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1 目 录 第一章线性方程组与矩阵初步... 第一节 矩阵及其运算... 第二节 用消元法解线性方程组... 第三节 齐次线性方程组... 练习一... 第二章 维向量空间...9 第一节 维向量及其线性运算...9 第二节 线性相关性... 第三节 极大线性无关组与向量组的秩... 第四节 线性方程组解的结构...9 练习二... 第三章行列式与矩阵的进一步讨论... 第一节 矩阵的初等变换与初等矩阵... 第二节 可逆矩阵... 第三节 方阵的行列式... 第四节 行列式的计算与按行 列 展开...7 练习三...8 第四章矩阵的相似标准形...89 第一节 特征值与特征向量...89 第二节 相似矩阵...9 第三节 实对称矩阵的对角化... 第四节 投入产出模型...8 练习四... 第五章二次型...7 第一节 二次型与实对称矩阵...7 第二节 化二次型为标准形...9 第三节 二次型的正 负 定性...7 习题五... 参考答案与提示...

2 第一章 线性方程组与矩阵初步 在自然科学 工程技术与管理科学中经常要处理多个参数的问题 这些参数就是变量 变量要受到一些条件的约束 对这些条件进行化简 使它们成为最简单的形式 变量的一次方程 就构成了线性方程组 实际问题中大量的数据通常以矩形表的形式出现 例如 个参数的 s 组测量值就是一个 s 行 列的矩形表 矩阵就是各种矩形表共有的数学形式 本章研究矩阵的基本运算与基本性质 线性方程组的基本性质与求解方法 这些是研究线性代数的基础 线性代数中很多问题都可以转化为线性方程组的解与矩阵的初等变换 这些将贯串线性代数始终 因此这一章是线性代数的基础 第一节矩阵及其运算 一 矩阵的概念 在社会经济生活中 人们经常要处理许多数据 这些数据中有相当多是以表格的形式出 现的 例如 : 表 - 是某单位职工的工资表片断 其中每行代表一个职工 每列代表工资中 的一项 表 - 是某工厂的一张生产日报表 该工厂有三种产品 由四个班组生产 表的每一行代表一个班组 每一列代表一种产品 表 -: 基本工资职务补贴奖金生活补贴书报费交通费 周华 8 李雪 8 王文 8 张欣 7 8 谢方 8 8 李宁 7 8 邵丽 8 郭宁 7 8 表 -: 产品 Ⅰ 产品 Ⅱ 产品 Ⅲ 第一组 7 第二组 8 8 第三组 第四组 这些表格虽然内容不同 但它们的数据部分都是由若干行与列组成的 因此它们在数学 上有许多共性 我们将这种由行与列组成的数据表称为矩阵 通常用大写字母 A B C 或 m; 表示 在线性代数中用下面的方法表示矩阵

3 7 S ; A 7 8 ; 矩阵 S 代表表 - 的数据 其中第 行第 列交叉处 s 表示第 位职工工资中的第 项 矩阵 A 代表表 - 的数据 其中第 行第 列交叉处 表示第 个班组生产第 种产品 的件数 矩阵中的数称为矩阵的元素 通常用带有两个下标的字母 表示 其中第一个下标表示该元素所在的行 称为行脚标 第二个下标表示它所在的列 称为列脚标 用这种方 式表示元素的位置类似于电影院用 排 号表示一个座位的位置 当要说明一个矩阵的形状 时 我们将由 m 行 列组成的矩阵称为 m 乘 阶矩阵 例如 A 是 乘 阶的 可表示为 A ; S 是 8 乘 阶的 可表示为 S 8 称为 m 乘 阶矩阵 的第 行 m 称为 m 乘 阶矩阵 的第 列 只有一行的矩阵称为行矩阵 简称行 只有一列的矩阵称为列矩阵 简称列 在本课程中 如无特别说明 矩阵的元素都是实数 称为实矩阵 行数与列数相等的矩阵称为方阵 行 列的方阵称为 阶方阵或 阶矩阵 记作 A 方阵中的元素 称为对角线上的元素 一般矩阵中的元素 称为准对角线 上的元素 两个行数 列数分别相等的矩阵称为同型矩阵 两个同型矩阵如果对应元素相等 则称两个矩阵相等 即 : 设 A ;B m; 如果 m; 则称 AB 二 矩阵的线性运算定义. 矩阵的加法两个矩阵对应元素相加所得到的矩阵称为这两个矩阵之和 即 : 设 A ;B CAB 如果 C m; 例 设 A B 8 8 AB 显然 矩阵的加法只能在同型矩阵中进行 容易验证 : 矩阵的加法满足交换律与结合律 元素全为 的矩阵称为零矩阵 通常用 O 表示 显然对于任何矩阵 AOA 如果 A 则称 - 为 A 的负矩阵 记作 -A 不难看出:A-AO 利用负矩阵 可以定义矩阵的减法 :A-BA-B

4 定义. 数乘矩阵 A k 是个实数 kak 称为数 k 与矩阵 A 的数量乘积 简称数乘 例 设 9 A ;A 8 容易验证矩阵的数量乘积满足下列性质 : 对于任何矩阵 A AA; kabkakb; klakala; klakla 以及 -A-A;AO 注意这里等号左边的 是实数 右边的 O 是零矩阵 矩阵的加法和数乘称为矩阵的线性运算 三 矩阵的乘法看本章开始的表 - 用矩阵 A 表示 其中第 行表示第 个班组 ; 第 列表示生产第 种产品 表 - 产品 Ⅰ 产品 Ⅱ 产品 Ⅲ 第一组 7 第二组 8 8 第三组 第四组 8 A 7 8 表 -: 成本 价格 产品 Ⅰ 产品 Ⅱ 产品 Ⅲ B 用矩阵 B 表示 它给出了该厂每一件产品的成本和价格 它有 行 列 第 行代表第 种 产品 第一列代表每件产品的成本 第二列代表每件产品的单价 由这两张表也就是矩阵 A B 可以计算出该厂每个班组生产一天所消耗的成本与创造 的产值 这组数据用表 - 表示 它对应矩阵 C 表 -: 总成本 第一组 C C 第二组 C C 第三组 C C 总产值 第四组 C C c c C c c c c c c C 表示第一组一天消耗的总成本 它等于第一组生产的三种产品的数量分别乘上这三种产

5 品的成本 也就是矩阵 A 的第一行各元素与矩阵 B 的第一列各元素的对应乘积之和 : c 7 c 表示第一组一天创造的总产值 它等于第一组生产的三种产品的数量分别乘上这三 种产品的价格 也就是矩阵 A 的第一行各元素与矩阵 B 的第二列各元素的对应乘积之和 : c 7 c 表示第二组一天消耗的总成本 它等于第二组生产的三种产品的数量分别乘上这三 种产品的成本 也就是矩阵 A 的第二行各元素与矩阵 B 的第一列各元素的对应乘积之和 : c 8 8 依此类推 : c ; 是矩阵 A 的第 行各元素与矩阵 B 的第 列各元素的对应乘积之和 由此得到矩阵乘法的定义 : 定义. A m m c c 定义 m p 阶矩阵 C cm 是 m 阶矩阵 B m c c c m c p c p c mp ;c k k k k p p 是 p 阶矩阵 p k 即 Cc k 的第 行 k 列元素 c k 是矩阵 A 的第 行各元素与矩阵 B 的第 k 列各元素的对应乘 积之和 简称为 A 的第 行与 B 的第 k 列的乘积 记作 CA B 矩阵乘法满足 结合律 ABCABC 分配律 ABCABAC;ABCACBC AkBkAB 零矩阵与任何矩阵的乘积仍是零矩阵 对角线上的元素全部等于 其它元素全部等于零的方阵称为单位矩阵 简称单位阵 记作 I 不难验证 单位阵乘以任何矩阵仍等于那个矩阵 因此单位阵在矩阵乘法中的作用 相当于数 在数的乘法中的作用 矩阵乘法实际上是数的乘法与加法的结合 因此 它与数的乘法有很大的差异 两个矩 阵相乘 左边矩阵的列数必须等于右边矩阵的行数 而其乘积的行数等于左边矩阵的行数 列数等于右边矩阵的列数 一般说来 矩阵的乘法不满足交换律 除方阵外 一般的同型矩 阵不能相乘 例 A ;B 求 AB;BA;AC;AD 解 :AB ;C ;D ;BA ;AC ;AD

6 由这个例子可以看出 矩阵乘法不满足交换律 因此 在提到用一个矩阵去乘另一个矩阵时一定要说明 是左乘还是右乘 AB 称为 A 左乘 B 或 B 右乘 A 如果矩阵 ABBA 则称矩阵 A 与 B 是 乘法可交换的 由 ABO 不能得出 AO 或 BO 如果矩阵 A B 中有一个是零矩阵 那么 ABO 是当然的 但是 如果 A B 都不是零矩阵 而 ABO 则称 A 是 B 的零因子 B 也是 A 的零因子 矩阵乘法有零因子 这一点与数的乘法有本质的区别 因为矩阵乘法不满足交换 律 所以零因子也分为左零因子与右零因子 上例中 A 是 B 的左零因子 B 是 A 的右零因 子 由上例还可以看出 ACAD 并且 A O 也不能得出 CD 即矩阵乘法不满足消去律 注意 DCBADACAB 而 ABO 有零因子就一定不满足消去律 例 未知数都是一次方的方程组称为线性方程组 例如初中时学习的二元一次方程组 三元一次方程组 利用矩阵的乘法 下列线性方程组 { 可以写作 其中 A 称为系数矩阵 称为未知量列 称为常数项列 用矩阵乘法可以将上面的线性方程组简单地表示为 A 例 两组坐标 之间的变量替换 { 可以用矩阵乘法表示为 例 两次变量替换 : { { 用 表示 : 解 : 用矩阵乘法将上面两个变量替换记作 ; 则 即 {

7 平面解析几何中坐标轴的旋转公式 cosθsθ { -sθcosθ cosθ sθ 用矩阵乘法表示为 sθ cosθ 如右图 将坐标轴进行两次旋转 分别用 [][ ][ ] 表示 则 cosαsα { -sαcosα cosβ sβ { - sβ cosβ β α 用矩阵表示为 : cosα sα cos β s β ; sα cosα s β cos β 两次旋转的合成为 cos β s β cos β s β cosα sα s β cos β s β cos β sα cosα cosα cos β sα s β sα cos β cosα s β cosα s β sα cos β sα s β cosα cos β cos α β s α β s α β cos α β 7 例 7 A B 7 9 解矩阵方程 AXB;YAB 解 : 根据矩阵乘法的定义 X 应为 阶方阵 设 X X 7 7 由矩阵相等的定义 得到两个线性方程组 -7 { -7 { 9 9 7

8 8 解此方程组 得到 : X 设 Y Y 得到两个线性方程组 -7 { -7 { 9 解此方程组 得到 : Y 8 7 方阵可以自身相乘 个方阵 A 的乘积称为 A 的 次幂 记作 A 规定 A I 由于矩阵的乘法满足结合律 所以有 A k A l A kl ;A k l A kl 但是由于矩阵的乘法不满足交换律 所以数的乘法中 ;- - 等利用交换律 推导出来的公式对于矩阵的幂是不适用的 例 8 计算 解 : 通过上面的计算可以推断 下面用归纳法验证 : 时推断成立 假设 k 时推断成立 即 k k 则当 k 时 k k k k 由归纳法原理 推断成立

9 9 例 9 A Ο 计算 A k 解 A Ο 推断 A k k k k Ο : k 时推断成立 ; 假设 A k k k k Ο 则 A k A k A k k k Ο Ο k k k Ο 由归纳法原理 推断成立 例 某地区市场上某种商品主要有 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 三种品牌 根据市场调查的结果 居民在这三种品牌之间的转移用矩阵 A 表示 A ;u... 其中 代表上个月购买第 种品牌的居民中本月转向 品牌的比例 例如.8 表示上个月购买第 Ⅰ 种品牌的居民中本月有 8% 仍然购买第 Ⅰ 种品牌. 表示上个月购买第 Ⅰ 种品牌的居民中有 % 本月转而购买品牌 Ⅱ 矩阵 u 是上月该商品三种品牌的市场占有率 不难看出 u u A 是本月该商品三种品牌的市场占有率 而 u u A u A

10 是下月三种品牌的市场占有率 u A 是第 个月三种品牌的市场占有率 一般地 u A 是第 个月市场占有率 如果经过若干个月后三种品牌的市场占有率不再发生变化 即 u A u A 此时 A A 称矩阵序列 {AA A } 进入稳态 此例中有.88 A 9 A u A 以上数据均为保留 位有效数字的近似值 定义. 矩阵多项式 fc c - - c c 是 次多项式 A 是方阵 定义 fac A c - A - c Ac I 称为矩阵多项式 例 f -A 求 fa faa -AI - - 即 fao 四 矩阵的逆在定义了实数的乘法运算后可以定义乘法的逆运算 除法 利用倒数可以将除法用乘 法表示 即 : 只要 c c - - 称为 的倒数 也叫做 的关于乘法运算的逆元 在实数运算中 倒数 即 关于乘法运算的逆元 的定义是 : 对于实数 如果存在一个 实数 使 则称 是 的倒数 根据倒数的定义 如果 是 的倒数 那么 也是 的倒数 也就是说 倒数关系是对称的 矩阵运算不能定义除法 但是可以类似实数运算 中的 倒数 定义矩阵关于乘法运算的逆元 即矩阵的 逆 从而实现类似于除法的运算 定义. A 是 阶方阵 如果存在 阶方阵 B 使 ABI 则称 B 为 A 的逆矩阵 简称 逆 记作 A - 如果矩阵 A 存在逆矩阵 则称 A 可逆 因为矩阵的乘法与数的乘法有很大差异 所以倒数的性质不完全适用于矩阵的逆 下面 讨论逆矩阵的性质 A - - A. 如果 A 与 B 都可逆 那么 AB 也可逆 并且 AB - B - A - 性质 由逆矩阵的定义可知 直接验证 ABB - A - AIA - AA - I 矩阵乘法满足结合律 根据逆矩阵的定义立得性质 这个性质可以推广到多个矩阵的乘积 矩阵的乘法不满足交换律 必须讨论矩阵的逆是否分左右 如果 A 可逆 并且存在矩 阵 B 和 C 分别使 ABICAI 因为矩阵乘法满足结合律 所以 即左逆等于右逆 所以有 : 矩阵的逆不分左右 CC I CABCABI BB 因为矩阵乘法不满足消去律 所以必须讨论矩阵的逆是否唯一 如果 A 可逆 并且存

11 在矩阵 B 和 C 分别使 ABIACI 因为矩阵的逆不分左右 如果 ACI 那么 CAI 上 面的证明同样适用 因此 矩阵的逆是唯一的 一般的矩阵乘法有零因子 即 如果 ABO 一般不能推出 AO 或 BO 矩阵乘法也不满足消去律 即 如果 ABDACD 一般不能推出 BC 但是对于可逆矩阵 因 为 A - 存在 所以 如果 ABO 则 A - ABA - O>BO 如果 ABDACD 则 AB-CO 两边左乘 A - 得到 B-CO>BC 即 : 可逆矩阵没有零因子 可逆矩阵的乘法满足消去律 例 A 解 : B 求 A - B - A 是 阶矩阵 如果 A - 存在 也应该是 阶矩阵 设 A - 得到两个线性方程组 令 { { 解得 A - 设 B - 令 得到两个线性方程组 - { - - { - 这两个方程组没有解 B - 不存在 或说 B 不可逆 因为零矩阵与任何矩阵的乘积仍是零矩阵 所以零矩阵不可逆 正如数 没有倒数 而上面的例子说明 非零矩阵也不一定可逆 例 所用的求逆方法显然太麻烦 什么矩阵可逆以及如何求矩阵的逆将在第三章讨论 例 用逆矩阵解例 7 中的两个未知矩阵 7 A B 解矩阵方程 AXB;YAB 7 9

12 因为 A 可逆 A - 存在 所以 A - AXA - B;YAA - BA - 即 XA - B YBA 注意用 A - 左乘等式两边解 AXB 得到 XA - B; 用 A - 右乘等式两边解 YAB 得 到 YBA - 左乘与右乘不可以混淆 五 矩阵的转置 交换矩阵 A 的行与列得到的矩阵称为 A 的转置 记作 A T 即 : 如果 A ; m; 则 A T ; ; m; 例如 7 A ; 则 A T 8 7 矩阵的转置满足下列性质 : A T T A AB T A T B T ka T ka T AB T B T A T 8 如果矩阵 A 可逆 则 A T 也可逆 并且 A T A - T 前三条性质是显然的 第四条性质可以从下面的示意图中看出 设 ABc c 是 A 的第 行与 B 的第 列元素的乘积 B T A T c ;c c 是 B T 的第 行元素 即 B 的第 列元素 与 A T 的第 列元素 即 A 的第 行元素 的乘积 A B A B c 转置 B T A T B T A T c 下面证明第 条性质 : 因为 A 可逆 所以存在 A - 使 AA - I AA - T I T I 同时 AA - T A - T A T 根据

13 逆矩阵的定义 A T 可逆 A - T 是 A T 的逆 即 A T A - T 性质 可以推广到多个矩阵 六 特殊矩阵对角阵非对角线上的元素均为 的方阵称为对角阵 注意 : 对角阵对角线上的元素不 一定不等于 简单验证即可发现 :m 阶对角阵左乘一个矩阵 A m 等于 A m 的第 行元 素都乘以对角阵对角线上第 个元素 m 阶对角阵右乘 A m 等于 A m 的第 列元素都乘以对角阵对角线上第 个元素 数量阵对角线上的元素全部相等的对角阵称为数量阵 不难验证 用数量阵去乘一个 矩阵等于用数量阵对角线上的元素去与这个矩阵做数量乘法 显然 数量阵与任何同型矩阵 都是乘法可交换的 三角阵对角线右上方的元素都是 的矩阵称下三角阵 对角线左下方的元素都是 的矩阵称上三角阵 上三角阵与下三角阵统称三角阵 不难验证上三角阵与上三角阵的和与 乘积仍是上三角阵 下三角阵与下三角阵的和与乘积仍是下三角阵 对称阵如果矩阵 A 满足 A T A 则称 A 为对称矩阵 显然 对称矩阵一定是方阵 并且满足 例 A 是对称矩阵 B 是任意矩阵 B T B 与 B T AB 如果乘法可以进行 是对称矩阵 用对称矩阵的定义检验立得 七 矩阵的分块用一些横线与竖线将矩阵分成许多小块 其中每一块是一个小矩阵 称为块 也叫子阵 将这些块看作矩阵的元素 称为对矩阵分块 分成块的矩阵叫做块矩阵 例如 A 其中 I C ;B I D I F I C ;D ;F - 将矩阵 A ; m; 的每行看作一块 矩阵可以看作是 m 行一列的 α α 块矩阵 记作 A 其中 α α m 将矩阵 A 的每一列看作一块 矩阵可以看作是一行 列的块矩阵 记作 Aβ β β 其中 β α m 块矩阵的运算可以将其中的子矩阵看作矩阵的元素进行 显然 两个同型矩阵进行加法

14 运算 其分块方法必须一致 矩阵的分块乘法简称块乘 为了保证块乘能够进行 左边矩阵的列的分法必须和右边矩阵的行的分法保持一致 在子矩阵相乘时 左边矩阵的块必须左乘右边矩阵的块 例 上例中 AB I C I I F I D I F C I CF D CF - O G H O DCFDOD AB 从此例可以看出 对矩阵适当的分块进行块乘 可以大大简化运算 块矩阵的转置要对块进行转置 例如上例中的 B I F I D B T T T I I F D ; 注意 :I T I

15 ` 第二节用消元法解线性方程组 在初中代数中就有解二元一次方程组 三元一次方程组的内容 例如下列线性方程组 { 7 是两个未知数的线性方程组 我们可以用 消元法 解这个方程组 : 解得 在方程 上加上第一个方程的 - 倍 方程组化为同解的方程组 { - { - 再在方程 上加上方程 的 - 倍 得到 { { 这种方法称为 高斯消去法 - - 在中学阶段学习的线性方程组都是方程个数与未知数个数相等的 而我们将要讨论的线 性方程组 方程个数与未知数个数没有关系 在中学阶段我们通常用 z 等表示未知数 为了将未知数的个数无限制地增加 我们将用 来表示未知数 根据平面解析几何的知识 在平面直角坐标系下 平面上的一个点可以用一个二元数组 即坐标 表示 我们称 为两个变量 如果我们对这两个变量不加任何限制 可以取任何实数 则点 P 可以在整个平面上任意活动 如果我们让 满足一个线性方程 即给变量 加上一个限制条件 因为一个线性方程表 示一条直线 所以点 P 就被限制在 所表示的直线上 如果要求变量同 时满足两个方程 ; 即满足方程组 { 如果这两条直线不平行 则点 P 就是它们的交点 也就是方程组唯一的解 在空间直角坐标系下 空间上一点可以用三个变量的坐标 表示 如果我 们对这三个变量不加任何限制 可以取任何实数 则点 P 可以在整 个三维空间活动 此时我们称这个点 P 有三个自由度 如果我们让 满足一个线性方程 即给变量 加上一个限制条件 因为在空间解 析几何中一个线性方程表示一个平面 点 P 就被限制在 所表 示的平面上 平面是一个二维空间 所以我们称平面上的点 P 有两个自由度 如果要求变量同时满足几个线性方程 即满足一个方程组 则 P 只能在这些

16 平面的相交部分活动 如果这些平面相交于一个公共点 那么方程组有唯一一组解 如果这 些平面相交于一条直线 那么直线上所有点的坐标都是方程组的解 方程组有无穷多组解 如果这些平面没有公共部分 则方程组没有解 我们将方程组中的未知数 等称作变量 将一个方程看作是对变量的一个约束条件 方程组就是对若干个变量的一组约束条件 例 解线性方程组 - 9 { - 9. 解 : 将第 两个方程互换 得 : { 在第 个方程上加上第 个方程的 - 倍 ; 在第 个方程上加上第 个方程的 - 倍 得 : { 用 乘以第 个方程 然后将它的 倍加到第 个方程上 : { 7.' - 用 乘以第 个方程 然后将它的 - 倍加到第 个方程上 再将它的 -7/ 倍加到 个方程 上 { - 最后 将第 个方程的 - 倍加到第 个方程上 方程组变为 {.' - 即为方程组的解 ; ; - 由此例可以看出 用消元法解线性方程组就是对方程组反复变换直至最简的过程 它分 为两个阶段 第一阶段是从开始到化为方程组.' 方程组.' 称为阶梯形方程组

17 7 第二个阶段是从化为阶梯形后到最后求出方程组的解 而使用的变换有下列三种 : 交换两个方程的位置 ; 用非零的数乘以方程的两边 ; 在一个方程上加上另一个方程的若干倍 在中学我们就知道 方程组的这三种变换不会改变方程组的解 所以我们将这三种变换称为方程组的同解变换 在对方程组进行同解变换时 方程组中变量 ; 加号 ; 等号的相对位置是不变的 减一个正数看作加它的相反数 只有未知数的系数与常数项发生变化 所以 实际上我们只要写出方程组的系数矩阵与常数项列 就可以将方程组表示出来 我们将常数项列加在系数矩阵的右边 称为线性方程组的增广矩阵 记作 A 上例中线性方程组的增广矩阵 A 9 9 上例中对方程组使用的同解变换相当于对矩阵的行进行下列变换 : 交换矩阵的两行 ; 用非零的数乘以矩阵的一行 ; 在矩阵的一行上加上另一行的若干倍 我们将上述 种变换称为矩阵的初等行变换 分别用符号 表示交换矩阵的第 行与第 行 ; k 表示用 k 去乘矩阵的第 行 k 表示在第 行上加上第 行的 k 倍 于是 上例解方程组的过程可以用增广矩阵的初等行变换表示为如下过程 : A 矩阵. 代表阶梯形方程组 7 7

18 8. 矩阵. 就表示方程组. 的解 { - 通常将其记作 或 此处 例 解下列线性方程组. {7 8 9 解 :A 矩阵. 代表一个阶梯形方程组 9. { 称其为阶梯形矩阵 简称阶梯形 矩阵.. 都是阶梯形 它的特点是 : 每一行第一个不等于 的数的下方都是 如果一个矩阵每一行第一个不等于 的数均为 而所在列其它数均为 这种阶梯形矩阵称为约化阶梯形矩阵 简称约化阶梯形 例如矩阵. 与. 从矩阵. 可以看出 方程组 的第 个方程通过同解变换被消掉了 注意到第 个方程等于第 个方程的 倍减第 个方程 因此在方程组中它不是一个独立的方程 也就是

19 说 它所代表的约束条件已经被前两个方程所代表的约束条件包括了 例如在空间用两个平 面来约束一个点 P 如果这两个平面相交 则 P 点被限制在它们的交线上 此时如果我们再 规定它必须在一个通过此条直线的平面上 这个约束条件实际上没有意义 方程组中含有多 少个方程并不重要 重要的是其中相互独立的方程也就是有效方程的个数 方程组. 中任意一个方程都可以被其他两个方程消掉 所以去掉任何一个方程都与原方程组同解 它只含 有两个有效方程 将一个方程组化为阶梯形方程组后 不等于 的方程个数称为方程组的秩 方程组的秩是方程组的固有属性 与方程组是如何化为阶梯形的无关 阶梯形矩阵各行开头 的个数不同 所以没有任何一个不全为零的行可以通过初等行变换化为全部为零的行 也 就是说 阶梯形矩阵所代表的阶梯形方程组不可能再有方程通过同解变换被消去 方程组的 秩就是有效方程的个数 由于方程组. 中的 个未知数被两个有效方程约束 因此它不能确定唯一一组解 我 们可以让 等于任意一组数 也就随之确定了 此时我们称 为自由未知量 称 为约束未知量 一个方程组中约束未知量的个数等于有效方程的个数 即方程组的 秩 自由未知量的个数等于全部未知量的个数与有效方程的个数之差 即全部未知量的个数减去方程组的秩 但是哪些变量是自由未知量 哪些变量是约束未知量却不一定是唯一的 例如从方程组. 可以看出 方程组. 当中 我们也可以选择 为自由未知量 为约束未知量或其他 如果选择 为自由未知量 则 为约束未知量 可以将约化阶梯形矩阵. 所代表的方程组 { 改写成 { 得到用自由未知量 表示的约束未知量 的解 取自由未知量 的一组值 c c 得到方程组. 的一组解 { c -c c -c - c c 9

20 通常表示为 c c c c c c 或 c c c c c c 称为方程组. 的一般解 例 解线性方程组. { 解 :A 由最后一个矩阵可以看出 方程组. 没有解 从以上例子可以看出 : 线性方程组 { s s s s 可以通过一系列同解变换化为阶梯形 这相当于对它的增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵 : A Ο r r r rr r r r r r r 不难看出 : 如果 r 方程组没有解 ; 如果 r 方程组有解 并且 Ⅰ 如果 r 方程组有唯一一组解 ; Ⅱ 如果 r< 方程组有无穷多组解 ; 此时方程组有 -r 个自由未知量 r 个约束未知量 给定自由未知量的任何一组值可以得到约束未知量的一组解 用初等行变换将矩阵化为阶梯形后 阶梯形矩阵中不全为零的行数称为矩阵的秩 零矩阵的秩规定为 矩阵 A 的秩记作 RA 矩阵的秩是矩阵的固有属性 与矩阵是如何化为

21 阶梯形的无关 线性方程组的增广矩阵 A 化为阶梯形后 系数矩阵中不全为零的行数就是系数矩阵的秩 即 RAr 如果 r 增广矩阵的秩就等于系数矩阵的秩 如果 r 则增广矩阵的秩 RAr 根据上面的分析 线性方程组有解的充分必要条件是 : 方程组增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩 求解线性方程组的步骤如下 : 用初等行变换将方程组的增广矩阵化为阶梯形 ; 如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩 即 r 方程组没有解 ; 如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩 即 r 方程组有解 继续下面的步骤 : 用初等行变换将方程组的增广矩阵化为约化阶梯形 写出方程组的唯一解 若 r 或一般解 若 r< 例 解下列线性方程组 { 解 :A 取 为自由未知量 得到 : 令 c c 方程组的一般解为 : c c c c 从此例可以看出 阶梯形矩阵中每一行第一个不等于 的数不一定沿准对角线排列 但这并不影响我们的结论 因为只要适当调整未知量的编号 例如交换 就可以使阶梯形成为规范的形状 同时还可以看出 自由未知量的选择并不是完全任意的 例如此例中不可以取 或 为自由未知量

22 第三节齐次线性方程组方程组 { s s s 称为齐次线性方程组 其系数矩阵 A s s s 常数项列等于 s 个 用矩阵乘法可以将齐次线性方程组表示为 AO 其中 是未知量列 也可以用矩阵的线性运算表示为 s s s 显然 齐次线性方程组一定有解 因为 记作 O 一定满足方程组 AO 我们称这个解为齐次线性方程组的零解 而将未知数不全为零的解称为非零解 根据矩阵乘法的性质不难验证 齐次线性方程组 AO 满足下列性质 : 如果 v v v v 是 AO 的解 那么 kv kv kv kv 也是 AO 的解 k 是任意实数

23 如果 u u u u v v v v 都是 AO 的解 那么 uv u u u v v v u v v u v u 也是 AO 的解 由性质 可以推出 : 如果 v v v t 是 AO 的 t 个解 那么 对于任意 t 个实数 k k k t vk v k v k t v t 也是 AO 的解 我们将 vk v k v k t v t 称为 v v v t 的线性组合 与一般线性方程组类似 我们可以用增广矩阵求解齐次线性方程组 例 解下列线性方程组 -. { - A 由. 得到方程组的解为 { 这个解可以简写作 或 O 注意到齐次线性方程组的常数列是 它在矩阵的初等行变换中始终不变 所以求解齐次线性方程组时我们只需写出它的系数矩阵 根据上一节的讨论 AO 的系数矩阵 A 可以经过一系列初等行变换化为阶梯形 :

24 Ο r rr r r r r r r 如果 r 方程组有唯一解 显然齐次线性方程组的唯一解一定是零解 如果 r< 方程组有无穷多组解 此时称齐次线性方程组有非零解 推论如果方程个数少于未知量个数 齐次线性方程组有非零解 例 中的方程组. 用系数矩阵的初等行变换求解 只需 A 即可看出只有零解 例 解下列线性方程组. { 解 :A 取 为自由未知量 解得 : { - - 方程组的一般解为

25 c c c c c c 例 解下列线性方程组 { - - 解 :A 取 为自由未知量 得 : 方程组的一般解为 c c c c

26 练习一 一 A B C c d 下列运算哪些可以进行? 求其结果 ABBAACAB T CABCCBA T C T ABCA-CBA T C T B T 二 A c 求 AA T A T A 三 A ;B u v ;C u ABC 求 A;B 四 计算 五 某厂生产四种产品 所需的四种配件由外协厂生产 每年签一次协议 按季度付款 表 A 是四种产品一年内各季度计划产量 表 B 是这四种产品所需的四种配件数量 表 C 是这四种配件所需的人民币与美元 请学生自己填写表中数字 并用矩阵表示这三个表格 保持原来的行列不变 表 A 一季度二季度三季度四季度产品 产品 产品 产品 表 B 配件 配件 配件 配件 产品 产品 产品 产品 表 C 配件 配件 配件 配件 人民币美元计算 每季度 种配件的总需求 每种产品购买配件的人民币与美元需求 每季度购买 种配件的人民币与美元总需求 ABAB T BAB T ABCCBCB T ABCCABCB T A 哪些可以进行 哪些有实际意义?

27 7 六 A c B 求 ABBA 七 求所有与 乘法可交换的矩阵 八 举例说明下列命题错误 : 如果 A O 则 AO 如果 A A 则 AI 或 AO 九 如果矩阵 A O 则称 A 为 幂零 的 证明 :A 是幂零的 则 I-A 与 IA 都可逆 证明 : 如果矩阵 A A 则称 A 为 幂等 的 如果 A 是幂等的并且不是单位矩阵 那么 A 不可逆 十 A 是任意矩阵 B 是对称矩阵 证明 AA T A T BA 都是对称矩阵 十一 矩阵 T θ θ θ θ cos s s cos 求 T 求 T 求 T - 说明它们在平面解析几何中都有什么含义 十二 A ;B AXB;YAB 求 AB 十三 A d c 求 A 可逆的条件 并在此条件下求 A 的逆 十四 求线性替换的反变换十五 用适当的分块对 A B 进行块乘 A B 十六 如果 AB 均可逆 求下列块矩阵的逆 { -

28 O A A O ; B O C B 十七 求 kl 使线性方程组 - { l l k 无解 ; 有唯一解;; 有无穷多解 当有无穷多解时 求其解 8

29 第二章 维向量空间 矩阵的行和列 方程组中每个未知数的系数以及每个方程的各项系数都是有序数组 在很多实际问题中 研究对象也常常用有序数组来表示 在平面解析几何与空间解析几何中研究的二维向量 三维向量 矢量 就是二元有序数组与三元有序数组 本章讨论 元有序数组 它是二维向量与三维向量的推广 通过对向量的研究 可以揭示矩阵 线性方程组的性质的内在关系 进而加深对它们的了解 第一节 维向量及其线性运算 一 向量的定义 在平面解析几何中 坐标平面上的一个点 P 用一个二元数组 表示 称为点 P 的坐标 这个二元数组同时也表示以坐标原点 O 为起点 P 点为终点的向量 矢量 OP 称为二维向量 同样 在空间解析几何中 空间一点 P 用一个三元数组 z 表示 称为点 P 的坐标 这个三元数组同时也表示向量 OP 称为三维向量 将二维 三维向量的概念推广 我们定 义 维向量如下 定义. 由 个实数组成的有序数组称为 维实向量 简称 维向量 其中第 个元素 称为向量的第 个分量 α 称为行向量 β 称为列向量 例如 m 阶矩阵的每一行构成一个 维行向量 每一列构成一个 m 维列向量 与行矩阵 列矩阵不同的是 元素相同的行矩阵与列矩阵是不同型的矩阵 因而不表示 同一对象 而分量相同的行向量与列向量是同一向量的不同表示形式 本书中通常用黑体小 写希腊字母 αβγ 或拉丁字母 c 等表示向量 当我们要强调一个向量是行向量 T 还是列向量时 用单独的字母表示列向量 如 α 等 而用字母加上标表示行向量 如 α T T 即它的转置 等 两个 维向量如果它们的对应分量全都相等 则称这两个 维向量相等 全部分量均为 零的向量称为零向量 通常用 O 表示 对于任意向量 α 定义它的负向量 为 记作 -α 二 向量的线性运算定义. 向量加法两个向量 α 与 β 对应分量相加所得到的向量 称为向量 α 与 β 的和 记作 αβ 即如果 α β αβ 利用加法的定义与负向量 可以定义向量的减法 α-βα-β 定义. 数乘向量 k 是个实数 定义数 k 与向量 α 的数量乘 9

30 积 kαk k k 向量的加 减与数乘称为向量的线性运算 向量的线性运算与数的加 减 乘非常相似 因此有类似的性质 因为 α-βα-β 所以减法不再作为独立的运算考虑 不难验证 向量的加法与数乘满足下列性质 其中 α β γ 是向量 k l 是实数 加法满足交换律 即 αββα 加法满足结合律 即 αβγαβγ 对于任意向量 ααoα 是零向量 对于任意向量 α 存在它的负向量 -α 使 α-αo 对于任意向量 ααα 数乘满足分配律 klαkαlα 7 数乘与加法满足分配律 kαβkαkβ 8 klαklα 此外 显然有 -α-α αo 注意等号左侧的 是数 右侧的 O 是零向量 全体 维实向量的集合加上向量的加法与数乘运算称为 维向量空间 记作 R k k k s 是 s 个实数 α α α s 是 s 个向量 k α k α k s α s 称为 α α α s 的一个线性组合 如果向量 β 可以写成向量组 α α α s 的线性组合 则称 β 可以被 α α α s 线性表出 有时我们称 s 个向量 α α α s 是一个向量组 记作 A{α α α s } β 可以被 α α α s 线性表出可以简称为 β 可以被向量组 A 线性表出 利用向量的线性组合 线性方程组 { s s s s 可以表示为 s s s s 记 s s s s β α α α 则上述线性方程组可以表示为 α α α β 而齐次线性方程组则可以表示为 α α α O 向量 β 能否被 α α α s 线性表出 就是线性方程组 α α s α s β 是否有解 它的充分必要条件是以 α α α s 为列向量的矩阵的秩与以 α α α s β 为列向量的矩阵的秩相等

31 例 ε ε ε 称为 维基本单位向量 任意 维向量都可以被 ε ε ε 线性表出 证明 : 对于任意 维向量 α 线性方程组 ε ε ε α 即 有解 所以 α 可以被 ε ε ε 线性表出 同时可以看到 因为上述线性方程组只有唯一一组解 所以任何 维向量只有唯一一种方法被基本单位向量 ε ε ε 线性表出 例 α 7 α 8 α 9 α ;β 证明向量 β 不能被向量组 A{α α α α } 线性表出 证明 : 根据第一章第二节例 线性方程组 α α α α β 即 { 无解 所以 β 不能被向量组 A 线性表出 例 零向量可以被任意一组向量线性表出 证明 : A{α α α s } 是任意一组向量 Oα α α s 如果向量组 B{β β β t } 中的每一个向量都可以被 A{α α α s } 线性表出 则称向量组 B 可以被 A 线性表出 显然 如果向量组 B{β β β t } 可以被 A{α α α s } 线性表出 而向量组 C{γ γ γ l } 又可以被 B{β β β t } 线性表出 则 C 可以被 A 线性表出 这个性质称为线性表出具有传递性 定义. 如果向量组 A 可以被向量组 B 线性表出 而向量组 B 又可以被向量组 A 线性表出 则称向量组 A 与向量组 B 等价 不难验证 等价关系具有下列性质 : 一个向量组与其自身等价 称为反身性 如果 A 与 B 等价 则 B 与 A 等价 对称性 如果 A 与 B 等价 B 与 C 等价 则 A 与 C 等价 传递性 由对称性与传递性可以推出 如果 A B 分别与 C 等价 则 A 与 B 等价 注意这条性质与传递性的区别 如果只有传递性没有对称性 这条性质是不成立的 例如 小于 关系有传递性 如果 <<c 则 <c 但没有对称性 如果 < 则 由 <c<c 不能推出 <

32 第二节线性相关性 在平面直角坐标系下 如果两个点 P 与 P 的坐标成比例 那么点 P P 与 坐标原点 O 在同一直线上 或者说 矢量 OP 与矢量 OP 在同一直线上 共线 此时 二维向量 与 当中的一个可以被另一个线性表出 在空间直角坐 标系下 如果三个矢量 α z α z α z 当中的一个可以被另外两个线性表出 那么这三个矢量在同一平面上 共面 从这些几何上的例子可以看出 矢量之间 的位置关系与它们的坐标 也就是本章讨论的向量 之间的关系有关 我们称这种向量之间 的关系为线性关系 将其推广到一般的 维向量 有如下定义 k s 使得 定义. k α k α k s α s O α α α s 是一个向量组 如果存在不全为零的一组实数 k k 成立 则称 α α α s 线性相关 否则称 α α α s 线性无关 根据线性相关与线性无关的定义 α α α s 线性相关还是线性无关 实际上就是以 α α α s 为列向量的齐次线性方程组 k α k α k s α s O 有非零解还是只有零解 即 例 证明 : 证明向量组 α α α - - 线性无关 由第一章第三节例 以 α α α 为列向量的齐次线性方程组 k α k α k α O k k k 只有零解 所以 α α α 线性无关 即 例 证明向量组 α 7 α 8 α 9 α 线性相关 证明 : 由第一章第三节例 齐次线性方程组 k α k α k α k α O k k 7 k 8 k 9 有非零解 所以 α α α α 线性相关 由线性相关与线性无关的定义 我们可以推得下列一些性质 定理. 如果向量组 α α α s 的一部分线性相关 则整个向量组线性相关 证明 : 不妨设 α α α t t<s 线性相关 则存在不全为零的一组实数 k k k t 使得 k α k α k t α t O 因此存在不全为零的 s 个实数 k k k t 使 k α k α k t α t α t α s O α α α s 线性相关 推论 如果向量组 α α α s 线性无关 则它的任意一部分线性无关

33 例 含有零向量的向量组一定线性相关 因为对于任意向量组 {Oα α α s } 有 Oα α α s O 线性相关性通常是对多个向量而言 为今后讨论问题方便 我们可以定义单个向量线性相关与线性无关 如果向量 α 不是零向量 则仅当 k 时 kαo 成立 而对于零向量 OO 根据线 性相关与线性无关的定义 单个非零向量线性无关 而单个零向量线性相关 例 如果 α α α 线性无关 证明 α α α α α α 线性无关 证明 : 设 β α β α α β α α α 令 k β k β k β O 即 :k α k α α k α α α O 亦即 :k k k α k k α k α O 因为 α α α 线性无关 所以要想上式成立 必须 { k k k k k k k k k 是方程组的唯一解 所以 β α β α α β α α α 线性无关 例 α α 是任意 维向量 β α α β α α β α α 证明 β β β 线性相关 证明 : 设 k β k β k β O 将 β α α β α α β α α 代入 得到 k α α k α α k α α O 按 α α 集项 得 k k k α k k k α O 上式当 k k k k k k 时成立 解关于 k k k 的齐次线性方程组 : { k k k k k k 因为三个未知数 k k k 只有两个方程 所以方程组有非零解 即存在一组不全为零 的 k k k 使 k k k α k k k α O 成立 也就是存在一组不全为零的 k k k 使 k β k β k β O 根据线性相关的定义 β β β 线性相关 比较例 例 证明一组向量线性无关 必须证明 : 当 k α k α k s α s O 成立时一 定有 k k k s 而证明一组向量线性相关 只要证明 : 能够找到一组不全为零的 k k k s 使得 k α k α k s α s O 定理. 向量组 α α α s 线性相关的充分必要条件是 :α α α s 中至少存在一 个向量是其余向量的线性组合 证明 : 充分性 : 如果 α α α s 中至少存在一个向量是其余向量的线性组合

34 设 α 是 α α α - α α s 的线性组合 α k α k α k - α - k α k s α s 则 k α k α k - α - -α k α k s α s O 即存在不全为零的一组实数 k k k - k s 使得 k α k α k s α s O 所以 α α α s 线性相关 必要性 : 如果 α α α s 线性相关 则存在不全为零的一组实数 k k k s 使 得 k α k α k s α s O 设 k 则 α k α k α k - α - k α k s α s k 注意这个定理的说法 : 至少存在一个向量是其余向量的线性组合 但是一组向量线性 相关 不一定任意一个向量都可以表示为其它向量的线性组合 参见练习 推论 向量组 α α α s 线性无关的充分必要条件是向量组中任何向量不能被其余 向量线性表出 定理. 如果 α α α s 线性无关 而 α α α s β 线性相关 则 β 一定可以被 α α α s 线性表出 并且表示方法是唯一的 首先证明 β 一定可以被 α α α s 线性表出 : 因为 α α α s β 线性相关 则存在一组不全为零的 k k k s k s 使 k α k α k s α s k s βo 显然 k s 否则 有不全为零的 k k k s 使 k α k α k s α s O 与 α α α s 线性无关矛盾 β 可以被 α α α s 线性表出 下面证明表示方法是唯一的 : 如果有 :βk α k α k s α s 同时 βl α l α l s α s 两式相减 得到 k -l α k -l α k s -l s α s O 因为 α α α s 线性无关 所以 k -l k -l k s -l s 即 k l k l k s l s 推论 如果 β 可以被 α α α s 线性表出 而 α α α s 线性相关 则一定存在 不同方法 使 β 被 α α α s 线性表出 证明 : β 可以被 α α α s 线性表出 设 βk α k α k s α s 因为 α α α s 线性相关 所以存在一组不全为零的 l l l s 使 l α l α l s α s O 两式相加 得到 βk l α k l α k s l s α s 根据定理. 及推论 可以得到推论 如果 β 可以被 α α α s 线性表出 那么 α α α s 线性无关的充分必要 条件是 : 只有唯一一种方法使 β 被 α α α s 线性表出 定理. A{α α α s }B{β β β t } 都是 维向量组成的向量组 如果 B 可以被 A 线性表出 ; t>s 则 B 线性相关 由上面例 可以看出 是否存在一组不全为零的 k k k t 使 k β k β k t β t O 可以归结为 s 个方程 t 个未知数 k k k t 的齐次线性方程组是否有非零解的问题 由 于未知数个数 t 多于方程个数 s 所以方程组一定有非零解 因此 B{β β β t } 线性相

35 关 例 如果向量组 A 中向量个数大于向量维数 则向量组 A 线性相关 证明 : 设向量组 A 由 s 个 维向量 α α α s 组成 s> 由上节例 任意 维向量都可以被 维基本单位向量 ε ε ε 线性表出 因此向量组 A 线性相关 由例 与上节例 可以知道 由全部 维向量组成的向量组 即 维向量空间 R 中 一定含有 个线性无关的向量 而任意 个 维向量一定线性相关 推论 A{α α α s }B{β β β t } 都是 维向量组成的向量组 如果 B 可以被 A 线性表出 ; B 线性无关 则 t s 推论 A{α α α s }B{β β β t } 都是 维向量组成的向量组 如果 A 与 B 等价 即 A 与 B 可以相互线性表出 ; A B 都线性无关 则 st 推论 都线性相关 例 7 如果两个等价的向量组中所含向量个数相同 那么它们或者都线性无关 或者 在例 中证明了如果 α α α 线性无关 则 α α α α α α 线性无关 事 实上可以证明 α α α 线性无关是 α α α α α α 线性无关的充分必要条件 设 β α β α α β α α α 则 α β α β -β α β -β 即 α α α 与 α α α α α α 等价 由推论 它们或者都线性无关 或者都线性相关

36 第三节极大线性无关组与向量组的秩 维向量组 A{α α α s } 中含有 s 个向量 如果 A 线性无关 则任何向量不能被其 余向量线性表出 如果 A 线性相关 那么有一些向量可以被其余向量线性表出 即可以在 向量组 A{α α α s } 中找到一部分向量 称为这个向量组的部分组 其余向量是它们 的线性组合 由于任何向量一定是其自身的线性组合 所以这也就相当于 A 中所有向量都可以被这些向量线性表出 又因为一个向量组的任何一部分一定可以被整个向量组线性表出 显然 α α α α - α α α s 所以如果一个向量组可以被它的一 部分线性表出 那么事实上这个向量组就与它的这一部分等价 那么是否可以在一个向量组 中找到尽可能少的向量 使整个向量组是这些向量的线性组合 也就是在向量组中找到一个 部分组 这个部分组和整个向量组等价而所包含的向量又最少 例如 线性方程组可以用它 的增广矩阵表示 其中方程 可以用增广矩阵的一行即一个行向量 表示 所以一个线性方程组可以看作一个行向量组 如果能够在方程组中找 到尽可能少的方程 使其余方程就是这组方程的线性组合 那么就可以得到由最少的方程组 成的与原方程组同解的方程组 这个问题就相当于上面提到的问题 如果一个向量组与它的一个部分组等价 而它的这个部分组是线性相关的 那么一定能够在这个部分组中找到更少的向量与整个向量组等价 如果这个部分组是线性无关的 那么 它不可能与一个向量更少的向量组等价 所以我们要找的那个含有向量最少而与整个向量组 等价的部分组一定是一个线性无关的部分组 考察 维向量组 A{α α α s } 如果 A 线性无关 则我们要寻找的那个与 A 等价 的向量组只能是 A 本身 如果 A 线性相关 则至少有一个向量是其余向量的线性组合 不妨设 α s 是 α α α s- 的线性组合 则继续考察 α α α s- 如果 α α α s- 线性 无关 因为 α α α s- 不能相互线性表出 所以 α α α s- 就是 A 中与 A 等价且所含向量最少的部分组 如果 α α α s- 线性相关 则其中至少有一个向量是其余向量的线性组合 不妨设 α s- 是 α α α s- 的线性组合 由线性表出的传递性 α s 也是 α α α s- 的线性组合 依此类推 如果向量组 A 中含有非零向量 最后总可以得到 A 的一个部分组 {α α α r } 满足 {α α α r } 线性无关 {α α α r } 与 A{α α α s } 等价 定义. 向量组 A{α α α s } 的一个部分组 如果满足 这个部分组线性无关 这个部分组与整个向量组 A{α α α s } 等价 则称这个部分组为向量组 A{α α α s } 的一个极大线性无关组 推论 向量组 A{α α α s } 的一个部分组 如果满足 这个部分组线性无关 向量组 A 中其余向量都是这个部分组的线性组合 那么这个部分组是向量组 A{α α α s } 的一个极大线性无关组 组 全部由零向量组成的向量组称为零向量组 推论 零向量组没有极大线性无关组 含有非零向量的向量组一定有极大线性无关 向量组的一个极大线性无关组也可以这样得到 : 如果 A 不是零向量组 那么可以先在 A 中找到一个线性无关的部分向量组 为简单计 不妨设这个部分组就是 {α α α t }t<s 因为一个非零向量线性无关 所以这总能做到 如果其余向量都是这个部分组的线性组合 那么这个部分组就是 A 的极大线性无关组 如果存在某个向量不是这个部分组的线性组合 例如 α t 不能被 {α α α t } 线性表出 那么 {α α α t α t } 线性无关 重复以上过

37 程 直至得到一个向量组 {α α α r } 满足 {α α α r } 线性无关 A 中其余向量都是 {α α α r } 的线性组合 那么 {α α α r } 就是 A 的一个极大线性无关组 根据定理. 的推论 可以得到 : {α α α r } 是 A 的一个极大线性无关组的充分必要条件是 :A 中每一个向量可以被 {α α α r } 唯一地线性表出 一般来说 一个向量组的极大线性无关组不是唯一的 但是向量组的每一个极大线性无 关组中所含向量个数是唯一确定的 因为向量组的极大线性无关组与向量组等价 因此不同 的极大线性无关组相互之间也等价 根据定理. 的推论 它们所含向量个数相等 定义.7 向量组的极大线性无关组中所含向量个数称为向量组的秩 向量组 A 的秩记 作 RA 规定零向量组的秩为 推论如果 RAr 那么 A 中任意 r 个线性无关的向量是 A 的极大线性无关组 从以上关于极大线性无关组的描述中不难看出 采用上述两种方法中的任何一种求向量 组的极大线性无关组都是很麻烦的 下面我们给出一个简便的办法找出向量组的极大线性无 关组 如果向量组 A{α α α s } 线性无关 那么 A 的极大线性无关组就是 A 自身 如果 A 线性相关 那么存在一组不全为零的实数 k k k s 使得 k α k α k s α s O 上式相当于一个以 k k k s 为未知量 α α α s 为列向量的齐次线性方程组 由于这个方程组有非零解 所以系数矩阵的秩一定小于未知数个数 因而一定存在自由未知 量 由第一章第三节齐次线性方程组的知识可以知道 利用初等行变换将方程组的系数矩阵 化为阶梯形 可以将未知量分为自由未知量与约束未知量 自由未知量可以任意赋值 而当自由未知量的值确定后 约束未知量的值唯一确定 如果令自由未知量全部等于零 则约束 未知量只有零解 这就说明 如果在方程组 k α k α k s α s O 中去掉全部自由未知量所 对应的列 约束未知量所对应的列是线性无关的 而增加任何一个自由未知量所对应的列则 线性相关 根据线性无关与线性相关以及极大线性无关组的知识可以判断出 那些约束未知 量所对应的列向量就是整个向量组的一个极大线性无关组 例 将 R 看作全部 维向量组成的向量组 维基本单位向量 ε ε ε 是 R 的一个极大线性无关组 显然 ε ε ε 线性无关 由第一节例 R 中的任何向量都是 ε ε ε 的线性组合 所以 ε ε ε 是 R 的一个极大线性无关组 请读者自行证明 :R 的秩等于 任意 个线性无关的 维向量构成 R 的一个极大线 性无关组 例 α 7 α 8 α 9 α 解 : 求向量组 A{α α α α } 的极大线性无关组 将全部向量用极大线性无关组线性表出 将 α α α α 写成列向量 α α α α ; 考察方程组 k α k α k α k α O 的系数矩阵 7

38 8 A 参考第一章第三节例 用初等行变换将 A 化为阶梯形 由阶梯形矩阵看出 在方程组 k α k α k α k α O 中可以取 k k 为约束未知量 由此得到 α 7 与 α 8 为 A 的一个极大线性无关组 当然也可以选 α α 或 α α 等等 继续将 A 化为约化阶梯形 A 注意矩阵 A 的前三列 就是方程组 α α α 的增广矩阵 因此 A 的前三列 就表示这个方程组的解 - 所以 α -α α 同理 A 的 列表示 α α α 的解 所以 α α α 此外 α α α α 不难看出 以上表示方法是唯一的 定理. 如果向量组 A 可以被向量组 B 线性表出 那么 RA RB 证明 : A 可以被 B 线性表出 因为 A 的极大线性无关组可以被 A 线性表出 B 可以被 B 的极大线性无关组线性表出 根据线性表出的传递性 A 的极大线性无关组可以被 B 的极大线性无关组线性表出 根据定理. 的推论 A 的极大线性无关组所含向量个数 B 的极大线性无关组所含向量个数 即 RA RB 推论等价的向量组有相等的秩

39 第四节线性方程组解的结构 在第一章我们讨论了线性方程组的解 在方程组有解时 如果系数矩阵的秩 r 小于未知数个数 时 方程组有无穷多组解 本节利用极大线性无关组的知识 讨论线性方程组解的结构 为方便计 本节主要使用矩阵形式 A 表示 s 个方程 个未知量的方程组 其中 A s s 称为方程组的系数矩阵 s 维向量 称为未知向量 s 维向量 称为常数项列 s { 一 齐次线性方程组 齐次线性方程组 的系数矩阵 A s s s s s 它的矩阵形式是 AO s 如果有一个 维向量 v 满足 AvO 则称 v 为线性方程组的解向量 在第一章中我们讨论了齐次线性方程组的解 如果齐次线性方程组有无穷多组解 也就 是它的全部解是由无穷多个 维向量组成的向量组时 齐次线性方程组的解具有如下性质 : 如果 v v v t 是 AO 的 t 个解 那么 对于任意 t 个实数 k k k t vk v k v k t v t 也是 AO 的解 即 : 齐次线性方程组的解的任意线性组合还是这个方程组的解 那么 如果我们能够找 到齐次线性方程组的全部解的一个极大线性无关组 就可以将一个方程组的全部解由这个极 大线性无关组的线性组合表示出来 我们将齐次线性方程组的全部解的极大线性无关组称为 基础解系 由于齐次线性方程组的解的任意线性组合仍是它的解 所以齐次线性方程组的全 部解就是基础解系的全部可能的线性组合 定理. 如果 个未知数的齐次线性方程组 AO 的系数矩阵 A 的秩 RAr< 则存 9

40 在由 -r 个向量组成的基础解系 即 : 存在 -r 个线性无关的解向量 v v v -r 使得 c v c v c -r v -r c c c -r 取遍全体实数 就是它的全部解 称为齐次线性方程组的通解 证明 :RAr 由第一章第三节 齐次线性方程组 AO 的系数矩阵 A 可以经过初等行变换化为阶梯形 : Ο r rr r r r r r r 取 r r 为自由未知量 用向量 r r 表示 由于 是 -r 维向量 而自由未知量可以取任意值 所以 可以取遍全体 -r 维向量 因为全体 -r 维向量的极大线性无关组含有 -r 个线性无关的向量 可以取一组线性无关的向量 v' v v -r v' r r v v v v r r v v v v -r r r r r r v v v 例如可以取 -r 维基本单位向量 ε ε ε -r 将其代入阶梯形矩阵 求出约束未知量的解 r 从而得到方程组的 -r 个解 v r r v v v * * v r r v v v * * v -r r r r r r v v v * * 下面证明 v v v -r 是齐次线性方程组 的基础解系 这只要证明两条 :

41 v v v -r 线性无关 ; 方程组 的任意解都是 v v v -r 的线性组合 首先证明 : v v v -r 线性无关 设 k v k v k -r v -r O 即 k r r v v v * * k r r v v v * * k -r r r r r r v v v * * 注意上式的最后 -r 行实际上就是 k v k v k -r v -r O 因为向量 v' v v -r 线性无关 所以 k k k -r 即 v v v -r 线性无关 其次证明 : 方程组 的任意解都是 v v v -r 的线性组合 设 v r r r v v v v v 是方程组 的一个解 记 v 的后 -r 行为 v v r r v v v 因为 v' v v -r 是 R -r 的一个极大线性无关组 所以 v 能够被 v' v v -r 唯一地线性表出 设 v l v' l v l -r v -r 做 ul v l v l -r v -r u 是方程组 的一个解 ; u 的后 -r 行就是 v l v' l v l -r v -r 比较 u 与 v u 与 v 都是方程组 的解 ; u 与 v 的后 -r 行相等 即 u 与 v 是自由未知量全部相同的两个解 因为选定自由未知量后约束未知量是唯一确定的 所以 u 与 v 的前 r 行也一定相等 即 vul v l v l -r v -r 所以 的任意解都是 v v v -r 的线性组合

42 由极大线性无关组的知识可以得到 : 推论若 RAr 则 AO 的任意 -r 个线性无关的解向量构成它的基础解系 定理. 的证明同时也给出了求齐次线性方程组基础解系的方法 例 求下列齐次线性方程组的基础解系 {7 8 9 解 : 方程组的系数矩阵 A 用初等行变换将 A 化为阶梯形 由 看出 可以取 为自由未知量 继续将 A 化为约化阶梯形 : 令 v' v 是自由未知量 两组线性无关的解 代入 得到 v v 是齐次线性方程组 的基础解系 c v c v c c c c 取遍全体实数 就是方程组 的通解 例 求下列齐次线性方程组的通解

43 - { - - 解 : 用初等行变换将方程组的系数矩阵化为阶梯形 A 8 ; 取 为自由未知量 将 A 化为约化阶梯形 从第 个方程可以看出 令自由未知量 取 解得方程组的基础解系 v v 方程组的通解为 c v c v c c c c 取遍全体实数 如果一个向量组 V 对于向量的两个线性运算 加法与数乘封闭 即 如果 α Vβ V 则 αβ V; 如果 α V 则对于任意实数 kkα V 则称 V 为向量空间 向量空间的极大线性无关组称为向量空间的基 基所含向量个数称为向量空间的维数 相当于向量组的秩

44 向量空间对线性运算的封闭性也可以描述为 : 如果 α α α s V 则对于任意一组 实数 k k k s k α k α k s α s V 显然 齐次线性方程组 AO 的全部解构成一个向量空间 称为 AO 的解空间 AO 的一个基础解系就是它的解空间的一组基 如果 RAr 则齐次线性方程组 AO 的全部解构成一个 -r 维向量空间 二 非齐次线性方程组 常数项不全为零的线性方程组 { s s s s 称为非齐次线性方程组 此处常数项列 O s 与非齐次线性方程组 A 的系数矩阵相同的齐次线性方程组 AO 称为它的导出方程 组 简称导出组 例如第一章方程组. 是方程组. 的导出组 ;. 是. 的导出组 也 是. 的导出组 ; 方程组. 是. 的导出组 直接验证即可知道 非齐次线性方程组 A 与它的导出组 AO 之间有如下关系 : 如果 u u 是 A 两个解 则 u -u 是其导出组 AO 的解 如果 u 是 A 的解 v 是其导出组 AO 的解 则 uv 是 A 的解 如果 u 是 A 的一个解 则 A 的全部解都可以写成 uv 的形式 其中 v 是其 导出组 AO 的解 是显然的 下面证明 : u 是 A 的任意一个解 显然 u uu u 而 u u 是导出组 AO 的解 根据以上分析可以得到下列结论 定理.7 如果非齐次线性方程组 A 有无穷多组解 u 是它的任意一个解 v v v -r 是它的导出组 AO 的基础解系 那么 uc v c v c -r v -r c c c -r 取遍全体实数 是它的全部解 解 我们称 u 为非齐次线性方程组 A 的一个特解 uc v c v c -r v -r 称为它的通解 推论在 A 有解的情况下 如果它的导出组 AO 只有零解 则 A 只有唯一一组 例 齐次线性方程组 - { -.

45 是非齐次线性方程组 - 9. { - 9 的导出组 因为. 只有零解 所以. 只有唯一一组解 ; ; - 例 第一章第三节例 中的方程组是第一章第二节例 中的方程组的导出组 因为 v c c c c c c 是. 的一般解 而 u 是. 的一个解所以 uv c c c c c c 是方程组. 的一般解 例 用导出组的基础解系来表示例 中非齐次线性方程组. 的通解 解 : 首先写出方程组的增广矩阵 A 注意它的前 列就是导出组的系数矩阵将 A 化为阶梯形 9 因为 RARA< 所以方程组有无穷多组解. { { 7 8 9

46 取 为自由未知量 化 A 为约化阶梯形 求方程组的一个特解 令自由未知量 任取一组值 为简单计 可以令 得到方程组的一个特解 u 求它的导出组的基础解系以及通解观察它的前 列 也就是它的导出组化成的约化阶梯形 * * * 由例 v v 是导出组的基础解系 c v c v c c c c 取遍全体实数 是导出组的通解 所以原方程组的通解就是 uc v c v c c 注意 c c 是任意的 比较 c c

47 7 与例 中的 c c c c c c 它们只是表示方法上的区别而已 例 求下列非齐次线性方程组的通解 { - - 解 : 用初等行变换将方程组的增广矩阵 A 化为阶梯形 A ; 取 为自由未知量 将 A 化为约化阶梯形 令 得到方程组的一个特解 u 由本节例 方程组的导出组的基础解系为

48 8 v v 方程组的通解为 uc v c v c c c c 取遍全体实数 例 7 确定 的值 使线性方程组 { - 有唯一解 ; 无解 ; 有无穷多组解 当有解时 求其解 解 : 用初等行变换将增广矩阵 A 化为阶梯形 A 当 时 rara 方程组有唯一解 对 A 继续进行初等行变换 化为 A 解得 当 而 - 时 ra<ra 方程组无解 当 而 - 时 rara< 方程组有无穷多组解 此时

49 A 解得 c c c c 取遍全体实数 三 不相容方程组的最小二乘解 在实际问题当中经常会遇到线性方程组没有解的情况 如前所述 一个线性方程组实际 上就是对一组变量的若干个线性约束条件 由于数据受测量的精确度影响或者问题需要取近似值 这些约束条件可能产生矛盾 而出现所谓不相容方程组 请看下例 例 8 测量显示 一条曲线经过 个点 其坐标分别为 - 为 使曲线方程简单 准备用一条二次抛物线来拟合它 设所求抛物线方程为 将 个点的坐标代入 得到线性方程组 { - 不难看出 这个方程组无解 这可能是测量有误差 也可能实际问题中这条曲线并不是 二次抛物线 我们要找一条 偏差最小 的二次抛物线来近似它 设非齐次线性方程组为 { s s s s 用矩阵乘法表示为 A 将其改写为 A-O { - - 如果向量 vv v v 可以使 s v v v s s s - s - 9

50 达到最小 则称 v 为方程组 的最小二乘解 记 D s v v v v m R - D 称为方程组 的残差 显然 如果 D 则 v 是方程组 一般意义上的解 定理.8 vv v v 是方程组 的最小二乘解的充分必要条件是 :v 满足方程组 A T AA T 称为方程组 的正规方程组 求解例 8 中的方程组的最小二乘解 解 : 方程组的系数矩阵 A ; 常数项列 求出其正规方程组的增广矩阵为 解得 所得抛物线为.-.7. 称为 最佳拟合抛物线 见右图

51 练习二 一 α-β α γβ-γ 求 γ 二 判断下列向量组是否线性相关 求其秩与极大线性无关组 并将此向量组中全部向量用 极大线性无关组线性表出 α α -α α -α 三 α α α α - 求 α α α α 的一个极大线性无关组 β- 证明 α α β 线性相关 将 β 用 α α 线性表出 并证明这个表示法是唯一的 四 α α α -α α --α 7- 证明 α α α α α α 线性相关 求这个向量组的秩 求出两个不同的极大线性无关组 证明这个向量组的任一个极大线性无关组必须包括 α 求 α α α α α 的秩 求 α α α α α 的秩 7 证明 α 可以被 α α α α α 线性表出 8 证明 α 不可以被 α α α α α 线性表出 五 α - α α - β β - 证明 : 向量组 A{α α α } 与向量组 B{β β } 等价 六 α α α - l β lk kl 等于何值时 β 不能被 α α α 线性表出 β 被 α α α 唯一线性表出 七 α α α 线性无关 α α α 线性相关 证明 :α α α α 线性相关 证明 :α 可以由 α α 线性表出 判断 :α 可否由 α α α 线性表出 说明根据八 α α α 是 个 维向量 证明 : 如果 维基本单位向量 ε ε ε 可以 被它们线性表出 那么 α α α 线性无关 九 α β γc c c c 证明 : 如果 αβγ 线性相关 那么去掉同一个分量后所得到的三个向量仍然线性相关 即例如去掉第 个分量后得到的向量 α β γ c c c 线性相关 注意证明过程能否推广到一般情况 写出这个命题的一般形式以及它的逆否命题 十 证明 : 如果 α α α s 线性相关 但其中任意 s- 个向量都线性无关 那么 十一 要使 k α k α k s α s O 必须 k 全部等于 或全不等于 s 一定存在全不为零的一组实数 k k k s 使得 k α k α k s α s O 试举出一个这样的例子 证明 : 如果两个向量组的秩相等 并且其中一个可以被另一个线性表出 则这两 个向量组等价 十二 如果 β 可以被向量组 A{α α α s } 线性表出 但不能被 A 的任一部分线性表出 证明向量组 A 线性无关 十三 α α α s 线性无关 βk α k α k s- α s- α s

52 证明:α α α s- β 线性无关 k k k s- 任意 将上述结论推广到一般 即 :βk α k α k s- α s- k s α s 若 k 则 α α α - βα α s 线性无关 十四 A{α α α s }α 如果 > s 则 A 线性无关 十五 用基础解系表示出下列线性方程组的全部解 { { { { 十六 证明线性方程组 - { 有解的充分必要条件是 并求其解 十七 确定 k 的值 使线性方程组 { k k k k k 有唯一解 无解 有无穷多组解 当有解时 求其解 十八 u u 是线性方程组 A 的两个解 A 的秩等于 证明 即 A 是非齐次线性方程组 这个线性方程组的全部解可以表示为 c c 取遍全体实数

53 十九 u 是非齐次线性方程组 A 的一个特解 v v v t 是导出组 AO 的基础解 系 证明 uv v v t 线性无关 二十 求第一章第 节例 方程组. 的最小二乘解

54 第三章 行列式与矩阵的进一步讨论 本章进一步讨论矩阵特别是可逆矩阵的性质 并且讨论与矩阵有关的数 行列式 本书的特点是行列式的内容相对独立 对于那些只打算用很少的课时学习线性代数的初级内容的学生 行列式的内容可以略去 随着计算机技术的日益发展 行列式的计算技巧已显得不那么重要 因此本书在这方面做了淡化处理 本章的另一项任务是将线性代数的几个基本内容 矩阵 向量 线性方程组等的关系进行归纳 以使读者进一步了解它们的内在联系 第一节矩阵的初等变换与初等矩阵 一 初等变换的定义 在第一章第二节我们讨论了用系数矩阵或者增广矩阵解线性方程组 定义了矩阵的三种 初等行变换 即 : 交换矩阵的第 行与第 行 用 表示 ; 用不等于零的数 k 去乘矩阵的第 行 用 k 表示 ; 在第 行上加上第 行的 k 倍 用 k 表示 类似可以定义矩阵的三种初等列变换 即 : 交换矩阵的第 列与第 列 ; 用不等于零的数 k 去乘矩阵的第 列 ; 在第 列上加上第 列的 k 倍 行变换与列变换使用相同的符号 统称矩阵的初等变换 定义. 如果矩阵 A 可以经过一系列初等变换化为 B 则称 A 与 B 等价 二 初等变换的性质 初等变换都是可逆的 如果矩阵 A 可以经过一系列初等变换化为 B 那么 B 也可以经过一系列初等变换化为 A 不难看到 的逆变换就是 ; 注意到 k 不等于 k 的逆 变换是 k - ;k 的逆变换是 -k A 是 s 乘 阶矩阵 记 A 的行向量为 α α α s α α A α s 向量组 α α α s 的秩称为矩阵 A 的行秩 用初等行变换将矩阵 A 化为矩阵 B 记 B 的行向量为 α α α s α α B α s 以下证明 :α α α s 与 α α α s 是等价的向量组 只要证明 A 与经过一次初等行变换后得到的矩阵 B 满足上述性质 由等价关系的对称 性与传递性就可以推得经过任意次变换满足上述性质 第一种初等变换 只改变向量的编号 即 α α α α 而其它 α k α k k

55 α α α s 与 α α α s 可以相互线性表出 因而是等价的向量组 ; 第二种初等变换k 使 α kα α k - α 其它 α k α k k 所以 α α α s 与 α α α s 等价 ; 第三种初等变换k 使 α α kα α α -kα 其它 α k α k k 所以 α α α s 与 α α α s 等价 行秩 由第二章第三节定理. 的推论 等价的向量组等秩 所以 初等行变换不改变矩阵的 以上对初等行变换证明了 α α α s 与 α α α s 是等价的向量组 初等行变换 不改变矩阵的行秩 记 A 的列向量为 β β β Aβ β β 向量组 β β β 的秩称为矩阵 A 的列秩 不难证明 列的情况是完全类似的 即 Aβ β β 经过初等 列变换化成的矩阵 B 的列向量组与 A 的列向量组是等价的 初等列变换不改变矩阵的列秩 从第二章第三节看到 用初等行变换将矩阵 A 化为阶梯形矩阵 B 后 如果 B 中共有 r 个不全为零的行 则 A 的列向量组 β β β 的秩就等于 r 而 B 中不全为零的行 α α α r 显然线性无关 而任意 r 个向量线性相关 因此 B 的行秩等于 r 而初等 行变换不改变矩阵的行秩 所以 A 的行秩也等于 r 根据定义 矩阵 A 的秩也是 r 因此我 们得到以下结论 : 定理. 矩阵的行秩等于列秩等于矩阵的秩 初等变换不改变矩阵的秩 推论 矩阵转置 秩不变 由以上讨论可知 等价的矩阵一定等秩 但是要注意的是 两个等价矩阵的行向量组不 一定等价 列向量组也不一定等价 因为经过行变换后 列向量组一般不再等价 同样 经 过列变换后通常行向量组也不再等价 矩阵的等价关系与向量组的等价关系既有关联又有区 别 从形式上看 矩阵的等价是同型矩阵之间的关系 但两个等价的向量组不一定包括相同 数量的向量 如果两个同型矩阵的行向量组或列向量组等价 即可以相互线性表出 则这两个矩阵一定等价 但是两个等价的矩阵其行向量组或列向量组未必等价 一般说来 向量 组的等价关系比矩阵的等价关系严格 例如 与向量组 {} 并不等价 两个矩阵的等价关系显然满足下列性质 : A 与 A 等价 反身性 与 如果 A 与 B 等价 则 B 与 A 等价 对称性 如果 A 与 B 等价 B 与 C 等价 则 A 与 C 等价 传递性 等价 但向量组 {} 由对称性与传递性可以得到 : 如果 A 与 B 都与 C 等价 则 A 与 B 等价 关于矩阵乘积的秩有如下结论 : 定理. RAB RA;RAB RB 证明如果 A 是 m 乘 阶矩阵 B 是 乘 p 阶矩阵 A m m ;B m p p p 记 A 的列向量为 α α α B 的行向量为 β β β 考察 ABα α α Bα α α p p p

56 α α α α α α p α p α p α 可以看出 AB 的列向量是 A 的列向量的线性组合 所以 AB 的列秩 A 的列秩 但矩 阵的列秩等于矩阵的秩 所以 RAB RA 由定理. 推论 RABRAB T RB T A T RB T RB 定理. 也可以表示为 RAB m{rarb} m{rarb} 表示 RA 与 RB 中 的最小值 在第一章第一节我们看到两个非零矩阵的乘积可以等于零矩阵 这说明矩阵乘积 的秩确实可以小于它的因子的秩 从这个定理的证明中我们发现 AB 的列向量是 A 的列向量的线性组合 AB 的行向量 是 B 的行向量的线性组合 这一事实今后在研究有关矩阵乘积的性质时是很有用的 我们 之所以将这个定理放在这里证明 也是为了让读者看到这个事实 例如 利用这个关系可以 证明矩阵方程 AXB 有解的充分必要条件是 B 的列是 A 的列的线性组合 其实用第二章第 四节关于齐次线性方程组中未知量个数 系数矩阵的秩与解空间的秩之间的关系就可以证明 这个定理 : 设 B 是有 p 个列的矩阵 RBr 则齐次线性方程组 BO 的解空间的秩等于 p-r 因为 BO 的解都是 ABO 的解 所以 ABO 的解空间的秩 p-rab 也是有 p 个列的矩阵 所以 RAB p-p-rr 即 RAB RB 利用转置可以证明 RAB RA 根据矩阵的秩的定义与性质 一个矩阵的秩不可能超过它的行数与列数 如果 m 乘 阶矩阵 A 的秩等于 m 与 中较小的数 则 A 的秩已经达到最大可能 称矩阵 A 为满秩矩阵 显然 如果 阶方阵 A 的秩等于 则 A 为满秩矩阵 对于一般的 m 乘 阶矩阵 A 如果 RAm 则称 A 是行满秩的 如果 RA 则称 A 是列满秩的 例 AB 是 阶方阵 如果 ABO 则 RARB 证明 : 用列向量将 B 与 O 表示为 Bβ β β O O O O ABO 表示 为 Aβ β β Aβ Aβ Aβ OO O 显然 β β β 都是齐次线性方程组 AO 的解 设 RArAO 的解空间是 -r 维的 即 β β β 是一 个秩等于 -r 的向量组的一部分 所以 RBR{β β β } -rrarb 三 初等矩阵定义. 单位矩阵 I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 矩阵有三种初等行变换与三种初等列变换 每种初等变换都有一个初等矩阵与之对应 一 交换单位矩阵 I 的 两行或 两列 得到第一种初等矩阵 记作 P: P Ο 第 列 Ο 第 列 二 用不等于零的数 k 乘单位矩阵 I 的第 行或第 列得到第二种初等矩阵 记作 Ο 第 行 第 行

57 Pk: Pk Ο k 第 列 Ο 第 行 三 在单位矩阵 I 的第 行上加上第 行的 k 倍 用 Pk 表示 Pk Ο Ο k Ο 第 列 第 行 在单位矩阵 I 的第 列上加上第 列的 k 倍 仍然用 Pk 表示 Pk Ο Ο k 第 列 Ο 第 行 的 第一种和第二种初等矩阵对于行和列是一样的 而第三种初等矩阵对于行和列是不同 读者不难自行验证 一个矩阵左乘初等矩阵相当于对矩阵做相应的初等行变换 ; 一个 矩阵右乘一个初等矩阵相当于对矩阵做相应的初等列变换 初等矩阵的性质 因为初等变换都是可逆的 所以初等矩阵都是可逆的 并且 P - P;P - kpk - ;P - kp-k 定理. 矩阵 A 与 B 等价的充分必要条件是 : 存在初等矩阵 P P P t 与 Q Q Q s 使 AP t P P BQ Q Q s 7

58 8 四 矩阵的等价标准形如果我们希望将所有等价的矩阵归为一类 那么需要知道什么样的矩阵等价 同时我们希望在矩阵的一个等价类中找一个矩阵作为这个等价类的代表 这个作为代表的矩阵应该有最为简单的形状 并且所有与它等价的矩阵都可以比较容易地通过初等变换化为这种形状 定理. A 是 m 阶矩阵 如果 RAr 则 A 等价于矩阵 I r I r 是矩阵 Ο Ο 的块矩阵形式 称为矩阵 A 的等价标准形 证明 : 零矩阵的秩为零 零矩阵的标准形就是自身 如果 A 不是零矩阵 设 A m m m 首先考察 是否不等于 如果 因为 A 不是零矩阵 所以一定存在 做初等行变换 与初等列变换 使 A 变为等价的矩阵 A 是 A 的第一行第一列元素 所以我们可以假定 用初等行变换 - 可以变 然后用初等行变换 - - m- m 将 A 化为等价矩阵 m m 继续施行初等列变换 可以将 A 化为等价矩阵 m m Ο 如果矩阵块 m m Ο O 则矩阵 A 已化为标准形 否则 继续以上过程直至将 A 化为标准形 因为初等变换不改变矩阵的秩 而 I r 的秩为 r 所以 A 一定能够化为标准形 I r

59 9 根据等价矩阵的性质 与同一矩阵等价的矩阵等价 得到推论 A B 是同型矩阵 如果 RARB 则 A 与 B 等价 即 : 同型矩阵如果等秩则等价 因为等价矩阵等秩 所以同型矩阵等价的充分必要条件是它们等秩 例 用初等变换将矩阵 A 化为标准形 并求 A 的秩 A 解 :A * 由 A 的标准形看出 RA 注 : 从矩阵 * 可以看出 : 矩阵的第 列不成比例 而第 列不能用第 列线性表出 所以这 列线性无关 即 A 的列秩等于 根据矩阵的秩与标准形的关系即可得到 A 的标准形 事实上从第 个矩阵已能看出 A 的列秩等于

60 第二节可逆矩阵 在第一章第一节我们讨论了逆矩阵的定义与一些性质 本节将进一步讨论可逆矩阵 讨 论什么矩阵可逆以及如何求矩阵的逆 我们首先列举一下有关逆矩阵的结论 逆矩阵的定义 :A 是 阶方阵 如果存在 阶方阵 B 使 ABI 则称 B 为 A 的逆矩阵 逆矩阵的性质 : 矩阵的逆是唯一的 矩阵的逆不分左右 AB - B - A - 可逆矩阵没有零因子 可逆矩阵的乘法满足消去律 矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A 是满秩 方 矩阵 性质 的证明 : 如果 A 是可逆矩阵 根据逆矩阵的定义 存在 A - 使 AA - I 显然 I 是满秩矩阵 RI 由 RAB m{rarb} 得到 RA RAA - RI 所以可逆矩阵一定满秩 反之 如果矩阵 A 满秩 则线性方程组 Aε 有 唯一 解 ε 是基本 单位向量 T 而 Iε ε ε 因此矩阵方程 AXI 有 唯一 解 A 可逆 由性质 可知 矩阵不可逆的充分必要条件是矩阵不满秩 下面讨论可逆矩阵的等价标准形 A 是可逆矩阵 所以 A 满秩 因为初等变换不改变矩阵的秩 满秩矩阵只能与满秩矩 阵等价 而满秩矩阵的标准形是单位矩阵 所以可逆矩阵的标准形是单位矩阵 由上一节的 讨论得到 : 定理. 矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A 与单位矩阵等价 由上一节定理. 存在初等矩阵 P P P t 与 Q Q Q s 使 AP t P P IQ Q Q s 注意到 P t P P IQ Q Q s P t P P Q Q Q s 得到 定理. 矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A 可以表示为一些初等矩阵的乘积 由定理. 与定理. 得到定理.7 矩阵 A 与 B 等价的充分必要条件是 : 存在可逆矩阵 P 与 Q 使 APBQ 下面讨论如何求矩阵的逆 因为可逆矩阵的标准形是单位矩阵 不难验证可逆矩阵可以单纯使用初等行变换或单纯 使用初等列变换化为单位矩阵 A 是方阵 使用初等行变换将 A 化为阶梯形 : A A 如果 A 可逆 则 A 满秩 初等变换不改变矩阵的秩 所以 A 也满秩 全都不等于零 可以继续使用初等行变换将 A 化为 I 类似可以验证单纯使用初等列变 换可以将 A 化为 I 综上所述 因为初等行变换相当于左乘初等矩阵 初等列变换相当于右乘初等矩阵 所 以 如果 A 是可逆矩阵 那么存在初等矩阵 P P P t 与 Q Q Q s 使 P t P P AI AQ Q Q s I 根据逆矩阵的定义 P t P P Q Q Q s A - 将 A - P t P P 写作 A - P t P P I 因为左乘初等矩阵相当于初等行变换 比较 IP t P P A 与 A - P t P P I 得到一个用初等行变换求 A - 的方法 即 : 将使用初等行变换化 A 为 I 的过程作用于 I 可以将 I 化为 A -

61 同理 因为 A - Q Q Q s IQ Q Q s 将使用初等列变换化 A 为 I 的过程作用于 I 也可以将 I 化为 A - 例 A 求 A - 解 : 做矩阵 AI 用初等行变换将左侧的 A 化为 I 右侧的 I 就化为 A - : AI A - 请读者试用初等列变换求 A - 当我们不知道一个矩阵是否可逆时也可以直接施行上述过程 如果矩阵不可逆 用初等行变换或初等列变换可以看出它不满秩 因而判断其不可逆 在第一章第一节例 我们用逆矩阵解矩阵方程 AXB;YAB 其中 A B 因为 A 可逆 A - 存在 所以 XA - B;YBA - 在第一章我们是先求出 A - 然后用 A - 左乘 B 得到 XA - B 用 A - 右乘 B 得到 YBA 事实上 注意到上面的讨论 : P t P P Q Q Q s A - XA - BP t P P B YBA - BQ Q Q s 仿照求逆的方法不必求出 A - 即可得到 XA - B 与 YBA - 做矩阵 AB P t P P A B P t P P AP t P P BA - AA - BIA - B 做矩阵 B A B A Q Q Q s s s Q BQ Q Q AQ Q - - BA AA - BA I 具体过程如下 : 做矩阵 AB 用初等行变换将左侧的 A 化为 I 右侧的 B 就化为 A - B: AB ; XA - B

62 类似 用初等列变换 A B YBA 在求逆矩阵时 既可以使用初等行变换也可以使用初等列变换 因为逆矩阵是不分左右 的 但是解矩阵方程时 区分左乘右乘是重要的 因此一定要注意使用初等行变换还是使用 初等列变换 如果线性方程组 A 的系数矩阵是可逆方阵 显然 A - 是方程组的一组解 因为可逆矩阵满足消去律 如果 Av Av 则 v v 即系数矩阵可逆的线性方程组有唯一 解 如果齐次线性方程组的系数矩阵可逆 则没有非零解 用 α α α 表示 A 的列向量 Aα α α 线性方程组 AO 可以表示为 α α α O 方程组没有非零解的充分必要条件是向量组 A{α α α } 线性无 关 这与矩阵 方阵 可逆的充分必要条件是满秩这个结论是一致的 上一节关于矩阵乘积的秩 我们证明了性质 RAB m{rarb} 对于可逆矩阵 有如下性质 : 定理.8 如果 A 可逆 RABRB 证明 : 因为可逆矩阵可以分解成初等矩阵的乘积 设 AP t P P ABP t P P B 这相当于对矩阵 B 进行一系列初等变换 而初等变换不改变矩阵的秩 所以 RABRP t P P BRB 这个定理也可以这样证明 : 由定理.RAB RB 又 A 可逆 所以 A - 存在 仍 由定理.RA - AB RAB 即 RB RAB 因此 RABRB 第 章第 节例 7 我们证明了 α α α 线性无关是 α α α α α α 线性无关的充分 必要条件 这里再给出一个证明 : 做矩阵 A α α α A α α α α α α A A 线性无关 ; 若 RA RA < 则它们都线性相关 两组坐标之间的变量替换 { 可逆 所以 A A 等秩 若 RA RA 则它们都 称为线性替换 用矩阵乘法表示为 A A 称为线性替换的矩阵

63 如果 A 可逆 则称 A 为非退化的线性替换 非退化的线性替换存在反变换 A - 例 证明下列线性替换非退化 并求其反变换 { 证明 : 上述线性替换的矩阵为 A A 显然可逆 所以 A 是非退化的线性替换 A - 反变换 - { - -

64 第三节方阵的行列式 一 排列与逆序 任意顺序的 个自然数 称为一个 阶排列 例 如 是一个 阶排列 是一个 阶排列 根据排列组合的知识 全 部不同的 阶排列共有! 种 例如 就是! 种全部可能的 阶排列 在一个排列中 如果大的数字排在 小的数字前面 无论是否相邻 则称为逆序 在一个排列中发生逆序的次数称为这个排列的 逆序数 的逆序数记作 τ 例如 ττ ττττ 逆序数为奇数的排 列称为奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列 在上述全部 个 阶排列中有 个奇排列 个偶排列 奇 偶排列各占一半 读者可以自己写出全部 阶排列 求出它们的逆序数 为了既不重复也不疏漏 可以使用 字典排列法 即将较小的数尽可能排在前边 上面 个 阶排列就是采用 字典排列法 排列的 在 个不同的 阶排列中共有 个奇排列 个偶排列 也是各占一半 那么是否任意阶全部排列中总是奇偶各占一半呢? 通过研究 排列的奇偶性可以发现答案是肯定的 交换排列中的两项称为对排列进行一次对换 相邻两项对换称为邻换 定理.9 对换改变排列的奇偶性 证明先证明邻换改变排列的奇偶性 : P k 是一个 阶排列 P k 是对 P 进行一次邻换 P 中的 k 与 P 中的 k 的顺序关系是相反的 但是在 P 中 k 与 前面的数的顺序关系与 P 中 k 与 k 前面的数的顺序关系完全一致 同样 在 P 中 k 与 k 后面的数的顺序关系与 P 中 k 与 后面的数的顺序关系也完全一致 因此 P 与 P 的逆序数相差 P 与 P 的奇偶性正好相反 下面证明不相邻的对换也改变排列的奇偶性 P * *k 是一个 阶排列 与 k 之间有 m 个数 * * P k * * 是将 P 中 与 k 进行对换 我们可以用一系 列的邻换来完成这个对换 : 先将 P 中的 依次与其右边的数进行 m 次邻换 与 k 之间有 m 个数 加上 k 共 m 个 P 变成 * * k 然后 k 再与其 左边的数 即 P 中 与 k 之间的 m 个数 进行 m 次邻换 变成 P k* * 于是 P 经过 m 次邻换变成 P 无论 m 等于多少 m 总是奇数 也就 是说 对排列做任何对换相当于做奇数次邻换 所以对换改变排列的奇偶性 定理. 证明 : 在全部! 个 阶排列中 奇排列 偶排列各占一半 假定在全部! 个 阶排列中 奇排列共有 p 个 将每一个奇排列中的第一 二个数码对换即得到一个偶排列 显然 不同的奇排列做相同位置的对换得到的排列也不同 于是得到 p 个不同的偶排列 即偶排列的个数不会少于奇排列个数 用同样的方法可以证明奇排列的个数不会少于偶排列的个数 因此奇排列 偶排列各占一半 二 行列式的定义定义. A 是个 阶方阵 规定对 A 中的元素进行如下运算的结果称为 A 的行列式 记作 A 或 DetA A τ 取遍全部 阶排列 下面我们对这个定义做出解释 :

65 是矩阵 A 中 个来自不同行不同列的元素的乘积 其行脚标按自然数顺 序排列 列脚标是 的一个排列 由于互不相同的 阶排列共有! 种 而 每一种排列就对应 的一种组合 所以 共有有! 种不同组合 对每一个 规定一个符号 即 τ 也就是说 如果 是奇排列 则 取负号 如果 是偶排列 则 取正号 这! 项的代数和就定义为 A 的行列式 A 的行列式既代表 A 中元素的一种运算 也代表一个数 即 A 中元素按照上述方法运算的结果 τ Σ 下经常不再写下标 τ 也称为行列式 A 的展开式 今后为简单计 求和号 称为行列式 A 的一般项 例 计算二阶行列式 二阶行列式的展开式中共有! 项 {} 的全部排列是 其中 是偶排列 是奇排列 所以 - 二阶行列式等于对角线上元素的乘积与反对角线上元素的乘积之差 例 计算三阶行列式 三阶行列式的展开式中共有! 项 {} 的全部排列是 其中 是偶排列 是奇排列 所以 三阶行列式的三个取正号的项的列脚标是 {} 的自然顺序排列 的三个轮换 见下图左 三个取负号的项的列脚标是{} 的反自然顺序排列 的三个轮换 见下图右 例 一阶行列式 如果行列式有一行 列 全部元素均为 则行列式等于 根据行列式的定义立得

66 例 求三角形矩阵的行列式 称为三角形行列式 解 : 设 A 是下三角形矩阵 A 称为下三角形行列式 考察 A 的展开式 τ 当 > 时 所以 中除 外其它项均等于 的列脚标 中 是 { } 的一个排列 考 察 因为 不能再取 而当 > 时 所以 外其它项均等于 依此类推 在 应取正号 所以 中除 中除 外其它项均等于 即下三角形行列式等于对角线上的元素乘积 同理可得上三角形行列式也等于对角线上 的元素乘积 由此可以得到 : 对角阵的行列式等于对角线上的元素乘积 ; I I 是单位矩阵 例 求 D 与例 情况相仿 在这个行列式的展开式中 除 外其它项均等于 排列 - 的逆序数等于 根据行列式的定义D 在行列式的定义中 确定一般项的符号必须将行脚标按自然数顺序排列 然后判断列脚 标排列的奇偶性 事实上也可以用下面的方法确定 定理. τ 行列式的一般项 τ τ k k k 其中 与 k k k 都是 阶排列 即 与 k k k k k k 是相同元素的乘积 只是元素排列顺序不同 k k k

67 根据这个定理 如果在行列式 A 的展开式中 一个乘积中 个来自不同行不同列的元素不按照行的先后顺序排列 则可以依据这个乘积中的行脚标所成排列的逆序数与列脚标所成排列的逆序数之和的奇偶性确定该项的符号 证明 : 首先 因为 k k k 所以 系列两两元素之间的对换变成 对换 k k k k k k 可以经过一 中的两个元素位置 其 行脚标与列脚标均改变一次奇偶性 因而行脚标与列脚标的逆序数之和的奇偶性不变 所以 τ τk k k 与 τ τ 的奇偶性相同 而 τ 所以 τ τk k k 与 τ 的奇偶性相同 特别地 行列式的一般项可以表示为 τ 即将一个乘积中的 个元素按照列的自然顺序排列 然后根据行脚标的排列 的奇偶性确定符号 例 三 行列式的性质 性质 矩阵 A 的转置 A T 的行列式与 A 的行列式相等 即 A T A 设 A A T A T 的一般项 τ τ τ τ τ 就是 A 的一般项 所以 A T A 7 ; 行列式的这个性质通常叙述为 : 行列式转置 值不变 下面讨论矩阵的初等变换对其行列式的影响 根据性质 有关初等行变换的性质同样 适用于初等列变换 所以 以下的讨论仅对一种情况证明 性质 交换行列式的两行 列 行列式反号 记 A 为交换 A 的 k 设 <k 两行得到的矩阵 A 中不同行不同列的元素 也是 A 中不同行不同列的元素 在 A 的展开式中 的符号

68 8 是 τ 而在 A 的展开式中 这个乘积的符号是 k τ τ 由于排列 k 是自然序列 对换 k 得到的排列 因而是奇排列 所以这两个符号正好相反 即 A 的一般项与 A 的一般项符号相反 A - A 推论行列式两行 列 相等 行列式等于 证明 : 设行列式 A 的 两行相等 交换这两行 行列式不变 但由性质 行列式反号 即 A - A A 性质 用 k 乘以行列式的一行 列 等于用 k 乘以行列式 证明用 k 乘以矩阵 A 的一行得到的矩阵为 A k k k A k τ k τ k A 性质 通常叙述为 : 行列式一行 列 的公因子可以提到行列式外边 推论行列式两行 列 成比例 行列式等于 由性质 的推论与性质 立得 性质 如果行列式 A 中的第 行 列 的每一个元素都是两个元素之和 则此行列式可以分成两个行列式 A 与 A 之和 其中 A 与 A 的第 行 列 元素各取 A 中的第 行 列 对应的两个元素之一 其余行 列 与 A 相同 即 A 证明 A τ τ τ 以上两个行列式之和只是诸多种组合中的一种

69 9 行列式的这条性质可以推广到每行或每列是多项的和 性质 对矩阵进行第三种初等变换不改变其行列式的值 证明 : 在矩阵 A 的第 行上加上第 行的 k 倍 得到 A 根据性质 与性质 的推论 A k k k k k k A 因为三角形行列式等于对角线上元素的乘积 通过以上三条关于行列式的初等变换的性质可以得到一个计算行列式的方法 即用初等变换将行列式化为三角形行列式 然后计算对角线上元素的乘积 我们将在下一节专门讨论行列式的计算 以上三条性质还说明 如果一个矩阵的行列式不等于零 则经过初等变换后行列式仍然不等于零 反之 如果行列式等于零 经过初等变换后行列式仍然等于零 这一点在今后讨论矩阵与行列式的性质时是很有用的 定理. 方阵 A 的行列式 A 的充分必要条件是 A 满秩 证明 : 设 A 用初等行变换将 A 化为阶梯形 A 如果 A 则 均不等于 A 满秩 反之 如果 A 满秩 则 均不等于 A 注意到这是一个充分必要条件 所以方阵 A 的行列式 A 的充分必要条件是 A 不满秩 由于矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A 是满秩 方 矩阵 所以有推论 矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A 如果矩阵 A 的行列式 A 则称 A 是退化的 否则称为非退化的 由此得到

70 推论 矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A 非退化 四 矩阵乘积的行列式定理. AB 是方阵 AB A B 证明 : 首先 如果 A 不可逆 则 A 不满秩 A 由 RAB RA AB 也不满秩 所以 AB AB A B 如果 A 可逆 由定理.A 可以表示为一些初等矩阵的乘积 所以只要对初等矩阵 P 证明 PB P B 即可 首先求出初等矩阵的行列式 根据矩阵的性质 注意到 I 可以得到初等矩阵 的行列式 : P - I -; Pk k I k; Pk I 得到 : PB - B P B ; PkB k B Pk B ; PkB B Pk B 设 AP t P P P P P t 是初等矩阵 则 A P t P P P t P t- P P P t P t- P t- P P P t P t- P P 而 AB P t P P B P t P t- P P B P t P t- P t- P P B P t P t- P P B A B 这一性质可以推广到多个矩阵的乘积 推论如果 A 可逆 则 A - A - 五 方阵 行列式 线性方程组 向量组之间的关系 前面各章节陆续讨论了矩阵 行列式 线性方程组 向量组之间的一些关系 方阵是矩 阵中重要的一类 例如当线性方程组中未知量与方程个数相同时 其系数矩阵是个方阵 为 便于读者比较系统的掌握与方阵有关的这些性质 将有关方阵的性质罗列如下 : 设 A 为 阶方阵 记 A 的行向量为 α α α A 的列向量为 β β β 以下 命题互为充分必要条件 : 矩阵 A 可逆 A 即矩阵 A 非退化 方阵 A 满秩 A 的行向量 α α α 与列向量 β β β 均线性无关 齐次线性方程组 AO 没有非零解 线性方程组 A 有解 且解是唯一的 类似 以下命题互为充分必要条件 : 矩阵 A 不可逆 A 即 A 是退化矩阵 方阵 A 不满秩 A 的行向量 α α α 与列向量 β β β 均线性相关 齐次线性方程组 AO 有非零解 线性方程组 A 如果有解 则有无穷多组解 线性代数的一个显著特点是 : 同一个问题可以从多个角度来分析处理 例如 命题 如果 A 则线性方程组 A 有解 且解是唯一的 可以从以下几个角度论证 : 将方程组用 A 表示 由 A 矩阵 A 可逆 A - AA - A - 因 为可逆矩阵满足消去律 所以 A - 是唯一解 7

71 将方程组用 α α α β 表示 由 A α α α 线性无关 而 α α α β 线性相关 任意 个 维向量线性相关 β 可以被 α α α 唯一线性表出 即 A 有唯一解 A A 满秩 即 RA 而 RA A 有唯一解 A 只有 行 所以 RA 而 A 是 A 的一部分 而 RA 所以 RA ; RA 下一节我们还可以使用 克莱姆法则 证明这个命题 读者还可以试一试其它的方法 在一个 m 阶矩阵 A 中任取 k 行 k 列 其交叉点上的 k 个元素按照其原来相对位置构 成一个行列式 称为矩阵 A 的一个 k 阶子式 定理. A 的秩 RAr 的充分必要条件是 : 存在 A 的一个 r 阶子式不等于零 而所有 r 阶子式都等于零 证明 : 必要性 : 设 A m m m 如果 RAr 因为矩阵的秩等于行秩 所以 A 中存在 r 个线性无关的行向量 不妨设 前 r 行线性无关 则矩阵 A r r 的秩等于 r r 而矩阵的行秩等于列秩 所以 A 中存在 r 个线性无关的列向量 不妨设前 r 列线性无 关 则矩阵 A r r r r 满秩 A rr 任取 A 的 r 行 r 列 记这个子式为 A 考虑 A 中这 r 行所构成的 r 阶矩阵 A 因为 A 的行是 A 的行的一部分 所以 RA RAr 而 A 又是 A 的一部分 所 以 RA RA r 因此 A 由以上证明可以看出 如果 RAr 则所有大于 r 阶的子式都等于零 充分性 : 如果存在 A 的一个 r 阶子式不等于零 不妨设 A 的左上角 A r r r r rr 的行列式 A 则 A 满秩 RA r 而 A 是 7

72 A r r r 的一部分 所以 RA RA r A 又是 A 的一部分 所以 RA r 如果 RA r 由已经证明的定理的必要性 存在一个 r 阶子式不等于零 与已知 条件矛盾 所以 RAr 从证明可以看出 如果 RAr 一定存在 阶 阶 直至 r 阶的子式不等于零 而所有大于 r 阶的子式都等于零 因此这个定理说明 矩阵的秩等于矩阵中不等于零的子式 的最高阶数 例 7 证明 : 如果 D 则以 D 为增广矩阵的线性方程组无解 我们从两个不同的角度证明 : 证明 : 记 D 的列向量为 β β β 则以 D 为增广矩阵的线性方程组可以表示为 β β - β - β 因为 D 所以向量组 D{β β β } 线性无关 β 不能被 β β β - 线性表 出 方程组 β β - β - β 无解 证明 : 设 D 是 阶矩阵 因为 D 所以 RD 而方程组的系数矩阵只有 - 列 因此系数矩阵的秩 - 方程组无解 事实上可以证明系数矩阵的秩等于 - 但证明方 程组无解只需要其小于 即可 无须费事去证明其等于 - 例 8 证明如果矩阵 A 不可逆 则存在矩阵 B O 使 ABO 证明 : 设 B 的列为 β β β 记 Bβ β β 将 ABO 写作 Aβ β β Aβ Aβ Aβ 不难看到 如果 ABO 则 β β β 都是齐次线性方程组 A 的解 A 不可逆 则 A 有非零解 所以存在矩阵 B O 使 ABO 使 下面我们给出利用矩阵的标准形所做的另一个证明 : 因为 A 不可逆 所以 A 不满秩 设 RAr<A 是 阶矩阵 存在可逆矩阵 P Q I PAQ r I r AQP - 因为 所以 I r O AQ I P - r O 取 7

73 BQ 因为 Q 可逆 所以 BQ 而 ABO O 从证明过程可以看出 事实上并不要求 A 是方阵 只要 A 的秩小于 A 的列数 就存在 非零矩阵 B 使 ABO 于是得到一个充分必要条件 : 存在非零矩阵 B 使 ABO 或说 A 存在右零因子 的充分必要条件是 :A 的秩小于 A 的列数 同理得到 A 存在左零因子的充 分必要条件是 :A 的秩小于 A 的行数 请读者自证 从前面的讨论我们知道可逆矩阵的乘法没有零因子 满足消去律 上面的讨论说明如果矩阵不可逆则一定存在零因子 所以乘法没有零因子 满足消去律也是方阵可逆的充分必要 条件 7

74 7 第四节行列式的计算与按行 列 展开一 用初等变换计算行列式的值根据行列式的性质 利用初等变换将行列式化为三角形 然后计算对角线上元素的乘积 是一个常用的计算行列式的方法 在下面的例题中 我们不将所用的初等变换列出 只在后面做一些简要的说明 请读者自己分析 例 A 计算 A 解 : A 在化三角形行列式时要尽可能利用矩阵中原有的零 例 A 计算 A 解 : A -8 第一步 : 注意到行列式各行元素之和相等 将第 列都加到第一列 例 A 计算 A 解 :A

75 7 从第 行开始依次减上边一行 比 行都减第 行简单 二 行列式按行 列 展开 A 考察行列式的定义 : A τ 将上式按第一行的元素 集项 : A τ τ τ 其中第 k 项 : k k τ 中的 是 k-k 的一个排列 而 k k τ 中的全部 就是在 A 中划去第 行第 k 列元素后剩余元素做不同行不同列元素全部可能的乘积 如果不考虑符号 就是 A 中划去第 行第 k 列元素后剩余元素所构成的小行列式中的所有项 定义. 在 A 中划去第 行第 列元素后剩余元素按其原来相对位置构成的行列式称为 A 中元素 的余子式 记作 M - M 称为 的代数余子式 记作 A 考察 τ 中 τ 与 M 中对应项的符号

76 在 A 中 τ 所包含的一项 的列脚标为 而 M 中 的一项的列脚标为 - - 首先考察排列 与 显然两者的逆序数是相同的 而 - - 与 的逆序数也相同 所以 A 中 与 M 中 的符 号完全一致 因此 τ M - M A 由行列式的性质 A 比较 两式 不难发现 式的第 k 项就是 式中第 k 个行列式 因为 τ 所以 A 考察 τ 交换 的第 两列 得到 7

77 τ - M - M A 考察 τ - 将第 列与第 列交换 然后再将第 列与第 列交换 得到 : 所以 τ M - M A 注意此处不可以直接交换第 列 否则得到的不是 M 依此类推 因为 k 次化为 k k k k k k k τ - k- k 定理. k k 中的第 k 列可以依次与其左边的列交换 k- 而每一次交换两列行列式改变一次符号 所以 k k k - k- k M k k - k M k k A k A M - M M - M k - k M k - M 77

78 A A A k A k A k 称为行列式 A 按第一行展开 类似可以将行列式 A 按第一列展开 : A M - M M - k - k M k - M A A A A k k k A k k 将 A 的第 行与上边的行依次交换 - 次 可以将第 行置换到第一行 而其它行保持 原来顺序 所以 A - - 将等号右边的行列式按第一行展开 A [ M - M M - k - k M k - M ] [ - - M M - - M - k k M k M ] [ - M - M - M k - k M k - M ] A A A k k A k 称为行列式 A 按第 行展开 类似可以将行列式 A 按第 列展开 : A A A A k 例 k A k 解 :A 将本节例 中的行列式按第 行展开 A ;A - -;A -7 78

79 79 A A A A 例 将本节例 中的行列式按第 列展开 解 :A 因为 A 的第 列只有两个元素不等于零 所以 A A A A - ;A - - A -- 一般说来 将一个 阶行列式化为 个 - 阶行列式不一定能减少计算量 但是 如果行列式的某一行或一列有较多的零 按这一行或列展开行列式可以使计算简单 通常将初等变换与按行按列展开结合使用可以极大地减少计算量 例如例 可以如下计算 : A 例 计算 解 : 例 7 A 求 的值 使方程组 A 有非零解 并求其基础解系

80 8 解 : 根据题意 展开 A 为 : 得到齐次线性方程组 { 方程组的系数矩阵为 根据系数矩阵为方阵的齐次线性方程组的解与行列式的关系 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于 所以求 的问题等价于 : 求 的值 使行列式 - [--8] - 当 - 时 行列式等于 所以 当 - 时 方程组 A 有非零解 将 - 代入方程组 系数矩阵 : 基础解系 :v ;v 将 代入方程组 系数矩阵 : 8

81 基础解系 :v 此例中的系数矩阵可以用更简便的方法得出 : 将方程组 A 改写成 -AO 因为 是数乘矩阵运算 A 是矩阵乘法运算 所以 不可以直接提出 将 改写成 I 原方程组写作 I-AO 提出 化为 : I-AO I-A 即为其系数矩阵 例 8 计算 D 解 : 按第 列展开行列式 D D c c - c c c c c c - - 例 9 计算 c d c c d c c d c d c d c d c c d c 解 : - c - c c c c d c c c 例 求本节例 中矩阵的第 行元素的代数余子式与第 行元素的乘积之和 求本节例 中矩阵的第 列元素的代数余子式与第 列元素的乘积之和 解 : A 8

82 A ; A - -; A -7 A A A --7 A A - ; A -; A - -; A A A A A 注意上面两例结果都等于 是巧合还是必然? 这两个例子都是求一行 列 元素与另 外一行 列 元素的代数余子式的乘积之和 让我们来分析一下 : 第 个例子中的第 行元 素与第 个例子中的第 列元素在计算中都没有出现 它们只是提供了求代数余子式的位置 在第 个例子中 第 行元素将它们的位置让给了第 行元素 第 行元素的代数余子式与 第 行元素的乘积之和等于将第 行元素换成第 行元素 然后按第 行展开 这相当于将 行列式 按第 行展开 根据行列式的性质 这个结果必然为 同理 第 个例子中的第 列元素的代数余子式与第 列元素的乘积之和相当于行列式 按第 列展开 结果也必然等于 综合上面的讨论 得到如下结论 : 矩阵的一行 列 与本行 列 的代数余子式的乘积 之和等于这个矩阵的行列式 ; 矩阵的一行 列 与其它行 列 的代数余子式的乘积之和等 于 定理. 矩阵 A 中 的代数余子式为 A A k A k A k A { A k k ; k A l A l A l A { A l l l 这个定理可以用矩阵乘法表示为 : 8

83 8 k k k A A A { A k k A l A l A l { A l l 下面是这个定理的两个应用 例 伴随矩阵 矩阵 A A A A A A A A A 称为矩阵 A 的伴随矩阵 记作 A * 其中 A 是 A 中元素 的代数余子式 注意 A * 中 A 的排列方法 利用定理. 不难验证 AA * A * A A A A 如果 A 则 A - A - A * 此处又一次看到 如果 A 则 A 可逆 例 克莱姆法则 如果 A 则线性方程组 A 有唯一一组解 A A A A A A 其中 A k 为将常数项列 取代系数矩阵行列式 A 的第 k 列所得到的行列式 证明 : 记矩阵 A 的第 列为 α α 矩阵 Aα α α A k α α α k- α k- α 方程组 A 可以写成 α α α α 用 A 的第 k 列元素的代数余子式 A k A k A k 依次乘以每一个方程然后相加 即

84 A k A k A k α A k A k A k α A k A k A k α A k A k A k α A k A k A k 根据定理. A k A k A k α A k A k A k 所以 式等号左边只剩下一项 : A { k k k A k A k A k α k A k A k A k k k 而 A k A k A k α k A k A k A k k A 等式右边 A k A k A k A k A k A k α α α k- α k α A k 式即为 A k A k A 因为 A 所以 k k A 这个结论称为克莱姆 Crmer 法则 为了给读者多一些机会熟悉矩阵与向量的运算 在这个证明中我们有意识地使用了运算 的简略表示 读者可以写出线性方程组的完整形式 依次在第 个方程的两边乘 以 A k A k A k 然后相加 按每一个未知数 k 集项 利用定理. 即可得出结论 例 V 证明 :V 称为范德蒙 Vdermode 行列式 Π < 证明 : 对行列式的阶数 使用数学归纳法 当 时 - 8

85 8 结论成立 假设结论对 - 成立 从 V 的最后一行开始 依次减去上一行的 倍 行列式化为 V 提出各列的公因子 得到 V 根据归纳法假设 V Π < Π <

86 8 练习三一 A B d c d c d c P 是初等矩阵计算 : PA BP PA BP PkA BPk 二 全部 m 阶矩阵按等价关系分类 可以分成多少类? 每类的标准形是什么? 三 将下列矩阵化为标准形 并求其秩 四 证明 : 第一种初等变换可以用第二 三种初等变换的组合替代 五 A 构造一个秩尽可能高的矩阵 B 使 ABO 六 如果矩阵 A 的秩等于 A 的行数 则称 A 为行满秩的 如果矩阵 A 的秩等于 A 的列数 则称 A 为列满秩的 以下性质是可逆矩阵性质的推广 若 ABO 证明 : 如果 A 是列满秩的 则 BO; 如果 B 是行满秩的 则 AO 证明 :A 列满秩的充分必要条件是 : 存在一个矩阵 B 使 ABI 并且 B 是行满秩的 B 行满秩的充分必要条件是 : 存在一个矩阵 A 使 ABI 并且 A 是列满秩的 七 判断下列矩阵是否可逆 若可逆 求其逆 ; ; 八 用初等变换求解下列矩阵方程 A ;B AXB;YAB 求 AB A B AXB 求 X A B I-B - AC T B - 求 C

87 87 A B AXBX 求 X X 求 X 九 用求逆矩阵的方法求练习一第 题线性替换的反变换 十 证明 :A 为非退化的线性替换 并求其反变换 A 十一 A 如果 > 称为 对角优势 则 A 可逆 十二 计算下列行列式 ; ; 阶 十三 A k 存在非零矩阵 B 使 ABO 求 k 十四 A 是 阶方阵 { -

88 A 证明 :AA * A * A 求 A * A A 证明 : 如果 A 可逆 则 A * 也可逆 并求 A * - 如果 RA- 则 RA * 如果 RA<-A * 是零矩阵 求 A * * 十五 如果 阶方阵 A 不可逆 证明 A A A T 是 AO 的解 十六 如果 A 而 A 中有一个元素 的代数余子式 A 则齐次线性方程组 AO 的全部解为 ca A A c 取遍全体实数 十七 如果 可逆 证明 :A k A k A k krr 是方程组 { r r r 的基础解系 A k 是 k 的代数余子式 十八 是平面直角坐标系上的 个点 其中 各不相同 证明 : 存在唯一一个 次多项式 P 使 P 即经过自变量各不相同的 个点确定一条多项式曲线 十九 证明矩阵方程 AXB 有解的充分必要条件是 B 的列是 A 的列的线性组合 88

89 第四章 矩阵的相似标准形 本章讨论矩阵等价的一种特殊情形 即方阵的相似 相似可用于简化计算 而且由于相似矩 删除的 阵有许多共同的性质 它的应用是很广泛的 本章研究的中心问题是 对于一个给定的方阵 A 能 否找一个最简单的矩阵和 A 相似? 这个矩阵是什么样的? 怎样找? 这就是矩阵的相似标准形问 题 解决这个问题的关键是矩阵的特征值与特征向量 第一节特征值与特征向量 在许多工程技术领域与经济理论及其应用的研究中 经常需要讨论有关矩阵的特征值与特征向量问题 如 振动问题和稳定性问题 以及数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组等问题 都要用到特征值与特征向量的 理论 下面将对这一问题进行初步探讨 有关结果在动态经济模型 计量经济学等领域有广泛的应用 一 特征值与特征向量的概念 定义. 设 A 是一个 阶方阵 如果存在一个实数 及非零向量 v 使得 Avv. 则称数 为方阵 A 的一个特征值 称非零向量 v 为方阵 A 的对应 属 于特征值 的特征向量 例如 设 A 对于 v 有 Av v 所以 是 A 的一个特征值 v 是对应于 的特征向量 对于 v 有 Av v 所以 v 也是对应于 的特征向量 对于 v 有 Av - -v 所以- 是 A 的又一个特征值 是 A 的对应于 - 的特征向量 从以上例子可以看出 对于给定的方阵 A 可以有几个不同的特征值 ; 对应于同一个特征值的特征向量也不止一个 事实上 若 v 是 A 的对应于 的特征向量 则 kvk 也是 A 对应于 的特征向量 因为 Akv kavkvkv 同理 若 v v 是 A 的对应于 的两个特征向量 则 v v 也是 A 的对应于 的特征向量 因为 Av v Av Av v v v v 显然v v 的线性组合 k v k v 也是 A 的对应于 的特征向 89

90 量 这里 k k 不同时为零 二 特征值与特征向量的求法 由. 式 得到 : I-AvO 即 由于齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零 所以 O. I A.. 左边行列式展开后是一个关于 的一元 次多项式 称为方阵 A 的特征多项式 ; 称. 式为方阵 A 的特征方程 显然 是方阵 A 的特征值的充要条件是 I A 所以由 I A 求出的全部根 称为 A 的特征根 就是方阵 A 的全部特征值 若 是方阵 A 的一个特征值 即 Av v 或 I A vo 若此 方程组的基础解系为 v v v s 那末 v k v k v k s v s 是 A 的对应于 的全部特征向量 其中 k 是不全为零的任意常数 例 求矩阵 A 的特征值和特征向量 其中 k ks A A A 解 : 第一步 : 求 A 的特征值 因为 I A -7 所以 A 的特征值为 7 第二步 : 求 A 的特征向量 对于 对应的齐次线性方程组为 它的基础解系是 v 故 k k 是 A 对应于 - 的全部特征向量 9

91 同理 对于 7 对应的齐次线性方程组为 它的基础解系是 v 故 k k 是 A 的对应于 7 的全部特征向量 第一步 : 求 A 的特征值 因为 I A 所以 A 的特征值为 二重根 第二步 : 求 A 的特征向量 对于 对应的齐次线性方程组为 它的基础解系是 v 故 k k 是 A 的对应于 的全部特征向量 对于 对应的齐次线性方程组为 它的基础解系是 v 故 k k 是 A 的对应于 的全部特征向量 第一步 : 求 A 的特征值 因为 I A 所以 A 的特征值为 二重根 9

92 第二步 : 求 A 的特征向量 对于 对应的齐次线性方程组为 它的基础解系为 v 故 k k 是 A 的对应于 的全部特征向量 对于 对应的齐次线性方程组为 它的基础解系为 v v 故 k k k k 不全为零 是 A 的对应于 的全 部特征向量 三 特征值与特征向量的性质 性质 阶矩阵 A 与它的转置矩阵 A T 有相同的特征值 证明 : 设 是 A 的特征值 欲证 也是 A T 的特征值 只要证明 A 与 A T 有相同的特征多项式即可 因为 T T T T I A I A I A I A 所以 A 与 A T 有相同的特征多项式 从而它们有相同的特征 值 性质 A 的两个不同的特征值 所对应的特征向量 v 与 v 必线性无关 证明 : 用反证法 若 v 与 v 线性相关 不妨设 v kvk 由 Av v 可得 k k k A 消去 k 即得 Av v 又由于 Av v 两式相减得 由此得 或 但已知 且 v 是非零向量 故得矛盾结果 结论得证 注 : 此结论可以推广为 : 方阵 A 的不同特征值所对应的特征向量是线性无关的 性质 设 A 是 阶方阵 则 矩阵 A 的 个特征值之和等于 A 的 个对角线元素之和 即 9

93 矩阵 A 的 个特征值的乘积等于 A 的行列式的值 即 A 注 : 称 A 的主对角线元素之和 A 的迹 ;A 的 个特征值之积等于 A 的行列式 A 是 A 的一个特征值当且仅当 A 为 A 的迹 记为 tra A 的 个特征值之和等于 性质 设 阶方阵 A 可逆 是 A 的特征值 则 - 是 A - 的特征值 证明 : 因 A 可逆 所以 A 又 是 A 的特征值 故 且有 维向量 v 使 Avv 于是 - Avv 用 A - 同时左乘上式两边得 A - v - v 又 v 知 - 是 A - 的特征值 9

94 9 第二节相似矩阵对角形矩阵是最简单的矩阵 那么任意矩阵具备什么条件才与对角形矩阵相似呢? 这就是本节主要讨论的问题 一 相似矩阵的概念定义. 设 AB 是两个 阶方阵 若存在可逆矩阵 P 使得 P - APB 则称 A 相似于 B 记为 A~B 例如 对于 阶方阵 A B 存在可逆矩阵 P 使得 P - AP B 所以 A~B 即 与 相似 二 相似矩阵的性质 反身性 A~A 对称性若 A~B 则 B~A 传递性若 A~B B~C 则 A~C 若 A~B 则 A B 证明 : 因为 A~B 所以存在可逆矩阵 P 使得 P - APB 从而 P - AP B 又 P - AP P - A P 故 A B 若 A~B 则 B I A I 即 : 相似矩阵有相同的特征多项式 从而有相同的特征值 证明 : 因为 A~B 所以存在可逆矩阵 P 使得 P - APB 于是 A I A P I P AP I P AP P I B I 注 : 有相同特征值的两个 阶方阵不一定相似

95 例如单位矩阵 I 与矩阵 A 有相同的特征值 二重根 但 A 与 I 不相似 因为单位 矩阵只能与单位矩阵相似 若 A~B 则 RARB 7 若 A~B 且 A 可逆 则 B 也可逆 且 A - ~B - 证明 : 因为 A~B 所以存在可逆矩阵 P 使得 P - APB 若 A 可逆 由于可逆矩阵的乘积仍可逆 故 B 也可逆且 B P A P 所以 A - ~B - 三 矩阵的对角化由于相似的矩阵有不少共同的性质 对于给定的 阶方阵 A 自然希望找一个既简单又便于计算的与 A 相似的矩阵 这样只要研究这个形状简单的矩阵 就可了解到 A 的不少性质 对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种 那么是否任一个矩阵 A 都能相似于一个对角矩阵 或者说具有什么性质的矩阵会和对角矩阵相似? 下面讨论这个问题 如果方阵 A 与一个对角矩阵相似 就说 A 是可对角化的 定理. 阶方阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是 A 有 个线性无关的特征向量 证明 : 必要性 : 因为 A~ 所以存在可逆矩阵 P 使得 P - AP Ο 则 P 的列向量组 v v v 线性无关 因为 P 可逆 于是 APAv v v v v v 从而有 Av v 即 APP 令 P 因为 v 故 为 A 的特征值 v 为 A 对应于 的特征向量 所以 A 有 个线性无关的特征向量 它们恰好是可逆矩阵 P 的列向量组 充分性设 A 有 个线性无关的特征向量 v v v 它们分别对应于特征值 即有 Av v 即 Av v v v v v 9