Microsoft PowerPoint - 第13讲习题课

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卢霍
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1 电磁场与电磁波基础主讲 : 徐乐 8 年 4 月 9 日星期二

2 矢量分析与场论矢性函数 A = A x (t)x + A y(t)ŷ + A z (t)ẑ 运算 L[A(t)] = L[A (t)]x + L[A (t)]y+l[a ˆ (t)]zˆ x y z L 是算子符号, 代表一种运算 ( 极限导数积分 ) b= b cosθ (b c) = b 一些基本矢量运算 xˆ yˆ zˆ b= c( b) = b(c ) x y z bx by bz (b c) = ( c)b-( b)c c lexu@mil.xidin.edu.cn

3 矢量分析与场论矢端曲线 r = A () t xˆ+ A () t yˆ+ A () t zˆ x y z 矢量线 dx dy dz = = A A A x y z lexu@mil.xidin.edu.cn 3

4 矢量分析与场论数量场等值面梯度矢量场采用矢量线描述散度旋度 4

5 矢量分析与场论算子 : ( A) = ( ϕ) = 直角坐标系定义 : = x xˆ + y yˆ + z zˆ 梯度 : u u u grdu = u = xˆ+ yˆ+ zˆ x y z 矢量散度 : diva A A A A x y z x y = = + + z 标量旋度 : rota xˆ yˆ zˆ = A = x y z A A A x y z 矢量 lexu@mil.xidin.edu.cn 5

6 矢量分析与场论 r r = = r r = 3 r = rˆ f () r f () r = r = f ()ˆ r r r [ f( r) r] = r ( ) = 3 r r = r r 3 lexu@mil.xidin.edu.cn 6

7 矢量分析与场论场的基本概念 ; 标量场的梯度 ; 矢量场的散度旋度 ; 亥姆霍兹定理 ; 圆柱坐标系与球坐标系中的梯度散度和旋度. 基本要求 () 熟练掌握场的基本概念, 掌握标量场的梯度矢量场的散度和旋度的定义运算 () 了解圆柱坐标系与球坐标系中梯度散度和旋度运算. 重点难点重点 : 场的基本概念 ; 梯度散度和旋度的定义运算和物理意义难点 : 矢性微分算符亥姆霍兹定理矢量公式 lexu@mil.xidin.edu.cn 7

8 静电场库仑定律 : 分布电荷对点电荷的作用力可以统一地表示为 : q r r r r ( r ) = dq Fq region 3 4πε dq = ρ ρ s ρl ( r ) ( r ) ( r ) dv ds dl 体电荷面电荷线电荷 ε 36π 9 / F m lexu@mil.xidin.edu.cn 8

9 静电场真空中静电场的基本解可归纳为 E = ρ ε E = s E ds = Q ε E dl = E = ϕ l 静电场是一个无旋有源 ( 通量源 ) 场电荷就是静电场的源电力线总是从正电荷出发到负电荷终止 ϕ( r ) = ϕ = 4πε V ρ ε ρ( r' ) dv ' r r' lexu@mil.xidin.edu.cn 9

10 静电场介质中的场方程 D = ρ E = D = ε E+ P = ε E 边界条件 : n E = n E n D D = ρ ( ) s p D ds = Q S E dl = l ρ = P ρ Sp = P n ϕ ϕ ε ε = ρs n n ϕ ϕ = lexu@mil.xidin.edu.cn

11 静电场电容的求法 :. 假设两导体上所带电荷 q, 并根据实际情况求出电荷分布. 由电荷分布求出电场强度, 进而得出两导体电位差 = U E dl 3. 由电容定义求出电容 lexu@mil.xidin.edu.cn C = 导体系统 [ ϕ ] = [ p][ q] [ q] = [ β ][ ϕ] C q U n = β, C = β ii ij ij ij j=

12 静电场分布电荷的储能为 : 带电导体系统的能量 W W W 电容器储存的静电能 : q W e = qu = CU = C e e e = = = n i= n i= V ϕ () r dq n j= n j= p ij q q βijϕiϕ j i j w e W e = E D = V w dv e lexu@mil.xidin.edu.cn

13 静电场电荷 ; 电场强度 ; 静电场的通量与散度 ; 静电场的环量与旋度 ; 静电场的基本方程 ; 电位 ; 泊松方程和拉普拉斯方程 ; 电偶极子及其产生的场 ; 介质中的场方程 ; 静电场的边界条件 ; 静电场中的多导体系统多导体系统的部分电容 ; 静电场的能量能量密度基本要求熟练掌握静电场的基本概念静电场的基本方程边界条件掌握静电场的计算方法电场能量, 电容的求解 lexu@mil.xidin.edu.cn 3

14 恒定电流场电流密度电荷守恒定律欧姆定律焦耳定律恒定电流场的基本方程恒定电场的边界条件静电比拟法 S J ds = U = RI J ( r ) = σ E( r ) P = UI p = J E nˆ ( J J ) = V ΔI J( r) = lim nˆ ( r) ΔS ΔS dρ dρ dv J + = dt dt J ds = S E dl = l J = E = nˆ ( E E ) = lexu@mil.xidin.edu.cn 4

15 恒定电流场 5

16 恒定电流场电流和电流密度 ; 欧姆定律的微分形式焦耳定律的微分形式 ; 电流连续性方程恒定电场的散度 ; 电动势恒定电场的旋度 ; 恒定电场的基本方程 ; 恒定电场的边界条件 ; 静场比拟法基本要求熟练掌握电流的分类电流密度的定义掌握电荷守恒定律欧姆定律微分形式焦耳定律恒定电流场基本方程和边界条件重点难点重点 : 电荷守恒定律欧姆定律的微分形式焦耳定律恒定电流场的基本方程和边界条件的数学表达式及其含意难点 : 恒定电流场与静电场的比拟漏电阻计算 lexu@mil.xidin.edu.cn 6

17 恒定电流场安培定律法国物理学家安培根据实验总结的基本规律 : 真空中载流 I 的回路 C 给载流 I 的回路 C 的作用力为 : C Idl R Idl C μ 7 = 4π / H m F μ r r = I dl ( I dl R) 3 4π C C R lexu@mil.xidin.edu.cn 7

18 恒定电流场真空中的恒定磁场场方程矢量磁位磁通连续性方程 Br () = 程 B ds = S () l B = A () Jr () 安 Br = μ Br dl = μ I A = A μ = 4π V A = μ J R J 安培环路定律dV 库伦规范 lexu@mil.xidin.edu.cn 8

19 恒定电流场磁介质中恒定磁场的基本方程 : H = J 微分形式 B = 积分形式本构方程恒定磁场的边界条件 C S B H dl = J ds S B ds = = μh nˆ ( B B ) = Jm = M J = M nˆ lexu@mil.xidin.edu.cn 9 H B = M μ ms n H H J ˆ ( ) = S

20 恒定电流场无电流源区域的磁标位 H = ϕ m ϕ m ϕ m = IΩ = IΩ Br () = μ ( ) = μ ϕ 4π m 4π lexu@mil.xidin.edu.cn

21 恒定电流场电感自感 : 互感 : 诺埃曼 (Neumnn) 公式磁场能量 W m M L 磁场能量密度 = ψ I ψ = I = J AdV V W m 4π C C lexu@mil.xidin.edu.cn M μ = dl dl R = H BdV W = LI V w m = B H

22 恒定电流场磁感应强度 ; 磁通的连续性原理磁场的散度 ; 安培环路定律磁场的旋度 ; 恒定磁场的基本方程 ; 矢量磁位 ; 矢量泊松方程 ; 磁偶极子及其产生的场 ; 磁介质中的场方程 ; 磁场的边界条件 ; 标量磁位 ; 互感和自感 ; 恒定磁场的能量能量密度基本要求熟练掌握磁通的连续性原理安培环路定律恒定磁场的基本方程矢量磁位和磁场的边界条件掌握电流分布已知时磁感应强度和磁场强度的计算, 矢量泊松方程和磁偶极子及其产生的场, 标量磁位互感和自感磁场能量能量密度的概念和求解 lexu@mil.xidin.edu.cn

23 3

24 平面镜像法静态场的解 4

25 静态场的解球面镜像法 q q q d d b b = d q' = d q q q q q d d b q =-q lexu@mil.xidin.edu.cn 5

26 静态场的解柱面镜像法 d ρ l x ( x+ d) + y ( x d) + y m, m = y x = md m + R, x = d, = m m y ρl nm πε lexu@mil.xidin.edu.cn 6 ϕ =

27 静态场的解介质平面镜像法 r Region ε y d q Region x ε ε q' = q ε + ε ε q' ' = q ε + ε q d r Region y ε r q d Region x y ϕ ε n = ε ϕ n ε ε d q x ϕ ϕ = lexu@mil.xidin.edu.cn 7

28 静态场的解分离变量法的大致步骤 : Step: 将偏微分方程的定解问题通过分离变量法转化为常微分方程的定解问题 ; Step: 确定特征值, 利用部分边界条件确定特征函数 ; Step3: 与其它常微方程的解相乘得到包含有任意常数的一般解形式 :φ n (x,y) Step4: 叠加所有的 φ n (x,y) 形成级数形式, 利用剩余的边界条件把已知函数展开成特征函数项级数, 从而确定一系列未知常数, 进而得到通解形式. lexu@mil.xidin.edu.cn 8

29 静态场的解边值问题的分类 ; 唯一性定理 ; 导体平面导体球面导体柱面镜像法 ; 直角坐标系中的分离变量法基本要求熟练掌握边值问题的分类唯一性定理镜像法分离变量法有限差分法重点难点重点 : 镜像法分离变量法难点 : 直角坐标系中的分离变量法 lexu@mil.xidin.edu.cn 9

30 3

31 3

32 3

33 习题课指导 33

34 34

35 习题课指导例. 均匀带电导体球的半径为, 电量为 q, 求球内外电场及电位分布解 : 用高斯定理计算由对称性可以知道, 在距球心为 r 的球面上, 电场强度的大小相等, 方向沿半径方向对球外, 取半径为 r 的球面作为高斯面, 利用高斯定理计算 : DdS i = ε E4 πr = q, E = s r r 4πε r 对球内, 也取球面作为高斯面, 同样利用高斯定理计算 : DdS i = ε E r4 πr =, E = r s 求电位分布一般可以由分布电荷电位的公式通过积分得出 ; 也可以先计算电场强度, 再由电场强度的线积分求出 ; 或者解电位所满足的泊松方程求电位该例求解用图见图 - () 使用电场强度的线积分计算球内外的电场强度用高斯定理在上题中已得到, q r R z r 图 - 当观察点位于球面以外时, 即 r > 时, 有 q q ϕ() r = Edr = dr r = r 4πε r 4πε r 当观察点位于球面上或球面以内时, 即 r 时, 因为球内的电场强度为零, 球内是等位区, 故 q q ϕ() r = Edr = dr = 4πε r 4πε () 使用分布电荷的电位公式计算, 面电荷产生的电位为 ρs ( r ') ϕ() r = ds' 4 πε s r r' 由于电荷分布对称, 故而将观察点选为 r = (,, z) 源点 r' = ( sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) r r' = sin θ + ( z cos θ) = z z cosθ + ds ' = sin d d θ θ φ lexu@mil.xidin.edu.cn - -

36 习题课指导将其代入电位表达式, 并先对 φ 积分, 有 ρs( r') ρ π S sin θ dθ ϕ() r = ' 4 ds = s r r' z + z cos ρ = πε ε θ d(cos θ) S ε z z cos + d(cos θ ) du = z + z cosθ z + zu = z + zu = z z+ z z, z z =, z q 利用这个积分结果, 并注意到 ρ = S 4π, 最后得出电位为 θ q, r 4πε r ϕ q, r 4πε ( ) (3) 使用解电位方程的方法计算, 由于电荷对称分布, 因而电位仅仅是坐标 r 的函数, 球外电位满足方程其解为 d dϕ ϕ = ( r ) = r dr dr C C ϕ = + r 当 r 时, ϕ, 由此确定出 C =, 常数 C 由球面上的边界条件确定, 在球面 r = 上, 从而有 q dϕ C ρs = = ε E = ε = ε 4π dr r q C = 4πε q 所以, 球外电位 ϕ = 至于球内电位, 因为其为一个常数, 所以可较容易地得出其为 4πε r q 4πε lexu@mil.xidin.edu.cn - -

37 习题课指导例. 总量为 q 的电荷均匀分布在半径为, 介电常数为 ε 的球体内, 球外为空气, 求静电能量解 : 用高斯定理可以计算出球内外的电场为静电能量为 ρ r qr E = r =, q 3 r E = r 3ε 4πε 4πε r We = DiEdV = εedv + εedv q 4 3 rdr 4 πε r qr = ε π + ε πrdr 4πεα 4 q q = + 4πε 8πε 静电能量度也可以用电位能公式 W 内外的电位为 q q ϕ = Edr = Edr Edr 3 ( r ) r + r = + 8πε 4πε ϕ = Edr = E r r dr = 4πε r 3q ρ = 4π ρ = 3 e = ϕρdv 计算由电场强度的线积分可得出球 q q 3q W = ϕρdv = 3 ( r ) 4 r dr 3 + π 8πε 4πε 4π q q = + 4πε 8πε 例 3. 平行板电容器的极板面积为 S, 其间填充厚度分别为 d 和 d 的漏电媒质, 电导率分别为 σ 和 σ, 如图 3- 所示当极板间加电压 U 时, 求各个区域的电场强度, 并求漏电电阻 lexu@mil.xidin.edu.cn - 3 -

38 习题课指导解 : 不考虑边缘效应, 设极板间的漏电电流为 I 由于是稳恒电流分布, 两个媒质中 I 的电流密度相同, 即 J = J = J =, 电场强度在每一区域分别为常数, 即 S J J E =, E =, 故电压为即 σ σ I d d U = Edl = Ed + Ed = + S σ σ SU I = d d + σ σ 将其代入到电场强度的表示式, 有 U σ E =, E = U σ σd+ σd σd+ σd 漏电阻为 U d d R = = + I S σ σ 例 3. 两个平行无限长直导线的距离为, 分别载有电流 I 和 I, 如 d d ϕ = U σ σ ϕ = 图 3- 图 3- 求单位长度受力解 : 设两个导线的电流方向相同, 导线与 z 轴重线处产生的磁感应强度为 B= μ I π φ I I 合, 由其在导导线上的电流元 Idl 在导线的磁场中受力为 μiidl μiidl df = Idl B= φ z = r π π 导线单位长度受力为 μii F = r π 负号表示同向电流为吸引力如果电流方向相反, 则为斥力 \ 例 3.3 一块磁化介质的磁矩定义为 Mdv, 证明 V Mdv = r ρ dv + r ρ ds V V m S 并对半径为的均匀磁化介质球分别用上式的左边和右边计算其磁矩证明 : 已知 ρ = M, ρ = M nˆ m sm sm 图 3- lexu@mil.xidin.edu.cn - 4 -

39 rρ ds = r M n ds S sm S ( ˆ) 习题课指导 ( ) ( ) ( ) = xm ds ˆ + ym ds ˆ + zm ds ˆ S x S y S z = ( xm) dv ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ V x + ym dv V y + zm dv V z 由哈密顿算子性质可知 : ( xm ) = x M + x M = Mx + x M 同理可得 : ( ym ) = M + y M, ( zm ) = M + z M y 由此可得 : r ρsmds = Mdv + r Mdv = Mdv r ρmdv S V V V V 即可证 : Mdv = r ρmdv + r ρsmds 例 3.4 判断矢量函数 B = A x + A V V S y x y z 是否可能是某区域的磁感应强度如果是, 求相应的电流分布解 : 由恒定磁场的基本方程 i B = 可知, 给定的矢量函数可以是磁感应强度由公 B = μ J, 得与其相应的电流分布为式 χ y z A J = B= = μ μ χ y z μ A 例 4. 空气中有一半径为 5 cm的金属球, 其上带有 μ C 的点电荷, 在距离球心 5 cm处另有一电量也为 μ C 的点电荷, 求球心处的电位及球外点电荷受到的作用力解 : 由球面镜像法可以知道, 球外任意点的电位等于三部分的叠加一是由球外电荷 q y A χ z 产生, 二是由 q 的镜像电荷 q ' 产生, 三是由导体球面上的电荷 Q q' 产生 ( 球面上的电荷必须均匀分布在导体球面上 ) Q q' q' q ϕ = + + 4πε r r r 其中, r 是从球心到场点距离, r 是 q 到场点的距离, r 是 q ' 到场点的距离导体球是一个等位体, 其电位值为 q Q + Q q' ϕ = = d 4πε 4πε lexu@mil.xidin.edu.cn - 5 -

40 习题课指导代入数值球外点电荷受到的作用力等于球面上电荷与镜像电荷对其的作用力, 即 q Q q' q' F = + 4πε ( ) d d b = 5 cm, d = 5 cm, Q = q = μc, q ' = μc, b = = = cm, ε = 得出球心电 3 d π 5 位是.4 V, 球外电荷受力为.365N 例 4. 一个沿 z 轴很长的横截面为矩形的金属管, 其三个边的电位为零, 第四边与其它边 π 绝缘, 电位是 U sin x, 如图 4-, 求管内的电位解 : 本题的电位是二维的, 电位 ϕ ( x, y) ( ) ϕ ( x ), = ( ) ϕ ( xb) ( ) ϕ ( y) ( ) ϕ ( y) 的边界条件如下, π x = Usin 3, = 4, = 考虑到在 x 方向上, x = 和 x = 处的电位为零, 故选取三角函数作为 x 方向的基本解又因在 x = 处电位为零, 因此选取 sin kx x 在 y 方向, 考 y 虑到 y = 处电位为零, 选取双曲正弦 shkx y 再由 x = 处电 b φ=usin(πx/) nπ 位为零, 确定出分离常数 kx = 满足边界条件() () 和 (4) 的解为 φ= φ= φ= x nπ x nπ y ϕ ( xy, ) = Cn sin sh n= 图 4- 展开系数由边界条件 () 确定, 将 y = b代入电位表示式, 得 x n x n b Usin π = Cn sin π sh π n= 由三角级数展开的惟一性, 比较上式的左右两边, 可得出 U C = πb sh 其余系数均为零从而, 得到电位 U π x π y ϕ = sin sh πb sh lexu@mil.xidin.edu.cn - 6 -

. () ; () ; (3) ; (4).. () : P.4 3.4; P. A (3). () : P. A (5)(6); B. (3) : P.33 A (9),. (4) : P. B 5, 7(). (5) : P.8 3.3; P ; P.89 A 7. (6) : P.

() * 3 6 6 3 9 4 3 5 8 6 : 3. () ; () ; (3) (); (4) ; ; (5) ; ; (6) ; (7) (); (8) (, ); (9) ; () ; * Email: huangzh@whu.edu.cn . () ; () ; (3) ; (4).. () : P.4 3.4; P. A (3). () : P. A (5)(6); B. (3) :

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