2011城市杯初試ans

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溥花
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1 注意 : 允許學生個人非營利性的圖書館或公立學校合理使用本基金會網站所提供之各項試題及其解答可直接下載而不須申請重版系統地複製或大量重製這些資料的任何部分, 必須獲得財團法人臺北市九章數學教育基金會的授權許可申請此項授權請電郵 ccmp@seed.net.tw Notice: Individual students, nonprofit libraries, or schools are permitted to make fair use of the papers and its solutions. Republication, systematic copying, or multiple reproduction of any part of this material is permitted only under license from the Chiuchang Mathematics Foundation. Requests for such permission should be made by ing Mr. Wen-Hsien SUN ccmp@seed.net.tw

2 0 年青少年數學國際城市邀請賽參賽代表遴選初賽個人競賽試題編號 : 姓名 : 校名 : 國中作答時間 : 二小時第一部分 : 填充題, 每小題分, 共 60 分 ( 注意 : 請將答案直接填入各題預留空白處, 不須列出計算過程 ) 之值的個位數為因所求為個位數之值, 故觀察 7 的次方之個位數變化因 7 的個位數為 7 7 的個位數為 7 的個位數為 7 的個位數為, 故 7 的次方之個位數從次方開始, 是依序以 7 這四個數為週期循環出現因 0= 0+, 0 故 87 之值的個位數為 7 中的第三個數, 即為答 :. 從 7,,,. 開始, 把 7 的倍數依次連接在一起寫下去, 一直寫到 00, 成為一個很大的數 :7...00, 則這個數是位數因 00=7, 故觀察 7 的倍至 7 的倍各個數的位數變化一位數 : 僅 7 =7 這個數, 共位 ; 二位數 : 從 7 = 至 7 =8 共個數, 合計 6 位 ; 三位數 : 從 7 =0 至 7 = 共 8 個數, 合計 8 位 ; 四位數 : 僅 7 =00 這個數, 共位 ; 因此所寫出的數為 +6+8+= 位數答 : 位數. 設長方形的長增加其長度的 0, 若面積不變, 則長方形的寬所減少的長度與原來的寬之比為面積不變即為長與寬的乘積是定值當長增加其長度的時, 即增為原長度的 0 0, 0 故寬須縮短為原長度的, 即需減少, 故所求之比為 :=: 答 ::. 設 x y 為正整數, 則滿足方程式 + = 的所有數對 ( x, y ) 共有 x y 00 組

3 0y = 0y + 0x = xy x = = 0 +, 因此 x 為正整數 x y 00 y 0 y 0 的條件為 y 0 為 0000 的正因數因 0000 =, 故知 0000 共有 (+) (+)= 個正因數, 因此數對 ( x, y ) 共有組答 : 組. 已知 x y z 滿足 x + y + z = x + y + z = 6 x + y + z = 0 則 + + = x y z 解一 x + y + z = x + y = z x + y + z = 6 x + y = 6 z x y z = x + y = 0 z ( x + y) ( x + y ) 故 xy = = z + z 因 x + y = ( x + y)( x + y xy), 故可得 0 z = ( z)((6 z) ( z + z )), 化簡後可得 ( z )( z z + 6) = 0, 故知 x + y = z=, 因此知, 故可得 = xy = x( x) ( x )( x ) = 0, 即知 x= xy = y= 或 x= y= 因此 x + y + z = + + = 解二 ( x + y + z) = x + y + z + ( xy + yz + zx) 6 = 6 + ( xy + yz + zx), 故知 : xy + yz + zx = ( x + y + z)( x + y + z ) = x + y + z + xy + xz + yx + yz + zx + zy 故知 : x y z x y z xy yz zx xyz = ( + + )( + + ) 6 = 0 + xyz xyz = y z + z x + x y ( xy + yz + zx) xyz( x + y + z) 因此 + + = = = = x y z x y z ( xyz) 答 : 6. 設 x y 與 z 為正整數, 並計算它們的倒數和 ; 接著將這三個正整數 x y 與 z 依序分別加上與後, 再計算它們的倒數和請問經過這樣操作之後, 倒數和之差的最大值是

4 此即為計算 ( + + ) ( + + ) 的最大值 x y z x + y + z + 因 = x x + x( x + ) = =, 故知 y y + y( y + ) z z + z( z + ) ( + + ) ( + + ) 為遞減函數, 因此最大值發生在 x=y=z= 時, x y z x + y + z + 其值為 + + = 答 : 7. 已知一正整數加上 7 後為一完全平方數, 而此正整數減去 6 仍為一個完全平方數, 則此正整數為令此正整數為 a, 且 a + 7 = a 6 =, 故知 = = 7, 即 ( + )( ) = 7 因 7 為質數, 故知 +=7 =, 解之可得 =7 =6, 故 a = 7 7 = = 8. 設 N = 66 6, 則 N 的最後五個數碼為 0個 6 0個答 : 因所求為 N 的最後五個數碼, 故考慮乘數與被乘數的最後五碼相乘所得之積, 即考慮 6666 因 6666 =, 故 6666 = , 即其最後五個數碼為答 :. 已知 a 及均為正整數, 則 a 的最大值為 00 因為 = a a +, 00 故知為正整數的必要條件為是整數, 即 a+ 為 00 的因數因所求為 a 的最大值, 即可知其發生於 a+=00 時, 此時 a= = 87 答 : 0. 設 x y 為正整數, 則滿足方程式 x y = 6 的所有數對 (x, y) 共有組因 6 = 且與為互質, 故與必分別都是一個完全平方數與一個完全立方數的乘積因 p = ( p ) ( p ) = ( p ) ( p ) = ( p ) ( p ) 共有種情況, 所以合計有 = 組正整數解答 : 組

5 . 如右圖, 邊長為 0 的正方形 C 截去一角 C 0 成為五邊形 CEF, 其中 E=0,F=; 若 y M 點 P 在線段 EF 上使矩形 PMN 有最大面積 a 時, 則 PE 的長度為解一可令 PM=a PN=b CM=y N=x 則知 0 a 0 b 0 a+x=b+y=0, 即 x = 0 a y = 0 b 且由矩形 PMN 的面積可得以下等式 : ab = 0 y( a + 0) x( b + ) 0 = 7 ((0 b)( a + 0) + (0 a)( b + )) = a b + ab 此等價於 a+b=0, 即 a = 0 b 故知矩形 PMN 的面積為 ab = b(0 b) = ( b ) + ( ) 此函數最大值發生在 b = < 但因 b 0, 故知矩形 PMN 有最大面積發生於 b=, 此時 PE = EF = + 0 = 解二延長 NP 交 C 於 Q 點, 則知 PQE~ FE 可 C E y Q y y 令 PQ=CM=y, 其中 0 y, 則 EQ=y 此時矩 M P 形 PMN 的面積為 F (0 + y)(0 y) = y y = + ( y y) 00 6 = ( y ) + 此函數最大值發生在 y = > 但因 0 y, 故 N 知矩形 PMN 有最大面積發生於 y=, 此時 PE = EF = + 0 = 答 :. 已知正三角形 C 內部一點 P 滿足 P= P= PC=, 則正三角形 C 的面積 = 解法一如圖, 在三角形 C 外部取一點使得 PC, 則可知 = =, 且 = PC, 故知 P= + P= PC+ P=60, 所以可推知 P= P=60, 即 P 為正三角形, 因此 P=, 此時可由 E b 0 P N x F

6 畢氏定理推知 P P 依同樣方法再取出 E F 點使得 EC P FC PC, 則可推得六邊形 ECF 的面積為正三角形 C 的面積的倍, 且六邊形 ECF 由邊長分別為的三個正三 P 角形與個邊長分別為的直角三角形所組成, 因此正三角形 C 的面積為 6 + ( ( + + ) + ) = 解法二 E 如圖, 在三角形 C 外部取一點使得 PC, 則可知 = =, 且 = PC, 故知 P= + P= PC+ P=60, 所以可推知 P= P=60, 即 P 為正三角形, 因此 P=, 此時可由畢氏定理推知 P P 故利用餘弦定理可知 P = P + P P Pcos P = + cos0 = + 故正三角形 C 的面積為 6 + = 答 : 6 + 第二部分 : 計算證明, 每題 0 分, 共 60 分 ( 注意 : 請在本試卷正反面空白處依題號作答, 須詳列計算過程及說明理由 ). 已知是中的一個數碼, 若一百零一位數 = 是 7 的倍數, 則的所有可能值為何? 0個 0個易知是 7 的倍數 ( 給分 ) 因為 8個 0個 7 0 = 0 0個 8個 , 以及知 8個 8 7, 故只要代入的能使 0 是 7 的倍數即是 8個題目所求答案 ( 給 0 分 ) 8 因為 (7, 0 ) =, 所以只需討論能使是 7 的倍數的所有可能值故可求得 = 或 8 ( 給分 ) 答 : 8 C F C

7 . 如圖, 已知三角形 C 是一個邊長為 0 的正三角形, 三角形 C 是等腰三角形, C=0 以為頂點任作一個 60 的角, 角的兩邊分別交於點 X 交 C 於點 Y 請問三角形 XY 的周長是多少? 可知 = C=0 延長 C, 在延長線上取 CE=X, 則可知 X CE, 所以 X=E X= CE ( 給分 ) 因此由 C=0, 可推知 XE=0 ; 再因 XY=60, 所以 EY=60 = XY; X Y 此時因 X=E Y=Y, 故可知 XY EY, 所以 XY=YE ( 給 0 分 ) C 故可知 X+Y+XY= X+Y+YE= X+Y+YC+CE= E X+Y+YC+X=+C=0 ( 給分 ) 答 :0. 有一個正九邊形, 將它的各個頂點任意地塗成紅色或白色以正九邊形的頂點所作出的三角形中, 試證 : 存在兩個全等的三角形, 它們的頂點所塗的顏色都各自相同由下圖知三角形的頂點都是正邊形的頂點的情形共有 7 種不同的形狀 : ( 給分 ) 將邊形的頂點染上兩種顏色時, 必有一種顏色出現在至少個頂點上 ( 鴿籠原理 ),( 給分 ) 以這個頂點中的個點為頂點的三角形有 0 個 ( 若令這個頂點為 C E, 則有 C E F C CE CF CE CF EF 這 0 個三角形, 或由 = 0 也可得此結論 ) 因 0 > 7 ( 上圖的 7 種情形 ), 因此, 這 0 個同色三角形中, 必有兩個形狀相同 ( 鴿籠原理 ), 也就是存在兩個全等的三角形 ( 給 0 分 )

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00 青少年數學國際城市邀請賽參賽代表遴選初選個人數學競賽試題編號 : 校名 : 國中姓名 : 作答時間 : 二小時第一部分 : 填充題, 每小題分, 共 60 分 1. + ++..+00=. 將分數 1 化為小數後, 則小數點後第 00 位數字為何?. 在一條道路上, 測得,,, 四個城市之間的某些距離資料, 列表如下 : 8 1 1 1 請問城市和城市之間的距離為. 設 X 為一實數,