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睿食芮
5 years ago
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1 笫七章目录 ( 一 ) 开普勒三定律 ( 二 ) 牛顿定律 ( 三 ) 质点在有心力场中的运动 1

2 ( 一 ) 开普勒三定律第谷 (Tyeho Bahe, ), 丹麦天文学家开普勒 (Keple Johamnes, ), 丹麦天文学家一开普勒行星运动定律 (1) 轨道定律 : 行星沿椭圆轨道运行, 太阳位于椭圆的一个焦点上 ; () () 面积定律 : 对任一行星, 它的矢径在相等的时间内扫过的面积相等 ; (3) 周期定律 : 行星绕太阳运动轨道半长轴的立方正比于公转周期 T 的平方, 即 T 3

3 开普勒的太阳系 3

4 利用角动量守恒定律证明开普勒面积定律如图, 行星对太阳的角动量大小为 L L p lim m t 0 mv sin s t sin 用表示从 O 到速度矢量 v 的垂直距离, 则有 sins s S S t L mv O 其中是时间内行星与太阳间的联线所扫过的面积, 故 S ds L lim m m t0 t dt 掠面速度 4

5 由于为有心力, 它对力心的力矩总是等于零, 故角动量守恒, 亦即 ds dt L m const 这就证明了掠面速度不变, 也就是开普勒笫二定律. 实际上, 此定律与角动量守恒定律等价. 太阳在焦点位置如图, 由解析几何知, 椭圆方程为 x a y b 两焦点在长轴上位置坐标为 c a b 1 c a O v c 1 v 1 5

6 设行星远日点和近日点的距离分别为度为. 由机械能守恒, 有 v 1 v 1 1 Mm 1 Mm mv 1 G mv G v 由角动量守恒, 有 1 GM 1 1 v1 1 mv mv 1 1, 对应的速 (1) v 1 v () 1 6

7 根据向心力公式和长轴端点弧元的曲率半径, 有 m v Mm G 0 解 (1) () 和 (3) 得其中考虑到最后求得 a b 1 0 a a 1 a b a (3) c 0 b a ( 其中 : ) a O 这表明太阳位置坐标为 (-c), 这正是几何上的椭圆焦点位置. v c 1 v 1 7

8 ( 二 ) 牛顿定律一由开普勒定律推导定律若 m<<m s, 可把太阳看作静止惯性系, 行星轨道看作圆形, 而行星应作匀速圆周运动, 由开普勒周期定律得而 v T v, 故取比例系数为 k, 则得 3 T 利用 a v 1 1 a 3 m F ma m F k 8

9 牛顿认为这种引力是万有的普适的统一的, 即所有物体之间都存在这种引力, 称之为对地球和月亮之间的吸引力应有 m月 F k F k 地月地月地地月地 - 月地 - 月根据牛顿第三定律, 由以上两式得 m k 地 k 月 m 地 m 月 G 其比值应是一个与地球和月亮都无关的普适常数, 设为 G, 则 k地 Gm 地 k 月 Gm 月 9

10 于是, 地球月亮之间的引力为 m地 m月 F G 普适的定律则可描述为 G 称为常数. F G m m 1986 年, 国际科学联盟理事会科技数据委员会推荐数值为 : 1 G m kg s 其量纲为 G f 1 3 M L T m 10

11 亨利卡文迪许 (Heny Cavendish,1731~1810): 英国化学家物理学家 1760 年卡卡文迪许扭秤实验 (1789 年 ) 文迪许被选为伦敦皇家学会成员,1803 年又被选为法国研究 G m kg s 院的 18 名外籍会员之一测量 11

12 例已知太阳的质量为 M 30 s =.0 l0 kg, 与银河系中心的距离为 R= m, 太阳绕银河系中心转一周需年若将银河系看成类似于太阳的无数恒星所构成, 试估算出银河系由多少个恒星组成? 解设恒星均绕银河系中心作匀速圆周运动, 则有 M R s GM g M 其中 M g 为银河系质量,ω 为太阳绕银河系中心运动的角速度将已知数据代入, 可得 M g 3 R / G s / R 1910 若银河系恒星的平均质量等于太阳质量, 则银河系中恒星的个数为 N 39 M g / M s kg 10 1

13 ( 三 ) 质点在有心力场中的运动一有心力所谓有心力, 就是方向始终指向 ( 或背向 ) 固定中心的力. F f ˆ 该固定中心称为力心. 在许多情况下, 有心力的大小仅与考察点至力心的距离有关, 即 F f ˆ 保守有心力有心力存在的空间称为有心力场, 如场库仑力场分子力场 13

14 二有心力场质点运动的一般特征在有心力场中, 质点的运动方程为其特征 : m ⑴ 运动必定在一个平面上 f ˆ 通常用平面极坐标描述运动, 取力心为原点, 运动方程为方向 ˆ m f (1) ˆ 方向 m 0 () 14

15 ⑵ 两个守恒量有心力对原点的力矩为零, 故质点对原点的角动量守恒. 对 () 式两边乘, 再对时间积分得 m m 0 d m 0 dt m L const 有心力为保守力, 质点的机械能守恒即角动量守恒 1 1 E k V mv mv V 1 m V E const 15

16 ⑶ 有效势能与轨道特征因 L m 1 L m E m V 是运动常量, 故机械能守恒定律可写为讨论有心力为情况设有两个质量分别为 m M 的质点, 则有则有 V eff mm V G GMm L m 1 m Veff const 有效势能 L m 等效斥力势能 1 L GM m GMm m E (3) GMm 16

17 利用势能曲线对引力场轨道特征作定性讨论质点总能量 E 的大小决定了质点在有心力场中的运动范围, 即质点可作不同类型的轨道运动. 拱点 : 质点的总能量为 E 的水平线与有效势能曲线的交点拱点的性质 : 在拱点处, 取极值, 则有 v 0 代入 (3) 式可得 Mm L G E me 由该式可求得拱点处的值 0 (4) E L m GMm 17

18 1. 若 E=E E 1 >0, 1, 由方程 (4) 可得 Mm Mm L 1 G (G ) E E me E 可证明此轨道为一双曲线 ; V eff E 1 O L m 1 1 E=E1 M (,) mm G 18

19 若 E=E =0, 由方程 (4) 可得. 若 E=E =0, L Gm M 可证明此轨道为一抛物线 ; E V eff E O L m M (,) E=E mm G 19

20 3. 若 E=E 3<0, 3 min 3 max, 由方程 (4) 可得 Mm Mm L 3 min G (G ) E E me Mm Mm L 3max G (G ) E E me 椭圆半长轴为 1 ( ) Mm a 3min 3max G E E 此轨道为一椭圆, 力心为椭圆的一个焦点 ; V V eff E 3 O L m (,) E=E 3 3min 3max 3min 3max M mm G 0

21 4. 若 E=E 4 =V eff min, 4. 若 E E 4 V eff-min, 4 0, 由方程 (4) 可得 L Gm M 4 即质点到力心的距离不变, 此轨道为一圆. E V eff (,) O E 4 0 M E=E 4 0 1

22 1. 若 E=E E 1 >0, 此轨道为一双曲线 ;. 若 E=E =0, 此轨道为一抛物线 ; 3. 若 E=E 3 <0, 此轨道为一椭圆, 力心为椭圆的一个焦点 ; 4. 若 E=E 4 =V eff-min, 此轨道为一圆. E V eff E 1 E=E 1 E=E E O 1 0 E 4 E 3 3min 3max 3min 3max 1 M E=E 4 0 E=E 3

23 有心力场中质点运动的定量处理 *( 课外阅读 ) 由角动量守恒和机械能守恒定律可得 h 其中 h= L m 1 mh 解以上方程组 m V ( ) E 0 1 cos i. = 0, 圆方程, 半径 = 0 其中 0 h GM 为待定常数 ( 与 E 和 V() 有关 ) ii. 0< <1, 椭圆方程, 长轴 a= 0 /1- ; 短轴 b= 0 /1- iii. = 1, 抛物线方程, 顶点 :( 0,0), 准线 :x = 0 iv. > 1, 双曲线方程, 焦点 :(0,0), 开口向左 3

24 例 7 7. 试由地球向火星发射人造天体的发射速度 E S M 双切轨道解 : 采用双切轨道方案 ( 霍曼轨道方案 ) 设地球轨道和火星轨道半径分别为 e m m,, 则飞船运行的双切椭圆轨道半长轴 a 是 e m, 的平均值, 即 a 1 ( ) e m 4

25 由 a C E E C a C a e m 其中 C=Gm s m,m s,m 分别为太阳和飞船质量 ; E 为飞船摆脱地球的引力束缚后的总能量 ; 此时, 飞船与太阳的距离仍为 e, 则此时飞船的动能为 1 Ek mv E V 由此解得飞船此时的速度 C C 1 1 v Gms ( ) e e m e m e ( 注 : 此速度相对于太阳 ) 5

26 相对于地球, 飞船摆脱地球引力后的速度为 1 1 u v ve Gms ( ) v e e m 其中 v e 为地球公转速度,v e =9.6km/s 设飞船相对于地球的发射速度为 v, 由机械能守恒定律可得 1 Gm m 1 mv mu R e e e 于是可得 Gm v u R e e u v 其中 v 为第二宇宙速度,vv =11.km/s 6

27 将有关数据代入, 可得 1 1 v Gm s( ) 37. km s e e m 以及 u v v 9. km s e 最后可得由地球向火星发射人造天体的发射速度为 v u v 11. 6k km s 7

28 例银河系为什么是扁的? 银河系在引力和离心力共同作用下坍塌成盘状 8

29 本章基本要求 1. 理解开普勒三定律的意义.. 掌握定律. 3. 掌握质点在有心力场中运动的基本规律. 9

水功能区划报告

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