一含参量正常积分的定义设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的二元函数. 当取 [ a, b ] 上的定值时, 函数定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f

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骏婉卜
5 years ago
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1 含参量正常积分对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分, 它可用来构造新的非初等函数. 含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式. 一含参量正常积分的定义二含参量正常积分的连续性三含参量正常积分的可微性四含参量正常积分的可积性五例题返回

2 一含参量正常积分的定义设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的二元函数. 当取 [ a, b ] 上的定值时, 函数定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f (, y) y, Î[ a, b] () 是定义在 [ a, b ] 上的函数. 一般地, 设 f (, y ) 为定义在区域 f (, y) 是

3 G = {(, y) ( ) y ( ), a b} 上的二元函数, 其中 (), () 为定义在 [ a, b ] 上的连续函数 ( 图 9-), y y = ( ) G y = ( ) O a 图 9 - 若对于 [ a, b ] 上每一固定的值, f (, y) 作为 y 的函 b

4 数在闭区间 [ ( ), ( ) ] 上可积, 则其积分值 ( ) F ( ) = ò f (, y ) y, Î [ a, b ] (2) ( ) 是定义在 [ a, b ] 上的函数. 用积分形式 () 和 (2) 所定义的这函数 I( ) 与 F( ) 通称为定义在 [ a, b ] 上的含参量的 ( 正常 ) 积分, 或简称为含参量积分.

5 二含参量正常积分的连续性定理 9. ( I( ) 的连续性 ) 若二元函数 f (, y) 在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上连续, 则函数在 [ a, b] 上连续. I( ) = ò f (, y)y 证设 Î [ a, b], 对充分小的 D, 有 + D Î[ a, b] ( 若为区间的端点, 则仅考虑 D > 或 D < ), 于是

6 I( + D) - I( ) = ò [ f ( + D, y) - f (, y)] y, (3) 由于 f (, y ) 在有界闭区域 R 上连续, 从而一致连续, 即对任意 e >, 总存在 >, (, y ) 与 (, y ), 只要就有 <, y - y <, 2 2 对 R 内任意两点 f (, y ) - f (, y ) < e. (4) 2 2 所以由 (3), (4) 可得, 当 D < 时,

7 I( + D) - I( ) ò f ( + D, y) - f (, y) y 即 I () 在 [ a, b ] 上连续. < ò e = e( - ). 同理可证 : 若 f (, y ) 在矩形区域 R 上连续, 则含参量 y 的积分在 [, ] 上连续. b J( y) = ò f (, y) (5) a 注对于定理 9. 的结论也可以写成如下的形式 :

8 若 f (, y ) 在矩形区域 R 上连续, 则对任何 Î[ a, b ], 都有 lim f (, y ) y = lim f (, y ) y. ò ò 这个结论表明, 定义在矩形区域上的连续函数, 其极限运算与积分运算的顺序是可以交换的. 注 2 由于连续性是局部性质, 定理 9. 中条件 f 在 [ a, b] [, ] 上连续可改为在 Á [, ] 上连续, 其中 Á 为任意区间.

9 定理 9.2 ( F ( ) 的连续性 ) 若二元函数 f (, y) 在区域 G = {(, y) ( ) y ( ), a b } 上连续, 其中 (), () 为 [ a, b ] 上的连续函数, 则函数在 [ a, b ] 上连续. ( ) = ò ( F ) f (, y ) y (6) ( ) 证对积分 (6) 用换元积分法, 令 y = ( ) + t( ( ) - ( )). 当 y 在 () 与 () 之间取值时, t 在 [, ] 上取值, 且

10 所以从 (6) 式可得 y = ( ( ) - ( )) t. ( ) = ò ( F ) f (, y ) y ( ) = ò f (, ( ) + t( ( ) - ( )))( ( ) - ( )) t. 由于被积函数 f (, ( ) + t( ( ) - ( )))( ( ) - ( )) 在矩形区域 [ a, b ] [,] 上连续, 由定理 9. 得积分 (6) 所确定的函数 F() 在 [a, b] 连续.

11 定理 9.3 ( 三含参量正常积分的可微性 I( ) 的可微性 ) 若函数 f (, y) 与其偏导数 f (, y ) 都在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上连续, 则函数在 [ a, b ] 上可微, 且 ò I( ) = ò f (, y)y f (, y) y = f (, y) y. ò

12 证对于 [ a, b ] 内任意一点, 设 + D Î[ a, b] ( 若为区间的端点, 则讨论单侧函数 ), 则 I( + D) - I( ) ( +, ) - (, ) = ò f D y f y y. D D 由微分学的拉格朗日中值定理及 f (, y ) 在有界闭域 R 上连续 ( 从而一致连续 ), 对 " e >, $ >, 只要 D < 时, 就有 f ( + D, y) - f (, y) D - f (, ) y

13 其中 q Î(,). 因此 = f ( + qd, y) - f (, y) < e, DI D - ò f (, y)y f ( + D, y) - f (, y) ò - D f (, y) y e( - ). 这就证明了对一切 Î[ a, b], 有

14 定理 9.4 ( I ( ) = ò f (, y ) y. F ( ) 的可微性 ) 设 f (, y), f (, y) 在 R = [ a, b] [ p, q ] 上连续, (), () 为定义在 [ a, b] 上其值含于 [ p, q] 内的可微函数, 则函数在 [ a, b ] 上可微, 且 ( ) F ( ) = ò f (, y ) y ( ) ( ) = ò ( ) + F ( ) f (, y) y f (, ( )) ( ) - f (, ( )) ( ). (7)

15 证把 F() 看作复合函数 : F( ) = H(,, ) = ò f (, y) y, = ( ), = ( ). 由复合函数求导法则及变动上限积分的性质, 有 H H H F( ) = + + ( ) ( ) = f (, y) y + f (, ( )) ( ) ò - f (, ( )) ( ).

16 注由于可微性也是局部性质, 定理 9.3 中条件 f 与 f 在 [ a, b] [, ] 上连续可改为在 Á [, ] 上连续, 其中 Á 为任意区间.

17 四含参量正常积分的可积性由定理 9. 与定理 9.2 推得 : 定理 9.5 ( I( ) 的可积性 ) 若 f (, y) 在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 和 [, ] 上可积. 上连续, 则 I () 与 J () 分别在 [ a, b] 这就是说 : 在 f (, y ) 连续性假设下, 同时存在两个求积顺序不同的积分 : b é êë f y yù úû ò ò (, ) a 与 b é ù êë f y a úû y ò ò (, ).

18 为书写简便起见, 今后将上述两个积分写作 ò a b (, ) ò f y y 与 ò ò b y f (, y). 前者表示 f (, y ) 先对 y 求积然后对求积, 后者则表示求积顺序相反. 它们统称为累次积分. 在 f (, y ) 连续性假设下, 累次积分与求积顺序无关. 定理 9.6 若 f (, y ) 在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上连续, 则 b b f (, y)y = y f (, y). (8) ò ò ò ò a a a

19 证记 ( ) u (, ), I u = ò ò f y y = ò ò a u I ( u) = ò I( ) = I( u). u a I ( u) y u f (, y), 2 其中 uî[ a, b], 现在分别求 I ( u) 与 I ( u) 的导数. 2 a 对于 I ( ), (, ) (, ), 2 u 令 H u y = ò f y ( ) I (, ). 2 u = ò H u y y a u 则有因为 H( u, y ) 与 H (, ) u u y = f ( u, y ) 都在 R 上连续, 由

20 定理 9.3, I 2( u ) = ò (, ) u(, ) u H u y y = ò H u y y 2 = ò f ( u, y) y = I( u). 故得 I ( u) = I ( u), 因此对一切 uî[ a, b], I ( u) = I ( u) + k ( k 为常数 ). 2 当 u = a时, I( a) = I2( a) =, 于是 k =, 取 u = b I ( u) = I ( u), uî[ a, b]. 2 就得到所要证明的 (8) 式. 有即得

21 解记五例题 + a 例求 lim ò. a a a + + a I( a) =. + + a 2 2 I (a) 在 a = + a ò 由于 a, a a 以及都是 a 和的连续函数, 由定理 9.2 已知处连续, 所以 π lim I( a) = I() = ò =. a 2 + 4

22 2 ln( + y) 例 2 讨论函数 I( ) = ò y 的连续性. y 解易见 I( ) 的定义域为 (- 2, + ). ln( + y) f (, y) =, (, y) Î( -, + ) [,2]. y 2 " Î ( -, + ), $ a, b, 使得 - < a < < b, f (, y) 2 2 在 [ a, b ] [, 2] 上连续, 因此 I( ) 在 [ a, b ] 上连续, 从而在上连续. 上连续. 由令的任意性可得 I( ) 在 ( - 2, + )

23 例 3 计算积分 ln( + ) I = ò 2. + 解令 ln( + a ) I( a) = ò, a Î[, ]. 2 + 显然 I() =, I() = I, 且函数 I( a) 在 R = [, ] [, ] 上满足定理 9.3 的条件, 于是 I ( a) = ò. 2 ( + )( + a ) 因为

24 æ a + a ö = a + a ç + + a è ø ( )( ), 所以 æ a a ö I ( a) = a ç ò + ò - ò a è ø é 2 ù = a artan + ln( + ) - ln( + a ) 2 + a ë ê 2 ú û é ap ù = + 2 ln 2 - ln( + a ). + a ê ë 4 2 ú û

25 因而 ò é ap ù I ( a) = ò + ln 2 - ln( + a) a 2 + a ê ë 4 2 ú û p = ln( a ) ln 2artan a I() p p = ln2 + ln2 - I() 8 8 p = ln2 - I(). 4

26 另一方面 ò I ( a) a = I() - I() = I(), 所以 p I = I() = ln2. 8 例 4 设 f () 在 = 的某个邻域内连续, 验证当充 n- 分小时, 函数 j( ) = ò ( - t) f ( t)t (9) ( n -)! ( n 的各阶导数存在, 且 j ) ( ) = f ( ).

27 n- 解由于 (9) 中被积函数 F(, t) = ( - t) f ( t) 以及其偏导数 F (, t ) 在原点的某个方邻域内连续, 于是由定理 9.4 可得 n-2 j ( ) = ò ( n - )( - t) f ( t)t + ( n - )! ( n - )! = ò - - ( n - 2)! n- ( - ) f ( ) n-2 ( n )( t) f ( t) t.

28 同理 j j = ò - - ( n - 3)! n-3 ( ) ( n )( t) f ( t) t, 如此继续下去, 求得 k 阶导数为 ( ) = ò ( n -)( - t) f ( t) t. ( n - k -)! ( k ) n-k- 特别当 k = n - 时有 ( n ) j - ( ) = ò f ( t) t,

29 ( n 于是 j ) ( ) = f ( ). 附带说明 : 当 = 时, j( ) 及其各导数为 j = j = = j - = ( n ) () () (). 例 5 求 b a - I = ò ( b > a > ). ln 解因为 ò a b y b a - y =, ln 所以 y I = ò ò y. y 又由于函数在 R = [, ] [ a, b] 上满足定理 9.6 的 a b

30 条件, 所以交换积分顺序得到 b b y + b I = ò y ò = ò y = ln. a a + y + a 2p ysin( y) 例 6 设 I( ) = ò y, 求 ò p y - sin y I( ). 解显然, 本题不宜先求出 I( ), 再算积分值. 可试用交换积分次序的方法求出积分值. y sin( y) 设 f (, y) =, 则 f (, y ) 在 [,] [ p,2 p] y - sin y

31 上连续, 由定理 9.6, ò I( ) = ò 2p ò p ysin( y) y y - sin y = ò 2p p y = ò ò ysin( y) 2pæ - os( y) ö = òp y - sin y ç y - sin y è ø 2p - os y y y - sin y p = ln 2. 2 y y p = ln - sin p = = y

32 复习思考题. 参照定理 9. 的证明, 定理 9. 中条件是否可减弱为 : () " e >, $ >, ", 2 Î [ a, b], " y Î [, ], 则 f (, y) - f (, y) < e. 2 (2) " Î [ a, b], f (, y) 在 [, ] 上可积. 验证你的结论. 2. 若 f (, y ) 在 [ a, + ) [, ] 上一致连续,

33 I( ) = ò f (, y), 能否推得 I( ) 在 [ a, + ) 上一致连续?

一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f

一含参量正常积分的定义设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的二元函数. 当取 [ a, b ] 上的定值时, 函数定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f