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1 第 章 电场与磁场 电感 电容 前面讲直流电路的基本理论时, 曾提及电压源的正负极有电荷积累, 形成电场, 电荷受电场力作用作有规则的运动形成电流 因此需要对场的问题进行讨论 电场使电荷运动, 运动的电荷周围不仅有电场, 还有磁场, 而磁场的变化又产生电动势, 产生电场 因此, 不仅要研究电场, 还要研究磁场以及电场与磁场的相互关联 在交流电路中, 电流的变化可以引起电场和磁场的变化, 在交流电路中不仅有电阻元件, 还有电感 电容元件, 要研究它们的性质也要对电场 磁场关系进行分析 电气设备所用的材料, 主要是导体和绝缘体, 以及铁磁材料 绝缘材料在强电场作用下, 会失去绝缘性能 ( 击穿 ), 如何保证安全用电, 也需要研究电介质在电场中的问题, 研究磁性材料则是研究磁介质在磁场中的问题 3-1 电场的基本概念 人们很早就发现两个带电体之间存在有相互作用力 1785 年库仑通过实验, 归纳出库仑定律 (Coulumb s law), 定量地说明相互作用力与两个点电荷的电量关系 此后进一步研究指出, 一个带电体周围存在有电场 (elect ric field), 电场对场中任何电荷都有作用力, 称为电场力 这样, 电场的问题主要是下列两类问题 :(1) 从已知带电体研究周围的电场情况 ;(2) 根据已知电场分布情况, 研究场中任何带电体所受到的电场力 相对于观察者来说, 静止的电荷周围的电场是静电场 (electrostatic field), 在工业上静电场有许多应用, 例如静电除尘 静电喷漆 静电植绒等等 静电场比较简单, 先研究静电场, 有助于理解运动电荷的电场 一 电场强度 (electric field intensity) 衡量电场强弱的物理量称为电场强度 电场中某点的电场强度是矢量, 数值上等于单位正电荷在该点所受的作用力, 它的方向是正电荷受力的方向 用 E 代表电场强度, 则 E 的数值为 E = F Q E 的方向与 F 的方向一致, 在国际单位制中, 电场强度的单位为伏 米 (V m) 根据前述电压的定义, 可以求出电压与电场强度的关系如下 : ( ) 67

2 如果电场是均匀的, 电荷 Q 运动的路程是直线 l a b, 且 l a b 方向与电场方向一致, 则电荷受力 F = QE, 电场力做功 W ab = Fl ab = QEl a b, 故对单位正电荷所做的功为电压 U a b = El a b ( ) 当电场不均匀且电荷移动方向与电场方向又不一致时, 则某一点的电场力为 F = Q E, 移动 d l, 电场力做功为 W = Fd lcos θ, 则 a b 两点电压为 U a b = b a Ecos θd l ( ) 式中,θ 是 E 与 d l 的夹角 二 带电体的电场 最简单的带电体是点电荷, 即体积很小的带有电荷 Q 的物体, 它的周围存在电场, 在距离它 r 的 P 点处, 放置电荷为 Q 0 的试验正电荷, 按库仑定律 Q 0 受力为 F = QQ 0 4π εr 2, 则 P 点的电 场强度为 E P = Q 2 ( ) 4π εr E 的方向视 Q 的正负而定, 当 Q 为正电荷时,E 的方向由正电荷指向远处, 当 Q 为负时,E 的 1 方向由 P 点指向负电荷 式中是比例常数,ε 与介质有关, 称为介电常数, 将在后面讨论 真 4π ε 空的介电常数为 ε 0 = π (F m)( 见下节 ) 在点电荷的电场中, 任意两点 a b 间的电压为 U a b = b a Ecos θd l = Q 4π ε 1 r a - 1 r b ( ) 由于电压就是 a b 两点之间的电位差 V a - V b, 以无穷远处电位为零, 则 a 点 b 点的电位为 V a = Q 4π εra V b = Q 4π εrb ( ) 用电力线和等位面可以很形象地描绘出电场的分布情况, 图 (a) (b) 所示分别绘出 了正负点电荷的电场分布 从图形可知, 电力线和等位面有下列特性 : 1. 电力线由正电荷开始, 终止于负电荷 ; 2. 电力线不会相交, 因为电力线上任意一点只有一个电场强度方向 ; 3. 电场强度大的区域电力线较密 ; 4. 等位面上电位处处相等, 电场强度矢量与等位面垂直 ; 5. 两等位面之间有电位差 ( 即电压 ); 6. 如按一定的电位差画等位面时, 则电场强的区域两等位面的距离较近 当空间有两个点电荷时, 电场是两个电荷的电场叠加, 即任意一点的电场强度 E 是两个电 荷各自的电场强度 E 1 和 E 2 的矢量和 68

3 (a) + Q 电场分布 图 (b) - Q 电场分布 图 所示是两个正电荷的合成电场图形 图 所示则是一个正电荷和一个负 电荷的合成电场图形 图 图 当电荷是连续分布在带电体上时, 带电体周围的电场是带电体上每一电荷元 d Q( 可以看成 是点电荷 ) 所产生的电场矢量和 设带电体是一无穷大的平面, 均匀带有正电荷 Q, 在距离平面为 a 处一点 P, 则由于平面上 某一点的电荷元 d Q 在 P 的电场强度为 d E = Q 为正电荷 ), 如图 所示 电场强度 d E, 可以分解为与平面垂直的分量 d E a 面平行的分量 d E b, 注意所有 d Q 的 d E b 有 d Q 在 P 点的电场强度 d E a 部 P 点的电场强度 E 是所有 d E a d Q,r 是 d Q 到 P 的距离,d E 方向沿 r 向外 ( 设 4π εr 2 和与平 矢量和为零, 所以所 都是垂直平面的, 则带电体外 之和, 可以证明 E = σ 2 ε ( ) 式中,σ = Q A 是电荷面密度 注意式 ( ) 所示的电场强度 E 与距离 a 无关, 即平 图

4 面两边是均匀电场, 方向都与平面垂直向外, 如图 所示, 图中虚线是与平面平行的等位面 当分别带有正负电荷的两平行平面相距为 d 不大时, 平面面积为 A, 空间任意一点的电场 强度为正负电荷的电场的叠加, 故两平行平面的中间是均匀电场, 电场强度为 E = σ ε = Q εa ( ) 图 图 而平行平面两边的电场强度为零, 如图 所示 按电压定义, 两平面之间电压为 U = Ed = Q d ( ) εa 因此, 如电压为已知时, 可以求出所带电荷和它的电场中的电场强度 由于平面不是无穷大, 两平面的边缘部分的电场不再是均匀的, 如图 所示 当距离 d 比面积 A 的尺度小得多时, 这一边缘作用可以忽略不计 小结 1. 带电体周围存在有电场, 电荷放在电场中受电场力作用 2. 表明电场强弱的物理量是电场强度矢量, 它等于单位正电荷受到的电场力 3. 虽然点电荷是理想状态, 但它的电场容易计算 其他任何带电体的电场都可用分布在带 电体上的电荷元的电场强度矢量合成求出 由此求出两平行平面中间的电场强度为 E = σ ε 4. 电场可以用电力线和等位面来描绘 练习 设有一正一负两个电量相等点电荷,Q = C, 相距 10 cm, 如题图 所示 在两点电荷连线上有 a,b 两点,a 点距 Q 1 4 cm,b 点距 Q 2 4 cm, 求两点的电场强度 E a E b, 电位 V a V b 以及电压 U ab ( 介质为空气 ) 已知两平行平板间的电压为 100 V, 如 A = 5 cm 2,d = 2 mm, 求平板所带正 负电荷, 平板间的电场强度 70 题图

5 3-2 电介质 质问题 带电体周围的电场中, 各点的电场强度和电位都与电介质的介电常数成反比, 现在研究电介 一 电介质 构成电流回路的连接导线和各种电气设备的导电部分都是导体 (conductor) 导体具有自由 电子 ( 或正负离子 ), 所以能够导电 而不能导电的物质称为绝缘体 (isolator), 如木材 橡胶 塑料 等 这些物质对电场而言是一种媒介质, 称为电介质 (dielectric) 电介质中每一原子中的电子受原子核的束缚力很强, 不能形成自由电子, 所以不能导电 电 介质分为两类, 一类是轨道上运转的电子, 作用中心与原子核重合, 就像电子集中在原子核中心 一样, 它的作用和带正电的原子核的作用抵消, 因此 对外不呈电性, 称为无极分子 ; 另一类是正 负电荷 作用中心不重合, 两者有一小段距离, 形成一对正 负电荷, 称为电偶极子, 这类电介质叫有极分子, 但 这类有极分子的排列杂乱无章, 整个物质对外也不 呈电性 两类电介质如图 (a) (b) 所示 二 电位移 (electric displacement) (a) 图 为了研究电介质对电场的影响, 引入一个与介质无关的物理量称为电位移, 用符号 D 代表 例如点电荷的电场中 D = Q 4π r 2, 电位移也是矢量, 方向与电场强度一致, 也是表明电场强弱的 2 量, 只是与电介质无关, 电位移的单位是库 米 (C m 2 ) 在真空中, 电场强度与电位移只差一个常数, 令 D = ε 0 E,ε 0 称为真空的介电常数,ε 0 = 1 4π , 介电常数的单位为法 米 (F m) 法是电容的单位, 将在下节讨论 三 介质的极化 (polarization) 当有电介质存在时, 在电场作用下, 无极分子的正 负电荷作用中心不 (b) 再重合, 正电荷沿电场方向移动, 负电荷沿反电场方向移动, 对外呈电性 ; 有极分子的偶极子发生转动, 排列比较整齐, 无论哪一类分子, 都在与电场垂直的电介质表面上呈现正 负电荷, 如图 所示 由于这种电荷仍是受束缚的, 所以称为束缚电荷, 这种现象称为介质的极化, 极化后的介质内部呈现一个附加电场, 方向与外加电场相反 因此, 在同样的电位移 D 条件下, 电介质中的电场强度 E 小于真空中电场强度 E 0 用 ε 表示电介质的 图

6 介电常数, 则 D = εe ( ) 由此可知 电场强度 E 与介质的介电常数 ε 成反比 由于 ε > ε 0, 令 ε = ε r ε 0 ( ) ε r 是无量纲的纯数, 称为相对介电常数 例如矿物油的 ε r = 2.2, 即它的 ε 是 ε 0 的 2.2 倍 空气的 ε r 近似为 1 常用电介质的相对介电常数列在附录 2 中 四 介质的击穿电介质所能承受的电场强度有一限度, 超过这一限度, 被束缚的电荷就会脱离原子或分子的束缚而参加导电, 破坏了绝缘性能, 这一现象称为电介质的击穿 (break down) 电介质所能承受的极限电场强度称为击穿电场强度, 也称绝缘强度 例如空气的绝缘强度一般为 30 kv cm, 常用电介质的绝缘强度也列在附录 2 中 介质的击穿具有破坏性, 例如 : 电气开关在断开的瞬间, 如果断开处电压很大, 电场很强, 断开处的空气被击穿, 形成导电的正 负离子, 便出现电弧 ( 火花 ), 由于温度升高使开关触点烧损 严重时还会使它熔焊, 以致不能断开 为了避免这一现象, 常用弹簧使开关迅速断开, 或者加装灭弧罩, 使电弧拉长, 迅速熄灭, 对于高压大电流开关, 常浸入绝缘强度大 (150~ 300 kv cm) 的矿物油中, 即以矿物油做介质 注意介质的击穿主要是束缚电荷受电场力的作用, 当两导体之间电压较大时, 中间的绝缘层应有足够的厚度, 例如用聚乙烯绝缘的导线绝缘强度为 400 kv cm, 当厚度为 1 mm 时, 耐压 40 kv, 厚度为 2 m m 时, 耐压可达 80 kv 但是介质所处的区域内电场的分布往往是不均匀的, 在同样电压条件下, 电场强度大的地方 ( 电力线密集处 ), 绝缘先被击穿, 变成导体, 电场重新分布, 以致整个绝缘被破坏 为了防止击穿, 要设法使电场比较均匀, 避免某些区域电场强度过大, 例如高压输电线加装与输电线平行的接地线, 使高压线发出的电力线终止在地线上, 而不致终止在地面上某些不规则的导体上 又如露天变电站高压电缆的出线四周加装接地的静电环使电力线落在环上 一般电压不高的输电线直接扎在绝缘瓷瓶上, 但高压输电线则不行, 常用悬挂绝缘子的办法, 每个瓷绝缘子上下有金属钩环, 用几个同样的绝缘子串接起来, 这样每个绝缘子上的电压相等 ( 见下节 ), 且等于总电压的 1 n, 例如 220 kv 的高压线用 11 个绝缘子, 则每个绝缘子只承受 20 kv, 又如高压变压器的引出线采用电容套管, 即引出线外包一层绝缘, 再包一层铝箔, 如此交替多层, 最外层铝箔接地, 每两层铝箔所承受的电压便不太高 另一方面, 电介质本身常常也是不均匀的, 或者含有杂质, 例如矿物油中有小气泡或小水珠, 这些气泡 水珠的存在, 使它们所处的电场很强, 而气泡 水珠绝缘强度又低于矿物油 因而这些薄弱环节先被击穿, 导致整个绝缘被破坏 为了说明这一现象, 假设有带正负电荷的两平行平面, 相距为 d, 面积为 A, 中间有两层介质介电常数分别为 ε 1 和 ε 2, 厚度分别为 d1 和 d2, 如图 所示 因为电位移矢量与介质无关, 两平面之间的电位移为图

7 D = σ = Q A 于是两个介质中电场强度分别为 E 1 E2 = D = Q ε 1 ε 1 A = D = Q ε 2 ε 2 A 故 E 1 E 2 = ε 2 ε 1 即在图示条件下, 两介质中场强与介电常数成反比, 如 ε 1 < ε 2 ( 介质 1 是空气, 介质 2 是云母 ),ε 2 = 6 ε 1, 则 E 1 = 6 E 2, 查附录 2, 空气绝缘强度为 30 kv cm, 云母绝缘强度为 600~ kv cm, 如果云母中电场强度为 E 2 = 6 kv cm, 对云母而言是绝对安全的, 但对空气 而言 E1 = 36 k V cm, 肯定要被击穿 上面分析中为了便于理解是按平行平面中间为均匀电场计算的 如为不均匀电场, 空气又只是气泡 ( 或者是细小水珠 ), 则空气中 ( 或水珠中 ) 电场强度还会更大, 情况将更严重些 因此, 电机和变压器的绕组采用真空浸漆烘干工艺, 高压变压器或开关要真空注油, 注入前还应将矿物油加热过滤 目的都是排除气泡 水分或杂质 此外电气设备都要进行高于工作电压几倍的耐压试验, 保证工作时的安全 综上所述, 电介质能够承受的电场强度是有限度的, 为了防止击穿, 采取三种措施 :(1) 采用绝缘强度高的材料 ;(2) 绝缘材料有一定厚度, 且不含杂质, 如气泡或水分等 ;(3) 设法使电场按要求分布, 避免电力线在某些地方过于密集 有时会同时采用两种措施, 甚至三种措施同时采用 但是事物总是一分为二的, 介质的击穿也可以加以利用 例如电弧炉, 电弧焊都是利用气体被击穿导电所产生的热量而工作的 ; 又如日光灯在启辉器断开瞬间, 使管中水银气体导电而发光 ; 避雷器则是在雷击时的强电场作用下, 使绝缘的矽砾陶瞬时击穿 ( 但雷击后能恢复绝缘性能 ) 以保护电气设备不被击穿 小结 1. 电介质的极化产生一个与外电场相反的附加电场, 削弱外电场 在介质中电场强度 E 比在真空中 E 0 小 ε r 倍,ε r 是相对介电常数 2. 电位移和电场强度都是表征电场强度的物理量,D 与介质无关,E 与 ε 成反比,D = εe 3. 电介质是不导电的, 是电工技术中必不可少的绝缘物 但在强电场中会被击穿, 破坏绝缘性能 为了安全用电防止击穿, 要采取选择好的材料 加厚绝缘层和设法使电场分布均匀等措施 3-3 电容 电容器 由 3-1 可知, 当两个导体分别带有数值相等的正负电荷时, 周围产生电场, 由场中各点的电场强度可以计算出两个导体之间的电位差 ( 即电压 ) 当导体形状位置一定, 且介质是均匀时, 导体之间的电压与所带电荷成正比 73

8 一 电容量 (capacity) 定义两导体所带电荷 Q 与导体间的电压 U 的比值为电容量, 简称电容, 用 C 表示, 即 C = Q U ( ) 可见电容是表征导体在单位电压作用下储存电荷能力的物理量 在国际单位制中, 电容的单位 是法 [ 拉 ](Farad), 简称法 (F) 较小的电容单位为微法 (μ F),1 微法 = 10-6 法 (F); 还有皮法 (pf),1 皮法 = 法 (F) 二 电容器 (condenser) 在电工技术中常用两金属片, 中间隔以电介质, 组成电路元件, 称为电容器, 也简称为电容, 所以电容一词, 有时指电容元件, 有时指电容量 电容器是二端元件 如电容器两金属片是平行平面, 称为平板电容器 当分别带正 负电荷 Q 时, 外部没有电场, 忽略边缘影响, 中间是均匀电场, 电场强度为 E = Q εa, 电压为 U = Ed = Q εa d, 按电容定义 C = Q U, 得 C = εa d ( ) 由此可见, 平板电容器的电容只与两极板面积 A 和介质的介电常数 ε 成正比, 与距离 d 成反比, 而与电压电荷无关 一定形状的电容器有一定的电容量, 所加电压愈高所带电荷便愈多, 但比值不变 注意所加电压是有限度的, 以介质不致击穿为度 所以所带电荷也是有限度的 实际电容多按所使用的介质分类 例如空气电容器 纸质电容器 云母电容器 油浸电容器 电解电容器等, 其中电解电容器标有正负极, 不能反接 电容器也可按功能分为固定电容器与可变电容器 为了获得较大的电容量, 常用两片长的金属箔隔以介质卷成筒形以增加面积 ; 或者用 n 片 (n 为奇数 ) 金属片, 奇数连成一组, 偶数连成另一组, 则电容量增加为两片的 n - 1 倍, 如图 所示 市场上出售的电容器, 制造厂家应按国标 GB 标明 :(1) 标称电容 ;(2) 工作电压 ;(3) 绝缘电阻 其中工作电压指工作时允许的最大电压, 工作电压应小于击穿电压 绝缘电阻一般很高, 单位为兆欧 (MΩ) 电容器是特制的电容元件, 然而在电路和电气设备中任何两个导体图 被介质隔开时, 都有电容, 例如两根输电线之间, 输电线与地面之间, 以及电机变压器绕组的匝间, 绕组与机壳之间都存在电容 在不能忽略时, 分析问题时所建立的电路模型都应将电容考虑在内 例题 有一多片平板电容器, 片数为 9, 每片有效面积为 9 cm 2, 各片间距离为 1 m m, 介质为蜡纸,εr = 4, 耐压为 150 kv cm, 求电容量 C, 工作电压应不高于多少伏 74

9 解 C = (n - 1) εa d = (9-1) π F = 8 π F = F = 255 pf 因每两片间电压相等, 现已知绝缘强度为 150 kv cm, 故耐压 U = Ed = kv = 15 kv, 工作电压应远小于 15 kv 三 电容器的串并联 三个电容串联接在电压为 Us 的电源上, 如图 所示 C1 上与电源正极连接的极板 带正电荷 Q, 与电源正极同电位 V a 电容 C 3 与电源负极连接的极板带等量的负电荷 Q, 与负 极同电位 V b C 1 的另一极板与 C 2 的一个极板连在一起, 电位相等都为 V b, 在电场作用下, 这 连在一体的导体中负电荷 ( 自由电子 ) 分布在 C 1 的下板上, 正电荷分布在 C 2 的上板上, 依此类 推, 因此当几个电容串联时, 每个电容上所带电荷相等 Q 1 = Q 2 = Q3 = Q 而每个电容器上电压之和等于外加电压 U 1 + U 2 + U 3 = U s 因为 C = Q U, 或 U = Q C, 故 Q 1 C 1 + Q2 C 2 + Q3 C 3 = U = Q C 式中,C 是电容串联之后的等效电容, 因各电容上电 荷相等, 于是 图 C = 1 C C C 3 ( ) 推广到几个电容串联可用一个等效电容替代, 等效电容的倒数等于各个电容倒数之和 当选用电容器时, 如果标称电压低于外加电压, 则采用电容串联的方法, 但要注意, 电容器串 联之后电容变小了, 另一方面, 电容器的电压 U 与电容量 C 成反比, 电容量小的承受的电压高, 应该考虑标称电压是否大于承受的电压 一般选电容量相等 耐压也相等的电容串联, 则每只电 容承受的电压是外加电压的 1 n, 而每只电容器的电容应为所需的电容 n 倍 上节所述的悬式 绝缘子就是电容器串联的应用, 每一绝缘子相当于一个电容器 图 所示是三个电容器并联的电路, 很明显每个电容器上的电压都等于电源电压, 即 U 1 = U 2 = U 3 = U s 当各电容器电容量为已知时, 各电容器所带电荷为 Q 1 = C 1 U 1,Q 2 = C 2 U 2 等 这三个电容并联可以用一个等效电容 C 替代, 加在 C 上电压为 U s, 所带电荷为 Q = CU s,q 是各个电容器所带电荷之和, 即 图

10 因各电容器上电压相等, 故 Q = Q 1 + Q 2 + Q 3 C = C 1 + C 2 + C 3 推广到几个电容并联, 等效电容等于各个电容之和 当电路所需较大电容时, 可以选用几只电容并联 如需要时, 电容也可以进行串并混联 例题 已知三个电容 C 1 = 100 μ F,C 2 = 50 μ F,C 3 = 40 μ F (1) 如 C 1 与 C 2 并联 再与 C 3 串联, 求等效电容 ;(2) 如 C 1 与 C 2 先串联, 再与 C 3 并联, 求等效电容 (C1 + C2 ) C 解 (1) C = = (C1 + C2 )+ C μ F = μ F = 31.6 μ F 190 (2) C = 四 电容器的充放电 C 1 C 2 C 1 + C 2 + C 3 = μ F = 73.3 μ F 当电容器接在直流电路中时, 如图 所示 当 S 合上后, 由于电容器中间是绝缘物, 不会有电流通过 (i = 0), 而上下极板与电源正负极分别相连, 所以电容器上电压 U C 荷为 Q = CU C 但在开关合上之前, 电容器是不带电的 Q = 0,U C = 0, 当开关 合上瞬间, 电荷开始由电源向电容器移动, 使电容器上电荷逐渐由 0 增加到 Q 为止, 电压由 0 上升到 U C = U s, 这一现象称为电容器的 充电 (charge) 充电是要时间的, 在这过程中, 电荷不断移动形成电 流 i (t)= d Q d t = U s - uc (t), 在开始,u C = 0,i = U s R 最大 ; 最后 R 图 = U s 而电 uc = Us,i = 0, 这一过程称为充电过程 充电所需的时间, 一般不长, 与 R 和 C 有关, 将在第 7 章中讨论 用万用表电阻挡检测电容器时, 可以看到电表指针立刻到达某一数值, 然后 慢慢 下降到 零, 就是充电电流的变化过程 注意, 长途输电线或电缆, 在终端开路条件下, 相当于一个电容器在与电源接通瞬间, 可能有 很大的充电电流 将充好电的电容器从电路上断开后, 电压 U C 机内的高压电容 ), 仍不能直接接触, 必须进行放电 所谓放电 (discharge), 是将带有电荷的电容器与电阻 R 相连 接, 如图 所示, 当开关接通后, 正电荷将通过电阻与负极的 负电荷中和, 开始电流较大,i(t)= uc R, 随着电容器上电荷减少, 电压 u C 降低, 电流也逐渐减小 最后电荷放完 (Q = 0), 电压 uc (t)= 0 电流为零, 放电完毕 放电过程也要经历一段时间 76 和电荷 Q 保持不变, 如电压很高时 ( 例如电视 图

11 五 电场能量 (electric field energy) 电容器放电过程中, 电流流过电阻时, 将电能转换为热能, 在电阻上消耗掉 这能量是电容器供给的, 说明有能量储存在电容里, 而充电过程, 正是能量 ( 由电源供给 ) 储存的过程 在充电过程中,d t 时间内, 电容器上电荷增加了 d Q, 则电源供给电容器的能量为 d W E = u C id t = u C d Q = Cu C d u C 整个充电过程, 储存在电场中能量为 W E = U C 0 Cu C d u C = 1 2 CU 2 C ( ) 因此, 电容器是储能元件 例题 μ F 电容器与 100 Ω 电阻串联接在 U s = 100 V 的电源上, 已知电容器原来 不带电荷 求开关合上的瞬时和最后 :(1) 充电电流 ;(2) 电容器上电压 ;(3) 储存在电场中能 量 解充电初始 i = U s R = ( )A = 1 A,u C = 0 充电完毕 i = 0 u C = U C = U s = 100 V 电场能量 W E = (1 2)C U 2 C = (1 2) (100) 2 J = 0.05 J 小结 1. 电容是表征两导体在单位电压作用下储存电荷的能力, 只与导体形状尺寸以及中间介质 有关 2. 平板电容器的电容量为 C = εa d 3. 几个电容器进行串联, 并联或串并联时可用一个等效电容替代 注意几个电容器串联之后, 等效电容小于其中任一电容 而并联后的等效电容为各电容之 和 需要大的电容时, 可用几个电容并联 4. 电容器是储能元件, 充放电过程是能量储存和释放过程 5. 电容器的充放电都需一段时间, 才能从一种状态变化到新的状态 练习 比较电容串 并联与电阻串 并联的异同 已知平板电容器的 A = 25 cm 2,d = 1 cm, 介质为云母, 求电容量 C 已知 C 1 = 100 μ F,C 2 = 50 μ F,C 3 = 40 μ F, 求 :(1) 三个电容串联的等效电容 ;(2) 三个电容并联 的等效电容 已知 C = 50 μ F, 已充电到 U C = 100 V, 求储存在电场中能量 如将此电容器与电阻 R = 10 Ω 串 联放电, 求起始时放电电流 77

12 3-4 恒定电场简介 上几节讨论的是静电场, 电荷相对于观察者是静止的, 如果电荷是运动的 可以想像, 它应该也有电场 比较简单的情况是电流是恒定的, 它的电场便称做恒定电流的电场 (electric field of steadystate current), 简称恒定电场 在图 (a) 所示电路中, 当先合上开关 S1 时, 两根导线是一个电容器, 开始充电, 稳定后两根导线分别均匀带有正负静止电荷, 每根导线电位相等, 沿线任何位置两导线之间电压都等于电源电压 U s, 即第 1 章所讲的, 负载端在开路时端电压 U a b 0 = U s 空间的电场如图 (b) 所示的静电场 当开关 S2 合上时, 电路中电流为 I = U s (R l + R),R l 是导线上电阻,R 是负载电阻, 负载端电压 U ab = RI = U s - R l I, 导线上有电压降 R l I 从场的方面研究, 两根导线内部和负载内部都有电 (a) (b) 图 场, 这电场是电源正负极上电荷所建立的, 图 所示是导线的一段, 内部电场强度方向是沿导线的, 正电荷受电场力作用运动形成电流, 原来沿线分布的电荷运动了, 但前面的电荷移走, 后面的电荷就补上来, 源源不断 从宏观效果来看, 沿线仍然均匀分布有电荷, 和 S2 未合上时并无不同, 这分布电荷在导线周围仍产生电场 这样, 导线内部有电场 Ei, 其方向与导线平行, 而导体外部应有由分布电荷产生的电场 E0, 方向与导线表面垂直 但在导体表面 ( 内部与外部交界处 ) 电场是两者矢量和,E 1 = E i + E 0, 故电力线分布情况如图 所示 这一电场, 称做恒定电流的电场 在工程实际中, 导线内部的电场不大, 导线外部的电场可以认为是近似与导线表面垂直 这样, 前几节研究的静电场一些性质, 对恒定电场仍然适用 甚至当电流变化时, 只要变化频率不高, 导体尺寸相对不大时 ( 例图 如下章讨论的 50 Hz 的正弦交变电流 ) 仍然可用静电场的方法进行分析 3-5 磁场的基本概念 实践还发现, 两个运动的电荷, 除了有库仑力 ( 电场力 ) 之外, 还存在另一种相互作用力 或 者说, 一个运动的电荷周围存在另一种场, 称为磁场 (magnetic field) 而另一个放在磁场中的运 F 等 1 矢量, 按国家标准, 应排黑体, 但考虑教学上的方便, 板书时可用相应字母上面加 表示, 如 E F等, 也可注明矢量 E 78

13 动电荷则受到磁场力 一 磁感应强度 (m agnetic induction) 表征磁场强弱的物理量叫磁感应强度 ( 矢量 ), 用符号 B 代表 以速度 v ( 矢量 ) 运动的电荷 Q 在磁场中受到的力 F( 矢量 ) 与磁感应强度 B 运动电荷 Q 和速度 v 都成正比, 由于速度 v 有方向, 当 v 的方向与 B 垂直时, 所受之力最大, 故磁感应强度为 大的力 B = Fm Q v ( ) 因此, 磁感应强度 B 定义为 : 单位正电荷以单位速度运动时所受的最 B 方向由左手定则 (left hand rule) 确定 : 伸平左手, 四指指向正电荷运 动方向即速度 v 方向, 拇指指向受力 F 方向, 则磁场 B 指向掌心, 如图 所示 (T) 在国际单位制 (SI) 中, 磁感应强度 B 的单位为特斯拉 (Tesla), 简称特 工程上曾用过的单位是高斯 (Gauss),1T = 10 4 Gs 图 二 载流导体在磁场中受力 电动机原理当 B 的大小和方向为已知时, 如 v 与 B 垂直, 运动电荷受力为 F = Q vb ( ) 这个磁场力称为洛仑兹力 (Lorentz force), 方向由左手定则确定, 如 v 不与 B 垂直, 而夹角为 θ 时, 则 F = Q v Bsin θ,f 仍与 v B 构成的平面垂直 对于自由电荷,F 总是与 v 垂直的, 产生的加速度只改变运动方向, 不改变速度大小, 如磁场是均匀的, 则以速度 v 进入磁场的电荷将作匀速圆周运动 在阴极射线管 电视机显像管 粒子回旋加速器中, 就是用磁场使运动的电荷改变运动方向 ( 或者说是发生偏转 ) 的 当电荷是在导体中运动时, 即当导体有电流通过时, 它受到的磁场力和运动的自由电荷所受的磁场力本质是一样的, 但效果却不相同 由于电荷只能在导体中运动, 磁场力不会改变电荷的运动方向, 加上并非只有一个点电荷在运动, 而是连续不断的电荷运动形成电流, 这些电荷受力的结果是每一段导体都受力, 使整个导体受力 假设直线导体处在均匀磁场之中, 电流方向与磁场互相垂直, 则 F = Q vb = Q l t B = Bl I ( ) 式中,l 是在磁场中的导体长度, 不在磁场中的导体部分便不受力, 力的方向仍由左手定则确定, 如图 所示 ( 四指方向为电流方向 ) 式 ( ) 是载流直导线在磁场中受力的一个重要公式 它是电动机的基本工作原理 而工厂中的生产设备 ( 机床, 起重运输机械 ), 电气火车 电图 车 电梯 家用电风扇 洗衣机等等, 都是用电动机来将电能转换为机械能的 例题 有一均匀磁场 B = 1 T, 如一自由电子在与磁场垂直的平面内以速度 v = 5 79

14 m s 运动, 求电荷所受之力和运动的轨迹 (Q E = C) (a) (b) (c) 例图 解自由电子受磁场力 F = Q vb = N = N 运动轨迹是圆周, 因向心加速度 α = F m E, 故 r = m E F m E = kg, 代入上式, 得匀速圆周运动的半径为 r = m = m v2 = m E v2 Q E vb = me Q E 例图 (a) 所示是电子以速度 v 作圆周运动的情况, 如电子以 速度 v 从外部射入磁场, 则旋转半周后便离开磁场, 以恒速 v 作直线运 动, 如图 (b) 所示 ; 如磁场区域更小些, 则电子只能转一小段圆弧, 便离开 磁场, 沿切线方向作直线恒速运动, 如图 (c) 所示 例题 一直线导体放在磁场 B = 1.2 T 中, 有效长度为 50 cm, 通过电流 I = 10 A, 已知导体与磁场垂直, 电流方向如图所示, 求受 力大小和方向 解 F = BlI = N = 6 N 方向由左手定则确定由左向右, 如例图 所示 三 载流导体的磁场 v B, 已知电子质量 例图 运动的电荷周围存在有磁场 设正电荷 Q 以速度 v 向上运动, 如图 所示 实践证 明在与 v 垂直的平面内, 以电荷为中心半径为 r 的圆周上任意一点 P 的磁感应强度 B 与 Q v 乘 积成正比, 与圆周半径 r 平方成反比, 还与介质有关, 故 B = Qvμ 4π r 2 式中,μ 磁介质的系数叫磁导率, 将在 3-6 中讨论 真空中的磁导率用 μ 0 表示,μ 0 = 4π 80

15 10-7 亨 米 (H m), 这里亨 [ 利 ] 是电感的单位在 3-8 介绍 如果电荷是在导体中运动, 而导体比较长, 取导体的一小段 d l, 则 Q v = Id l, 称为电流元 每一电流元都在 P 点产生磁场, 任意取一段 d l, 则与 d l 垂直的平面上 P 点的磁感应强度 d B 为 d B = Id lμ 2 sin θ ( ) 4π r 此时 P 距 d l 为 r,θ 为 r 与 d l 的夹角, 方向由右手螺旋法则确定 : 紧 握右手, 竖起的拇指沿电流方向, 则四指沿圆周为磁场方向, 如图 所示 图 图 式 ( ) 是求任意载流导体周围磁场的基本公式, 称为毕 奥 - 沙伐定律 (Biot Savar s Law) 1. 磁场方向是磁感线上任意一点的切线方向 ; 2. 磁感线是封闭的, 无始无终 ; 3. 磁感线包围电流 ; 4. 磁感线永不相交 当载流导体为一相当长的直导线时, 距导体 R 处的 B 是所有 Id l 所产生的 d B 的叠加, 只要 l R, 则直载流导体周围的磁场为 B = μ I 2π R ( ) 方向如图 所示 可以用磁感线来形象的描绘磁场 式 ( ) 所表达的磁场的磁感线是与导体垂直的任一平面上的同 心圆, 方向用右手螺旋法则确定, 如图 所示, 由此可知 (a) (b) 图 图 图 所示是圆环载流导线的磁场, 磁感线与载流导线相互交链, 方向仍由右手螺旋法 则确定, 但四指沿电流方向, 而拇指是磁场方向, 由于每一 Id l 在 O 点产生的磁场都是 d B = μ Id l, 且方向相同, 故圆周中心 O 点的磁场为 4π R 2 B = μ I 4π R 2 2π R = μ I 2 R ( ) 81

16 其余地点的磁场计算就没有这样简单 如果将导线紧密地绕在一圆环形芯子上, 通以电流, 如图 所示 图 图 由于绕得很密, 磁感线将集中在芯子内部, 也是一系列同心圆, 方向如图所示, 每一匝通电流 线圈在该线圈中心上的磁场都是 μ I 2 r(r 是圆环截面的半径 r = r2 - r1 ), 而其他每一匝线圈也 2 在这一点上产生磁场, 根据叠加原理, 可以证明, 在圆环中心上任一点的磁感应强度为 B = μ N I 2π r 式中,N 是线圈匝数,r 是这一磁感线的半径 r = r2 + r1 2 ( ) 还有常用的螺管线圈, 是将线圈绕在一个长为 L 的芯子上, 如图 所示, 它可以看成 是 r 很大的圆环形线圈的一部分, 在轴线上的中间部分, 磁场为 B = μ N I L ( ) 式中,L 相当于圆环上一部分弧长 在螺管两端 磁感线将发散开, 表明磁场较弱, 可以证明, 两 端磁感应强度只有中间部分的一半, 即 B = μ N I 2 L 小结 1. 运动电荷和载流导线周围存在有磁场 表征磁场强弱的物理量是磁感应强度 ( 矢量 )B, 用单位正电荷以单位速度运动受到最大磁场力来表示 2. 运动电荷在磁场中受力为 F = Q vb(v B), 载流直导体受磁场力 F = Bl I(l B), 方向 由左手定则确定, 注意只限制在磁场内的载流导体才受力 3. 运动电荷的磁场 B = μ Q v 2π r, 方向由右手螺旋定则确定 2 4. 比奥 - 沙伐定律是确定电流元 Id l 产生的磁场, 用来求通有电流的直导线 圆形导线 圆 环螺管 直螺管线圈的磁场计算, 方向由右手螺旋定则确定 练习 一个正电荷 Q = 40 μ C, 以 v = 0.5 m s 速度, 射入均匀磁场 B = 0.8 T 中 (v B), 求所受之力 一长 20 cm 导体, 通有 5 A 电流, 放在 B = 1.2 T 均匀磁场中, 求导体所受之力 82

17 一根长 50 m 的直导线, 有 I 1 = 10 A 电流通过, 如题图 所示 求距离它 10 cm 处 P 点的 磁感强度 B 及其方向 如在 P 点有第 2 根长 50 m 与导体 1 平行的, 导体 2 有反方向电流 10 A 流过, 求导体 2 受力及其方向 题图 一螺管线圈 L = 30 cm, R = 3 cm,n = 100 匝, I = 2 A, 求中心处磁感应强度 B 3-6 磁介质 磁场强度 上节研究了表征磁场强弱的物理量磁感应强度 B, 它与磁介质有关, 表征介质磁性能的是磁导率 μ, 现在研究介质问题 一 磁场强度在研究磁介质之前, 先引入一个物理量称磁场强度 (magnetic field intensity), 用 H 表示, 磁场强度也是矢量, 也是表征磁场强弱的, 但与磁介质无关 因此 B = μ H ( ) B 和 H 是方向相同, 数值上相差 μ 倍的两个矢量 磁场强度的单位为亨 [H] 二 磁介质的磁化和电介质处在电场中会被极化, 产生附加电场相类似, 磁介质处在外磁场中, 会产生附加磁场 在物质的分子中, 原子核的自旋, 电子的自旋, 以及电子绕原子核的旋转, 都是电荷的运动, 都会产生磁场, 这些磁场方向不尽相同, 但从一个分子外部来看, 分子内部各电子运动所产生的合成磁场, 看成是一个等效的环行电流所产生的, 这个等效的环形电流称为分子电流 分子电流的尺寸是很小的, 每一分子电流相当于一个很小的小磁铁 磁介质分为三类, 即反磁性物质 ( 抗磁质 )(diamagnetic materials), 顺磁性物质 ( 顺磁质 ) (peramagnetic materials) 和铁磁性物质 (ferromagnetic materials) 在没有外磁场时, 抗磁质每一分子都不显磁性, 在外磁场作用下, 分子中每一电子都受到洛仑兹力, 改变运动状态, 从而产生了与外磁场方向相反的附加磁场, 削弱了外磁场, 在真空中 B = μ 0 H, 在反磁性介质中,B = μ H, 后者的 B 小于前者, 即 μ <μ 0, 但附加磁场很微弱,μ 近似等于 μ 0, 反磁性物质有金 银 铜 锌 锑 83

18 钠 汞 石墨及氢气 至于顺磁质, 每一分子都有磁性, 相当于一个小磁铁, 在没有外磁场时, 由于分子热运动, 各个分子的小磁铁排列杂乱, 对外不显磁性 ; 在外磁场作用下, 虽然也因洛仑兹力作用, 改变电子运动状态, 产生反方向附加磁场, 但每一分子的小磁铁受磁场力作用, 排列到与外磁场一致的方向 从而加强了外磁场, 后者作用大于前者, 所以顺磁质中磁场大于真空中的磁场,μ >μ 0, 但也不太强 这类介质有铝 镁 钙 铂 钨和氧气等 铁磁质是一种特殊的重要的磁性物质, 在没有外磁场时, 每一分子有磁性, 相当一个小磁铁, 而且比较强, 并且在很小的区域内, 这些小磁铁自发地排列成一个磁化区, 相当于较大一些的小磁铁, 称做磁畴 (magnetic domain), 但在整个介质中, 磁畴的方向也是杂乱的, 对外不显磁性 ; 在外磁场作用下, 有些沿外磁场的磁畴扩大转向外磁场方向, 产生很强的与外磁场同向的附加磁场, 使介质中有很强的磁场 铁磁质具有三大特殊性质, 一是 μ 很大, 比 μ 0 大到几百甚至上千倍 ; 二是 B 和 H 存在非线性关系, 即 μ 不是常数 ; 三是磁性能与原有磁化情况有关, 例如, 在外磁场作用下使之磁化, 外磁场消失后, 仍有磁性, 称做剩磁, 永久磁铁就是这样制造的, 天然磁铁也是这样形成的 铁磁质在电气设备中有重要应用, 如电机 变压器 仪表等等, 它的磁化过程 磁性能以及应用将在第 8 章讨论 三 相对磁导率 (relative permeabilit y) 已知真空的磁导率为 μ 0 = 4π 10-7 H m, 顺磁质的磁导率略大于 μ 0, 反磁质的磁导率略小于 μ 0, 而铁磁质的磁导率则大于 μ 0 很多 令 μ = μr μ 0 ( ) 式中,μ r 是 μ 和 μ 0 的比值, 是无量纲的纯数, 称为磁介质的相对磁导率 顺磁质的 μ r >1; 反磁质的 μ r <1, 它们的附加磁场都很弱, 可近似认为 μ r 1; 铁磁质的 μ r 1, 达到几百甚至上千 小结 1. 磁场强度 H 与磁感应强度 B 都是表征磁场强弱的物理量, 都是矢量 前者与介质无关, 后者与磁导率 μ 成正比,B = μ H 2. 磁介质有三种, 顺磁质和反磁质的 μ 都与真空中 μ 0 相差不大,μ μ 0,μ r 1, 铁磁质 μ 很大, 不是常数, 磁化后有剩磁存在 练习 已知一长直导线通过电流 3 A, 求距离导线 50 cm 处的 H 和 B( 介质为空气 ) 电场强度是表征强弱的矢量, 与电介质关 ; 磁场强度是表征强弱的矢量, 与磁介质关 有没有像电的绝缘物一样的磁绝缘物 已知磁场强度 H = 200 A m, 求介质为铜时的磁感应强度 B, 和在铁材料中磁感应强度 B( 设已知 μ r = 2 000) 84

19 3-7 磁通连续性原理与安培环路定律 上两节研究了运动电荷 ( 电流 ) 产生的磁场, 磁介质的影响, 和运动电荷或载流导体受磁场力 问题 现在介绍工程上常用的有关磁场的原理与定律 一 磁通 已经知道, 磁场的情况可以用磁感线来描绘, 磁感线无始无终, 总是与电流回路相交链 但 磁感线只是设想的线, 现在引入一个物理量叫磁通 (m agnetic flux), 是量化了的磁感线 假设有一均匀磁场, 场内各点磁感应强度 B( 矢量 ) 大小相等 方向相同, 则磁感线与 B 方向一致, 如取一有限面积 A 与 B( 矢量 ) 相垂直, 如图 所示, 于是磁感线是均匀分布的而且垂直于 面积 A 的一组平行线 Φ = BA ( ) 式中,Φ 称为 B( 矢量 ) 在面积 A 上的通量, 简称磁通, 可见 Φ 就是 量化了的磁感线,Φ 的单位为韦 [ 伯 ](Wb) 由于 B = Φ A, 所以磁感应强度也叫磁通密度 (magnetic flux 2 density), 单位也可用韦 米 (Wb m 2 ) 当 B 用高斯作单位时, 面积用平方厘米, 磁通单位用麦克斯韦 (Maxwell) 简称麦 (Ma x) 1 Wb = 10 8 Max 对于不均匀磁场, 可取很小面积 d A, 且 d A 与 B 不一定垂直, 则 d A 上穿过的磁通为 β 是面积 d A 法线方向与 B( 矢量 ) 的夹角 二 磁通量连续性原理 图 dφ = Bd A cos β ( ) 由于磁感线是无头无尾的封闭曲线 如果在磁场中取一个封闭面, 有磁感线从面的一部分 穿入, 必然有同样多的磁感线从另一部分上穿出, 不会终止在封闭面内, 也不会有另外的磁感线 从面内发出, 因此 A Bd Acos β = 0 ( ) 这就是磁通连续性原理 例题 有一螺管线圈如例图 所示, 匝数 N = 100 匝,I = 2 A, 螺管长 20 cm, 截面积 8 cm 2, 介质为木材,μ = μ 0, 求中心处磁场强度 H, 磁感应强度 B, 磁通量 Φ 如取一截面 10 cm 2, 长 10 cm 的圆柱形封闭面轴线与螺管重合, 说明磁通连续性原理 解 H = NI L = A m = A m 例图

20 B = μ 0 H = 4π T = T Φ = BA = Wb = 10-6 Wb = 100 Max 在封闭面上, 磁通由一个端面进入, 从另一端面穿出, 而圆柱侧面与磁通平行, 没有磁通穿过, 若以穿出磁通为正, 则 A Bd Acos β = Φ = - Φ + Φ = 0 三 安培环路定律 参考图 的圆环形线圈, 在圆环中心线 ( 以 r 为半径的圆周 ) 上任意一点的磁场强度 为 H = N I 2π r, 移项后,H 2π r = N I, 注意 2π r 是一条封闭路径, 要求路径上各点的 H 都相等, 方 向与路径一致,H 和 2π r 的乘积等于与路径交链的电流之和 N I 结论 再看长直载流导体外 P 点的磁场强度为 H = I 2π r( 图 ), 得 H 2π r = I, 得到同样 上述是两个特定情况, 推论到一般情况, 在磁场中取一任 意闭合路径, 在路径各点的 H 不一定相等, 方向也不与路径 相切, 则 H d lcos β 是其中一小段, 因此, 沿闭合路线积分等于 穿过路径电流的代数和 l H d lcos β = I ( ) 如图 所示, 这里 I = I 1 + I 2 - I 3 式 ( ) 称为安培环路定律 : 磁场强度沿闭合回路的 线积分等于穿过路径限定的面积上电流的代数和 电流的正 方向与绕行方向符合右手螺旋法则 r 2 图 例题 在图 所示圆环螺管线圈中, 已知 N = 匝,I = 5 A,r1 = 16 cm, 求 r = 8 cm 12 cm 13 cm 15 cm 18 cm 处的磁场强度 解 r = 8 cm < r 1 H = 0( 不包围电流 ) r = 12 cm H 2π = A m r = 13 cm r = 15 cm H = = A m 2π H = A m H = A m r = 18 cm > r 2 H = 0 I = 0 = 10 cm, 由此可见, 在圆环截面上, 磁场是不均匀的, 截面以外没有磁场, 磁感线集中在圆环内部 86

21 小结 1. 在磁场中取任意封闭面, A Bd A cos β = 0, 穿入封闭面的磁通等于穿出磁通, 磁通无始 无终 2. 在磁场中, 取一任意封闭路径, H d lcos β = I, 这一安培环路定律是确定磁场 H 与电 l 流 I 的关系重要定律 练习 证明长直载流导线周围磁场 H = I 2π R 求练习 穿过螺管截面的磁通 Φ 3-8 电磁感应 运动的电荷周围总是存在有电场和磁场 这三者 ( 运动电荷 电场和磁场 ) 是一件事物的不同方面, 是统一的一个整体 现在要讨论的是电荷 磁场 电场三者另一种相互关联的现象, 叫电磁感应 (elect ro-magnetic induction) 一 在磁场中运动导体的电磁感应设有长为 l 的直导体, 放在均匀磁场中, 且与磁场方向垂直, 在与导体垂直方向以匀速 v 运动时, 如图 所示 人们形象地称为切割磁感线 由于导体中有自由电子, 它随导体以速度 v 运动 将受磁场力移动, 因电子带负电荷, 由左手定则可知, 受力方向由 a 向 b, 移向 b 端 同理, 正电荷移向 a 端 因此, 在导体两端便积累有一定数量的正负电荷, 在导体内部及其周围形成电场, 导体两端产生电位差, 即导体产生了电动势 E, 称为感应电动势 (induced elecric-motive-force),e 的大小与 B l 和 v 都成正比, 即 E = Blv ( ) 电动势方向由负极指向正极 E B 和 v 的方向关系可以用右手定则 (right hand rule) 表达 : 伸平右手, 使磁场方向指向掌心, 拇指方向沿运动方图 向, 则四指方向便是电动势方向 发电机是一种电源, 发电机产生的电动势在数值上就是电源的开路端电压, 即 Us = E, 而 U s 的方向由正指向负 式 ( ) 是电工技术中重要公式之一, 它是发电机的基本原理,E 在数值上等于 Bl v 的 乘积,E B v 三者的方向互相垂直 它们的关系是右手定则 : 注意, 在 3-5 中讨论过的电动机基本原理,F = Bl I,F B I 三者互相垂直, 方向关系是左手定则 两种情况都是电荷 磁场 电场三者相互关联的结果, 有内在联系, 又有区别, 不可混淆 87

22 二 线圈中磁场变化时的电磁感应 3-5 讨论过线圈通过电流时要产生磁场, 现在研究的是线圈放在变化的磁场中 ( 如图 所示 ), 会发生什么情况? 法拉第 (Faraday) 通过实验发现如下现象 : 与线圈交链的磁 通发生变化时, 线圈两端便出现电位差, 即产生感应电动势 电 动势的大小与磁链的变化率 d Ψ 成正比 式中符号 Ψ 叫磁链 d t (flux linkage), 是与线圈每一匝交链的磁通总数, 如磁通与 N 匝 线圈的每一匝都交链, 则 Ψ = NΦ 法拉第还注意到磁场可以是永久磁铁的磁场, 也可以是电 图 流产生的磁场 磁场的变化可以是磁链由少变多 ( 包含由无到有 ), 也可是由多变少 ( 由有变无 ) 因磁链的单位是韦 [ 伯 ]( 伏 秒 ), 而 时, 称为法拉第电磁感应定律 dψ d Ψ 的单位就是伏 因此,e 的数值就等于 d t d t, 当 Ψ = NΦ e = d Ψ d t = N dφ d t 为了解决电动势的方向问题 1934 年楞次 (Lentze) 经过大量的实验证明, 当磁链变化时, 导 体内部的自由电子也受力向线圈一端移动, 在该端积累负电荷, 另一端便积累有正电荷 楞次观 察到下列情况 : 1. 磁通方向和线圈绕向如图 所示, 当磁通增加时, dφ d t 负电荷积累在 A 端, 电动势方向由 A 指向 B 2. 线圈绕制方向和磁通方向不变 ( 如图 ), 磁通减少时 反 ( 正电荷移向 A 端 ) >0, 则正电荷移向 B 端, dφ d t <0, 则电动势方向相 对于这一现象, 楞次认为 : 当磁通增加时, 电荷受力移动也产生磁场, 这磁场方向与原磁场方 向相反, 阻碍了磁通的增加 ( 但不是阻止, 原磁通还是增加的 ), 称为电的惯性 同理, 当磁通减少 时, 正电荷移动方向反过来, 阻碍磁通的减少 因此, 感应电动势为 e = - N dφ d t 式中, 负号便说明 e 的方向是阻碍磁通变化的, 称为楞次定律 如果原磁通的方向相反, 或者线圈绕的方向相反, 它的结论, 读者可自行分析 ( ) 式 ( ) 和 ( ) 两种形式的电磁感应都很重要, 是电工技术中电磁现象的基本规 律, 在电气设备中有大量应用 例题 已知一均匀磁场 B = 1 T, 有一直导线在与磁场垂直的平面内以速度 v = 5 m s 运动, 导线有效长度为 l = 50 cm, 求产生的感应电动势及其方向 88

23 解 E = Blv = V = 2.5 V 根据右手定则 E 的方向由 a 指向 b, 如例图 所示 例图 例图 例题 已知线圈有 匝, 与它全部交链的磁通为 Φ = Wb, 如果磁通在 0.1 s 时间内均匀消失为零, 求电动势及其方向 ( 已知线圈绕制方向, 磁通方向, 如例图 所示 ) 解 e = - N dφ d t = - N Φ2 - Φ1 t = ( ) V 0.1 = 30 V 因磁通减少,e 方向 ( 正电荷运动方向 ) 阻碍它减少, 应用右手螺旋法则, 正电荷应向 b 端移 动,( 它的磁场与原磁场一致, 故 e 的方向由 a 指向 b) 小结 1. 导体在磁场中作切割磁感线运动, 产生感应电动势 e = Bl v, 方向用右手定则确定 2. 线圈中磁链发生变化时, 线圈产生感应电动势 e = - dψ d t 负号表示建立电动势过程中, 电荷的运动总是阻碍磁场变化的 方向用右手螺旋法则确定 3. 产生感应电动势的过程实质是电场建立过程 因此 :(1) 导体 ( 含自由电荷 ) 在磁场中切 割磁力线时, 导体中建立电场 ;(2) 变动的磁场在导体中也建立电场 练习 在例题 中如该导体 ab 端外接电阻 5 Ω, 求电流及其方向 此时导体有电流通过, 导体在 磁场中, 是否受力? 力的大小和方向如何? 如何? 在图 的线圈中, 如果磁通是通过线圈的电流产生的, 当电流增加时, 产生的电动势方向 3-9 电感 在 3-5 中讨论的是电流周围任意一点的磁场与电流的关系, 现在研究与电流交链的磁通 89

24 总数与电流的关系 简单而又常用的是电感线圈, 设通过电流为 I, 产生磁通总数为 Φ, 与 N 匝 的每一匝都交链, 即 Ψ = NΦ 在非铁磁场材料的介质中 Ψ 与产生磁场的电流 I 成正比, 这个 比值 L = Ψ I = N Φ I ( ) L 定义为此线圈的电感 (inductance),l 的单位为亨 [ 利 ](H) 亨的单位在 3-5 中介绍过, 较小的电感单位用毫亨 (m H) 或微亨 (μ H) 一 自感 (self inductance) 当线圈中的磁通 Φ 是线圈自己的电流 I 所产生的, 比值 L = N Φ I 称为自感 注意如通过线圈的电流是变化的, 则磁通 Φ 和磁链 Ψ 也是变化的, 按电磁感应定律, 线圈 产生的感应电动势称为自感电动势,e = - N dφ d t, 而 NΦ = Li(i 是变化的 ), 则 N dφ d t = L d i d t, 故 自感电动势为 由式 ( ) 可得 L = e d i d t 值 所以自感又称为自感系数 e = - L d i d t, 故自感 L 也可以定义为自感电动势 e 与电流变化率 ( ) d i d t 的比 用了参数 L 之后, 感应电动势便只与电流变化率有关, 可以不再研究磁场问题, 所以 L 是交 流电路中的重要参数 ( 一 ) 环形螺管线圈的电感 图 所示的环形螺管线圈, 已知通过电流为 I, 圆环平均半径为 r, 线圈匝数为 N, 圆 环截面为圆形 半径为 R, 面积为 π R 2, 由 H = N I 2π r,b = μ N I μ NI,Φ = Bs = R2 = 2π r 2π r π L = Ψ I = NΦ I = μ N 2 R 2 2 r 注意, 这是在 r1 和 r2 差别不大, 假设圆环截面上为均匀磁场的电感近似值 ( 二 ) 直螺管线圈的电感 μ N IR2 2 r ( ) 参照图 所示的螺管线圈, 在螺管长度 l 比截面半径 R 大得多的条件下, 中心部分 磁场认为是均匀的,H = NI l,b = μ N I μ NIπ R2,Φ = BA = l l 故 L = μ N2 π R 2 l ( ) 由此可知,L 只与线圈尺寸有关而与电流无关, 且线圈的自感与 N 平方成正比, 匝数增加一 倍,L 增加为四倍 因为线圈匝数增加一倍, 一方面 B 要增加一倍, 磁通增加一倍, 而 Ψ = NΦ, L 便增加为四倍 90

25 二 互感 (mutual inductance) 设有相邻放置的两个线圈, 如图 所示 线圈 1 有 N 1 匝, 线圈 2 有 N 2 匝 当线圈 1 中有电流 I 1 通过时, 产生磁通 Φ 1 1, 这里采用了双下标, 即线圈 1 的电流 I 1 在 N 1 中产生的磁 通 这一磁通有一部分与线圈 2 交链, 这部分磁通为 Φ 2 1, 假设 Φ 1 1 与 N 1,Φ 2 1 与 N 2 全部交链, 则 Ψ 1 1 = N 1 Φ 1 1,Ψ 2 1 = N 2 Φ 2 1 按定义 L 1 = Ψ 1 1 I 1, 而 Ψ 2 1 I 1 称为线圈 2 对线圈 1 中电流的互 感 M 2 1 同理 L 2 = Ψ 2 2 I 2,M 1 2 = Ψ 1 2 I 2, 即 L1 = Ψ 1 1 L 2 = Ψ2 2 I 1 I 2 M 2 1 = Ψ 2 1 M 1 2 = Ψ 1 2 I 1 I 2 可以证明 :M 2 1 = M 1 2 = M, 单位也是亨 (H) 如果线圈 1 的电流 i 1 是变化的, 将在线圈 1 中 ( ) 产生自感电动势 e 1 1 = - L 1 d i 1 d t, 而在线圈 2 中有互 感电势产生 e2 1 = - M 2 1 变化 d i 1 d t, 负号代表阻碍电流的 两个线圈的相互影响称为磁的耦合 (magnetic coupling) 一般情况下 Φ2 1 <Φ1 1,Φ1 2 < Φ2 2, 令 图 k = Φ 2 1 Φ 1 1 Φ1 2 Φ 2 2 ( ) k 称为耦合系数,k 总是小于 1 的, 只有当两线圈紧密重合,k 近似为 1, 如两线圈轴线互相垂直 时,k 近似为零 如图 (a)(b) 所示 由式 ( ), 求出 Φ 2 1,Φ 1 2,Φ 1 1 和 Φ 2 2 代入式 ( ) 得 k = M L 1 L 2 在电力变压器中, 力求耦合紧密 (k 1), 采用铁磁材料作线圈的铁心, 如图 (a) 所 示, 将在第 8 章讨论 ; 在电子线路中, 如收音机磁性天线要求可调节两线圈的相对位置, 以获得最 (a) 图 (b) 91

26 佳耦合 ; 有的地方则要求避免不必要的磁场影响, 就要合理布局, 例如使两线圈远离 相互垂直 [ 如图 (b) 所示 ], 或有磁屏蔽使 k 接近为零 感 L 例题 有两个电感线圈,L 1 = 15 mh,l 2 = 10 mh, 耦合系数为 k = 0.6, 求互感 M 解 M = k L 1 L 2 = mh = 7.35 m H 例题 已知长螺管线圈,N = 匝,l = 20 cm,r = 1 cm, 绕在木管上 求电 解 L = μ 0 N 2 π R 2 l = 4π π H 可见, 一般线圈电感是不大的 三 有电感的电路 = 2π H = 1.97 m H 在图 所示的电路中, 当开关 S 合上时将看到, 支路 1 的灯泡立刻亮起来, 而支路 2 的灯泡却慢慢才亮起来, 原因就是与灯泡 2 串联的线圈有自感现象 支路 1 中只有电阻 R, 开关 合上后电流由零跃变到 I 1 (U s R), 但在支路 2 中, 开关合上的瞬间, 电流的变化产生感应电动 势 e = - L d i2 d t, 阻碍电流的突然上升, 就在那一瞬间,e = U s, 电流保持为零, 但随后电流上升,e 也小下来, 最后电流上升到 I 2 = U s R 时 ( 设线圈没有电阻 ), 电流不再变化,e = 0, 达到稳定状 态, 这就是为什么人们看到的灯泡 2 比灯泡 1 亮得慢的原因 图 图 由此可知, 具有电感的电路, 电流是不能突变的, 在开关合上的瞬间, 电流保持原有的零状态, 经过一段时间以后, 电流逐渐变化到新的稳态 I2 = U s R, 在稳态下, 电感不起作用 这种电流由一种稳态过渡到另一种稳态的过程, 也是瞬态过程 在图 所示电路中, 如果 S2 仍闭合时, 打开开关 S1, 则 I1 应该突变到零 ( 电灯熄灭 ), 但人们看到两个灯泡都不立刻熄灭, 而是逐渐变暗, 最后熄灭 这是因为 I 2 变化时电感上有感应电动势 e 产生, 它阻碍电流下降, 在开关断开的瞬间,I2 维持不变, 灯泡 1 上电流是可以突变的, 由原来电流突变为零, 但因为与灯泡 2 形成回路,I 1 又从零突变到反方向的 U s R, 即 I 2 还流过灯泡 1 此后两个灯泡上有同一电流 I 逐步下降为零, 即电流下降也要一个过程 如图 所示, 电路中先断开 S2, 再断开 S1, 支路 1 中电流突变为零, 支路 2 中电流不能突变, 但没有回路, 在开关 S1 断开处, 出现电位差 (U s + e), 如果很大, 将使空气击穿, 形成火 92

27 花 所以一般含电感的电路, 开关断开时会发生火花, 有时还会很大, 有必要采取措施, 例如闸刀 开关加装弹簧, 使之快速断开, 或者加装灭弧罩, 高压油开关则浸在绝缘强度高的矿物油中 ( 参考 3-2 介质的击穿 ) 四 磁场能量 (m agnetic field energy) 电感线圈中电流上升过程是磁场建立过程, 在这过程中自感自动势对电源而言是反电动势, 电源克服反电动势做功, 功率为 ei = Li d i d t, 在 d t 时间内所作的功为 Lid i, 故全部过程所作的功 为 W m = I 这一能量是储存在整个磁场中的, 所以用下标 m 表示 0 Lid i = 1 2 LI2 ( ) 当电感线圈从电源断开时, 电流下降, 磁场变弱, 能量释放, 消耗在电阻或者是断开处的火花 上, 所以电感也是储能元件 如果电源电压是变化的, 则电流随之变化, 电感线圈中的磁场相应变化, 时而储存能量, 时而 释放能量, 它们的变化规律将在下一章讨论 例题 已知电感线圈 L = 10 mh, 与之串联的电阻为 R = 5 Ω, 与 Us = 10 V 直流电 源接通, 求稳定后电流 I, 储存在磁场中的能量 解 小结 I = Us R = 10 5 A = 2 A W m = 1 2 L I2 = J = J = 0.02 J 1. 电流周围存在磁场, 与线圈交链的磁通链 Ψ 与电流的比值称为电感 2. 变化的电流产生变化的磁场, 线圈的自感电动势与电流变化率成正比 3. 电感只与线圈匝数 几何尺寸和介质有关, 除铁磁介质外, 电感是常数, 与电流无关 4. 两线圈之间有互感 线圈 1 的电流产生的磁通有部分与线圈 2 交链, 叫磁耦合, 耦合系 数一般小于 1, 最大等于 L I2 5. 电感线圈是储能元件, 通过的电流不能突变 6. 电感线圈 ( 与电阻串联 ) 与直流电源接通时, 电流由零过渡到新的稳态 U s R, 储存能量 电感线圈与电源断开时, 能量释放 练习 比较式 R = U I,C = Q U,L = Ψ I, 为什么说 R C L 与电流或电压无关? 已知一线圈 L1 = 20 mh, 如通过电流为 2 A, 求磁通链 Ψ, 如匝数为 N = 500 匝, 求磁通 Φ 93

28 本章结束语 静止的电荷周围存在电场, 运动的电荷周围也有电场, 而且还有磁场 因此, 运动的电荷 电场和磁场, 三者是统一存在, 相互关联的一个整体 另一方面, 电荷放在电场中要受电场力,F = QE, 运动的电荷不仅受电场力, 放在磁场中, 还要受磁场力 F = Q vb 或 F = BlI( 适用于载流导体在磁场中受力 ) 电场强度 E 磁感应强度 B 就是用电荷受力定义的, 都是矢量, 要弄清方向是如何确定的 第三, 当磁场磁感线变化 ( 或者是切割导体 ) 时, 会产生感应电动势, 这是电场磁场的又一种关联, 也是电荷 电场 磁场之间的联系 电工中用的材料对电路而言有导体和绝缘体, 后者对电场而言称为电介质, 在电场中会被极化, 产生附加电场, 削弱原电场, 介电系数 ε 就是表征这一性能的, 在介质中,E 与 ε 成反比,ε 总是大于真空的 ε 0 在磁场中, 所有材料都是磁介质, 在磁场中会被磁化, 产生附加磁场, 除了铁磁材料大大增强原磁场外, 其余材料磁化后有的削弱 有的增强原磁场, 但都影响不大 磁导率 μ 是表征这一性能的 在介质中 B 与 μ 成正比, 除了铁磁材料的 μ μ 0, 一般 μ μ 0 而电位移 D 和磁场强度的 H, 都与介质无关 安全用电是重要的, 在强电场作用下, 绝缘会被击穿, 仅选择优良的材料, 加大厚度是不够的, 还要使电场分布合理 本章研究了各种带电导体的电场和载流导体的磁场 特别带正负电荷的两平行平板的电场几乎全部集中在平板之间, 而且是均匀的, 从而可求电容 C = Q U 环形螺管线圈, 磁场几乎全部集中在线圈内, 也近似均匀的, 可求电感 L = Ψ I, 显然, 任何导体之间会有电容, 单根导体也有电感, 但平板电容器和电感线圈,C 和 L 较大, 是电路中重要的元件 为了研究方便, 从静电场开始, 简单介绍了恒定电场 最后对电容器充放电过程有初步了解 已充电到稳态的电场是静电场, 在充电或放电过程中, 电场是变化的, 电场的性质, 例如两极板电压 u 等于电场强度与距离 d 的乘积, 电场强度与 ε 成反比等等, 与静电场一样 同理, 开始讨论的是恒定磁场, 但电感线圈与直流电源接通后, 电流是变化的, 磁场也是变化的, 有感应电动势产生, 稳定之后, 磁场才是恒定的 磁场的基本性质, 对变化磁场仍然适用 习 题 3-1 已知一段铜线长 20 m, 截面积 A = 1 mm 2, 如题图 3-1 所示, 求电阻 R, 如通过电流为 2 A, 求电压降 导体内部电场强度 E 自由电子 (Q e = C) 所受的电场力 3-2 两平行平板面积为 A = 16 cm 2, 相距 0.5 cm, 已知均匀电场 E = V cm, 介质为胶木 ε r = 4, 求电压和平板所带的电荷 在介质的正中间与两板平行的平面与两板之间的电位差 3-3 求题 3-2 两平行平板的电容 ( 分别用 C = Q U 和 C = εa d 计算 ) 题图 一平行平板电容器, 极板间距离为 3 mm, 有两层电介质, 一 94

29 层为腊纸 ε r1 = 4, 厚度为 1 mm, 另一层为云母,ε r2 = 6, 厚度为 2 mm, 分界面与极板平行, 外加电压 420 V, 求两层介质中的电场强度 3-5 平行平板电容器标称工作电压为 20 kv, 而击穿电压为工作电压的 2.5 倍, 电介质为云母, 绝缘强度为 80 kv mm, 极板间距离最小应为多大? 3-6 已知一平板电容器极板距离为 3 mm, 中间介质 ε r = 6, 厚度为 2 mm, 空隙有 1 mm, 介质是空气, 如外加电压为 V, 问是否会被击穿 3-7 多片板电容器极片分两组, 分别为 50 片与 51 片, 每片面积为 cm 2, 片与片间距离为 cm, 电介质 ε r = 5, 求电容量 3-8 有 0.5 μ F 和 1 μ F 的两个电容器, 其额定电压均为 250 V, 问串联后的工作电压应为多少? 3-9 两电容器 C 1 和 C 2, 并联后等效电容为 10 μ F, 串联后等效电容为 2.1 μ F, 求 C 1 C 一电容器 C = 10 μf, 与一电阻 R = 10 Ω, 串联接在直流电源 U s = 100 V 上 求 :(1) 开关接通稳定后电容器上电压 U C ;(2) 开关接通瞬间电路中最大电流 ;(3) 稳定后储存在电场中能量 3-11 电容 C = 20 μ F, 电阻 R 2 = 20 Ω, 并联后再与电阻 R 1 = 20 Ω 串联, 接在 U s = 10 V 直流电源上, 如题图 3-11 所示, 当开关合上并稳定后, 电容器上电压为多少? 储存在电场中能量为多少? 3-12 在题 3-11 中, 当电容器已充电到稳定值后, 将开关断开, 切断电源 求断开瞬间, 电容器放电时最大电流 3-13 两长导线垂直于纸面, 相距 10 cm, 已知电流均为 300 A, 方向相同, 求 :(1) 两导线每米相互作用力和方向 ;(2) 两导线中点 P 的磁感应题图 3-11 强度 B 和方向 3-14 在题图 3-14 中, 导体长 50 cm, 通过电流 I = 40 A, 气隙中 B = 0.9 T, 求导体受力大小和方向 3-15 环形螺管线圈 N = 400 匝,r 1 = 10 cm,r 2 = 14 cm, 截面为圆形, 管心为 μ r = 的铁磁材料, 电流为 2. 5 A 求螺管中心磁场强度 H, 磁感应强度 B, 穿过铁心的磁通量 3-16 求题 3-15 环形螺管线圈的电感 L 3-17 两电感线圈 L 1 = 4 mh,l 2 = 9 mh, 如两线圈有磁的耦题图 3-14 合, 已知 k = 0.7, 求互感 M 3-18 一电感线圈 L = 10 mh 与一电阻 R = 10 Ω 串联,U s = 100 V, 求接通后稳定电流为多少? 储存在磁场中的能量为多少? 3-19 一电感线圈 L = 5 mh, 本身具有电阻 R L = 2 Ω, 与一电阻 R = 100 Ω 并联, 与直流电源接通,U s = 100 V, 当开关合上瞬间, 求通过 R 的电流, 线圈中的电流 ; 当电路达到稳态后, 线圈中的电流, 电阻 R 上的电流 3-20 在题图 3-20 中, 已知均匀磁场 B = 1 T 中, 有一导体长 40 cm, 以与磁场垂直的 v = 5 m s 的速度做恒速运动, 求感应电动势 E 及其方向 3-21 在题 3-20 中, 如导体外接有电阻 R = 8 Ω, 求导体中电流 I 及其方向, 所受电磁力及其方向 3-22 一螺管电感线圈,R = 2 cm, 长 20 cm, 绕有 N = 线圈, 芯子为胶木 ε r = 4, 求通有电流 I = 2 A 时, 中心处的磁场强度 H 磁感应强度 B, 穿过线圈的磁通 题图 求上题线圈的电感 L 3-24 如题 3-22 的线圈中电流在 s 中均匀下降为零, 求感应电动势 95