矩阵函数

矩阵函数 矩阵分析 - 研究生课程

矩阵的多项式表示与矩阵的极小多项式 定义 1: 已知 和关于变量 的多项 式 那么我们称 为 的矩阵多项式 n x n 1 n 1 1 0 f( x) a x + a x + L + a x+ a n n n 1 n 1 1 0 f( ) a + a + L + a + a I n n n C 设为一个阶矩阵, 为其 Jordan 标准形, 则 n J

于是有 1 dag(,, L, ) 1 1 r PJP P J J J P Pdag( J ( λ ), J ( λ ), L, J ( λ )) P 1 1 r r 1 n f( ) a + a + L + a + a I n n 1 n 1 1 0 a ( PJP ) + a ( PJP ) + L n 1 n 1 n 1 n 1 + a ( PJP ) + a I 1 1 0 n PaJ ( + a J + L + aj+ ai) P n Pf ( J ) P 1 n 1 1 n 1 1 0 Pdag( f ( J ), f ( J ), L, f ( J )) P 1 r 1

我们称上面的表达式为矩阵多项式 Jordan 表示 其中 J f( ) λ 1 λ O J( λ) ( 1,, L, r) O 1 λ d d λ c λ L c λ k 1 k 1 d 1 k d+ 1 k k k k λ ( λ) O M 1 k 1 O ckλ k λ d d 的

f( J ) 1 ( d 1) f( λ) f ( λ) L f ( λ) ( d 1)! f ( λ ) O M O f ( λ ) f ( λ ) d d 例 1 已知多项式 4 3 f( x) x x + x 1 与矩阵 3 0 8 3 1 6 0 5 求 f( )

解 : 首先求出矩阵的及其相似变换矩阵 P 的 Jordan 标准形 J 1 0 0 J 0 1 1 0 0 1 0 4 1 P 1 3 0 0 0 那么有 1 P 0 1 3 0 0 1 1 0

f ( ) Pf ( J ) P 1 0 1 3 0 4 1 f ( 1) 0 0 1 3 0 0 f( 1) f ( 1) 0 0 1 0 0 0 0 f ( 1) 1 0 f( 1) + 4 f ( 1) 0 8 f ( 1) 3 f ( 1) f( 1) 6 f ( 1) f ( 1) 0 f( 1) 4 f ( 1) 35 0 7 7 1 54 18 0 37

定义 : 已知 和关于变量 的多 项式 n n 1 n 1 1 0 f( x) a x + a x + L + a x+ a n n n C 如果 f( x ) 满足 f( ) O n n, 那么称为矩阵的一个零化多项式 n n C f( ) O n n x f( x) 定理 1: 已知, f ( λ) 为其特征多 项式, 则有 我们称此定理为 Hamlton-Cayley 定理

n n 定义 3: 已知, 在的零化多项式中, 次数最低且首项系数为 1 的零化多项式称为 的最小多项式, 通常记为 m( λ) C 最小多项式的性质 : 已知 (1) 矩阵 的最小多项式是唯一的 () 矩阵的任何一个零化多项式均能被 n n C 整除 (3) 相似矩阵有相同的最小多项式, 那么 m( λ)

如何求一个矩阵的最小多项式? 首先我们考虑 Jordan 标准形矩阵的最小多项式 例 : 已知一个 Jordan 块 J 求其最小多项式 λ 1 λ O O 1 λ d d

d 解 : 注意到其特征多项式为 f ( λ) ( λ λ), 则由上面的定理可知其最小多项式 m( λ) 一定具有如下形状 1 k d m( λ) ( λ λ) k k < d 其中 但是当时 mj ( ) ( J λ I) 0 0 L 1 L 0 0 0 O O L 0 O O 1 O 0 L 0 0 0 k O d d 因此有 m( λ) ( λ λ) d

例 3 : 已知对角块矩阵 dag(,, L, ) 1 r m( λ), m ( λ), L, m ( λ) r, 1 分别为子块,, L, 1 r 的最小多项式, 则 的最小多项式为 即为式 [ ( λ), ( λ), L, ( λ)] m m m 1 r m m m 1 r ( λ), ( λ), L, ( λ) 的最低公倍

例 4 : 求下列矩阵的最小多项式 3 0 8 (1) 3 1 6 0 5 3 () B 1 8 14 3 1 6 (3) C 1 0 3 1 1 4 3 1 0 0 0 3 0 0 (4) D 0 0 3 0 0 0 0 5

解 : (1) 首先求出其 Jordan 标准形为 1 0 0 J 0 1 1 0 0 1 所以其最小多项式为 ( λ + 1) () 此矩阵的 Jordan 标准形为 1 0 0 J 0 3 1 0 0 3 从而其最小多项式为 ( λ 1)( λ 3)

(3) 该矩阵的 Jordan 标准形为 1 0 0 J 0 1 1 0 0 1 故其最小多项式为 ( λ 1) (4) 此矩阵本身就是一个 Jordan 标准形, 所以其最小多项式 ( λ 5)( λ 3)

函数在矩阵谱上的值与矩阵函数 C n n,, L, r r m( λ) 1 m( λ) ( λ λ1) d ( λ λ) d L ( λ λ ) dr r 定义 4: 设, λ λ λ 1 为的个互不相同的特征值, 为其最小多项式且有 其中 d 1( 1, L, r), d m 如果函数 f( x) 具有足够高阶的导数并且下列 m个值 r 1 f f f r ( 1) ( λ), ( ),, d λ L ( λ), 1,, L, 存在, 则称函数 f( x) 在矩阵 的谱上有定义

例 5: 设 又已知 f( x) 容易求得矩阵 1 ( x 3)( x 4) 8 3 6 3 0 4 的最小多项式为 m( λ) ( λ )( λ 1) 并且 f() 1, f(1) 1, f (1) 6 36 5

所以在的谱上有定义 但是如果取 f( x) 3 1 0 B 0 3 0 容易求得矩阵 B 0 0 1 的最小多项式为 m( λ) ( λ 1)( λ 3) 显然不存在, 所以在 B 的谱上无定义 f (3)

定义 5: 设矩阵 f( x) 函数在矩阵的谱上有定义, 如果存在多项式 gx ( ) 且满足 则定义矩阵函数为 f C n n ( ) g ( λ) ( k) λ ( k) d d d 1 m λ λ λ λ λ λ λ r ( ) ( ) 1( ) L ( ) r, 1,, L, r; k 1,, L, d 1 f( ) g( ) 如何求矩阵函数? 矩阵函数的 Jordan 表示, 多项式表示与幂级数表示? 的最小多项式为

C n n J P 为其相似变换矩阵且使得 PJP 1 如果函数 f( x) 在矩阵 的谱上有定义, 那么 定理 : 设, 为矩阵的 Jordan 标准形, 其中 f( ) Pf( J) P 1 Pdag( f ( J ), f ( J ), L, f ( J )) P 1 1 1 ( d 1) f( λ) f ( λ) f ( λ) L L f ( λ)! ( d 1)! f ( λ ) O O O M O O M f( J ) 1 O f ( λ )! f ( λ ) f ( λ ) 我们称此表达式为矩阵函数 f( ) r 1 d d 的 Jordan 表示

例 6 : 设 1 6 1 0 3 1 1 4 求 f( ) 的 Jordan 表示并计算 e, e,sn 解 : 首先求出其 Jordan 标准形矩阵 J 与相似变换矩阵 从而 J P 1 0 0 0 1 1 0 0 1 f( ) 的 Jordan 表示为 P t 1 1 1 0 0 1 1

f ( ) Pf ( J ) P 1 1 f (1) 0 0 1 0 1 1 0 0 f(1) f (1) 1 1 0 1 1 0 0 f (1) 1 1 3 f(1) f (1) f (1) 6 f (1) f (1) f(1) f (1) 3 f (1) f (1) f (1) f(1) + 3 f (1) 当从而有 f( x) e x 时, 可得 f(1) e, f (1) e

当 f x 于是有 ( ) e e 6e e e 0 3e e e 4e e tx 时, 可得 t f(1) e, f (1) te t t t t (1 te ) te 6te e t te t te (1 t) e t te 3te t (1+ 3 t) e t t t

当 f( x) snx 时, 可得 f(1) sn1, f (1) cos1 同样可得 sn1 cos1 cos1 6Cos1 sn cos1 sn1 cos1 3cos1 cos1 cos1 sn1+ 3cos1

例 7 : 设 3 0 8 3 1 6 0 5 求 f( ) 的 Jordan 表示并计算 e t, sn π,cosπ 解 : 首先求出其 Jordan 标准形矩阵似变换矩阵 J P 1 0 0 0 1 1 0 0 1 P J 与相 0 4 1 1 3 0 0 0

从而 f ( ) Pf ( J ) P 1 0 1 3 0 4 1 f ( 1) 0 0 1 3 0 0 f( 1) f ( 1) 0 0 1 0 0 0 0 f ( 1) 1 0 f( 1) + 4 f ( 1) 0 8 f ( 1) 3 f ( 1) f( 1) 6 f ( 1) 当 f( ) 的 Jordan 表示为 f( x) f ( 1) 0 f( 1) 4 f ( 1) tx e t 时, 可得 f(1) e, f (1) te t

于是有 当 f( x) t t t e + 4te 0 8te t t t t e 3te e 6te t t te 0 4te snπ x 时, 可得 f( 1) 0, f ( 1) π 故 4π 0 8π snπ 3π 0 6π π 0 4π 类似可求得 π 0 4π π cos 3π 0 3π π 0 π

矩阵函数的多项式表示 定理 3: 设函数与函数在矩阵 的谱上都有定义, 那么 f( ) g( ) 的充分必要条件是 f( x ) 与 gx ( ) 在 的谱上的值完全相同 设矩阵 C n n f( x ) gx ( ) 的最小多项式为 d d d 1 m λ λ λ λ λ λ λ r ( ) ( ) 1( ) L ( ) r 其中 λ, λ, L, λ 1 r 为矩阵的个互异特征值且 r d 1( 1, L, r), d m r 1

如何寻找多项式使得与所求的矩阵函数完全相同? 根据计算方法中的 Hermte 插值多项式定理可知, 在众多的多项式中有一个次数为 m 1 次的多项式 且满足条件 f( ) px ( ) p ( ) m 1 m m 1 m 1 0 px ( ) a x + a x + L + ax+ a p ( k) λ f ( k) ( ) ( λ), 1,, L, r; k 1,, L, d 1

这样, 多项式 中的系数关系式 确定出来 则我们称 为矩阵函数 m 1 m m 1 m 1 0 px ( ) a x + a x + L + ax+ a p a a a a,,,, m 1 m L 1 0 ( k) λ f ( k) ( ) ( λ) 的多项式表示 完全可以通过, 1,, L, r; k 1,, L, d 1 m 1 m m 1 m 1 0 f( ) a + a + L + a + a I f( )

例 8 : 设 1 0 0 0 0 求 f( ) 0 0 3 的多项式表示并且计算 e t s π π, n,cos 4 4 解 : 容易观察出该矩阵的最小多项式为 mx ( ) ( x 1)( x )( x 3)

这是一个 3 次多项式, 从而存在一个次数为 的多项式 且满足 1 0 px ( ) ax + ax+ a p(1) f(1), p() f(), p(3) f(3) 于是可得 f(1) a + a + a 1 0 f() 4a + a + a 1 0 f(3) 9a + 3a + a 1 0

解得 a f(3) 3 f() + 3 f(1) 0 1 a (3 f (3) 8 f () + 5 f (1)) 1 1 a ( f (3) f () + f (1)) 所以其多项式表示为 f (1) 0 0 ( ) f a + a + a I 0 f() 0 1 0 0 0 f (3)

当 f( x) e tx 时, 可得 t t 3 t f(1) e, f() e, f(3) e 于是有 e t 0 0 e t 0 e t 0 0 0 e 3t 当 f ( x) snπ x 4 时, 可得 f(1), f() 1, f(3)

故有 类似地有 0 0 snπ 0 1 0 4 0 0 0 0 cosπ 0 0 0 4 0 0

例 9 : 设 1 0 0 0 1 求 f( ) 0 0 的多项式表示并且计算 e t, sn π,cosπ 4 解 : 容易观察出该矩阵的最小多项式为 mx ( ) ( x 1)( x ) 这是一个 3 次多项式, 从而存在一个次数为

的多项式且满足 1 0 px ( ) ax + ax+ a p(1) f(1), p() f(), p() f () 于是有 f(1) a + a + a 1 0 f() 4a + a + a f () 4a + a 1 0 1

解得 0 1 a f () 3 f() + 4 f(1) a 3 f () + 4 f() 4 f(1) a f () f() + f(1) 所以其多项式表示为 f (1) 0 0 ( ) 0 () f a + a + a I f f () 1 0 0 0 f ()

当 f( x) e tx 时, 可得 t t t f(1) e, f() e, f () te 于是有 e t 0 0 e 0 e te t t t 0 0 e t 当 f( x) snπ x 时, 可得 f(1) 0, f() 0, f () π

故有 类似地有 0 0 0 snπ 0 0 π 0 0 0 0 0 cosπ 0 0 π 4 4 0 0 0

例 10 : 设 0 0 0 1 0 求 f( ) 0 0 1 的多项式表示并且计算 e t s π π, n,cos 解 : 容易观察出该矩阵的最小多项式为 mx ( ) ( x 1)( x ) 这是一个 次多项式, 从而存在一个次数为 1 的多项式

且满足 px ( ) ax+ a 1 0 p(1) f(1), p() f() 于是有 f(1) a + a 1 0 解得 f() a + a 1 0 a f() + f(1) 0 a f() f(1) 1

所以其多项式表示为 当 f( ) a + a I 1 0 f(1) f() 0 f() f(1) 0 f (1) 0 f() f(1) 0 f() f(1) f( x) e tx 时, 可得 t f(1) e, f() e t 从而可得 e t t t t t e e 0 e e t 0 e 0 t t t t e e 0 e e

当 f ( x) snπ x 时, 可得 f (1) 1, f() 0 故有 同样可以得到 0 snπ 0 1 0 1 0 1 1 0 cosπ 0 0 0 1 0

练习 : 设 1 1 0 0 1 1 求 f( ) 0 0 1 的多项式表示并且计算 e t, sn π,cosπ 4

矩阵函数的幂级数表示 C n n f( x) 定义 6: 设, 一元函数 能够展开成关 于 x 的幂级数 f( x) ck x k 0 并且该幂级数地收敛半径为 R 当矩阵 的谱半径 ρ ( ) < R 时, 我们将收敛矩阵幂级数的和 k cx k k 0 定义为矩阵函数, 一般记为 f( ), 即 k f( ) ck k 0 k

因为当 x <+ 时, 有 1 1 e x 1+ x+ x + L + x n + L! n! 1 1 sn x x x + x 3! 5! ( 1) 1 ( n + 1)! 3 5 n n+ 1 L + x + 1 1 cosx 1 x + x! 4! ( 1) 1 ( n )! 4 n n L + x + L L

当 x < 1 时, 有 (1 x) 1 1 x x x 3 ( 1) n x n + + L + + L 当 1< x 1 时, 有 1 1 ln(1 + x) x x + x 3 3 1 L + ( 1) n x n+ 1 + L n + 1

n n 所以对于任意的矩阵, 当 ρ ( ) < C R 时, 我们有 1 1 e I + + + L + n + L! n! sn 1 1 + 3! 5! 3 5 1 L + ( 1) n n+ 1 + L ( n + 1)!

cos 1 1 I +! 4! 4 1 L + ( 1) n n + L ( n )! ( I ) 1 I 3 ( 1) n n + + + L + + 1 1 1 ln( I + ) + 3 4 + 3 4 L 1 + ( 1) n + 1 n + L n L

由此可以得到一些简单的推论 : (1) () e O n n I n n ee e e I (3) e cos + sn, 1 (4) 1 cos ( e + e ) (5) 1 sn ( e e ) (6) sn( ) sn (7) cos( ) cos (8) sn + cos 1

矩阵指数函数与矩阵三角函数 这里我们主要讨论两种特殊矩阵函数的性质, 即 (1) e t () sn (3) cos k 0 1 t k! ( 1) t t (k + 1)! t k 0 k 0 k k k k ( 1) t ( k)! k k k+ 1 k+ 1

定理 4: 设时, 我们有 n n B, C, 那么当 B B (1) + B B B e e e e e () sn( + B) sn cos B+ cos sn (3) sn sn cos (4) cos( + B) cos cos B sn sn B (5) cos cos sn

证明 : 首先证明第一个等式 ee I 1 1! n! 1 1! n! I + + B 1 +! + B + B + B B n ( + + + L + + L ) n ( I + + + L + + L ) ( ) ( ) 1 ( 3 3 3 3 B B B ) + + + + + L L 3! 1 1 3 I + ( + B) + ( + B) + ( + B) + L L! 3! B e +

现在证明第二个等式 1 ( + B) ( + B) sn( + B) ( e e ) 1 ( B B e e e e ) 1 1 B B ( e e ) ( e + e ) 1 1 B B + ( e + e ) ( e e ) sn cos B+ cos sn B 同样可以证明其余的结论 B 注意 : 这里矩阵与的交换性条件是必不可少的

例 11: 设 那么容易计算 1 1 1 1, B 0 0 0 0 并且 3 L, B B B 3 L 0 + B 0 0 于是有 k k 1 ( + B) ( + B), k 1

故有 显然 1 e e e I + ( e 1) 0 1 e e 1 B e I + ( e 1) B 0 1 B ee B ee e ( e 1) 0 1 e ( e 1) 0 1 + B 1 e 0 e I + ( e 1)( + B ) 0 1 ee B, ee B, e + B 三者互不相等

另外, 关于矩阵的指数函数与三角函数还有下面几个特殊性质 d (1) ( e t ) e t e t dt () e k e k gtr ( ) (3) d (sn t) (cos t) (cos t) dt (4) d (cos t) (sn t) (sn t) dt

例 1 : 设 是一个 Hermte 矩阵, 那么是一个酉矩阵 e 证明 : 由矩阵指数函数公式 可得 e cos + sn H e ( e ) (cos + sn ) H [(cos ) (sn ) ] (cos + sn )(cos sn ) H I

例 13 : 设 是一个实的反对称矩阵 ( 或反 - H 阵 ), 那么为一个正交矩阵 ( 或酉矩阵 ) 证明 : 设为一个实的反对称矩阵, 那么由矩阵指数函数的幂级数表示 可得 e 1 1 e I + + + L + n + L! n!

1 1 1 e ( e ) T ( I + + + 3 L + n + L )! 3! n! 1 1 1 ( I + 3 L + ( 1) n n + L )! 3! n! O ee e n n I 同样可以证明当一个酉矩阵 为一个反 H- 矩阵时, e 为