 0 + bt). 其中, t = (ax 0 + by 0 + c) a + b. 要點 8.36 ( 平面上, 兩平行線的距離公式 ) 設坐標平面上有兩平行直線 L 1 ax + by + c 1 = 0 與 L ax + by + c = 0, 則 L 1 與 L 的距離為 d(l 1, L ) = c 1 c a + b. 要點 8.37 設直角坐標平面上有一直線 L ax + by + c = 0, 其中 a, b R 且 a + b 0, 則平面被直線 L 分成兩個區域, 分別為 ax + by + c > 0 與 ax + by + c < 0 的兩個區域. a > 0: ax + by + c > 0 為直線劃分的右半平面, ax + by + c < 0 為直線劃分的左半平面. b > 0: ax + by + c > 0 為直線劃分的上半平面, ax + by + c < 0 為直線劃分的下半平面. 要點 8.38 設直角坐標平面上有曲線, 曲線方程式為 Γ f (x, y) = 0, 則平面被曲線 Γ 分成兩個區域, 分別為 f (x, y) > 0 與 f (x, y) < 0 的兩個區域. 若點 A(x 1, y 1 ) 與點 B(x, y ) 在曲線 Γ 的異側, 則 f (x 1, y 1 ) f (x, y ) < 0. 若點 A(x 1, y 1 ) 與點 B(x, y ) 在曲線 Γ 的同側, 則 f (x 1, y 1 ) f (x, y ) >

104 要點 8.39 ( 求角平分線 ) 平面上, 兩相交直線 L 1 a 1 x + b 1 y + c 1 = 0, L a x + b y + c = 0 之交角的兩條角平分線為 a 1 x + b 1 y + c 1 a 1 + b 1 = a x + b y + c. a + b 1. 求三直線相交三角形的內心與旁心時, 可以利用上列方程式, 內 ( 外 ) 角的角平分線.. 求出 L 1, L 之兩角平分線 M 1, M 後, 判斷 M 1, M 為銳 ( 鈍 ) 角之角平分線可以利用下列三個方法其中之一 : (a) 取 L 1 或 L 上異於交點之任一點 P, 由 d(p, M 1 ), d(p, M ) 之大小比較, 判斷為銳 ( 鈍 ) 角角平分線 ; (b) 利用法向量, 求夾角的 cos 之正負判斷 ; (c) 看圖形, 畫去絕對值之後的同異號區. 要點 8.40 ( 柯西不等式 ) 設 a = (a1, a ) 與 b = (b1, b ) 為兩向量, 則 1. a b a b, 且當 = 成立時, a b.. (a1 + a) (b1 + b) (a 1 b 1 + a b ), 且當 = 成立時,a 1 a = b 1 b. 10

105 第 9 章空間向量與空間幾何 待補上 : 空間中點到線 面的距離, 兩歪斜線的距離, 對稱點及投影點公式. 平面的參數式. 待補 : 方向餘弦, 向量外積與右手則 空間概念 9.1 要點 9.1 ( 基本概念 ) 二維 : 稱為平面, 有兩個方向. 三維 : 稱為空間, 有三個方向. 要點 9. ( 決定直線的條件 ) 在空間中, 相異兩點恰可決定唯一的一條直線. 要點 9.3 ( 決定平面的條件 ) 在空間中, 下列條件, 恰可以決定唯一的一個平面, 1. 不共線的相異三定點.. 一直線與線外的一定點. 3. 相交於一點的兩條直線. 4. 兩條相互平行的直線. 要點 9.4 ( 空間中, 兩直線的關係 ) 空間中, 兩直線的關係, 可能有下列四種 : 1. 重合.. 平行. 3. 相交於一點. 4. 歪斜 ( 不平行且不相交 ). 103

106 要點 9.5 ( 空間中, 兩平面的關係 ) 空間中, 兩平面的關係, 可能有下列三種 : 1. 重合.. 平行. 3. 交於一直線. 要點 9.6 ( 空間中, 直線與平面的關係 ) 空間中, 直線與平面的關係, 可能有下列三種 : 1. 直線落在平面上.. 直線平行平面. 3. 直線與平面恰交於一點. 要點 9.7 ( 直線的垂直線 ) 設空間中有一直線 L 與一點 P, 則 1. 若 P 在 L 上, 則有無限多條直線通過 P 且垂直 L.. 若 P 不在 L 上, 則有唯一的一條直線恰通過 P, 且與 L 垂直. 要點 9.8 ( 直線與平面的垂直關係 ) 設空間中有一平面 E 與一直線 L, 且 L 與 E 恰交於一點 P, 若 L 垂直於至少兩條通過 P 且在平面 E 上的直線, 則稱 L 與 E 垂直, 記作 L E. 要點 9.9 ( 稜線 二面角 ) 設空間中有兩相異平面 E 1 與 E, 且 E 1 與 E 交於一直線 L, 則 L 稱為 E 1 與 E 的稜線, 自 L 上任取一點 P, 往 E 1 與 E 上各取通過 P 點的兩直線 L 1 與 L, 則 L 1 與 L 的交角, 即稱為 E 1 與 E 平面的二面角. Note: 求二面角時, 常用餘弦定理, 或平面法向量的內積. 若兩平面的二面角為 90 時, 則稱兩平面互相垂直. 要點 9.10 ( 三垂線定理 ) 設空間中有一直線 PQ 垂直平面 E 於 Q 點, 且 L 為平面 E 上的直線, L 不通過 Q 點, 自 Q 往 L 作垂線, 垂足為 R, 則 PR L. Note: 若 PQ E 成立, 則 QR L PR L. 要點 9.11 ( 錐形體的體積 ) 設柱形體的地面積為 A, 高為 h, 則柱形體體積為 Ah. 1 設錐形體的底面積為 A, 高為 h, 則錐形體體積為 3 Ah. 104

107 要點 9.1 ( 正四面體的性質 ) 由四個正三角形所組成的四面體, 稱為 正四面體. 設正四面體的稜長為 a, 則 6 1. 此正四面體的高 h = 3 a.. 此正四面體的體積 = 1 a3. 3. 設此正四面體任兩面所夾的二面角為 θ, 則 cos θ = 此正四面體的內切球半徑 r = h 此正四面體的外接球半徑 R = 3h 不相鄰兩面的垂直距離 = a. 由八個正三角形所組成的八面體, 稱為 正八面體. 設正八面體的稜長為 a, 則 1. 此正八面體的體積 = 3 a3.. 設此正八面相鄰的兩面夾角為 θ, 則 cos θ = 1 3. 練習 9.1 有一個四面體, 四個面都是全等的三角形, 三角形的邊長為 a, b, c, 求四面體體積. ( a + b 答 + c ) (a b + c ) (a + b c ) : 1 ( 提示 : 利用長方體削掉四個角落, 即可得到所求的四面體, x + y = a 設此長方體的長 寬 高分別為 x, y, z, 則由 y + z = b, 可以解得 x, y, z, 故所求四面體的體 積 = x yz 4 x yz 6 = 1 3 x yz. ) 練習 9. z + x = c 將長方形紙 ABCD 沿對角線 AC 折起, 使得 ABC 與 ADC 兩個三角形所在的平面夾角為 θ, 且 AB = a, BC = b, (1) 若 θ = 90, 求 BD 長. () 對於任意角度 θ (0 < θ < 180 ), 求 BD 長. a4 + b 解答 : (1) 4 a + b. () a4 + b 4 a b cos θ. ( 解題提示 : () 利用餘弦定理. ) a + b 要點 9.13 ( 投影後的長度與面積 ) 設空間中有兩直線 L, M 的夾角為 θ, 在 L 上有兩相異點 A, B, 且 A, B 在 M 上的投影點為 P, Q, 則 PQ = AB cos θ. 設空間中有兩平面 E, F 的夾角為 θ, 在 E 上有一封閉區域 R, 且 R 在 F 上的投影區域為 S, 則 S 的面積 = R 的面積 cos θ. 105

108 空間坐標系 9. 要點 9.14 ( 空間中的直角坐標系 ) 自空間中任一點 O, 作三條兩兩互相垂直的直線, 取適當長為單位長, 按右手則, 分出正向 x 軸 y 軸 z 軸, 此為空間中的直角坐標系, 其中 O 稱為原點. 由 x 軸與 y 軸所形成的平面稱為 x y 平面, 由 y 軸與 z 軸所形成的平面稱為 yz 平面, 由 z 軸與 x 軸所形成的平面稱為 zx 平面. 由 x y 平面 yz 平面 zx 平面, 將空間切割為八塊區域, 稱為八個 卦限, 其中三個坐標皆為正數的是第一卦限, 其餘沒有特別區分的編號. 若空間中一點 P, 在 x 軸 y 軸 z 軸垂足的坐標分別為 a, b, c, 則定義 P 點坐標為 (a, b, c). 要點 9.15 ( 空間中的兩點距離公式 ) 設空間中的兩點 A(x 1, y 1, z 1 ) 與 B (x, y, z ), 則 1. A 與 B 兩點距離 AB = (x 1 x ) + (y 1 y ) + (z 1 z ).. A 與 B 兩點的中點為 A + B = ( x 1 + x, y 1 + y, z 1 + z ) 要點 9.16 設空間中一點 P(a, b, c), 則 1. P 到 x y 平面 yz 平面 zx 平面的投影點分別為 (a, b, 0) (0, b, c) (a, 0, c).. P 到 x y 平面 yz 平面 zx 平面的距離分別為 c a b. 3. P 到 x 軸 y 軸 z 軸的投影點分別為 (a, 0, 0) (0, b, 0) (0, 0, c). 4. P 到 x 軸 y 軸 z 軸的距離分別為 b + c a + c a + b. 5. P 到 x y 平面 yz 平面 zx 平面的對稱點分別為 (a, b, c) ( a, b, c) (a, b, c). 6. P 到 x 軸 y 軸 z 軸的對稱點分別為 (a, b, c) ( a, b, c) ( a, b, c). 空間向量的坐標表示法

109 要點 9.17 ( 空間向量的坐標表示法 ) 對於空間坐標中的任何向量 v, 經平移後, 變成以原點 O (0, 0, 0) 為起始點, 以 P 為終點, 若 P 點坐標為 (a, b, c), 則定義 v = OP = (a, b, c), 並稱 a, b, c 分別為 v 的 x 分量 y 分量與 z 分量, 且其長度為 v = OP = a + b + c. 設空間坐標中有兩點 P (x 1, y 1, z 1 ), Q (x, y, z ), 則定義 PQ = (x x 1, y y 1, z z 1 ), 且 PQ = (x x 1 ) + (y y 1 ) + (z z 1 ). 設兩向量 a = (x1, y 1, z 1 ), b = (x, y, z ) 且 r 為實數, 則定義 a = b x 1 = x 且 y 1 = y 且 z 1 = z. a = ( x 1, y 1, z 1 ). r a = (rx 1, r y 1, rz 1 ). a + b = (x 1 + x, y 1 + y, z 1 + z ). a b = (x 1 x, y 1 y, z 1 z ). 要點 9.18 ( 空間向量的方向角與方向餘弦 ) 在空間坐標中, 設 O 為原點, 若向量 OA = (a, b, c) 與正向 x, y, z 軸夾角分別為 α, β, γ (0 α, β, γ 180 ), 則 1. α, β, γ 稱為. OA OA 為 OA 的方向角. a = ( a + b + c, OA 方向的單位向量. 3. cos α, cos β, cos γ 稱為 b a + b + c, OA 的方向餘弦. 4. cos α + cos β + cos γ = 1 且 sin α + sin β + sin γ =. c ) = (cos α, cos β, cos γ) a + b + c 要點 9.19 ( 空間向量的內積 ) 設空間坐標中有兩向量 a = (x1, y 1, z 1 ), b = (x, y, z ) 的夾角為 θ (0 θ 180 ), 則定義 a 與 b 的內積 a b = a b cos θ = x 1 x + y 1 y + z 1 z. 107

110 要點 9.0 ( 空間向量的平行與垂直 ) 設空間坐標中有兩向量 a = (x1, y 1, z 1 ), b = (x, y, z ), 則定義平行 a b 存在實數 t, 使得 a = t b x 1 x = y 1 y = z 1 z. 定義垂直 a b a b = 0 x 1 x + y 1 y + z 1 z = 0. 要點 9.1 ( 空間坐標的分點公式 ) 在空間坐標中, 設有任意兩點 A(x 1, y 1, z 1 ), B (x, y, z ), 若 P AB 且 AP PB = m n, 則 P 點坐標為 ( nx 1 + mx m + n, ny 1 + my m + n, nz 1 + mz m + n ). 要點 9. ( 柯西不等式 ) 設空間坐標中兩向量 a = (x1, y 1, z 1 ) 與 b = (x, y, z ), 則 1. a b a b, 且當 = 成立時, a b.. (x 1 + y 1 + z 1 ) (x + y + z ) (x 1 x + y 1 y + z 1 z ), 且當 = 成立時, x 1 x = y 1 y = z 1 z. 空間中的平面 9.4 要點 9.3 ( 空間中, 平面的法向量 ) 在空間坐標中, 如果直線 L 與平面 E 垂直, 則稱 L 是 E 的法線, 稱 L 的方向向量為 E 的法向量. 要點 9.4 ( 平面方程式 ( 點向式 )) 在空間坐標中, 設平面 E 過定點 P (x 0, y 0, z 0 ), 且平面 E 的法向量為 n = (a, b, c), 則平面 E 的方程式為 a (x x 0 ) + b (y y 0 ) + c (z z 0 ) = 0. 經移項後, 可得平面的一般式為 ax + by + cz + d = 0. Note: x, y, z 項的係數 n = (a, b, c) 即為平面的法向量. 108

111 要點 9.5 ( 平面方程式 ( 截距式 )) 練習 9.3 在空間坐標中, 設平面 E 的 x, y, z 截距分別為 a, b, c ( 其中 abc 0), 則平面 E 的方程式為 x a + y b + z c = 1. Note: x 截距就是圖形與 x 軸交點的 x 坐標. y, z 截距的定義亦同理類推之. 設平面 E 的 x, y, z 截距分別為 a, b, c (abc 0), 且 E 到原點的距離為 d, 證明 要點 9.6 ( 兩平面的夾角 ) 設兩平面 E 1 與 E 的法向量量分別為 n1 與 n, 且 E 1 與 E 的銳夾角為 θ, 則 n1 n cos θ = n 1. n 1 a + 1 b + 1 c = 1 d. 要點 9.7 ( 點到平面的距離公式 ) 在空間坐標中, 設有一平面 E ax + by + cz + d = 0 與平面外一定點 P (x 0, y 0, z 0 ), 則點到平面的距離 d (P, E) = ax 0 + by 0 + cz 0 + d a + b + c. 要點 9.8 ( 兩平行平面的距離公式 ) 在空間坐標中, 設有兩互相平行的平面 E 1 ax + by + cz + d 1 = 0 與 E ax + by + cz + d = 0, 則此兩平行平面之間的距離 d 1 d d (E 1, E ) = a + b + c. 要點 9.9 ( 角平分面的方程式 ) 在空間坐標中, 設有相交於一直線的兩平面 E 1 a 1 x+b 1 y+c 1 z+d 1 = 0 與 E a x+b y+c z+d = 0, 則此兩平面的角平分面為 a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 a 1 + b 1 + c 1 = ± a x + b y + c z + d a + b +. c Note: 求出 E 1, E 之兩角平分面 M 1, M 後, 判斷 M 1, M 為銳 ( 鈍 ) 角之角平分面可以利用下列 兩個方法其中之一 : 1. 取 E 1 或 E 平面上異於交線之任一點 P, 由 d(p, M 1 ), d(p, M ) 之大小比較, 判斷為銳 ( 鈍 ) 角角平分面.. 利用法向量, 求夾角的 cos 之正負判斷. 109

112 要點 9.30 ( 空間中, 點對平面的對稱點與投影點公式 ) 在空間坐標中, 設有一平面 E ax + by + cz + d = 0 與平面外一定點 P (x 0, y 0, z 0 ), 則則 1. P 對 L 的投影點為 (x 0 + at, y 0 + bt, z 0 + ct).. P 對 L 的對稱點為 (x 0 + at, y 0 + bt, z 0 + ct). 其中, t = (ax 0 + by 0 + cz 0 + d) a + b + c. Note: 不需刻意去記住, 會推導比較重要. 要點 9.31 ( 空間中的畢氏定理 ) 空間中, 設平面 E 與三坐標軸交於 A, B, C 三點, 且 O 為原點, 則 ABC 面積 = OAB 面積 + OBC 面積 + OAC 面積. 要點 9.3 ( 平面族 ) 設兩平面 E 1 a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 與 E a x + b y + c z + d = 0 交於一直線, 則通過 E 1 與 E 共同交線的所有平面可以設為 ( 以下三種任選一種 ) k(a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 ) + l(a x + b y + c z + d ) = 0, 其中 k, l R, k + l 0, k(a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 ) + (a x + b y + c z + d ) = 0 a x + b y + c z + d = 0, 其中 k R, (a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 ) + l(a x + b y + c z + d ) = 0 a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0, 其中 l R. Note: 直線系或平面族當中的 系 (system) 或 族 (family) 皆表示集合的意思, 是為具有特定性質的曲線所成的集合. ( 一般而言, 集合的集合, 稱為 系 或 族.) 空間中的直線 9.5 要點 9.33 ( 直線的參數式 ) 已知在空間坐標中, 有一直線 L 通過定點 A(x 0, y 0, z 0 ), 且與非零向量 v = (a, b, c) 平行, 設 P (x, y, z) 為 L 上的任意動點, 則 P L AP v x = x 0 + at y = y 0 + bt, (t 為實數 ). z = z 0 + ct 此稱為直線 L 的 參數式, 其中 t 稱為 參數, 且 v 稱為此直線的 方向向量. Note: 直線的參數式表示法, 並非唯一的. 110

113 要點 9.34 ( 直線的對稱比例式 ) 已知在空間坐標中, 有一直線 L 通過定點 A(x 0, y 0, z 0 ), 且與非零向量 v = (a, b, c) 平行, 設 P (x, y, z) 為 L 上的任意動點, 則直線方程式為 其中 abc 0. x x 0 a = y y 0 b Note: 此稱為直線的對稱比例式, 並非唯一的表示法. 要點 9.35 ( 直線的兩面式 ) = z z 0, c 已知在空間坐標中, 兩平面 E 1 a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 與 E a x + b y + c z + d = 0 恰相交於一直線 L, 則 L 的直線方程式為 a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 a x + b y + c z + d = 0. Note: 1. 此稱為直線的兩面式, 並非唯一的表示法.. 兩面式, 比例式, 參數式, 要會互相轉換. 3. 直線的兩面式搭配平面族, 方便找出包含此直線的特定平面. 要點 9.36 ( 空間中, 點到直線的距離公式 ) 設空間中有一直線 L 通過定點 Q (x 0, y 0, z 0 ), 且直線的方向向量 v = (a, b, c), 則 L 外部一點 P (α, β, γ) 到 L 的距離為 d (P, L) = PQ v v β y 0 γ z 0 b c = γ z 0 α x 0 + c a a + b + c + α x 0 β y 0 a b 另一種算法為, d (P, L) = PQ ( PQ 在 v 上的投影長 ) = PQ PQ v v Note: 1. 外積 ( ) 在下一節有介紹.. 除了用此法, 還可以用參數式搭配最小距離 ( 配方法 ), 或 是垂直 ( 內積 = 0), 求出點到線的距離, 以及垂足 ( 投影點 ). 111

114 要點 9.37 ( 空間中, 兩歪斜線之間的距離 ) 在空間中, 設 L 1 與 L 為一組歪斜線 ( 不平行且不相交 ), P, Q 分別為 L 1, L 上的點, 且滿足 PQ L 1 與 PQ L, 則稱 PQ 為 L 1 與 L 的公垂線, 且 PQ 為 L 1 與 L 的距離. 在空間中, 設 L 1 與 L 為一組歪斜線 ( 不平行且不相交 ), 則恰存在一組平面 E 1 與 E, 使得 E 1 包含 L 1, E 包含 L, 且 E 1 E, 並且可得 d (E 1, E ) 即為兩歪斜線 L 1 與 L 之距離. 在空間中, 設 L 1 與 L 為一組歪斜線 ( 不平行且不相交 ), 設 P, Q 分別為 L 1, L 上的點, 且滿足 d (P, L ) 與 d (Q, L 1 ) 皆有最小值, 則 PQ 為 L 1 與 L 的公垂線, 且 PQ 即為 L 1 與 L 的距離. 一次方程組 ( 與行列式 ) 9.6 要點 9.38 ( 二階行列式 ) 定義二階行列式, a b = ad bc. c d Note: 直的為 行 (column), 橫的為 列 (row). 要點 9.39 ( 兩向量所圍平行四邊形的面積 ) 積. 設兩不平行向量 u = (a, b) 與 v = (c, d), 則以 u 與 v 為兩鄰邊所圍的平行四邊形面積為 u v = Note: 1. 先算完行列式, 再取絕對值.. 讀作 wedge, 表示兩向量所圍區域, 取絕對值表示求面 要點 9.40 ( 行列式的性質 ) 行列式具有下列的性質 1. 行列互換, 其值不變.. 任兩行 ( 或列 ) 互換, 其值異號. 3. 任一行 ( 或列 ), 可以提出相同的數. 4. 任兩行 ( 或列 ) 成比例, 其值為 任一行 ( 或列 ), 可以乘以常數倍再加到另外一行 ( 或列 ), 其值不變. 6. 可以沿任一行 ( 或列 ), 分裂成兩個行列式相加. 7. 可以透過矩陣的乘法, 將行列式表示成兩個行列式的相乘. a c b d. 11

115 要點 9.41 ( 克拉瑪公式 (Cramer s rule) ) 則 對於二元一次聯立方程式 a 1 x + b 1 y = c 1 a x + b y = c, 令 = x = x y = y a 1 b 1 a b, x = c 1 b 1 c b, y = a 1 c 1 a c, 1. 若 0, 則方程組有唯一一組解 (x, y) = ( x, y ). ( 相容方程組, 兩直線恰交於一點.). 若 = 0 且 x + y 0, 則方程式無解. ( 矛盾方程組, 兩直線互相平行, 無交點.) 3. 若 = x = y = 0, 則方程式有無限多組解. ( 相依方程組, 兩直線重合, 有無限多個交點.) Note: 克拉瑪公式, 亦有翻譯為 克萊姆法則. 要點 9.4 ( 三元一次齊次方程組, 求比例 ) a 1 x + b 1 y + c 1 z = 0 對於三元一次聯立方程式 a x + b y + c z = 0, 則 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 1 x y z = b c c a a b Note: 方便的記憶方法是, 把 x, y, z 的係數分兩列各寫兩遍, 再扣掉頭尾兩行求行列式. 要點 9.43 ( 外積的定義 ) 設空間中兩向量 a = (a1, a, a 3 ) 與 b = (b1, b, b 3 ), 則定義 a 與 b 的外積為 a b = a a 3 b b 3, a 3 a 1 b 3 b 1, a 1 a b 1 b. Note: 1. a b 讀作 a cross b.. ( a b ) a 且 ( a b ) b. 3. a b 的方向依 右手則. 4. 設 a 與 b 夾角為 θ, 則 a b 的長度 a b = a b sin θ = a 與 b 所形成的平行四邊形面積. 113

116 要點 9.44 ( 係數矩陣與增廣矩陣 ) 對於聯立方程組 為增廣矩陣. Note: a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a x + b y + c z = d a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3, 稱 a 1 b 1 c 1 a b c a 3 b 3 c 3 為此方程組之係數矩陣, 稱 a 1 b 1 c 1 d 1 a b c d a 3 b 3 c 3 d 3 1. 直行 橫列.. 若某矩陣 A 共有 m 行且有 n 列, 則通常記作 A = [a i, j ] m n, 其中 m n 稱為此矩陣的 維度 (dimension), 且當中的第 i 行 第 j 列位置的元素 a i, j 稱為第 (i, j) 元. 3. 若某矩陣的行數與列數相同, 則稱為 方陣 (square matrix). 要點 9.45 ( 基本列運算與基本矩陣 ) 解多元一次方程式時, 相當於對其增廣矩陣進行一連串的基本列運算, 而可以進行的基本列運 算如下三種, 1. 將讓兩列互換.. 將任一列乘上非零常數. 3. 將任一列乘以常數之後的值, 加至另外一列之中. Note: 1. 解方程式是作 列 運算, 不可以作 行 運算.. 帶學完矩陣之後, 將會學到 對任何矩陣 作基本列運算, 即是對其乘上基本矩陣. 要點 9.46 ( 高斯消去法, 高斯 喬登消去法 ) 解方程式的方法, 有 1. 高斯消去法 (Gaussian elimination): 將增廣矩陣透過一連串的基本列運算, 使之變為上三角矩陣 ( 左下區塊的元素都為 0, 亦為梯陣 ).. 高斯 喬登消去法 (Gauss Jordan elimination): 將增廣矩陣透過一連串的基本列運算, 使其對於每一列的第一個不為零的元素而言, 所在的行之中, 恰只有該元素不為零. 要點 9.47 ( 三階行列式 ) 三階行列式的直接展開 a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 = a 11 a a 33 + a 13 a 1 a 3 + a 1 a 3 a 31 a 31 a 3 a 33 a 13 a a 31 a 11 a 3 a 3 a 1 a 1 a

117 要點 9.48 ( 三角形的面積, 三點共線, 給兩點求直線方程式 ) 在坐標平面上, 設 A(x 1, y 1 ), B (x, y ), C (x 3, y 3 ), 則 ABC 的面積為 1 x 1 y 1 1 x y 1 x 3 y 3 1 亦即, 1 x x 1 y y 1. x 3 x 1 y 3 y 1 在坐標平面上, 設 A(x 1, y 1 ), B (x, y ), C (x 3, y 3 ), 且 A, B, C 三點共線, 則 x 1 y 1 1 x y 1 x 3 y 3 1 = 0 亦即, x x 1 y y 1 = 0. x 3 x 1 y 3 y 1 在坐標平面上, 設 A(x 1, y 1 ), B (x, y ), 則 AB 方程式為 亦即, x 1 y 1 1 x y 1 = 0 x y 1 x x 1 y y 1 = 0. x x 1 y y 1 要點 9.49 ( 三線共點 ) 在坐標平面上, 設 L 1 a 1 x + b 1 y + c 1 = 0, L a x + b y + c = 0, L 3 a 3 x + b 3 y + c 3 = 0 兩兩不平 行亦不重合, 則 L 1, L, L 3 三線共點, 若且唯若 a 1 b 1 c 1 a b c = 0. a 3 b 3 c 3 115

118 要點 9.50 ( 平行六面體體積與四面體體積 ) 在空間坐標中有 O, A, B, C 四點, 設 OA = (x1, y 1, z 1 ), OB = (x, y, z ), OC = (x 3, y 3, z 3 ), 則 OA, OB, OC 所形成的平行六面體體積為 x 1 y 1 z 1 x y z. x 3 y 3 z 3 Note: 四面體 OABC 的體積 = 1 6 平行六面體體積. 要點 9.51 ( 四點共面, 給三點求平面方程式 ) 在空間坐標中有 A, B, C, D 四點, 設 A(x 1, y 1, z 1 ), B (x, y, z ), C (x 3, y 3, z 3 ), D (x 4, y 4, z 4 ), 則 A, B, C, D 四線共面, 若且唯若 x x 1 y y 1 z z 1 x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 = 0. x 4 x 1 y 4 y 1 z 4 z 1 在空間坐標中有不共線的 A, B, C 相異三點, 設 A(x 1, y 1, z 1 ), B (x, y, z ), C (x 3, y 3, z 3 ), 則 A, B, C 三點所在平面方程式為 x x 1 y y 1 z z 1 x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 = 0. x x 1 y y 1 z z 1 練習 9.4 已知 ABC, AB = 5, 其外接圓半徑為 10, 求 1 cos C cos B cos C 1 cos A cos B cos A 1 之值. 答 : 1 8. 解答 : 設 ABC 之 A, B, C 對應邊分別為 a, b, c, 外接圓半徑為 R, 則由正弦定理, 可得 c sin C 將所求行列式的第 1,, 3 列分別提出 = R sin C = c R = a, 1 b, 1 可得 c 1 abc a a cos C a cos B b cos C b b cos A c cos B c cos A c, 116

119 將上式第 1, 列加至第 3 列可得 1 abc a a cos C a cos B b cos C b b cos A (b cos C + c cos B) a (a cos C + c cos A) b (a cos B + b cos A) + c, 利用投影定理, 可得 沿第三列展開, 可得 將第 1, 列分別提出 a, b, 可得 1 abc a a cos C a cos B b cos C b b cos A c abc 0 0 c a b cos C a cos C b,, abc abc 1 cos C cos C 1 = (1 cos C) = sin C = 1 8. 練習 9.5 已知 ABC, 證明 1 cos C cos B cos C 1 cos A = 0 提示 : 利用投影定理. cos B cos A 1 117

120 第 10 章圓與球面 待補 : 根軸, 還有當兩圓外離 內離時, 根軸意義為何, 極線, 切割線性值, 切線速算法. 圓的方程式 10.1 要點 10.1 ( 圓的定義 ) 在平面上, 給定一定點 O, 與一線段長 r, 蒐集所有與 O 距離恰為 r 的動點 P, 則 P 所在的軌跡稱為 圓, 且稱 O 為圓心, 稱 r 為半徑. 要點 10. ( 圓的標準式 ) r. 在坐標平面上, 有一圓 C 之圓心為 O(h, k), 半徑為 r, 則此圓的方程式為 (x h) + (y k) = 要點 10.3 ( 圓的一般式 ) 在坐標平面上, 二元二次方程式 C x +y +dx+dy+ f = 0 經配方後, 可得 (x + d ) +(y + e ) = d + e 4 f, 其中 d + e 4 f 稱為圓的判別式 若 d + e 4 f > 0, 則圖形為一圓, 圓心為 ( d, e ), d + e 半徑為 4 f.. 若 d + e 4 f > 0, 則圖形為一點 ( 退化的圓, 亦稱為點圓 ), 點坐標為 ( d, e ). 3. 若 d + e 4 f > 0, 則無圖形 ( 退化到消失的圓, 亦稱為虛圓 ). 要點 10.4 ( 圓的直徑式 ) 在坐標平面上, 給定 A(x 1, y 1 ) 與 B (x, y ), 則以 A B 為直徑兩端點的圓方程式為 (x x 1 ) (x x ) + (y y 1 ) (y y ) =

121 要點 10.5 ( 圓的參數式 ) 設 r 為正實數, 在平面上的有一圓, 1. 若圓方程式為 x + y = r, 則圓上之任意動點可設為 (x, y) = (r cos θ, r sin θ), 其中 0 θ < π.. 若圓方程式為 (x h) +(y k) = r, 則圓上之任意動點可設為 (x, y) = (h + r cos θ, k + r sin θ), 其中 0 θ < π. 要點 10.6 ( 阿波羅尼斯圓 ) 設 A, B 為平面上相異兩點, k 為正實數, 若 P 為平面上滿足 PA PB = 1 k 的任異動點, 則蒐集所有動點 P 所形成的圖形為 1. 若 k = 1, 則圖形為 AB 的中垂線.. 若 k 1, 則圖形為一圓, 稱為 阿波羅尼斯圓. 要點 10.7 ( 點與圓的關係 ) 設 f (x, y) = x + y + dx + e y + f 且 f (x, y) = 0 的圖形為一圓, 圓心 O (h, k), 半徑 r > 0, 對於平面上任意一點 P (x 0, y 0 ) 與圓的關係如下, 1. P 在圓外 OP > r f (x 0, y 0 ) > 0.. P 在圓上 OP = r f (x 0, y 0 ) = P 在圓內 OP < r f (x 0, y 0 ) < 0. Note: 將 f (x, y) 配方後可得 f (x, y) = (x h) + (y k) r, 得 f (x 0, y 0 ) = OP r. 要點 10.8 ( 點到圓的最長距離與最短距離 ) 設平面上有一圓 C, 圓心為 O, 半徑為 r, 則對平面上任一點 P, 1. 若 P 在圓外, 則 P 到圓 C 上動點的最長距離為 OP +r, P 到圓 C 上動點的最短距離為 OP r.. 若 P 在圓上, 則 P 到圓 C 上動點的最長距離為 r, P 到圓 C 上動點的最短距離為 若 P 在圓內, 則 P 到圓 C 上動點的最長距離為 OP +r, P 到圓 C 上動點的最短距離為 r OP. 圓與直線的關係 10. 待補 : 圓切線方程式的求法 119

122 要點 10.9 ( 圓與直線的關係 ) 平面上有一圓 C, 圓心為 O, 半徑為 r, 且有一直線 L ax + by + c = 0, 令 d(o, L) 表示 O 到 L 的距離 (distance), 則 1. d(o, L) > r 圓 C 與直線 L 相離 L 帶入 C 求解時, 無實數根 ( 判別式 < 0).. d(o, L) = r 圓 C 與直線 L 相切 L 帶入 C 求解時, 有重根 ( 判別式 = 0). 3. d(o, L) < r 圓 C 與直線 L 相割 L 帶入 C 求解時, 有兩相異實根 ( 判別式 > 0). 要點 ( 圓上的點與直線的最長距離 最短距離 ) 平面上有一圓 C, 圓心為 O, 半徑為 r, 且有一直線 L, 令 d(o, L) 表示 O 到 L 的距離 (distance), 1. 若 C 與 L 相離, 則圓 C 上動點到 L 的最長距離為 d(o, L) + r, 最短距離為 d(o, L) r.. 若 C 與 L 相切, 則圓 C 上動點到 L 的最長距離為 r, 最短距離為 若 C 與 L 相割, 則圓 C 上動點到 L 的最長距離為 d(o, L) + r, 最短距離為 0. 要點 ( 圓系 ( 退化版 )) 平面上, 有一圓與直線 ax + by + c = 0 切於點 (x 0, y 0 ), 則可設此圓方程式為 (x x 0 ) + (y y 0 ) + k(ax + by + c) = 0, k R. 空間中, 有一球面與平面 ax + by + cz + d = 0 切於點 (x 0, y 0, z 0 ), 則可設此球面方程式為 (x x 0 ) + (y y 0 ) + (z z 0 ) + k(ax + by + cz + d) = 0, k R. 要點 10.1 ( 切線段長 ) 設圓 C x + y +dx + e y + f = 0, 配方之後為 (x h) +(y k) r = 0, 自圓外一點 P(x 0, y 0 ) 往圓作兩切線, 則切線段長 = x0 + y 0 + dx 0 + ey 0 + f = (x 0 h) + (y 0 k) r. 要點 ( 切割線定理 ) 設圓 C x + y + dx + e y + f = 0 及圓外部的一點 P(x 0, y 0 ), 自 P 往圓作切線, 切點為 Q, 自 P 往圓作割線, 與圓的兩交點為 A, B, 則 PQ = PA PB = x 0 + y 0 + dx 0 + ey 0 + f. 要點 ( 相交弦定理 ) 設圓 C x + y + dx + e y + f = 0 及圓內部的一點 P(x 0, y 0 ), 自 P 往圓兩弦, 一弦的兩端點為 A, B, 另一弦的兩端點為 C, D, 則 PA PB = PC PD = (x 0 + y 0 + dx 0 + ey 0 + f ). 要點 ( 圓冪定理 ) 設圓 C x + y + dx + e y + f = 0 及不在圓上的一點 P(x 0, y 0 ), 自 P 做任意一條直線, 交圓於 A, B 兩點, 則 PA PB = x 0 + y 0 + dx 0 + ey 0 + f. Note: 圓冪定理, 即為切割線定理與相交弦定理的綜合. 10

123 要點 ( 過定點, 求圓的切線方程式 ) 1. 已知圓 C 的圓心 O 與半徑 r, 要求過定點 P(x 0, y 0 ) 且與圓 C 相切之切線 L, 可以假設 L 的斜率為 m, 再利用 d(o, L) = r, 求得切線之斜率 m.. 設 P(x 0, y 0 ) 為圓 x + y + dx + ey + f = 0 上的一點, 則過 P 且與圓相切的切線方程式為 x 0 x + y 0 y + d x 0 + x + e y 0 + y + f = 設 P(x 0, y 0 ) 為圓 (x h) + (y k) = r 上的一點, 則過 P 且與圓相切的切線方程式為 (x 0 h)(x h) + (y 0 k)(y k) = r. 球面方程式 10.3 球面與平面的關係

124 第 11 章圓錐曲線 待補上 : 已知中點求中點弦方程式 ( 及弦長 ) 的多種求法, 二次曲線的半徑, 已知斜率求平行弦中點必過方程式, 利用 Dandelin 球導出拋物線 橢圓 雙曲線的定義. 過二次曲線上定點 (x 0, y 0 ) 的切線方程式 極限, 二次曲線族 ( 系 ). 圓錐截痕 11.1 要點 11.1 ( 圓錐 ) 設兩直線 L 與 M 交於點 V, 且夾角為 θ (0 < θ < 90 ), 將 L 維持固定角 θ, 並繞 M 旋轉一圈, 此時 L 所掃出的曲面稱為 圓錐面, 且 V 稱為 頂點, θ 稱為半頂角, 固定直線 M 稱為 中心軸, 動直線 L 稱為 母線. 要點 11. ( 圓錐截痕 ) 設空間中有平面 E 與圓錐 Γ, 若 Γ 的半頂角為 θ, 且 E 與 Γ 中心軸的銳夾角為 ϕ, 1. 若 θ = ϕ, 則 E 與 Γ 的截痕為拋物線或一直線.. 若 θ < ϕ, 則 E 與 Γ 的截痕為橢圓 圓或一點. 3. 若 θ > ϕ, 則 E 與 Γ 的截痕為雙曲線 或相交於一點的兩直線. Note: 圓 橢圓 雙曲線 拋物線 皆稱為 圓錐曲線, 簡稱 錐線 ; 一點 一直線 相交於一點的 兩直線 皆稱為 退化的圓錐曲線. 拋物線 11. 1

125 要點 11.3 ( 拋物線的定義 ) 平面上, 有直線 L ax + by + c = 0 與直線 L 外一定點 F(x 0, y 0 ), 定義 Γ = {P(x, y) d(p, F) = d(p, L)} 則 Γ 的圖形稱為拋物線, 且稱 L 為此拋物線的 準線, 稱 F 為此拋物線的 焦點, 且此拋物線方程式為 (x x 0 ) + (y y 0 ) ax + by + c =. a + b 要點 11.4 Note: d(p, L) 表示 P 到 L 的距離. 令 c R, 拋物線 Γ y = 4cx 的所有切線中, 以 m 為斜率的切線方程式為 y = mx + c m ; 拋物線 Γ (y k) = 4c(x h) 的所有切線中, 以 m 為斜率的切線方程式為 (y k) = m(x h) + c m ; 拋物 線 Γ (x h) = 4c(y k) 的所有切線中, 以 m 為斜率的切線方程式為 (y k) = m(x h) cm ; 拋物線 Γ x = 4cy 的所有切線中, 以 m 為斜率的切線方程式為 y = mx cm. 練習 11.1 已知拋物線方程式 y = 4cx, c R +, 此拋物線頂點為 O(0, 0), 拋物線上有兩動點 A, B 滿足 AOB = 90, 則 AB 恆通過定點 (4c, 0), 且 AB 中點軌跡為拋物線, AOB 面積最小值為? 證明提示 : 令兩個參數式, 再利用 OA OB = 0. 13

126 要點 11.5 已知拋物線 Γ y = 4cx, c > 0, 且 F 為焦點,V 為頂點,AB 為一焦弦, 設 A(ct, ct) = (x 1, y 1 ), B (ck, ck) = (x, y ), 其中 t, k 為實數, 試證 : 1. tk = 1.. x 1 x = c 且 y 1 y = 4c. 3. AB = c (t k) = c (t + 1 t ). 4. VAB 面積 = c t k = c t + 1 t. 證明 : 1. 由 F (c, 0), A(ct, ct), B (ck, ck) 可得 因為 A, F, B 三點共線, 所以 同時約掉非零的 c, (k t), 再化簡, 即可得 FA = (ct c, ct), AB = (ck ct, ck ct) (ct c) ct = (ck ct ) (ck ct) tk = 1.. x 1 x = ct ck = c (tk) = c 14

127 且 y 1 y = (ct) (ck) = 4c (tk) = 4c. 3. AB = AF + FB = A 到準線的距離 + B 到準線的距離 = (x 1 + c) + (x + c) = (ct + c) + (ck + c) = c (t + k + ) = c (t + k tk) = c(t k) = c(t + 1 t ). 4. 要點 11.6 設拋物線方程式為 y = 4cx, VAB 面積 = 1 VA = 1 VB ct ct ck ck = c tk(t k) = c ( 1) (t k) = c t k = c t + 1 t. 過拋物線頂點 O, 做兩條互相垂直的弦 OA 與 OB, 則 AB 必過定點 (4c, 0). 過拋物線上之一點 P(x 0, y 0 ), 做兩條互相垂直的弦 PA 與 PB, 則 AB 必過定點 (x 0 + 4c, y 0 ). 過拋物線上之一點 P(x 0, y 0 ), 做兩條弦 PA 與 PB, 且兩弦斜率相乘為 m, 則 AB 必過定點 (x 0 4c m, y 0). 練習 11. 設 A, B 在拋物線 y = 8x 上,O 表原點, 且 OA OB, 試求 O 在 AB 上之投影點 P 之軌跡方程式. 答 : (x 4) + y = 16. ( 提示 : 先證明到 AB 必通過 C(8, 0), 再由 OP CP, 可以發現 P 是在以 OC 為直徑的圓上.) 拋物線考古題 考題 11.1 (9 年學測 ) 設 A(1, 0) 與 B(b, 0) 為坐標平面上的兩點, 其中 b > 1. 若拋物線 Γ y = 4cx 上有一點 P 使得 ABP 為正三角形, 則 b =? 答案 :5. 15

128 橢圓 11.3 要點 11.7 已知橢圓方程式 3 4 ab. x a + y b = 1, a, b R+, 則此橢圓面積為 πab, 橢圓內接三角型最大面積為 練習 11.3 已知橢圓方程式 O, 則 x a + y b = 1, a, b R+, 自橢圓上一動點 P 做切線與 x, y 軸交點 A, B, 原點為 1. AB 最小值為 a + b,. AOB 面積最大值為 ab 4. 練習 11.4 x 已知橢圓方程式 a + y b = 1, a, b R+ 及橢圓兩頂點 A(a, 0), B(0, b), 橢圓上有動點 P, 則 APB 面積最大值為? 提示 : 令參數式, 利用工程師面積公式. 練習 11.5 x 已知橢圓方程式 a + y b = 1, a, b R+, 某直線斜率為 m 且與橢圓交於 A, B 兩點, 試証 : 當 AB 有最大值時, 此直線通過橢圓的中心點. 練習 11.6 平面上, 有兩內離的圓 C 1, C 圓心 O 1, O 半徑 r 1, r, 則與 C 1, C 同時相切的圓之圓心軌跡為一橢圓, 此橢圓焦點為 O 1, O, 長軸長為 r 1 + r. ( 退化之後 ) 平面上, 有一圓 C 1, 其圓心 O 1 半徑 r 1, 且圓內有一定點 O, 則過 O 且與 C 1 相切的圓之圓心軌跡為一橢圓, 此橢圓焦點為 O 1, O, 長軸長為 r 1. 雙曲線

129 要點 11.8 已知雙曲線 Γ 與 Γ 為互為共軛雙曲線, 且 Γ 為其漸近線, 設直線 L 交 Γ 於 P, Q 兩點, 直線 L 交 Γ 於 R, S 兩點, 直線 L 交 Γ 於 M, N 兩點, 則 1. PQ, RS, MN 有相同中點 ;. PR = QS, PM = QN. 證明提示 : 解聯立方程式 {L, Γ}, {L, Γ }, {L, Γ } 時, 由根與係數關係式 ( 韋達定理, Viète s formulas ), 可知 P, Q, 兩點之 x 坐標之和 = R, S, 兩點之 x 坐標之和 = M, N, 兩點之 x 坐標之和, 故 PQ, RS, MN 三者中點的 x 坐標相同, 又因為 P, Q, R, S, M, N 皆在 L 直線上, 故 PQ, RS, MN 有相同中點. 要點 11.9 已知橢圓 Γ 兩焦點為 F 1, F 及 Γ 之某切線 L 之方程式, 則 F 對 L 對稱可得 F, Γ 之長軸長 = F 1 F. 已知雙曲線 Γ 之兩焦點為 F 1, F 及 Γ 之某切線 L 之方程式, 則 F 對 L 對稱可得 F, Γ 之貫軸長 = F 1 F. 練習 11.7 平面上, 有兩外離的圓 C 1, C 圓心 O 1, O 半徑 r 1, r, 則 1. 與 C 1, C 同時外切或是同時內切的圓之圓心軌跡為一雙曲線, 此雙曲線焦點為 O 1, O, 貫軸長為 r 1 r ;. 與 C 1, C 之一圓外切且另一圓內切的圓之圓心軌跡為一雙曲線, 此雙曲線焦點為 O 1, O, 貫軸長為 r 1 + r. 練習 11.8 雙曲線上上任一點 P, 試証該 P 至此雙曲線兩漸近線距離之乘積為定值. 雙曲線上任一點 P, 由 P 做此雙曲線之切線, 試証該切線與兩漸近線所圍面積為定值. 雙曲線上上任一點 P, 由 P 做此雙曲線兩漸近線之平行線, 試証該兩平行線與兩漸近線所圍平行四邊形面積為定值. 考題 11. (96 年中一中 ) 已知平面上有兩相異定點 B, C 及一動點 A, 且 tan B tan C = k, 試由 k 之值討論 A 點軌跡的圖形. y 解題提示 : 另 B(0, 0), C(l, 0), A(x, y), 則 y = x tan B = (l x) tan C, 因此可得 x y l x = tan B tan C = k, 化減之後再討論, 可得圖形可能為圓 橢圓 拋物線 或是一直線. 考題 11.3 (96 年中一中 ) 1. 已知平面上有三相異定點 A(a, 1 a ), B(b, 1 b ), C(c, 1 c ), 試証 ABC 的垂心 H 之軌跡為雙曲線. 1 證明提示 : 利用 AH BC = 0, BH AC = 0, 可以解出 H( abc, abc), 是故 H 軌跡方程式為 x y = 17

130 練習 11.9 平面上有三點 A(1, 5), B(3, ), C(, 4), 已知 ABC 內之有一動點 P(x, y), 試求 x y 之最大值? 解題提示 : 利用線性規劃的觀念加上雙曲線 x y = k, 是故要求 x y = k 與 AB 相切時之 k 點坐標, 因此解聯立方程式 ( y 代入消去 ), 利用 x 之判別式 = 0, 可以求出 k, 此即所求. 練習 ( 二次曲線系, 漂亮例題 ) 有一等軸雙曲線過四點 A( 1, ), B(0, 4), C(, 1), D(4, 1), 試求此等軸雙曲線方程式. 解題提示 : 先求出 AB, CD, AD, BC 的四個直線方程式, 利用通過此四點的兩個退化的二次曲線 Γ 1 AB CD = 0, Γ AD BC = 0, 則令過四點之二次曲線為 Γ 1 + kγ = 0, 利用等軸雙曲線與坐標變換不變量,A + C = 0, 求出 k = 5 7, 代回二次曲線, 即可求得. 圓錐曲線的切線與光學性質 11.5 待補 : 切線的定義, 微分法 ( 及隱函數的微分法 ) 求切線, 中點弦, 圓錐曲線的半徑 圓錐曲線的切線 要點 令 p, q R, 二次曲線 Γ y = mx ± pm + q. x p + y q = 1, 則 Γ 的切線中, 以 m 為斜率的切線 L 方程式可表為 要點 令 p, q R, 二次曲線 Γ x p + y q = 1, 則 Γ 的互相垂直的兩切線的交點必落在圓 x + y = p + q 上. 證明提示 : 設兩垂直切線斜率為 m, 1 m, 再利用切線公式. 要點 11.1 ( 換一半公式 ) 設圓錐曲線 Γ Ax + Bx y + Cy + Dx + Ey + F = 0 上有一點 P(x 0, y 0 ), 則自 P 作 Γ 的切線, 則切線方程式為 A(x 0 x) + B ( x 0y + y 0 x ) + C (y 0 y) + D ( x 0 + x ) + E ( y 0 + y ) + F = 0. Note: 如上用換一半公式所得的方程式稱為 Polar, 極線 或 極軸, 而 P 稱為 Pole 或 極點, 1. 若 P 是在圓錐曲線上, 則所求得的是以 P 為切點的切線方程式.. 若 P 是在圓錐曲線外部, 則所求得的是自 P 向 Γ 所作切線的切點弦方程式. 3. 若 P 是在圓錐曲線外部, 則所求得是曲線外某條平行 以 P 為中點的弦 的平行直線方程式. 18

131 11.5. 圓錐曲線的光學性質 要點 ( 拋物線的光學性質 ) 則 練習 要點 設拋物線 Γ 的焦點為 F, 且 Γ 上任取一點 P, 自 P 作切線 L, 且自 P 作平行於對稱軸的直線 M, L 與焦半徑 PF 的夾角, 會等於 L 與 M 的夾角. 若 F 對於切線 L 的對稱點為 Q, 則 Q 會落在準線上, 且 Q 恰為 P 在準線上的投影點. 若有一光源自焦點 F 射出, 經拋物線反射之後, 會沿平行拋物線對稱軸的直線方向射出. Note: 拋物線的焦點對拋物線任一切線的對稱點, 必在準線上. 一拋物線焦點為 (, ), 有兩切線 x + y = 0, x y = 0, 試問拋物線方程式與切點? 解題提示 : 由焦點至兩切線作對稱點, 過兩對稱點的方程式即為準線方程式. 設線段 PQ 為拋物線 Γ 的焦弦 ( 過焦點的弦 ), 且 F 與 L 分別為 Γ 的焦點與準線, 自 P, Q 分別向 L 作垂線, 垂足分別為 M, N, 若 R 為 MN 的中點, 則 1. PR QR.. RF PQ. 3. RF = PM RN. 4. RP 與 RQ 皆為 Γ 的切線, 且 P, Q 皆為切點. Note: 拋物線之兩互相垂直的切線的交點必在準線上 ; 準線上任一點對拋物線所做的兩切線必 互相垂直, 且兩切點的連線必為焦弦. 過拋物線焦弦兩端點的切線必互相垂直. 練習 11.1 拋物線 y = x 外一點 P 作兩條拋物線的切線, 令兩切線銳夾角為 α, 且 tan α = 4, 求 P 點的軌 跡方程式. 解答 : 設 P(x 0, y 0 ) 且令過 P 且與拋物線相切的兩條切線斜率分別為 m 1, m. 對於拋物線 y = x, 其斜率為 m 的切線方程式為 y = mx 1 4 m. 所以, 通過 P 的切線方程式為 y 0 = mx m, 其中 m 的兩根為 m 1 與 m, 化簡可得 由根與係數關係式, 可以得到 m 4mx 0 + 4y 0 = 0. m 1 + m = 4x 0 且 m 1 m = 4y 0 19

132 利用 (m 1 m ) = (m 1 + m ) 4m 1 m, 可得 m 1 m = 4 x0 y 0. 且由 tan α = m 1 m 4 = 4 x 0 y m 1 m 1 + 4y 0 化簡, 可得 x 0 16y 0 9y 0 1 = 0., 亦即 P(x, y) 的軌跡方程式為 x 16y 9y 1 = 0. Note: 相同的方法可以用來證明 1. 設拋物線方程式為 x = 4cy, 則此拋物線任兩條互相垂直的切線之交點的軌跡為準線, 即軌跡方程式為 y = c.. 設橢圓方程式為 a + b. 3. 設雙曲線方程式為 a b. 要點 ( 有心錐線與無心錐線 ) x a + y b = 1, 則此橢圓任兩條互相垂直的切線之交點的軌跡方程式為 x + y = x a y b = 1, 則此橢圓任兩條互相垂直的切線之交點的軌跡方程式為 x + y = 橢圓與雙曲線有對稱中心點, 故稱為 有心錐線. 拋物線無對稱中心點, 故稱為 無心錐線. 要點 ( 有心錐線的光學性質 ) 設 Γ 為有心錐線 ( 橢圓或雙曲線 ), 且 Γ 的兩焦點為 F 1, F, 自 Γ 上任取一點 P, 自 P 作 Γ 的切線 L, 則兩條焦半徑 PF 1, PF 會與 L 夾等角. 要點 ( 橢圓的光學性質應用 ) 設橢圓 Γ 的半長軸長為 a, 半短軸長為 b, 兩焦點為 F 1, F, 橢圓上任取一點 P, 自 P 作 Γ 的切線 L, 自 F 1, F 作 L 的垂線, 設垂足分別為 H 1, H, 令 F 1 PF = θ, 則 1. PF 1 PF = b 1 + cos θ = b sec θ.. PF 1 F 面積 = b tan θ. 3. F 1 H 1 F H = b. 4. 梯形 F 1 H 1 H F 的面積 = a sin θ. 5. 當 P 繞行整個橢圓, 則 H 1 與 H 皆在以橢圓中心點為圓心, 以 a 為半徑的圓上. 6. 若 F 1 對於 L 的對稱點為 F 1, 則 F 1 F = a. 130

133 要點 ( 雙曲線的光學性質應用 ) 設雙曲線 Γ 的半貫軸長為 a, 半共軛軸長為 b, 兩焦點為 F 1, F, 雙曲線上任取一點 P, 自 P 作 Γ 的切線 L, 自 F 1, F 作 L 的垂線, 設垂足分別為 H 1, H, 令 F 1 PF = θ, 則 1. PF 1 PF = b 1 cos θ = b csc θ.. PF 1 F 面積 = b cot θ = 1 ab sin θ. 3. F 1 H 1 F H = b. 4. 梯形 F 1 H 1 H F 的面積 = a sin θ. 5. 當 P 繞行整個雙曲線, 則 H 1 與 H 皆在以雙曲線中心點為圓心, 以 a 為半徑的圓上. 6. 若 F 1 對於 L 的對稱點為 F 1, 則 F 1 F = a. 131

134 第 1 章排列組合 待補上 : 鋸齒狀走捷徑 ( 開票一路領先 售票無障礙 ) 勝率問題 立體相鄰塗異色問題 ( 恰用若干色問題 ) 環狀排列 ( 有 無循環節 ) 項圈排列 ( 有無循環節 可否對稱 ), 換鈔問題的付款方式與多少種款額. 正因數個數. 加法原理與乘法原理 1.1 要點 1.1 ( 樹狀圖 ) 將所有可能性, 按樹枝狀逐一條列出所有的可能性, 每一個節點都是一個不重複的可能狀態, 用以輔助解題的方法. Note: 即為窮舉法. 要點 1. ( 加法原理 ) 完成某事件的方法有 k 類可以選擇, 其中第一類方法有 m 1 種, 第二類方法有 m 種,..., 第 k 類的方法有 m k 種, 則完成此事件的方法共有 m 1 + m + + m k 種不同的方法可以選擇. Note: 上述的方法與方法之間, 是有互斥性的, 只要擇一即可. keyword: 或. 要點 1.3 ( 乘法原理 ) 完成某事件的方法可以分成 k 個步驟, 其中第一個步驟有 m 1 種方法可以選擇, 第二個步驟有 m 種方法可以選擇,..., 第 k 個步驟有 m k 種方法可以選擇, 則完成此事件的方法共有 m 1 m m k 種不同的方法可以選擇. Note: 若跳過任一步驟, 皆無法完成此事件. keyword: 且. 排列 1. 要點 1.4 ( 完全相異物的全取排列 ) 將 n 個不同的東西, 全取排成一列, 其排列方法數共有 n! = n(n 1)(n ) 1 種. Note: 定義 0! = 1. 13

135 要點 1.5 ( 完全相異物的直線排列 ) 種. 將 n 個不同的東西, 選取 k 個排成一列 (k n), 其排列方法數共有 要點 1.6 ( 全錯排 ) P n k = n(n 1)(n ) (n k + 1) = k 個括弧 n! (n k)! 設 n N, 將 1,, 3,..., n 對應至 a 1, a, a 3,..., a n, 各數字不重複使用, 且滿足 (a 1 1)(a )(a 3 3) (a n n) 0, 則其對應方法數有 n! ( 1 0! 1 1! + 1! 1 3! + ( 1)n 1 n! ) 要點 1.7 ( 環狀相鄰塗異色問題 ) 以 k 種顏色塗一有 n 節的環狀區域, 顏色可重複使用, 且不一定要全部用完, 相鄰區域塗異色, 若塗法有 a n 種, 則遞迴關係式為 a 1 = k, a = k(k 1), a n = k(k 1) n 1 a n 1, n 3, 且 a n = (k 1) n + ( 1) n (k 1) 證明提示 :k(k 1) n 1 塗法, 最後兩個區域可能同色或異色, 相對應到就是 a n 1, a n 其中一種. 再利用遞迴關係式加上用等比級數公式就可以得出結果. 練習 1.1 A, B, C, D 四個人完傳接球遊戲, 由 A 開始請問傳七次回到 A 的方法有幾種? 答 :546. 提示 : 假設傳球一定是要傳給其他人的話, 則跟 A A 相鄰塗異色的方法相同, 環狀七格用四色塗且某位置限定為 A 色 = (37 + 3( 1) 7 ) = 練習 1. 數線上 A, B, C 三點坐標分別是 1, 0, 1, 某一質點由 B 點出發, 每經過一秒只能留在原處, 或往左右移動一單位, 且規定只能在 A, B, C 三點間移動, 經過六秒後, 請問此質點會停留於 B 之移動方法共有幾種? 經過六秒後, 此質點仍然停留在 B 點之機率為何? 答 :(1) 99 ;() 提示 : 令 t 秒後, 此質點會停留在 A, B, C 的方法數分別為 a t, b t, c t, 則 a 0 = 0, b 0 = 1, c 0 = 0, 且利用遞迴關係式 a t = a t 1 + b t 1, b t = a t 1 + b t 1 + c t 1, c t = b t 1 + c t 1, 可求 99 得 a 6 = c 6 = 70, b 6 = 99, 故經過六秒後, 質點仍停留在 B 點之機率為 = 組合

136 要點 1.8 ( 完全相異物的分組與分堆 ) 1. 將 n 件不同的物品分成若 k 組, 第一組有 r 1 件, 第二組有 r 件,, 第 k 組有 r k 件, 其中 r 1 + r + + r k = n, 則其分法有 Cr n 1 C n r 1 r C n r 1 r r k 1 n! r k = r 1!r! r k!. 若將 n 件不同的的物品分成 k 堆, 其中有 t 1 堆個數相同, 另 t 堆個數也相同 ( 與前者不同 ),, Cr n 1 C n r 1 r 另 t m 堆個數相同 ( 與前者皆不同 ), 則分堆的方法數為 1 t 1!t! t m!. C n r 1 r r k 1 r k t 1!t! t m! = n! r 1!r! r k! 要點 1.9 ( 重複組合 ) 設 n, k 為正整數, 則 1. 將 k 顆相同的球, 投入 n 個不同的箱子, 投完之後, 各箱子球數的分佈情形有 H n k 種.. n 元一次不定方程式 x 1 + x + + x n = k 的非負整數解 (x 1, x,..., x n ) 共有 H n k 組. 3. 有 n 種不同的東西, 每種至少有 k 個, 自這 n 種東西裡面取出 k 個出來, 取出來的結果有 H n k 種. 其中, H n k = (n + k 1)! Cn+k 1 k = k! (n 1)!. Note: k 顆相同球, 放入 n 個不同箱子, 視為 k 顆球與 n 1 個隔板的排列. 要點 1.10 ( 凸 n 邊形內部的三角形個數 ) 已知有一凸 n 邊形 (n 6), 任三條對角線皆不共點, 則在此凸 n 邊形內部, 以邊長及對角線所形成的三角形個數為 C n 3 + 4C n 4 + 5C n 5 + C n 6. 證明提示 : 三角形頂點皆恰為凸 n 邊形頂點的有 C n 3 個, 三角形頂點恰有兩個頂點為凸 n 邊形頂點的有 4C n 4 個 ( 以四邊形為最小單位 ), 三角形頂點恰有一個頂點為凸 n 邊形頂點的有 5C n 5 個 ( 以五邊形為最小單位 ), 三角形頂點皆不為凸 n 邊形頂點的有 C n 6 個 ( 以六邊形為最小單位 ). 要點 1.11 ( 圓周上相異 n 所成的弦, 將圓內部分割成多少區域 ) 圓周上有相異 n 個點, 任取兩點連成一弦, 則這些弦最多可將此圓內部分割成 C n + C4 n + 1 個區域. 證明提示 : 若這 n 個相異點的連線均不相交, 則可把圓分割成 C n + 1 個區域, 但實際上每 4 個點可多決定一交點, 而每多 1 個交點就多出 1 個區域, 故為圓周上相異 n 個點最多可以決定 C n +C4 n +1 個區域. 134

137 要點 1.1 設 n, m 為正整數, 在 1 至 n 中選取不連續 ( 不相鄰 ) 的 m 個數字, 則取法有 Cm n m+1 種. 已知圓周上有 k 1, k,, k n 共 n 個相異點, 若要從中選出不相鄰的 m 個點, 則取法有 Cm n m+1 Cm n m 1 種. 證明提示 : 此與環狀排列不同, 因為各點皆有名稱, 先將 k 1, k,, k n 放一直線, 選出不連續 m 個的方法數 選出不連續 m 個, 且頭尾必取的方法數 練習 1.3 凸 n 邊形中, 任意取三頂點所形成的三角形中, 與此凸 n 邊形有恰兩公共邊的三角形有幾個? 與此凸 n 邊形恰有一公共邊的三角形有幾個? 與此凸 n 邊形沒有公共邊的三角形有幾個? 答 :(1) n ;() n(n 4) ;(3) C3 n n(n 4)(n 5) n n(n 4) =. 6 練習 1.4 練習 1.5 矩形 m n 條街道, 由左下至右上走捷徑, 恰轉 1,,3,4 次彎的走法有幾種? 答 :, (m ) + (n ), (m )(n ), H 3 m 3H n + H m H 3 n 3. 五支相同的鉛筆 四支相同的原子筆, 分給三位小朋友, 每人至少得一支筆的分法有幾種? 每人至少得一支鉛筆與一支原子筆的分法有幾種? 答 :H 3 5H 3 4 C 3 1 H 5H 4 + C 3 H 1 5H 1 4, H 3 H 3 1. 五支相同的鉛筆 四支不同的原子筆, 分給三位小朋友, 每人至少得一支筆的分法有幾種? 每人至少得一支鉛筆與一支原子筆的分法有幾種? 答 :H C 3 1 H C 3 H , H 3 (3 4 C C ). 練習 1.6 試求 1. x + y + x = 0 共有幾組整數解?. x + y + z + u = 15 的正整數解有幾組? 答 :(1) 160.);() 133. 提示 :1. 討論恰有多少個 0 根. 討論 u 的可能性. 考題 1.1 (84 年學測 ) 每次用 0 根相同的火柴棒圍成一個三角形, 共可圍出多少個不全等的三角形? 答 :8. 提示 : 設三角形三邊為 a, b, c, 且滿足 0 a b c 0 以及 a + b + c = 0, a + b > c, 條列 (a, b, c) 組數. 考題 1. ( 中一中 80 年 ) 同一平面上有相異曲線及直線, 共有四條直線 三個圓 兩個橢圓 三個拋物線 三個雙曲線, 這些圖形最多有多少個交點? 答 :C1 4 C1 3 + C1 3 C C1 4 C1 8 + C1 4 + C 3 + C4 8 = 308. 提示 : 共有 4 條直線 3 個圓 8 個非退化二次曲線. 135

138 考題 1.3 ( 中一中 80 年 ) 在坐標平面上, 由 A( 3, ) 出發, 沿方格的邊取捷徑走到 B(5, ), 必經過第二象限的走法有多少種? 答 :75. 提示 : 由 A 至 B 走捷徑, 必恰經過一個 x + y = 0 直線上的格子點, 故必經第二象限者, 必恰經過 ( 1, 1) 或 (, ) 其中之一. 考題 1.4 ( 中一中 80 年 ) 有八人排隊買票, 票價每張 50 元, 若這八人中有五人身上帶有 50 元硬幣, 其餘三人只帶有 100 元鈔票, 今每人限購一張, 則在售票員不備零錢的條件下, 能將票順利售完, 且不發生找錢困難的售票方法有多少種? 答 :8. 提示 : 鋸齒狀走捷徑問題, 同開票一路領先, 任走扣除對稱禁忌之線的走法. 考題 1.5 ( 中一中期中考 ) 四顆紅球 四顆黑球 四顆白球排成一列, 紅球不排前四位, 黑球不排中間四位, 白球不排後四位, 請問排列方法數有幾種? 答 :(C 4 0) 3 + (C 4 1 ) 3 + (C 4 ) 3 + (C 4 3) 3 + (C 4 4) 3 考題 1.6 ( 中一中 8 年 ) 有前後兩排座位, 每排各有四個相連的位置, 甲 乙 丙 丁 戊共五人入坐, 則 (1) 有多少種坐法? () 甲乙兩人不左右相鄰的坐法有多少種? 答 :(1) P 8 5 = 670 ;() P 8 5 C 6 1! P 6 3 = 580. 考題 1.7 ( 中一中 8 年 ) 將八件相同的物品全部分給甲 乙 丙三人, 三人中, 其中一人至少得一件, 一人至少得二件, 一人至少得三件, 請問分法有多少種? 答 :18. 解答提示 : 由大至小先分堆 8 = = = = , 再分給人分法有 3! + 3! + 3!! + 3!! = 18; 另解, 先每人各分一件, 剩下 任意 分扣去 全分給同一人 的情況,H5 3 C1 3 H5 1 = 18. 考題 1.8 ( 中一中 8 年 ) A, B, C, D, E 五對夫婦共十人, 圍一圓桌聚餐, 若只考慮彼此的相關位置, 則恰有三對各夫婦相 鄰, 另兩對各不相鄰的作法有多少種? 答 :6880. 提示 :C 5 3 ( 7! 7 3 C 1 6! C 5! 5 5 ) 考題 1.9 ( 中一中 8 年 ) 從 5 個 A 6 個 B 7 個 C 8 個 D 共 6 個字母中, 任意取出 5 個, 則 (1) 有多少組? () 若恰含有 3 種字母的有多少組? (3) 將第一小題所選取的 5 個字母排成一列的排列數有多少種? 答 :(1) H 4 5 = 56 ;() C 4 3H = 4 ;(3) 4 5 =

139 考題 1.10 ( 中一中 8 年 ) 有一正八邊形, 以其八個頂點為頂點的三角形中, 試問 (1) 銳角三角形有幾個? () 與此正八邊形無公共邊的有幾個? 答 :(1) 8. () 16. 提示 :1. 任取 直角三角形個數 鈍角三角形個數 = C 8 3 C C 8 1 (1 + ).. 任取 恰有一公共邊的三角形個數 恰有兩公共邊的三角形個數. 考題 1.11 ( 中一中 8 年 ) 數列 (1), (, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9, 10),..., (37, 38,..., 45) 共 9 個括弧 45 個數字, 從其中任取兩個數字, 且此兩個數字不在同一括弧內的取法有多少種? 答 :870. 提示 : 法一 :C 45 (C + C C) 9 = C 45 C3 10 法二 :1 至 9 任兩數字積之和 = ( ) ( ) 練習 1.7 求 1 3 C C C C 0 0 之值? 答 : 解法一 : 設 n N, n 3, 考慮 n k=1 k 3 C n n k = {k (k 1) (k ) + 3k (k 1) + k} C n k k=1 n = k (k 1) (k ) C n n k + 3 k (k 1) C n n k + = k=1 n k=3 k=1 k (k 1) (k ) C n n k + 3 k (k 1) C n n k + k=3 k= k= kc n k k=1 kc n k k=1 n = n (n 1) (n ) C n 3 n k 3 + 3n (n 1) (k + 1) kc n n k + n = n (n 1) (n ) n 3 + 3n (n 1) n + n n 1 = {n (n 1) (n ) + 6n (n 1) + 4n} n 3 = (n 3 + 3n ) n 3 所以, n = 0 帶入, 可得 即為所求. 解法二 : 設 n N, 考慮 兩邊同時對 x 微分得 兩邊同時乘上 x 可得 (1 + x) n = 1 + C n 1 x + C n x + + C n nx n, n (1 + x) n 1 = C n 1 + C n x + 3C n 3 x + + nc n nx n 1, n (1 + x) n 1 x = C n 1 x + C n x + 3C n 3 x nc n nx n, 137 k=1 C n 1 k 1

140 兩邊同時對 x 微分得 n (1 + x) n 1 + n(n 1) (1 + x) n x = C1 n + C n x + 3 C3 n x + + n Cnx n n 1, 兩邊同時乘上 x 可得 n (1 + x) n 1 x + n(n 1) (1 + x) n x = C1 n x + C n x + 3 C3 n x n Cnx n n, 兩邊同時對 x 微分得 n (1 + x) n 1 + n(n 1) (1 + x) n x + n(n 1) (1 + x) n x + n(n 1)(n ) (1 + x) n 3 x = C1 n + 3 C n x C3 n x + + n 3 Cnx n n 1, x = 1 帶入, 可得 n n 1 + n(n 1) n x + n(n 1) n + n(n 1)(n ) n 3 = C1 n + 3 C n C3 n + + n 3 Cn, n 亦即 (n 3 + 3n ) n 3 = C1 n + 3 C n C3 n + + n 3 Cn, n n = 0 帶入, 可得 即為所求. 二項式定理 1.4 待補 : 多項式定理 要點 1.13 ( 二項式定理 ) 要點 1.14 設 n 為任意正整數, x, y 為滿足加法交換律的任意數, 則 (x + y) n = C n 0 x n + C n 1 x n 1 y + C n x n y + + C n n 1x y n 1 + C n n y n = C n nx n + C n n 1x n 1 y + C n n x n y + + C n 1 x y n 1 + C n 0 y n = n r=1 C n r x n r y r. Note: (x + y) n 的展開式, 經同類項合併之後, 共有 n + 1 項, 且第 r + 1 項 ( 一般項 ) 為 C n r x n r y r. 設 n 為任意正整數, x 為任意數, 則 (1 + x) n = C n 0 + C n 1 x + C n x + + C n n 1x n 1 + C n nx n, n = C n 0 + C n 1 + C n + + C n n 1 + C n n, 0 = C n 0 C n 1 + C n + ( 1) n 1 C n n 1 + ( 1) n C n n. Note: 上列的第二式, 可以給予組合解釋, 比較容易理解與記憶. 138

141 練習 1.8 已知 n N, ( + 3) n = a n + b n 3, 其中 a n, b n Q, 試證明 : 1. a n+1 = a n + 3b n, b n+1 = a n + b n. ( 3) n = a n b n 3 3. a n 3b n = 1 a n 4. lim = 3 n b n 要點 1.15 ( 多項式定理 ( 以三項式為例 )) 設 n 為任意正整數, x, y, z 為滿足加法交換律的任意數, 則 (x + y + z) n = p + q + r = n p, q, r 為非負整數 n! p!q!r! x p y q z r. 139

142 第 13 章機率與統計一 平均數 離差 變異數 標準差 要點 13.1 ( 古典機率的定義 ) 設集合 S 為某試驗的樣本空間, 且每個樣本點的出現機會均等, 若集合 A 為 S 的子集合, 則稱 A 為 事件, 且定義事件 A 發生的機率 P(A) = n(a) n(s). 若 S 為樣本空間, 且 A, B 為 S 的事件, 則 1. 集合 S 稱為 全事件, 集合 ϕ 稱為 空事件, 集合 A 稱為 A 的 餘事件. 聯集 A B 稱為 A 與 B 的 和事件, 交集 A B 稱為 A 與 B 的 積事件. 3. 若 A B = ϕ, 則稱 A 與 B 為 互斥事件, 且 P(A B) = P(A) + P(B). 4. 若 A 1, A,, A n 兩兩皆為互斥事件, 且 A 1 A A n = S, 則稱集合 {A 1, A,, A n } 為 S 的一個 分割 (partition), 且 P(A 1 ) + P(A ) + + P(A n ) = 1. 定義 : 成功的優勝率 = 成功的機率. 失敗的機率 140

143 考題 13.1 ( 中一中 96 年社會組 ) 羽球名人邀請賽共有 16 位選手參加, 以目前狀況而言, 沒有人能擊敗馬來西亞的選手李宗偉, 而中國的選手林丹則僅次於李宗偉, 若比賽選手隨機抽籤決定賽程 ( 如下圖 ) 並採用單淘汰賽, 求林丹得到亞軍的機率. 答 : ( 提示 : 樣本空間 : 所有人任選, 除以 15 個分支對稱的情況. 林單恰得亞軍的事件 : 李宗偉先選完 後, 林單再選另一個大分支, 其他人繼續排列在剩下的 14 個位置, 並且除以 15 個分支對稱的情況 ! 所求 = 15.) 16! 15 要點 13. ( 機率的性質 ) 設集合 S 為某試驗的樣本空間, 且 A, B 皆為 S 的事件, 則 1. 0 P(A) 1,. P(S) = 1, P(ϕ) = 0, 3. P(A) = 1 P(A), 4. 排容原理 : P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). 5. 機率的單調性 : 若 A B, 則 P(A) P(B). 6. 狄摩根律 : P(A B) = P(A B) 且 P(A B) = P(A B). 練習 13.1 設袋中有 m 顆球, 分別標上編號 1,, 3,, m, 從中取出 n (n N, n m) 顆球, 將取出的 n 顆球由小至大排列, 若此排列中的排第 k 顆的編號為 T, 試求 T 的期望值. 答 : T 的期望值為 k ( m + 1 n + 1 ). ( 解題提示 : 先排 n 球 ( 被取中的 n 球 ) 成一列, 則有 n + 1 個空隙, 此時將未被取中 m n 個球 平均分布給這 n + 1 個空隙, 則平均每個空隙有 m n n + 1 連帶取光 k 個空隙的球, 故 T 的期望值為 k + k m n n + 1 = k (1 + m n n + 1 ). 顆球, 由左而右取至第 k 個被選取的球, 則會 141

144 練習 13. = C3 C 5 若一袋中有五顆球, 三顆為 號球, 兩顆為 3 號球, 今從袋中任取兩個球, 若取出兩顆球點數相同放回, 再繼續取, 直到取出不同號碼的兩顆球即停止, 試求取出點數的期望值為何? 答 : 8 解答 : 取到, 3 號的兩顆球的機率 = C3 1 C 1 C 5 = = 6 10 ; 取到兩個 號的機率 = C C 5 = 1 10 ; 取到兩個 3 號的機率 設取球數的期望值為 E(x), 則 E(x) = ( ) ( + + E(x)) + ( E(x)) , 其中, 當中的 + 3 是此次取球的號碼和, 而 +0 是接下來取球的號碼和 ( 接下來遊戲停止, 就不用取球啦 ); + + E(x) 當中的 + 是此次取球的號碼和, 而 +E(x) 是接下來取球的號碼和的期望值 ; E(x) 當中的 是此次取球的號碼和, 而 +E(x) 是接下來取球的號碼和的期望值. 故, 可解得 E(x) = 8. 14

145 第 14 章機率與統計二 條件機率與貝氏定理, 獨立事件, 變異係數 相關係數 最小平方法與最適合直線 143

146 第 15 章坐標的旋轉與平移 平移 15.1 要點 15.1 ( 移點 ) 在 x y 坐標平面上, 將點 P(x, y) 沿向量 v = (h, k) 方向移動, 則經平移後的新點坐標 P 為 (x + h, y + k). 要點 15. ( 移圖 ) 在 x y 坐標平面上, 將 f (x, y) = 0 之圖形, 沿向量 v = (h, k) 方向移動, 則新圖形之方程式為 f (x h, y k) = 0. 要點 15.3 ( 移軸 ) 設 x y 坐標平面, 經坐標軸平移後, 以 O (h, k) 為新原點, 若 P 點對原坐標系之坐標為 (x, y), 且 P 點對新坐標系之坐標為 (x, y ), 則 x = x h y = y k. 旋轉 15. 要點 15.4 ( 轉點 ) 在坐標平面上, 以原點為 O 中心, 將 P(x, y) 點逆時針方向旋轉 θ 角, 轉至點 P (x, y ), 可得關係式 x + y i = (x + yi)(cos θ + i sin θ) = (x cos θ y sin θ) + i(x sin θ + y cos θ), 亦即, x y = cos θ sin θ sin θ cos θ x y 144

147 要點 15.5 ( 轉軸 ) 在坐標平面上, 以原點為 O 中心, 若 P(x, y), 經坐標軸逆時針方向旋轉 θ 角, 得新坐標 P (x, y ), 可得關係式 x y = cos θ sin θ x sin θ cos θ y 二元二次方程式的平移與旋轉

148 第 16 章矩陣 待補 : 零矩陣, 上三角矩陣, LU 分解, 對角化矩陣, 轉置矩陣, 方陣, 單位矩陣, 基本矩陣 ( 基本列運算的對應矩陣 ), det(ab) = det Adet B, 馬可夫鏈, 轉移矩陣. 旋轉矩陣, 鏡射矩陣, 推移矩陣. 線性變換. 要點 16.1 ( 反矩陣的定義 ) 設 A 為 n 階方陣, 若存在另一 n 階方陣 B 滿足 AB = BA = I n, 則稱 B 為 A 的 反矩陣 ( 或 逆矩陣 ), 並且將 A 的反矩陣 (B) 記作 A 1, 且稱 A 可逆矩陣. 若 A, B 皆為可逆矩陣, 且 AB 存在, 則 (AB) 1 = B 1 A 1. Note: 判斷 A 是否可逆的條件 : A 為可逆, 若且唯若 det A 0. 要點 16. ( 二階反矩陣求法的快速公式 ) 設 a, b, c, d 皆為實數, 且 A = a c b d, 若 det A 0, 則 A 1 1 = d det A c b a 要點 16.3 ( 反矩陣的求法 ) 方法一 : 設 A 為 n 階的可逆矩陣, 則可以利用 [A I n ] 經過矩陣的列運算之後, 化簡到 [I n A 1 ]. 方法二 : 設 A 為 n 階的可逆矩陣, 則 定義 A 中去掉第 i 行及第 j 列後的方陣為 A i j, 稱為 A 的子方陣. 定義 c i j = ( 1) i+j det A i j, 稱為 A 的餘因子 (cofactor). 定義 Ad j(a) = [c i j ] T, 稱為 A 的伴隨矩陣. 則 A 1 = Ad j(a) det A. 146

149 要點 16.4 ( 旋轉矩陣 ) 設坐標平面上有點 P(x, y), 將 P 以原點為中心逆時針旋轉 θ 角, 變成點 P (x, y ), 則 其中, cos θ sin θ 要點 16.5 ( 鏡射矩陣 ) sin θ cos θ x y 稱為 旋轉矩陣. = cos θ sin θ sin θ x, cos θ y 設坐標平面上有點 P(x, y) 即聽過原點的直線 L, 若 L 與正向 x 軸夾 θ 角 ( 即直線斜率為 tan θ ), 將 P 對 L 鏡射後, 變成點 P (x, y ), 則 x y = cos θ sin θ sin θ x, cos θ y 其中, cos θ sin θ 稱為 鏡射矩陣. sin θ cos θ Note: 先將 P 對 x 軸作對稱, 再以原點為中心逆時針旋轉 θ 角, 就相當於對過原點且斜角為 θ 的直線作鏡射. 147

150 第 17 章不等式 算機不等式 柯西不等式 錯排不等式 三角不等式 二次函數恆正 ( 恆負 ) 或限定範圍恆正 ( 恆負 ) 線性規劃 三角函數的不等式 反三角不等式 廣義柯西不等式. Jensen 不等式. key: 看到不等號, 則想想等號成立的條件. 絕對不等式 17.1 算幾不等式 要點 17.1 ( 算幾不等式 ) 已知 a 1, a,..., a n 皆為非負的實數, 則 a 1 + a + + a n n n a 1 a a n, 且當等號成立時,a 1 = a = = a n. 練習 17.1 證明算幾不等式. 利用數學歸納法, 當 n = 時, a 1 + a a 1 a = ( a 1 a ) 0, 且等號成立時, 若且唯若 a1 = a a 1 = a 設當 n = k (k, k N) 時, a 1 + a + + a k k a 1 a a k 成立, 且等號成立時 a 1 = a = = a k. k 則當 n = k + 1 時, 令 d = a 1 + a + + a k+1, 則 k + 1 k 1 個 d = (a a 1 + a + + a k+1 ) + d + d + + d 1 +a + +a k k + a k+1+d+ +d k = k a1 + a + + a k a k+1 + d + + d k a1 a a k k a k+1 d k k k 1 = k a 1 a a k+1 d k 1 上式左右同時平方 ( 並同除 d k 1 ), 可得 d k+1 a 1 a a k+1 d k+1 a1 a a k+1, 且等號成立條件為 a 1 = a = = a k a k+1 = d 亦即 a 1 = a = = a k = a k

151 練習 17. 練習 17.3 設 n 為自然數, 證明 :( n + 1 ) n n!. 已知 0 < a, b, c, d < π, 試證明 : sin ( a + b (sin a + sin b) ) sin ( a + b + c + d (sin a + sin b + sin c + sin d) ) 4 4 sin ( a + b + c (sin a + sin b + sin c) ) 3 3 證明 : 1. sin a + sin b = sin ( a + b ) cos ( a b ) sin ( a + b ) 1 (sin a + sin b) sin ( a + b ) 以下, 模仿算幾不等式的証明法,. sin ( a + b + c + d a+b ) = sin ( 4 sin a+sin b + sin c+sin d = + c+d ) sin a + sin b + sin c + sin d 4 a+b c+d sin ( ) + sin ( ) 3. 令 d = a + b + c, 則 3d = a + b + c a + b + c + d = 4d a + b + c + d 3 4 由 sin ( a + b + c + d sin a + sin b + sin c + sin d ) 4 4 可得 得證. sin (d) sin a + sin b + sin c + sin d 4 4 sin (d) sin a + sin b + sin c + sin d 3 sin (d) sin a + sin b + sin c sin (d) sin a + sin b + sin c 3 sin ( a + b + c sin a + sin b + sin c ) = d

152 柯西不等式 要點 17. ( 柯西不等式 ) 已知 a 1, a,..., a n, b 1, b,..., b n 皆為實數, 則 (a 1 + a + + a n)(b 1 + b + + b n) (a 1 b 1 + a b + + a n b n ), 且當等號成立時, 存在 k R 使得 k(a 1, a,..., a n ) = (b 1, b,..., b n ). 練習 17.4 證明柯西不等式. 若 a 1, a,..., a n 全為零, 則不等式顯然恆成立, 以下假設 a 1, a,..., a n 不全為零, 令 f (x) = (a 1 x b1) + (a x b) + + (a n x bn), 則 f (x) 0 恆成立, 故 f (x) 的判別式 0 恆成立, 可得 (a 1 b 1 + a b + + a n b n ) 4(a 1 + a + + a n)(b 1 + b + + b n) 0, (a 1 + a + + a n)(b 1 + b + + b n) (a 1 b 1 + a b + + a n b n ), 且等號成立時, 存在 k R 使得 f (k) = 0 a 1 k b 1 = a k b = = a n k b n k(a 1, a,..., a n ) = (b 1, b,..., b n ). 練習 17.5 已知 n N, a 1, a, a 3,..., a n R +, 且滿足 = 0, 亦即 a 1 + a + a a n = 96, a 1 + a 3 + a a n = 144, a a 3 + a a 3 n = 16. 試求 n =? 答 :64. 提示 : 法一 : 利用科西不等式 ; 法二 : 利用 ; 法三 : 利用觀察法. 要點 17.3 ( 柯西不等式的推廣式 ) 設 a 1, a, b 1, b, c 1, c 皆為非負實數, 則 (a a 3 )(b b 3 )(c c 3 ) (a 1 b 1 c 1 + a b c ) 3, 證明 : 令 A = a a 3, B = b b 3, C = c c 3, 由算幾不等式可得 a1 3 A + b3 1 B + c3 1 C 3 a 3 A + b3 B + c3 C 3 3 a 3 1 b3 1 c3 1 ABC 3 a 3 b3 c3 ABC 150

153 上兩式相加, 可得 當等號成立時, a3 1 A = b3 1 B = c3 1 C 要點 17.4 ( 廣義柯西不等式 ) a1 3+a3 A + b3 1 +b3 B + c3 1 +c3 C 3 a 1b 1 c 1 + a b c 3 ABC 3 3 a 1b 1 c 1 + a b c 3 ABC 3 ABC a1 b 1 c 1 + a b c ABC (a 1 b 1 c 1 + a b c ) 3 (a a 3 )(b b 3 )(c c 3 ) (a 1 b 1 c 1 + a b c ) 3 對任意非負實數 a i j ( 1 i n, 1 j m), 恆有 且 a 3 A = b3 B = c3 C, 亦即 a 1 b 1 c 1 = a b c (a n 11 + a n a n 1m) (a n 1 + a n + + a n m) (a n n1 + a n n + + a n nm) ((a 11 a 1 a n1 ) + (a 1 a a n ) + + (a 1m a m a nm )) n. 且當等號成立時, 若且唯若 (a 11, a 1, a 1m ) = k 1 (a 1, a,, a m ) = = k n 1 (a n1, a n,, a nm ), 其中 k 1, k,, k n 1 R. Note: 1. 當 n 為偶數時, 就可以把條件放寬到 a i j 為任意實數 ( 利用三角不等式 ).. 此不等式亦 有人稱為 Hölder 不等式, 或有大陸書籍稱作 矩陣不等式. 條件不等式 17. 高次不等式 分式不等式 根式不等式 線性規劃 17.3 考題 17.1 ( 聯考題 ) 在 x y 坐標平面上, 試繪出 {(x, y) x y 11 x 6 } 之圖形, 並求其面積. 答 :

154 要點 17.5 (Erdös-Mordell 不等式 ) 設 P 為 ABC 中任意一點, 過 P 點對三邊 BC, CA, AB 作垂線, 垂足分別為 D, E, F, 則 PA + PB + PC > (PD + PE + PF). 練習 17.6 證明 : 試證明 Erdös-Mordell 不等式. 如上圖, DPE = 180 C = A + B, 利用餘弦定理及和角公式, 可得 DE = PD + PE PD PE cos(a + B) = (PD sin B + PE sin A) + (PD cos B PE cos A) PD sin B + PE sin A. 由於 P, D, C, E 四點共圓, 且 PC 為 CDE 之外接圓直徑, 由正弦定理, 可知 同理, PC = DE sin C PD sin B + PE sin A sin C 故, 由上三式及算幾不等式, 可得 證畢. PA PB PE sin C + PF sin B sin A PF sin A + PD sin C sin B PA + PB + PC PD ( sin B sin C + sin C A ) + PE (sin sin B sin C + sin C B ) + PF (sin sin A sin A + sin A sin B ) (PD + PE + PF). 15

155 第 18 章微積分 待補 :epslon-delta 定義式, Green 定理, Lagrange multiplier method,gradient 梯度及其題目, 多變數的極大極小值判別法, 考 GRE subject test 會用到的基礎知識. 考題 18.1 (97 北縣教甄聯招 ) 設方程式 x 4 + 4x 3 4x 16x + 1 = 0 的四個根為 α 1, α, α 3 與 α 4, 試求下列方程式的解 1 x α x α + 1 x α x α 4 = 0. 答 :x = 1, 1 ± 5. ( 提示 : 令 f (x) = x 4 + 4x 3 4x 16x + 1, 則將所求通分, 即為 所以本題要求使得 f (x) = 0 的 x. ) f (x) f (x) = 0, 153

156 第 19 章線性代數 待補 :vector space, (bi-)linear transformation, change of basis. 154

157 第 0 章其他 待補 : 反演. 圖論. 四元數, 高等數學的東西. 萬丈高樓平地起, 千里之行始於足下. 零碎的時間, 足以完成偉大的事業. 人的潛力是無限的. 思潔學長在 PTT 的名片檔 : 會解很多題目的, 是個稱職的學生 ; 能將各題目解釋清楚, 並教會別人的, 才是專業的老師. 愛麗絲走到一條叉路, 不知道自己該往那裡去? 旁邊剛好有一隻貓咪. 愛麗絲 : 請問我該走那條路? 貓咪 : 請問你要去那裡? 愛麗絲 : 我不在乎我要去那裡? 貓咪 : 既然你不在乎你要去那裡, 你何必在乎你要走那條路? 155