第十四屆國際數學競賽複賽 ( 台灣 ) 2018 Fourteenth International Mathematics Contest(Taiwan) 高中二年級試卷考試時間 :90 分鐘卷面總分 :100 分考試時間尚未開始前請勿翻閱

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裁姗蓟
4 years ago
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1 0 8 第十四屆國際數學競賽複賽 ( 台灣 ) 08 Fourteenth International Mathematics Contest(Taiwan) 高中二年級試卷考試時間 :90 分鐘卷面總分 :00 分考試時間尚未開始前請勿翻閱

設 a b c 是實數且 f(x)= x ax bx c 除以 x 所得的餘數為 -6x+, 則方程式 f(x)=0, 有幾個實根?

2 0 8 第十四屆國際數學競賽複賽 ( 台灣 ) 08 Fourteenth International Mathematics Contest(Taiwan) 請將答案寫在答案卷上一選擇題 ( 每題分, 共 8 分 ) ( ). 設 k 為實數, 若不論 X 為任意實數, 二次函數 kx x 的值恆小於, 求 k 之解為何? () 由題意知 x () k 0 - k (B) - kx kx x 0 () k ( ) 0 k 由得知 k k (C) 恆成立 - k (D) k - 3 ( D ). 設 a b c 是實數且 f(x)= x ax bx c 除以 x 所得的餘數為 -6x+, 則方程式 f(x)=0, 有幾個實根? ()0 (B) (C) (D)3 個 f ( x) x 3 ax bx c 令 f ( x) ( x )( x ) q( x) 6x f ( ) 6, f ( ) 6 0 f ( ) f ( ) 0, 又 x 時 f ( x) 0 f ( ) f () 0, x 時, f ( x) 0 f ( ) f ( ) 0 由勘根定理得知 ( x) 0 f 在 ( ) 如圖所示得 f ( x) 0 恰有 3 個實根,,(-,),(, ), 各皆有一實根, C 第頁 / 共 7 頁

3 ( )3. 籃子中共有 5 個雞蛋, 每次從中取出個或 3 個, 直到籃子中之雞蛋取完為止, 共有多少種不同的取法? ()85 (B)75 (C)65 (D)55 種設個取 x 次,3 個取 y 次, 則 x+3y=5,x y 為正整數或 0 共有!! x 8 5 y 3 5 7! 0! 9! 8!3! 5!5!!7! = =65 ( ). 已知某校一間辦公室有四位老師甲乙丙丁. 在某天的某個時段, 他們每人各做一項工作, 一人在查資料, 一人在寫教案, 一人在批改作業, 另一人在列印材料. 若下面個說法都是正確的 : 甲不在查資料, 也不在寫教案 ; 乙不在列印材料, 也不在查資料 ; 丙不在批改作業, 也不在列印材料 ; 丁不在寫教案, 也不在批改作業. 此外還可確定 : 如果甲不在列印材料, 那麼丙不在查資料. 根據以上資訊可以判斷 () 甲在列印材料 (B) 乙在批改作業 (C) 丙在寫教案 (D) 丁在列印材料如果甲不在列印材料, 由於甲不在查資料, 也不在寫教案, 於是甲一定在批改作業此時丙不在查資料, 丙不在批改作業, 也不在列印材料於是丙一定在寫教案但是由於乙不在列印材料, 也不在查資料, 則乙一定在寫教案或批改作業這與題目條件他們每人各做一項工作矛盾! 故甲在列印材料選 ( )5. 已知 f x x x 86, g x 為正整係數多項式且第頁 / 共 7 頁

4 , 則 g x 的各項係數之和為 ( ). f g x x x x x () (B) (C) (D) g x 的各項係數之和為 f g =88 故 g g 86=88 解得 : g =, 或 g g, = ( 不合 ) 故選 B ( )6. 從一個正 9 邊形的 9 個頂點中選 3 個使得它們是一個等腰三角形的三個頂點的方法數是?()30 (B) 36 (C) (D) 以上皆非正九邊形 9 個頂點中, 以其中某個點為頂點的等腰三角形有個, 共計 9 36個, 但其中的 9 個正三角形被重複計算了 3 次, 即多算了 6 次, 從而共有個等腰三角形. 選. ( )7. 甲乙丙丁四人進行網球比賽, 首先是甲與乙比, 丙與丁比, 這兩場比賽的勝者再爭奪冠軍. 他們之間相互獲勝的機率如下 : 甲乙丙丁甲獲勝機率乙獲勝機率丙獲勝機率丁獲勝機率則甲獲得冠軍的機率為 ( ). () 0.65 (B) 0.5 (C) 0.75 (D) 0.35 甲與乙比甲獲勝為事件, 則 P( ) 0.3, 丙與丁比, 丙獲勝為事件 B, 則 P( B) 0.5, P( B) 0.5, 甲與丙比甲獲勝為事件 C, 則 P( C) 0.3, 第 3 頁 / 共 7 頁

5 甲與丁比甲獲勝為事件 D, 則 P( D) 0.8, 甲獲勝的概率為 P( BC BD) P( BC) P( BD) P( ) P( B) P( C) P( ) P( B) P( D) 因此答案選. 二填充題 ( 每格 5 分, 共 0 分 ) 5 n. 已知 log , 若 000< ( ) <5000, 求正整數 n 之值 5 n 000< ( ) < n log 000 log( ) log log<n(log5-log)<3+log <0.097n< n <n< 得 n=38. 圓心在直線 x=y 上且過 (,) B(,-) 二點的圓方程式為設圓心 C(t,t) C CB ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) t= 圓心 C(,) 半徑 C (- ) (- ) 0 所求為 ( x ) ( y ) 0 3. 已知 n= n( n ) 成立數列 <an> 中, a an an n, n, 求 a n 第頁 / 共 7 頁

6 a a n a a n n n n n 將 n 分別以 3. n 代入得 a-a= a3-a=3 a-a3=3. + an-an-=n an-a=+3++ +n an=a+(+3++ +n) an=+(+3++ +n) an=+( n) 又 n( n ) n n a n, n n n a, a n. 解 ( x 3x ) (x 7x 6) (3x x ), 得 x= 令 = x 3x,B= x 7x 6 +B= 3x x B ( B), B B B,B=0,B=0 ( x 3x )(x 7x 6) 0, ( x )( x )(x 3)( x ) 0, x= 如圖, 在 BC 中, 點 P 在 BC 邊上, PC 60, PC, P C. 則 CP = 在 PC 中, 因為 PC 60, PC, P C, B P C 由餘弦定理得 PC P C P C cos PC 所以 P P P P cos 60, 整理得 P P 0, 解得 P. 所以 C. 所以 PC 是等邊三角形. 所以 CP 60. 第 5 頁 / 共 7 頁

7 6. 有五位同學需要在某天內將作業交給老師, 每位同學交作業時將作業放在作業堆的最上面, 老師一有空就從最上面拿一份作業來批改按交作業的順序將五份作業編號為 3 5 中午的時候, 已知第份作業已經批改完了, 則下列選項中可能為老師下午批改作業的順序情況有 5 3,5 3,35 3,3 5 如果之前的,,3 都沒批改, 且下午批改作業前第 5 本作業交過來了, 那麼下午批改的情況是 5 3 ; 如果第本上午批改過了 ( 第本交來時恰好老師有空但批改完就忙其他了 ), 下午批改作業可能是 35 3 ; 如果第本上午批改過了, 下午批改第 3 本後第 5 本才交上來, 那麼下午批改作業可能是 3 5 答案 : 3 7. 如右圖, 已知是邊長等於 8 的正方形,S 為的內切圓, 為 S 的內接正方形,S 為的內切圓,3 為 S 的內接正方形, 如此一直做下去, 設 an 是正方形 n 的面積, 試求 : a k 為答案 : 由題意知 a=8 =6 如右圖所示 OB OC O O a ( ) a 0 k 以 k a 恰為以 a=6 為首項 a a 為公比的等比級數 0 9 a k ( )... 6 ( ) = k 0 k ( ) - = 第 6 頁 / 共 7 頁

8 8. 設 sin cos 為方程式 8 x x 3 0 之兩根, 則 sin (cos sin ) 之值是 sin cos 為方程式 8x x 3 0 sin + cos = 8 3 sin cos = - 8 sin (cos sin ) ( 之兩根 3 = (- cos )(- sin ) - (sin cos ) sin cos = 8 8 cos - sin ; (cos sin ) cos sin sin cos sin ). 答三計算題 ( 共 3 分 ) 沒寫計算過程不予計分. 一平面與平面 3x+y+z+=0 平行, 且三軸截距和為, 試求此平面與三坐標平面所圍成四面體之體積?(0 分 ) 令所求平面 3x+y+z=k x y z E: k k, 且三軸截距和為 k 3 k k k k k= 3 6 x y z E:, 此平面與三坐標面所圍成四面體之體積為 6 8. 答 6 6. 有 B C 三艘不同的渡船, 其中只有船僅能搭載人, 另外兩艘船則無限制若某夫妻與朋友共 5 人欲同時渡河, 且此夫妻一定要同船, 則安全渡船的方法有多少種?(0 分 ) 第 7 頁 / 共 7 頁

9 當某夫妻搭船時, 其餘 3 人有 3 8 種當某夫妻搭 B 船時, 其餘 3 人有 3 3 -( 同搭船 )=6 種當某夫妻搭 C 船時, 與 B 船相同故安全渡河的方法有 8+6+6=60 種 3. 求 cos cos... cos 的值為何?( 分 ) 3 07 cos cos... cos sin (cos cos... cos ) sin sin cos sin cos... sin cos sin sin cos sin cos... sin cos sin sin cos sin cos... sin cos sin sin sin - sin... sin sin sin sin 07 sin 07 第 8 頁 / 共 7 頁

第十四屆國際數學競賽複賽 ( 台灣 ) 2018 Fourteenth International Mathematics Contest(Taiwan) 高中一年級試卷考試時間 :90 分鐘卷面總分 :100 分考試時間尚未開始前請勿翻閱

第十四屆國際數學競賽複賽 ( 台灣 ) 2018 Fourteenth International Mathematics Contest(Taiwan) 高中一年級試卷考試時間 :90 分鐘卷面總分 :100 分考試時間尚未開始前請勿翻閱 0 8 第十四屆國際數學競賽複賽 ( 台灣 ) 08 Fourteenth Interntionl Mthemtics Contest(Tiwn) 高中一年級試卷考試時間 :90 分鐘卷面總分 :00 分考試時間尚未開始前請勿翻閱 0 8 第十四屆國際數學競賽複賽 ( 台灣 ) 08 Fourteenth Interntionl Mthemtics Contest(Tiwn) 請將答案寫在答案卷上

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