類題四平面上三點 A(, 4), B(, 0), C( x, y) 在第一象限, 若 ABC 答 C ( +, + ) 為正三角形, 求 C 之坐標第部分分點公式點光源由 A 點射出, 經 x 軸上 P (5, 0) 反射後通過 B(,7), 若 BP : AP = :, 求 A 點坐標答

Size: px

Start display at page:

Download "類題四平面上三點 A(, 4), B(, 0), C( x, y) 在第一象限, 若 ABC 答 C ( +, + ) 為正三角形, 求 C 之坐標第部分分點公式點光源由 A 點射出, 經 x 軸上 P (5, 0) 反射後通過 B(,7), 若 BP : AP = :, 求 A 點坐標答"

墩慎
5 years ago
Views:

1 94 學年高一上數學科進階課程 Ⅱ 課用講義 94 學年高中一年級上學期數學科進階課程 Ⅱ 課用講義第二章數與坐標系第節平面坐標系第部分坐標 () 正方形 ABCD 中, 已知 A(, 4), B(, 0), 求 C 與 D的坐標 () 已知正方形之對角線的二頂點坐標為 (, 4),(, 0), 求另二頂點之坐標答 () C(7,), D(5,6) 或 C(, ), D(,) () (4, ) 與 (0, ) 一平行四邊形, 已知三頂點 (, ),(5, 4),(4,), 求第四點的坐標答 ( 4,),(, 7),(, ) ABC, A(5, 5), B(, 6), C(, 7), 試求三角形外心坐標答 (, ) 類題二 () ( x a) + ( x b) + ( x c), 當 x =? 有最小值 () 利用 () 的概念 : 已知 A(,), B(0,4), C(,6), D(4,7), E(,7), 請在平面上找一個 Px (, y, ) 使 PA + PB + PC + PD + PE 最小, 並求最小值 a+ b+ c 答 () x = 時有最小值 () 取 P (, 5) 有最小值 6 類題三正方形 OPQR, 一個邊 PQ 通過 A (, 0), 另一邊 RQ 通過 (,) B, 求此正方形面積答

2 類題四平面上三點 A(, 4), B(, 0), C( x, y) 在第一象限, 若 ABC 答 C ( +, + ) 為正三角形, 求 C 之坐標第部分分點公式點光源由 A 點射出, 經 x 軸上 P (5, 0) 反射後通過 B(,7), 若 BP : AP = :, 求 A 點坐標答 7 (7, ) ABC 中, AB = c, BC = a, AC = b, A( x, y), B( x, y), C( x, y), I 為內心 () A 平分線與 BC 交於 D, 求 D 點坐標? () BD =? () AI : ID =? (4) I 點坐標? 答 () D bx + cx by + cy ac ax+ bx + cx ay+ by + cy (, ) () () ( b+ c) : a (4) I(, ) b + c b + c b+ c a+ b+ c a+ b+ c 第部分斜率與直線若 ac > 0, ab < 0, 則直線 ax + by + c = 0, 必不過哪一象限? 答第四象限 () y = px+ q, 試求斜率? () 寫出下列直線斜率 m : y = x+ 5 m= x + 5y+ = 0 m= y 7x+ 5= 0 m= y = 5 m= x = m = 答 () 斜率 p () 無斜率

3 94 學年高一上數學科進階課程 Ⅱ 課用講義範例三求下列各題所給條件之直線方程式 : () 斜率 5, 過點 (, )? 5 () 斜率, 過點 (,7)? () 斜率 ( ), 過點 (, 8)? 答 ()5x y = 7 ()5x y = 6 ()x+ y = 7 範例四 A(4, 5) 對直線 L:x+ 4y = 7的投影點及對稱點為何? 答投影點 (, ), 對稱點 (, ) 範例五右圖 y = mx+ 與 y = f( x) 的圖形僅交一點, 求 m 的範圍答 m 或 m 範例六三直線 L:x y+ = 0, L :( a+ ) x+ (a ) y 6= 0, L:( a+ ) x+ ( a ) y+ 7= 0 () L L L 三線共點 ; () L L L 三直線不能圍成三角形 ; 求 a 值答 () 或 9 () 7 5 ± 9 4 範例七如圖, ABCD 為梯形, 且 AD AB, CD // AB, A(, 0) B(4, 6) C(9, ), () 請求出直線 AD 的方程式 () 請求出 D 點的坐標答 () x y = () D (7, )

4 4 範例八某次考試, 因為某種原因老師決定調整全班數學分數, 依線型函數 y = ax+ b調分 ( x 表原來得分, y 表調後分數 ) 結果原本最高分 45 分者, 調成 85 分, 另一人原本分者調成 7 分, 請問原本分的人調後變多少分? 答 59 分 A(,), B(4,4), C(5,8), D(,6), 有一直線 L過點 P(6, 0) 且將四邊形 ABCD 面積平分, 求 L 的方程式答 5x y = 0 類題二有一直線 L與 x+ 4y+ 5= 0平行, 與 x, y 軸各交於 A, B, 若 AB = 5, 求 L 的方程式答 x+ 4y = 或 x+ 4y = 類題三三直線 L :x y+ = 0, L :( a+ ) x+ (a ) y 6= 0, L :( a+ ) x+ ( a ) y+ 7= 0, 設 L L L 圍成直角三角形, 求 a 的值答 9 4 或 4 第 4 部分截距式一直線過點 (,) 且與兩坐標軸於第三象限所圍的三角形面積為, 求此直線方程式答 x+ y+ = 0 直線 L 過點 (, ), 且與 x 軸 y 軸的交點皆為格子點 ( 即坐標皆整數 ), 請問這樣的直線有幾條? 答 0 條

5 94 學年高一上數學科進階課程 Ⅱ 課用講義 5 第 5 部分直線系觀念一直線方程式的線性組合. 原理 : 將 L L 線性組合, 例如 : L + 5 L :(x+ y ) + 5(x y ) = 0 9x y 6 = 0也過 (, ):. 心得 : () 將 L L線性組合所得的新直線必過 L L交點 αl + βl 過 L L 交點 () 取 α = 可簡化為 L+ β L k R, 直線 ( + kx ) + ( + ky ) = + k恆過定點, 求此定點坐標答 (,5) 不論 m, k 為任何實數, 直線 ( m+ k) x+ ( m+ k) y (m+ 5 k) = 0恆過定點, 求此定點坐標答 (, ) 第 6 部分最值當 x =, x 4x+ 5+ x 6x+ 4 有最小值 = 答 x =, 最小值 7 6 求 ( x, y ) 使答 (, ) ( x ) ( y 5) ( x 5) ( y ) ( x ) ( y ) ( x ) ( y ) 最小第二章數與坐標系第 4 節複數第部分複數的運算化簡下列各式 :

6 6 () ( )( 8) + 8 =? 4 () a < 0, a a + a a =? 答 () 0 () a a a a a b R, ab 0, 下列那一個條件使 b = 成立? b (A) a > 0, b> 0 (B) a > 0, b< 0 (C) a< 0, b< 0 (D) a< 0, b> 0 答 (B) 範例三 x R, 且 ix ( + i) 為實數, 求 x 答 0,, 範例四 z, z,, z 為複數數列, z =, z+ = i z +, N, 求 z 9 =? 答 i 範例五下列何者正確? (A) a, b是複數, a+ bi = + 5i, 則 a =, b= 5 (B) + i > + i (C) i > (D) a, b, c是複數, a+ b+ c = 0, a + b + c = 0, 則 a = b = c = 0 (E) x 是複數, 若 x =, 則 x = 答 (C) 範例六 + i p i p p N, 試討論 ( ) + ( ) 的值答 p 為奇數, 值為 0, p = 4k 值為, p = 4k + 值為 z + z 的實部 x, 虛部 y, 求的實部 z x + y 答 ( ) + x y

7 94 學年高一上數學科進階課程 Ⅱ 課用講義 7 第部分平方根 () 求 i 的平方根 =? () z z+ ( + i) = 0, 求 z =? 答 () i + i ( + ) i ( + ) +i, (), 第部分 ω 的運算 + i 0 求 ( ) =? 5 答 x 答 α + β + x+ = 0二根 α, β, 則以, 為根的方程式為何? β + α x + x+ = 0 第 4 部分絕對值,,, 求 a R z = i z = + i 答當 a = 0 有最小值 5 z a + z a 的最小值及此時的 a z i = z i, 求 z 在複數平面上所形成的圖形答 + i與 + i二點連線段的垂直平分線第 5 部分一元二次方程式有一個正實數 a, 其小數部分 b, 滿足 a 答 0 + b = 8, 求 a+ b=

8 8 有一個方程式 ax + bx + c = 0 5 () 甲將 c 看錯解得二根,, 乙將 a 看錯解得二根,, 求正確根 6 5 () 甲將判別式算錯解得二根 ( 用根的公式解 ) 4,, 5 乙將 b 看錯解得二根,, 求正確根答 () 5, () 5, a與 a+ 為兩異號實數, 且均為 x + x + k = 0的解, 求 k 答類題二 x x = 7, 求解 x 答 4, 5 第 6 部分根與係數, 為 5 0的二根, 求下列各式 () ( α + β) = α β x + x+ = () ( α + 5α + α )( β + 5β + β ) = () α + β = 答 () 7 ()6 () 0, 為 0的二根, 求下列各式 () α + β = () + = ( + α) ( + β) p p () p N, α + β = α β x x+ = 5 5 答 () () 49 () p 偶數時為, p 奇數時為

9 94 學年高一上數學科進階課程 Ⅱ 課用講義 9 第 7 部分根的性質 m 為整數, 且 x + ( m+ ) x+ (m ) = 0二根均為整數, 求 m 及二根答 m =, 二根, 或 m = 5, 二根, + ( 5) ( 5) = 0四根為相異實根, 求 m 範圍 4 x m x m 答 5 m < 第三章數列與級數第節等差與等比第部分等差數列與級數兩個等差數列的前項和 A : B = (+ ):(+ 4), 求第項的比答 9 兩等差數列 { a},{ b}, a = 5+, b =, 數列 { c} 為 { a} 與 { b} 所有共同項所成的數列, 則 : () c 00 = () c > 00 之最小值為何? 答 ()49 ()8 範例三一個凸多邊形各內角度量為一等差數列, 若最小角度量為 0, 公差為 5, 則此凸多邊形邊數為何? 答 9 範例四一等差數列之前 6 項和為 08, 第項與第 9 項之和為 6, 求 : () 此數列之第 0 項為何? () 前項和 S 之最大值為何? 又此時 =? 0 () a = = 答 () 48 (), = 7 或 8 ()44

10 0 範例五於自然數列 :,,,4 中去掉的倍數, 的倍數及 5 的倍數後所得數列 :,7,,, 試問 : () 此數列小於 60 者有多少項? () 試求此數列的第 000 項 () 求前 000 項之和答 ()6 項 ()749 () 一等差數列之前 m 項和為, 前項和為 m, 求此數列之前 m+ 項和, 其中 m 答 ( m+ ) 第部分等比數列與級數在和 9 之間依序插入兩個正數 a b, 使 a b三數成等比, 而 a b 9 三數成等差, 則 a =? b=? 9 7 答 a =, b= 4 有一複數等比數列, 首項為 + i, 第二項為 + i, 求此數列前五項之和答 6 i 範例三等比數列 { a } 中, a =, a 4 = 5, a+ = a+ + a, N, 求此數列公比答 5 有一個正實數, 其小數整數部分及本身成一個等比數列, 求此實數答 + 5 類題二 { a } 為等比數列, k 為自然數, 若 a = 7, a k = 448, 前 k 項和 i= k a = 889, 公比為大於的自然 i

11 94 學年高一上數學科進階課程 Ⅱ 課用講義數, 求 k =? 答 7 類題三等比數列 a, ar, ar,, ar S, 前項和為 S, 積為 P, 倒數之和為 T, 試證 P = ( ) T 答略類題四 6 某人參加銀行儲蓄存款, 年利率為 00, 複利計息, 若某人每年年初存入銀行 0000 元, 則第 0 0 年年底結算得本利和共元 ( 已知 ) 答 9708 第部分等比混合級數 99 化簡 + i+ i i = A+ Bi,, A B R, 求 A B 答 A= 50, B = 50 第 4 部分 S 與 T 觀念一首項末項與數列前項前項和的關係 a = S S = a + a + + a, N a = S S, a = T T = a a a, N T a =, T.. 一個數列的前項和 S = + +, 求 =? aa aa aa 4 a99a00 47 答 00 a+ a + a+ + a = ( + )( + ), N, 求 a =? 答 a = ( + ), N

12 數列 { a}, T = aa a = +, N, 求 a =? + 答 a =, a =,, N + 第三章數列與級數第節無窮數列與級數第部分群數列 (),(,, 4),(5, 6, 7, 8, 9),, 請問 4 是在第幾個括號內第幾項? 答第個括號的第項如右圖, 第號坐標為 (, 0), 第號坐標為 (, ), 則 : () 點 (00, 0) 是第幾號坐標? () 第 000 號坐標為何? 答 () 5050 () (4, 0) 第部分套級數試求 =? = 答 4 k =? 試求 4 k = k + k + 答

13 94 學年高一上數學科進階課程 Ⅱ 課用講義類題二試求 =? ( ) ( 5) (5 7) 答 8 類題三 S = ( ) 且 L= lim S () L =? () 求最小自然數使 S L < 7 聯招 000 答 () L = () = 4 第部分 Sigma 級數,,4,7,,6, 此數列為階差數列, 求 : () 第 k 項為何? () 前 0 項的和答 () ( k ) k + () 455 觀察下列與 4 4方格中的數字規律 4 如果在 0 0 的方格上, 仿上面規律填入數字, 則所填入的 00 個數字之總和為答 85 + ( ) + ( ) + + ( ) + =? ( + )( + ) 答 6

14 4 第 4 部分無窮級數 a b a b a b a b R, 若 =, 求 a+ b=? 4 答 a+ b= 9 試求無窮級數的和答 5 9 範例三設 a b c N, < a< b< c< 9, 若無窮等比級數 0. a+ 0.0b+ 0.00c+ 之和為 S, 求 : () a b c =? () 第四項 ( 以循環小數表示 ) () S =? 答 () a =, b= 4, c= 8 () () 5 8 ω 為 x = 之一虛根, 若無窮級數 + ω+ ω + + ω +, 4 為實數, 則 α =, β = 6 答 α =, β = 7 7 之和為 α + βω, 其中 α β 類題二 =? 答類題三至無窮多項之和為答

15 94 學年高一上數學科進階課程 Ⅱ 課用講義 5 第 5 部分幾何應用 T T T為一群多邊形, 作法如下 : T 為邊長等於的正三角形, 以 T 每一邊中間三分之一的線段為一邊向外作正三角形, 然後將該三分之一線段去掉所得的多邊形為 T, ( 如圖示 ) 令 a 表 T的周長, 求 :() T 的面積 () a = T T T + = 答 () 0 7 () 4 在右圖中, OA0A是一底角為 0 而腰長為的等腰三角形, 已知 OAA = 0, 線段 AA 0, AA, AA 4 5, 互相平行, 且線段 AA, AA 4, AA 5 6, 也互相平行試問 : () 比值 AA : AA 0 等於多少? (A) (B) (C) (D) (E) 4 () 線段 AA 0, AA, AA,, A A, 的長度之和等於多少? (A) + 4 (B) (C) (D) (E) 4 () AAA 的面積為何? (A) (B) (C) (D) 9 (E) (4) 三角形 AAA, AAA 4 5,, A AA+, 的面積之和為何? (A) (B) (C) (D) (E) 答 () (D) () (A) () (E) (4) (A)

目次 CONTENTS 1 數列與級數幾何圖形三角形的基本性質平行與四邊形

目次 CONTENTS 1 數列與級數幾何圖形三角形的基本性質平行與四邊形給同學的話 1 3 4 目次 CONTENTS 1 數列與級數 1-1 3 1-8 1 13 幾何圖形 -1 18 - -3 6 30 3 三角形的基本性質 3-1 35 3-39 3-3 44 3 48 4 平行與四邊形 4-1 54 4-59 4-3 63 4 68 3 1-1 數列本節性質與公式摘要 1 數列 : 1 1 a 3 a 3 n n a n 3 n n1 a n1 4 n n1

類題四 平面上三點 A(, 4), B(, 0), C( x, y) 在第一象限, 若 ABC 答 C ( +, + ) 為正三角形, 求 C 之坐標 第 部分分點公式 點光源由 A 點射出, 經 x 軸上 P (5, 0) 反射後通過 B(,7), 若 BP : AP = :, 求 A 點坐標 答

類題四平面上三點 A(, 4), B(, 0), C( x, y) 在第一象限, 若 ABC 答 C ( +, + ) 為正三角形, 求 C 之坐標第部分分點公式點光源由 A 點射出, 經 x 軸上 P (5, 0) 反射後通過 B(,7), 若 BP : AP = :, 求 A 點坐標答