绪论 1. 什么是电磁学 : 是研究电磁现象 电磁相互作用规律及其应用的学科. 研究的对象 : 电磁场, 与力学 热学区别. 适用范围 : 尺度 (1% 的原子尺度 ) 1 1 cm 速度低速 高速 4. 重要性 : 四大相互作用之一 ; 物质结构的基础 ; 高新技术的基础 ; 其它学科的基础
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1 电磁学与电动力学 ( 上册 : 电磁学部分 ) 程福臻中国科技大学物理学院 fzhen@ustc.edu.cn 下载 电磁学 pdf 网址 :
2 绪论 1. 什么是电磁学 : 是研究电磁现象 电磁相互作用规律及其应用的学科. 研究的对象 : 电磁场, 与力学 热学区别. 适用范围 : 尺度 (1% 的原子尺度 ) 1 1 cm 速度低速 高速 4. 重要性 : 四大相互作用之一 ; 物质结构的基础 ; 高新技术的基础 ; 其它学科的基础
3 5. 电磁学教材章节安排和主要特色 章次 章 名 课时 一 ( 真空中的 ) 静电场 8 二 ( 静电场中的 ) 导体和电介质 1 三 静电能 8 四 稳恒电路 6 五 ( 真空中的 ) 静磁场 8 六 ( 静磁场中的 ) 磁介质 9 七 电磁感应 8 八 磁能 5 九 交流电路 4 十 ( 麦克斯韦 ) 电磁理论 6 习题及参考答案, 参考文献, 教学进度与作业布置, 附录 ( 中英人名, 单位制, 矢量分析, 物理常数 ), 名词索引 ( 合计 7)
4 电磁学的内容分析 核心内容 : 静电场 静磁场 电磁感应 麦克斯韦电磁理论 拓展内容 : 两种介质 : 电介质 磁介质两类能量 : 电场能 磁场能两种电路 : 稳恒电路 交流电路 应用与前沿 : 有机地融入以上内容中
5 6. 课堂教学 课外教学相结合 课堂教学 : 讲点故事 多点讨论 作点演示 加点小练习 课外教学 : 辅导讨论 教师讲座 组织参观 小论文竞赛
6 教 物理学不应该教成一堆技术, 而应教成思想概念的诗剧 应该强调思想概念的演变, 强调我们企图了解物理世界的历史, 以使学生具备洞察未来的能力 爱因斯坦
7 学 学问 : 求学问, 需学问 ; 只学答, 非学问 李政道 学习 : 预习 复习 练习 实习 学而不思则罔, 思而不学则殆 如切如磋 如琢如磨 交流 求精
8 7. 主要参考书 电磁学与电动力学 ( 上册 ), 胡友秋程福臻叶邦角,8 年, 科学出版社 ; 电磁学, 赵凯华陈熙谋, 年, 高等教育出版社 ; 电磁学专题研究, 陈秉乾舒幼生胡望雨,1 年, 高等教育出版社 ; 费恩曼物理学讲义 ( 第二卷 ), 李洪芳王子辅钟万蘅译,5 年, 上海科学技术出版社
9 8. 总成绩计算 作业 :8 分 ( 第二周起, 双周星期 交 ), 按进度表作, 打 * 号题可以讨论作 ; 小论文 :7 分 ; 参加竞赛得奖者加 分 ; 二次段考 :4 分 ( 每 - 章考一次 ); 期末考试 :45 分
10 第一章真空中的静电场 1-1 电荷守恒 1- 库仑定律 1- 叠加原理 1-4 电场强度 1-5 高斯定理 1-6 环路定理 1-7 电势
11 1-1 电荷守恒 1. 电荷 : 电荷是电学中最基本的概念 ( 回顾 ) 早期 : 物质的力效应来定义 摩擦 吸引轻小物质 物质带了电荷
12 吉尔伯特 ( ) 为与磁作用区别, 造出 Electicity( 电 ), 源自希腊文 琥珀 音译 electon 近代 : 实验揭示了电荷的物理本质 电荷是基本粒子的一种属性, 不存在不依附物 质的 单独电荷 1897 年, 英国物理学家汤姆孙测出了阴极射线带电粒子的荷质比 ; 这种带负电的粒子后被称为电子
13 电子的发现者 - 汤姆逊 (J.J.Thomson) 年间, 密立根用油滴实验, 19 测定电荷的最小单位是 库仑
14 . 电荷的特性 (1) 自然界中存在两种电荷, 分别称为正 (+) 电荷和负 (-) 电荷 1747 年, 美国科学家富兰克林丝绸摩擦过的玻璃棒所带的电荷称为正电荷 ; 毛皮摩擦过的橡胶棒所带的电荷称为负电荷 实验表明同号电荷相斥, 异号电荷相吸, 于是, 可以用实验来测出物体带有哪种电荷 ( 见演示实验 )
15 () 电荷是量子化的 物质所带的电荷量不可能连续地变化, 而只能一份一份地增加或减小 最小的一份是电子或正电子所带的电量, 绝对值为 e,e =1.6177(49) 1 19 C 近代物理从理论和实验上都已证实强子都是由 6 种夸克 ( 或反夸克 ) 组成 每一个夸克或反夸克可能带有 1/e 或 /e 的电量 至今单独存在的夸克尚未在实验中发现
16 6 种夸克 例如 : P( 质子 ) 由 uud 组成 ; 介子由 u 组成 n( 中子 ) 由 udd 组成 ; 介子由 d 组成 d u
17 () 电荷对称性 每种带电的基本粒子, 必然存在与之对应的 带等量异号电荷的另一种基本粒子 - 反粒子 例如, 电子和正电子, 质子和反质子 ; 介子和 反介子等等 (4) 电量是相对论性不变量 即电量与质量不同, 与带电物质的运动速度无关 讨论题 : 请对比电荷与质量的异同?
18 . 电荷守恒定律 一个孤立系统 ( 与外界不发生电荷交换的系统 ) 的电荷总量 ( 代数和 ) 是保持不变的, 它既不能创生, 也不会消灭 电荷只能从系统内的一个物体转移到另一个物体, 系统的总电量既不随时间而变, 也与参考系的选取无关 对核反应也是成立的 : 中子 (n)β 衰变 : 镭的 α 衰变 : 1 1 v 1 1 e Ra18 86Rn16 He n p e.
19 太阳上核聚变反应的一种可能链式过程 : H H D e, v e D H He, He He He H 年有人做了一个实验, 估计出电子的 1 寿命超过 1 年 ( 比推测的宇宙年龄还要长得多 )
20 1- 库仑定律 1. 库仑定律建立的基础 ( 科学发展靠积累 突破 继承创新 ) 16 世纪 18 世纪中叶, 摩擦起电机 ; 正电 负电两种, 同性电荷相斥, 异性电荷相吸 ; 天电和地电统一 ; 掌握了电荷转移及储存方法 ; 认识到电荷守恒定律 电荷之间作用力的大小和方向? 175 年前后, 德国的埃皮诺斯发现 : 电荷之间的相互作用力随其距离的减小而增大 ;
21 1766 年, 德国的普利斯特利的均匀带电球壳对其内部点电荷无作用力的实验与猜想 : 难道我们就不可以认为电的吸引力遵从与万有引力相同的规律, 即与距离平方反比有关的规律吗? 1769 年, 英国的罗宾逊通过作用在一个荷电小球上的电力和重力平衡的试验, 定出同种电荷之间的斥力与距离的.6 次方成反比, 但是当时没发表 ; 年间, 英国的卡文迪许静电实验, 1 多年后才由麦克斯韦整理 注释出版了他生前的手稿
22 . 库仑的扭称实验与电摆实验 1) 扭称实验 1785 年库仑自行设计制作了一台扭秤 : 利用银质悬丝的扭转 力的知识, 测量了电 荷之间的相互排斥力 与其距离的关系, 建 立了库仑定律 直接 的测量 ( 用扭称作异号电荷相互吸引时, 遇到不稳定的困难!) k
23 ) 电摆实验 ( 引力 ) 是在牛顿万有引力定律的启示下设计的 L 单摆的周期 : T= m M g 重力 m g = G 代入则得 : L T = G M 即 : T 试验证明, 电摆的周期近似正比于带电小球与带电大球球心的距离, 修正漏电产生的误差, 平方反比的结论基本符合 是间接验证
24 . 库仑定律 库仑定律的精确表述是 : 两个静止的点电荷 q 和 q 1 之间的作用力的大小与两点电荷电量的乘积成正比, 与它们之间距离的平方成反比, 作用力的方向沿着两点电荷间的连线, 同号电荷相斥, 异号电荷相吸
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26 按图 1., 可将库仑定律表达为 : k 为比例常数, 由实验测定并与单位制有关 我们取国际单位制 (SI), 在真空中, 我们将常数 k 写成为 k 1 / (4, ) 其中 称为真空介电常量或电容率 由实验测定已知电量的两个点电荷在真空中的相互作用力, 便可得 k 或的值 近似值为 : 相应的 k 值为 : k q q F k F C N m C N, m (1..1)
27 4. 对库仑定律的几点说明 (1) 库仑定律适用的对象是点电荷 点电荷意即其尺度为零, 是种模型 自然界中并不存在这种理想的点电荷 在实际问题中, 只要两带电体的尺度远小于它们之间的距离, 就可忽略带电体本身的尺度, 而把它们当作点电荷来处理 () 库仑定律只适用于两点电荷静止的情况, 因此人们常把库仑力称为静电力 当两点电荷发生运动时, 由库仑定律所预言的相互作用力应该进行修改 但以后会知道, 只要它们运动的速度远低于光速, 这一修改可以忽略
28 () 电力距离平方反比律与光子静止质量 m 是否为零有密切的关系 近代观点认为, 各种相互作用都通过某种粒子来传递, 其中电磁相互作用就是通过光子来传递的 如果电力相对距离平方反比律出现偏差, 将导致 m ( 可参看陈秉乾等人的书 P56-568) (4) 库仑定律与力学中的万有引力定律相似点与不同点? ( 小讨论 ) 相似点 : 都具有与距离平方反比的特征 ( 万有引力是近似的 ), 都是径向长程力, 满足牛顿第三定律 不同点 :(a) 电荷有正 负两种, 异号电荷相吸, 同号电荷相斥 可对质点来说, 它们之间只有引力, 没有斥力 (b) 静电之间的相互作用可以屏蔽, 而质点间的引力相互作用是无法屏蔽的 (c) 带电粒子间的库仑力远大于它们间的万有引力
29 1. 观察现象. 提出问题 建立定律的归纳法. 猜测 1 4. 设计实验测量 : 库仑 F,.4 5. 提高实验精度 : ( 可参看陈秉乾等人的书 P1-) 卡文迪许.; 麦克斯韦 普里姆顿和洛顿 年, 威廉士等人
30 1- 叠加原理 1. 叠加原理的表述 实验证明, 两个静止点电荷之间的相互作用 力不因第三个静止点电荷的存在而改变 ; 由 N 个 静止点电荷 q 1,q,q,,q i,, q N 组成的 系统, 作用到静止点电荷 q 上的库仑力可以表为 : N 1 qi F q ( ), i (1..1) 4 i1 这就是叠加原理 式中 为 q 的位置矢量, i 为 q i 的位置矢量 注意是矢量叠加! i
31 q i q i 点电荷体系之间的库仑力
32 . 各种带电体对静止点电荷的作用力 把带电体分割为许多称为 电荷元 的小部分, 电荷元的体积很小为 V, 电量为 q, 于是 (1) 可引入电荷密度的概念, q e, 定义 : V 称 e 为体电荷密度, 它表示单位体积的电量 (1..) 相应地可定义面电荷密度 : q e, S (1..) 线电荷密度 : q e, (1..4) l q 在一般问题中可看成点电荷
33 () 利用叠加原理来求带电体系对点电荷 q 的作用力 ; 体电荷密度为 ( e ) 的带电体 V, 可以看成无数个点电荷 q V 组成, 于是便有 : q ( ) F e ( ) ( ) dv, 4 V 同理, 带电面和带电线对点电荷 q 的作用力分别为 : q e ( ) F ( ) ( ) ds, (1..6) 4 S e ( ) q ( ) F e ( ) ( ) dl, 4 L (1..5) (1..7)
34 . 各种带电体之间的作用力 设有体积为 V1 电荷密度为 () 和体积为 1 V 电荷密度为的两个带电体, 则两个带电 () 体之间的库仑力为 : F V V 1 ( 1 1 ) ( 1 ) ( 1 ) dvdv 1 F 1 (1..8) 式中为带电体 1 对带电体 的作用力, F F1 1 为带电体 对带电体 1 的作用力
35 V V 两带电体之间的库仑力
36 1-4 电场强度 1. 电场强度的发现与定义 由上两节式 (1..1) 式(1..1) 式(1..5) 式 (1..6) 和式 (1..7) 发现, 比值 F/q 与 q 的大小无关, 只与施力物体的电荷分布和 q 的位置有关, 它等于处在位置 处的单位正电荷所受的力, 定义为电场强度 E: E F, (1.4.1) q
37 电场强度是空间坐标的矢量函数, E = E (x,y,z), 即矢量场 为与其它矢量 场, 如速度场 引力场等相区别, 我们称 它为电场 简言之, 电场就是带电体周围 的一个具有特定性质的空间 在此空间中 处一点电荷 q, 会受 到作用力 F, 由 (1.4.1) 知, 应有 : F = qe ( )
38 . 电力传递问题的争论 场的概念是法拉第首先提出并使用的, 他的力线思想是场概念的先声 电场是客观存在的一种物质, 只是在形态上与由原子和分子构成的物质不同 从这个观点出发, 就能很自然地理解带电体之间的相互作用 这种作用实际上是通过电场来传递 ( 即近距作用的观点 ) 电荷电场电荷 现在, 人们知道电场也具有能量, 而且和带电体相互作用, 交换能量 ; 电场的能量可以转换成其它形式的能量如物体的机械能 电池的化学能等
39 另一种所谓 超距作用 观点, 认为带电体之间的相互作用 ( 如两电荷间的吸力或斥力 ) 是以无 限大速度在两物体间直接传递的, 与存在于两物 体之间的物质无关 因此持有超距作用观点的人认为带电体之间的 相互作用无需传递时间, 也不承认电场是传递相 互作用的客观物质 在静电学的研究范围内, 超距作用与近距作用 两种观点等效 包括库仑在内, 都持有超距作用 观点
40 . 各种带电体系的电场强度 点电荷 q 的电场强度 : N 个点电荷系 : 体电荷分布 : 面电荷分布 : 线电荷分布 : q E. 4 (1.4.) N 1 qi E ( ), i 4 i1 1 e ( ) E ( ) dv, 4 V 1 e( ) E ( ) ds, 4 S 1 e ( ) E ( ) dl. 4 L i (1.4.) (1.4.4) (1.4.5) (1.4.6) 由此可见, 静电力满足叠加原理必将导致电场强度满足叠加原理
41 4. 求 E 的典型例子 ( 第一种求 E 的方法, 按定义 ) [ 例 1.1: 电偶极子 ] 电偶极子即电量相等 符号相反 相隔某一微 小距离的两点电荷组成 的系统 求其中垂面上 任一点 A 处的电场强度 [ 解 ] 正确作图 ( 右图 ), 由对称性, 取直角坐标 系如左图 分析对称得 : 电偶极子的电场
42 1 E E 4 E E E E y y y ( 当 x E x l l E E l / x 4) q ( l / ), E 1/ 时, 有 E x cos ql 4 ( ql l / /(4 4) ) / 定义电偶极矩 p, 其大小 p = ql, 其方向由指向 +q, 最终得 : 1 p E( A). 4. q
43 [ 例 1.: 线电荷 ] 一半径为 R 无限细且均匀带电的圆环, 环上线电荷密度为 求过环心垂直于环面的中轴线上的一点 A(,,z) 的电场强度 ( 见右图 ) [ 解 ] 在圆环上任取一线电荷元 dl, 它在 A 点产生的电场强度为 de, 分析对称性得 : de 均匀带电园环的电场
44 只有沿 z 轴的分量 于是 de z dl( ) zrd e ˆ e z - R z / 4 4 ( ) 积分求得 A 点的电场强度 : Rz Rz E Ez 4 z e e d / / ( R z ) ( R )
45 [ 例 1. : 面电荷 ] 均匀带电的无穷大平板, 其面电荷密度为 e 求与板距离为 z 的一点 A 处的电场强度 [ 解 ] 联想前一例题, 过 A 作平板的垂线 AO, AO=z, 以 O 为圆心, 将平板分割成无数个圆环. 设其中任一圆环的半径为 R, 环宽为 dr 无穷大均匀带电平板的电场 O
46 由上题的结果, 这宽度为 dr 的环对 A 点电场强度的贡献为 : de de z e zrddr / 4 ( R z ) 对 积分前例题已做,R 的变化范围是 (, ), 对 R 积分得 : E z RdR Ez 4 e e / / ( R z ) ( R z ) 1 ez e 1/ ( R z ) z. dr
47 [ 例 1.4: 球面电荷 ] 求面电荷密度为 半径为 的均匀带电半球面在球心的电场 [ 解 ] 取球坐标, 原点 O 与球心重合, 球坐标中的面元 ds 可以看作是边长为 d 和的矩形 sind, 的矩形, 其面积为 : ds sin dd 均匀带电半球面在球心处的电场
48 该面电荷元在 O 点的电场强度大小为 : de ds /(4 ) 当 为正时,dE 的方向由 ds 指向球心 由于对称性,dE 只有沿 z 轴的分量 dez : de de d d z cos sin cos 4 将上式对 和 积分, 求得半球在 O 点处的电场为 / E E sin cos z d d 4 4 负号表示电场沿 Z 轴负向
49 5. 电场线 为给电场一种形象的几何描述, 我们引入电场线 ( 又称电力线 ) 的概念 所谓电场线是指电场所在空间中的一组曲线, 曲线上每一点的切线方向都与该点的电场强度方向一致 为了使电场线能表示出空间中各点的电场强度的大小, 我们引入电场线数密度的概念 在空间中任取一点, 过该点取小面元 S与该点场强方向垂直 设穿过 S的电场线有 N 根, 则 N / S 叫做该点电场线数密度, 即 E N / S
50 几种电荷系统的电场线
51 电场线的性质 (1) 起自正电荷或无穷远处, 止于负电荷或无穷远处 ; () 不会在没有电荷的地方中断和相交 ; () 可以有中性点, 前图 (d) 中的 N 点 三种矢量场线 电场线磁场线流速线 ( 水流流线 )
52 深入的研究沿着两个方向进行 : u 一个是从电场与物质的相互作用的 实验 现象入手的归纳法 ; u 另一个是从电场的定义入手, 借助于数学的演绎法 为了系统性和基础性, 先介绍演绎的成果 : 下面两节是揭示静电场 ( 矢 量场 ) 性质的两个基本定理!
53 1-5 高斯定理 静电场属于矢量场 在数学上, 常引入 通量 和 环量 的概念来进一步计算 表达矢量场的性质 从大江中水流的速度场看, 很容易理解这两个概念,Maxwell 最先认识到这点 : 流速场水流流线静电场电场线 ( 性质 ) 流量 通量 环流 环量 源 汇 旋涡
54 1. 水流量 水通量电通量 流速场 : 流量 静电场 : 通量 于是, 便有 : E S cos v v v S E E S ES cos N d d, (1.5.1) E E S (1.5.) S S
55 (1) () () 用穿过闭合曲面的通量来表达此区域内是否有 源 或 汇?! (1) 流入通量 = 流出通量 d S E 可猜 : S 区域内无源 无汇 = () 类似喷泉, 有源, 可猜 : d S E S () 类似地漏, 有汇, 可猜 : d S E S 应 > 应 <
56 由电场的叠加原理可推断电通量满足叠加原理 : E S EdS S N i1 E i ds N i1 S E i ds N i1 E i (1.5.)
57 . 高斯定理 通量定理 真空中静电场的高斯定理 : 通过任意闭合曲面 ( 或称高斯面 )S 的电通量等于该面内全部电荷的代数和除以, 与面外的电荷无关 高斯定理的数学表述是 : = E E d S q S ( S内 ) (1.5.4) 说明 :(1) 静电场有源, 电荷是它的源 ;() E 是 S 面上的电场,E 由全空间电荷的分布决定 ; () ds 的方向规定为指向外的法线方向 1
58 证明 : 先针对最简单的点电荷情况证明高斯定理 (1) 当高斯面为单位半径的球面 ( 1) q 位于球心所在位置时,E 的大小 : q E, 其方向与外法线方向一致, 4 由式 (1.5.) 可求得 : q q E ES 4. 4 () 对高斯面为任意封闭曲面 S 的情况, 我们考察该面上的任一面元 S, 其外法线方向 n 与电场 E 的方向的夹角设为, 与点电荷 q 的距离设为 以 q 为顶点, 通过 S 的周线作一锥面,
59 该锥面在单位球面上切出一面元 S 1, 在半径为 的球面上切出一面元 S( 见右下图 ) 显然有: S S cos, S E S q,. 4 1 将 E 代入式 (1.5.1): q E ES cos S 1, 4 任意高斯面与单位球面 S和 S1之间存在一的一一对应一对应的关系, 故穿过 S 的电通量应为 ( 与单位球面的相等 ) q/
60 () 对于点电荷处于高斯面外的情况, 我们作另一个封闭曲面, 使之包围点电荷 q 并与高斯面 S 相交, 交线为闭合曲线 ABCD( 见右下图 ) 该交线将 S 分为 S1 和 S 两部分, 并同时将所作的封闭曲面也分成两个部分, 其中处于 S 之外的部分设为 S 考虑由 S 和 S1 以及由 S 和 S 组成的封闭曲面, 这两个封闭曲面都包含点电荷 q 于是有 : 点电荷 q 位于高斯面 S 之外
61 利用刚证明过的结论 : E d S E d S E d S S S S S 1 1 E d S E d S + E d S S S S S q, 注意 S 1 仍用 n1 的方向! 由第二式第二等号两边减去第一式相应部分可得 : S 1 S E ds S E ds 到此, 证明了对单个点电荷的情况高斯定理成立 q.
62 (4) 对 N 个点电荷组成的点电荷系的情况, 由电通量的叠加原理, 可求得穿过 S 的总电通量为 : N N 1 1 q E E i i i 1 i 1 ( S内 ) (5) 对连续电荷分布的情况, 可把带电体划分为许多小部分, 并把每部分当作点电荷处理 这样, 连续电荷分布被代之以点电荷系 例如, 对体电荷分布的情况, 可将高斯定理的普遍形式写成 : 注意! 下面 V 是 S 内的体积! 1 1 d E E S e ( ) dv Q (1.5.5) S V q,
63 . 高斯定理与库仑定律的关系 高斯定理得以成立, 是由于库仑定律是距离平方反比律的结果 假如我们设想库仑定律是下面形式 : F 1 其中 是任意一小量 则有 E F 1 (1.5.6) 对于点电荷 q, 以它为球心, 作半径为 的球面 取该球面为高斯面, 有 :
64 1 q q sind d q d ds E E S 4 4 S S S (1.5.7) 如果, 则当, E ( ), 高斯定理不再成立 因此, 验证高斯定理的正确性是验证库仑定律中距离平方反比律的一种间接方法 可获得非常高的精度 说明! 高斯定理出自于库仑定律, 它对静电场成立 往后我们将会看到, 它对随时间变化的电场也成立
65 4. 应用举例 ( 第二种求 E 的方法, 对称性极好 ) 高斯定理对解决具有一维对称性 ( 即只与一个空间坐标有关 ) 的静电学问题提供了极为有效的方法 [ 例 1.5] 求面电荷密度为的均匀带电的无限大薄平板的电场强度分布 [ 解 ] 首先分析该问题是 否具有一维对称性 我们 很快会发现本题待求的电 场强度分布是以无限大平 板 S 为镜面对称的 e '
66 前页右下图, 平板外任意一点 A, 取所示的柱面作为高斯面 : 其侧面垂直于无穷大平板 S, 一底面过 A 平行于面 S, 另一底面过 A 的镜像对称点 A 且平行于面 S 对该柱面运用高斯定理得 : 1 S E S, E. e e 该结果与例 1. 的结果一致, 但计算过程简便得多
67 e [ 例 1.6] 求线电荷密度为的均匀带电无限长细棒所产生的电场 [ 解 ] 作右图, 取 z 轴与细棒中心轴重合 首先分析对称性 与细棒距离相等的点, 其环境完全一样, 与其位置坐标 z φ 无关 显而易见,E 是以细棒为轴对称的 垂直于 z 轴, 这也是个一维问题
68 于是, 我们可取以细棒为轴 长度为 l, 半径为 的圆柱面作为高斯面 由高斯定理可得 1 l E l, E, e e 即 E e. 说明! 对于有限长的带电细棒, 问题将不再是一维的, 而是二维的 必须根据电场叠加原理通过积分去计算
69 [ 例 1.7] 求体电荷密度为 半径为 R 的均匀带电球的电场强度分布 e [ 解 ] 首先分析对称性 与球心距离相等的点, 其环境相同, 与位置坐标 φ 无关 场强沿半径方向 场强的大小只与到球心 O 的距离 有关, 呈球对称的分布, 属于一维问题 均匀带电球的电场
70 于是, 可取以 O 为球心, 以 OA = 为半径的球面作为高斯面, 如前右下图所示 根据高斯定理可得 : ) ( 1 ) ( 4 ) ( S 内 S q E d S E R (1) 高斯面位于带电球外 ( ) 对这种情况,S 内的电量等于带电球的总电量, 代入上式可得 : / 4 e R Q ) (, 4 ) ( R R Q E e
71 () 高斯面位于带电球内 ( R ) 对这种情 况,S 内的电量等于 4 e /, 据此求得 : 1 4 E e e R 4 ( ), ( ) 球内 E() 随径向距离线性增长, 球心处电场为零 思考题 : 对于面电荷密度为 e 的均匀带电球壳的电场, 可按此例的步骤进行类似处理 结果为 : 球内电场为零, 球壳外表面附近电场强度的大小为 : e 请课后作! /
72 [ 例 1.8] 如右下图所示的带空腔的均匀带电球, 其电荷密度为 e, 球心到空腔中心的距离为 a 求空腔中的电场强度 [ 解 ] 利用叠加原理, 填补法 : 设想在空腔内同时填满 e 和 e 的电荷, 则原电荷分布可视为电荷密度为 e 的实心大球和电荷密度为的实心小球的叠加 e 球形空腔内的电场
73 由上一例题的结果, 可直接写出大球和小球在空腔内部的电场强度表达式 : E E, e e = = 腔内电场为二者叠加, 结果为 : a E E E ) ( e e 式中 a 为 O 指向 O 的矢量 上述结果表明, 空腔内为均匀电场
74 1-6 环路定理 1. 水环流水环量 仍以水流中速度场为例来介绍环量的概念 设水中某处有旋涡, 定义对任一闭合曲线 L, 速度沿该闭合曲线一周的积分称速度场的环流或环量, 即 : 速度场的环量环量 g d L (1.6.1) Ñ V L
75 在此处用流线表示如图中的圆闭合曲线 ( 这只是一种近似, 严格讲是螺旋线 ) 又设 V 在线上任一点的大小一样, 则 : Ñ V L Ñ Ñ v v v. d dl dl R L L L 且速度越大, 速度的环量越大, 环量精确地描述了 V 的旋转程度 Ñ V L d L. 静电场的环量 我们用静电场 E 代替 V,E 的环量应为 : Ñ E L d L
76 环量反映了矢量场的 旋转程度, 然而对静电场而言, 它还具有特定的物理内容 : 试探电荷 q 在静电场 E 中沿闭合路径 L 缓慢移动, 则电场力所作的功为 : L L L A da q E dl q E dl 于是 : Ñ E L d L (1.6.) 它说明静电场的环量表示静电场对沿该闭合路径移动的单位正电荷所作的功 = A q
77 . 环路定理 静电场的环路定理如下 : 静电场的环量恒等于零, 即对任意闭合回路 L 成立 : Ñ E d L (1.6.) L [ 证明 ] 我们先就点电荷的静电场证明式 (1.6.) 满足 为此, 设 E 是由点电荷 q 所产生的静电场, 则有 : q qq E, A d 4 Ñ 4 L L d dl q 电场作功与路径无关
78 由前页右下图可知 : dl cos dl d. (1.6.4) 考虑闭合曲线 L 的 PQ 段, 将 q 沿 L 从点 P 移到点 Q, 电场 E 作的功为 APQ: Q Q q q 1 A q E dl dl PQ P ( L) 4 Q qq 1 qq 1 1 d. 4 4 P P Q P (1.6.5)
79 式 (1.6.5) 表明, 单个点电荷产生的静电场对试探电荷所作的功, 只与试探电荷的起点和终点的位置有关, 与路径 L 无关 由此自然得到一个推论, 即环量 : Q P q 1 q 1 1 E dl d d d 4 4 L L P Q L1 L Q Q q 1 1 d d. 4 P P (1.6.6) L1 L 式中 L1 + L =L, 即 L1 与 L 构成闭合环路 L, 证毕
80 如果静电场是由电荷体系产生的 ( 例如静止的点电荷系或带电体 ), 那末总可将这种电荷体系视为许多点电荷的叠加, 环路定理仍应成立 环路定理表明, 静电场是一个无旋场, 静电场不会有闭合的电场线 由环路定理的证明过程可以看出, 它不要求库仑定律是严格的平方反比!
81 1-7 电势 ( 对环路定理深入探讨 ) 1. 电势差和电势静电场沿任何闭合环路作功为零, 这反映了库仑力的保守力特性, 也说明静电场是保守力 ; 电场力作功与路径无关, 我们便可以引进电势差和电势的概念 ( 回忆引力场 ) 静电场和引力场类似 : 在静电场中, 当把试探电荷 q 由点 P 移到点 Q 时, 电势能 W 为 : 由 (1.6. 5) 式有 W W W PQ P Q. (1.7.1) PQ PQ Q. E L P W A q d (1.7.)
82 当电势能的零点 ( 或参考点 ) 确定后, 例如, 取无穷远点电势能为零 ( 是否任何情况都行?), 将点 Q 取为无穷远点, 则求得 q 在点 P 的电势能 为 : W q d P E L (1.7.), P 式 (1.7.) 和式 (1.7.) 表明, 比值 WPQ/q 和 WP/q 与 q 的大小无关, 它由电场本身的性质决定 这两个比值分别定义为电场中 P Q 两点间的电势差和 P 点的电势, 记为 UPQ 和 UP: WPQ Q P U PQ E dl = E dl, q P Q P P U E dl = E dl. P W q P (1.7.4) (1.7.5)
83 Q EdL = EdL EdL, P P Q 于是有 U U U. (1.7.6) PQ P Q 这说明,P Q 两点间的电势差正好等于点 P 的电势减去点 Q 的电势 特别是当 P Q 位于一条电场线上时 ( 右上图 ), 则由式 (1.7.4) 和式 (1.7.6) 可知, 有 UPQ >, UP > UQ 这说明电势沿电场线单调减小, 电场力对单位正电荷作正功, 或者说电场线的方向总是由高电势指向低电势
84 在实际工作中, 常常把电器外壳接地, 并选取地球的电势为零, 即 U 地 =( 其根据是什么? 与 U = 是否相容?) 电势能的零点是可以任意选取的, 改变零点的位置, 各点的电势能和电势的数值将随之变化, 但都改变一个相同量, 以至不会影响两点间的电势能差和电势差 电势差和电势的单位均为焦耳 / 库仑, 在 SI 制中称为伏特, 用英文字母 V 表示 由电势的单位可以反推出电场强度的单位为伏特 / 米 (V/m), 它与前面的牛顿 / 库仑 (N/C) 完全一致, 但更为常用
85 . 电势的一般表达式 先讨论点电荷的情况, 然后转入任意带电系统 如右下图所示,q 在点 P 产生的电势可由式 (1.7.5) 求得 : 1 q U ( ) E dl ( ) dl P P 4 类似式 (1.6.4) 的推导过程可得 : ( ) dl d( ) 所以 1 q U ( ).(1.7.7) 4 d
86 由于电场满足叠加原理, 从式 (1.7.5) 出发容易证明, 电势也满足叠加原理 对 N 个静止点电荷组成的系统 : N 1 qi U ( ). i 1 4 i 1 e( ) 带电体 : U( ) dv. 4 带电面 : 带电线 : U 1 e( ) U( ) ds. 4 S 1 e ( ) ( ) dl. 4 V L (1.7.8) (1.7.9) (1.7.1) (1.7.11)
87 . E 与 U 的微分关系 电势 U 的引入, 使我们又多了一种描绘静电场的手段, 电场强度 E 从单位正电荷受力来描述场 ; 电势 U 则从单位正电荷具有的能量来描述场 场强和电势都是位置的函数 但是, 场强是矢量, 电势是标量 因此, 采用电势来描述静电场常常带来许多方便! 既然能描述同一个静电场, 她们一定会有某种关系? 这正是我们要研究的
88 考虑空间任意两邻近点 P 和 Q, 其电势差为 U U P U Q, 则以 Q 为起点 ( 现取为势能零点 ),P 为终点, 其相对位置矢量为 : l x xˆ y yˆ z zˆ 数学上 : U U U U x y z. x y z (1.7.1) (1.7.1) 物理上, 用积分关系式 (1.7.5) 有 : U E dl E x E y E z. x y z 对比上两式, 立即得到 : (1.7.14)
89 U U U E, E, E. x y z x y z 可写成如下矢量形式 : (1.7.15) 式中 E U, U U U U xˆ yˆ zˆ, x y z (1.7.16) (1.7.17) 称为电势梯度 式 (1.7.16) 就是电场强度和电势之间的微分关系, 电场强度的方向总是指向电势减小最快的方向 ( 以上三节采用演绎法! )
90 4. 应用举例 ( 第三种求 E 的方法, 先求 U) 由于电势是标量, 比较好求 因此, 常常先求电势 ( 除一维对称性问题以外 ), 然后对电势微分求电场 [ 例 1.9] 求右下图所示的电偶极子的电势及电场的分布 [ 解 ] 其电场和电势分布相对 z 轴旋转对称, 与角 无关, 而与 和 有关 由式 (1.7.8) 有 : Z
91 1 q q U ( ), 4 式中 : l l cos l l 泰勒展开 l 1 cos cos l cos. 1/ 1/
92 以上用到近似 U( ) 由 p q 4 ( l l 1 / )cos 于是有 ( l 1 / )cos 4 qlzˆ, 可将上式写成 U ( ) 1 4 p. (1.7.18) qlcos 在球坐标下计算 E U, 将式 (1.7.18) 代入后求得 :
93 E U 1 ql cos p cos, E E 1 U 1 ql sin p sin, U sin 从球坐标下的结果不难看出, 电偶极子的电场可以写成如下矢量形式 : E p. 4 4 ( p ) 5 (1.7.19)
94 [ 例 1.1] 求面电荷密度为 e 半径为 R 的均匀带电薄圆盘轴线上的电势与电场分布 [ 解 ] 如右图所示, 圆盘轴线上任一点 A 与盘心 O 的距离为 OA =z 以 O 为圆心, 取半径为, 宽度为 d 的圆环, 环上取一小段 dl d 由式 (1.7.1), 求得该小段电荷在点 A 产生的电势为 :
95 1/ 1/ ) ( 4 1 ) ( 4 1 z d d z dl d du e e 将上式对和积分得轴上的电势分布 : ) ( ) ( 4 ) ( 1/ z z R d z d z U e R e 将上式代入式 (1.7.15) 第三式得 1/ 1, ( ) ( ) e z U z E z Z R z 1/ 1, ( ) ( ) e z z E z R z 距离总是正值
96 由上述结果, 我们可画出电势与电场随 z 变化的曲线, 分别见图 (a) 和 (b) U E 均匀带电圆盘轴线上的电势和电场强度的分布
97 [ 例 1.11] 求电荷密度为 e 内外半径分别为 R1 和 R 的均匀带电球壳的电场与电势分布 [ 解 ] 本题待求电场与电势具球对称性 对这类问题我们可先用高斯定理求电场, 然后再求电势, 这种处理方式比较简单 球壳将空间分隔成 1 三个区域 以 O 为球心, 以 为半径作球面为高斯面, 在三个区域中分别用高斯定理可求得 :
98 ) (, ) ( R R R Q e E ) (, 1 /] ) ( [ R R R R e e E 1. ( ) R E 代入式 (1.7.5) 分别求得 : ) (, ) ( ) ( R R R d R R d U e e l E R e R R d R R U d d U ) ( l E l E
99 ) ( ) ( R R R R R R e e e ); (, R R R R e ( ), ) ) (. ( R R e R R U d d d R R R U R 1 Ε l Ε l E l U 是与 无关的恒量, 可知球壳内空腔的电势处处相等
100 5. 等势面 电势为空间坐标的标量函数, 属于标量场 标量场常用等值面来进行形象的几何描述 电势的等值面称为等电势面, 或简称等势面 在同一等势面上, 电势处处相等 下一页图 (a) (b) (c) (d) 给出前面的电 场线图 (a) (b) (c) (d) 对应的点电荷系统的等势面 ( 实线, 对应等势面与纸面的交线 ), 图 中还用虚线画出了电场线 电场线与等势面处处垂直
101 点电荷系统的等势面 ( 实线 ) 和电场线 ( 虚线 )
器之 间 向一致时为正 相反时则为负 ③大量电荷的定向移动形成电 流 单个电荷的定向移动同样形成电流 ３ 电势与电势差 １ 陈述概念 电场中某点处 电荷的电势能 Ｅ ｐ 与电荷量 ｑ Ｅｐ 的比值叫做该点处的电势 表达式为 Ｖ 电场中两点之间的 ｑ 电势之差叫做电势差 表达式为 ＵＡＢ Ｖ Ａ ＶＢ ２ 理解概念 电势差是电场中任意两点之间的电势之差 与参考点的选择无关 电势是反映电场能的性质的物理量
第四章 １０２ 图 ４唱１６ 基于图像渲染的理论基础 三张拍摄图像以及它们投影到球面上生成的球面图像 拼图的圆心是相同的 而拼图是由球面图像上的弧线图像组成的 因此我 们称之为同心球拼图 如图 ４唱１８ 所示 这些拼图中半径最大的是圆 Ｃｋ 最小的是圆 Ｃ０ 设圆 Ｃｋ 的半径为 ｒ 虚拟相机水平视域为 θ 有 ｒ Ｒ ｓｉｎ θ ２ ４畅１１ 由此可见 构造同心球拼图的过程实际上就是对投影图像中的弧线图像
例题 1 下列关于点电荷的说法中正确的是 A. 只有体积很小的带电体才能作为点电荷 B. 点电荷的电量可以是任意数值 C. 点电荷一定是电量很小的电荷 D. 两个带电的金属小球, 不一定能将它们作为电荷集中在球心的点电荷处理答案 :D 解析 : 点电荷是一种理想模型, 当作点电荷处理的前提是该电荷的
一 静电现象与电荷 第三期静电场 1. 负电荷 : 毛皮摩擦过的橡胶棒上带的电荷 正电荷 : 丝绸摩擦过的玻璃棒上带的电荷 同种电荷相互排斥, 异种电荷相互吸引.( 同斥异吸... ). 起电方式 : ⑴ 摩擦.. 起电 : 不同的物质对电子的束缚能力不同, 两种不同物质组成的物体 ( 绝缘体 ) 相互摩擦, 由于摩擦力做功使得束缚电子能力弱的物体失去电子带 正电, 束缚能力强的物体带负电. 实质是电子的转移...,
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电磁学 徐春凯 Mobile:1372192182 Email:xuck@ustc.edu.cn 参考资料 MIT 公开课 : http://v.163.com/special/opencouse/elec ticity.html 费曼物理学讲义第二卷 赵凯华 : 新概念物理教程电磁学 陈秉乾 : 电磁学专题研究 叶邦角老师网站 : http://staff.ustc.edu.cn/~bjye/em/index.htm
电动力学习题课 - 第一章
电动力学习题课 第一章 Cheng-Zong Ruan Department of Astronomy, BNU September 26, 2018 ElectroDynamics, exercise class chzruan 1/25 第一章作业 从静电场麦克斯韦方程的积分形式 E = 0( 静电场无旋 ). L E dl = 0 推导微分形式 从毕奥 - 萨法尔定律 (2.8) 式推导磁场旋度和散度公式
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上次课 静电场可以用一个标量场的梯度 负值 表示 : E 1 E 从静电场的库仑定律出发, 向瞬变场推广得到的电动力 学的基本方程之一 : E,t 1,t 纯电偶极子的电势表达式 : 1 p, 1 2 重要的数学公式之一 : 回忆 tokes 定理 : 2 1. A l A L 2 电流和磁场 关于对磁现象的研究, 我们宋代的科学家沈括 11-195 是第一个观测到悬挂的磁针指向南北向, 并将它应用到航海的导航上
第 １４ 章 第 １４ 章 麦克斯韦方程组和电磁波 麦克斯韦方程组和电磁波 麦克斯韦在总结了从库仑到安培 法拉第等人关于电磁学研究的成果的基础 上 建立了著名的电磁场理论 现在称为经典电磁场理论 提出了 有旋场 和 位 移电流 的假说 指出变化的电场和磁场形成统一的电磁场 预言电磁场能够以波 动的形式在空间传播 称为电磁波 并且算出电磁波在真空中传播的速度等于光速 从而断定光在本质上就是一种电磁波
1.2 对称性的生活表现 : 下面我们感受一下具体的对称现象 我们所观察的宇宙中到处充满了对称性的事物 大到我们的银河系 地球, 小到晶体结构, 以及我们身边的绝大多数的动物, 植物, 包括人类自身的身体都具有很好的对称性 宇宙中数目如此庞大的对称事物足以说明对称性是自然界的一种普遍规律 事实上,
对称性原理及其在电磁学中的应用 物院 3 班解鑫 pb11203155 摘要 : 对称性原理作为自然界的一条普遍规律, 在物理学甚至整个自然科学中具有广泛的运用, 尤其在电磁学中更见其妙用 在处理一些电磁学问题时, 运用对称性原理进行对 称性分析可以大大简化 快速求解, 具有不可小视的作用, 应当引以重视 关键字 : 对称性 ; 对称性原理 ; 对称性分析 ; 电磁学 ; 简化求解 ; 重视 1 对称性与对称性原理简介
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电磁场与电磁波基础 主讲 : 徐乐 8 年 4 月 9 日星期二 矢量分析与场论 矢性函数 A = A x (t)x + A y(t)ŷ + A z (t)ẑ 运算 L[A(t)] = L[A (t)]x + L[A (t)]y+l[a ˆ (t)]zˆ x y z L 是算子符号, 代表一种运算 ( 极限 导数 积分 ) b= b cosθ (b c) = b 一些基本矢量运算 xˆ yˆ zˆ
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摘要 利用数学工具分析并提出证明唯一性定理的简单方法 ; 利用 Mathematic 实现描绘并确定点电荷组的电场线分布 ; 从电场线的分布中定性分析静电场的一些特性 问题的提出 : 场与唯一性 证明方法 应用 Laplace 方程和泊松方程 泊松方程 :ΔU=-ρ/ε Laplace 方程 : 如果 ρ=0, 则 ΔU=0 用能量关系式 稳定磁场的唯一性定理, 并推广到一般矢量场 思想 ----
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6.6 积分在物理上的应用 一 质心二 转动惯量三 引力 一 质心 设 o 平面上有 n 个质点, 它们分别位于 (, ), (, ), (, ) 处, 质量分别为 n n m m 则该质点系的质心坐标为 n n m m, n n m m.,,, mn 设有一平面薄片, 占有 o面上的闭区域, 在点 (, ) 处的面密度为 (, ), 假定 (, ) 在 上连续, 平面薄片的质心 当薄片是均匀的,
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第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f
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第二章电磁场的基本规律 (1) 2.1 电荷守恒定律 2.2 真空中静电场的基本规律 教师姓名 : 宗福建单位 : 山东大学微电子学院 2018 年 3 月 20 日 2 本章讨论内容 2.1 电荷守恒定律 2.2 真空中静电场的基本规律 2.3 真空中恒定磁场的基本规律 2.4 媒质的电磁特性 2.5 电磁感应定律和位移电流 2.6 麦克斯韦方程组 2.7 电磁场的边界条件 主线 : 亥姆霍兹定理
§1－2 库仑定律
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Topic # 3 恒定电流的电场 (Steady lectric Currents) Part I 概述 基本方程 电功率 电动势 不同媒质分界面上的边界条件 静电比拟 (Duality) 概述 恒定电流 恒定电流 电荷对观察者来说有相对运动, 但这些规则运动在导电媒质中的电荷及所形成的电流, 其分布都是不随时间变化的 概述 场效应 静止电荷 静电场 不随时间变化, 只是空间坐标的函数 没有伴随的磁效应和磁场
第2章
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作者 : 闫浩 ( 年 月 微积分 B( 第五次习题课答案 ( 第十二周 一 第二型曲线 曲面积分 三大公式. 计算下列曲线积分 ( 设有向折线 为 ( A cos d si d 解 ( 方法 cos d si d AB cos ( 方法 用 Gree 定理方法 : cos d si d cos ABCA B ( C ( 的两段线段构成 计算 d si si d BC cos d si d cos
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电动力学 1 重视 : 1) 重视课堂内容 2) 课后看书 看课件, 把概念和知识点理解清楚 ; 3) 独立推导一些基本的公式, 独立完成作业 ; 4) 阅读参考书和文献, 掌握一些与教材内容密切相关的课外知识 ; 5) 鼓励围绕课堂学习内容所撰写的问题讨论 第一章矢量分析与张量初步 2 第一章数学准备 : 矢量分析与张量初步 本章将对电动力学中所要用到的矢量分析和张量分析作一个简单介绍, 给出常用的公式,
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第 讲 库仑定律 温馨寄语 电场这部分内容, 是历年高考的重点, 尤其是力电综合试题会巧妙地把电场与牛顿运动定律 动能定理等力学知识相结合, 考题难度较大 电场问题与实际生活 生产技术 科学研究等领域的联系也非常紧密, 如电容式传感器 静电的防止和应用 示波器 静电筛选等, 这些内容都可成为命题的素材 本章知识点大致可分为三块 : 库仑定律 电场强度 电势 电容 电容器 3 带电粒子在电场中的运动
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9 年 ( 第十一届 ) 全国大学生数学竞赛 ( 非数学类 ) 预赛模拟试题 一 填空题 ( 每小题 6 分, 共 3 分 ) 考生注意 : 考试时间 5 分钟试卷总分 分. 已知 f ( ) 在 8的邻域内有连续导数, 且 lim f ( ), lim f '( ) 673, 8 8 则极限 lim 8 8 8 t f ( u)du dt t 3 (8 ) 9 f. 设函数 f (, y ) 可微,
试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
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! # ! # 第 吕玉 琦 等 人 体 心 脏 的 三 维 超 声 成 像 期 左 心 室边界 轮廓 的 校 正 由于 采 集 幅 图 象时 探 头 位 置 及 角度 稍 有变 化 就 会 导 致 幅 图象 的 心 尖 位置 及 左 心 室 长 轴 位置 在 图象 中 不 重合 因 此 必 须 进 行轮 廓 校 正 校 正 以 第 幅 二 维超 声 心 动 图 为 标 准 对 后 续的 幅 图 象
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第五讲 上次课 D D f, E B, B, H jf t t D EB, H, jce 边界条件 : n( D1D) f - 本构关系 - Maxwell 方程组 自由面电荷分布 ( 奇性分布 ), 一般情况下 D 的法向分量连续! 同理, 对应方程 B, 容易得到 B 场的法向分量连续的结论 : n B B B B 1 n1 n 对应第 4 条公式 H jf D的积分形式为 t H dl j ds
第二章电磁场的基本规律 (2) 2.3 真空中恒定磁场的基本规律 2.4 媒质的电磁特性 教师姓名 : 宗福建单位 : 山东大学微电子学院 2018 年 3 月 22 日
第二章电磁场的基本规律 (2) 2.3 真空中恒定磁场的基本规律 2.4 媒质的电磁特性 教师姓名 : 宗福建单位 : 山东大学微电子学院 2018 年 3 月 22 日 2 本章讨论内容 2.1 电荷守恒定律 2.2 真空中静电场的基本规律 2.3 真空中恒定磁场的基本规律 2.4 媒质的电磁特性 2.5 电磁感应定律和位移电流 2.6 麦克斯韦方程组 2.7 电磁场的边界条件 主线 : 亥姆霍兹定理
ϕ ϕ R V = 2 2 314 6378 1668 0 T =. 24 = 2 R cos32 33931 V = = = 1413. 68 32 T 24 2 R cos90 V = = 0 90 T ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 1
习题10-1
第七章 空间解析几何与向量代数 1. 求点 (,-3,-1) 关于 :(1) 各坐标面 ;() 各坐标轴 ;(3) 坐标原点的对称点. 解答 :(1)xOy 面 : (, 3,1),yOz 面 : (, 3, 1),zOx 面 : (,3, 1) ()x 轴 :(,3,1 ),y 轴 :(, 3,1),z 轴 :(,3, 1) (3) (,3,1 ). 所属章节 : 第七章第一节 ; ;. 求点 (4,-3,5)
Homework9 答案 1. 粒子在一维势场 V (x) = k x ν 中运动,k, ν > 0. 利用测不准关系估算基态能级和 x. 解 : 粒子在某个态下的能量期望值可以写成 : p 2 E = 2m + k x ν (1) 考虑 x ν x 2 ν/2 V (x) = k x ν 是偶函数
Homework9 答案 1. 粒子在一维势场 V (x) = k x ν 中运动,k, ν > 0. 利用测不准关系估算基态能级和 x. 解 : 粒子在某个态下的能量期望值可以写成 : p E = m + k x ν (1) 考虑 x ν x ν/ V (x) = k x ν 是偶函数, 因而 Schrodinger 方程的解必然具有宇称对称性, 从而可以得到 : 所以 < x >= 0, < p
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.5 力学量的平均值 算符表示 平均值 粒子在外场 V() 中运动, 体系的定态薛定谔方程 : m V ( ) u( )= Eu( ) 求解该方程, 可以得到体系的波函数和能量 E 例如 : 粒子束缚在一维无限深方势阱中 0 a 一维无限深方势阱 波函数 能量 n sin x, 0 xa ux ( ) a a, x 0, o, x a 0 En n n 1,,3, ma .5 力学量的平均值 算符表示
李俊新 崔 敏 刘艳春 姚艳君 周广芬 孙 宝 河北科技大学理学院 河北石家庄 滦南县职业教育中心基础部 河北滦南 在物理化学实验的基础上 对一级反应的 种不同数据处理模型进行比较和分析 通过对 实验数据处理模型进行系统的比较 来改善传统实验数据处理中存在的一些问题 从而简化数据处 理 减小作图工作量与作图误差 提升实验水平 提高数据处理结果的准确性 一级反应 数据处理模型 过氧化氢 图 过氧化氢分解实验装置图
第 期 曹 源 等 形式化方法在列车运行控制系统中的应用
第 卷 第 期 年 月 交通运输工程学报 曹 源 唐 涛 徐田华 穆建成 为了确保列车运行控制系统设计和开发的正确性 比较了仿真 测试和形式化 种能够验证 系统设计正确性的方式 根据列车运行控制系统对安全的苛求性 提出了 个与系统安全相关的重要特性 即实时性 混成性 分布 并发 性 反应性 并分析了与这些特性相关的具体形式化方法 通 过对每种形式化方法的数学基础和应用范围的分析和归类 给出了各种方法的优势和不足
目 录 学 校 概 况...1 第 一 部 分 毕 业 生 就 业 基 本 情 况...4 一 毕 业 生 生 源 情 况...4 二 毕 业 生 规 模 及 结 构... 5 ( 一 ) 毕 业 生 分 专 业 人 数... 5 ( 二 ) 毕 业 生 男 女 生 比 例... 7 ( 三 ) 毕
2015 年 毕 业 生 就 业 质 量 年 度 报 告 2015 12 29 目 录 学 校 概 况...1 第 一 部 分 毕 业 生 就 业 基 本 情 况...4 一 毕 业 生 生 源 情 况...4 二 毕 业 生 规 模 及 结 构... 5 ( 一 ) 毕 业 生 分 专 业 人 数... 5 ( 二 ) 毕 业 生 男 女 生 比 例... 7 ( 三 ) 毕 业 生 政 治 面
1. 已知 :=4,=2, 是 中点, 是整数, 求 = = ==2 在 中 - 第二节 换元积分法
第二节 换元积分法 一 第一类换元法 二 第二类换元法 三 小结 思考题 一 第一类换元法 问题 cos d ( )sin C, 解决方法利用复合函数, 设置中间变量. 过程令 cos d d d, sin cos d C sin C. 在一般情况下 : 设 F ( u) f ( u), 则 f ( u)d u F( u) C. 如果 u () ( 可微 ) d F[ ( )] f [ ( )] (
,, :, ;, 20012003 10 90, 20012003 8,;, ; (CIP) /. :,2004. 1 ( ) ISBN 7 5612 1720 X.... 0441. 4 44 CIP (2003) 109559 : : 127 710072 : ( 029 ) 88493844
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东 南 大 学 学 才皮 构 的 效 率损失 更 加 剧 了这 矛盾 传 动 系 统 曲举 前 臂 时 为此 第 卷 本 文 研究 以下 两个 问题 采 用 同 电 机 齿轮 五 型肘 关节 是 否 与 工 型 肘关 节 具 有 相 近 的承 载 能力 如 何 减小 电 池 能源 的 消耗 受 力分
! #!!! # 东 南 大 学 学 才皮 构 的 效 率损失 更 加 剧 了这 矛盾 传 动 系 统 曲举 前 臂 时 为此 第 卷 本 文 研究 以下 两个 问题 采 用 同 电 机 齿轮 五 型肘 关节 是 否 与 工 型 肘关 节 具 有 相 近 的承 载 能力 如 何 减小 电 池 能源 的 消耗 受 力分 析 为 简化 分 析 曲上 举 时 减 速器 自重 态 向力 作 用于 构件 小
Remark：随机变量不只离散和连续两种类型
Remar: 随机变量不只离散和连续两种类型 当题目要求证明随机变量的某些共同性质时 很多同学只对连续和离散两种类型进行讨论 这是比较典型的错误 练习 4. () P( = ) = P( = ) = P( = ) = P( ) = = = = = = () 由 E < 且 lm a =+ 不妨设 a > 其中 j = f{ : a a j} ap ( a) = a p ap ap j j j a :
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8- 平面电磁波. 波动方程这是一个麦克斯韦方程应用的重要实例, 我们从微分形式的麦克斯韦方程和均匀各向同性线性介质的电磁性能方程出发, 研究自由空间中的电磁场 自由空间的含意是 r =,j =, 由欧姆定律有 σ =. r=, j 真空中的电磁波 D E B H D r E B B E E t t B B D E H j B t t B E ( E ( B t t t ( E ( E E E E
标题
值得关注的高考物理试题的新视角 徐海龙 ( 温州市第二外国语学校浙江温州 35000) 钱呈祥 ( 永嘉县上塘中学浙江温州 35100) ( 收稿日期 :015 07 1) 摘要 : 提出并分析了近年来高考物理试题某些新动向, 值得关注. 关键词 : 高考物理试题新视角值得关注 牛顿曾经说过, 如果我看得比别人更远些, 那是因为我站在巨人的肩膀上. 那么, 作为一名中学物理教师, 要想引领学生走得更远,
2014年毕业生就业质量报告
江 西 警 察 学 院 2014 届 毕 业 生 就 业 质 量 年 度 报 告 一 2014 届 毕 业 生 规 模 与 总 体 结 构 1 毕 业 生 人 数 2014 年, 江 西 警 察 学 院 共 有 毕 业 生 1483 人, 其 中 本 科 毕 业 生 657 人, 占 毕 业 生 总 数 的 44.30%, 专 科 毕 业 生 826 人, 占 毕 业 生 总 数 的 55.70%
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中 国 通 建 二 局 党 委 2016 12 号 关 于 印 发 中 国 通 建 二 局 开 展 两 学 一 做 教 育 实 施 方 案 的 通 知 各 基 层 党 组 织 : 现 将 中 国 通 建 二 局 开 展 两 学 一 做 教 育 实 施 方 案 印 发 给 你 们, 请 各 基 层 党 支 部 结 合 本 部 门 单 位 的 实 际, 切 实 抓 好 贯 彻 落 实 并 将 两 学 一
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3. 曲面及其方程 一 曲面方程的概念 曲面的实例 : 水桶的表面 台灯的罩子面等. 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹. 曲面方程的定义 : 如果曲面 S 与三元方程 (,, ) F 有下述关系 : (1) 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程 ; () 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程 ; 那么, 方程 (,, ) 而曲面 S 就叫做方程的图形. F 就叫做曲面 S 的方程, 一 曲面方程的概念
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回归传统 历史学视野中的资本主义 刘光临 虽然明清资本主义萌芽研究和西方现代史学都使用了资本主义一词 但双方并无相同的理论背景 资本主义作为一个成熟的学科概念是由 世纪末 世纪初的历史学家和强调历史面向的政治经济学家 可简称为 德国历史学派 一起创造出来的 强调从历史而不是从抽象的理论中寻求社会变化的原因 资本主义萌芽这一概念的启用 实际上是对欧洲近代历史的严重误读 有鉴于此 在今后的中国历史研究中应该用资本主义来取代资本主义萌芽
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初二秋季第四讲课后作业答案 ( 尖端班 ) 几何变换 旋转 习题. 为等边 内一点, = 3, = 3, 求证 : 以 为边可以构成一个三角形, 并确定所构成的三角形的各内角的度数. 解析 绕点 旋转 到 ', 可得 ' 就是以 为边构成的三 角形, 则 ' = 3 60 = 63, ' = 3 60 = 53, ' = 80 63 53 = 64, 即三角形各个内角度数分别为 53 63 和 64
任春平 邹志利 在坡度为 的平面斜坡上进行了单向不规则波的沿岸流不稳定运动实验 观测到了沿 岸流的周期性波动 波动周期约为 利用最大熵方法和三角函数回归法求得这种波动的主 频率以及幅值 分析了波动幅值在垂直岸线方向的变化 结果表明该变化与沿岸流变化类似 即在 沿岸流最大值附近这种波动强度最大 为了分析波动的机理 利用线性沿岸流不稳定模型对模型实验结果进行了分析 求得了不稳定运动增长模式和波动周期 并与对应实测结果进行了比较
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第五章 静电场与生物电现象 本章目录第一节电场电场强度第二节电势差电势第三节静电场中的电介质第四节生物电神经传导的电学特性第五节心电的物理基础 第一节电场电场强度 电 名词的由来 顿牟掇芥, 磁石引针. 早期, 人们通过毛皮与琥珀的摩擦和对自然界闪电的观察发现了电相互作用现象. 电荷的基本性质 电荷是构成物质的基本粒子的一种性质, 不能脱离物质而存在. 只存在两种电荷 正电荷和负电荷, 同种电荷相斥,
2 160 1985 20 32 50 L.V.Bertallanfy 60 J.M C.W 1982 24 1982 307 1986 35 1984 12 1985 5 1985 121 1988.5 1988.5 1952 1952 1982 193 1987.4 35 1983 1985.10 1986.2 1986
电子技术基础 ( 第 版 ) 3. 图解单相桥式整流电路 ( 图 4-1-3) 电路名称电路原理图波形图 整流电路的工作原理 1. 单相半波整流电路 u 1 u u sin t a t 1 u 0 A B VD I A VD R B
直流稳压电源 第 4 章 4.1 整流电路及其应用 学习目标 1. 熟悉单相整流电路的组成, 了解整流电路的工作原理. 掌握单相整流电路的输出电压和电流的计算方法, 并能通过示波器观察整流电路输出电压的波形 3. 能从实际电路中识读整流电路, 通过估算, 能合理选用整流元器件 4.1.1 认识整流电路 1. 图解单相半波整流电路 ( 图 4-1-1) 电路名称电路原理图波形图 4-1-1. 图解单相全波整流电路
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arctan lim ln +. 6 ( + ). arctan arctan + ln 6 lim lim lim y y ( ln ) lim 6 6 ( + ) y + y dy. d y yd + dy ln d + dy y ln d d dy, dy ln d, y + y y dy dy ln y+ + d d y y ln ( + ) + dy d dy ln d dy + d 7.
Chapter 5 定积分计算
Mhods of Mhmicl Physics (6. Ch Mhods of ingl nsfoms YLM@Phys.FDU Ch 积分变换法一 无界空间的有源导热问题 Foui 变换法 定解问题 : u (, u(, f (,, u (. w, w v v f (,, w (. v. u(, w(, v(,.. 一维无源导热问题 w (, w (,, w (. 解 : 把 看作参数, 应用 Foui
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高等代数第十章双线性函数 第十章双线性函数 10.1 线性函数 1. 设 V 是数域 F 上的一个线性空间, f 是 V 到 F 的一个映射, 若 f 满足 : (1) f( α + β) = f( α) + f( β); (2) f( kα) = kf( α), 式中 α, β 是 V 中任意元素, k 是 F 中任意数, 则称 f 为 V 上的一个线性函数. 2. 简单性质 : 设 f 是 V
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第二十六讲 上次课 : 绝对时空观的困难 ( 麦 - 莫实验 ) 相对时空观,Loentz 变换, 四维空间, x ' 标量 矢量 张量 = α x ν ν 4. 速度及四维速度矢量 d 假定在 S 系中考察一个物体的运动, 其速度的定义是 = 现在假定 S 系 dt d ' 相对 S 系以速度 v 沿着 x 轴运动, 则在 S 系中同一粒子的速度定义为 = 因 dt ' 为在相对论时空观中, 时间和空间是一起变换的,
作 品 名 稱 : 好 膨 友 的 夢 幻 烘 培 屋 膨 鬆 劑 之 探 討 摘 要 我 們 使 用 酵 母 粉 泡 打 粉 和 小 蘇 打 作 為 膨 鬆 劑 探 討 烘 培 食 品 中 膨 鬆 劑 的 作 用 在 麵 糰 組 ( 迷 你 吐 司 ) 的 烘 烤 實 驗 中, 我 們 發 現 :
金 門 地 區 第 52 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 科 別 : 生 活 應 用 科 學 科 組 別 : 國 中 組 作 品 名 稱 : 好 膨 友 的 夢 幻 烘 培 屋 膨 鬆 劑 之 探 討 關 鍵 詞 : 泡 打 粉 酵 母 小 蘇 打 編 號 : 製 作 說 明 : 1. 說 明 書 封 面 僅 寫 科 別 組 別 作 品 名 稱 及 關 鍵 詞 2. 編 號
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第六讲 上次课 Wm ud S ds t - 能量守恒及转化 (, ) 1 1 1 SP r t EB- 能流密度 ; urt (, ) E B G gd ds T t - 动量守恒及转化 1 g S P - 电磁场局域动量密度, 注意与能流 磁场的关系 ; c m 1 1 1 T E B I EE BB - 动量流密度 - 电磁场局域能量密度 ; 利用 (..8) 式可以方便地讨论电磁场对物质的作用力
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第二章原子的激发态结构. 单电子 (H) 原子 ( 类 ) 氢原子的薛定谔方程 -e 3D 不含时的定态薛定谔方程 其中库仑势 m + ( ) V ( ) V ψ Ze 4πε Eψ + +Ze 电子束缚在原子核的中心力场中 只与电子和原子核之间的径向距离有关 Fom www.hpephsics.ph-ast.gsu.edu . 单电子 (H) 原子氢原子的薛定谔方程 Catesian coodinates
(p.29). (a) F Qq r 2 ()() N (b) Q 2 r 2 F ( 2 )() Q 0 5 C 2. (a) F (b) F 3. 7 (p.42). (a) T (b) F (c) T 2. (a) A (b) (c) 4. (a) 4 (b) (
20 (p.7). (a) T (b) T (c) T (d) F 2. B 3. 3 (p.4). D 2. C D A B D B D B D 3. (a) F (b) F (c) T 4. 2 (p.0) 4 (p.23). (a) B (b) A P 2. (a) F (b) T 3. 4. 5. 6. (a) (b).6 0 9.6 0 9 0 0. (a) X Y (b) X Y Z 2.
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IDEO HCD Toolkit Tencent CDC ...? Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC Tencent CDC
第 2 页共 8 页 2014 年 01 月 04 日 14:20 位制 (electrostatic units) 电磁单位制 (electromagnetic units) 洛伦兹 - 赫维赛德单位制 (Lorentz-Heaviside units) 另外还有一类称为自然单位制的制度, 包括原
第 1 页共 8 页 2014 年 01 月 04 日 14:20 高斯单位制维基百科, 自由的百科全书 高斯单位制 (Gaussian units) 是一种计量单位的制度, 属于公制, 是从厘米 - 克 - 秒制衍生, 电磁单位系统中最常见的一种单位制 在厘米 - 克 - 秒制内, 又有几组互相冲突的电磁单位, 不单只存在有高斯单位 所以, 使用术语 厘米 - 克 - 秒单位 很可能会引起分歧义,
西安电子科技大学硕士学位论文粗糙海面电磁散射的数值分析姓名 : 胡荣旭申请学位级别 : 硕士专业 : 无线电物理指导教师 : 吴振森 20040101 粗糙海面电磁散射的数值分析 作者 : 学位授予单位 : 胡荣旭 西安电子科技大学 本文链接 :http://d.g.wanfangdata.com.cn/thesis_y583463.aspx
中国科学院力学研究所 中国科学院力学研究所 中国科学院力学研究所 中国科学院力学研究所 中国科学院力学研究所 中国科学院力学研究所 2014
单位名称 学号 上海科技大学 201428013826089 中国科学院数学与系统科学研究院 201418000206020 中国科学院力学研究所 201418000718029 中国科学院力学研究所 201418000718030 中国科学院力学研究所 201418000718031 中国科学院力学研究所 201418000718032 中国科学院力学研究所 201418000718033 中国科学院力学研究所
定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn / 23
定积分的基本概念内容提要 1 定积分的基本概念 2 定积分的几何意义 3 定积分的基本性质 4 定积分中值定理 5 变限积分及其性质 6 微积分基本公式 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 1 / 23 定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 2 /
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徐二明 陈 茵 以企业资源基础理论为基础 从企业吸收能力这一概念入手 剖析企业吸收能力与企业竞争优势的关系 研究组织管理机制对企业吸收能力构建和发展的影响 依据吸收能力经典文献对吸收能力的前因进行重新梳理和归类 对现有文献中各种思路有一定的整理和明示作用 通过研究两种吸收能力的 类影响因素 辨识出中国企业在吸收能力培养和发展方面的优势和弱势 通过实证方法全面衡量和验证潜在吸收能力与实际吸收能力两者之间以及两能力与企业竞争优势的关系
6 5 温度下若 0.00l/kg 的 l 溶液的平均活度为 γ ±, 相同浓度的 S 溶液的平 均活度为 r ±, 则 γ ±, >γ ±, γ ±, ii 封底介绍 本书采用了比较自然的逻辑体系和简单易记的符号系统, 全面系统地介绍了经典电 动力学的内容和方法, 突出了理论物理教材简洁 优美 严谨的特色. 书中尽量完整地给 出了公式的推导和结论的证明, 每章配有较丰富的例题与习题.
电动力学概论 李书民 ii 封底介绍 本书采用了比较自然的逻辑体系和简单易记的符号系统, 全面系统地介绍了经典电 动力学的内容和方法, 突出了理论物理教材简洁 优美 严谨的特色. 书中尽量完整地给 出了公式的推导和结论的证明, 每章配有较丰富的例题与习题. iii 内容简介 本书根据作者在中国科技大学讲授电动力学的讲义整理而成. 通过比较自然的逻辑体系和简单易记的符号系统, 全面系统地介绍了经典电动力学的内容和方法,
3.4-Newton-Leibniz打印版
3.4 解析函数的原函数 1 原函数的概念 2 Newton-Leibni 公式 3 莫勒拉定理与刘维尔定理 3.4.1 原函数的概念 定义 3.2 设 f () 是定义在区域 D 上的连续函数, 若存在 D 上的函数 F() 使得 F ( ) = f( ) 在 D 内成 立, 则称 F() 是 f () 在区域 D 上的原函数 显然 F() 在 D 上解析 如果 f () 在区域 D 上存在原函数
5 (Green) δ
2.............................. 2.2............................. 3.3............................. 3.4........................... 3.5...................... 4.6............................. 4.7..............................
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.5 力学量的平均值 算符表示 平均值 粒子在外场 V() 中运动, 体系的定态薛定谔方程 : m + V () u()= Eu() 求解该方程, 可以得到体系的波函数和能量 E 例如 : 粒子束缚在一维无限深方势阱中 0 a 一维无限深方势阱 波函数 能量 nπ sin x, 0 x a ux ( ) = a a, x < 0, o, x > a 0 π En = n ma n = 1,,3, .5
社 心 版 中 出 版 学 科 术出 k.cn 技 boo 教.a 职 ww w 科 学 出 版 社 职 教 技 术 出 版 中 心 www.aboo 科 学 出 版 社 职 教 技 术 出 版 中 心 www.aboo 社 心 版 中 出 版 学 n 出 c 科 术 k. o 技 o b 教 a 职 ww. w 科 学 出 版 社 职 教 技 术 出 版 中 心 www.aboo 科 学
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电动力学习题解答第一章电磁现象的普遍规律 - -. 根据算符 的微分性与矢量性推导下列公式 解 首先算符 是一个微分算符其具有对其后所有表达式起微分的作用对于本题 将作用于 和又 是一个矢量算符具有矢量的所有性质因此利用公式 可得上式其中右边前两项是 作用于 后两项是 作用于 根据第一个公式令 可得证. 设 是空间坐标 的函数证明. 证明 电动力学习题解答第一章电磁现象的普遍规律 - -. 设 为源点
一、选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
6 考研数学 ( 二 ) 真题及答案解析来源 : 文都教育 要求的. 一 选择 :~8 小题, 每小题 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目 () 设 a (cos ), a In( ), a. 当 时, 以上 个无穷小量按 照从低阶到高阶的排序是 (A) a, a, a. (B) a, a, a. (C) a, a, a. (D) a, a, a. 解析 : 选择 B
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Cateian Cylindial ˆ= xˆ o + yˆin ˆ = ˆ = xˆin+ yˆ o + = Cylindial to Cateian: ˆ ˆ x o in 0 y in o 0 = 0 0 Cateian to Cylindial: + = + xˆ yˆ o in 0 x = in o 0 y 0 0 Cylindial Spheial ˆ = ˆ + ˆ = ˆ = xˆ
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西华大学应用数学系朱雯 微分方程 习题课 解题方法流程图 求 Pd Qdy 通解 0 Yes 可分离变量 解出 No dy = f (, y ) d 可分离变量方程 齐次方程 dy y ( ) d 令 y u 一阶线性方程 dy P( ) y Q( ) d 其它一般方程 g ( y) dy f ( ) d g ( y) dy f ( ) d du ( u) u d 可分离变量 通解为 Pd Pd y
重勘信息的哲学含义 ¼ ½ ¾ ¼ ½ ¾
重勘信息的哲学含义 肖 峰 信息不能以任何方式归结为物质 它既不是物质内在既成的东西 也不是纯粹的自然现象 更不是可以离开主体而独立存在的纯客观现象或无处不在的普遍现象 哲学含义上的信息是一种非物质的存在 是主体对对象的感知 辨识和建构 也是生命控制系统尤其是神经系统的一种机能 信息与 意义 关联 是一种属人的认识现象 不存在所谓的 本体论信息 而只存在认识论意义上的信息 信息的哲学含义应与信息的日常用法具有连续性
第十讲
第 21 讲 ( 三 ) 霍耳效应 ( 电场 + 磁场 ) all 效应是最重要的物理现象之一, 是探测物质性质的一个重要的实验手段 在物理学的发展历程中, 霍尔效应起了非常大的推动作用 人们相应发现了经典霍耳效应, 半经典霍耳效应 ( 量子效应被有限度考虑 ), 反常霍耳效应 (Luttinger 等, 人们认识到自旋的重要性 ), 量子霍耳效应 (Von klitzing, 强磁场, 单体量子效应完全显现
第七章 空间解析几何与向量代数
第七章空间解析几何与向量代数 7. 空间直角坐标系 7. 向量及其加减法 向量与数的乘法 一 判断题. 点 (-,-,-) 是在第八卦限. 任何向量都有确定的方向. 任二向量,, 若. 则 同向. 若二向量, 满足关系, 则, 同向. 若二向量, 满足关系, 则, 反向 6. 若 c, 则 c 7. 向量, 满足, 则, 同向 二 填空题. 点 (,,-) 关于坐标原点对称的点是. 点 (,,-)
一 无界区域上的二重积分 定义 1 设 f ( x, y ) 为定义在无界区域 上的二元函 数. 若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线 g, f ( x, y) 在曲线 g 所围的有界区域 E g 与 的交集 E = ( 图 1-4) g g 上二重可积. 令 { } g d = min x +
* 8 反常二重积分 与反常定积分相同, 二重积分亦有推广到积分区域是无界的和被积函数是无界的两种情形, 统称为反常二重积分. 一 无界区域上的二重积分二 无界函数的二重积分 返回 一 无界区域上的二重积分 定义 1 设 f ( x, y ) 为定义在无界区域 上的二元函 数. 若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线 g, f ( x, y) 在曲线 g 所围的有界区域 E g 与 的交集 E =
B = F Il 1 = 1 1 φ φ φ B = k I r F Il F k I 2 = l r 2 10 = k 1 1-7 2 1 k = 2 10-7 2 B = ng Il. l U 1 2 mv = qu 2 v = 2qU m = 2 19 3 16. 10 13. 10 / 27 167. 10 5 = 5.0 10 /. r = m ν 1 qb r = m ν qb
吉林大学学报 工学版 ２４４ 第 ４ 卷 复杂 鉴于本文篇幅所限 具体公式可详见参考文 献 ７ 每帧的动力学方程建立及其解算方法如图 ３ 所示 图４ 滚转角速度与输入量 η 随时间的变化波形 Ｆｉｇ ４ Ｗａｖｅｆｏｒｍ ｏｆ ｒｏｌｌ ｒａｔｅ ａｎｄ ｉｎｐｕｔ η ｗｉｔｈ ｔｉｍｅ ｃｈａｎｇｉｎｇ 图５ Ｆｉｇ ５ 滚转角随时间的变化波形 Ｗａｖｅｆｏｒｍ ｏｆ ｒｏｌｌ ａｎｇｌｅ ｗｉｔｈ
Microsoft PowerPoint - ch2-d 静电场 [兼容模式]
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.5 格林函数法 Metho of een Function 一 分离变量法和镜像法能解的情况 分离变量法能解的情况: 自由电荷全聚集在边界上, 也就是说 : 在要求解电场区域没有自由电荷 泊松方程转变为拉普拉斯方程 边界条件 ρ 镜像法能解的情况: 在求解区域内没有自由电荷, 或者只有有限几个点电荷, 并且区域边界或介质界面规则 电场能用等效电荷代替 边界条件 二 een 函数法能解的情况 能用
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3s + cos lm cos l ( + ) ( + ) 3. 997 = 3s + cos 3 s lm = lm + lm cos 3 3 = + =. = ( 4).. + 3 =. = + = = = 3 3 < ( 4) e θ + y = e.. ρ =. = ρ cos θ y = ρs θ ρ = e θ dy d θ = cosθ sθ θ = = e y = e θ θ cos
标题
第 35 卷第 期西南大学学报 ( 自然科学版 ) 3 年 月 Vol.35 No. JouralofSouthwestUiversity (NaturalScieceEditio) Feb. 3 文章编号 :673 9868(3) 69 4 一类积分型 Meyer-KiḡZeler-Bzier 算子的点态逼近 赵晓娣, 孙渭滨 宁夏大学数学计算机学院, 银川 75 摘要 : 应用一阶 DitziaṉTotik
内 容 计 划 2 赴 香 港 北 京 拓 宽 职 场 视 野, 扬 帆 职 业 发 展 就 业 实 践 团 电 信 研 究 生 陈 晨 4 8 月 21 日 - 31 日 北 京 香 港 一 大 陆 和 香 港 城 市 轨 道 交 通 和 信 息 技 术 行 业 发 展 状 况 调 研 就 城 市
附 件 1: 项 目 内 容 计 划 1 赴 深 圳 寻 找 榜 样 力 量 拓 展 就 业 市 场 就 业 团 电 信 本 科 生 王 虹 英 5 7 月 17 日 - 23 日 深 圳 1 活 动 形 式 (1) 专 业 相 关 重 点 单 位 采 访 ; (2) 借 助 新 媒 体 海 报 视 频 等 进 行 宣 传 报 道, 媒 体 报 道 的 不 仅 局 限 于 一 般 的 平 面 媒 体,
精 勤 求 学 自 强 不 息 Born to win! 解 析 : 由 极 限 的 保 号 性 知 存 在 U ( a) 当 a 时 f ( ) f ( a) 故 f ( ) 在 点 a 不 取 极 值 f ( ) f ( a) f ( ) f ( a) lim lim a a a a ( a)
年 考 研 数 学 二 模 拟 题 ( 二 ) 参 考 答 案 本 试 卷 满 分 5 考 试 时 间 8 分 钟 一 选 择 题 :~8 小 题 每 小 题 分 共 分 下 列 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 只 有 一 项 符 合 题 目 要 求 的 请 将 所 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 位 置 上 () 在 点 处 不 存 在 极 限 的 函 数 是 (
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青年之字典, 无 困难 之字 ; 青年之口头, 无 障碍 之语 ; 惟知跃进, 惟知雄飞. 惟知本其自由之精神, 奇僻之思想, 敏锐之直觉, 活泼之生命, 以创造环境, 征服历史. 李大钊 第八章静电场 我们在干燥的冬天临睡前脱毛衣时, 常常会看见电火花并能听到啪啪的声音 ; 从铺着地毯的房间走出来, 在指尖接触金属门把手时, 有时会有电火花和爆鸣声 ; 用塑料梳子梳理头发, 同样的现象也时有发生
5 551 [3-].. [5]. [6]. [7].. API API. 1 [8-9]. [1]. W = W 1) y). x [11-12] D 2 2πR = 2z E + 2R arcsin D δ R z E = πr 1 + πr ) 2 arcsin
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38 5 216 1 1),2) 163318) 163318). API. TE256 A doi 1.652/1-879-15-298 MODE OF CASING EXTERNA EXTRUSION BASED ON THE PRINCIPE OF VIRTUA WORK 1) ZHAO Wanchun,2) ZENG Jia WANG Tingting FENG Xiaohan School
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工工程电磁场程电磁场 绪论 南京航空航天大学 王世山 http://blog.sciencenet.cn/?469261 绪 论 1. 场 2. 电场 磁场及统一的电磁场 3. 电磁场的发展与应用展望 4. 电磁场的 工程性 5. 与其它学科的关系 6. 学期计划 7. 参考文献 1 场 (1) 数学 矢量 : F=F(r,t) 标量 : F=F(r,t) 空间矢量 时间 空间的函数, 时间的函数
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刘世定 内容提要 : 本文在嵌入性视角的引导下, 进入关系合同理论领域 对关系合同的 分析, 以威廉姆森的合同治理结构理论作为基点 在分析了他的理论脉络和隐含假 设后, 本文提出了三个假定, 即约前关系导入 多元关系属性 对关系属性的有限控 制 在新的假设下, 首先讨论了合同治理结构和嵌入关系结构之间不同的对应关系, 并特别探讨了两者间的结构性摩擦 继而, 在关系合同的研究中引入了委托 - 代理关系,
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主讲人 : 潘时龙办公室 : 明故宫校区 A 电话 : 邮箱 : 网址 :
主讲人 : 潘时龙办公室 : 明故宫校区 A1-5 电话 : 5-848963 邮箱 : pans@nuaa.edu.cn 网址 : http://mwp.nuaa.edu.cn 静态电磁场 : 场量不随时间变化, 包括 : 静电场 恒定电场和恒定磁场 时变情况下, 电场和磁场相互关联, 构成统一的电磁场 静态情况下, 电场和磁场由各自的源激发, 且相互独立 本章内容 3.1 静电场分析 3. 导电媒质中的恒定电场分析