年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析 ( 完整精准版 来源 : 文都教育 一 选择题 :~ 小题 每小题 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 ( 当 α α 时 若 l ( (- cos 均是比 高阶的无穷小 则 α 的取值范围是 ( (A( (B( (C( (D( 解析 当 α 时 l ( ~ ( α 由 α > 且 > < α <. α 答案 B α α α ( cos ~ ( ( α ( 下列曲线有渐近线的是 ( (A y si. (B y si. (C y si. (D y si. si f( 解析 lim lim lim( si b lim[ f( ] lim[ si ] limsi y 是 y si 的斜渐近线 答案 C ( 设函数 f ( 具有 阶导数 ( ( ( ( (A 当 f ( 时 f ( g(. g f f 则在区间 [] 上 (
(B 当 f ( 时 f ( g(. (C 当 f ( 时 f ( g(. (D 当 f ( 时 f ( g(. 解析 当 f ( 时 f ( 是凹函数 而 g( 是连接 ( f ( 与 ( f ( 故 f ( g( 答案 D 的直线段 如右图 t ( 曲线 y t 上对应 t 的点处的曲率半径是 ( t (A. (B. (C. (D. 解析 令 ϕ ( t t y ψ ( t t t 则 ϕ t t ϕ ( t ( ; ψ ( t t ψ ( t y ϕ ( t ψ ( t ϕ ( t ψ ( t K ( y [ ϕ ( t ψ ( t] 当 t 时 ϕ ( ϕ ( ψ ( ψ ( K ( 则 答案 C ( 设函数 f ( rct 若 f ( f ( ξ 则 ξ lim ( (A.
(B. (C. (D. f ( ξ 得 解析 由 f ( rct f ( rct ξ rct ξ rct ξ rct rct lim lim lim lim rct 答案 D ( 设函数 u ( 在有界闭区域 D 上连续 在 D 的内部具有 阶连续偏导数 且满足 u u u 及 则 ( (A u ( 的最大值和最小值都在 D 的边界上取得. (B u ( 的最大值和最小值都在 D 的内部取得. (C u ( 的最大值在 D 的内部取得 最小值在 D 的边界上取得. (D u ( 的最小值在 D 的内部取得 最大值在 D 的边界上取得. 解析 A u B y u C u B A C AC B A B < D 内部无极值. 答案 A b b ( 行列式 c d c d
(A( d bc. d bc. (B ( d bc. (C bc d. (D b b b b 解析 按第 行展开 c (- b d( c d c d c d c d -c b(- b b c d d (- c d ( d bc bc d( d bc ( d bc( bc d ( d bc 答案 B 线性无 ( 设 α α α 均为 维向量 则对任意常数 l 向量组 α α α lα 关是向量组 α α α 线性无关的 ( (A 必要非充分条件. (B 充分非必要条件. (C 充分必要条件. (D 既非充分也非必要条件. 解析 由( α α α lα ( α α α 知 l α α α 线性无关时 因为 α α α lα 线性无关 所以 反之不成立. 如当 α 且 α 与 α 线性无关时 α α α 线性相关 答案 A
二 填空题 :~ 题 每小题 分 共 分 请将答案写在答题纸指定位置上 ( d. d 解析 d d d ( rct C d rc t t limrc f 是周期为 的可导奇函数 且 f( ( [] 则 f ( ( 设 (. 解析 f ( 是周期为 的可导函数 f ( f ( f ( f ( 且 ( 又 f( ( ( f ( ( f 从而 ( f f ( ( 设 z z( f f C 将 ( f 代入得 C yz 是由方程 e y z 确定的函数 则 dz. 解析 e yz y z 将 y 代入得 z. 两边对 求偏导 z y z yz e ( z 解得 ye yz. z y ze 同理得 y ye z ( z yz yz (
dz d dy. ( 函数 z 的极坐标方程是 r θ 则 L 在点 ( r θ 处的切线的直角坐标方程 是. 解析 r θ 即 y y rct 两边对 求导得 y y y y y y 即 yy y y y 点 ( r θ ( 即 ( ( 代入上式得 y 于是切线方程为 y ( 即 y ( 一根长度为 的细棒位于 轴的区间 [ 上 若其线密度 ρ ( 则该细棒的质心坐标. 解析 ( d ( ( ( d ( ( d ( 设二次型 ( 围是. f 的负惯性指数为 则 的取值范 解析 A 因为 λ λ λ λλλ A 负惯性指数为 设 λ < 从而 λλ
A λ λ λ 若 A < 则 < > >. 此时符合题意 而 A. 即. < < < 若 A 此时 ± λ 当 时. A λe A λ λ( λ ( λ λ λ λ λ 符合题意 λ 当 时 A λe A λ λ( λ ( λ λ λ λ λ 所以 符合题意 综上 的取值范围是 三 解答题 :~ 小题 共 分 请将解答写在答题纸佛定位置上 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 (( 本题满分 分 求极限 lim 解 lim lim [ t ( e t [ t ( e t] l( t [ t ( e t] l( t t] lim lim [ ( e [ t ( e t ] t] l( lim ( e (( 本题满分 分 e lim t t t t t e lim t t 已知函数 y y( 满足微分方程 y y y 且 y ( 求 y y( 的极大值与 极小值
解 由 y y y 得 ( y dy ( d 积分得 y y C 由 y ( 得 C 故 y y 由 y 得 ± y ( y ( yy y ( y 当 时 y > 为极小点 当 时 由 y y 得极小值 y ; 当 时 y < 为极大点 当 时 由 y y 解得极大值为 y (( 本题满分 分 设平面区域 {( y y } 解 D 计算 D si( y ddy y 由对称性得 I y ddy D si( y D y si( y y ddy 于是 I [ y ddy y D si( D y si( y y ddy si( y ddy dθ r sirdr D t si t td(cost t cost (( 本题满分 分 设函数 f (u 二阶连续可导 z f ( e cos 满足 r sird( r cost z z ( z e cos e 若 f ( f ( 求 f (u 的表达式
解 z e cos y f z e si y f z e z cos y f e cos y f e cos y f e si y f z z e f 令 u e cos y 由 z z ( z e cos e f ( u f ( u u 或 f ( u f ( u u u u 解得 f ( u Ce Ce u C C 由 f ( f ( 得 C C 得 解得 C C u u 故 f ( u ( e e u (( 本题满分 分 设 f ( g( 在 [ b] 上连续 且 f ( 单调增加 g ( 证明 : g (I ( t [ b] (II g ( t f ( d f ( g( d b b 证明 (I 因为 g ( 所以 g( t 即 ( t g g ( t (II ϕ ( f ( u g( u du f ( u du ϕ ( ϕ ( f ( g( g( f [ g( t ] g 因为 ( t 且 f ( 单调增加 所以 f [ g( t ] f [ ( ] f ( 从而 ( f ( g( g( f ( ϕ [ b]
ϕ ( 由 得 ϕ ( ( [ b] ϕ ( ( b ϕ g ( t 故 f ( d 从而 ( b b b f ( g( (( 本题满分 分 设函数 f ( [] 定义函数列 d ( f f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( 记 S 是曲线 y f ( 直 线 及 轴所围成的平面图形的面积 求极限 lim S 解 f ( f ( f ( f ( f ( 由归纳法得 f ( f ( S f ( d d( l( ( d l( lim S lim (( 本题满分 分 d f 已知函数 f ( 满足 ( y 且 f ( y ( y ( l y 求曲线 f ( 所围成的图形绕直线 y 旋转所成的旋转体的体积 f 解 由 ( y 得 f ( ( y ϕ( 由 故 f ( y ( y ( l y 得 ϕ ( ( l f ( ( y ( l f ( 与 y 轴所围成的图形绕直线 y 旋转所成的旋转体的体积与 y ( l 所围成的图形绕 y 旋转所得的体积相等 y d ( l (l d V
(( 本题满分 分 设 A E 为三阶单位矩阵 (I 求方程组 O AX 的一个基础解系 (II 求满足 E AB 的所有矩阵 B 解 (I A 则方程组 O AX 的一个基础解系为 ( ξ (II 令 B AB 由 E AB 得 由
得 ; 由 得 ; 由 得 故 B ( 其中 为任意常数
(( 本题满分 分 证明 阶矩阵 与 相似 证明 令 A B 由 E A λ 得 A 的特征值为 λ λ λ 由 E B λ 得 B 的特征值为 λ λ λ 因为 A A T 所以 A 可对角化 ; 对 B 因为 ( ( B r B E r 所以 B 可对角化 因为 B A 特征值相同且都可对角化 所以 B A ~ 备注 : 关于真题答案的最新情况 请及时关注文都教育官方网站!