确定质点的空间位 描述质点位置变化的 描述质点位置变化的 描述质点速度变化的 物 置, 其随时间的变化 净效果 快慢和方向 快慢和方向 理意义直角坐 规律即质点的运动 方程 : () yj zk 大小 : y z yj zk d dy dz v j k d d d v v j v k y z dv

Transcription

1 质点运动学学习指导 在本章中, 同学们接触到的运动学内容应该有令人耳目一新的感觉 因为运用了矢量方法和微积分方法, 对于描述运动的基本物理量的表述更加完备和简洁 ; 将中学讨论的一些特殊运动形式扩展到了更普遍的情形 在学习本章过程中, 要意识到这种变化, 主动地去体会这样的变化, 在一个新高度上认识和总结运动学的概念 方法和知识体系 特别是在矢量的表示和运算, 运用微积分方法解决物理问题上好好下功夫, 以取得学习 大学物理 的良好开端 一 基本要求. 理解质点 质点系 刚体模型的意义, 相互关系和适用条件. 理解运动的绝对性和描述运动的相对性 ; 理解参考系 坐标系概念 3. 理解惯性系和非惯性系的物理意义 4. 掌握描述质点运动的物理量 : 位矢 位移 速度 加速度 切向加速度 法向加速度 ; 掌握描述质点圆周运动和刚体定轴转动的物理量 : 角速度 角加速度, 及角量与线量的关系 5. 在直角坐标 自然坐标中熟练计算运动学的两类基本问题 6. 理解伽利略坐标变换和速度变换, 能分析与平动有关的相对运动问题 二 重要概念 质点 : 当物体的线度和形状在所讨论的问题中的作用可以忽略不计时, 将物体抽象为一个具有质量 占有位置, 但无形状 大小的 点, 称为质点 参考系和坐标系 : 为了具体描述一个物体的运动, 而必须选定的另一个作为参考标准的物体称为参考系 为了定量描述物体的运动, 还需要在选定的参考系上按照某种规则, 确定有次序的一组或几组参数, 即固结一个适当的数学抽象, 称为坐标系 ( 例如直角坐标系, 自然坐标系, 极坐标系 ) 也就是说, 坐标系是参考系的具体化形式 请注意 : 选定参考系和建立坐标系是定量描述物体运动的前提 只有实物能够作为参考系 因为光 ( 电磁场 ) 在真空中的速率恒为 c, 与光源或观察者的运动无关, 即不存在相对其静止的观察者, 所以场是不能作为参考系的 惯性系和非惯性系 : 牛顿第一定律 ( 惯性定律 ) 在其中成立的参考系叫做惯性系 牛顿第一定律在其中不成立的参考系叫做非惯性系 从运动学角度, 参考系的选取可以是任意的, 仅仅取决于研究问题的需要和方便 但从动力学角度, 二者有根本的不同, 牛顿运动定律只在惯性系中成立 描述质点运动的四个基本物理量见下表 : 描述质点运动的四个物理量及其直角坐标表示物理量位置矢量位移速度加速度 定义 从参考点指向质点的有向线段 : OP 从质点的初位置指向末位置的有向线段 : AB 位矢的时间变化率 : d v lm d 速度的时间变化率 : v a lm dv d d d

2 确定质点的空间位 描述质点位置变化的 描述质点位置变化的 描述质点速度变化的 物 置, 其随时间的变化 净效果 快慢和方向 快慢和方向 理意义直角坐 规律即质点的运动 方程 : () yj zk 大小 : y z yj zk d dy dz v j k d d d v v j v k y z dv dv y dv z v j k d d d y d d d z j k d d d a a j a k y z 标 方向余弦 : 表示 cos cos cos y z 矢量性, 相对性, 矢量性, 相对性, 矢量性, 相对性, 瞬时 矢量性, 相对性, 瞬时 性 瞬时性 ( 与时刻对 是过程量, 与时间间隔 性, 是描述质点运动的 性, 质 应 ), 是描述质点运 相对应 是描述质点运 状态参量 是描述质点运动的状 动的状态参量 动的状态变化的参量 态变化的参量 注意 由运动参数方程消去 得质点运动轨迹 ( 见基本计算 ) 比较几组容易混淆的概念 ( 见表 3.3) 质点运动的自然坐标描述 : 自然坐标 : 坐标原点固结于运动质点, 坐标轴沿质点轨迹的切向 ( ) 和法向 ( n ) 的二维动坐标系

3 质点运动的自然坐标描述物理量位置路程速度加速度切向加速度法向加速度 定义 质点离轨道上某固定点的沿轨道的曲线长度 : s op 运动方程 : s s() 从质点的初位置到末位置沿轨道曲线经过的路径的长度 s 大小 : 位置 s 的时间变化率 ; 方向 : 沿轨道切向, 指向前进一方 s v lm ds d 质点速度大小质点速度方向 ( 速率 ) 的时间的时间变化率, 变化率, 方向沿沿轨道法向, 指轨道切向 : 向轨道曲线凹 dv v a 侧 : a n n d 总加速度 : a a an 大小 : a a a n a 与轨道切向夹角 : acan n a 描述质点在轨道 描述质点在轨道 描述质点运动的 描述质点速 描述质点速 曲线上的位置 曲线上的位置变 快慢和方向 度大小变化的 度方向变化的 物 状态量, 与时刻 化 状态量, 与时刻 快慢, 不影响速 快慢, 不影响速 理意 对应 标量 是过程量, 与时间间隔相对应 对应 矢量 度方向 a 恒等于零 度大小 a n 恒等于零 义 标量 时质点作匀速 时质点作直线 率运动, 不恒等 运动, 不恒等于 于零时质点作 零时质点作曲 变速率运动 线运动 与时刻对应 与时刻对应 矢量 矢量 比较几组容易混淆的概念 : 几组概念的比较 概念 比较 关系 注意事项 位矢 : 位矢 描述质点某时刻的空间位与置, 是状态量 位移 不但与参考系选择有关, 还与系内参考点的选择有关 位移 : 描述质点某时间间隔内的位置变化, 是过程量 与参考系选择有关, 但与系内参考点的选择无关 位移 : 位移 从质点的初位置指向末位置与的有向线段 不涉及过程细 位移 = 末位矢 - 初位矢 = 位矢增量 若质点的初位置在坐标原点, 则二者一致 AB 不要将位移大小与位矢大小的增量混淆 注意 :, 一般情况下 注意速度是位矢的时间变化率, 不是位移的时间变化率 注意在运动过程存在有中途反向的情况时计算路程容易出错

4 路程 节 描述质点某时间内位置变化的净效果, 与轨迹无关 s AB 注意在质点曲线运动时计算路程应该沿轨道曲线积分 是矢量, 相对量, 过程量 ; 路程 s : 对于微小时间间隔或直线直进运动取等号 从质点初位置到末位置沿轨 道曲线经过的路径的长度 与 初 末位置及运动轨迹相关 是标量, 相对量, 过程量 ; 平均速度 : 速度是平均速度在时间 注意二者在过程量与状态量 平均速度 是对该时间间隔内质点运动 间隔趋向于零时的极 方面的区别 与速度 快慢和方向的粗略描述 : v 限 : d v lm d 平均速率与速率的关系与此类似 但请注意二者都是标量 请仿此自行讨论平均加速度 矢量, 过程量 与加速度的关系 速度 v : 是对质点某时刻运动快慢和 方向的精确描述 : d v d 矢量, 状态量 速度与 速度 v : 质点位矢的时间变化率 : d v lm d 由于 时 s 所以速度与速率大小相 注意二者只是大小相等, 但定义完全不同 注意二者矢量性与标量性的区别 速率 矢量, 相对量, 状态量, 速率 v : 自然坐标中质点位置的时间 等 即 v v s ds 变化率 v lm d 标量, 相对量, 状态量, 平均速度 : 由于一般情况下 注意二者大小不一定相等 平均速度与平均速率 是对该时间间隔内质点运动快慢和方向的粗略描述, v s 所以平均速度的大小一般不等于平均速率, 即 注意二者在矢量性与标量性方面的区别 矢量, 过程量, 平均速率 : v v 只是对该时间间隔内质点运 s 动快慢的粗略描述, v 标量, 过程量, 加速度 加速度 a : 描述质点速度大小和方向变 由于一般情况下 v dv dv v, d d 注意加速度是速度的时间变化率, 而切向加速度的大小只是速率的时间变化率

5 与切向加速度 dv 化的快慢 a d 切向加速度 a : 只描述质点速度大小变化的 所以总加速度与切向加速度的大小一般不等 a a a a n dv 快慢, 沿轨道切向 a d 平面曲线运动的法向加速度 一般情况 : a n v n 是轨道在该处的曲率半径 圆周运动是一般平面曲线运动 R 的特例, 注意质点在弹性绳 ( 或弹簧 ) 牵引下运动时, 不要将曲率半径与绳长混淆 与 a n 指向曲率中心 圆周运动的向心加速度 圆周运动 : v R a n 其方向恒指向圆心 圆周运动的角量描述 : 圆周运动的角量描述 物理量 角位置 角位移 角速度 角加速度 通过质点的半径与 从质点的初位置到 质点角位置的时间变化率 : 质点角速度的时间 定参考方向间的夹角 末位置, 通过质点的 d 变化率 : 大小 : lm 义运动方程 : () 半径转过的角度 d lm 方向 : 垂直于质点的运动平 面, 其指向由右手螺旋定则 d 确定 d 物理意义 描述质点在圆周上的位置 描述质点的位置变化 描述圆周运动质点绕圆心转动的快慢和方向 描述角速度变化的快慢, 二者同号加速, 二者异号减速 性质 标量, 与时刻对应 标量, 与时间间隔对应 矢量 ( 轴矢量 ), 与时刻对应 标量, 与时刻对应 与线量 s R s R v a R 的关系 v R v an R 三 主要规律运动的绝对性和描述运动的相对性运动的绝对性是指运动是物质的固有属性, 是一种客观存在, 它不需要原因 狭义地说, 牛顿第一定律揭示了在没有外力影响时, 即没有导致变化的原因时, 物体将保持原来的运动状态 ( 匀速直线运动, 或其特例 : 静止 ), 即物体位置的变化不需要原因 广义地说, 物质的运动即是物质的存在形式 如果没有了物理的 化学的, 生物的 社会的等等运动变化, 物质本身也就不复存在了 描述运动的相对性是指人类在认识物质运动和具体说明运动的细节时, 无法回避自身作为观察者的地位, 无法回避自身与所要描述的对象之间的相互关系 狭义地说, 只有以观察者所在的参考系为标准, 我们才能确定地描述物体的运动 ; 而不同参考系中的观察者与所描述的客体的关系不同, 从而对同一客体运动的具体描述可以不同 广义地说, 人类对自然界

6 的认识不可避免地要打上人类自身的烙印 运动叠加原理复杂运动可以按一定方式分解为彼此独立的简单运动, 也可以由这些彼此独立的分运动合成得来, 这就是运动叠加原理 例如 : 质点的匀速率圆周运动可以分解为 y 方向的两个简谐振动, 质点的任意曲线运动可以由沿 y z 三个方向的彼此独立的直线运动合成而来, 等等 应该注意分解复杂运动的方式往往不是唯一的 例如 : 质点的斜抛运动既可以分解为沿水平方向的匀速直线运动和沿竖直方向的上抛运动, 也可以分解为沿初速度方向的匀速直线运动和自由落体运动 显然, 恰当运用叠加原理可以使处理质点一般曲线运动的问题大大简化 运动叠加原理来自描述运动的物理量的矢量性 : 位矢 位移 速度 加速度都可以分解为沿 y z 三个方向的独立分量 一般说来, 物理量满足叠加原理的条件是该物理量遵从 n n- d y d y 线性微分方程 : p p y ( ) n n n. 那么, 若 ( ), ( ) 是方程的解, 则 d d c ) c ( ) 也是方程的解 在非线性领域, 叠加原理是不适用的 ( 四 基本计算运动学的第一类基本问题已知运动方程, 求位移 速度 加速度, 主要用微分法 例如 : () v d 微分 微分 dv d d a d d s s() v 微分 ds v 微分 dv a, an n d d () 微分 d d 微分 d d d d 运动学的第二类基本问题已知加速度 ( 或速度 ) 和初始条件 (= 时刻的位置和速度 ), 求速度和运动方程 主要用积分法 例如 : v a d 积分 v v ad 积分 d vd d 积分 d d 积分 d 求质点运动轨迹 : 建立质点运动的参数方程, 消去时间, 即得到质点的轨迹方程 ( ) y y( ) z z( ) 消去 轨道方程 关于几种常见运动形式的计算 : 请注意一般运动与其特例之间的关系

7 几种常见运动的规律运动形式主要规律变速直线运动 a v v v a v v d, d, d 匀变速直线运动 ) (,, a v v a v a v v 变速率圆周运动 d, d, d 匀变速率圆周运动 ) (,, 抛体运动 g v X g v Y v g y g v y v g v v v v g a a y y sn, sn cos an, sn, cos, sn, cos,, 射程 : 射高 : 轨道 : 有关相对运动的计算由于对物体运动的具体描述总是相对于某个参考系进行的, 描述运动的基本物理量均与参考系的选择有关, 具有相对性, 所以我们需要讨论在不同参考系中描述同一物体运动的基本物理量之间的关系, 称为变换 在低速 ( c v ) 条件下, 我们可以采用牛顿的绝对时空观念, 认为时间和空间彼此独立, 时间间隔 空间间隔的测量与参考系选择无关 这样前提下的变换称为伽利略变换, 其主要关系为 : O O O P O P O O O P O P O O O P O P v v v 速度变换 : 位移变换 : 位置变换 : 若两个参考系之间只有相对平动, 则有 O O O P O P a a a 加速度变换 : 若两个参考系相对作匀速直线运动, 则有 O P O P O O a a a : 当 即在相对作匀速直线运动的参考系中观测同一质点的运动时, 所测得的加速度相同 在运动学中, 进行参考系变换主要是为了使处理问题更为方便 这类问题可以用解析法或几何法求解 请注意正确地表示矢量, 进行矢量运算 请注意区分速度合成和速度变换 解析法 : 在所建立的坐标系中写出各矢量的解析式, 利用变换公式进行运算 几何法 : 按照矢量相加的平行四边形法则 ( 三角形法则 多边形法则 ) 画出图形, 用几何关系求解 这种方法往往比较直接和简单 速度合成与速度变换概念速度合成速度变换比较 描述同一参考系中质点的合速度与其分速度之间的关系 在任何参考系内, 均表示为矢量合成的形式 : 质点的合速度都等于各分速度的矢量和 涉及相对运动的两个参考系, 描述在不同参考系中同一质点运动速度之间的关系 其数学形式与参考系之间的相对速度有关, 只有在低速条件下, 伽利略变换才成立

8 牛顿定律及其应用学习指导 从内容上看, 牛顿定律是大家中学就熟悉的内容, 但中学讨论的问题只涉及质点 恒力 惯性系, 而本章扩展到变力 非惯性系问题 如果注意牛顿第二定律的矢量性, 能在直角坐标和自然坐标系下的用分量式表达, 同时注意到牛顿第二定律瞬时性, 和定律的微分方程形式与质点的运动状态变化的关系, 对于应用牛顿定律解决问题会有很大帮助 一 基本要求. 理解牛顿第一定律和惯性系模型的意义 ;. 掌握牛顿第二定律及其适用条件和限制, 并能熟练应用 ; 3. 理解非惯性系中的牛顿定律应用与惯性力 ; 4. 了解流体曳力与终极速率 二 重要概念惯性系 : 牛顿第一定律在其中成立的参考系, 惯性系是一个理想模型 非惯性系 : 牛顿第一定律在其中不成立的参考系, 相对于惯性系做加速运动的参考系都是非惯性系 质量 : 牛顿首先将质量概念引入物理学 牛顿将质量解释为 物质的量, 用密度和体积来量度 但这只是一种循环定义, 质量的这种解释已经被近代物理所否定 目前物理学对质量概念的认识如下 : 在万有引力定律中, 质量是物体产生和接受引力的能力强弱的量度, 称为引力质量 在牛顿第二定律中, 质量是受到外力作用时, 物体改变其运动状态的难易程度, 即惯性大小的量度 称为惯性质量 实验证明, 引力质量和惯性质量成正比, 在恰当的单位制下, 二者数值相等 所以, 它们都是表征物质的基本属性的同一物理量 质量的不同表现 爱因斯坦在狭义相对论中建立质能关系, 进一步揭示出质量是能量的载体 力 : 是物体之间的相互作用, 是物体运动状态变化 ( 产生加速度 ) 的原因 其作用效果与力的大小 方向 作用点有关 惯性力 : 在非惯心中运用牛顿定律解决问题时, 物体所受合力除了真实力外, 物体还要受到一个虚拟力即惯性力的作用 惯性力的大小等于物体质量乘以非惯性系相对于惯性系的加速度, 方向与加速度的方向相反 真实力和惯性力的比较定义效果性质真实力物体之间的相互作用 遵守牛顿第三定律 惯性系中的力学定律 : F ma 真 惯性力 为了在非惯性系中借用牛顿第二定律形式建立方程引入的虚拟力 其大小等于物体质量 m 与非惯性系相对于惯性系的加速度 a 的乘积, 方向与 a 的方向相反 : F 惯 F m a 非惯性系中的力学定律 : F真 F惯 ma 式中 a 为物体相对于非惯性系的加速度 对于非惯性系中的观察者, 惯性力具有真实的效果, 而且可以用仪器进行测量 不是物体之间真实的相互作用, 无施力物体, 也无反作用力 是非惯性系相对惯性系加速度的反映

9 三 重要规律牛顿运动定律 : 牛顿运动定律是经典力学的基本定律,687 年首次发表于 自然哲学的数学原理 在此基础上构建了具有严谨逻辑结构的经典力学体系 下给出牛顿三个定律的内容 意义和适用条件 牛顿曾经说 : 如果我看得更远, 那是因为我站在巨人的肩上 表示出牛顿的卓越成就与前人工作的联系 牛顿运动定律 定律 内容 物理意义 适用条件 牛顿第一定律 任何物体在不受外力作用时都将保持原来的静止或匀速直线运动状态 阐明物体具有惯性, 又称为惯性定律 阐明了力是改变物体运动状态的原因 定义了惯性参考系, 是牛顿力学体系存在的基础和前提 宏观惯性系 牛顿第二定律牛顿第三定律 质点所受的合力等于质点动量定量描述了力的瞬时作用效果 ( 产宏观 dp 生加速度 ); 低速 (v<< c) 的时间变化率 : F ma d 定量量度了物体平动惯性的大小 质点 分量式 : F F 或 : F ma, y d m d d y m d d z Fz m d F n ma 物体之间的作用总是相互的 作用力和反作用力等大 反向, 沿同一直线 n 惯性系 阐明力具有相互作用的特征 ; 是质 宏观 低速 点力学过渡到质点系力学的桥梁 ; 质点 并且直接导致动量守恒定律 惯性系 四 基本计算运用牛顿运动定律解题请注意这类问题在中学基础上的扩展 : 中学主要讨论质点受恒力作用的问题, 而本章扩展到 变力 问题 充分认识牛顿第二定律的矢量性, 学习建立坐标系, 列出分量形式的方程 努力掌握用微积分方法, 采用微分方程形式进行变量分析和求解, 特别是对于变力问题要设法将物理问题转化为数学问题 求解这类问题的一般步骤为 : ) 隔离物体 : 即选取研究对象, 将其从和它有联系的其它物体中隔离出来 ) 具体分析 : 分析隔离体的受力情况和运动情况, 画出受力图 3) 选定坐标 : 选取固结于惯性参考系的坐标系 4) 建立方程 : 写出隔离体的运动微分方程, 通常用分量式

10 dv F m d dv y F ma, Fy m 或 : d F n ma n dvz Fz m d 5) 求解讨论 : 求解方程, 理解和讨论结果的物理意义 利用非惯性系中的力学定律解题利用非惯性系中的力学定律解题的基本步骤同上 关键是在受力分析时, 除了分析隔离体所受的真实力以外, 还要增加惯性力 例如 : 加速平动参考系 : F惯 F ma 匀角速转动参考系 : F惯 man ( 惯性离心力 ) 运动方程为 : F F ma 式中加速度是隔离体相对于非惯性系的加速度 真 惯

11 动量动量定理动量守恒定律学习指导 仅从标题来看, 动量 动量守恒 是中学熟悉的内容, 但中学讨论的问题只涉及质点 恒力 惯性系, 而本章扩展到质点系 变力 非惯性系问题 学习本章要注意动量的矢量性, 理解冲量是力矢量对时间的累积效果, 注意动量守恒的条件 一 基本要求. 理解质点 质点系的动量概念. 理解力的冲量概念, 会计算变力的冲量 3. 掌握质点 质点系动量定理的微分形式和积分形式, 并熟练求解有关问题 4. 掌握动量守恒条件, 并熟练应用动量守恒定律求解有关问题 5. 理解质心概念, 理解质心运动定理 二 重要概念质心 : 是由质点系质量分布决定的一个几何点 在讨论质点系的整体运动时, 可以以质心为代表, 将质点系的全部质量集中于这一点, 将质点系所受到的全部外力平移到这一点, 直接简便地得出结论 质心的位矢可以由各质点位矢加权平均求出 : c m m ; 可以用以上两式的分量式表示出质心的坐标 动量 : 是描述物体 ( 质点或质点系 ) 机械运动状态的物理量, 量度物体平动运动的强弱 质点和质点系动量的定义如下表所示 c dm dm 质点和质点系的动量研究对象质点质点系 定义 质点的动量等于其质量与速 度的乘积 : p mv 质点系的动量是质点系内各质点动量的矢量和, 也等于质 点系总质量与质心速度的乘积 : p mv Mvc 力 : 是物体之间的相互作用, 是物体运动状态变化 ( 产生加速度 ) 的原因 其作用效果与力的大小 方向 作用点有关 在本章内应注意区分外力和内力的意义和效果 外力 内力 外力和内力的比较 定义 效果 相互关系 质点系外的物体对系 由牛顿第二定律 : F外 = F 外 dp d Mac 外力和内力的 统内任一质点的作用 划分具有相对 力, 都称为质点系所 式中 p 为质点系的总动量,M 为质点系的总质量 的意义 同一个 受的外力 质点系所受合外力等于质点系总动量的时间变化率 力可能对某一 质点系内各质点之间由牛顿第三定律 : F 系统为外力, 而内 = F 内 ; 的相互作用力称为质 对另一系统则 点系的内力 内力不能改变质点系整体 ( 质心 ) 的平动状态, 但能影响质点系 为内力 内各质点的运动

12 力的冲量 : 力的冲量定义物理意义效果性质 )d ( F I 描述力对时间的累积效应 改变质点或质点系的动量 对质点 : p F F I d 对质点系 : d d F I p F I 内内外外 = 注意内力的冲量不能改变质点系的总动量, 只能影响总动量在质点系内的分配 矢量过程量三 基本规律质心运动定理 : 质点系的质心的运动如同这样一个质点 : 该质点位于质点系的质心处, 集中了质点系的全部质量, 其所受到的力等于整个质点系所受全部外力的矢量和 即质心的运动只取决于质点系所受外力, 与质点系的内力无关 c Ma p F F d d 外外 = 动量定理 : 质点和质点系动量定理的微分 积分形式如下表所示 质点和质点系的动量定理质点质点系微分形式 p F I d d d p F I d d d 外外积分形式 p F F I d 分量式 z z z y y y p F I p F I p F I d d d p F I 外 d 外分量式 z z z y y y p F I p F I p F I d d d 外外外外外外物理意义质点所受合力的冲量等于质点动量的增量 质点系斯受合外力的冲量等于质点系总动量的增量 动量守恒定律 : 当质点系所受外力矢量和为零时, 质点系的总动量为恒矢量 ( 表 4.7) 应该注意动量守恒与牛顿第三定律之间的关系 : 二者虽然可以互相推证, 存在某种等价关系, 但适用条件不同 在近代物理中, 牛顿第三定律遇到两方面的困难 : 一是在微观理论中, 力的概念已经非常模糊 ; 二是在相对论中, 力的传递需要时间, 建立在 瞬时 作用基础上的牛顿第三定律失去意义 而动量的概念在近代物理中仍然重要, 动量守恒定律在微观理论和相对论中仍然得到实验事实的充分肯定 这来源于动量守恒定律与自然界空间平移对称性的内在联系 ( 见第 7 章 ) 所以, 动量守恒定律比牛顿第三定律更加重要, 它是自然界最普遍 最基本的定律之一

13 动量守恒定律 研究对象条件结论 质点系 F外 = F 外 dp d p p c 四 基本计算运用动量定理或动量守恒定律解题对于质点和质点系, 动量定理的微分形式即牛顿第二定律或质心运动定理, 这里不再赘述 下面我们只讨论运用动量定理的积分形式或动量守恒定律解题 其一般步骤为 : ) 选系统 : 即确定研究对象 对于质点系问题, 恰当地选择系统, 可以使一些未知力成为内力, 不在方程中出现 ) 选过程 : 即确定初 末状态 对于综合性问题, 可以划分为几个互相衔接的阶段处理 3) 查受力 : 对于质点系, 只分析从初态到末态过程中质点系所受外力, 而无须分析内力 4) 建坐标 : 选取恰当的惯性系, 建立坐标系 5) 列方程 : 如果不满足动量守恒条件, 应用动量定理求解 常常采用分量式 : 对质点 I I I y z F d p F d p y F d p z z y 对质点系 如果满足动量守恒条件, 应用动量守恒定律求解 常常采用分量式 : I 外 I 外 y I 外 z F F 外 F 外 y 外 z d p d p d p y z F F F y z : : : p p p y z p p p y z 当质点所受合力为零时, 质点将静止或匀速直线运动 当质点系所受合外力为零时, 质心将静止或匀速直线运动 6) 求解和讨论正确应用动量守恒定律解题应当注意以下问题 : 请注意动量守恒定律只适用于惯性系 请注意在某一过程中动量守恒, 不仅指过程始 末状态动量相等, 而且要求整个过程中任意两个瞬间系统动量的大小 方向都不变 所以动量守恒条件是系统所受合外力为零, 而不是过程中合外力的冲量为零 请注意公式中的速度应该相对于同一惯性系而言, 如果题目已知条件中的速度是相对不同参考系的, 则必须变换到同一参考系 请注意动量是状态量, 守恒定律方程中, 在等式同一端的各质点的速度应该相对于同一时刻 ( 对应于同一状态 ) 而言 请注意动量的矢量性 动量守恒包括其大小 方向均不变 对于质点系, 系统内各质点的动量可以显著变化, 但质点系总动量的大小 方向不变 ( 如爆炸问题 ) 请注意当质点系所受合外力不为零, 但合外力在某方向的分量为零时, 质点系总动量不守恒, 而总动量在该方向上的分量守恒 当质点系所受合外力不为零, 但远远小于内力时, 也可以近似使用动量守恒定律 ( 如碰撞问题 )

14 角动量学习指导 本章的概念和内容是中学没有接触的, 是教学的重点和难点 许多同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆, 例如上述两种冲击摆问题 建议采用类比方法, 对质量与转动惯量 动量与角动量 力与力矩 冲量与角冲量 平动动能和转动动能 运动学的线量和角量 动量定理和角动量定理 动量守恒和角动量守恒 一一加以比较 一 基本要求. 掌握质点 定轴转动刚体 和任意质点系的角动量的定义 ;. 理解有心力场中质点运动角动量守恒现象与多普勒行星运动定律的关系 ; 3. 理解质点系角动量中的轨道角动量和自旋角动量概念 ; 4. 理解刚体转动的角动量定理和陀螺旋进运动的原理 ; 5. 掌握角动量守恒条件并能熟练应用角动量守恒定律求解问题 二 重要概念质点 质点系 定轴刚体的角动量 : 角动量也称动量矩, 它量度物体的转动运动量, 描述物体绕参考点 ( 轴 ) 旋转倾向的强弱 下表对质点 质点系 定轴刚体的角动量进行了比较 质点 质点系和定轴刚体的角动量 研究对象 质点 质点系 定轴刚体 定义 L p L L p L L J 质点对参考点的位矢与质 mv m v 定轴转动刚体对转轴 点动量的矢积 描述质点绕参考点旋转倾物理意义向的强弱 c c c c 的转动惯量与其角速 质点系内所有质点对同一参考点的 度的乘积 角动量的矢量和 轨道角动量 : 描述质点系整体绕参考 描述刚体绕定轴转动 点的旋转运动 L轨道 c mvc 的运动量 自旋角动量 : 描述质点系内各质点对 质心的旋转运动 L m v 自旋 c c 状态量 状态量 状态量 性质 矢量 : 垂直于位矢与动量所 矢量 : 指向轨道角动量与自旋角动量 代数量 : 在轴上选定正 确定的平面, 其指向由右手 的矢量和的方向 方向, 角速度与其同向 定则确定 时, 角动量为正, 反之 为负 力矩的角冲量 ( 冲量矩 ):

15 力矩的角冲量 定义 物理意义 作用效果 性质 M 描述力矩对时间改变质点或质点系的角动量 矢量 d 的积累效应 过程量 M 外 d L 对质点 : Md L ; 对质点系 : M内 d 注意内力矩的角冲量不能改变质点系的总角动量, 只能影响总角动量在质点系内的分配 三 重要规律角动量定理 : 质点和质点系角动量定理的微分 积分形式如下表所示 请注意刚体定轴转动定律不过是质点系角动量定理在定轴方向上的分量式而已 微分形式 积分形式 物理意义 注意 质点和质点系的角动量定理 质点 质点系 定轴刚体 ( 转动定律 ) dl dl M ; Md dl M ; M 外 d dl d d Md L M d L 质点所受的合力矩等于质点角动量的时间变化率 质点所受的合力矩的角冲量等于质点角动量的增量 dl d d d z 外 M z外 J J 外 M z外 d Lz J 质点系所受的合外力矩等于质点系总角动量的时间变化率 质点系所受的合外力矩的角冲量等于质点系总角动量的增量 是矢量式 选择某个固定点为参考点, 式中的力矩和角动量均对该参考点计算 合力矩是与角动量的变化相联系, 而不是直接与角动量本身相联系 所以, 在一般情况下, 合力矩的方向与角动量的方向并不相同 力矩的瞬时作用效果是产生角加速度 刚体定轴转动的角加速度与刚体所受的对该轴的合外力矩成正比, 与刚体对该轴的转动惯量成反比 与平动问题中牛顿第二定律地位相当 是标量式 式中的力矩 角动量 转动惯量 角速度 角加速度均应对同轴而言 角动量守恒定律 : 当质点系所受对某参考点 ( 轴 ) 的合外力矩为零时, 质点系对该参考点 ( 轴 ) 的总角动量不随时间变化, 见下表 角动量守恒定律反映了空间的旋转对称性, 是自然界普遍适用的基本定律之一, 在生活 技术及科学研究中有非常广泛的应用 角动量守恒定律 研究对象 条件 结论 质点系 对某参考点 : M 外 = 对该参考点 : L =恒矢量 M 外 定轴刚体对某定轴 : M z外 M z 外 对该定轴 : L z 恒量

16 四 基本计算运用角动量定理或角动量守恒定律解题 : 因为对定轴转动的刚体, 其总动量往往并无实际意义 ( 例如定轴转动滑轮的总动量为零 ), 所以只能用角动量对其整体机械运动量进行量度 在力矩持续作用一段时间的问题中, 则用角动量定理取代平动问题中的动量定理 对于平动质点和定轴刚体组成的系统, 既可以对于系统整体运用角动量定理, 也可以分别对平动质点运用动量定理, 对定轴刚体运用角动量定理, 再用力矩表达式将二者联系起来 运用角动量定理或角动量守恒定律解题的一般步骤与运用动量定理或动量守恒定律求解平动问题类似, 只不过用角量取代相应的线量 : ) 选系统 : 即确定研究对象 ) 建坐标 : 选取惯性系, 确定参考点或转轴 3) 选过程 : 即选取一定的时间间隔, 确定系统的初 末态 对于综合性问题, 可以划分为几个互相衔接的阶段处理 4) 算力矩 : 画出对所选定的参考点或转轴力矩不为零的外力, 无须分析系统内力和对参考点或转轴力矩为零的外力 ) 列方程 : 如果不满足角动量守恒条件, 运用角动量定理列方程 : 对固定点 : M d L 对定轴 : M 外 z外 d L z 如果满足角动量守恒条件, 运用角动量守恒定律列方程 : 对固定点 : M L 恒矢量 外 对定轴 : M z外 L = 恒量 z ) 求解并讨论 : 求解方程, 理解和讨论结果的物理意义 请特别注意 : 请注意在某一过程中角动量守恒, 不仅指该过程始 末状态的角动量相等, 而且要求整个过程中任意两个瞬间系统角动量的大小 方向都不变 所以, 角动量守恒条件是系统所受的合外力矩为零, 而不是合外力矩的角冲量为零 请注意方程中的力矩 角动量均应该对同一参考点或转轴而言 在对固定点的方程中要注意其矢量性, 在对定轴的方程中要注意其正 负号 请特别注意区分系统动量守恒和角动量守恒的条件 例如, 区分下图中的两种不同的冲击摆 : 在图 (a) 中,m M 系统的动量及对 O 的角动量均守恒 而在图 (b) 中, 轴 O 对系统的约束力不能忽略, 但该约束力对 O 轴的力矩为零, 所以, 系统所受合外力不为零, 系统总动量不守恒 ; 系统所受对 O 轴的合外力矩为零, 对 O 轴的角动量守恒 (a) (b)

17 一 基本要求. 掌握刚体定轴转动的描述 ;. 理解刚体转动动能概念 ; 3. 理解转动惯量, 会进行简单计算 ; 4. 理解力矩概念, 能进行简单计算 ; 5. 掌握刚体定轴转动定律及其应用 ; 6. 理解力矩的功和刚体定轴转动动能定理 二 重要概念 刚体定轴转动学习指导 刚体的平动和定轴转动的描述 : 刚体的平动与定轴转动 运动类型 刚体平动 刚体定轴转动 特点 运动过程中, 刚体上任意两点的连线始终保持与原来平行 刚体上各点的轨迹 速度 加速度完全相同 刚体上各质点绕同一固定直线作圆周运动, 该固定直线称为转轴 刚体上各点均在垂直于转轴的平面内, 绕轴作圆周运动, 垂直于转轴的这一系列平面称为定轴刚体的转动平面 离轴距离不同的点运动半径不同, 描述运动的线量不等, 但角量相同 处理方法 可以将平动刚体视为质点, 以其上任意一点 ( 例如质心 ) 的运动代表整个刚体的运动 可以简化为研究其在某个转动平面内的运动 ; 可以用角量对定轴转动刚体的运动进行整体描述 ; 在转轴上选定正方向, 描述刚体定轴转动的角量均可用代数量表示 刚体对定轴的转动动能 : 是描述刚体定轴转动动能的物理量 E k ( m ) I 其中 I 为刚体对轴的转动惯量 注意, 刚体定轴转动动能不能表达为等效质心运动的动能 即 E k mv mv c 其中 m 为刚体总质量 对于同步转动刚体, 动能为 E k md ( m ) I 其中,d 为穿过质心的自转轴与刚体定轴的间距 ( 两轴平行 ), m 为绕自转轴的转动惯量 刚体对定轴的转动惯量 : 是描述刚体绕定轴转动时, 其转动惯性大小的物理量 定义为刚体上每个质元 ( 质点 线元 面元 体积元 ) 的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和 即 :

18 I m 或 I dm dl ds dv 线密度 面密度 体密度 I 的大小与刚体总质量 质量分布及转轴位置有关 力矩 : 力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩如下图所示 : j k 即 : M F y z ( yfz zfy ) ( zf Fz ) j ( Fy yf ) k F F F y z 大小 : M F sn F ( 力 力臂 ) 方向 : 垂直于 F, 决定的平面, 其指向由右手定则确定 对于力矩的概念应该注意明确以下问题 : 区分力对参考点的力矩和力对定轴的力矩 : 力对某轴的力矩是力对轴上任意一点的力矩在该轴上的投影 例如 : 某力对 y z 轴的力矩就是该力对原点的力矩在三个坐 轴上的投影 : M M M y z yf zf zf z F y y F z yf 由上可知 : 力对参考点的力矩是矢量, 而力对定轴的力矩是代数量 明确质点系内力矩的矢量和恒为零 : 由于内力总是成对出现, 作用力和反作用力等大 反向 在同一直线上, 所以对任何参考点内力矩的矢量和恒为零 当然, 对任意轴, 内力矩的代数和也恒为零 明确质点系的合外力矩不等于其外力矢量和的力矩 : 合外力矩为各外力对同一参考点的力矩的矢量 和, 即 : M ( F ) 由于一般情况下, 各外力的作用点的位矢各不相同, 所以不能先求合力 F F, 再求合力的力矩 但是存在特例 : 在求重力矩时, 可以把系内各质点所受重力平移到 质心 C, 先求出其合力 G m g, 再由 G 得到重力的合力矩 C 由此还可以得到 : 作用于系统的合外力为零时, 合外力矩不一定为零, 如下图 (a); 系统的合外力矩为零时, 其合外力也不一定为零, 如下图 (b) O F F (a) (b)

19 明确有心力对其力心的力矩恒为零 : 力的作用线始终通过某定点的力称为有心力 该定点称为力心 显然, 有心力对其力心的力臂为零 所以, 有心力对其力心的力矩恒为零 我们将在本章 问题讨论 中更为详尽地讨论物体在有心力作用下的运动 三 重要规律 刚体定轴转动定律 : 定轴转动刚体所受对轴的力矩等于刚体对该轴的转动惯量乘以相对于该轴的角加速度 M z 外 J 四 基本计算运用刚体定轴转动定律解题转动定律描述刚体定轴转动中的瞬时关系, 常常用来求解角加速度, 一般步骤为 : ) 隔离物体 : 即明确研究对象 ) 具体分析 : 分析所选定的定轴刚体的受力情况和运动情况, 画出受力图 3) 选定坐标 : 在惯性系中建立一维坐标, 即在转轴上选择正方向 d 4) 建立方程 : 用转动定律列出定轴刚体的运动微分方程 M z 外 J J d 要特别注意方程中的力矩 转动惯量必须对同一轴而言 还要注意此方程是标量式, 式中各量均为代数量, 与所选正方向同向的力矩和角速度为正, 反之为负 5) 求解讨论 : 求解方程, 理解和讨论结果的物理意义 请注意常常与转动定律相联系的综合性问题 : 与刚体定轴转动或质点圆周运动的运动学问题相联系 刚体定轴转动与质点平动相联系 ( 例如滑轮两边悬挂物体 ) 处理方法仍然是隔离法, 对定轴刚体用转动定律列方程, 对平动质点用牛顿第二定律列方程, 二者之间用角量与线量的关系联系起来, 求解方程组

20 功和能学习指导 本章内容中有许多是中学接触过的, 学习过程中应该特别注意其概念和方法的扩展 例如, 功的概念的扩展, 变力的功的计算, 保守力与势能的相互关系, 机械能守恒条件的一般表述, 以及划分阶段求解综合性问题等 一 基本要求. 掌握求解变力做功的方法 ;. 掌握质点和质点系动能定理及其应用 ; 3. 理解保守力与势能概念 ; 4. 掌握机械能守恒定律及其应用 ; 5. 理解势能曲线并能读懂势能曲线 ; 6. 理解能量守恒定律 二 重要概念动能 : 动能是状态量, 是对质点或系统机械运动的一种量度 在物理学历史上, 关于如何量度机械运动, 用动量还是动能? 曾经有过长达半个多世纪的激烈争论 743 年, 达伦贝尔在 动力学论 中指出 : 力既可以表示为在单位时间内的运动改变 ( 即动量 ); 又可以表示为单位距离内的运动改变 ( 即动能 ), 才使之趋于平息 这次争论的直接后果是功能概念的形成和分析力学的建立 9 世纪后期, 在能量守恒及转换定律比较明确之后, 恩格斯在 自然辩证法 中进一步分析 : 机械运动确实有两种量度,mv 是以机械运动本身来量度机械运动 ; 而 mv 是以机械运动转化 为一定量的其它形式的运动的能力来量度机械运动 质点 质点系 定轴转动刚体的动能定义及其与动量 角动量的关系如下表所示 质点 质点系的动能研究对象质点质点系 Ek mv Ek mv EkC Ek 动能定义 与动量 角动量的关系 p E k p v m E kc Mv C ; E k mv 式中 M 为质点系总质量,C 表示质心, 带 ' 号表示相对质心的速度或动能 p E k, 式中 p 为质点系总动量 M 功 : 功的定义是力与力作用点 ( 即力所作用的质点 ) 位移的标积 所以, 功是标量 由于功与位移相联系, 而位移是相对量 过程量, 所以, 一个力做的功与参考系的选择有关, 功是相对量 ; 与能量是状态量不同, 功是过程量, 是运动过程的函数 做功是能量传递的一种方式, 功是能量转换的一种量度 请注意, 在功的定义中, 力的作用点的位移是指力所作用的质点的位移 在研究对象不能视为单 个质点时, 应该注意区分力的作用点的位移 物体位移和质点位移 如下图 (a) 中所示, 恒力 F 作用于棒的一端 A, 该棒一面随其质心 O 平动, 一面绕质心转动 在图示过程中, 力的作用点的位移是 AA, 物体的位移 ( 即质心的位移 ) 是 OO, 而棒上不同位置的质点则有各自不同的位移 ( 如 BB )

21 这时, 功的定义式中的位移是指力所作用的质点的位移, 即 AA 又如下图(b), 物体在地面上滑动, 受到摩擦阻力 F, 它对物体做负功 而地面所受摩擦力为 F, 其作用点没有位移, 而只是在地面上不断转移, 所以不做功 下面具体表述在各种情况下力所做的功 : 元功 : 采用微元分析方法, 在力的作用点的一段微元位移中, 我们可以 以直代曲, 以恒代变, 得到力的元功为 : da F d F d F dy F dz 变力的功 : 用力在运动路径上的各段微元位移中的元功求和, 即力沿运动路径的线积分, 得到力在该过程中所做的功 : b b b b zb A da F d F d F dy F dz a a 恒力的功 : 作为一种特例, 恒力的功可以直接用力与位移的标积来计算 A F F cos ( 式中 θ 为力和位移正方向之间的夹角 ) a 内力的功 : 虽然由牛顿第三定律可以得到系统内力的矢量和为零, 但是内力做功的代数和不 一定为零 这是因为作用力和反作用力的作用点的位移不一定相同, 所以, 虽然一对作用力与反作 用力等大反向, 其做功却不一定等值异号, 做功的代数和不一定为零 下表对内力的特性和作用进 行了比较 内力的性质 F 内 I 内 M 内 d 性质 M 一般情况 : A 内 内 意义 系统内力矢量和恒为零 ; 内力不能改变质心的运动状态 系统内力的总冲量恒为零, 不能改变系统的总动量 系统内力对同一参考点 ( 轴 ) 的合力矩恒为零 不能改变系统的转动状态 系统内力矩的角冲量恒为零 不能改变系统的总角动量 系统内力的总功不一定为零 内力的功可以改变系统的总动能 我们用下图来说明如何计算一对内力的功 设 d 时间内, 质点 m, m j 分别发生元位移 d, d j, 两质点间的相互作用力 F j F, 它们所做的元功之和为 : da F F j j d Fj dj F d F d j j j j j d d F d j j 即两个质点间的相互作用力所做元功之和等于其中一个质点所受的力和此质点相对于另一质点的元位移的标积 由此, 两质点间相互作用力所做的总功只与二者的相对运动有关, 与二者所在的参考系无关 也就是说, 单个力做功是相对量, 与参考系选择有关, 而一对力做功是绝对量, 与参考系 j y ya z y za z

22 的选择无关 我们还可以得出 : 如果两质点之间没有相对运动, 或者它们相对运动方向与相互作用力垂直, 那么这一对相互作用力做功的总和为零, 否则, 这一对力做功的总和不为零 对于刚体, 其上任意两质点之间没有相对运动, 所以刚体内力做功之和恒为零 保守力和非保守力 : 根据力做功的不同特点, 可以把力分为两类 : 保守力和非保守力 其有关内容见下表 保守力和非保守力 种类 保守力 非保守力 定义 做功只与物体起点 终点的位置有关, 与物体所通过的路径无关的力叫做保守力 做功不但与物体起点 终点的位置有关, 还与物体所通过的路径有关的力叫做非保守力 A 或 : b F d a( 沿 L ) a( 沿 L ) F d L b F d ( 与路径无关 ); A 或 : b F d a( 沿 L ) a( 沿 L ) F d L b F d ( 与路径有关 ); 性质实例能量转换注意 当物体沿闭合路径运动一周时, 保守力对物体当物体沿闭合路径运动一周时, 非保守力对物所做的功为零 体所做的功不为零 凡保守力, 均可引入只依赖于位置的状态函对非保守力, 不可引入只依赖于位置的势函数 数 即凡保守力均有与其相关的势能 重力 万有引力 弹力 静电力 摩擦力 磁场力 四种基本相互作用都是保守力 保守力做功, 只引起动能和势能的相互转换, 非保守力做功有可能引起机械能与热能的相互不产生耗散 ( 不转变为热能 ) 转换 在非保守力中, 其做功效果引起机械能耗散 ( 转变为热能 ) 的, 又称为耗散力 摩擦力的非保守性是因为它并不直接对应于两个粒子之间的相互作用, 而是互相接触的许多对分子间电磁相互作用的宏观表现 当物体在桌面上滑动一周时, 它的宏观位置复原, 但物体内和桌面轨迹上的分子和原子并未复原 此过程中, 微观上的保守力做功不为零, 其宏观表现即摩擦力的功 凡涉及热现象的力, 宏观上都是非保守力, 这是能量转换的某种不可逆性的反映 值 即 : 势能 : 势能函数是由与其相关的保守力做功来定义的 : 保守力做功等于其相关势能增量的负 A保内 E p 而保守力等于其相关势能函数梯度 ( 势能曲线切线的斜率 ) 的负值 : E E E P P P F gad EP EP j k y z 请注意 : 只有对于存在保守内力的系统, 才可以引入与该保守内力相关的势能 势能属于系统共有 这是因为 : 第一, 势能不仅与单个物体相关, 而是取决于系统内所有物体的相对位置 第二, 势能与保守力做功相关, 而保守力是系统的内力 严格地说, 保守力做功与路径无关是指一对作用力和反作用力做功之和与路径无关 因为在讨论保守力做功的特点时, 是把系统内一个物体视为静止, 求它对另一物体的作用力所做的功, 而如前所述, 这实际上是两个物体之间的一对

23 作用和反反作用做功的的总和 例如, 在地球参参考系中, 计算物体所受重力的功, 即等于地球与与物体相互作用力力做功的总和 ( 在该参考考系中, 另一个力做功为零 ) 而且, 一对内力做功功之和是与参参考系选择无关的的 既然与路路径无关的是是保守内力做做功的总和, 当然相应的势势能也应当属属于物体系共共有 势能是相对量量 因为势能能与相关保守守力做功的关关系中定义的只是势能的增增量, 并未定定义势能的绝对大大小 只有相相对于选定的零势能点, 势能才有确定定的值 零势势点选取不同同, 系统势能的大小 正负可以以不同 原则则上, 零势点点选取是任意意的 通常根根据具体情况选取使势能表表达式具有比比较简洁形式式的零势点 系统处于稳定定平衡时, 势能曲线的斜斜率为零, 势能总是是取极小值 如右图表示示出双原子分分子的势能曲线和平平衡位置 下表表列出了重力力势能 弹性性势能 引力力势能的有关内容 重力势势能 弹性势能能和引力势能 重力势能 弹性势势能 引引力势能 表达式 E P mgh g 9.8m s s EP k k 为弹性系数 ( 准弹性系数 ), E P mm G G 6.67 m 3 kg s 零势点 h : E P 由系统本身的特特性确定 : E P : E P 势能能曲线 机械械能 : 系统统宏观意义上上的动能和势能的总和称为为系统的机械械能 : E 三 基本规律动能定理 : 质点和质点系系动能定理的的比较如下表表所示 质点 质点系的动能能定理 研究对象 质点 质点系 合力对质质点所做的功等于质点动能 质点系内所所有质点所受外外力和内力做功功的代数和等于于质 动能定理的增量 A E k 点系总动能能的增量 A 外 A内 E k E k E p 注意 力对空间间积累的效果是改变质点的动能 注意内力做做功可以改变系系统的动能 内力对时间间积累和对空间间积累的不对对称来源于做功功可以涉及机械运运动与其它运动动形式之间的能能量转换 质点动能能定理与牛顿顿第二定律的的比较如下表 :

24 质点的动能定理与牛顿第二定律比较牛顿第二定律 动能定理 区别 联系 F ma 是由实验归纳总结形成的定律 与时刻相联系, 是瞬时关系 反映物体各时刻受力及运动变化的细节 A E k 牛顿第二定律是基础, 动能定理是扩展, 是力对空间积累的效应 来自从实验定律出发的逻辑推导 与过程相联系 反映过程中做功与初 末状态动能的变化之间的关系, 不涉及过程细节 功能原理 : 质点系所受外力的功和非保守内力的功的代数和等于系统机械能的增量 下表对动能定理和功能原理进行了比较 A 外 A 非保内 E 区别 联系 动能定理和功能原理比较 动能定理 功能原理 研究对象可以是质点或质点系 研究对象只能是质点系 对质点系 : A外 A内 Ek 反映所有力 ( 外力 保守内力 非保守内力 ) 做功之和与动能增量的关系 因为没有引入势能, 不能直接反映出其它形式能量与机械能之间的相互转化 A A E 外 非保内 由于引入了势能, 不计算保守内力的功, 反映外力 非保守内力做功之和与机械能增量的关系 可以直接反映出其它形式能量与机械能之间的相互转化 功能原理是以质点系动能定理为基础, 将内力的功分为保守内力的功和非保守内力的功, 再用势能增量的负值替换保守内力的功得来 都反映功与能量转换之间的关系, 二者本质上是相同的 机械能守恒定律 : 当质点系所受外力和非保守内力做功代数和为零时, 质点系的初 末态的机械能相等 若在从初态到末态的每一个微元过程中, 外力和非保守内力所做元功代数和均为零, 则整个过程中质点系的机械能守恒 A 外 da 外 A 非保内 da 非保内 E E E de E 恒量 普遍的能量转换和守恒定律与机械能守恒定律的比较如下表所示 区别 联系 机械能守恒定律与普遍的能量守恒定律的比较 机械能守恒 能量守恒 因为涉及外力, 研究对象可以是非孤立系统 研究对象是孤立系统 揭示出动能和势能可以互相转化 揭示出各种运动形式的能量可以互相转化 是一定条件下, 局部领域的规律 是自然界最普遍的规律之一 涉及做功, 与参考系选择有关 与参考系选择无关 机械能守恒是普遍的能量转换和守恒定律在只涉及机械运动条件下的特例

25 四 基本计算应用动能定理解题 : 其思路如下 ) 确定研究对象 ; ) 选定惯性系 ; 3) 选过程, 确定初 末状态动能 ; 4) 分析受力 ( 外力 内力 ), 求出过程中各力的功 ; 5) 由动能定理列方程 : A外 A内 Ek 6) 求解并讨论 应用功能原理或机械能守恒定律解题 : 其思路如下 ) 选体系, 使保守力成为系统的内力 例如 : 有重力时应该将地球包括到体系中 ; 有弹力时应该将弹簧包括到体系中 ) 选过程, 选势能零点, 确定初 末状态机械能 ; 3) 分析受力 ( 外力 非保守内力 ), 求出过程中各力的功 ; 判断是否满足机械能守恒条件 ; 4) 由功能原理或机械能守恒定律列方程 ; 功能原理 : A 外 A 非保内 E 机械能守恒 : A A非保内 E E 外 5) 求解并讨论 求解综合性问题 : 对复杂问题常常分阶段处理 根据具体情况, 每个阶段可以选择不同的研究对象和力学定律 利用前一阶段的末状态即后一阶段的初状态将各个阶段衔接起来 常见情况如下 : 碰撞 冲击阶段往往 A, 又不知道内力的具体形式, 无法使用动能定理或功能原理, 非保内 但力作用时间短, 外力 >> 内力, 可以适当选择系统, 用动量定理 动量守恒定律或角动量定理 角动量守恒定律求解 对摆动 在曲面上滑动这类过程往往用动能定理 功能原理或机械能守恒定律求解 牛顿第二定律只应用于质点, 只处理瞬时问题 如果用于质点系, 需要用隔离法将系统内力转化为外力, 列方程组求解 而动量定理 角动量定理 动能定理可以直接用于体系, 只讨论初 末状态, 不涉及过程细节, 往往使问题简化

26 狭义相对论基础学习指导 本章主要内容为狭义相对论时空观 首先要明确狭义相对论考虑问题的出发点和思路, 掌握两条基本原理和洛伦兹变换 狭义相对论的时空观是理解狭义相对论的核心, 对比牛顿的绝对时空观, 正确理解狭义相对论的时空观, 是学习的关键 洛伦兹变换又是狭义相对论时空理论的基础 学习狭义相对论必须将物质运动和与其所依托的时空作为一个完整的客观实在来加以认识 本章重点是 : 狭义相对论的两条基本原理 ; 洛仑兹坐标变换 ;3 狭义相对论时空观 ;4 狭义相对论动力学的几个主要结论 一 基本要求. 理解爱因斯坦狭义相对论基本原理 ( 两个基本假设 ). 理解狭义相对论时空观 3. 掌握洛仑兹坐标变换, 能进行相应的计算 4. 理解同时性的相对性, 以及动钟变慢 动尺缩短等狭义相对论效应 5. 掌握狭义相对论动力学基础, 能进行质量与速度 质量与能量的相关计算 二 重要概念绝对时空观 : 即牛顿力学时空观, 与我们平常对时间 空间的认识是一致的 认为时间 空间彼此独立, 且与物质及其运动无关 同一物体不论它相对于观察者作何运动, 所测长度都是相同的 ; 任何两个事件的时间间隔不论参照系如何选择, 其测量也是相同的 时间的量度和空间的量度是彼此分离的 绝对时空观符合我们日常生活体验 相对论的时空观 : 即相对论力学时空观, 它认为时间 空间彼此关联, 这是人类对时空认识的一次飞跃 长度和时间的测量与参照系的选择有关, 且与物质及其运动有关 同时的相对性 : 在同一惯性系中存在统一的同时性, 在不同惯性系之间没有统一的同时性 一个惯性系中的同时 同地事件, 在其它惯性系中必为同时事件 ; 一个惯性系中的同时 异地事件, 在其它惯性系中必为不同时事件 即 : 同时性概念是因参考系而异的, 在一个惯性系中认为同时发 生的两个事件, 在另一惯性系中看来, 不一定同时发生 同时性具有相对性 长度收缩效应 : 长度测量与被测物体相对于观测者的运动有关 被测物体与观测者相对静止时, 长度测量值最大, 称为物体的固有长度 ( 原长 ) 被测物体与观测者有相对运动时, 在运动方向上长度测量值都有收缩效应, 其运动测量长度是原长的 /γ 即: () 在一切长度测量中原长最长 ; () 在其它惯性系中测量相对其运动的尺, 在其运动方向上, 总得到比原长小的结果 动尺缩短 动钟变慢效应 : 若在某惯性系中相继发生两个物理事件, 则相对于该惯性系静止的时钟所测出的该两事件的时间间隔称为固有时间 ( 原时 ) 而于另一运动惯性系中的钟所测出的同样上述两事件的时间间隔总是比固有时间长, 是固有时间的 γ 倍 即 : () 在一切时间测量中, 原时最短 从相对事件发生地运动的惯性系中测量出的时间总比原时长 时间膨胀 () 每个惯性系中的观测者都会认为相对自己运动的钟比自己的钟走得慢 动钟变慢 相对论效应理解时, 注意 : 动钟变慢, 这里说的 钟 是标准钟, 与其他惯性系的钟放在一起应该走得一样快 动钟变慢不是钟出了问题, 而是运动惯性系中的时间节奏变缓了 相对论效应是否显著主要在于运动速度的快慢 只有当物体以接近光速运动时, 长度收缩和时间膨胀才会显著表现出来

27 下表对物体运动不同速度列出 γ 值和米尺在此速度运动时的长度 ( 即 /γ 米 ) 其中, u c,u 是所讨论的物体运动速度,c 是真空中光速 物体以不同速度运动时的 γ 值和长度比较 速度 m/s 5.c.9c.999c c γ 长度 m 可见, 在现实生活中对于最快的速度, 如宇宙飞船速度大约为 6 m/s, 其 γ 值几乎就是 所以, 在日常生活经历中, 我们并不能感觉到相对论效应, 也就是说, 一般情况下, 研究宏观物体的低速运动时, 并不需要考虑相对论效应 三 重要规律 力学相对性原理 力学定律在一切惯性系中具有相同的数学形式 即对描述力学规律而言, 一切惯性系彼此等价 狭义相对论的基本原理 () 狭义相对性原理一切物理定律在所有的惯性系中都具有相同的数学形式 在一切惯性系中, 物理定律都具有相同的表达形式 它表明不论在哪个惯性系中做物理实验 ( 不仅仅是力学实验 ), 都不能确定该惯性系的运动状态 () 光速不变原理在任何一个惯性系中测得真空中光速都相等恒为 c, 与光源或观察者的运动无关 狭义相对论的基本原理理解时, 注意 : 狭义相对性原理与力学相对性原理基本思想一致, 适用范围不同 一切惯性系彼此等价, 并不是说人们在不同惯性系中看到的现象都一样, 是指不同惯性系中的物理规律都一样, 从而都能正确地解释所看到的现象 3 根据麦克斯韦电磁场理论和有关光速测量的实验都证实, 不论在哪个惯性系, 沿任何方向去测定真空中的光速, 结果都相同, 其大小都等于常量 c 4 光速不变原理不满足经典的速度合成定律, 即不满足伽利略速度变换 3. 洛伦兹坐标变换如图 S和 S 是两个惯性系, S 系相对于 S 系以速度 u 沿 方向作匀速直线运动 () 正变换 ( y y z z ( u u C ) ) u c

28 () 逆变换 u y y z z u c 洛伦兹变换所代表的是同一个物理事件在不同的惯性系中时空坐标的变换关系 式中表明, 时间与空间是相互联系的 (3) 洛伦兹变换与伽利略变换的关系见下表 伽利略变换只适用于低速的机械运动. 若超出力学范围, 譬如对于电磁过程, 即使在低速情况下伽利略变换也不适用 伽利略变换不适用时, 惯性系之间的变换要用洛伦兹变换来代替 3 洛伦兹变换表明, 时间与空间两者是相互联系的, 这一点与伽利略变换是不同的 4 洛伦兹变换满足对应原理, 对于机械运动的低速情况, 当 u c 时, 洛伦兹变换就退化成伽利略变换. 洛伦兹变换与伽利略变换对比变换关系伽利略变换洛仑兹变换 坐 正变换 u y y z z ( u ) y y z z u ( c ) 标变换 逆变换 u y y z z ( u ) y y z z ( u c ) 4. 相对论动力学关系下表列出了相对论动力学的主要关系与牛顿力学的比较 相对论动力学表明 : 物体质量是随速度发生变化的, 质量是能量的载体 相对论动力学与牛顿力学比较 项目 牛顿力学 狭义相对论力学 研究对象 低速物体 ( v c ) 高速物体 (v ~ c) 相对性原理 在所有惯性系中, 力学定律的数学形式不变 在所有惯性系中, 物理定律的数学形式不变 变换关系伽利略变换洛仑兹变换

29 质量 m m m v 为恒量 ( ) c 动力学结论 运动方程 动量 () 说明 : 质能公式 动能 E mc 中 E 为包含化学能 电磁能 机械能等的总能量, m 为运动质量 E m c 表示静质能, 即物体运动速度 v 时的能量 公式中 m 为静质量 3 相对论动能为, 即物体总能量与静质能之差 mv 只是动能的非相对论 形式 () 关于质能关系 : 质能关系式反映了质量是能量的载体 质量 能量不可分割, 物质具有一定质量, 也必然具有与该质量相当的能量 如果一物体的质量发生的变化, 则物体的能量也必定有相应的变化 E mc m, 这揭示了原子能 ( 核能 ) 释放的可能性 千克汽油的燃烧值为 焦耳, 而 千克汽油的静质能为 9 6 焦耳, 可见物质所包含 的化学能只占其静质能的极小部分, 约占 / 通常, 释放核能的方式为核裂变和核聚变, 目前已广泛应用的核反应为核裂变 核能利用在欧洲一些国家所占整个能源的比例超过 5%, 法国高达 78% 四 基本计算. 用洛伦兹坐标变换, 求解狭义相对论运动学问题一般步骤 : () 分析题意, 明确被研究对象和观察者所处的参照系, 确定参考系 S 系和 S 系及相对运动速率 u () 设定研究对象 ( 事件 ) 在 S 系和 S 系中的空间 时间坐标 (3) 根据题意选取恰当的坐标变换公式列出方程并计算 (4) 讨论解的物理意义 注意 : 洛伦兹坐标变换式推导前提是 S 系相对于 S 系以 u 沿 轴匀速运动, 所以, 明确被研究对象和观察者在哪一个参照系, 尤为重要 钟慢尺缩公式只是一般洛伦兹变换式的一种特例 3 分清固有时 ( 原时 ) 固有长度( 原长 ) 从测量的角度讲, 随着物体一起运动的钟所测得的时间为原时, 随着物体一起运动的尺所测得的长度为原长. 用狭义相对论动力学关系求解狭义相对论动力学问题熟记公式并理解相对论质速关系 质能关系 能量与动量的关系, 区分相应的经典物理量和规律

30 电荷与电场学习指导 本章的主要内容是对电场的认识及电场对电荷有作用力的特性描述 库仑定律是学习本章内容的基础 本章首先说明了静止点荷的周围存在一种特殊形式的物质 静电场 静止电荷间的相互作用力是借助静电场来传递的 对电场的物质概念, 只要求做一般了解, 但对静电场对电荷的作用力的相关计算要求理解和掌握 对静电场对电荷有作用力这一特性的描述, 引入了电场强度, 带电体产生的电场强度计算是本章的重点 一 基本要求 () 理解用场线描述矢量场的方法 () 从电场对电荷有力的作用方面理解电场强度的定义及物理意义, 掌握点电荷电场强度计算公式 (3) 根据叠加原理, 计算点电荷系和连续分布电荷的电场强度分布 二 重要概念 电荷电荷是物体的一种属性, 用以描述物体因带电而产生的相互作用 处于带电状态的物体称为带电体 物体带电有两种 : 分别称为正电荷和负电荷, 电荷之间同种电荷相斥, 异种电荷相吸 为了表示物体间电力作用的强弱, 需要比较带电物体所带电荷的多少, 将物体所带电荷量称为电量, 物体所带的电量不能连续地取值, 只能取一些分离值, 为质子所带电量的整数倍 电荷的这种性质称为电荷的量子化 点电荷点电荷是电学中的一个重要概念 它在电学中的地位, 与质点概念在力学中的地位相似 在理解和运用这一概念时要注意以下几点 : 掌握带电体可看作点电荷的条件 在讨论带电体之间的相互作用时, 带电体自身的线度比带电体之间的距离小得多, 或在讨论电场中某一场点的性质时, 场源带电体自身的线度比起场点到此带电体的距离小得多, 那么这些带电体可以看为点电荷 点电荷是一个宏观范围的理想模型, 面电荷 线电荷和电偶极子等都属于这类模型 每一个可视为点电荷的带电体总包含了大量的微观带电粒子 但是, 任何微观带电粒子却不一定能满足点电荷的条件而被看作点电荷 点电荷不是带有一定电量的几何点 实际上, 带有一定电量的几何点是不存在的 电场电荷周围空间伴随有电场, 电荷与电荷之间的相互作用是通过电场进行传递的 电场对电荷的作用力称为电场力 库仑力本质上是电场力 电场也是一种客观存在的物质形态, 它与分子 原子等组成的实物一样, 具有质量 能量 动量和角动量 静电场是相对观察者静止的电荷在周围空间产生的电场, 它是电磁场的一种特殊形态 电场对外表现的性质有 : 对引入电场中的电荷有作用力 ; 电荷在电场中移动时电场力做功 电场线 ( 又称电力线 ) 电场线是形象描述电场分布的一簇空间曲线 电场线上任一点的切线方向表示该点场强 E 的方向, 电场线分布的疏密程度表示该处场强的大小

31 电场强度 电场强度是定量描述电场对电荷有作用力性质的物理量 电场强度的定义式为 : E F q q 为场中某点放置的检验电荷的电量 ;F 为 q 在该点所受的电场力 ;E 为场中该点的电场强度, 它是空间矢量点函数 由实验可知 F 与 q 成正比, 因此 E 与 q 无关, 它反映了电场本身的特性 三 重要规律 电荷守恒定律电荷既不能被创造, 也不能被消灭, 电荷只能从一个物体转移到另一个物体, 或从物体的一部分转移到另一部分 在一个孤立系统中, 正负电荷的代数和保持不变, 这就是电荷守恒定律 它是物理学的基本定律之一 库仑定律库仑定律不仅是电磁学的基本定律, 也是物理学的基本定律之一 库仑定律阐明了带电体相互作用的规律, 决定了静电场的性质, 也为整个电磁学奠定了基础 库仑定律的内容是 : 真空中, 两个相对静止的点电荷之间的相互作用力的大小正比于两者电量的乘积, 反比于两者距离的平方, 方向沿两点电荷的连线, 同种电荷相斥, 异种电荷相吸 即 : q q F 3 4 库仑力和万有引力在形式上有相似之处, 但万有引力只有引力, 库仑力既有引力还有斥力, 而且, 万有引力只有当其中一个物体有巨大质量时才有明显效果, 库仑力却不同, 带电体间的库仑力是显著的 库仑定律的成立条化是 : 真空条件和静止点电荷 真空条件是为除去其它电荷的影响而提出的, 这样两个点电荷只受对方的作用, 可使问题简化 在非真空情况下, 除两个点电荷外, 还会因感应或极化产生电荷, 这些电荷间都有相互作用 于是作用在两个点电荷上的总的作用力将会很复杂 但两个点电荷间的作用力仍然遵从库仑定律 真空条件并非必要, 是可以去掉的 静止是指两点电荷相对静止, 且相对于观察者静止 ( 均在惯性系中 ) 静止条件也可适当放宽, 可以推广到静止源电荷对运动电荷的作用, 但不能推广到运动源电荷对静止或运动电荷的作用 运动电荷的相互作用是违反牛顿第三定律的 ( 尽管速度不大时, 差别很小 ), 它体现了近距作用 牛顿第三定律只适用于相互接触的物体 对于不接触的运动物体间的相互作用 ( 如心磁力 引力 ), 如果是瞬时的无需媒介的超距作用, 牛顿第三定律适用, 否则失效 但动量守恒定律在运动电荷的相互作用时仍成立, 只是需要计及场的动量 库仑定律适用的范围是指 : 距离 在什么尺度范围内, 库仑定律适用 库仑扭秤实验 电引力单摆实验 麦克斯韦示零实验 卢瑟隔 粒子散射实验及地球物理实验等大量实验表明, 库仑定律 在 3 9 ~ cm 的尺度范围内是可靠的 电力叠加原理

32 两个点电荷之间的作用力并不因第三个点电荷的存在而有所改变 当空间存在多个点电荷时, 其中某个点电荷受到来自其他点电荷的总静电力应等于所有其他点电荷单独作用的静电力的矢量和, 这一结论称为电力叠加原理 设有几个点电荷组成的点电荷系, 其中第 个点电荷 q 受到其他点电荷 ( 以 q 表示 ) 作用的总静 电力为 : F n F j j 4 n j qq j 3 j j j 表示从点电荷 q 到点电荷 q 的位移矢量 j j 库仑定律和电力叠加原理是关于静止电荷相互作用的两个基本实验定律, 应用它们原则上可以解决静电学中的全部问题 四 基本计算 电场强度计算 求电场强度的方法 积分方法求电场强度用积分方法求任意带电体的电场强度的基本思想是把带电体看作电荷元的集合 ( 电荷元可以是线元 面元或体元 ) 在电场中某点的场强为各电荷元在该点产生的场强的矢量和 积分法解题的主要步骤如下 : 将带电体分成无数的电荷元, 每一电荷元可视为点电荷, 它在空间某点产生的场强为 : dq de 3 4 由场强的叠加原理, 带电体在该点产生的场强为 : dq E de 选择适当的坐标系, 把矢量积分化为分量积分式 4 根据积分式中各变量之间的关系, 找出统一变量, 由选定的坐标系和带电体的形状确定积分限, 注意积分要遍及整个带电体 5 进行积分求得各分量 E, E, E y z 在某些情况下, 可把电荷连续分布的带电体看为由许多具有微小宽度的带电直线 ( 或圆环 ) 或者具有微小厚度的圆盘 ( 或球壳 ) 所组成 如无限大均匀的带电平面可看为无限多圆环组成, 均匀带电的直圆柱体可看为无限多圆盘所组成 这时可以分别取带电圆环和圆盘为电荷元来求出无限大带电平面周围的场强与带电圆柱体轴线上一点的场强 这样取电荷元的好处是可以把二重或三重积分化为单重积分, 使运算简化

33 高斯定理学习指导 高斯定理是描述矢量场的一种方法, 电场的高斯定理反映了电场的基本性质, 为我们求解有对称性的电场分布提供了一种简便的方法 一 基本要求 () 理解通量的概念及计算 ; () 理解高斯定理的物理内涵 ; (3) 掌握用高斯定理求解有对称性分布电场的方法 二 重要概念 电通量 设在电场中有一个曲面 S, 我们定义一个物理量 Φ, 令 : e Φe E d S S 称为通过该曲面的电场强度通量 从图像上可以将电通量 Φ 描述为穿过曲面 S 的电场线 数 e 目 上式中 ds 是曲面上的面积元 ds 的矢量表示 通过任意封闭曲面的电通量为 : Φe E d S S 关于电通量的概念有两点说明 : 电通量不是点函数, 我们只能谈及某面元或某曲面的电通量, 而不能说某点的电通量 电通量是代数量 即电通量有正 负之别 在场强一定时, 电通量的正负取决于面元 法向的选取 因此, 在计算电通量前应明确选取面元的法向 但对闭合曲面, 我们约定以向外 为面元法线正方向

34 三 重要规律 高斯定理 高斯定理是静电学中的一个重要定理, 但它不仅适用于静电荷和静电场, 也适用于运动电荷和变化的电场, 因此, 它还是电磁场的基本定理之一 高斯定理是关于闭合曲面电通量的一个定理, 它的内容是 : 在静电场中, 通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和除以, 其数学表达式为 : S E ds n q 高斯定理反映了电场和形成电场的场源电荷之间的关系 说明静电场是有源场 四 基本计算 由高斯定律求电场强度 : 用高斯定律求场强必须要根据电场的对称性, 选择适当的高斯面使场强能提到积分号外 用高斯定理求场强的主要步骤是 : 分析给定问题中电场的对称性 如电场强度分布具有球对称性 平面对称性 ( 无限大 均匀带电的平板或平面 ) 以及轴对称性 ( 无限长 均匀带电的圆柱体 圆柱面和直线等 ) 时能用高斯定理求解 选择适当的高斯面使场强 E 能提到积分号外面, 如电场具有球对称性时, 高斯面选为与带电球同心的球面 电场具有轴对称性时, 高斯面取同轴的柱面 电场具有平面对称性时, 高斯面取轴垂直于平面的柱面 3 求出高斯面所包围的净电荷 q, 代入高斯定理的表示式, 求出场强的大小 由场强的对称性确定场强的方向

35 电势学习指导 电场对电荷有作用力, 同时电荷在电场中移动时, 电场力还要对电荷做功, 对电场做功的描述引入了电势的概念, 电场的环路定理描述电场做功的基本性质 一 基本要求 () 理解电势能的概念 ; () 从电荷在电场中移动时电场力对电荷做功方面理解电势的定义及物理意义, 掌握点电荷的电势分布 (3) 根据叠加原理, 计算点电荷系和连续分布电荷的电势分布 二 重要概念 电势能 静电场的保守性意味着可以引入一个仅与点电荷在场中的位置有关的势能函数 这个势能函数称为电势能 也就是说, 电荷在电场中一定的位置处, 具有一定的势能 电场力所做的功就是电势能改变的量度, 设 W a 和 W b 分别表示检验电荷 q 在 a 点和 b 点的电势能, 我们定义 q 从 a 点移到 b 点时, 电场力所做的功等于其电势能的减少量, 即 : W a W b A ab q b a E d 电势能与重力势能相似, 是一个相对量 为了表明电荷在电场中某一点势能的大小, 必须定义参考标度, 选定电势能为零的参考点 这样 a 点的电势能为 : W a q 零势点 E d a 与重力势能相似, 电势能属于电荷 q 和静电场系统 电势 电荷 q 在电场中某点的电势能 W a 与 q 成正比, 为了直接描述某给定点 a 处的电场的性质, 把 W a 与 q 的比值, 定义为该点的电势, 即 : U a W q a 零势点 a E d 电场中某点的电势在数值上等于单位正电荷置于该点时具有的电势能, 或单位正电荷从该点经任意路径移动到零势点电场力所做的功 可见, 电势是描述电场力做功性质的物理量 该式表明了电势与电场强度之间的积分关系

36 等势面 电场中由电势相等的点所联成的曲面, 称为等势面 等势面与电场线处处正交 在等势面上移动电荷时电场力不做功 电场线方向指向电势减小方向 三 重要规律 为 : 环路定理 静电场力做功有这样的特点 : 在静电场中, 电荷 q 从 a 点经某一路径移到 b 点, 电场力做的功 A q b E d a 只与起点 a 和终点 b 的位置有关, 而与电荷移动的路径无关 反映该特性的数学表达式即为静电场的场强环路定理 : C E d 电场强度沿任意闭合路径的线积分为零, 实际上代表在闭合路径上移动单位正电荷时电场力做的功为零, 即表明静电力是保守力, 静电场是保守场 高斯定理 环路定理与库仑定律的关系 在静电学中, 高斯定理 环路定理都可由库仑定律和叠加原理导出, 反过来, 由高斯定理和环路定理结合起来也可导出库仑定律 但仅由高斯定理不能导出库仑定律 这就是说, 只有高斯定理加环路定理一起才等价于库仑定律 因此, 在静电学中, 库仑定律是最基本的定律 事实上 正如已指出的, 在静电场中, 若已知电荷分布, 根据库仑定律和叠加原理. 原则上可以唯一地确定任意点的场强, 但高斯定理却不能 因为电场是个矢量场, 若我们把它分成 纵向 横向 两部分, 高斯定理最多决定了其中一部分即纵向分量, 决定不了横向分量, 场的横向分量是由环路定理决定的 在一些电荷分布具有某种对称性的待殊情况下, 可由高斯定理计算出任一点的场强, 这种 特殊情况 实际上是指的电场的横向分量为零 只有纵向分量的情况, 当然仅由高斯定理就可唯一确定静电场的分布了 四 基本计算 求电势的方法 () 用电势的定义式求电势对有限大小的带电体, 通常选 无限远 为电势的零点, 所以有 U P P E d l 用上式求电势时应注意 : 选择适当的路径, 因为上述积分与路径无关, 我们取积分路径时, 总是设法选取使积分计算比较方便的路径 对于在积分路径上不同区域内场强的函数形式不同的情况, 积分必须分段进行 如从 P 点到 无

37 穷远 处, 矢量 从 到 R 的范围内场强为 电势 : U P R E R d E d 对能用高斯定理求场强的问题, 用这种方法求电势比较方便 E, 从 R 到 无穷远 处场强为 E, 则 P 点的 () 用积分求电势把带电体看为由许多电荷元组成的, 带电体在电场中某点产生的电势为各电荷元在该点产生的电势 du 的叠加, 即 U d U 用积分求电势的步骤和用积分求场强相同, 只是 U d U 是一个标量积分, 不用取分量式

38 静电场中的导体和电介质学习指导 电荷总是分布在物体上, 电场中总有其他物质存在, 电场与物质间有相互作用 物体按其导电能力可分为 : 导体和电介质 本章讨论了导体和电介质与电场的相互作用及他们反映出的不同特性, 介绍了静电场的能量问题, 反映出电场的物质特性 一 基本要求 () 理解静电平衡的意义和条件, 理解静电屏蔽原理 () 了解介质的极化现象及其微观解释 理解电位移矢量 D 的物理意义及介质中的高斯定理及其应用 (3) 理解电容的定义及其物理意义, 并能进行相关计算 二 重要概念 导体的静电平衡导体内部及表面上的电荷都无宏观定向运动的状态, 叫做导体的静电平衡状态 导体的静电平衡条件 : 从电场强度的角度 :() 导体内部任一点场强为零 ;() 导体表面附近任一点场强方向与表面垂直 从电势的角度 :() 导体是等势体 ;() 导体面是等势面 电介质电阻率很大 导电能力很差的绝缘体称为电介质 电介质放人电场后, 电介质中出现极化电荷 ( 束缚电荷 ), 从而影响电场的分布 电极化强度矢量 P 电极化强度矢量 P 是描述介质中某处极化强度的物理量 定义为 : P p V 其中 V 为电介质内部某一点附近的体积元 ; p 为 V 内分子电偶极矩 p 的矢量和 电位移矢量 D 为了描述有电介质存在时的电场, 引入描述电场的辅助量 D, 称为电位移矢量 定义 : D E P

39 电容电容是表征导体或导体组储电能力的物理量 它只与导体本身形状大小及周围介质有关, 与导体带电多少及是否带电无关 静电场的能量移动一个电荷, 外力需要抵抗电荷之间的静电力做功 外力做的功转换为电能而储存在电场中, 这种能量称为静电能 带电系统周围伴随有静电场 实际上, 带电系统的能量储存在整个电场空间中, 是电场的能量 单位体积内的电场能量, 即能量体密为 : w ED E D 整个电场空间的总能量为 : W V EDdV 积分对整个电场所在的空间进行 三 重要规律 电介质中的高斯定理电介质中通过任一闭合曲面的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和 S D ds n q 四 基本计算 电容的计算 : 求电容器电容的一般方法 : ) 设极板带电 Q ) 选高斯面, 求 D=?,E=? 3) 求电容器两极板间电势差 U E d l 4) 由电容定义 C Q U

40 电流电阻电动势学习指导 静电场是研究静止电荷的情况, 本章开始讨论运动的电荷, 主要研究传到电子通过金属导体形成稳定电流的相关物理问题 一 基本要求 () 理解电流强度和电流密度的概念 () 理解电动势的定义及物理意义 二 重要概念 dq 电流 : 电荷在导体中的定向运动形成电流 电流强度 定义为 : d 电流密度 : 其大小为通过面元单位面积的电流, 对正电荷, 其方向与电荷运动方向相同, 对负电荷,, 其方向与电荷运动方向相反 电动势 : 在电源内部, 单位正电荷从负极移向正极的过程中非静电力所做的功叫做电源的电动势 三 重要规律 欧姆定律 : 通过一器件的电流始终正比于加在该器件上的电势差 四 基本计算 利用欧姆定律计算电流强度 电动势 ( 电势差 ), 电阻 ; R 电路中电功率的计算 : P R

41 磁场学习指导 本章的主要内容是磁场的引入 磁场的描述及磁场对运动电荷的作用 磁感应强度是描述磁场特性的基本物理量 与电场类似, 可以引入磁力线 磁通量来形象地描述磁场 磁场对运动电荷有力的作用, 磁场对电流作用也有作用, 其基本规律 安培定律是一个实验定律 利用力的叠加原理, 原则上可以求解任意电流在外磁场中所受到的力 一 基本要求 ) 理解磁感应强度的概念 ) 理解洛伦兹力公式及其性质 ; 3) 学会分析带电粒子在均匀电场和磁场中的运动 ; 4) 了解霍尔效应 ; 5) 理解磁场对载流导线的作用规律 安培定律 二 重要概念 磁场 运动电荷除了在周围空间产生电场外, 还要产生磁场 磁场对置于其中的运动电荷有力的作用 磁感应强度 当运动电荷 q 的速度 v 垂直于磁场方向时, 运动电荷 q 所受磁场力最大, 用 F 表示, 定义磁感应强 度 B F 大小 : B, B 的方向由 F v 的方向确定 qv 磁感应线磁感应线是形象描述磁场分布的一簇空间曲线 磁感应线上任一点的切线方向表示该点磁感应强度 B 的方向, 磁感应线分布的疏密程度表示该处磁感应强度的大小 电流元电流元是一个矢量, 大小等于电流 与导线元长度 d l 的乘积, 方向沿电流正方向 磁矩 载流线圈的磁矩大小等于电流 乘以线圈平面的面积 A, 方向与线圈中的电流方向成右手螺旋关系 m An 磁力矩载流线圈在磁感应强度为 B 的均匀磁场中所受力矩称为磁力矩 M m B

42 三 重要规律 洛仑兹力磁场对运动电荷的作用力称为洛仑兹力 F q v B 安培定律电流源 d l 在磁场 B 中受磁力的实验规律, 表示为 : d F dl B 这个力称为安培力 四 基本计算. 磁场对运动电荷的作用力计算 : 洛伦兹力计算 : F q v B. 求磁场对电流的作用 (). 利用安培定律求磁场对载流导线的作用先用安培定律计算导线上任一电流元所受的作用力 d F dl B 再用力的叠加原理 F d F 求得整个导线所受之力 注意 : 如导线上各电流元所受的力 F d F 化为分量式 F df, F y d F df, F y 的方向不同时, 应选取适当的坐标系把矢量积分 z df z 进行计算 (). 求均匀磁场中载流平面线圈所受力矩的方法方法有两种 : (a) 先求出各电流元受力 d F, 由力矩的定义得电流元所受力矩, dm df, 再用积分求得整个线圈所受的力矩 M d M (b) 利用公式 M m B, 求力矩 注意 : 只有在均匀磁场中的平面线圈, 才能用此公式求线圈所受的力矩

43 电流的磁场磁介质学习指导 本章的主要内容是稳恒电流在真空中的磁场, 从内容上可分为电流的磁场和磁场与物质的作用两部分 电流激发磁场的基本规律 毕奥 -- 萨伐尔定律是学习本章内容的基础 利用毕奥 -- 萨伐尔定律和磁场的叠加原理计算典型电流的磁场是本章的重点计算内容 磁场的高斯定律和安培环路定律说明磁场是无源场和非保守力场, 这两个定律表征了磁场的基本性质, 是稳恒磁场的基本定律 学习本章时注意与静电场类比, 注意磁场与电场之间在研究方法和解题思路方面的联系和区别 学习磁介质的内容时要注意与静电场中的电介质比较 一 基本要求 ) 熟练应用毕奥 - 萨伐尔定律和磁场叠加原理求解通电导线在空间的磁场分布 ; ) 掌握直线电流, 载流圆环轴线上磁场分布的计算方法 ; 3) 掌握平行载流长直导线间的相互作用力的计算 ; 4) 理解磁场的高斯定理和安培环路定理 ; 5) 掌握用安培环路定理求解有对称性分布电流的磁场 ; 6) 了解磁介质的磁化现象, 了解顺磁质 抗磁质和铁磁质磁化的微观机制 ; 7) 了解磁场强度与磁感应强度的关系 ; 8) 理解有磁介质存在时的安培环路定理 二 重要概念 分子电流 分子中所有电子的轨道磁矩与自旋磁矩及原子核的自旋磁矩的矢量和称为分子的固有磁矩 这个磁矩可以用一个等效的圆电流来表示 这个电流称为分子电流 磁场强度为在安培环路定理中, 不出现磁化电流, 引入辅助矢量 H, 称之为磁场强度 定义 : B H 顺磁质磁化时, 介质中产生与原磁场同方向的弱附加磁场, 这种介质称为顺磁质 抗磁质磁化时, 介质中产生与原磁场方向相反的弱附加磁场, 这种介质称为抗磁质 铁磁质磁化时, 介质中产生与原磁场同方向的很强的附加磁场, 这种介质称为铁磁质 磁介质与电介质的比较见下表 磁介质与电介质的比较 电介质 磁介质 微观模型 分子电流 电偶极子 磁 ( 极 ) 化的宏观效果 出现束缚电流 出现束缚电荷

44 场量 B E 介质对场的影响 ' 束缚电流产生附加磁场 B, ' 束缚电荷产生附加电场 E, ' 总场 : B B B 总场 : E E E ' 辅助矢量 磁场强度 H B H 高斯定理 B ds 环路定理 S L 电位移矢量 D D E D S d S H dl I E dl L q 内 三 重要规律. 毕奥 -- 萨伐尔定律电流元 d l 在 P 点产生的磁场的磁感应强度为 : dl db 3 4 式中, 7 N / 4 A 为真空磁导率. 磁场的叠加原理由多个运动电荷共同激发的磁场在某点的总的磁感应强度等于各个场源电荷单独激发的磁场在该点的磁感应强度的矢量和 B B 3. 磁场的高斯定理 磁场中, 穿过任意闭合曲面 S 的磁通量等于零 S B ds 这一定理反映了磁场无源的特性 4. 安培环路定理在稳恒磁场中, 磁感应强度 B 沿任意闭合路径 L 的线积分等于该路经所包围的电流的代数和与真空磁导率的乘积 L B dl I 内 5. 磁介质中的安培环路定理 在稳恒磁场中, 磁场强度 H 沿任意闭合路径 L 的线积分等于该路经所包围的传导电流的代数 H dl L I 6. 真空中静电场和真空中稳恒磁场比较见下表 真空中静电场和真空中稳恒磁场比较静电场库仑定理 稳恒磁场安培定理

45 理论基础 qq dl dl F df 场源 静止电荷 稳恒电流 电场强度 E 磁感应强度 B 场的描述 定义 : F E F q 定义 : B qv 3 场的性质场的图示场的计算微元的场力 高斯定理 : q E ds 环路定理 : E dl S L 电场是有源 无旋场用电场线表示, 电场线其余正电荷 ( 或无限远 ) 止于负电荷 ( 或无限远 ). 典型带电体的场分布加叠加原理. 高斯定理 3. 已知电势 U 分布, 由 E gadu 求场强点电荷的电场 : dq de 3 4 电场力 : F qe 不管电荷是否运动, 均受电场力的作用 F d l B M m B F q v B 高斯定理 : B ds 环路定理 : B dl I S L 磁场是无源 涡旋场用磁感应线表示, 磁感应线是一条闭合的曲线, 无起始点. 毕奥 -- 萨伐尔定律加叠加原理. 安培环路定律电流元的磁场 : dl db 3 4 磁场力 : 安培力 F d l B 洛仑兹力 F q v B 静止电荷不受磁场力作用 四 基本计算 求稳恒电流磁场的磁感应强度的方法 () 用毕奥 -- 萨伐尔定律求磁感应强度先将载流导线分割成电流元, 任意电流元在空间某点产生的磁感应强度用 db 表示, 根据磁场的 叠加原理求得整个导线产生的磁感应强度 B d B 主要步骤如下 : (a) 用毕奥 -- 萨伐尔定律写出导线上任意电流元在空间某点产生的磁感应强度 dl db, 3 4

46 并判别其方向 ; (b) 磁场的叠加原理得出导线在空间某点产生的磁感应强度 : dl B 3 4 ( c) 选取适当的坐标系, 把矢量积分式 B d B 化为分量式 ; (d) 统一变量, 确定积分限再积分 () 利用安培环路定律求磁感应强度用安培环路定理求磁场分布时, 必须注意 : () 电流必须闭合, 这样才能形成稳恒磁场 () 要对磁场的对称性进行分析, 选择适当的闭合回路使磁感应强度 B 能从积分号 B B dl 中提出, 所选的闭合回路必须满足下列条件 : (a) 闭合回路必须通过待求点 ; (b) 回路上各点 B 的大小相等, 方向与回路上该点的切线方向一致 或者回路上一部分满足上述条件, 而其它部分的值等于零或与回路垂直, 使这部分回路上各处 B dl L

47 电磁感应学习指导 静电场和稳恒磁场的场源 ( 电荷或电流 ) 是与时间无关的, 也就是说, 静态场研究的是不随时间变化的电场与磁场, 两者之间并不存在相互作用 因而可以分别地加以研究 当场源随时间变化时, 场量将不仅是空间坐标的函数, 而且也是时间的函数 ( 时变场 ) 这时, 电场或磁场将不再彼此独立, 因此不能象以前各章中那样, 分别地讨论 而必须考虑它们之间相互影响 相互制约 互为因果的关系 静态场可以看成是电磁场的特殊表现形式, 而时变场则是一般形式的电磁场 因此对于本章的学习, 应在已经建立的静态场概念的基础上, 把握由于场源是时间的函数而引出的新概念和特定的物理现象 : 变化的电场产生磁场 ; 变化的磁场产生电场 一 基本要求 ) 了解电磁感应现象, 掌握法拉第电磁感应定律及其应用 ) 理解动生电动势和感生电动势的概念, 掌握动生电动势和感生电动势的计算方法 3) 了解自感, 互感现象, 理解自感, 互感的物理意义, 掌握自感和互感系数的计算 4) 理解磁场能量的概念和磁能密度的概念 能计算磁场的能量 二 重要概念 电源的电动势非静电力把单位正电荷从负极通过电源内部搬运到正极所作的功 Ek dl 感应电流利用磁场产生的电流称为感应电流 产生感应电流的条件是 : 在导体回路中, 磁通量随时间变化 电磁感应现象利用磁场感应出电场的现象 这种电场, 可以是磁场变化时直接产生的, 也可以是磁场的作用, 引起电荷重新分布时产生的 在闭合导体中, 才可能有持续电流 ; 在非闭合导体中, 只能有瞬时电流 ; 在没有导体时就没有电流, 但仍然有电磁感应存在 感应电动势电磁感应产生的电动势称为感应电动势 它比感应电流更能反映电磁感应的本质 感生电场变化磁场周围的空间具有一种特殊的物理性质, 带电体在该空间不动时, 仍然会受到力的作用 麦克斯韦对此作出假设 : 变化的磁场要产生一种新的场, 这种场对电荷有作用力, 这种场属于电场, 但它不是由电荷产生, 因而叫感生电场 库仑电场与感生电场的比较见下表 库仑电场与感生电场的比较库仑电场 由电荷产生 有源场, 电场线起于正电荷, 止 感生电场 由变化的磁场产生 无源场, 电场线无起点和终

48 区别 于负电荷 E 库 S ds 3 无旋场, E q 库 dl, 可以引入电 S 点 E 库 ds 3 有旋场, E 库 dl, 不能引 联系 势, 电场线不闭合入电势, 电场线总是闭合的 具有场这种物质的所有特性 对电荷有力的作用, 场强矢量的定义相同 3 在导体中, 感生电场可以引起电荷的堆积, 从而建立库仑场 涡电流大块金属体在磁场中运动或处在变化的磁场中时, 金属体内会产生感应电流, 这种感应电流在金属体内形成闭合回路, 呈涡旋状, 称为涡电流 自感现象由于导体回路中电流变化, 将引起通过回路包围面积的全磁通发生变化, 从而将在自身回路中产生感生电动势, 这种现象称为自感现象 自感系数匝数为 N 的电感器通以电流, 电流产生磁场的磁通量为, 定义自感系数为 : B N L 它与回路中的电流无关, 仅与回路的匝数 几何形状及周围介质的磁导率有关 B 互感现象由于一个通电回路中的电流变化引起邻近另一回路中产生感应电动势的现象 互感系数匝数为 N, N 的两个线圈, 线圈 通以电流, 它激发的磁场在 线圈中产生的磁通量, 定义互感系数为 : M 为 N 或 : 线圈 通以电流, 它激发的磁场在 线圈中产生的磁通量为, 定义互感系数为 : M N 其中比例系数 M M M 称之为互感系数 其值由回路的匝数 几何形状及周围介质的磁导率决定 磁能密度回路中建立电流的过程, 也是磁场建立的过程, 能量储存在磁场中 磁场单位体积储存的能量称为磁能密度 可按下式计算 : w m BH

49 三 重要规律. 法拉第电磁感应定律当通过回路所包围的面积的磁通量发生变化时, 回路中产生的感应电动势 的大小与穿过导体回 路的磁通量 Φ 的时间变化率成正比 其数学表达式为 : B dφ N d B 式中 N 为线圈的匝数 ; Φ 为穿过一匝线圈的磁通量 感应电动势的方向与回路中感应电流的方向 B 一致. 法拉第电磁感应定律反映了电与磁相互联系的一个重要方面 ( 磁可以转变为电 ), 它与库仑定律 毕奥 萨伐尔定律一齐构成了电磁场理论的三大实验基础 法拉弟电磁感应定律是在电磁场缓慢变化的条件下总结出来的, 因此它的适用范围首先是缓变场 但是它可以直接推广到迅变场, 所得结果仍然与事实符合. 楞次定律导体回路中产生的感应电流具有确定的方向, 感应电流的方向总是使它所产生的通过导体回路所包围面积的磁通量, 去阻止或补偿引起感应电流的磁通量的变化 法拉第电磁感应定律中的负号就是用来判断感应电动势的方向的, 两者是一致的 楞次定律的实质是电磁感应现象必须遵从能量守恒与转化定律 四 基本计算 一 感应电流的方向确定 首先选定感应电流 和磁通量 Φ 的正方向, 规定所选 的绕行正方向与 Φ 的正方向之间满足 右手螺旋关系 B 由选定的正方向和给定的已知条件, 判定问题中的 Φ 是正还是负, 是增加还是减少 如果问题 中的 Φ 与选定的正方向一致, 则 Φ 为正 ; 与选定方向相反, 则 Φ 为负 如果磁场 B 或导体回路所 B B 包围的面积的垂直分量 S 变大, 则 Φ 增加 ;B 或 S 变小, 则 Φ 减少 3 由 Φ B 的正负和增减, 判断 d d Φ B B B B B dφ 的正负 如果 B, 则实际的感应电流 I 的方向与选定的 d dφ 正方向相反 ; 若 B, 则实际的感应电流 I 的方向与选定的正方向相同 d B 二 用法拉第电磁感应定律求感应电动势由法拉第电磁感应定律 : dφb N 计算感应电动势的步骤为 : d 对磁通量便于计算的闭合回路, 写出回路中磁通量的表达式 Φ B, 其中必然有某一物理量 ( 磁场或回路所包围的面积 ) 是时间的函数, 再对 Φ B 求时间的微商, 即可得感应电动势

50 对于非闭合回路, 可间接运用法拉第电磁感应定律计算感应电动势 为了使 Φ 有意义, 要作辅 助线构成闭合回路 注意对动生电动势和感生电动势这两种情况, 作辅助线的原则是不同的 () 对动生电动势, 要求辅助线不随导体运动, 以免产生附加的动生电动势, 且闭合回路内磁通量便于计算 () 对感生电动势, 要求辅助线最好与感生电场方向垂直, 以免产生附加的感生电动势 以上方法用于单纯的动生或感生电动势的计算 若两种电动势同时存在, 对两种电动势必须分别计算 B 三 用电动势的定义计算感应电动势非静电力移动单位正电荷所作的功为电源的电动势 : E k dl L 感应电动势不仅存在于闭合电路中, 也可存在于非闭合电路中 甚至没有导体, 对于任何一条路径, 只要有感生电场, 就有相应的感生电动势, 感应电动势反映非静电力沿该路径移动单位正电荷能作功的大小 没有导体, 相当于有一条电阻为无穷大的电路, 而电阻的大小只影响电流, 不影响电动势 有感应电动势产生, 就一定存在某种非静电力 F 推动电荷作功 研究表明 : 磁感应强度 B 一定, K 导体运动时, 非静电力 F 就是洛仑兹力, 产生的感应电动势叫动生电动势 导体不动,B 变化时, K 非静电力 F 就是感生电场力, 产生的电动势叫感生电动势 K () 动生电动势的计算 利用洛仑兹力公式可以导出动生电动势的表达式 : v B dl 利用该公式可计算动生电动 势 步骤如下 :() 规定积分回路的正方向, 把导线分成无限多的线元 d l, d l 的方向与积分路径的正方向一致 ;() 把线元 d l 所在处的磁感应强度 B 及 d l 的运动速度 v 代入公式 v B dl, 统 一变量, 确定积分限, 然后进行积分 ;(3) 确定电动势的方向 若计算结果 则动生电动势的方向与积分路径一致, 若 则动生电动势的方向与积分路径相反 () 感生电动势的计算 根据电动势的定义, 可得感生电动势的计算公式 : E dl 这里 E 是感生电场强度 计算 L 时注意 : 只有当无限长圆柱空间的均匀磁场随时间变化时, 产生的感生电动势才能用该公式求解 对一般情况, 因空间的感生电场很难计算, 用该公式计算不出感生电动势 四 自感系数的计算 对形状不规则的回路可先用实验测出电流按已知规律变化时的自感电动势, 然后根据 d L, 求得自感系数 L d 对形状规则的回路, 先假定通以电流, 再根据毕 萨定律计算出 B, 从而得到此时回路的磁通量, 再根据 L NΦ, 求得自感系数 L B B

51 五 互感系数的计算 对形状不规则的两个回路, 可先用实验测出一个回路的电流随时间变化 ( d d ) 时, 在另一个 回路中引起的互感电动势, 然后根据 M d 求得互感系数 M d 对形状规则的两个回路, 先假定一个回路通以电流, 算出穿过另一个回路的磁通 Φ 再根据 M N 求得互感系数 M Φ

52 电磁场和电磁波学习指导 静电场 稳恒磁场是不随时间变化的, 静态电场与磁场没有相互作用 当场源 ( 电荷或电流 ) 随时间变化时, 会出现 : 变化的电场产生磁场 变化的磁场产生电场的现象 电场或磁场将不再彼此独立 麦克斯韦把静电场和稳恒磁场的规律推广到非稳恒情况, 揭示了电场与磁场之间的相互联系, 建立了统一的电磁场概念, 并且预言了电磁波的存在 一 基本要求 ) 了解涡旋电场和位移电流的概念 ; ) 理解麦克斯韦方程的积分形式及物理意义 ; 3) 了解电磁波的产生和发射的基本条件 ; 4) 了解电磁波的基本性质 ; 5) 了解电磁波的能量传播描述 波印廷矢量 二 重要概念 涡旋电场感生电场与静电场不同, 其电场线是无头无尾的闭合线, 所以感生电场又称涡旋电场 位移电流穿过曲面 S 的电位移通量的时间变化率, 即 : dφd D I d ds d S 全电流传导电流与位移电流之和 即 : I 全 I I d 传导电流与位移电流的比较见下表 传导电流与位移电流的比较 区 联 系 别 传导电流 由电荷运动产生, 与电荷宏观定向移动有关 存在于导体中, 方向始终与电场方向相同, j E 3 有热效应, 遵从焦尔 楞次定律 都可以激发磁场 都遵从安培环路定理 3 都具有相同的单位 : 安培 位移电流 由变化电场产生, 与电荷的宏观运动无关 存在于真空 介质和导体中, 方向与电场方向可以相同, 也可以相反 dd j d 3 在导体 真空中无热效应, 在介质中发热, 不遵从焦尔 楞次定律 三 重要规律. 麦克斯韦方程组

53 麦克斯韦方程组是反映电磁场性质的普遍规律, 它在电磁学中的地位, 相当于力学中的牛顿定律 由麦克斯韦方程组, 加上必要的定解条件, 原则上可以解决一切宏观电磁学问题 麦克斯韦方程组预言了电磁波的存在及其性质, 揭示了光的电磁本性, 是整个宏观电动力学的理论基础 麦克斯韦方程组的积分形式如下 : S V d dv S D S ds B S B l E d d L S S D j l H d d L S 四 基本计算电磁场的能量密度 B E w 能流密度 B E S

54 简谐振动的学习指导 本章的学习要注意描述周期运动的方法, 从动力学角度分析, 质点振动实际上仍然服从牛顿定律 ; 从运动学的角度分析, 质点振动的位置 速度和加速度都具有周期性, 运动方程就是动力学微分方程的解 特别注意理解相位概念, 以及我们是怎样用相位概念描述质点的不同运动状态的 重点理解和掌握确定质点振动方程的几个特征量及其决定条件或因素, 熟练掌握和运用旋转矢量与简谐振动的一一对应关系, 会帮助你快速方便地解决相关的问题 此外, 认真学习并掌握同方向 同频率的简谐振动的合成会对光学部分的学习大有帮助 一 基本要求. 掌握简谐振动的概念和描述简谐振动的特征量的意义. 掌握并能熟练应用旋转矢量法分析解决有关简谐振动的问题 3. 理解简谐振动的动力学特征与能量特征 4. 掌握两个同方向 同频率的简谐振动的合成 了解拍现象 5. 了解两个相互垂直 同频率的简谐振动的合成 6. 了解振动的分解与频谱分析 二 重要概念弹簧振子 : 弹簧振子是由劲度系数为 k 的轻弹簧和系于弹簧一端 质量为 m 的质点所组成的系统 它是把系统质量集中于质点 m 上, 而把系统的弹性集中于轻弹簧 k 上的一种理想模型 简谐振动 : 简谐振动有三个判据 物体所受力恒与位移成正比且反向时, 物体的运动是简谐振动 ; F k () 任何一个物理量对时间的二阶导数与其本身正比且反号时, 该物理量按简谐振动规律变化 ; d a () d 3 任何一个物理量如果是时间的余弦 ( 或正弦 ) 函数, 那么该物理量按简谐振动规律变化 Acos( ) (3) 简谐振动的特征量 : 描述简谐振动的特征量及其物理意义如下表 描述简谐振动的特征量特征量角频率 周期 T 频率 振幅 A 相位 + 初相 描述质点振动的快慢 ; 描述振动的强弱描述振动的状态 /T 表示单位时间内物理意义振动相位的变化 T, T 决定因素系统本身性质初始条件或能量初相由初始条件决定 旋转矢量 : 由原点 O 作一矢量 A, 使其以角速度 绕 O 沿逆时针方向匀速转动, 并使 A 的长度等于谐振动的振幅 A,A 的转动角速度等于谐振动的角频率, 时刻 A 与 轴正方向的夹角等于谐振动的初相, 则称 A 为旋转矢量 旋转矢量与谐振动的对应关系如下表 :

55 旋转矢量与谐振动的对应关系旋转矢量 A 谐振动符号或表达式图示模或大小振幅 A A 角速度角频率 时, A 与 轴夹角初相 O 旋转周期振动周期 T 时刻, A A 时刻与 轴夹角相位 A 在 轴上的投影位移 Acos( ) A 端点的速度 v O 在 轴速度 v Asn( ) v 上的投影 A 端点的加速度 a a 时刻 n n 在加速度 a Acos( ) 轴上的投影 O 三 重要规律简谐振动的位移 速度和加速度 : 由谐振子的运动微分方程可解得简谐振动的位移为 Acos( ) (4) 简谐振动的速度 v Asn( ) (5) 简谐振动的加速度 a Acos( ) (6) 可见, 简谐振动的位移 速度和加速度都随时间作简谐变化, 它们的时间变化曲线如下图所示 孤立谐振动系统的能量 : 可以证明, 一个孤立谐振动系统的机械能是守恒的 动能 : E k mv m A sn ( ) (7) 势能 : E p k ka cos ( ) (8) 所以, 简谐振动的机械能为 E E k E p ka 恒量 (9)

56 几种典型的简谐振动的比较 : 几种典型的简谐振动的比较 系统 振动机制 振动物理量 运动微分方程 角频率 弹簧振子 弹性力 位移 d k d m k m 单摆 重力 摆角 d g d l g l d mgh 复摆重力矩摆角 d J d 扭摆扭力矩转角 d J d q LC 电路自感电动势极板上电荷 q q d LC mgh J J LC 由上表可见, 各种简谐振动产生的机制虽然不同, 随时间振动变化的物理量各异, 但它们所遵从的数学规律是完全相同的 各种振动的角频率都只由系统本身的性质决定 因此, 研究弹簧振子的简谐运动有着重要的实际意义 简谐振动的合成 : 在实际问题中, 常常会遇到几个简谐振动的合成 ( 或叠加 ) 例如, 当两列声波同时传到空间某一点时, 该点空气质点的运动就是两个声波的合成 又如, 当两束光波在空间某点处相遇时, 该点的光强将由两束光的叠加决定 实际振动的合成是一个很复杂的问题, 本课程只研究了其中最简单的几种情形 几种不同条件下的简谐振动的合成如下表所示 几种简谐振动的合成合成条件分振动方程合成结果物理意义同频率 同合振动仍为一简谐振 A cos( ) Acos( ) 振动方向动 其和振幅与初相有两个分振动的振幅和初 A cos( ) 振幅 : A A A A A cos( ) 相决定 初相 : A sn A sn an A cos A cos 振幅 初相 合振动为非简谐振动, Acos( ) 振动方向相 而是一个振幅随时间周 Acos( ) cos( ) 同 振动频 期性变化 振动频率为 Acos( ) 率不同, 且两个分振动频率平均值振幅 : Acos[( ) / ] 有的周期振动 振幅周期性加强减弱的现象称为 载频 : ( ) 拍现象 很大调制频率 : ( ) 拍频 : ( ) 同频率 振质点合振动的轨迹 : 质点合振动的轨迹与 A cos( ) 动方向相互 的取值有关 y y 垂直 cos sn 为 的整数倍时, 合成 y A cos( ) A A A A 振动轨迹为直线 ; 为 / 的奇数倍时, 合成振动轨迹为正椭圆 ; 为其它值时, 合成振动轨迹为椭圆

57 同一直线上 n 个频率相同, 相位依次相差一个恒量 的简谐振动的合成 Acos( ) A cos sn( n / ) n A cos( ) A cos( sn( / ) n A cos[ ( n ) 振幅 : sn( n / ) A sn( / ) ) 初相 : n 合振动仍为一同频率的谐振动 其合振幅和初相由个分振动的相位差 决定 四 基本计算根据振动方程求各特征量 : 只要将振动方程化为标准形式, 在与简谐运动方程比较即可得 简谐振动的动力学判据及特征量的确定 : 从动力学角度判定简谐振动的步骤为 确定研究系统或研究对象 ; 分析受力情况, 并画出受力图 ; 3 列出牛顿运动方程或定轴转动刚体的转动方程 ; 4 若合力与位移正比反号, 则运动将是简谐的 也可从加速度或角加速度与位移或角位移的关 d 系为 : 的形式时, 可断定运动将是简谐的 d 特征量角频率 是一个由系统本身性质决定的常数, 可由系统参量直接得到 若已知初始条件或系统能量, 则系统振动的振幅为 由初始条件, 可得振动初相 v A, 或 A E / k an v ( () ) () 简谐振动初相的确定 : 求解初相的常用方法有解析法和旋转矢量法 a) 解析法 : 由已知初始条件 ( 初位置和初速度 ) 列出方程 v Acos () A sn () 先方程 () 求得, 由于 的多值性, 根据方程 () 中初始速度的正负即可确定 所在的象限 旋转矢量法 : 由已知初始条件 ( 初位置和初速度 ) 在旋转矢量图上画出对应的旋转矢量, 旋转矢量与参考方向的夹角便是所要求的初相 若已知质点振动曲线, 则可先由振动曲线确定 时刻的位移, 再根据 时刻振动曲线的斜率 ( 即质点振动速度 ) 的正负确定质点运动的方向 或通过比较 时刻与后一时刻的质点位移, 即可判定质点向参考轴正方向还是负方向运动 在据此利用上述两种方法确定振动初相 简谐振动的合成 : 通常振动合成问题有以下一些类型 : 给定分振动的振动方程, 则可用几种简谐振动的合成表中的解析法求得合振动 ; 给定各分振动, 画出合振动曲线 这种问题现在可利用计算机软件很方便地完成 例如 : 已知 cos, cos(3 ), 画出合振动曲线 利用计算机 3 软件可得合振动曲线如下图所示

58 O T O T O T 可见, 合振动不是简谐振动, 但是周期性振动, 其周期与 的周期相同 T T / 3 已知合振动振幅 某一分振动振幅和合振动与某一分振动的相位差, 求分振动振幅 相位差等 利用解析法可以解决这种问题

59 简谐波的学习指导 本章学习应首先明确波动的本质仍然是振动, 振动讨论一个质点的运动, 波动讨论空间许多点的运动 波动的传播过程是一个与时间和空间坐标都有关运动过程, 因此描述波动状态的相位因子中既有时间变量又有空间变量 认真理解波动方程 ( 波函数 ) 的建立基本步骤, 和波动方程的物理意义是进行相关计算的基础 明确波的相干条件, 掌握波叠加的本质仍然是振动的叠加, 只不过讨论的是分布于空间不同位置的许多点的叠加 一 基本要求. 掌握描述波动的基本物理量, 能根据已知质点的谐振动方程建立平面简谐波的波动方程. 掌握波动能量的传播特征及能流 能流密度概念 3. 掌握波的相干条件, 能运用相位差和波程差的概念确定相干波叠加后振幅的强弱条件 4. 理解驻波现象及形成驻波的条件 5. 了解多普勒效应 二 重要概念产生机械波的条件 : 有做机械振动的质点作为波源 ; 有能够传播机械波动的弹性介质 横波 : 波的传播方向与质点振动方向垂直的波叫做横波 只有固体能传播横波 纵波 : 波的传播方向与质点振动方向平行的拨叫做纵波, 固体 液体 气体都能传播纵波 波线和波面 : 从波源出发, 沿着波的传播方向的射线称为波线 ; 某一时刻, 介质中振动相位相同的点组成的面叫做同相面或波面 传在最前面的那个波面叫做波前 描述波动的特征量 : 描述简波动的特征量及其物理意义如下表 描述波动的特征量 特征量 周期 T 频率 波长, 角波数 k 波速 u 物理意义 描述波动的时间周期性, 介质中各质点振动频率与波源振动频率相同 描述波动的空间周期性, 它等于一个周期内振动状态所传播的距离 ; 定义角波数 k /, 表示单位距离内波的相位变化 同一波线上相位相差 的两点间的距离 描述振动状态 ( 相位 ) 在介质中传播的快慢 u T T 由波源性质决定, 并 取决于介质的性质, 即介质的弹 与波源相对于观察者 性模量和密度 决定因素 的运动状态有关 横波 : u G 拉紧的绳或弦 : u T 纵波 : u Y 液体或气体内纵波 : u B 特别注意 : 波的传播速度与质点的振动速度是两个完全不同的概念, 波速代表相位传播速度, 而不是质点的真实运动速度 波形曲线 : 某一时刻 波线上各质点的位移 Ψ 随离波源的距离 变化的曲线叫做该时刻的波形 曲线 波函数 : 以波的形式传播的任一物理量 Ψ 随时间和空间坐标变化的规律称为波函数 即 (, y, z; ) 简谐波 : 当波源的振动是简谐振动时, 它在介质中激起的波动称为简谐波 波面为平面的简谐波是最简单 最基本的一种波动

60 能量密度与平均能量密度 : 波动过程中, 介质单位体积中的能量叫做波的能量密度 能量密度在一个周期内的平均值叫做波的平均能量密度 能流与平均能流 : 波动过程中, 介质中的能量处于不断的 流动 之中, 我们形象地称之为能流 单位时间内通过介质中某个截面的平均能量叫做通过该截面的平均能流 能流密度或波的强度 : 波动过程中, 单位时间通过垂直于传播方向上单位面积的能量叫做波的能流密度或波的强度 波的叠加原理 : 当几列波相遇时, 相遇区域内每一点的振动等于各列波独立传播时在该点引起的振动的叠加 波的叠加是以质点振动的叠加为基础的, 讨论的对象是几列波相遇区域内的各个质点 波的独立传播原理 : 在传播过程中, 每列波的频率 振幅 振动方向和传播方向等特性不因其它波的存在而改变 相干条件与相干波 : 满足频率相同 振动方向相同 相位差恒定条件的简谐波称为相干波 波的干涉 : 当满足相干条件的两列波在空间相遇时, 在波相遇的区域内, 合成波在空间各点的强度不等于两分波强度之和, 波的能量 ( 振幅 ) 在空间重新分布, 形成强弱相间 周期排列的稳定分布, 这种现象称为波的干涉 驻波 : 如果两列相干波振幅相同, 在同一直线上沿相反方向传播, 会形成一种振幅 相位和能量在空间的特殊分布, 这种现象称为驻波 半波损失 : 当波由波疏介质垂直入射到波密介质界面反射时, 反射波产生一个 的相位突变, 由于相位突变 相当于波程差半个波长, 因而称这个现象为半波损失 多普勒效应 : 波源或观察者的运动会使接收到的波动频率发生变化, 与波源的振动频率不相等, 这种现象称为多普勒效应 三 重要规律平面简谐行波的波动方程的积分形式 ( 波函数 ): 设一平面简谐行波以速度 u 向前传播, 已知波线上任一点 O 的振动方程为 Acos( ) O () 以 O 为坐标原点, 波动传播方向为 轴的正方向, 建立如下图所示的坐标系 可以证明波线上坐标为 的任意一点 P 在任意时刻的位移为 O P (, ) Acos Acos( ) u Acos ( ) T Acos k Acos ( u ) ()

61 其中负号代表波向 轴正方向传播, 正号代表波向 轴负方向传播, u / T, / T, k / 波函数的物理意义由下表给出 波函数的物理意义 各种情况 方程形式 物理意义 给定坐标 给定时刻, 均为变量 ( ) Acos ( ) u ( ) Acos ( ) u (, ) Acos ( ) u 仅是时间的函数, 它表示平衡位置在 处的质点的位移随时间变化的规律, 实际上它就是该质点的振动方程 仅是位置的函数, 它表示该时刻波线上各个质点的位移随 变化的规律, 即该时刻波形曲线的方程 波函数 是时间 和位置 的函数 它表示任意位置 处质点在任意时刻 的位移是如何随, 周期性变化的 波动与振动的比较 : 振动是研究在某一固定空间平衡点附近质点位移随时间的变化规律 ; 而波动是研究同一时刻, 弹性介质沿波的传播方向上各个质点的位移随空间的分布规律 下表列出了波动与振动的比较 波动与振动的比较 振动波动 研究对象单个质点 ( 谐振子 ) 弹性介质整体 数学描述与物理意义 相位特征 研究域 二者的联系 对简谐振动 : ( ) Acos( ) 描述 时刻谐振子的位移 对平面简谐波 : ( ) Acos[ ( ) ] 描述 时刻波线上各个位置处质元的位移 振动相位 由频率 时间和 波的相位 k 由频率 时间 波数 ( 波 初相确定, 初相仅由初始位置和 长 ) 空间坐标和初相决定 同一时刻波的相位 速率决定 振动相位随时间 增 随空间传播距离 的增加而减小 特定位置处的 加而增加 振动初相与该位置坐标和波速有关 振动在时域中研究, 关心物理量 波动在空域中研究, 关心物理量随空间的分布及 随时间的变化规律 整个空间分布随时间的变化 振动是波产生的条件之一, 是振动相位的传播, 一系列有相位传播关系的振动便形 成了波 对波线上确定位置 处的质元, 波动方程退化为振动方程 u 波动曲线与振动曲线的比较 : 某一时刻的波动方程是位置的余弦函数, 振动方程是时间的余弦函数, 二者的曲线都为余弦曲线 下表列出了波动曲线与振动曲线的比较 波动曲线与振动曲线的比较比较内容振动曲线波形曲线 T A A 图形 A A 某质点位移随时间变化的规律 某时刻, 波线上各质点位移随位置的变化研究对象规律

62 物理意义 由振动曲线可以确定振幅 A 周期 T 初相 和某确定时刻的速度, 其方向参考下一时刻 由波形曲线可以确定各质点位移 波长 振幅 A 时刻的波形可确定某质点的初相, 质点振动方向参考前一质点 特征 对确定质点, 曲线形状一定 曲线随时间 向传播方向平移 波动方程的微分形式 : 对平面简谐行波分别求时间 和坐标 的两次偏导数可得平面简谐行波的微分方程 u (3) 这个方程适用于各种平面波 平面简谐行波只是它的一个特解 一般情况下, 波动方程是三维的, 由下式给出 y z u (4) 任一物理量只要满足上述形式的微分方程, 该物理量将以播动的形式在空间传播, 物理量 对时间 的两次偏导数的系数的倒数的平方根即为波传播的速率 波的能量 : 在波的传播过程中, 随波的状态传播出去的不是介质, 而是能量 可以证明, 任一时刻, 介质中任意一个体积为 d V 的质量元的动能 势能和总机械能分别为 de de k p A A sn [ ( )] dv u sn [ ( )] dv u (5) de dek de p A sn [ ( )] dv (6) u 显然, 介质元的动能和势能同步变化, 总机械能随时间和空间周期性变化 能量随时间变化说明能量不守恒, 这与孤立的弹簧振子系统是不同的, 下表给出了两者的比较 波动介质中质量元的能量与孤立谐振动质点能量的比较研究对象系统特点能量特征 与外界没有相互作用, 是一个孤立系统 孤立谐振子与介质中其它介质元有相互作用, 是一个非孤立系统 波动介质元 动能 E k ka cos ( ) 与势能 E p ka sn ( ) 的变化步调相反, 机械能守恒 动能 d E k 与势能 d A E p A sn [ ( )] dv u sn [ ( )] dv u 的变化步调相同, 机械能不守恒

63 平均能量密度 平均能流和能流密度概念的区别与联系 : 如下表所列 平均能量密度 平均能流和能流密度概念的区别与联系概念物理意义与数学表述特点平均能量密度能量密度表示单位体积中的能量 )] ( [ sn d d u A V E w 一个周期内的平均能量密度为 )]d ( [ sn A u A T w T 平均能量密度由波的振幅 角频率和介质密度决定, 是一个与时间无关的常量 平均能流单位时间内通过介质中某个截面的平均能量 S u A S wu P 平均能流取决于与波的振幅 角频率 介质密度和波速, 正比于所选的截面积 能流密度单位时间通过垂直于传播方向上单位面积的能量 u A I u A wu S P I 或能流密度取决于波的振幅 角频率 介质密度和波速, 能流的方向即为波的传播方向 波的干涉 : 两个相干波在空间叠加形成振幅和波强的空间分布, 结果列于下表中 波的干涉及其结果振动方程波强合成前波源处 : ) cos( ) cos( A A 相遇点 : ) cos( ) cos( A A 波源处 : A I A I 相遇点 : A I A I 合成后 ) / cos( ) / cos( ) / sn( ) / sn( an ] ) / ( cos[ ) cos( A A A A A A A A A A ) / ( cos I I I I I A I 合成振幅与波强相长 相消条件,,, ) ( ) ( ) / ( k k k ( 相消 ) 相长 若两波初相相同, 则,,, / ) ( ) (,,, ) ( ) ( ) / ( k k k k k k ( 相消 ) 相长或 ( 相消 ) 相长

64 驻波 : 驻波及其特征列于下表中 特征 产生驻波的条件驻波方程振幅的空间分布 相位的空间分布能量空间分布 驻波及其特征 两列相干波振幅相同, 在同一直线上沿相反方向传播 右行波 : A cos( ) 左行波 : A cos( ) A cos( ) cos( ) 对每一给定点 有恒定的振幅, 其大小随 做周期变化 : cos( A ) 波腹位置 : k ( ) ( k,,, ) 4 波节位置 : ( k ) ( ) ( k,,, ) 4 4 相邻波节或波腹间距 : 相邻节点间个质点振动相位相同, 节点两恻各质点振动相位相反 单位时间穿过任意一点的能量密度 ( 选择 ): I 驻 I 右 sn I 左 ( k) sn ( k) sn() sn k cos k 可见, 不论在波节点 cosk 还是波腹点 cosk, 都有 I 驻, 能量在节点和腹点之间来回流动, 但始终不能通过这 些节点和腹点 多普勒效应 : 当波源或观察者运动时, 会使观察者接收到的波频率发生变化的现象称为多普勒效应 各种不同情况下的多普勒效应由下表给出 各种不同情况下的多普勒效应 讨论情况 观察者接收的频率 频率变化的原因 相对介质 : 波源静止, 观察 者以 运动, u / s, w s u u s u ( ) 观察者的运动使单位时间内接收到的完整波数变化 相向运动, 频率增加, 相背运动, 频率 减小

65 相对介质 : 观察者静止, 波 源以 运动, s ( u ) / s s, 相对介质 : 观察者和波源同时运动 电磁波 : 不存在波源或观察者相对介质的速度问题, 只考虑观察者与波源的相对速度 w u u ( s u ) u ( ) u s 一般情况下, s s c c s c 时, ( ) s c 波源的运动使波源在单位时间内发出的 个完整波数分布在 u 距 s 离内, 于是波前方的波长变化, 相向运动 s, 频率增加, 相背运动 s, 频率减小 前述两种情况的综合 光源与观察者相向运动时, 接收频率大于光源频率, 称为紫移 ; 光源与观察者相背运动时, 接收频率小于光源频率, 称为红移 s 四 基本计算已知波动方程, 求波动的特征量只需将波动方程化为标准形式, 与 (, ) Acos ( ) 或其它形式的方程比较即可 u 求平面简谐行波波函数 ( 波动方程积分形式 ) 的基本步骤 根据已知条件, 选择参考点, 建立坐标系 ; 确定参考点的振动方程 ( 振幅 角频率和初相 ), 参考点不一定是坐标原点 ; 3 在波线上任选一个坐标为 的点, 根据波的传播方向, 比较该点与参考点的振动相位, 若超前, 则超前相位为 ( / u), 若滞后, 则滞后相位为 ( / u) ; 4 在参考点振动方程中的相位加上超前或滞后的相位即得 处质元的振动方程, 由于 点为波线上任意一点, 因此该振动方程即为波函数或积分形式的波动方程 常见情况 : () 已知波线上某点的振动曲线和波速, 求波函数 ; () 已知 或 时刻的波形曲线, 求波函数 两波干涉的极大 ( 相长 ) 和极小 ( 相消 ) 位置的计算 : 该类计算的关键是确定两个相干波的相位差 以及相位差与位置的关系 与驻波相关的计算 : 常见的情况为已知入射波方程, 求反射波方程, 及两波叠加形成驻波后的波节或波腹位置 注意求反射波方程时的相位突变, 即反射时的半波损失现象

66 光的干涉学习指导 当光在不同介质中传播时, 为方便计算相位差, 引入了光程或光程差概念 我们讨论的光的干涉现象为空间域的干涉, 即波动振幅或强度随空间位置的分布不随时间变化的情况 因此, 应特别注意决定波函数的相位中与位置相关的项在波的叠加中的作用, 实际上决定合成波振幅或强度的是两个相干光波的波程差或光程差 一 基本要求. 掌握光的相干性 光程 光程差的概念. 掌握获得相干光的分波阵面法和分振幅法, 及其干涉条纹分布规律与计算方法 3. 了解迈克尔孙干涉仪的原理及应用 4. 了解光的空间相干性和时间相干性 二 重要概念光矢量 : 在电磁波中能够引起人视觉的狭窄波段称为可见光 可见光也是交变的电场和磁场在空间的传播 实验证明, 引起视觉和感光作用的是其中的电场强度矢量 E (), 所 以把 E () 称为光矢量 相干光与光的干涉 : 满足波的相干条件的光称为相干光 两束相干光在空间相遇时, 相遇区域内会出现光强 ( 明暗 ) 在空间非均匀的稳定分布现象称为光的干涉 光程与光程差 : 定义光的几何路程与介质折射率的乘积为光程, 这个乘积等效与光在真空中的光程 两束光的等效真空程之差称为光程差 如果两束光的光程差为 n () n 其中 n 和 n 为两束光所经过的几何路程上介质的折射率, 如果光的几何路程上介质折射率 有变化, 则应分段计算 于是两束光的相位差可表为 () 空间相干性 : 研究表明, 光的干涉现象的发生对光源的空间范围是有一定的限制的, 只有当线度为 b 的光源所发出的波阵面上距离 d ( B / b) ( B 为波阵面到光源的距离 ) 的 两点发出的光才能产生干涉现象, 光的这一性质称为光的相干性 时间相干性与相干时间 相干长度 : 光源中原子每次发光持续的时间 称为相干时间 ; 光源的相干性受到相干时间的制约, 使得两束光满足相干条件所允许的最大光程差为波列长度 L c, L 称为相干长度 ; 光的这种性质称为光的时间相干性 入射光 三 重要规律杨氏双缝干涉 : 杨氏双缝干涉是典型的分波阵面法获得相干光的方法 杨氏双缝干涉装置如图所示, 主要结果列于下表中 D

67 杨氏双缝干涉的主要结果 d 观察屏上光强分布 I I ( cos ) 4I cos ( ), 轴垂直于双缝方向 D 明暗纹中心的位置 条纹特点 类似装置 kd d D ( k ) d ( k,,, ) ( I 4I, 明纹 ) ( k,,, ) ( I, 暗纹 ) 平行于狭缝的等亮度 等间距的明暗相间的条纹 明纹宽度为 D ; d 入射光波长一定时, 两缝间距 d 越小或屏与缝相距 D 越远, 条纹越宽 ; 两缝间距 d 和屏与缝距离 D 一定时, 用白光照射, 将产生中央为白条纹, 两边为内紫外红的光谱, 高级次条纹会发生重叠 菲涅耳双棱镜 菲涅耳双面镜 洛埃镜 薄膜干涉 : 薄膜干涉是典型的分振幅发获得相干光的方法 当波长为 单色光以入射 角 入射到处于折射率为 n 的介质中厚度为 e 折射率为 n 的介质薄膜上时, 薄膜上下两个表 面的反射光或透射光经透镜会聚后将发生干涉现象, 干涉条纹的明暗由两束光的光程差 ( 或 ) 决定, ( 或 ) e k ( k,,3, ) 明纹 n n sn (k ) ( k,,, ) 暗纹 (3) 光程差表达式中的附加光程差 / 项的存在与否, 取决于薄膜折射率与薄膜所处介质 的折射率的相互关系决定, 下表列出了几种可能的情况 薄膜干涉附加光程差的讨论 n n 反射光 透射光 n 3 n n, n n3 或 n n, n n3 n n n3 或 n n n3 有 / 项无 / 项 无 / 项有 / 项 当入射光波长 和介质折射率 n n 一定时, 光程差以及相应的干涉条纹形态由薄膜 厚度 e 和光相对于薄膜的入射角 决定 薄膜干涉的主要结果 等厚干涉 产生条件条纹特点实例 入射角 一定, 光程差随膜的厚度 e 变化 条纹形状为薄膜等厚线形状 劈尖 ( ) 牛顿环 ( )