第一节

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款盾任
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1 楚雄师范学院经济与管理学院教案 ~ 学年第学期线性代数学院部教研室授课教师课程名称课程学时经济与管理学院工商管理教研室张无畏线性代数学时实验学时教材名称线性代数年月 6 日

2 楚雄师范学院经济与管理学院教案 ~ 学年第学期教研室实验室 ) : 工商管理教研室课程名称 : 线性代数授课班级 : 级信息管理与信息系统主讲教师 : 张无畏职称 : 教授使用教材 : 云南省优秀教材 : 线性代数经济与管理学院制

3 教案首页授课专业信息管理与信息系统授课班级级学生人数课程学时总学时 : 理论学时 : 实验学时 : 上机学时 : 课程类型理论课实验课上机课 ) 课程学分授课周数考核方式闭卷考试使用教材统编教材自编教材或讲义书名作者出版社出版时间教材线性代数张无畏高等教育出版社年月线性代数第版 ) 同济大学数学系高等教育出版社 7 年教学参考用书张禾瑞高等代数第版 ) 高等教育出版社年郝鈵新线性代数第版 ) 赵树嫄中国人民大学出版社 8 年数学基础过关 66 题李永乐西安交通大学出版社年教学媒体资源线性代数网站张无畏等校园网学习规范要求一 ) 课前必须认真预习, 培养自学能力二 ) 重视听课, 记好课堂笔记三 ) 课后深入复习, 及时掌握所学的知识四 ) 要多做习题, 按时完成作业五 ) 考前复习应对考试六 ) 养成良好习惯, 志在必得

4 线性代数课程教案授课时间第周星期一第 - 节课次第讲授课方式课时理论课讨论课实验课习题课其他课时请打 ) 安排授课题目教学章节或主题 ): 课程基本情况介绍第一章行列式. 二阶三阶行列式. 阶行列式教学目的要求 : 掌握行列式概念, 熟练准确地进行行列式的计算教学重点及难点 : 教学重点 : 二三阶行列式, 行列式的计算教学难点 : 行列式计算的技巧课程基本情况介绍第一章行列式引子. 二阶三阶行列式. 阶行列式教学内容 :. 总体要求较为详细介绍线性代数所包括的主要内容学习要求等课程的基本情况, 着重讲解二三阶行列式及其计算. 具体实施从引子出发, 在课堂教学中, 通过回顾线性代数的发展背景, 引出线性代数的主要内容特点和发展趋势, 再通过大量实例的讲解, 使学生对行列式有一个初步的认识作业讨论题思考题 : 第一章习题一一二三四 :) )) 填表说明 :. 每项页面大小可自行添减, 每课时写一份上述格式教案

5 教学时数的分配各教学环节的分时分配课程教学内容时数第一章行列式 8 第二章矩阵第三章线性方程组第四章特征值与特征向量第五章二次型总计

6 引子员工有多少? 8 年, 由于美国的次贷危机引发了全球的金融危机, 不少企业不得不减薪裁员. 某企业的员工分为经理和普通员工两类, 其月薪分别为千元和千元, 企业每月工资支出 6 万元, 因金融危机影响经营状况, 为将月工资支出减少至 9 万元, 企业决定将经理的月薪降至千元, 并裁减普通员工三分之一, 问裁了多少员工? 同类型的企业, 一般的算法如何呢? 第一章行列式线性代数的一个主要部分就是线性方程组, 而研究线性方程组时最早得到完美结果的数学工具就是行列式. 本章主要讨论阶行列式的定义性质及计算方法, 进而介绍用行列式求解一类特殊线性方程组的克拉默 Crmer) 法则.. 二阶与三阶行列式一二阶行列式用消元法解二元线性方程组 ) ) ) :, ) :, 两式相减消去, 得 : ), 类似的消去, 得 : ),

7 当时, 方程组的解为, 为便于记忆上述结果, 我们引入二阶行列式. 定义. 我们用记号表示代数和, 称为二阶行列式, 它由个数组成, 其中,=,) 称为行列式的元素, 行列式实质是一个数, 即 = 二阶行列式表示的代数和, 可以用下图画线的方法对角线法则 ) 记忆, 即 : 实线主对角线 ) 联结的两个元素的乘积减去虚线反对角线 ) 联结的两个元素的乘积 - + 图 - 如 ) 若记., 则二元线性方程组的解为,. 注意 : 分母都为原方程组的系数行列式 6

8 例. 求解二元线性方程组,. 解 ) 7,,, 7, 7. 二三阶行列式定义. 我们用记号表示代数和称为三阶行列式, 即 = = 三阶行列式表示的代数和, 也可以用下图画线的方法记忆, 其中各实线连结的三个元素的乘积是代数和中的正项, 各虚线连结的三个元素的乘积是代数和中的负项图 - 注意 : 实线上三元素的乘积冠以正号, 虚线上三元素的乘积冠以负号 7

9 说明 :. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.. 三阶行列式包括! 项, 每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积, 其中三项为正, 三项为负. 例. 计算三阶行列式解按对角线法则, 有 ) ) ) ) ) ) ) ) 6 8. 例., 满足什么条件时有解若要, 则与须同时等于零. 因此, 当 =,= 时, 给定行列式等于零. 利用三阶行列式求解三元线性方程组如果三元线性方程组,, ; 的系数行列式, 若记,,. 则三元则线性方程组的解为,,. 例. 解线性方程组 8

10 ,,. 解由于方程组的系数行列式同理可得,,,, 故方程组的解为 :,,.. 阶行列式一级排列逆序逆序数 s t. 级排列定义. 由个不同数码,,, 组成的有序数组称为一个级排列. 例如, 及都是级排列, 是一个级排列.. 逆序定义. 在一个级排列中, 如果有较大的数 t 排在较小的数 s 前面 ), 则称 t 与 s 构成一个逆序. 例如, 排列中, 在前面, 在前面, 在前面, 共有个逆序.. 逆序数定义. 一个级排列中逆序的总数, 称为它的逆序数, 记为 N ) 例如, 排列中, 在前面, 在前面, 在前面, 共有个逆序, 即 N=.. 排列的奇偶性 9

11 逆序数为偶数的排列称为偶排列 ; 逆序数为奇数的排列称为奇排列. 例. 求排列的逆序数. 解,,,, 共有个逆序, 即 N)=. 例. 求排列 ) ) 的逆序数. 解 N ) ) ) ) 当 k,k 时为偶排列 ; 当 k,k 时为奇排列.. 对换 ) 定义.6 在一个排列 s t 中, 如果仅将它的两个数码 s 与 t 对调, 得到另一个排列, ). t s, 这样的变换, 称为一个对换, 记为 s t 例如, 对排列施以对换,) 后得到排列. 定理. 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变. 证 ) 显然对换相邻的两个数码奇偶性改变. ) 一般情形, 设排列 k k k s 经过对换,) 变为新排列 k k k s. 这个变换可以按如下方法完成 : 与前面 s 个数码逐个对换, 然后与后面 s 个数码逐个对换. 按上述方法, 总共进行了 s + 次相邻数码的对换, 因为相邻数码的对换的次数为奇数, 所以最后得到的排列与原排列的奇偶性不同. 定理. 个数码 >) 共有! 个级排列, 其中奇偶排列各占一半. 证级排列的总数为 : -) =!, 设其中奇排列为 p 个, 偶排列为 q 个. 设将每一个奇排列都施以同一的对换, 例如都对换,), 则由定理. 可知 p 个奇排列全都变为偶排列, 于是有 p q; 同理如将全部偶排列都施以同一对换, 则 q 个偶排列全都变为奇排列, 于是有 q p, 所以得出 p =q, 即奇偶排列数相等, 各为! 个. 如果次产业所占的百分比大于 B 次产业所占的百分比大于 C 次产业所占的百分比, 其中,, B, C = { 一, 二, 三 }, 那么, 我们称此时呈现的三次产业结构为 BC. 这样一来, 经济发展中三次产业结构所呈现的形式就是一个三级排列. 我们易得

12 命题. 三次产业结构所呈现的形式共有 6 种, 它们分别是一二三一三二二一三二三一三一二和三二一. 命题. 根据排列组合及对换的数学原理我们有如下三次产业结构变动图图 -): 三二一二三一三一二二一三一三二一二三图 - 三次产业结构变动图命题. 假设某产业结构为 BC, 其中,B, C ={ 一, 二, 三 }, B C 次产业的增长率分别为 c, B C 次产业的总量分别为 B C, 则当 B > B 或 cc B > B C 时, 产业结构发生变动 ; 否则, 产业结构不发生变动, 只是量的变化. 二阶行列式的定义观察二阶行列式和三阶行列式 : = = ) 二阶行列式表示所有不同的行不同的列的两个元素乘积的代数和. 两个元素的乘积可以表示为为级排列, 当取遍了所有级排列,) 时, 即得到二阶行列式的所有项不包含符号 ), 共为!= 项.

13 三阶行列式表示所有不同的行不同的列的三个元素乘积的代数和. 三个元素的乘积可以表示为为级排列, 当含符号 ), 共为!= 6 项. 取遍了所有级排列时, 即得三阶行列式的所有项不包 ) 每一项的符号是, 当这一项中元素的行标按自然数顺序排列后, 如果对应的列标构成的排列是偶排列则取正号, 是奇排列则取负号. 如在上述二阶行列式中, 当 N ) 为偶数时, 取正号, 为奇数时取负号 ; 在上述三阶行列式中, 当 N ) 为偶数时取正号, 为奇数时取负号. 根据这个规律, 可给出阶行列式的定义. 定义.7 由个元素,,,, ) 组成的记号称为阶行列式, 其中横排称为行, 纵排称为列. 它表示所有能取自不同的行不同的列的个元素乘积的代数和, 各项的符号是 : 当这一项中元素的行标按自然数顺序排列后, 如果对应的列标构成的排列是偶排列则取正号, 是奇排列则取负号. 因此, 阶行列式所表示的代数和中的一般项可以写为 N ) ) ) 其中构成一个级排列, 当取遍所有级排列时, 则得到阶行列式表示的代数和中所有的项. 即其中表示对所有的级排列求和. 一阶行列式就是. = N ) )

14 例. 试判断 66 和 66是否都是六阶行列式中的项. 解因为 66 下标的逆序数为 N 6 6 所以 66 是六阶行列式中的项. 因为下标的逆序数为 N 6 8 所以 66 不是六阶行列式中的项. 例解用行列式定义计算行列式 N ) ) N ) 例证明对角行列式 ;. 证第一式是显然的, 下面证第二式若记, 则依行列式定义, ), N ) ),

15 N., 例 6 计算阶行列式 = 的值, 其中,,,, ). 解记行列式的一般项为 ) N ) 中有很多项为零, 现在考察有哪些项不为零. 一般项中第一个元素取自第一行, 但第一行中只有不为零, 因而 =, 即中只有含的哪些项可能不为零, 其它项均为零 ; 一般项中第二个元素取自第二行, 第二行中有和不为零, 因第一个元素已取自第一列, 因此第二个元素不能再取第一列, 即不能取, 所以第二个元素只能取, 从而 =, 即中只有含的哪些项可能不为零, 其它的项均为零, 这样推下去, 可得 =, =,, =. 因此, 中只有这一项不为零, 其它项均为零. 由于 N )=, 因此这一项应取正号, 于是可得 = = 我们称上面的行列式为下三角行列式. 同理可得上三角行列式 = = 阶行列式定义中决定各项符号的规则还可由下面的结论来代替 : 其中,,, )

16 定理. 阶行列式 = 的一般项可以记为 N ) N ) ) ) 其中与证因为的行不同的列. 均为级排列. 与均为级排列, 所以上式中的个元素是取自的不同如果交换 ) 式中的两个元素 s s 与, 则其行标排列由 s t 换为 t t 换为 t s, 由定理. 可知其逆序数奇偶性改变, 列标排列由 s t t s, 其逆序数奇偶性亦改变, 故对换后两下标排列逆序数之和的奇偶性不改变, 即 ) ) N s t ) N s t ) N t s ) N t s ) 所以, 交换 ) 式中元素的位置, 其符号不改变. 这样, 我们总可以经过有限次交换 ) 式中元素的位置, 使其行标换为自然数顺序排列, 设此时列标排列变为 k k k, 则 ) 式变为 ) N ) N kk k ) k k k k = ) N kk k ) k k k k 上式结果即为定义中的一般项, 也就是说的一般项可以记为 ) 式的形式. N k ) N ) 例 7. 若 ) k 是五阶行列式的项, 则,,k 应为何值? 此时该项的符号是什么? 解由行列式的定义, 每一项的元素取自不同的行不同的列, 故有 =, 且 = 时 k=, 或 = 时 k=. 当 =,=,k= 时,N ) +N)=+6=9, 该项的符号是负号. 即为的一项. 当 =,=,k= 时,N ) +N)=+6=6, 该项的符号是正号. 即为的一项.

17 线性代数课程教案授课时间第周星期五第 - 节课次第讲授课方式请打 ) 理论课讨论课实验课习题课其他课时安排课时授课题目教学章节或主题 ): 教学目的要求 : 第一章行列式. 行列式的性质掌握行列式性质, 熟练准确地应用行列式的性质进行行列式的计算教学重点及难点 : 教学重点 : 行列式性质, 行列式的计算教学难点 : 行列式计算的技巧教学内容 : 课程基本情况介绍第一章行列式. 行列式的性质行列式及其推论例例作业讨论题思考题 : 第一章习题一一二三四 :) 8), ), )) 填表说明 :. 每项页面大小可自行添减, 每课时写一份上述格式教案 6

18 . 行列式的性质 T 将行列式的行与列互换后得到的行列式, 称为的转置行列式, 记为或. 即如果, 则 T 对元素来说, 中的在中为. 性质将行列式转置, 行列式不变. 即 = T 因此, 与是具有相同项的行列式, 所以 = T. 由此性质可知, 行列式的行具有的性质, 它的列也具有相同的性质. 性质交换行列式的两行列 ), 行列式变号. 推论如果行列式中有两行列 ) 的对应元素相同, 则此行列式为零. 因为将行列式中具有相同元素的两行互换其结果仍是, 但由性质可知其结果应是, 因此 =, 所以 =. 性质用数 k 乘行列式的一行列 ), 等于以数 k 乘此行列式. 即, 如果设 = T, 则 k k k k k 推论一个行列式若有一行或一列 ) 中的元素皆为零, 则此行列式必为零. 推论如果行列式某行列 ) 的所有元素有公因子, 则公因子可以提到行列式外面. 推论如果行列式有两行列 ) 的对应元素成比例, 则行列式等于零. 因为由推论可将行列式中这两行列 ) 的比例系数提到行列式外面, 则余下的行列式有两行列 ) 对应元素相同, 由性质可知此行列式为零, 所以原行列式为零. 性质如果将行列式中的某一行列 ) 的每一个元素都写成两个数的和, 则此行列式可写成两个行列式的和, 这两个行列式分别以这两个数为所在行列 ) 对应位置的元素, 其它位置的元素与相同. 即如果 7

19 , 则 = +. 推论如果将行列式的某一行列 ) 的每个元素都写成 m 个数 m 为大于的整数 ) 的和, 则此行列式可写成 m 个行列式的和. 性质将行列式某一行列 ) 的所有元素同乘以数 k 后加于另一行列 ) 对应位置的元素上, 行列式的值不变. 例如 : 6, = =6 6 利用行列式的性质计算行列式, 可以使计算简化, 下面举例说明. 例. 计算行列式 6 8 解因为第一列与第二列对应元素成比例, 根据性质的推论得 6 8 = 6 例. 设, 求? 解 6 8

20 9 ) 计算行列式时, 常用行列式的性质, 把行列式化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是 : 如果第一列第一个元素为, 先将第一行与其它行交换, 使第一列第一个元素不为 ; 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行, 使第一列除第一个元素外其余元素全为 ; 再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式 ; 依次作下去, 直至使它成为上三角形行列式, 这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值. 例. 计算行列式解 = = = = 6 = ) - ) - ) - )

21 例. 计算阶行列式解观察行列式, 每一行只有一个而有个, 于是将第列, 第列,, 第列分别乘以加到第列, 得 ) ) ) ) ) ) ) ) 例. 计算行列式解从,,,+ 列分别提,,

22 ) ) ) 将第,,, 都加到第一列得 ) ) ) ) )

23 线性代数课程教案授课时间第周星期一第 - 节课次第讲授课方式请打 ) 理论课讨论课实验课习题课其他课时安排课时授课题目教学章节或主题 ): 教学目的要求 : 第一章行列式. 行列式按行列 ) 展开掌握行列式的余子式和代数余子式等概念, 熟练掌握行列式的展开定理定理. 定理.), 并应用其进行行列式的计算教学重点及难点 : 教学重点 : 掌握行列式的余子式和代数余子式等概念, 熟练掌握行列式的展开定理教学难点 : 行列式展开定理及计算的技巧教学内容 : 课程基本情况介绍第一章行列式引子. 行列式按行列 ) 展开行列式的余子式和代数余子式等概念定义.8 定理. 定理. 例例定义.9 定理.6 例作业讨论题思考题 : 第一章习题一五

24 . 行列式按行列 ) 展开一行列式按某一行列 ) 展开定义.8 在阶行列式中去掉元素所在的第行和第列后, 余下的 - 阶行列式, 称为中元素的余子式, 记为 M. 即 M 的余子式 M 前添加符号 ), 称为的代数余子式, 记为. 即 = M ) 例如, 四阶行列式中, 的代数余子式是 ) M 的代数余子式是 ) M 定理. 阶行列式等于它的任意一行列 ) 的各元素与其对应代数余子式乘积的和, 即 =,,,)

25 或 =,,,) 定理. 阶行列式的某一行列 ) 的元素与另一行列 ) 对应元素的代数余子式乘积的和等于零, 即 s s s s ) 或 t t t t ) 综合定理. 和定理. 得 : s s s s s s 或 t t t t t t 例. 计算行列式 7 7 解按第一行展开, 得 7 ) 7 ) ) 7 7 ) =6++=7 按第二行展开, 得 7 ). 7 例. 计算行列式 7 解 7

26 7 = 例. 设有阶行列式 8. 6 =7 求和的值, 其中是的代数余子式. 解将行列式按第行展开得 7 ) ) 7 ) 将第行元素乘以第行元素的代数余子式求和, 得 ) ) ) 解由 ),) 组成的方程组, 得 9 8 例证范德蒙行列式 ) 这里记号表示全体同类因子的乘积. 证我们对阶数作数学归纳法来证明范德蒙行列式的结论. 当阶数时,, 结论成立.

27 设当阶数等于时, 结论成立. 当阶数等于时, 将的第行的倍加到第行, 第行的倍加到第行,, 依此类推, 最后将第行的倍加到第行, 得到 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) * 二行列式的 Lplce 展开定理定义.9 在阶行列式中, 任意选定 k 行 k 列 k ), 位于这些行和列的交叉点处的 k 个元素依原顺序组成的一个 k 阶行列式 M, 称为行列式的一个 k 阶子式. 在行列式中划去这 k 行 k 列后余下的元素依原顺序组成的一个 k 阶行列式 M, 称为 k 阶子式 M 的余子式. 注 :) 由定义可知, M 也是 M 的余子式. 所以 M 和 M 可以称为行列式中一对互 6

28 余的子式. ) 如果在行列式中选定第,,, k k ) 行和第,,, k ) 列, 则所得的 k 阶子式记为 k M ), 称 k k N M k k ' k k k ) ) ) k 为 k 阶子式 M 的代数余子式. k ) k 定理.6Lplce) 设在阶行列式中, 任意选定了 k 行 k ), 则由这 k 行元素组成的一切 k 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式, 即 MN M N MtNt 其中 M, M,, M t 是行列式中选定的 k 行元素所组成的一切 k 阶子式, N, N,, N t 是它 k 们对应的代数余子式, t C. 注 :Lplce 定理特别适于有零块的行列式. 例. 用 Lplce 定理计算行列式解如果选该行列式的后两行或前两列 ), 可以看出只有子式 M, 其代数余子式为 ) ) ' ' N ) M M M N ) 7

29 线性代数课程教案授课时间第周星期一第 - 节课次第讲授课方式请打 ) 理论课讨论课实验课习题课其他课时安排课时授课题目教学章节或主题 ): 第一章行列式. 克拉默法则教学目的要求 : 熟练掌握克拉默法则教学重点及难点 : 教学重点 : 克拉默法则教学难点 : 熟练掌握克拉默法则教学内容 : 第一章行列式根据作业情况进行习题订正和讲解. 克拉默法则定理.7 克拉默法则 ) 例定理.8 例例第一章小结由同学完成 ) 作业讨论题思考题 : 第一章习题一剩余的习题填表说明 :. 每项页面大小可自行添减, 每课时写一份上述格式教案 8

30 . 克莱姆法则我们已经知道二元一次方程组当时, 其解为,. 设,,, 则, ). 三元一次方程当时,,, ). 其中,,,. 含有个未知数个方程的线性方程组的一般形式为 *) 定理.7 克莱姆法则 ) 如果线性方程组 *) 的系数行列式不等于零, 即, 那么, 方程组 *) 有唯一解 9

31 ,,, ), 其中,,, ) 是把系数行列式中第列的元素,,, 对应地换为方程组的常数项,,, 后所得到的阶行列式. 证以行列式的第,,, ) 列的代数余子式,,, 分别乘以方程组的第, 第,, 第个方程, 然后相加, 得 ) ) ) ), 由定理., 的系数等于, ss) 的系数等于零. 等号右端等于的第列元素以常数项,,, 替换后的行列式, 即,,, ), 如果方程组有解, 则其解必满足, 而当时, 方程组只有形如,,, ) 的解. 另一方面, 将,,, ) 代入方程组, 容易验证它满足方程组, 所以,,, ) 是方程组的解. 综上所述, 当方程组的系数行列式时, 方程组有且仅有唯一解,,, ). 例. 解线性方程组. 解计算行列式,,,

32 ,, 所以,,, 是所给方程组的解. 方程组 *) 的常数项均为零, 即, **) 则称此方程为齐次线性方程组. 定理.8 如果齐次线性方程组 **) 的系数行列式, 则它仅有零解. 这是因为, 一方面方程组有唯一解, 另一方面的第列的元素都是零, 所以, 从而,,, ). 例判定齐次线性方程组是否仅有零解. 解因为, 所以方程组仅有零解. 例求解本章引子里的问题. 解设该企业经理员工分别有人, 依题意得 6 9,, 原方程组有唯一解, 6 9, 6 9

33 所以, 即该企业原有经理人, 普通员工人, 将裁减普通员工人. 一般地, 某企业的员工分为经理和普通员工两类, 其月薪分别为元和元, 企业每月工资支出元, 因某种原因影响经营状况, 为将月工资支出减少至万元, 企业决定将经理的月薪降至千元, 并裁减普通员工 k%, 设 k%), 则裁员后需付普通员工的工资额合计为, 于是, 当 = 时, 其解为经理有人, 普通员工有, 所裁普通员工为 k%. 例如果下列齐次线性方程组有非零解,k 应取何值? k. k ) k 解 k k k k k 8kkk)k). 如果方程组有非零解, 则, 即 k.

34 一填空题习题一. 已知阶行列式, 则 s).. 当时. s s s. 的充分必要条件是.. 当, 满足条件 k y z. 如果齐次线性方程组 ky z y z k y z 6. 如果齐次线性方程组 ky z y z 7.N8679)=. 时, 行列式. 有非零解, k 应为. 仅有零解, k 应为. 8. 已知 6k是六阶行列式中带负号的项, 则 =,k=. 9. 若 =. 则 = =.. 设,, 是方程 p q 的三个根, 则行列式. 行列式 = 已知 f ), 则的系数 =. =.

35 . 设阶行列式 c d, 则 =. d c c d 二单选题. 下列四级排列是偶排列的是 ). ) B) C) ) k. 的充分必要条件是 ). k d c ) k B) k C) k 且 k ) k 或 k k. k 的充分条件是 ). ) k B) k 或 C) k ) k. 如果 M,, 那么 ). ) M B) M C)8M ) 8M ky z. 如果 yz k y z 有非零解, 则 ) ) k B) k C) k 或 - ) k 三判断题 ). 排列的逆序数 N ). ). 排列是偶排列. ). 齐次线性方程组仅有零解. 8 ). 齐次线性方程组有非零解. 8 ). 齐次线性方程组仅有零解. )6. s s s. 四计算题. 若阶行列式不等于, 它的所有阶子式能否都为零? 所有阶能否都为, 为

36 什么?. 计算下列行列式 ) cos s cos s ; ) ; ) ; ) ; ) ; 6) ; 7) ; 8) 6 ; 9) ).. 解方程 ) 6 ; ) 9 ; ).. 计算下列行列式 ) y y y y y y ;

37 6 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) d d d d c c c c ; ) ; ) ; ) ;. 计算下列阶行列式 : ) ; ) ; ) ) ) ; ) ; ) ; 6) ;7) y y y y. 6. 用克莱姆法则解线性方程组 :

38 7 ). y ) cy z c 其中 c,,. c z ). 7 6 五证明题 c c c. 证明下列等式 : c c c c c. 设阶行列式中有个以上元素为零, 证明该行列式为零.. 用行列式性质证 k c c c ) k c c c k c c c c c c ; ) c c c c c c y z z y y z ) y y z z z y z y y z y z 注 : 其中 * 为任意数 ) ; ) * * * * 7

39 第一章习题参考答案一 ; 且 ; <; = 且 =o; k= - 或 k=; 6 k - 且 k ;7 ; 8 =6,k=;9 ) 得 ); 8!; ; 二 ; C; B; ; C 三 ; ; ; ; ;6 ; 由 p q ) ) ) 四不能, 因为 - 阶子式都为零, 阶行列式必为零, 这与不等于零矛盾. ); ); )6; )8; ); 6)6; 7)8; 8); 9); )-9 )= 或 = ; )=,,,; ), ) y ) ; ); ) ) ) ; ) ; ) ) ) ; ), 当时原式 ) ), 当时, 当时 )! ) ) ; ) ) ) ; ) ) 7) ) y ;6) 6 ), ; ), y, z c ; ),,, 五略 8

线性代数

线性代数同济五版高景利南阳师范学院数学与统计学院目录第一章第二章第三章第四章第五章行列式矩阵及其运算矩阵的初等变换与线性方程组向量组的线性相关性相似矩阵及二次型目录第一章行列式第一节第二节第三节第四节第五节第六节二阶与三阶行列式全排列及其逆序数阶行列式的定义行列式的性质行列式按行 ( 列 ) 展开克拉默法则学习基本要求第一章行列式. 了解排列逆序的概念,