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1 从 线 性 方 程 谈 起 ( 清 华 大 学 数 学 科 学 系 章 梅 荣 教 授 ) 烟 台 大 学 与 北 京 大 学 和 清 华 大 学 有 着 密 切 的 联 系, 我 在 北 大 读 书 时 的 不 少 同 学 朋 友 还 在 烟 台 大 学 工 作 我 应 邀 来 烟 台 大 学 作 这 个 演 讲, 受 到 了 朋 友 们 的 热 情 接 待, 我 感 到 非 常 高 兴, 也 深 表 感 谢 刚 才 侯 仁 民 主 任 介 绍 了, 我 自 己 是 研 究 非 线 性 系 统 的, 包 括 动 力 系 统 和 非 线 性 微 分 方 程 动 力 系 统 是 研 究 非 线 性 系 统 随 时 间 演 化 的 行 为 的, 即 是 从 动 态 的 观 点 来 研 究 系 统 今 天 我 的 讲 演 主 要 是 从 静 态 的 观 点 来 讨 论 方 程 的 ( 即 方 程 的 解 的 存 在 性 和 结 构 等 等 ), 并 且 侧 重 于 对 线 性 系 统 的 一 些 看 法, 这 是 研 究 演 化 系 统 的 基 础 一 引 子 我 们 先 从 最 简 单 的 线 性 方 程 开 始 例 1 设 a, b R, 讨 论 方 程 ax = b 这 是 初 中 一 年 级, 现 在 可 能 是 小 学 几 年 级 就 要 学 的 最 简 单 的 线 性 方 程 因 为 简 单, 谁 都 会 解 比 如, 若 a 0, 把 a 除 去, 则 x = b / a 因 此 它 有 唯 一 的 解, 并 且 可 以 明 确 地 解 出 来 如 果 a = 0 会 怎 样 呢? 暂 时 先 放 一 下 别 看 这 个 方 程 很 简 单, 我 们 在 后 面 还 会 不 断 地 回 到 这 个 方 程 上 来 在 数 学 上 作 这 样 的 除 法 会 引 发 出 很 多 理 论, 如 群 论 数 域 矩 阵, 还 有 要 讲 到 的 微 分 算 子 等 等 它 们 在 形 式 上 五 花 八 门, 但 道 理 与 这 个 最 简 单 的 方 程 差 别 并 不 太 大, 也 就 是 说, 看 上 去 数 学 走 得 很 远, 但 其 出 发 点 却 是 简 单 的 再 看 第 二 个 例 子 例 2 鸭 和 兔 同 关 在 一 个 笼 内, 数 头 有 14 个, 数 脚 有 40 只, 问 鸭 兔 各 是 几 只? 现 在 我 们 都 知 道, 这 是 解 线 性 方 程 组 我 们 的 祖 先 在 很 早 时 就 讨 论 过 很 多 这 种 问 题 和 解 决 这 些 问 题 的 思 想 我 小 时 候 是 在 农 村 长 大 的, 当 地 有 点 文 化 的 大 人, 也 算 是 知 识 分 子 或 智 者, 在 我 们 很 小 的 时 候 经 常 拿 这 些 问 题 来 考 我 们 如 果 谁 能 猜 出 来 或 者 蒙 出 来 答 案 来, 就 会 得 到 夸 奖 现 在 变 成 了 小 学 二 年 级 学 生 的 奥 数 题 目, 在 座 的 每 一 个 同 学 更 会 求 解 了 这 样 的 题 目 非 常 多, 这 个 例 子 仅 是 我 随 手 写 下 的 我 们 来 看 看 最 早 怎 么 求 解 的, 重 要 的 是 我 们 应 该 从 生 活 经 验 中 把 问 题 的 内 在 数 量 关 系 找 出 来 把 鸭 子 个 数 画 成 一 个, 把 兔 子 个 数 画 成 一 个 因 为 我 们 知 道 一 个 鸭 子 有 一 个 脑 袋, 一 个 兔 子 也 只 有 一 个 脑 袋, 所 以 这 两 个 量 加 起 来 等 于 14: + =14 另 外 鸭 子 有 两 只 脚, 但 兔 子 有 四 只 脚, 这 样 就 得 到 了 另 一 个 关 系 : 2 +4 =40 虽 然 小 学 二 年 级 学 生 还 没 有 学 过 怎 样 用 消 元 法 去 解 线 性 方 程 组, 但 他 们 的 知 识 足 以 解 决 这 些 问 题 事 实 上, 只 要 知 道 最 简 单 的 加 法 和 乘 法 就 够 了, 然 后 通 过 试 验 来 解 决 先 随 便 瞎 蒙, 比 方 说 假 设 鸭 子 是 1 只 ( =1), 通 过 看 脑 袋, 自 然 兔 子 就 是 13 只 ( =13) 现 在 再 来 看 看 脚 的 个 数, 这 时 是 = 54 > 40 这 么 看 脚 是 太 多 了 因 为 每 只 鸭 的 脚 比 每 只 兔 的 脚 要 少, 这 说 明 假 设 的 鸭 子 少 了, 或 反 过 来 讲 假 设 的 兔 子 太 多 了 于 是 再 来 试 试 比 较 多 一 些 的 鸭 子 如 果 鸭 子 是 13 只 ( =13), 那 么 兔 子 就 只 剩 下 1 只 了 ( =1), 这 时 候 再 算 脚 才 30 只 ( = 30 < 40 ) 显 然 是 鸭 子 太 多 了 由 此 我 们 可

2 以 去 试 试 中 间 的 数, 通 过 不 断 的 调 整, 最 终 得 出 鸭 子 数 是 8 只 ( =8), 兔 子 数 是 6 只 ( =6) 这 种 解 法 包 含 了 一 种 重 要 的 思 想, 那 就 是 试 验 这 是 一 切 科 学 ( 包 括 数 学 ) 的 基 础 在 描 述 前 面 的 数 量 关 系 时, 我 们 的 祖 先 经 常 是 用 画 个 圆 ( ), 框 ( ) 等 来 表 示, 也 叫 做 天 元 地 数 等 我 国 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 有 一 个 为 数 学 专 设 的 基 金 就 是 用 天 元 来 命 名 的, 以 彰 示 中 国 在 数 学 方 面 的 贡 献 而 西 方 人 用 多 x, y 来 表 示 ( 鸭 = x, 兔 = y ), 这 时 例 2 中 的 数 量 关 系 表 现 为 x + y = 14 2x + 4y = 40 这 是 目 前 通 行 的 二 元 一 次 方 程 组 的 写 法, 初 中 生 就 要 学, 而 在 大 学 的 线 性 代 数 中 更 是 要 系 统 研 究 的 回 到 例 2, 小 孩 子 能 回 答 这 样 的 问 题 很 是 受 鼓 舞 于 是 常 常 倒 过 来 反 问 村 里 的 智 者 : 鸭 和 兔 同 关 在 一 个 笼 内, 数 头 有 14 个, 数 脚 有 41 只, 问 鸭 兔 各 是 几 只? 结 果 是 智 者 笑 了, 你 们 都 知 道 笑 的 原 因, 因 为 按 照 这 种 说 法, 鸭 子 7 只 半, 而 兔 是 6 只 半 这 个 例 子 能 说 明 什 么 呢? 数 学 不 仅 仅 可 以 去 解 决 已 经 提 出 来 的 一 些 问 题, 也 可 以 反 过 来 检 验 你 的 提 法 设 想 是 否 正 确, 或 者 说 告 诉 我 们 应 该 如 何 正 确 地 去 思 考 提 炼 问 题 刚 才 讲 到 的 是 在 自 然 数 整 数 范 围 里 来 解 二 元 一 次 方 程 组 那 么, 如 何 在 实 系 数 复 系 数 范 围 内 求 解 有 更 多 变 元 的 线 性 方 程 组 呢? 这 是 我 们 大 学 一 年 级 的 线 性 代 数 课 程 中 的 基 本 问 题 我 们 知 道 有 个 著 名 的 求 解 方 法, 这 就 是 高 斯 消 元 法 大 学 里 的 学 习 与 中 学 时 期 有 所 不 同, 不 光 光 学 习 如 何 把 一 个 具 体 问 题 确 确 实 实 地 解 出 来, 我 们 会 慢 慢 地 走 到 更 高 的 高 度, 更 希 望 从 结 构 性 的 角 度 整 体 的 角 度 来 思 考 问 题 并 发 展 理 论 体 系 如 对 线 性 方 程 组, 我 们 会 更 关 注 方 程 组 在 什 么 样 的 情 况 下 会 有 解, 在 有 解 的 情 况 下 这 些 解 的 结 构 是 什 么 样 等 等 二 Fredholm 原 理 与 谱 ( 特 征 值 ) 理 论 现 在 我 们 来 谈 谈 Fredholm 原 理 与 谱 ( 特 征 值 ) 理 论 为 此 先 来 看 一 个 大 学 一 年 级 线 性 代 数 中 的 基 本 问 题 例 3 设 A 是 m n 实 系 数 矩 阵, b m R 找 出 x n R 使 得 Ax = b (1) 这 是 线 性 方 程 组, 大 家 都 知 道 标 准 的 结 论 是 什 么 但 我 们 要 从 刚 才 提 到 的 具 体 例 子 中 逐 步 跳 出 来, 要 探 讨 的 是 这 样 的 方 程 组 什 么 时 候 有 解? 若 有 解, 有 多 少? 解 的 结 构 又 如 何? 在 实 际 应 用 时, 怎 么 去 求 解? 怎 么 去 快 速 求 解? 对 于 方 程 组 (1), 有 很 多 关 于 这 些 问 题 的 结 论 在 我 的 演 讲 中, 我 只 讲 前 面 的 一 些 问 题, 主 要 是 谈 什 么 条 件 下 会 有 解 这 样 问 题 是 有 意 义 的, 原 因 是 并 不 是 随 便 给 了 一 个 矩 阵 A 和 一 个 向 量 b, (1) 一 定 会 有 解 x 存 在 为 过 渡 到 科 学 问 题 中 经 常 涉 及 到 的 微 分 方 程, 我 们 把 线 性 代 数 中 的 标 准 结 论 稍 微 往 前 推 进 一 步, 看 看 会 发 生 什 么 n m 这 里 R R 是 标 准 的 欧 氏 空 间, 它 们 有 标 准 的 欧 氏 内 积 ( x, y) 现 在 来 看 如 果 (1) 有 解, 对 A 和 b 有 一 些 什 么 必 然 的 要 求 设 (1) 有 解 x 则 对 任 意 a m R T ( a, b) ( a, Ax) = ( A a, x) =, 有

3 这 里, A T 表 示 A 的 转 置 矩 阵 特 别 地, 如 果 a 满 足 A T a = 0, 则 b 必 然 满 足 用 空 间 符 号 表 示 即 为 ( a, b) = 0 或 a b ( a 与 b 正 交 ) T b ( Ker( A )) ( 正 交 补 空 间 ) 这 是 一 个 必 要 性 的 推 导, 不 是 太 困 难 可 以 证 明 反 过 来 也 对 这 说 明 只 有 当 b 满 足 这 样 的 要 求 时, 方 程 (1) 才 会 有 解 但 从 值 域 的 定 义 知 道, 方 程 (1) 有 解 的 条 件 是 b Im(A) 由 此 我 们 得 到 一 个 非 常 重 要 的 定 理 定 理 1 Im( T A ) = ( Ker( A )) 这 是 在 线 性 方 程 组 里 看 出 来 的 在 大 学 数 学 中 继 续 学 下 去, 我 们 会 多 次 遇 到 这 样 的 定 理, 其 中 最 重 要 的 形 式 是 在 线 性 泛 函 分 析 中 的 线 性 紧 算 子 的 Fredholm 理 论 中, 以 上 定 理 也 称 为 Fredholm 原 理, 它 可 以 帮 助 我 们 讨 论 更 为 复 杂 的 无 穷 维 问 题 : 例 4 设 X, Y 是 Banach 空 间, A : X Y 是 有 界 线 性 算 子 讨 论 Ax = b (2) 的 可 解 性 问 题, 其 中 b Y 这 时 我 们 要 从 有 限 维 过 渡 到 无 穷 维 了 与 ( 有 限 维 的 ) 欧 氏 空 间 比 较, 无 穷 维 空 间 的 最 重 要 区 别 在 于 失 去 局 部 紧 性, 而 大 家 可 以 从 多 元 函 数 的 讨 论 中 体 味 出 紧 性 的 重 要 性 从 某 种 意 义 上 讲, 数 学 家 离 开 了 紧 性 完 备 性 等 性 质, 对 涉 及 到 无 限 的 问 题 是 很 难 下 手 的, 这 是 因 为 现 实 中 大 多 数 问 题 是 通 过 无 限 的 过 程 来 实 现 的, 而 紧 性 完 备 性 告 诉 大 家 可 以 通 过 有 限 的 步 骤 去 逼 近 无 限 由 于 空 间 没 有 局 部 紧 性, 这 时 我 们 需 要 对 (2) 中 的 算 子 A 作 些 限 制 当 A 是 所 谓 的 线 性 紧 算 子 时, 类 似 于 定 理 1 的 Fredholm 理 论 在 经 过 适 当 的 解 释 后 同 样 成 立 尽 管 这 些 定 理 看 上 去 形 式 上 与 有 限 维 很 类 似, 但 其 应 用 面 大 大 地 拓 宽 了, 不 再 仅 是 一 群 鸭 子 一 群 兔 子 的 问 题, 各 种 微 分 方 程 问 题, 包 括 常 微 分 方 程 偏 微 分 方 程 积 分 方 程 等 等 都 可 以 得 到 应 用 了 将 Fredholm 原 理 应 用 于 例 1 中 的 简 单 问 题, 则 当 a 0 时,R 上 的 线 性 算 子 Ax = ax 是 可 逆 的, T T Ker ( A ) 是 零 空 间, 从 而 ( Ker( A )) = R, 因 此 对 任 意 b R 方 程 (1) 均 有 解 即 使 是 a = 0 时 T 的 结 论 也 可 以 这 么 解 释, 因 为 此 时 ( Ker ( A )) = {0} 从 而 仅 当 b = 0 时 方 程 ax = b 才 有 解 这 些 与 我 们 最 初 的 分 析 是 吻 合 的 我 们 对 线 性 算 子 来 阐 述 另 一 个 相 关 联 的 观 点 在 例 4 中, 考 虑 空 间 Y 与 X 相 同 的 情 形 由 于 空 间 的 表 现 形 式 多 种 多 样, 算 子 A 的 表 达 形 式 也 多 种 多 样, 但 我 们 可 以 从 求 解 方 程 的 角 度 用 易 于 理 解 的 数 来 理 解 刻 画 A 引 进 一 个 参 数 λ C, 考 虑 类 似 于 (2) 的 线 性 方 程 ( A λ I) x = b (3) 其 中 I 为 恒 同 算 子 这 时 候 给 一 个 定 义 : 若 λ 使 得 方 程 (3) 对 于 任 一 b 有 唯 一 的 解, 则 称 为 A 的 好 值, 反 之 称 为 坏 值 在 数 学 上, 它 们 分 别 被 称 为 A 的 剩 余 值 和 谱 在 有 限 维 空 间 时, 谱 即 是 比 较 好 理 解 的 矩 阵 特 征 值, 在 无 穷 维 中 谱 远 远 要 复 杂 得 多 A 的 所 有 的 谱 记 做 σ (A), 它 是 C 的 一 个 子 集 这 样 对 于 难 于 理 解 的 算 子 A 赋 予 了 一 个 容 易 理 解 的 数 集 σ (A) 按 照 定 义, 我 们 就 得 到

4 另 外 一 个 定 理 定 理 2 方 程 (2) 对 任 意 的 b 有 唯 一 解 的 充 分 必 要 条 件 是 0 σ ( A) 建 立 了 这 样 的 概 念 后, 可 解 性 问 题 的 难 度 就 被 降 下 来 了, 因 为 我 们 不 必 要 理 解 整 个 算 子 A, 而 仅 需 要 理 解 数 值 性 的 谱 集 合 σ (A) 事 实 上, 谱 这 个 概 念 具 有 普 遍 的 科 学 意 义, 其 应 用 范 围 超 过 了 想 象, 例 如 它 不 仅 仅 可 以 描 述 求 解 方 程 这 样 的 静 态 问 题, 而 且 在 描 述 解 的 运 动 性 质 这 样 的 动 态 问 题 中 也 起 着 十 分 重 要 的 作 用 按 照 这 样 的 观 点, 例 1 中 的 事 实 可 以 解 释 为 0 ( A ) = { a} σ, 即 0 现 在 从 大 学 一 年 级 过 渡 到 二 年 级, 那 时 会 接 触 到 常 微 分 方 程 例 5 设 f ( 是 以 2 π 为 周 期 的 连 续 函 数, 讨 论 常 微 分 方 程 的 2π - 周 期 解 的 存 在 性 问 题 a x ' + ax = f ( ( a R ) (4) 这 是 教 科 书 上 一 个 标 准 的 练 习 题 结 论 是 : 如 果 a 0, 则 对 每 个 给 定 的 f (, 方 程 (4) 有 唯 一 的 以 2 π 为 周 期 的 解 标 准 的 做 法 是 : 因 为 方 程 左 边 是 一 个 常 系 数 的 线 性 方 程, 因 此 可 以 用 简 单 的 常 数 变 易 公 式 把 (4) 所 有 的 解 都 写 出 来, 然 后 再 想 办 法 把 那 个 周 期 解 区 挑 出 来 这 是 解 法, 现 在 来 谈 一 谈 怎 么 看 待 这 个 结 论 并 与 我 们 已 经 阐 述 过 的 结 论 作 比 较 第 一 种 看 法, 把 它 看 成 无 穷 维 空 间 中 的 问 题 : Z X = { Φ( Φ是 连 续 可 导 函 数, 且 Φ( t + 2π ) = Φ( } = { Ψ( Ψ是 连 续 的, 且 Ψ( t + 2π ) = Ψ( } 显 然 Z X 引 进 算 子 L : Z X X, ( Lx )( = x'(, 算 子 L 是 线 性 的, 在 Z, X 合 适 的 范 数 ( 即 距 离 ) 下,L 成 为 紧 算 子 因 为 Z 属 于 X, 谱 ( 特 征 值 ) 的 提 法 也 适 用 这 类 算 子 对 这 样 的 算 子, 在 考 虑 谱 时 我 们 仅 讨 论 其 特 征 值 ( 其 原 因 稍 复 杂 一 些 ): Lx = λ x, x Z, x 0 所 以 x' = λx (5) λt 方 程 (5) 的 一 般 解 x( = ce 如 要 有 非 零 解 在 Z 中, 必 然 有 λ = 0, 也 就 是 说 算 子 L 的 唯 一 的 特 征 值 为 λ = 0 于 是 当 a 0 时, a 就 不 是 L 的 特 征 值, 从 而 (4) 成 为 ( L ( a) I) x = 1 并 且 有 唯 一 的 解 x = ( L + ai) f 这 是 一 种 看 法 f

5 另 一 种 看 法 : 我 们 也 可 以 用 不 同 的 算 子 把 (4) 的 左 边 整 体 地 看 成 一 个 算 子 : M : Z X, Mx = x' + ax 1 则 当 a 0 时,0 不 是 M 的 特 征 值, 从 而 (4) 有 唯 一 的 解 x = M f 再 看 一 个 二 阶 常 微 分 方 程 的 例 子, 它 在 振 动 理 论 中 是 基 本 的 例 6 设 f ( 是 2 π 周 期 的 连 续 函 数, 对 a R 结 论 1: 当 a n 2, n = 0,1,2, L, 时, 对 每 一 f (, 讨 论 二 阶 方 程 x '' + ax = f ( (5),(5) 有 唯 一 的 以 2 π 为 周 期 的 解 这 结 论 的 运 动 解 释 是 : 对 简 单 弹 簧 振 子 的 强 迫 振 动, 如 果 频 率 a 排 除 掉 一 些 特 殊 情 形, 每 一 个 2π 周 期 的 外 力 输 入, 系 统 将 调 制 出 唯 一 的 2 π 周 期 振 动 这 些 需 排 除 掉 的 频 率 即 是 所 谓 的 共 振 频 率 结 论 2: 当 a = n 2 ( n 为 非 负 整 数 ) 时,(5) 有 2 π 周 期 的 解 的 充 要 条 件 是 f ( 满 足 2π f ( cos ntdt = 0 (6) 0 与 2π f ( sin ntdt = 0 (7) 0 ( 当 n = 0 时,(7) 式 是 自 然 成 立 的 ) 对 于 这 些 结 论, 我 们 仍 可 以 通 过 常 数 变 易 公 式 把 (5) 所 有 的 解 都 写 出 来 从 而 给 出 证 明 对 它 们 的 解 释 也 可 以 仿 照 例 5 来 进 行 结 论 1 中 是 因 为 a 不 是 算 子 Lx = x' ' 的 特 征 值, 从 而 ( L ai) = ai L 1 ( 表 示 (5) 的 左 边 ) 是 可 逆 的, 所 以 (5) 有 唯 一 的 2 π 周 期 解 x = ( ai L) f 2 对 于 结 论 2, a = n 为 L 的 特 征 值, Ker( L n 2 I) 是 不 难 求 出 的 运 用 Fredholm 原 理, 方 程 (5) 有 2 π 解 的 条 件 是 f 2 ( Ker( L n I)) = ({ c1 cos nt + c2 sin nt c1, c2 R}) 这 里 的 内 积 要 用 函 数 空 间 中 的 积 分 内 积, 即 = 2π 0 ( f, g) f ( g( dt 这 时 就 得 到 积 分 条 件 (6) 和 (7) 下 面 再 做 进 一 步 的 拓 展 如 沿 用 例 5 中 的 第 二 种 看 法 中, 也 可 把 ax 这 一 项 放 在 算 子 里 但 当 a 不 是 常 系 数 而 是 对 应 的 算 子 为 a = q( ( 周 期 地 依 赖 于 时 间 t ), ( Kx )( = ( x''( + q( x( )

6 此 时 需 要 考 虑 即 Kx = λx x' ' + ( λ + q( ) x = 0 (8) 当 λ = 0 时,(8) 成 为 x '' + q( x = 0 (9) 这 时 的 方 程 (9) 称 为 Hill 方 程 由 于 (8) 和 (9) 不 能 直 接 积 出 所 有 的 解, 这 时 K 的 谱 ( 特 征 值 ) 问 题 (8) 就 不 那 么 容 易 简 单 讨 论 清 楚 了 一 个 经 典 而 又 重 要 的 理 论 是 当 q ( 是 周 期 函 数 时,(8) 的 谱 问 题 是 清 楚 的 但 是 当 ( 势 函 数 ) q ( 变 得 复 杂 一 些, 如 几 乎 周 期 势 函 数, 谱 问 题 (8) 成 为 数 学 物 理 中 迄 今 为 止 远 没 有 得 到 充 分 理 解 的 大 问 题 因 此 即 使 是 线 性 问 题 也 远 非 简 单 由 此,Fredholm 原 理 和 谱 ( 特 征 值 ) 理 论 在 解 的 存 在 性 问 题 中 的 巨 大 作 用 可 见 一 斑 三 非 线 性 问 题 最 后, 我 们 谈 一 点 非 线 性 方 程 问 题 诚 如 大 家 所 知, 自 然 界 中 更 多 的 是 非 线 性 问 题, 包 括 静 态 的 和 动 态 的 一 般 来 讲, 好 的 线 性 理 论 往 往 能 给 出 对 应 的 线 性 问 题 的 比 较 完 整 的 解 答 但 对 非 线 性 问 题, 大 多 数 是 没 有 完 整 的 回 答 的 因 此 在 解 决 非 线 性 问 题 时 要 运 用 多 种 理 论 和 方 法, 也 需 要 大 量 的 线 性 问 题 的 工 作 基 础 例 7 ( 局 部 问 题 ) 考 虑 f n n : R R 是 非 线 性 连 续 函 数 ( 也 可 把 f 看 为 一 个 系 统 ) 假 设 f ( x) = 0 (10) 有 解, 比 如 x = x 0 = 0 是 否 有 解? 讨 论 当 一 个 输 入 b 在 微 积 分 中, 我 们 有 一 个 结 果, 即 n R 比 较 小 时, 方 程 f ( x) = b (11) 反 函 数 定 理 当 f 是 连 续 可 微 分 且 A = D f (0) 是 可 逆 的 ( 即 0 σ ( A) ) 时, 则 当 b 比 较 小 时, x 方 程 (11) 在 x = 0 附 近 有 唯 一 的 解 这 个 定 理 中 的 核 心 条 件 是 A 是 可 逆 的, 它 说 明 线 性 问 题 (2) 对 任 意 b 的 可 解 性 但 同 时 与 (2) 的 消 元 法 比 较, 反 函 数 定 理 却 无 法 给 出 简 单 可 操 作 的 求 解 方 法 另 外, 如 果 失 去 核 心 条 件,(11) 成 为 所 谓 的 分 支 问 题, 就 会 变 得 更 加 复 杂, 使 得 象 线 性 代 数 里 完 整 解 决 问 题 (2) 的 设 想 对 (11) 几 乎 无 法 实 现 我 们 再 来 看 看 整 体 的 ( 也 叫 大 范 围 的 ) 非 线 性 问 题 这 样 的 问 题 的 重 要 性 是 不 言 而 喻 的, 但 其 解 答 是 十 分 困 难 的 同 时 也 是 现 代 数 学 所 致 力 于 研 究 的 原 则 上, 当 对 应 的 线 性 问 题 是 不 退 化 的 ( 与 谱 理 论 有 关 ), 则 线 性 的 结 果 在 适 当 小 的 非 线 性 扰 动 后 仍 部 分 保 留 下 来 因 此 当 我 们 对 对 应 的 线 性 问 题 有 充 分 的 认 识 后, 总 能 对 非 线 性 问 题 给 出 一 部 分 解 答 但 如 何 理 解 适 当 小 的 非 线 性 扰 动, 总 是 有 很 多 不 同 看 法

7 例 8 设 a 0, 则 已 知 方 程 (1) 对 任 意 b 有 唯 一 解 ((1) 的 非 退 化 性 ) 设 g: R R 是 连 续 函 数, 讨 论 非 线 性 方 程 是 否 有 解 ax + g( x) = b (12) 结 论 1: 由 于 我 们 知 道 (12) 所 对 应 的 线 性 问 题 (1) 是 非 退 化 的, 因 此 只 要 g (x) 是 适 当 小 时, 则 (12) 会 有 解 例 如, 当 g (x) 在 R 上 是 有 界 的, 则 (12) 至 少 有 一 个 解 这 很 容 易 用 微 积 分 来 证 明, 如 设 a > 0, 则 在 x 趋 于 ± 时, 函 数 ax + g(x) 的 值 也 相 应 地 趋 于 ±, 从 而 从 介 值 定 理 即 知 (12) 会 有 解 但 与 (1) 不 同, 此 时 (12) 的 解 的 唯 一 性 一 般 是 不 能 保 证 的 结 论 2: 对 适 当 小 有 不 同 的 理 解 例 如, g (x) 在 R 上 也 可 以 是 无 界 的, 但 又 满 足 sup R g'( x) a (13) x < 则 (12) 会 有 解 条 件 (13) 也 可 以 用 g (x) 的 李 普 希 兹 条 件 来 做 要 求, 在 本 例 中 我 们 可 以 看 到, a 0 的 这 个 线 性 问 题 的 条 件 是 非 常 重 要 如 a = 0 上,(12) 又 回 到 了 复 杂 的 (11) 了 如 果 我 们 对 线 性 问 题 的 理 解 有 足 够 的 自 信, 如 基 于 例 6 中 的 结 论 1 我 们 完 全 可 以 对 如 下 的 微 分 方 程 问 题 推 断 出 大 胆 的 猜 测 方 程 2 例 9 设 a n, n = 0,1,2, L, g: R R是 连 续 有 界 函 数, 则 对 每 个 2 π 周 期 的 连 续 函 数 f (, x '' + ax + g( x) = f ( (14) 至 少 有 一 个 2 π 周 期 解 这 个 猜 测 确 实 是 对 的, 其 证 明 远 比 例 8 中 的 结 论 1 要 困 难 了, 但 仍 是 可 以 用 多 种 方 法 来 实 现 的, 如 微 分 方 程 的 相 平 面 分 析 方 法, 非 线 性 泛 函 分 析 中 的 拓 扑 度 方 法 Leray-Schauder 度 方 法 变 分 方 法 等 仿 照 例 8 中 的 结 论 2, 我 们 也 可 以 推 断 出 只 要 g (x) 满 足 sup g'( x) M (15) x R < 且 M 比 较 小 时, 则 (14) 会 有 2 π 周 期 解 至 于 M 到 底 要 多 小, 会 与 (5) 中 左 边 的 线 性 算 子 的 谱 有 密 切 关 系 同 样 地, 条 件 (15) 也 可 以 改 用 g (x) 的 李 普 希 兹 条 件 四 结 论 今 天 我 讲 到 了 线 性 与 非 线 性 之 间 的 联 系, 也 提 到 了 一 些 静 态 和 动 态 局 部 与 整 体 之 间 的 关 系, 但 主 要 集 中 在 第 一 个 方 面 我 的 体 会 是, 当 你 需 要 从 动 态 的 观 点 去 研 究 整 体 的 非 线 性 问 题 时, 你 必 须 对 从 静 态 的 观 点 去 研 究 线 性 问 题 有 足 够 的 理 解 从 其 它 角 度 来 研 究 非 线 性 系 统, 其 道 理 也 该 是 如 此 看 似 简 单 的 线 性 理 论 正 是 我 们 迈 向 非 线 性 问 题 的 基 础, 当 你 越 多 地 了 解 了 线 性 的 基 础, 你 就 越

8 有 可 能 达 到 非 线 性 的 高 峰 因 此, 要 重 视 简 单 的 线 性 理 论 今 天 就 到 这 儿 感 谢 烟 台 大 学 的 邀 请, 谢 谢 大 家! 致 谢 : 作 者 对 烟 台 大 学 张 志 军 教 授 为 整 理 此 演 讲 稿 所 作 的 贡 献 深 表 谢 忱!