第二章电磁场的基本规律 (2) 2.3 真空中恒定磁场的基本规律 2.4 媒质的电磁特性教师姓名 : 宗福建单位 : 山东大学微电子学院 2018 年 3 月 22 日

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姜凯楼史
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1 第二章电磁场的基本规律 (2) 2.3 真空中恒定磁场的基本规律 2.4 媒质的电磁特性教师姓名 : 宗福建单位 : 山东大学微电子学院 2018 年 3 月 22 日

2 2 本章讨论内容 2.1 电荷守恒定律 2.2 真空中静电场的基本规律 2.3 真空中恒定磁场的基本规律 2.4 媒质的电磁特性 2.5 电磁感应定律和位移电流 2.6 麦克斯韦方程组 2.7 电磁场的边界条件

3 主线 : 亥姆霍兹定理本章知识脉络电磁场的源 : 电荷电流 (2.1) 静态场静电场的散度和旋度静磁场的散度和旋度真空中 (2.2) 介质中 (2.4) 真空中 (2.3) 介质中 (2.4) 时变场时变场的散度和旋度 ( 麦克斯韦方程组 )(2.5,2.6) 边界条件 (2.7)

4 1. 电流电流的连续性方程如果电流由一种运动带电粒子构成, 设带电粒子的电荷密度为 ρ, 平均速度为 v, 则电流密度为 J v 电流连续性方程的特点 : 电荷 : 体电荷电流 : 体电流 J d S dv S V t J t 4

5 2. 库仑定律库仑定律是静电现象的基本实验定律, 它表达如下 : 真空中静止点电荷 Q 对另一个静止点电荷的 Q 作用力 F 为 : 1 QQ ' r F 2 4 r r 0 式中 r 为由 Q 到的 Q ' 径矢,ε 0 真空电容率 ( 真空介电常量 ) 5

6 3 静电场的散度和旋度 1 r E ( x) ( x) 40 r 3 dv E( x) ( x) 0 E( x) 0 6

7 7 本讲讨论内容 2.1 电荷守恒定律 2.2 真空中静电场的基本规律 2.3 真空中恒定磁场的基本规律 2.4 媒质的电磁特性 2.5 电磁感应定律和位移电流 2.6 麦克斯韦方程组 2.7 电磁场的边界条件

8 电磁学起源于 1819 年著名的奥斯特实验,1820 年 7 月发表 8

9 1820 年 9 月 18 日, 安培在法国科学院报告了他关于平行载流导线之间相互作用的研究 9

10 1820 年 10 月 30 日, 法国科学家毕奥和萨伐尔发表了载流长直导线对磁极作用反比于距离 r 的实验结果 10

11 1821 年法拉第实验, 飘动在水银中的磁体 11

12 1820 年 12 月 4 日, 安培基于四个有名的实验和一个假设, 得到电流源相互作用公式这四个实验采用的都是示零法, 设计思想十分精巧, 为物理学历史上不朽的杰作 12

13 13

14 当电流反向时, 它产生的作用力也反向 14

15 电流源具有矢量的性质 15

16 作用在电流元上的力是与它垂直的 1 弧形导体 2 绝缘柄 3 4 水银槽 16

17 所有几何线度 ( 电流源长度相互作用距离 ) 增加同一倍数时, 作用力的大小不变 17

18 两个电流源之间的相互作用力沿他们的连线电流源 1 对电流源 2 的作用力 : 2 d F I I r [ ( dl dl ) r ( dl r )( dl r )] r

两个电流源之间的相互作用力公式电流源 1 对电流源 2 的作用力 : d F 0 1 2 2 1 12 12 4 r 3 12 I I 0 1

19 两个电流源之间的相互作用力公式电流源 1 对电流源 2 的作用力 : d F r 3 12 I I I I dl ( dl r ) 1 [( dl r ) dl ( dl dl ) r ] r 19

20 两个电流源之间的相互作用力公式 d F I I r 2 3 [ ( dl dl ) ( dl r )( dl r 安培 : )] r12 r12 毕奥拉普拉斯 : d F I I I I dl ( dl r ) r12 1 [( dl2r12 ) dl1 ( dl2dl1 ) r12 ] r 20

21 电流源 I 2 dl 2 所受作用力公式 d F r l 12 1 I dl 4 I I dl ( dl r ) r l 12 1 I ( dl r ) 21

22 电流源 I 2 所受作用力公式 F r l l 12 I dl r l l I I dl ( dl r ) I ( dl r ) 22

23 实验指出, 一个电流元 Idl 在磁场中所受的力可以表示为 d F Idl B 矢量 B 描述电流元所在点上磁场的性质, 称为磁感应强度 d F I dl B

24 恒定电流激发磁场的毕奥 - 萨伐尔定律写为 B( x) 4 Id l r 3 r 24

25 对体电流情况 :Idl 应更改为 JdV 积分遍及电流分布区域 ( x ') B( x) J r dv 4 r 3 25

26 对体电流情况 : 积分遍及电流分布区域 J ( x ') r B( x) dv 4 r 3 1 r ( ( ) ) r r 3 1 J ( x ') ( ) dv 4 r 26

27 对体电流情况 : 积分遍及电流分布区域 J ( x ') r B( x) dv 4 r 3 1 ( ) J ( x ') dv 4 r 27

28 注意算符是对 x 的微分算符, 与 x 无关 ( f ) ( ) f f 1 1 J ( x ') ( ') r J x r B J ( x ') dv ' A 4 r J ( x ') dv 4 r A ' 28

29 B ( A) 0 B 0 29

30 B ( A) ( A) A 2 30

31 1 A J ( x ') dv ' 4 r ( f ) ( ) f f 1 1 J ( x ') J ( x ') r r 31

32 1 A J ( x ') dv ' 4 r 4 J 1 ( x ') dv ' r 32

33 由于, r x x' ( x x') 2 ( y y') 2 ( z z') 2 因而对 r 的函数而言, 对 x 微分与对 x' 微分仅差一负号, 因此上式可写为 1 A J ( x ') ' dv ' 4 r 33

34 1 1 1 ' ( J ( x ') ) J ( x ') ' ' J ( x ') r r r 1 A ' J ( x ') dv ' 4 r 4 1 ' J ( x ') dv ' r 34

35 1 A ' ( ') ' 4 J x dv r 1 ' J ( x ') dv ' 4 r 1 1 J ( x ') ds ' J ( x ') dv ' 4 r 4 r s V 35

36 右边第一项可以化为面积分, 由于积分区域 V 包括所有电流在内, 没有电流通过区域的界面 S, 因而这面积分为零在右边第二项中, 由恒定电流的连续性方程有 ' J(x ') = 0, 因此这积分亦等于零 A 0 36

37 再计算 J ( x ') dv ' 4 r A r J ( x ') dv ' 4 r 3 J ( x ')4 ( x x ') dv ' 4 J( x) 0 37

38 B J 0 38

39 J(x') r B( x) 0 dv ' 4 r 3 V B 0 B 0 J 39

40 B 0 J l Bdl ( B) ds s 0 s J ds 0 I 40

41 B 0 J B d l 0 l I 41

42 实践证明, B=0 在一般变化磁场下也是成立的, 而 B = μ 0 J 只在恒定情况下成立, 在一般情况下需要推广 42

43 例电流 I 均匀分布于半径为 a 的无穷长直导线内, 求空间各点的磁场强度, 并由此计算磁场的旋度 43

44 解在与导线垂直的平面上作一半径为 r 的圆, 圆心在导线轴上由对称性, 在圆周各点的磁感应强度有相同数值, 并沿圆周环绕方向当 r > a 时, 通过圆周内的总电流为 I, 用安培环路定律得 B dl 2 rb 0 I 44

45 因而 B 写成矢量式为 0 2 I r B 0 I e 2 r θ,( r a) 45

46 若 r < a, 则通过圆内的总电流为 r J r I / a r a 2 2 I 应用安培环路定律得 B dl 2 rb 0 I a 2 r 2 46

47 因而 r B 0 I e,( r a) 2 a 2 θ 47

48 因而 B Ir a I r 2 e e θ θ,( r a),( r a) 48

49 用柱坐标的公式求 B 的旋度, 当 r > a 时 B B z e r 1 r r ( rb ) e z 0 49

50 用柱坐标的公式求 B 的旋度, 当 r < a 时 I B e z 0 a 2 0 J 50

51 注意旋度概念的局域性, 即某点邻域上的磁感强度的旋度只和该点上的电流密度有关虽然对任何包围着导线的回路都有磁场环量, 但是磁场的旋度只存在于有电流分布的导线内部, 而在周围空间中的磁场是无旋的 51

52 2.3 真空中恒定磁场的基本规律安培力定律磁感应强度恒定磁场 : 由直流 ( 恒定电流 ) 产生的磁场重要特征 : 对位于磁场中的电流元有磁场力的作用安培力定律 0 I1I2dl2 ( dl1 r12) 毕奥 -拉普拉斯: d F r12 0I1I2 1 3 [( dl2r12 ) dl1 ( dl2dl1 ) r12 ] 4 r12 x 0 I2d l2 ( I1d l1 R12) F π C2 C1 R12 练习证明 : F F z o C1 C2 I dl r R 12 r I 2 y dl 2 2

53 2. 磁感应强度 B 53 根据安培力定律, 有 I dl R F I d l ( ) I d l B ( r ) 其中 : B ( r ) C π C1 R C2 12 I dl R 4π C 1 R 磁感应强度, 单位为 T( 特斯拉 ) 电流元产生的磁感应强度独立于 I 2 而存在, 称为 I 1 产生的线电流元 0 Idl db( r) 3 4π R R 0 J sds R 0 ( ) db( r) 3 db r 面电流元 4π R 体电流元 Jdv 3 4π R R

54 54 任意电流回路 C 产生的磁感应强度 0 Idl R B( r ) 3 4π C R z C r Idl R r M 面电流产生的磁感应强度 0 J S ( r) R B( r ) ds 3 4π S R x o R r r y 体电流产生的磁感应强度 0 J ( r) R B( r ) dv 3 4π V R

55 55 3. 几种典型电流分布的磁感应强度 z 载流直线段的磁感应强度 : 2 0I B e (cos1 cos 2 )( 有限长 ) 4π 0 I B e 2 π ( 无限长 ) I 1 M 载流直线段载流圆环轴线上的磁感应强度 : B(0,0, z) e z Ia ( a z ) x M z a o I 载流圆环 y

56 56 x 例计算线电流圆环轴线上任一点的磁感应强度解 : 建立一个最好的坐标系, 如图对于轴线上任意一点 P (0, Idl e Iad ' r 0, z ) 的磁场, 因为 : e a r e z 所以 P r a o 2 2 1/2 r r e zz e a, r r ( z a ) z Id l( r r) e Iad ' ( e z e a) R r Idl 载流圆环 y B z z z e Iaz 2 d ' ez Ia d ' 则 :P ( 0, 0, z ) 点的磁感应强度为 Ia e z e a 4π ( z a ) 2π 0 z ( ) d /2

57 由于 2π 2π e e 0 0 x ey d ( cos sin )d 0, 所以 Ia e a Ia B( z) d ' 4π ( z a ) 2( z a ) 2 2π 0 z 0 e /2 z 2 2 3/2 57 讨论为什么 P 点的磁场只有 z 分量? 何处磁感应强度最大? 在圆环的中心点上, 即 z = 0: 远场点的场如何?( 即 z >> a 时 ) ( z a ) z 2 2 3/2 3 B(0) e B e z z 0 2z 0I 2a Ia 3 2

58 空间存在非真空的介质时 : 电荷产生的静电场会怎样? 电流产生磁场会怎样? 58

59 空间存在非真空的介质时 : 电荷产生的静电场会怎样? 电流产生磁场会怎样? 59

60 2.4 介质的电磁性质 1. 关于介质的概念介质由分子组成分子内部有带正电的原子核和绕核运动的带负电的电子从电磁场观点来看, 介质是一个带电粒子系统, 其内部存在着不规则而又迅速变化的微观电磁场在研究宏观电磁现象时, 我们所讨论的物理量是在一个包含大数目分子的物理小体积的平均值, 称为宏观物理量 60

61 2.4 介质的电磁性质 1. 关于介质的概念介质由分子组成可分为极性分子和非极性分子极性分子 :H 2 O 非极性分子 :CO 2 61

62 2.4 介质的电磁性质由于分子是电中性的, 而且在热平衡时各分子内部的粒子运动一般没有确定的关联, 因此, 当没有外场时介质内部一般不出现宏观的电流分布, 其内部的宏观电磁场亦为零有外场时, 介质中的带电粒子受场的作用, 正负电荷发生相对位移, 有极分子 ( 原来正负电中心不重合的分子 ) 的取向以及分子电流的取向亦呈现一定的规则性, 这就是介质的极化和磁化现象 62

63 2.4 介质的电磁性质由于极化和磁化的原因, 介质内部及表面上便出现宏观的电荷电流分布, 我们把这些电荷电流分别称为束缚电荷和磁化电流这些宏观电荷电流分布反过来又激发起附加的宏观电磁场, 叠加在原来外场上而得到介质内的总电磁场介质内的宏观电磁现象就是这些电荷电流分布和原来外电磁场之间相互作用的结果 63

64 2.4 介质的电磁性质 2 介质的极化存在两类电介质 : 一类介质分子的正电中心和负电中心重合, 没有电偶极距另一类介质分子的正负电中心不重合, 有分子电偶极矩, 但是由于分子热运动的无规则性, 在物理小体积的平均电偶极距为零, 因而也没有宏观电偶极距分布在外场作用下, 前一类分子的正负电中心被拉开, 后一类介质的分子电偶极距平均有一定取向性, 因此都出现宏观电偶极距分布 64

65 2.4 介质的电磁性质 2 介质的极化宏观电偶极距分布用电极化强度矢量 P 描述, 它等于物理小体积 ΔV 内的总电偶极距与 ΔV 之比, pi P V 式中 pi 为第 i 个分子的电偶极距, 求和符号表示对 ΔV 内所有分子求和 65

66 2.4 介质的电磁性质 2 介质的极化由于极化, 分子正负电中心发生相对位移, 因而物理小体积 ΔV 内可能出现净余的正电或负电, 即出现宏观的束缚电荷分布我们现在首先要求出束缚电荷密度 ρp 和电极化强度 P 之间的关系 66

67 2.4 介质的电磁性质 2 介质的极化我们用一个简化模型来描述介质中的分子设每个分子由相距为 l 的一对正负电荷 ±q 构成, 分子电偶极距为 p = ql 如右图所示, 介质内某曲面 S 上的一个面元 ds 介质极化后, 有一些分子电偶极子跨过 ds 由图可见, 当偶极子的负电荷处于体积 l ds 内时, 同一偶极子的正电荷就穿出界面 ds 外边 67

68 2.4 介质的电磁性质 2 介质的极化设单位体积分子数为 n, 则穿出 ds 外面的正电荷为 nql ds np ds P ds 即, 介质外边界 ds 处的束缚电荷面密度为 : p P n 68

69 2.4 介质的电磁性质 2 介质的极化对包围区域 V 的闭合界面 S 积分, 则介质总表面束缚电荷为 P d S 由于介质是电中性的, 这量也等于 V 内净余的负电荷这种由于极化而出现的电荷分布称为束缚电荷以 ρp 表示束缚电荷密度, 有 pdv P d S 0 V s pdv P d S V s 69

70 2.4 介质的电磁性质 2 介质的极化即, dv d p P S V s P V P p dv 70

71 2.4 介质的电磁性质 2 介质的极化极化电荷面密度与极化强度的关系在均匀介质中, 极化电荷只出现在介质界面上 p P n 在介质 1 和介质 2 分界面上取一个面元为在分界面两侧取一定厚度的薄层, 使分界面包围在薄层内 71

72 2.4 介质的电磁性质 2 介质的极化在薄层内出现的束缚电荷与 ds 之比称为界面上的束缚电荷面密度通过薄层上侧面进入介质 2 的负电荷为 P2 ds, 由介质 1 通过薄层下侧面进入薄层的正电荷为 P1 ds 因此, 薄层内出现的净余电荷为 (P2 P1) ds 以 σp 表示束缚电荷面密度, 有 p p ds ( P P ) ds ( P P ) n 72

73 2.4 介质的电磁性质 2 介质的极化介质内的电现象包括两个方面一方面电场使介质极化而产生束缚电荷分布, 另一方面这些束缚电荷又反过来激发电场, 两者是互相制约的介质对宏观电场的作用就是通过束缚电荷激发电场 E ( ) / f p 0 73

74 2.4 介质的电磁性质 2 介质的极化在实际问题中, 自由电荷比较容易受实验条件的直接控制或观测, 而束缚电荷则不然因此, 在基本方程中消去 ρp 比较方便将 =- P 带入 p E ( )/ 得, f 0 p 0 ( EP) f 74

75 2.4 介质的电磁性质 2 介质的极化引入电位移矢量 D, 定义为 D E P 0 则, D f 75

76 2.4 介质的电磁性质 2 介质的极化实验指出, 各种介质材料有不同的电磁性能, D 和 E 的关系也有多种形式对于一般各向同性线性介质, 极化强度 P 和 E 之间有简单的线性关系 P E e 0 D E P (1 ) E E r 0 r e e 76

77 2.4 介质的电磁性质 3 介质的磁化介质分子内的电子运动构成微观分子电流, 由于分子电流取向的无规则性, 没有外场时一般不出现宏观电流分布在外磁场作用下, 分子电流出现有规则取向, 形成宏观磁化电流密度 JM 分子电流也可以用磁偶极距描述把分子电流看作载有电流的小线圈, 线圈面积为 a, 则与分子电流相应的磁矩为 m ia 77

78 2.4 介质的电磁性质 3 介质的磁化介质磁化后, 出现宏观磁偶极距分布, 用磁化强度 M 表示, 它定义为物理小体积 ΔV 内的总磁偶极距与 ΔV 之比, M mi V 78

79 2.4 介质的电磁性质 3 介质的磁化如图所示, 设 S 为介质内部的一个曲面, 其边界线为 L. 为了求出磁化电流密度, 我们计算从 S 的背面流向前面的总磁化电流 IM. 由图可见, 若分子电流被边界线 L 链环着, 这分子电流就对 IM 有贡献 79

80 2.4 介质的电磁性质 3 介质的磁化在其他情形下, 或者分子电流根本不通过 S, 或者从 S 背面流出来后再从前面流进, 所以对 IM 都没有贡献因此, 通过 S 的总磁化电流 IM 等于边界线 L 所链环着的分子数目乘上每个分子的电流 i 80

81 2.4 介质的电磁性质 3 介质的磁化图示边界线 L 上的一个线元 dl 设分子电流圈的面积为 a 由图可见, 若分子中心位于体积为 a dl 的柱体内, 则该分子电流就被 dl 所穿过因此, 若单位体积分子数为 n, 则被边界线 L 链环着的分子电流数目为 a L n dl 81

82 2.4 介质的电磁性质 3 介质的磁化此数目乘上每个分子的电流 i 即得从 S 背面流向前面的总磁化电流 I ni d n d d d M a l m l M l J S L L L m S 把线积分变为 M 的面积分, 由 S 的任意性可得微分形式 JM M 82

83 2.4 介质的电磁性质 3 介质的磁化 J M 两边取散度得, M J ( M) 0 M 这就说明磁化电流不引起电荷的积累, 不存在磁化电流的源头 83

84 2.4 介质的电磁性质 3 介质的磁化介质内的磁现象也包括两个方面, 一方面电磁场作用于介质分子上产生磁化电流和极化电流分布, 另一方面这些电流又反过来激发磁场, 两者也是互相制约的介质对宏观磁场的作用是通过诱导电流 (JM) 激发磁场 B ( ) 0 J J f M 84

85 2.4 介质的电磁性质 3 介质的磁化在实际问题中, 自由电流分布 Jf 可以直接受实验条件控制和测定, 而 JM 则不然因此, 在基本方程中消去 JM 比较方便 1 B J f J J 0 M M B ( M ) J 0 M f 85

86 2.4 介质的电磁性质 3 介质的磁化引入磁场强度 H, 定义为 H B 0 M 则, H J f 86

87 2.4 介质的电磁性质 3 介质的磁化实验指出, 对于各向同性非铁磁物质, 磁化强度 M 和 H 之间有简单的线性关系 M B M H H M B = H M = (1 ) H H r 0 r M 0 M 87

88 2.4.3 媒质的传导特性存在可以自由移动带电粒子的介质称为导电媒质在外场作用下, 导电媒质中将形成定向移动电流带电粒子晶格对于线性和各向同性导电媒质, 媒质内任一点的电流密度矢量 J 和电场强度 E 成正比, 表示为 J E 这就是欧姆定律的微分形式式中的比例系数 σ 称为媒质的电导率, 单位是 S/m( 西门子 / 米 )

89 1 磁感应强度的定义, 毕奥 - 萨伐尔定律的数学表达式, 并推导出磁感应强度的散度和旋度公式 2 安培环路定律的数学表达式, 并能灵活应用 89

90 小结 : 静电场是有源无旋场, 电介质中的基本方程为 D D ds dv S V ( 微分形式 ), ( 积分形式 ) E 0 E( r ) dl 0 C 小结 : 恒定磁场是有源无旋场, 磁介质中的基本方程为 ( 微分形式 ) H ( r ) J ( r ) B( r ) 0 ( 积分形式 ) H ( r ) d l J ( r ) ds C S B( r ) ds 0 S 90

91 介质方程 ( 媒质的本构关系 ) D E B H J E 真空中 D B E 0 H 0 91

92 教材第页 2.15, 2.16, 2.21, 2.22 补充题 : 直接给出磁感应强度 B 的比奥 - 萨伐尔定律的数学表达式, 写明其中各个符号的物理意义并推导出真空中恒定磁场的下列公式 : B( x) 0; B( x) J ( x) 0 ( x ') B( x) J r dv 4 r 3 92

93 谢谢!

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Microsoft Word - 第23讲.doc 复习 : 第二十三讲 1. 动生电动势的物理实质 : E K = v ( 洛伦兹力产生的非静电等效场 ); 感生 u 电动势的物理实质 : E k dl = ds( 产生了一个有旋无源的性质类似 S t 静磁场 u 的电场, 非保守场 ) u u 2. 磁偶极子与 p 的相似性 u u u u u τ = F = ( ) U = u u 3. (1) 轨道磁矩 μl = l = n μ 核子的磁矩

第二章电磁场的基本规律 (2) 2.3 真空中恒定磁场的基本规律 2.4 媒质的电磁特性 教师姓名 : 宗福建单位 : 山东大学微电子学院 2018 年 3 月 22 日

第二章电磁场的基本规律 (2) 2.3 真空中恒定磁场的基本规律 2.4 媒质的电磁特性教师姓名 : 宗福建单位 : 山东大学微电子学院 2018 年 3 月 22 日