n 维实向量空间 R n 3 维欧 空间 R 3 n 维欧 空间 R n 线性空间 前 我们建 了 n 维实向量空间 R n 的概念, 但它还不是三维欧 空间的推, 因为它还缺少向量的长度 夹 垂直等 何概念 ( 何建立的早期目的就是讨论长度 夹角等度量性质 ) 长度 夹 这 个概念都可以由内积导出

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1 Chapter 4 向量空间与线性变换 Linear Algebra November 24, 207 黄正华, 数学与统计学院, 武汉大学 4 目录 R n 的基与向量关于基的坐标 2 2 R n 中向量的内积 标准正交基和正交矩阵 6 2 n 维实向量的内积, 欧 空间 6 22 标准正交基 8 23 施密特正交化 法 8 24 正交矩阵及其性质 2 3 线性空间的定义及简单性质 4 4 线性子空间 8 5 线性空间的基 维数 向量的坐标 22 6 向量空间的线性变换 28 6 线性变换的定义及其简单性质 线性变换的矩阵表 线性变换的运算 线性变换的像 ( 值域 ) 与核 39 7 习题 4 42 这一章准备讲什么? () 把 n 维实向量空间装配上内积, 得到 n 维欧氏空间 R n ; (2) 再进 步推, 得到更 般的 抽象的线性空间的概念

2 n 维实向量空间 R n 3 维欧 空间 R 3 n 维欧 空间 R n 线性空间 前 我们建 了 n 维实向量空间 R n 的概念, 但它还不是三维欧 空间的推, 因为它还缺少向量的长度 夹 垂直等 何概念 ( 何建立的早期目的就是讨论长度 夹角等度量性质 ) 长度 夹 这 个概念都可以由内积导出, 故只需要在 R n 中装配上内积的概念即可, 从 得到 n 维欧 得空间的概念 R n 中的极 关组, 可以线性表 R n 中的任何 个向量, 且表 的系数是唯 的, 这就如同三维欧 空间中的坐标系的功能 43 这个现象在别的地 也会发 44 例如在 2 2 维实矩阵空间 R 2 2, 矩阵 [ ] [ ] [ ] [ ] E =, E 2 =, E 2 =, E 22 = 是 线 性 关的 事实上, 设 k [ ] [ ] [ ] [ ] k 2 + k 3 + k 4 = 0, 只能得到 k = k 2 = k 3 = k 4 = 0; 且可以线性组合出 R 2 2 中的任何 个矩阵, [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] a b = a + b + c + d, c d 这表明这 组矩阵 E, E 2, E 2, E 22 是 个极 关组, 具备坐标系的功能 45 所有次数不超过 n 的多项式函数的集合 R[x] n 中, 函数, x, x 2,, x n, 显然可以视为 个极 关组, 具备坐标系的功能 这些与空间 R n 相仿的特点, 意味着可以把 R 2 2, R[x] n 等视为 个向量空间 来研究, 这就产 了线性空间 ( 也称为向量空间 ) 的概念 46 R n 的基与向量关于基的坐标 本节关键词 : 基, 坐标, 过渡矩阵 2

3 主要内容 : 向量空间的基, 就是其极 关组, 具备坐标系的功能 基不唯 不同的基下的坐标, 它们之间的关系由过渡矩阵转化 47 Definition 设 有 序向量组 B = { β, β 2,, β n } R n, 如果 B 线性 关, 则 R n 中任 向量 α 均可由 B 线性表, 即 α = a β + a 2 β a n β n, 就称 B 是 R n 的 组基 ( 或基底 ), 有序数组 (a, a 2,, a n ) 是向量 α 关于基 B ( 或说在基 B 下 ) 的坐标, 记作 α B = (a, a 2,, a n ), 或 α B = (a, a 2,, a n ) T, 并称之为 α 的坐标向量 48 R n 的基不是唯 的 ; 基本单位向量组 ε i = (0,, 0,, 0,, 0) T, i =, 2,, n 称为 R n 的 然 基或标准基 本课程对于向量及其坐标, 常采 列向量的形式 (a, a 2,, a n ) T 表, 即 a α = ( ) a 2 β, β 2,, β n Theorem 2 设 B = { α, α 2,, α n } 是 R n 的 组基, 且 a n η = a α + a 2 α a n α n, η 2 = a 2 α + a 22 α a n2 α n, η n = a n α + a 2n α a nn α n, 49 则 η, η 2,, η n 线性 关的充要条件是 a a 2 a n a 2 a 22 a 2n det A = a n a n2 a nn 0 3

4 证 : 由已知得 ( ) ( ) η, η 2,, η n = α, α 2,, α n a a 2 a n a 2 a 22 a 2n 40 a n a n2 a nn 记矩阵 B = ( ) ( ) α, α 2,, α n, C = η, η 2,, η n, 则 C = BA 由已知条件得 B 可逆, 故 C 可逆的充要条件是 A 可逆 C 可逆等价于其列向量 η, η 2,, η n 线性 关 得证 4 Definition 3 设 R n 的两组基 B = { } α, α 2,, α n 和 B 2 = { } η, η 2,, η n 满 关系式 a a 2 a n ( ) ( ) a 2 a 22 a 2n η, η 2,, η n = α, α 2,, α n, a n a n2 a nn 则矩阵 A = a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a n a n2 a nn 称为旧基 B 到新基 B 2 的过渡矩阵, 或称 A 是基 B 变为基 B 2 的变换矩阵 过渡矩阵当然是可逆的 42 Theorem 4 设向量 α 在两组基 B = { } α, α 2,, α n 和 B 2 = { } η, η 2,, η n 下的坐标分别为 x = (x, x 2,, x n ) T 和 y = (y, y 2,, y n ) T 基 B 到 B 2 的过渡矩阵为 A, 则 证 : Ay = x 或 y = A x x x 2 y 2 α = [α, α 2,, α n ] = [η, η 2,, η n ] y x n y n 43 4

5 y y 2 = [α, α 2,, α n ]A y n y 2 = [α, α 2,, α n ] A, y y n 由于 α 在基 α, α 2,, α n 下的坐标是唯 的, 故 Ay = x 或 y = A x Example 5 已知 R 3 的 组基 B 2 = { } β, β 2, β 3 为 β = (, 2, ) T, β 2 = (,, 0) T, β 3 = (, 0, ) T, 求 然基 B = { } ε, ε 2, ε 3 到基 B 2 的过渡矩阵 A 44 解 : 由 ( ) ( ) β, β 2, β 3 = ε, ε 2, ε 3 2 0, 0 得过渡矩阵 A = 在 R n 中, 由 然基 B = { } ε, ε 2,, ε n 到基 B 2 = { } β, β 2,, β n 的过 渡矩阵 A, 就是将 β, β 2,, β n 按列排成的矩阵 即 A = ( β, β 2,, β n ) 45 Example 6 已知 R 3 的两组基为 B = { } α, α 2, α 3 及 B 2 = { } β, β 2, β 3, 其中 α = (,, ) T, α 2 = (0,, ) T, α 3 = (0, 0, ) T, β = (, 0, ) T, β 2 = (0,, ) T, β 3 = (, 2, 0) T (i) 求基 B 到基 B 2 的过渡矩阵 A; (ii) 已知 α 在基 B 下的坐标为 (, 2, ) T, 求 α 在基 B 2 下的坐标 解 : (i) 设 ( ) ( ) β, β 2, β 3 = α, α 2, α 3 A, 即 故 A = = A, 46 5

6 由 r 3 r 2 r 2 r , 故 A = (ii) 设所求坐标为 (y, y 2, y 3 ) T, 则 α = ( ) α, α 2, α 3 2 = ( ) β, β 2, β 3 y y 2 y 3 47 代 ( β, β 2, β 3 ) = ( α, α 2, α 3 ) A, 得 ( ) α, α 2, α 3 2 = ( ) α, α 2, α 3 A y y 2 y 3, 故 y y 2 y 3 = A 2 = R n 中向量的内积标准正交基和正交矩阵 2 n 维实向量的内积, 欧氏空间 怎样 何地看待 n 维实向量空间? 如, 是否可以讨论 n 维向量的垂直 平 等 概念? 这需要讨论向量的夹 长度等概念 内积的概念讨论, 便地给出了长度和夹 的概念 装配了内积的 n 维实向量空间, 称为欧 德空间 何的观念, 理解和研究代数问题 49 积 ) 为 在解析 何中, 设 α = (x, y, z ), β = (x 2, y 2, z 2 ), 它们的数量积 ( 又称内 其中 θ 是 α 与 β 的夹 (α, β) = α β = α β cos θ = x x 2 + y y 2 + z z 2, 有了数量积 ( 内积 ) 的概念, 向量的长度和夹 就可以表 为 α = (α, α), 6

7 (α, β) θ = arccos α β 420 Definition 7 在 n 维向量空间 R n 中, 对于 α = (a, a 2,, a n ) T, β = (b, b 2,, b n ) T, 我们规定 α 与 β 的内积为 (α, β) = a b + a 2 b a n b n () 当 α, β 为列向量时, (α, β) = α T β = β T α 内积具有下列运算性质 : 42 (i) (α, β) = (β, α); (ii) (α + β, γ) = (α, γ) + (β, γ); (iii) (kα, β) = k(α, β); (iv) (α, α) 0, 当且仅当 α = 0 时, (α, α) = 0 其中 α, β, γ R n, k R Definition 8 在 n 维向量空间 R n 中, 向量 α 的长度定义为 α = (α, α) 422 Theorem 9 对任意 α, β, γ R n 和任意 k R 有 : kα = k α ; 2 (α, β) α β (Cauchy Schwarz 不等式 ); 3 α + β α + β ( 三角不等式 ) 423 Definition 0 向量 α 与 β 的夹 定义为 α, β = arccos (α, β) α β Definition α, β = π 2, 则称向量 α 与 β 正 交 (orthogonal) 或垂直 记为 α β Theorem 2 非零向量 α 与 β 正交的充要条件是 (α, β) = 0 零向量与任何向量的内积为零, 故零向量与任何向量正交 424 Definition 3 定义了内积运算的 n 维实向量空间, 称为 n 维欧 称欧 空 间, 仍记作 R n 德 空 间, 简 425 7

8 22 标准正交基 Theorem 4 R n 中两两正交且不含零向量的向量组 ( 称为非零正交向量组 ) α, α 2,, α s 是线性 关的 证 : 则 设 k α + k 2 α k s α s = 0, ( αi, k α + k 2 α k s α s ) = ki ( αi, α i ) = 0, ( ) 注意到 α i 0, 则 αi, α i > 0, 故 k i = 0, i =, 2,, s 得证 α, α 2,, α s 线性 关 正交关系强于线性 关关系 426 Definition 5 设 α, α 2,, α n R n, 若 { ( ), i = j, αi, α j = 0, i j, i, j =, 2,, n (2) { } 则称 α, α 2,, α n 是 R n 的 组标准正交基 或者记 (2) 式为 ( αi, α j ) = δij 如 i, j, k 就是 R 3 的 组标准正交基 但标准正交基不唯 427 Example 6 设 B = { α, α 2,, α n } 是 R n 的 组标准正交基, 求 R n 中向量 β 在基 B 下的坐标 解 : 则 设 β = x α + x 2 α x n α n, ( β, α ) = ( x α + x 2 α x n α n, α ) = ( x α, α ) = x, 同理, x 2 = ( β, α 2 ),, xn = ( β, α n ) 施密特正交化方法问题 : 已知 组线性 关的 n 维向量 α,, α m, (m n), 求 个标准正交向量组 η,, η m, 并且满 : i m, 向量组 α,, α i 与向量组 η,, η i 等价 8

9 施密特正交化过程 给出了解决上述问题的 个 法 从 何上看, 如果空间 R n 上的 组向量能够组成 个子空间, 那么这 组向量就称为这个 空间的 个基 该 法是通过这 空间上的 个基, 得出 空间的 个标准正交基, 并且满 : 任意前 i 个向量构成的是同 个 空间 该 法的基本思想 : 利 投影原理, 在已有正交基的基础上, 构造 个新的正交基 429 Jørgen P Gram Jørgen P Gram (850 96) was a Danish actuary who implicitly presented the essence of orthogonalization procedure in 883 Gram was apparently unaware that Pierre-Simon Laplace ( ) had earlier used the method Today, Gram is remembered primarily for his development of this process, but in earlier times his name was also associated with the matrix product A H A that historically was referred to as the Gram matrix of A 430 Erhard Schmidt Erhard Schmidt ( ) was a German mathematician whose work significantly influenced the direction of mathematics in the twentieth century He was a student of Hermann Schwarz and the great German mathematician David Hilbert Schmidt explicitly employed the orthogonalization process in 907 in his study of integral equations, which in turn led to the development of what are now called Hilbert spaces Schmidt made significant use of the orthogonalization process to develop the geometry of Hilbert Spaces, and thus it came to bear Schmidt s name 43 以三维空间为例 设有不共 的三个向量 α, α 2, α 3 R 3, 由这三个向量, 我们构造 组两两 正交的向量 β, β 2, β 3 并且满 : α 与 β 等价 ; α, α 2 与 β, β 2 等价 ; α, α 2, α 3 与 β, β 2, β 3 等价 没有这个要求的话, 随便找 3 个两两正交的向量都是 与 α, α 2, α 3 等价的, 例如基本单位向量 i, j, k 那么施密特正交化过程就没有 出现的必要了 432 设有两个向量 α, α 2 如图 (a) 先直接取 β α, 如图 (b) 记 α 2 在 α 上的投影向量为 γ, 则可令 β 2 α 2 γ, 使得 β 2 β 下 给 出 γ 的表达式 433 也称 Gram-Schmidt 正交化过程 (Gram Schmidt Orthogonalization Procedure) 该 法以 Jørgen P Gram 和 Erhard Schmidt 命名, 它更早出现在拉普拉斯和柯西的 章中 9

10 α 3 α 2 α 2 β2 O α O γ β = α (a) (b) 图 : β 2 α 2 γ, 其中 γ 是 α 2 在向量 α 所张成的 维 空间上的投影向量 α 2 在 α 上的 投 影为 : Prj α α 2 = α 2 cos( α, α 2 ) = α 2 则 α 2 在 α 上的 投 影 向 量为 : 所以 γ = Prj α α 2 (α, α 2 ) α α 2 = (α, α 2 ) α, α α = (α, α 2 ) α α α = (α, α 2 ) (α, α ) α (3) β 2 = α 2 γ = α 2 (α, α 2 ) (α, α ) α = α 2 (β, α 2 ) (β, β ) β 434 O β3 γ 2 β 2 γ γ β 图 2: β 3 α 3 γ, 其中 γ 是 α 3 在 β, β 2 所张成 空间上的投影向量 记 α 3 在 β, β 2 所在平 的投影向量为 γ, 若令 β 3 α 3 γ, 则 β 3 垂直 于 β, β 2 所在的平, 从 β 3 β, β 3 β 2, 如图 2 理有 即取 记 α 3 在 β, β 2 上的投影向量分别为 γ, γ 2, 则 γ = γ + γ 2 所以 γ = (β, α 3 ) (β, β ) β, γ 2 = (β 2, α 3 ) (β 2, β 2 ) β 2 β 3 = α 3 γ = α 3 γ γ 2 = α 3 (β, α 3 ) (β, β ) β (β 2, α 3 ) (β 2, β 2 ) β 2 与 (3) 式同 如此求得的 β, β 2, β 3 是两两正交的 零向量组 再将 β, β 2, β 3 单位化, η j = β j β j, j =, 2,

11 则 η, η 2, η 3 是 R 3 的 组标准正交基 在 n 维空间 R n, 给定 组线性 关的向量 α,, α m, (m n), 其施密特正交化过程可以类似地理解和记忆 : 记前 i (i m) 个向量构成的 空间为 V, 设 α i+ 在 V 上的投影向量为 γ, 则 β i+ α i+ γ Schmidt 正交化过程的步骤 436 () β = α ; (2) β j = α j (α j, β ) (β, β ) β (α j, β 2 ) (β 2, β 2 ) β 2 (α j, β j ) (β j, β j ) β j ; (3) η j = β j β j, j =, 2,, m 上述从线性 关向量组 α, α 2,, α m 导出标准正交向量组 η, η 2,, η m 的过程, 称为 Schmidt 正交化过程 在向量组 α,, α m 和向量组 η,, η m 中, 同时任取前 i 个向量, 所得 的两个向量组是等价的 请思考 : 为什么? Example 7 试 施密特法把下列向量组正交化 : (a, a 2, a 3 ) = 0 0 解 : 由施密特正交化 法得 0 b = a =, b 2 = a 2 (b, a 2 ) (b, b ) b = 3, 3 2 故正交化后得 b 3 = a 3 (b, a 3 ) (b, b ) b (b 2, a 3 ) (b 2, b 2 ) b 2 = (b, b 2, b 3 ) =

12 Example 8 已知 a =, 求 组 零向量 a 2, a 3, 使得 a, a 2, a 3 两两正交 解 : a 2, a 3 应满 a T x = 0, 即 439 x + x 2 + x 3 = 0, 它的 个基础解系为 ξ = 0, ξ 2 = 0, 把基础解系正交化, 即为所求 故 a 2 = ξ = 0, a 3 = ξ 2 (ξ, ξ 2 ) (ξ, ξ ) ξ = 2 2 另解 : 这 施密特正交化过程其实是可以避免的 : 可以直接凑出 组正交的基础解系 对 程 x + x 2 + x 3 = 0, 下 构造 组正交的基础解系 : 若取 a 2 = (, 0, ) T, 要满 正交, 则应有 440 a 3 = (,, ) T 这 框 表 个待定的量 又要满 程, 所以 a 3 = (, 2, ) T 从 得到 组正交的基础解系 : a 2 = (, 0, ) T, a 3 = (, 2, ) T (4) 类似地, 还可以取 a 2 = (,, 0) T, a 3 = (,, 2) T (5) 或者 a 2 = (0,, ) T, a 3 = ( 2,, ) T, 等等 请留意这个 法, 非常简单有效, 以后经常可以用到! 正交矩阵及其性质 Definition 9 设 A R n n, 如果 A T A = I, 就称 A 为正交矩阵 A 为正交矩阵 A T A = I A = A T 442 2

13 Theorem 20 A 为 n 阶正交矩阵的充要条件是 : A 的列向量组为 R n 的 组标 准正交基 证 : 设 A = ( ) α, α 2,, α n, 于是 α T α T α α T α 2 α T α n A T α T 2 ( ) α T 2 A = α, α 2,, α n = α α T 2 α 2 α T 2 α n, α T n α α T n α 2 α T n α n α T n 因此, A T A = I 的充要条件是 α T i α j = ( ) α i, α j = δij 即向量组 α, α 2,, α n 为 R n 的 组标准正交基 正交矩阵的 向量也是 组两两正交的单位向量 443 Example 2 验证矩阵 P = 是正交矩阵 证 : P 的每个列向量都是单位向量, 且两两正交, 所以 P 是正交矩阵 或者验证 P T P = I 即可 444 Theorem 22 设 A, B 都是 n 阶正交矩阵, 则 (i) det A = 或 (ii) A = A T (iii) A T ( 即 A ) 也是正交矩阵 (iv) AB 也是正交矩阵 证 : (i), (ii) 的证明是课后习题 3 (P2) (iii) 因 ( A T ) T A T = AA T = AA = I, 故 A T ( 即 A ) 也是正交矩阵 (iv) 由 ( AB ) T ( AB ) = B T A T AB = B T B = I, 故 AB 也是正交矩阵 445 Theorem 23 若列向量 x, y R n 在 n 阶正交矩阵 A 的作用下变换为 Ax, Ay R n, 则向量的内积 长度及向量的夹角都保持不变, 即 ( Ax, Ay ) = (x, y), (6) Ax = x, Ay = y, (7) Ax, Ay = x, y (8) 3

14 证 : () ( Ax, Ay ) = ( Ax ) T( ) Ay = x T A T Ay = x T y = (x, y) ( ) (2) 在上式中取 y = x, 有 Ax, Ax = (x, x), 即 Ax 2 = x 2, 故 Ax = x 同理有 Ay = y (3) 由 cos Ax, Ay = ( Ax, Ay ) Ax Ay = ( x, y ) x y = cos x, y, 得证 Ax, Ay = x, y 线性空间的定义及简单性质 概念的源起 向量在加法运算 数乘运算所满 的运算规律, 例如 加法交换律 : x + y = y + x, 加法结合律 : (x + y) + z = x + (y + z), 数乘分配律 : (λ + µ)x = λx + µx; 矩阵 多项式 连续函数等, 也都满 完全相同的运算规律 研究不同对象在线性运算 的所表现的共性, 导致线性空间的公理化定义 法 : 代数与 何的结合 个组成部分线性空间 ( 亦称向量空间 ), 有 4 个组成部分 : 两个集合 V 和 F, 两个运算 个称为向量加法, 个称为数量乘法 V : 些被称为向量的对象的集合 如 n 维向量, 矩阵 F : 个数域 实数域 R 或者复数域 C 向量加法 ( 记为 x + y): 集合 V 中两个元素之间的 种运算 运算要满 封闭性 : x + y V, x, y V 数量乘法 ( 记为 λx): 集合 F 和 V 中元素之间的 种运算 运算要满 封闭性 : λx V, λ F, x V 448 线性空间的定义 Definition 24 ( 线性空间 ) 设 V 是 个 空集合, F 是 个数域 在集合 V 的元素之间定义了 种代数运算, 叫做加法 ; 这就是说给出了 个 法则, 对于 V 中任意两个元素 x 与 y, 在 V 中都有唯 的 个元素 z 与它 们对应, 称为 x 与 y 的和, 记为 z = x + y 4

15 在数域 F 与集合 V 的元素之间还定义了 种运算, 叫做数量乘法 ; 这就是 说, 对于数域 F 中任 个数 λ 与 V 中任 个元素 x, 在 V 中都有唯 的 个元素 y 与它们对应, 称为 λ 与 x 的数量乘积, 记为 y = λx 如果加法与数量乘法满 下述规则, 那么 V 称为数域 F 上的线性空间 加法满 下 四条规则 : () x + y = y + x; (2) (x + y) + z = x + (y + z); (3) 在 V 中有 个元素 θ, x V, 都有 x + θ = x ( 具有这个性质的元素 θ 称为 V 的零元素, 记为 0); (4) x V, y V, 使得 x + y = 0 (y 称为 x 的负元素, 记为 x) 数量乘法满 下 两条规则 : (5) x = x; (6) λ(µx) = (λµ)x; 数量乘法与加法满 下 两条规则 : (7) (λ + µ)x = λx + µx; (8) λ(x + y) = λx + λy; 在以上规则中, λ, µ 等表 数域 F 中任意数 ; x, y, z 等表 集合 V 中任意元素 集 按习惯, V 中的元素称为向量, F 中的数称为数或标量 V 称为线性空间的基 449 线性空间的实例 Example 25 (n 维向量空间 ) 注意 加法, (2) 数与向量的数量乘法 R n : n 元实坐标向量空间 运算 : () 向量的 V = { x x = (ξ, ξ 2,, ξ n ) T, ξ i R, i =, 2,, n }, F = R C n : n 元复坐标向量空间 运算 : () 向量的加法, (2) 数与向量的数量乘法 V = { x x = (ξ, ξ 2,, ξ n ) T, ξ i C, i =, 2,, n }, F = C 若 V = { x x = (ξ, ξ 2,, ξ n ) T, ξ i R, i =, 2,, n }, F = C, 则 V 不 是线性空间 因为此时数量乘法不满 封闭性 V = { x x = (ξ, ξ 2,, ξ n ) T, ξ i C, i =, 2,, n }, F = R, 此时 V 任 是 个线性空间 记为 C n R 450 Example 26 元素属于数域 F 的 m n 矩阵, 按 () 矩阵的加法, (2) 数与矩阵的 数量乘法, 构成数域 F 上的 个线性空间, F m n 表 5

16 R m n : m n 阶实矩阵空间 C m n : m n 阶复矩阵空间 所有系数在数域 F 中的 元多项式的全体, 称为数域 F 上的 记为 F [x] F 称为 F [x] 的系数域 元多项式环, 45 Example 27 数域 F 上 元多项式环 F [x], 按 () 通常的多项式加法, (2) 数与多项式的乘法, 构成 个数域 F 上的线性空间 如果只考虑其中次数 于 n 的多项式, 再添上零多项式, 也构成数域 F 上的 个线性空间, F [x] n 表 R[x] n : 实数域 R 上的次数 于 n 的多项式空间, R[x] n = { p(x) p(x) = α n x n + + α x + α 0, α i R } 2 C[x] n : 复数域 C 上的次数 于 n 的多项式空间, C[x] n = { p(x) p(x) = α n x n + + α x + α 0, α i C } Example 28 全体实函数, 按 () 函数加法, (2) 数与函数的数量乘法, 构成 个实 数域上的线性空间 452 Example 29 记 C[a, b] 为区间 [a, b] 上所有 连 续 函 数的集合 则 C[a, b] 按 () 函 数加法, (2) 数与函数的数量乘法, 构成 个实数域上的线性空间 Example 30 数域 P 按照本 的加法与乘法, 即构成 个 上 的线性空间 453 注意 对同样的基集 V 和数域 F, 对它们规定不同的加法和数乘, 若构成线性空间, 则得到不同的线性空间 线性空间的零向量, 也与该空间中向量加法和数量乘法的规定 法有关 比如下面例题中的零元素是常数 Exercise 3 (P22 习题 7 (8)) 设 V 是正实数集, R 为实数域 定义加法 和数乘 : α β = αβ, ( 即 α 与 β 的积 ) k α = α k, ( 即 α 的 k 次幂 ) 其中 α, β V, k R 问 : V 对于加法 和数乘 是否构成 R 上的线性空间? 解 : 加法 封闭 : α, β V = R +, α β = αβ V 且满 : 454 () α β = αβ = βα = β α; (2) (α β) γ = (αβ)γ = α(βγ) = α (β γ); (3) 零元为常数 : α = α; (4) α V 的负元为 α : α α = ; 数乘 封闭 : α V = R +, k R, k α = α k V = R + 且满 : 6

17 (5) α = α = α; (6) (k k 2 ) α = α k k 2 = (α k 2 ) k = k (α k 2 ) = k (k 2 α); (7) (k + k 2 ) α = α k +k 2 = α k α k 2 = α k α k 2 = k α k 2 α; (8) k (α β) = k (αβ) = (αβ) k = α k β k = α k β k = (k α) (k β) 所以 V 对于加法 和数乘 构成 R 上的线性空间 455 Example 32 设集合 Z = {z} 向量加法 : z + z = z 数量乘法 : λz = z, λ F 可以证明 : 集合 Z 是数域 F 上的线性空间 这个线性空间的零元素是什么? 显然, 只能是 z 但有趣的是, 我们并没有指明 z 的具体内容 事实上, z 可以是任何 个向 量 矩阵 函数等等 我们再次强调, 零向量不 定是形如 0, (0, 0,, 0) T, [ ] 之类的对象, 必须是符合零向量的定义的那个元素 例如, 集合 C = {(x, x 2 ) x, x 2 C}, 向量加法 : 456 (x, x 2 ) + (y, y 2 ) = (x + y +, x 2 + y 2 + ), 数量乘法 : α(x, x 2 ) = (αx + α, αx 2 + α ) 容易证明该集合是数域 C 上的线性空间 问题 : 零向量是什么? (x, x 2 ) 的负向量呢? 零向量 : 0 = (, ) 因为 u + 0 = (x, x 2 ) + (, ) = ( x + ( ) +, x 2 + ( ) + ) = (x, x 2 ) = u 负向量 : (x, x 2 ) = ( x 2, x 2 2) 事实上 (x, x 2 )+( x 2, x 2 2) = ( x +( x 2)+, x 2 +(x 2 2)+ ) = (, ) = 线性空间是 n 维向量空间的抽象和推 为了 何直观, 我们也把线性空间叫做向量空间 但这 的向量不 定是有序数组, 是 义的向量, 例如函数 矩阵等 458 线性空间的简单性质 零元素是唯 的 2 负元素是唯 的 3 0x = 0; k 0 = 0; ( )x = x 4 如果 kx = 0, 那么 k = 0 或者 x =

18 4 线性子空间 平 R 2 是 R 3 的 集, R 2 也构成线性空间, 称 R 2 是 R 3 的线性 空间 过原点的 条直线或 个平 都是 R 3 的 集, 且它们关于向量加法和数乘分别构成 个 维和 维的线性空间 考虑 般的情形 : 线性空间的 集, 关于原线性空间的加法和数乘, 可能构成 个线性空间? 460 子空间 Definition 33 数域 F 上的线性空间 V 的 个 空 集合 S 称为 V 的 个线 空间 ( 或简称空间, subspace), 如果 S 对于 V 的两种运算也构成数域 F 性 上的线性空间 Theorem 34 如果线性空间 V 的 个非空集合 S 对于 V 的两种运算是封闭 的, 即 x, y S, 都有 x + y S; 2 x S, λ F, 都有 λx S 那么 S 就是 个 空间 若 x S, 则 x = ( )x S; 且 x + ( x) = 0 S 又 S 中的元素也是 V 的元素, 故满 V 中的结合律 交换律 分配律等 46 Theorem 35 数域 F 上的线性空间 V 的 个非空 集合 S 为 V 的 个线性 空间 x, y S, λ F, 都有 λx + y S 证 : () 充分性 x, y S, λ F, 因 x + y = x + y S, λx = λx + 0 S, 故 S 对于 V 的两种运算是封闭的 即 S 为 V 的 个线性 空间 (2) 必要性 x, y S, λ F, 由数乘封闭性, 有 λx S, 又由加法封闭性, 有 λx + y S Example 36 在线性空间中, 由单个的零向量所组成的 集合是 个线性 空间, 它叫做零 空 间 Example 37 线性空间 V 本 也是 V 的 个 空间 462 每个线性空间 少有两个 空间 : 零 空间和线性空间本 这两个 空间 通常叫做 V 的平凡 空 间 (trivial subspace), 其它的 空间叫做 8 平凡 空 间

19 Example 38 在全体实函数组成的空间中, 所有的实系数多项式组成 个 空间 Example 39 F [x] n 是线性空间 F [x] 的 空间 Example 40 设 A F m n, 则齐次线性 程组 Ax = 0 的解集合 463 S = {x Ax = 0} 是 F n 的 个 空间, 叫做齐次线性 程组 Ax = 0 的解空间 ; 也称为矩阵 A 的 零空间 (nullspace) 或核空间 (kernel), 记作 N(A) 或 ker(a) 但是, 齐 次线性 程组 Ax = b 的解集合 W 不 是 F n 的 空间 事实上, 若 Ax = b 解, 则 W 是空集, 当然 W 不是线性空间 当 W 空, 由于 b 0, 则 0 / W, 因此 W 不是线性空间 464 Example 4 设 R 3 的 集合 V = {(x, 0, 0) x R}, V 2 = {(, 0, z) z R}, 则 V 是 R 3 的 空间 ; V 2 不是 R 3 的 空间 V 是 x 轴上的全体向量 ; V 2 是过点 (, 0, 0) 与 z 轴平 的直线上的全体向 量 显然 V 2 关于加法和数乘不封闭 465 Theorem 42 设 V 为数域 F 上的线性空间, S 是 V 的 个非空 集和, 则 S 中 切向量组的所有线性组合组成的集合 W = { k α + k 2 α k m α m α i S, i =, 2,, m } 是 V 中包含 S 的最小的 空间 证 : () W 显然包含 S, 设 α, β W, 则存在 α, α 2,, α m, β, β 2,, β n S 及 k, k 2,, k m, l, l 2,, l n F, 使得 α = k α + k 2 α k m α m, β = l β + l 2 β l n β n 于是 α + β = ( k α + + k m α m ) + ( l β + + l n β n ) W 又 k F, 有 466 kα = k ( ) k α + + k m α m = k α + + kk m α m W, 所以 W 是 V 的 个 空间 (2) 再设 W 是 V 中包含 S 的任 空间, 则 α = k α + + k m α m W, 由于 α, α 2,, α m S W, 所以必有 α W, 从 W W, 因此 W 是 V 中包含 S 的最 的 空间 467 9

20 Definition 43 定理 42 中的 W 称为由 V 的 空 集 S 成的 V 的 空间, 或者说 S 成 W { } 当 S 为有限 集 α, α 2,, α m 时, 记 W = L ( ) α, α 2,, α m, (9) 并称 W 是由向量组 α, α 2,, α m 成的 空间 也记 (9) 为 W = span ( α, α 2,, α m ) 例如, 齐次线性 程组 Ax = 0 的解空间就是由它的基础解系 成的 空间 For example, if u 0 is a vector in R 3, then span[u] is the straight line passing through the origin and u If S = span[u, v], where u and v are two nonzero vectors in R 3 not lying on the same line, then S = span[u, v] is the plane passing through the origin and 468 the points u and v 469 {[ ] [ ]} 2 Example 44, spans the line y = x in R The unit vectors e = 0, e 2 =, e 3 = 0 spans R The unit vectors {e, e 2,, e n } in R n form a spanning set for R n The finite set {, x, x 2,, x n } spans the space of all polynomials such that deg p(x) n, and the infinite set {, x, x 2, } spans the space of all polynomials Theorem 45 如果 V, V 2 是线性空间 V 的两个 空间, 那么它们的交 V V 2 也是 V 的 空间 由集合的交的定义有, 空间的交适合下列运算规律 : 由结合律, 可以定义多个 空间的交 : V V 2 = V 2 V, ( 交换律 ) (V V 2 ) V 3 = V (V 2 V 3 ) ( 结合律 ) V V 2 V s = s V i, i= 它也是 空间 Definition 46 ( 空间的和 ) 设 V, V 2 是线性空间 V 的 空间, 所谓 V 与 V 2 的和, 是指由所有能表 成 α + α 2, α V, α 2 V 2 的向量组成的 集合, 记作 V + V 2 20

21 Theorem 47 如果 V, V 2 是线性空间 V 的 空间, 那么它们的和 V + V 2 也是 V 的 空间 由定义有, 空间的和适合下列运算规律 : 472 由结合律, 可以定义多个 空间的和 V + V 2 = V 2 + V, ( 交换律 ) (V + V 2 ) + V 3 = V + (V 2 + V 3 ) ( 结合律 ) V + V V s = s V i i= 它是由所有表 成 α + α α s, α i V i (i =, 2,, s) 的向量组成的 空间 473 矩阵列空间 行空间 Definition 48 矩阵 A 的列 向 量 组 成的 空间, 称为矩阵 A 的列空间, 记作 R(A) 矩阵 A 的 向 量 组 成的 空间, 称为矩阵 A 的 空 间, 记作 R(A T ) 若 A R m n, 则 A 的列向量组 β, β 2,, β n R m, 且 R(A) = L ( ) β, β 2,, β n 是 R m 的 个 空间 A 的 向量组 α, α 2,, α m R n, 且 R(A T ) = L ( ) α, α 2,, α m 是 R n 的 个 空间 齐次线性 程组 Ax = b 有解的充要条件是 : b R(A) 474 子空间的正交关系 Definition 49 设向量 α R n, W 是 R n 的 个 空间, 如果对于任意的 γ W, 都有 (α, γ) = 0, 就称 α 与 空间 W 正交, 记作 α W Definition 50 设 V 和 W 是 R n 的两个 空间, 若 α V, β W, 都有 (α, β) = 0, 则称 V 与 W 正 交, 记为 V W 2

22 齐次线性 程组 Ax = 0, 即 a x + a 2 x a n x n = 0, a 2 x + a 22 x a 2n x n = 0, a m x + a m2 x a mn x n = 0, 其每个解向量与系数矩阵 A 的每个 向量都正交, 所以解空间与 A 空间是正交的, 即 N(A) R ( A T) Theorem 5 R n 中与 空间 V 正交的全部向量所构成的集合 W = { α α V, α R n} 是 R n 的 个 空间 证 : 因为零向量与任何 空间正交, 所以 W 是 空集合 设 α, α 2 W, 于是对任意 γ V, 都有 (α, γ) = 0, (α 2, γ) = 0, 从 有 (α + α 2, γ) = 0, (kα, γ) = 0 (k R), 所以 (α + α 2 ) V, kα V, 即 α + α 2 W, kα W 故 W 是 R n 的 个 空间 477 Definition 52 R n 中与 空间 V 正交的全部向量所构成的 空间 W, 称为 V 的正交补, 记作 W = V 例如, Ax = 0 的解空间 N(A) 是由与 A 的 向量都正交的全部向量构成, 所以 N(A) = ( R(A T ) ) 这是齐次线性 程组 Ax = 0 的解空间的 个基本性质 线性空间的基维数向量的坐标 线性无关 (Linear independence) Definition 53 ( 线性 关 ) 设 V 为数域 F 上的线性空间, x, x 2,, x k 为 V 中的 组向量 若存在 F 中的 组不 全 为 零的数 α, α 2,, α k 使得 α x + α 2 x α k x k = 0, (0) 则称向量组 x, x 2,, x k 线 性相关 (linearly dependent), 否则称为线性 (linearly independent) 22 关

23 换句话说, 向量组 x, x 2,, x k 称为线性 关, 如果等式 (0) 只有在 α = α 2 = = α k = 0 时才成 479 Example 54 讨论 R 2 2 的矩阵组 [ ] [ ] [ ] [ ] a a A =, A 2 =, A 3 =, A 4 =, a a 的线性相关性 解 : 设 k A + k 2 A 2 + k 3 A 3 + k 4 A 4 = O, 即 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] a a 0 0 k + k 2 + k 3 + k 4 = a a 0 0 故 系数 列式为 ak + k 2 + k 3 + k 4 = 0, k + ak 2 + k 3 + k 4 = 0, k + k 2 + ak 3 + k 4 = 0, k + k 2 + k 3 + ak 4 = 0, a a = (a ) 3 (a + 3), a a 480 当 a 且 a 3 时, 程组只有零解, 从 A, A 2, A 3, A 4 线性 关 ; 当 a = 或 a = 3 时, 程组有 零解, 从 A, A 2, A 3, A 4 线性相 关 48 常用结论 单个向量 x 线性相关的充要条件是 x = 0 两个以上的向量 x, x 2,, x r 线性相关的充要条件是 : 其中有 个向量是其余向量的线性组合 2 如果向量组 x, x 2,, x r 线性 关, 且可以被 y, y 2,, y s 线性表出, 那么 r s 由此推出, 两个等价的线性 关的向量组, 必含有相同个数的向量 3 如果向量组 x, x 2,, x r 线性 关, 但 x, x 2,, x r, y 线性相关, 那么 y 可以被 x, x 2,, x r 线性表出, 且表 法是唯 的 482 Definition 55 ( 维数, dimension) 如果在线性空间 V 中有 n 个线性 关的向量, 但是没有更多数 的线性 关的向量, 那么就称 V 为 n 维的 ; 记为 dim V = n 如果在 V 中可以找到任意多个线性 关的向量, 那么就称 V 为限维的 23

24 单个的零向量总是线性相关的 事实上 λ 0, 都有 λ0 = 0 故零 空间 {0} 中不存在线性 关的向量, 即 dim{0} = Definition 56 在 n 维线性空间 V 中, n 个线性 关的向量 ε, ε 2,, ε n 称为 V 的 组基 (basis) 记为 B V = {ε, ε 2,, ε n } 设 x 是 V 中任 向量, 于是 ε, ε 2,, ε n, x 线性相关, 因此 x 可以被基 ε, ε 2,, ε n 线性表出 : x = a ε + a 2 ε a n ε n 其中系数 a, a 2,, a n 是被向量 x 和基 ε, ε 2,, ε n 唯 确定的, 这组数就称 为 x 在基 ε, ε 2,, ε n 下的坐标, 记为 (a, a 2,, a n ) T Example 57 在线性空间 R[x] n 中, 484, x, x 2,, x n, x n 是 n 个线性 关的向量, 且每 个次数不超过 n 的数域 R 上的多项式都可以被它们线性表出, 所以 R[x] n 是 n + 维的,, x, x 2,, x n, x n 就是它的 组基 在这组基下, 多项式 f(x) = a 0 + a x + + a n x n + a n x n 的坐标就是其系数 (a 0, a,, a n ) T 如果取 R[x] n 中的另外 组基, (x a),, (x a) n, (x a) n, 按泰勒展开公式 f(x) = f(a) + f (a)(x a) + + f (n) (a) n! (x a) n, 则 f(x) 在此组基下的坐标是 ( f(a), f (a),, f (n) (a) ) T n! 485 Example 58 考虑 m n 矩阵 E ij = i j 24

25 即矩阵 E ij 的元素在第 i 第 j 列位置上为, 其他位置皆为 0 称 E, E 2,, E n, E 2, E 22,, E 2n,, E m, E m2,, E mn 为空间 C m n 的标准基 显然 dim C m n = mn 486 [ ] [ ] [ ] [ ] Example 59 已知 E =, E 2 =, E 2 =, E 22 = 是 R 2 2 的标准基, 求矩阵 [ ] 2 3 A = 4 5 在该组基底下的坐标 解 : 由 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] A = = = 2E + 3E 2 4E 2 + 5E 22, 故矩阵 A 在该组基底下的坐标为 [ ] (2, 3, 4, 5) T a a 2 般地, 矩阵 A = 在标准基 E, E 2, E 2, E 22 下的坐标为 a 2 a 22 ( ) T a, a 2, a 2, a 22 Example 60 如果把复数域 C 看作是 上的线性空间, 那么它是 维的, 数 就是 组基 如果把复数域 C 看作是实数域 R 上的线性空间, 那么就是 维的, 数 与 i 就是 组基 维数与所考虑的数域有关 488 Theorem 6 设 V 是数域 F 上的线性空间, x, x 2,, x k 为 V 中的向量组, 则它为线性相关向量组的充要条件是, 其中必有 ( 少有 个 ) 向量能由其余的向 量线性表出 487 Theorem 62 向量组 x, x 2,, x k 线性 关的充要条件是, 其中任 向量均 不能由其余向量线性表出 489 Theorem 63 n 维线性空间 V 中任意 n 个线性 关的向量 y, y 2,, y n 均可以作为 V 的基 Theorem 64 设 V 是 n 维向量空间, 则 V 中任意 k (k < n) 个线性 关的向量 x, x 2,, x k 必可以扩充成 V 的 组基

26 维数定理 Theorem 65 设 S 和 S 2 均为数域 F 上的线性空间 V 的 空间, 则有 dim(s + S 2 ) = dim S + dim S 2 dim(s S 2 ) 或记为 dim S + dim S 2 = dim(s + S 2 ) + dim(s S 2 ) 和的维数往往 维数的和来得 例如在 R 3 空间中, 两张通过原点的不同的平 之和是整个 R 3 空间, 其维数之和为 4 49 证 : 设 dim S = n, dim S 2 = n 2, dim(s S 2 ) = m 取 S S 2 的 组基 α, α 2,, α m 它可以扩充成 S 的 组基 α, α 2,, α m, β,, β n m 也可以扩充成 S 2 的 组基 α, α 2,, α m, γ,, γ n2 m 下 来证明, 向量组 α, α 2,, α m, β,, β n m,γ,, γ n2 m 是 S + S 2 的 组基, 这样 dim(s + S 2 ) = n + n 2 m, 因 维数公式成 492 现在来证明向量组是线性 关的 假设有等式 k α + k 2 α k m α m + p β + + p n mβ n m +q γ + + q n2 mγ n2 m = 0 令 α = k α + k 2 α k m α m + p β + + p n mβ n m () = q γ q n2 mγ n2 m (2) 由等式 (), 有 α S ; 由等式 (2), 有 α S 2 于是 α S S 2, 则 α 可 以由 α, α 2,, α m 线性表 令 α = l α + l 2 α l m α m, 则 l α + l 2 α l m α m + q γ + + q n2 mγ n2 m = 0 由于 α, α 2,, α m, γ,, γ n2 m 线性 关, 得 l = l 2 = = l m = q = = q n2 m = 0, 26

27 因 α = 从 有 k α + k 2 α k m α m + p β + + p n mβ n m = 0 由于 α, α 2,, α m, β,, β n m 线性 关, 故 k = k 2 = = k m = p = = p n m = 0 从 α, α 2,, α m, β,, β n m, γ,, γ n2 m 线性 关 另, S + S 2 中任 向量都可以由上述向量组线性表 事实上, 设 x S + S 2, 令 x = x + x 2, x S, x 2 S 2 则 x 可以 α, α 2,, α m, β,, β n m, 线性表 ; 且 x 2 可以 α, α 2,, α m, γ,, γ n2 m 线性表 故 x 可以 α, α 2,, α m, β,, β n m, γ,, γ n2 m 线性表 因 向量组 α, α 2,, α m, β,, β n m, γ,, γ n2 m 是 S + S 2 的 组基 故维数公式成 494 Exercise 66 试证多项式组, (x ), (x ) 2,, (x ) n 也是线性空间 R[x] n+ 的 个基底, 并求由基底 {, x, x 2,, x n { } 过渡到基底, (x ), (x ) 2,, (x ) n} 的过渡矩阵 解 : k {0,, 2,, n}, 有 (x ) k = ( ) k + C k ( )k x + C 2 k ( )k 2 x C k k ( )x k + x k ( ) k C k ( )k C 2 k ( )k 2 = (, x, x 2,, x k, x k+,, x n ) 0 0 则 (, (x ), (x ) 2,, (x ) n) = (, x, x 2,, x n )P, 495 其中 P = ( ) n 0 2 C n( ) n 0 0 C 2 n( ) n (n+) (n+) 由于 det P = 0, 所以, (x ), (x ) 2,, (x ) n 也是线性空间 R[x] n+ 的 个基底, 且所求过渡矩阵为 P

28 6 向量空间的线性变换 Definition 67 设有映射 T : X Y, x y 若任意 y Y 都有原像 x X, 则称 T 为从 X 到 Y 的 mapping, surjection), 简称满射 满映射 (onto 若对 X 中任意两个不同的元素 x, x 2, 都有 T x T x 2, 则称 T 为 的映射 (one-to-one mapping), 或单射 (injection) 上的映射, 或双射 (bi- 若 T 既是满射, 又是 对 的映射, 则称 T 是 到 jection) 对 线性变换的定义及其简单性质线性变换的定义 Definition 68 设 X 和 Y 均为数域 F 上的线性空间, 映射 T : X Y, x y 满 : T (x + x 2 ) = T (x ) + T (x 2 ), x, x 2 X; 2 T (λx) = λt (x), x X, λ F, 则称 T 为从 X 到 Y 的线性映射 线性映射常称为线性变换 (linear transformation) 或线性 算 (linear operator) 上述两个条件或者等价地表 为 T (λx + x 2 ) = λt (x ) + T (x 2 ), x, x 2 X, λ F 两个向量的和变换得到的向量是这两个向量变换得到的向量的和, 数 λ 与向量的数乘变换得到的向量是 λ 与该向量变换得到的向量的数乘 像这样向量之间加法与数乘关系都不受影响的变换, 它与线性空间的运算相适应, 能够反映线性空间中向量的内在联系, 是线性空间的重要变换 498 Example 69 设 A C m n, x C n, 求证 T (x) = Ax 是从空间 C n 到空间 C m 的线性变换 证明 x C n, T (x) = Ax C m, 故 T : x Ax 是从 C n 到 C m 的 个映射 x, x 2 C n, λ C, T (λx + x 2 ) = A(λx + x 2 ) = λax + Ax 2 = λt (x ) + T (x 2 ), 得证 T : x Ax 是从空间 C n 到空间 C m 的线性变换 Example 70 积分运算是线性变换 设 J: C[a, b] C[a, b], 且 J 定义为 因 f(x), g(x) C[a, b], λ R, J ( λf(x) + g(x) ) = x J ( f(x) ) = x a f(t) dt, ( ) x λf(t) + g(t) dt = λ f(t) dt + a a x a g(t) dt

29 = λj ( f(x) ) + J ( g(x) ) 故 J 是 C[a, b] 上的线性变换 Example 7 微分运算是线性变换 记 C [a, b] 表 在区间 [a, b] 上可微函数所构 成的线性空间 设 D: C [a, b] C[a, b], 且 D 定义为 400 因 f(x), g(x) C [a, b], λ R, D ( f(x) ) = f (x) D ( λf(x) + g(x) ) = λf (x) + g (x) = λd ( f(x) ) + D ( g(x) ), 故 D 是 C [a, b] 到 C[a, b] 的线性变换 40 非线性变换的例子 Example 72 设 T 定义为 : T (A) = det A, A R n n 则 T 是由 R n n 到 R 的 个映射, 但不是线性变换 因为 般情况下, det(a + B) det A + det B Example 73 共轭转置运算不是线性变换 设 T : C m n C n m, 且 T 定义为 T (A) = A H, A C m n 取 λ = i, 因 T (ia) = (ia) H = i(a) H it (A) 402 Definition 74 设 T 为从空间 X 到空间 X 的线性变换, 则称 T 为 性变换 上的线 X Definition 75 设 X 和 Y 均为数域 F 上的线性空间, 称映射 T : X Y, x 0 为零变换 (zero transformation), 记为 0 即 x X, 有 0 (x) = Definition 76 设 X 为数域 F 上的线性空间, 称映射 T : X X, x x 为 X 上的恒等变换或单位变换 (identity operator), 记为 E 即 x X, 恒有 E(x) = x Definition 77 设 X 为数域 F 上的线性空间, α F 为固定的数, 且 α 0 称 映射 T : X X, x αx 为 X 上的相似映射, 记为 α 即 x X, 恒有 α (x) = αx 29

30 相似映射也称为数乘变换 当 α = 时, 便得恒等变换 当 α = 0 时, 便得零 变换 恒等变换 E, 零变换 0 和相似变换 α 都是线性变换 404 Theorem 78 设 T 为从 X 到 Y 的线性变换, 则 T (0) = 0, 其中等式左边的 0 X, 右边的 0 Y 2 若 x = k α i x i X, 则 T (x) = k α i T (x i ) i= i= 3 若 x, x 2,, x k 为 X 中线性相关的向量组, 则 T (x ), T (x 2 ),, T (x k ) 为 Y 中线性相关的向量组 4 若 T (x ), T (x 2 ),, T (x k ) 为 Y 中线性 关的向量组, 则 x, x 2,, x k 为 X 中线性 关的向量组 证明 () T (0) = T (0x) = 0T (x) = 0 (2) 归纳法可得 (3) 设存在不全为零的 λ, λ 2,, λ k 使得 λ x + λ 2 x λ k x k = 0, 由结论 (), (2), 则 λ T (x ) + λ 2 T (x 2 ) + + λ k T (x k ) = 0 则 T (x ), T (x 2 ),, T (x k ) 线性相关 (4) 此命题为 (3) 的逆否命题 但要注意, (3) 的逆命题是不对的, 线性变换可能把线性 关的向量组也变成线性相关的向量组 如零变换 线性变换保持线性组合与线性关系式不变 () 如果 x 是 x, x 2,, x k 的线性组合 : x = λ x + λ 2 x λ k x k, 那么经过线性变换 T 之后, T (x) 是 T (x ), T (x 2 ),, T (x k ) 同样的线性组合 : T (x) = λ T (x ) + λ 2 T (x 2 ) + + λ k T (x k ) (2) 如果 x, x 2,, x k 之间有 线性关系式 λ x + λ 2 x λ k x k = 0, 那么它们的像之间也有同样的关系 λ T (x ) + λ 2 T (x 2 ) + + λ k T (x k ) = Exercise 79 判定下列映射哪些是线性变换? () 设 x 0 为空间 X 中的 个固定向量, 映射 T : X X, x x + x 0 30

31 解 : 当 x 0 = 0 时, T x = x + x 0 = x 显然是 X 上的线性变换 当 x 0 0 时, T (x + x 2 ) = x + x 2 + x 0, T (x ) + T (x 2 ) = x + x 2 + 2x 0 则 T (x + x 2 ) T (x ) + T (x 2 ), 即此时 T 不是 X 上的线性变换 (2) T : C C, ξ ξ 解 : T 不是线性变换 因为取 λ = i, ξ = 时, 有 T (λξ) = λξ = i, λt (ξ) = λξ = i 故 T (λξ) λt (ξ) 407 (3) 把复数域 C 看作实数域 R 上的线性空间, 记为 C R 映射 T : C R C R, ξ i Reξ 解 : ξ, η C R, λ R, 有 T (λξ + η) = i Re(λξ + η) = i Re(λξ) + i Reη = λ(i Reξ) + i Reη = λt (ξ) + T (η) 故 T 是线性变换 408 (4) 映射 T : C R C, ξ ξ 解 : T 是线性变换 ξ, η C R, λ R, 有 T (λξ + η) = λξ + η = λξ + η = λt (ξ) + T (η) 409 (5) T : R 3 R 3, (x, x 2, x 3 ) T (2x x 2, x 2 + x 3, x ) T 解 : T 是线性变换 x = (x, x 2, x 3 ) T, y = (y, y 2, y 3 ) T R 3, λ R, 有 T (x) + T (y) = T ( (x, x 2, x 3 ) T) + T ( (y, y 2, y 3 ) T) = (2x x 2, x 2 + x 3, x ) T + (2y y 2, y 2 + y 3, y ) T = ( 2(x + y ) (x 2 + y 2 ), (x 2 + y 2 ) + (x 3 + y 3 ), (x + y ) ) T = T ( ) x + y, x 2 + y 2, x 3 + y 3 = T (x + y) T (λx) = T ( (λx, λx 2, λx 3 ) T) = (2λx λx 2, λx 2 + λx 3, λx ) T = λ(2x x 2, x 2 + x 3, x ) T = λt (x) 3

32 40 (6) T : R n n C n n, Z BZC, 其中 B, C 是 C n n 中固定的矩阵 解 : Z, Z 2 R n n, λ R, 有 T (λz + Z 2 ) = B(λZ + Z 2 )C = λbz C + BZ 2 C = λt (Z ) + T (Z 2 ) 故 T 是线性变换 4 (7) T : R[x] n R[x] n, p(x) p(x + ) 解 : T 是线性变换 设 p(x), q(x) R[x] n, λ R, 并令 r(x) p(x) + q(x), s(x) λp(x) 则 r(x + ) = p(x + ) + q(x + ), s(x + ) = λp(x + ) 故 T ( p(x) + q(x) ) = T ( r(x) ) = r(x + ) = p(x + ) + q(x + ) = T ( p(x) ) + T ( q(x) ), T ( λp(x) ) = T ( s(x) ) = s(x + ) = λp(x + ) = λt ( p(x) ) 线性变换的矩阵表示设 X 和 Y 均为数域 F 上的线性空间, dim X = n, dim Y = m 又设 T : X Y 为给定的从 X 到 Y 的线性变换 任取 X 和 Y 的基底分别为 B X = {x, x 2,, x n }, B Y = {y, y 2,, y m } 则基底 B X 的像 T (x ), T (x 2 ),, T (x n ) 可以由基底 B Y 线性表 : T (x ) = a y + a 2 y a m y m, T (x 2 ) = a 2 y + a 22 y a m2 y m, T (x n ) = a n y + a 2n y a mn y m, 即 a a 2 a n [ T (x ), T (x 2 ),, T (x n ) ] a 2 a 22 a 2n = [y, y 2,, y m ] a m a m2 a mn 32

33 则 记 a a 2 a n a 2 a 22 a 2n P = F m n, a m a m2 a mn [ T (x ), T (x 2 ),, T (x n ) ] = [y, y 2,, y m ]P (3) 43 若记 T [ x, x 2,, x n ] [ T (x ), T (x 2 ),, T (x n ) ], 则式 (3) 还可以表达为 T [ x, x 2,, x n ] = [y, y 2,, y m ]P, 或者 T B X = B Y P (4) 44 Definition 80 表达式 T B X = B Y P 中的矩阵 P 称为线性变换 T 的关于基底 B X 和基底 B Y 的矩阵表, 记为 m BX,B Y (T ) 利 线性变换的矩阵可以直接计算 个向量的像 45 Theorem 8 设线性变换 T : X Y 的关于基底 B X 和基底 B Y 的矩阵表示为 P, 向量 x 在基底 B X 下的坐标为 (a, a 2,, a n ) T, 则 T (x) 在基底 B Y 下的坐标 (b, b 2,, b m ) T 可以按下述公式计算 : (b, b 2,, b m ) T = P (a, a 2,, a n ) T 证 : 记 B X = {x, x 2,, x n }, B Y = {y, y 2,, y m } 由假设 x = a x + a 2 x a n x n, 于是 T (x) = a T (x ) + a 2 T (x 2 ) + + a n T (x n ) a = [ T (x ), T (x 2 ),, T (x n ) ] a 2 a 2 = [y, y 2,, y m ]P 另, 由假设 a a n a n b b 2 T (x) = [y, y 2,, y m ], b m 46 33

34 因为向量 y, y 2,, y m 线性 关, 所以 b a b 2 a 2 = P b m a n 线性空间中的向量可以 坐标来表, 抽象的线性变换也能同具体的数发 联系 : 矩阵来表 47 线性变换的矩阵是与空间中的 组基底联系在 起的 般说来, 随着基底的改变, 同 个线性变换就有不同的矩阵 为了利 矩阵来研究线性变换, 我们有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基底的改变 改变的 线性变换在不同基底下的矩阵之间的关系设 B X, B () X 为线性空间 X 的基底, B Y, B () Y 为线性空间 Y 的基底, 且线性变换 T 关于基底 B X 和 B Y 的矩阵为 P, T 关于基底 B () X 和 B () Y 的矩阵为 P 即 T B X = B Y P, T B () X = B() Y P 又设有过渡矩阵 A, B 使得 B X = B () X A, B Y = B () Y B 下求 P 与 P 的关系 T B X = B Y P T B () X A = B() Y BP, B () Y P A = B () Y BP, P A = BP, 即 P = BP A 48 Theorem 82 设 X 和 Y 为数域 F 上的线性空间, 则对给定的线性变换 T : X Y, 其关于 X 和 Y 的两组不同基底 B X, B Y 和 B () X, B() Y 的矩阵表示 P 和 P 是相 抵的, 即存在可逆矩阵 A 和 B 使 P = BP A Corollary 83 设 T 是线性空间 X 上的线性变换, 即 T : X X 若 T 在两组 基底 B = {α, α 2,, α n }, (5) B () = {β, β 2,, β n }, (6) 下的矩阵表示分别为 P 和 P, 且从基 B () 到基 B 的过渡矩阵为 A, 则 P = AP A 即线性空间 X 上的线性变换在不同的基底下的矩阵表示是 相 似的 34

35 49 Exercise 84 已知 R 3 中线性变换 T 在基底 B = {η, η 2, η 3 } 下的矩阵表 为 0 P = 0 2 其中 η = (,, ) T, η 2 = (, 0, ) T, η 3 = (0,, ) T 求 T 在 然基底 {e, e 2, e 3 } 下的矩阵表 解 : 已知 T [ η, η 2, η 3 ] = [ η, η 2, η 3 ] P 设所求矩阵为 P, 即满 由 T [ e, e 2, e 3 ] = [ e, e 2, e 3 ] P 0 [ ] [ ] η, η 2, η 3 = e, e 2, e 3 0 [ ] e, e 2, e 3 A, 420 则 P = AP A 0 = 0 2 = 或者不使 公式, 下述表达 式 已知 T [ η, η 2, η 3 ] = [ η, η 2, η 3 ] P 42 代 得 0 [ ] [ ] η, η 2, η 3 = e, e 2, e 3 0 T [ 0 ] e, e 2, e 3 0 = [ 0 ] e, e 2, e 3 0 P 35

36 故 T [ ] [ ] e, e 2, e 3 = e, e 2, e P Exercise 85 在 R 3 中线性变换 T 定义如下 : T (, 0, 2) T = ( 5, 0, 3) T, T (0,, ) T = (0,, 6) T, T (3,, 0) T = ( 5,, 9) T 求 T 在 然基底 {e, e 2, e 3 } 下的矩阵表, 并求 R(T ) 及 dim R(T ) 解 : 记 η = (, 0, 2) T, η 2 = (0,, ) T, η 3 = (3,, 0) T 由 = 5 0, 2 0 知 η, η 2, η 3 是 R 3 的 组基底 423 又 由题设 T [η, η 2, η 3 ] = [e, e 2, e 3 ] 0, [η, η 2, η 3 ] = [e, e 2, e 3 ] 0, 2 0 故 T [e, e 2, e 3 ] = [e, e 2, e 3 ] = [e, e 2, e 3 ] 得 T 在基底 {e, e 2, e 3 } 下的矩阵表 为 A =

37 由 = 0, 知矩阵不满秩, 列向量 α = ( 5, 4, 27) T, α 2 = (20, 5, 8) T 不成 例, A 的 列向量的 个极 关组为 α, α 2, 故 R(A) = span[α, α 2 ], 从 R(T ) = span[ 5e 4e e 3, 20e 5e 2 + 8e 3 ] 且 dim R(T ) = 线性变换的运算 Definition 86 设空间 X 和空间 Y 为数域 F 上的线性空间 T, T 2 都是从 X 到 Y 的映 射, λ F, 若 对任意 x X 均有 T (x) = T 2 (x), 则称 T 与 T 2 相等, 记为 T = T 2 2 对任意 x X 均有 T (x) + T 2 (x) = T (x), 则称为与的和, 记为 T = T + T 2 3 对任意 x X 均有 T (x) = λ ( T (x) ), 则称 T = λt T T T 2 T 为 T 与 λ 的标量乘 积, 记为 若 T 与 T 2 为 线 性 变 换, 则 T + T 2 及 λt 仍是 线 性 变 换 426 Theorem 87 设 L(X, Y ) 为从 X 到 Y 的所有线性变换所构成的集合, 则 L(X, Y ) 按照定义 86 中的加法与标量乘法构成数域 F 上的 个线性空间, 称 为 X, Y 所诱导的变换空间 427 Definition 88 设 T L(X, Y ), S L(Y, Z), 若线性变换 G L(X, Z) 对任意 x X 都满 G(x) = S ( T (x) ), 则称 G 为 T 与 S 的积, 并记为 ST, 即 G = ST 线性变换的乘积 般是不可交换的 即 T S = ST 般不成 例如下 的习 题 428 Exercise 89 设 T, S 为线性空间 R[x] 的如下的两个线性变换 : T p(x) = p (x), Sp(x) = xp(x) 试问等式 T S = ST 是否成? 并证明 T S ST = E 37

38 解 : () 因为 (T S)p(x) = T ( Sp(x) ) = T ( xp(x) ) = p(x) + xp (x), (ST )p(x) = S ( T p(x) ) = S ( p (x) ) = xp (x), 可见 p(x) 0 时, (T S)p(x) (ST )p(x), 故 T S ST (2) 由上述讨论知, 对任意 p(x) R[x], 有 429 (T S)p(x) = p(x) + (ST )p(x), 即 (T S ST )p(x) = p(x), 故 T S ST = E 430 Definition 90 设 T L(X, X), 则称 T T 为 T 的 平, 并记为 T 2 = T T 般 地, 以下述递推式来表 T 的 k 次 (k 0): T 0 = E, (7) T k = T (T k ), k =, 2, 若 T 是可逆变换, 则上式中的 k 可以取任何整数 可逆变换 : 设 T, S 为空间 X 上的变换, 若 则称 S 为 T 的逆变换, 记为 T T S = ST = E, 如取 k = 2, 则 T 2 = T (T 3 ) 43 Definition 9 设 X 为数域 F 上的线性空间, T L(X, X), 又设 g(λ) 为关于 λ 的多项式, 其系数属于 F, 即 g(λ) = α 0 + α λ + + α m λ m, 则表达式 g(t ) = α 0 E + α T + + α m T m, 称为线性变换 的多项式 T 432 Exercise 92 设 T, S L(X, X), 并且 T S ST = E, 试证 T m S ST m = mt m, m =, 2, 38

39 证明 对 m 数学归纳法 当 m = 时, 即 T S ST = T 0 = E, 由题设成 假定等式对 m 成, 即有 T m S ST m = mt m 下 证明等式对 m + 也成 T m+ S ST m+ = T m (T S) ST m+ = T m (E + ST ) ST m+ = T m + T m ST ST m+ = T m + (T m S ST m )T = T m + (mt m )T = (m + )T m+, 即等式对 m + 也成 从 对任意正整数都成 线性变换的像 ( 值域 ) 与核线性变换的值域与核 Definition 93 给定线性变换 T : X Y, 记 R(T ) = {y Y y = T (x), x X}, N(T ) = {x X T (x) = 0}, 则 R(T ) 称为 T 的值空间 ( 或值域 ) ;N(T ) 称为 T 的零空间 ( 或核 ) T : X Y X Y N(T ) 435 Example 94 证明 : R(T ) 是 Y 的 个 空间, N(T ) 是 X 的 个 空间 证 : () R(T ) 是 Y 的 空 集 下证 R(T ) 对加法和数乘是封闭的 y = T (x ), y 2 = T (x 2 ) R(T ), k F, 有 y + y 2 = T (x ) + T (x 2 ) = T (x + x 2 ) R(T ), ky = kt (x ) = T (kx ) R(T ) 故 R(T ) 是 Y 的 个 空间 (2) N(T ) 是 X 的 空 集 下证 N(T ) 对加法和数乘是封闭的 x, x 2 N(T ), 有 T (x ) = 0, T (x 2 ) = 0, 则 T (x + x 2 ) = T (x ) + T (x 2 ) = = 0 得 x + x 2 N(T ) 又 λ F, 有 T (λx ) = λt (x ) = 0, 得 λx N(T ) 故 N(T ) 是 X 的 个 空间

40 Example 95 在线性空间 R[x] n 中, 令 T ( p(x) ) = p (x) 则 T 的值域就是 R[x] n, T 的核就是 空间 R 437 Theorem 96 设 X 和 Y 均为数域 F 上线性空间, dim X = n, dim Y = m, 又 设 T L(X, Y ), 则有 dim R(T ) + dim N(T ) = dim X 证 : 记 dim N(T ) = k, 设 N(T ) 的基底为 {x, x 2,, x k } 则 T (x ) = = T (x k ) = 0 将其扩充为 X 的基底 {x,, x k, x k+,, x n } y R(T ), x X, 满 y = T (x) 设 x = n α i x i, 则 i= y = T (x) = T ( ) α x + + α k x k + α k+ x k+ + + α n x n = α k+ T (x k+ ) + + α n T (x n ), 由 y 的任意性, 下证 T (x k+ ),, T (x n ) 线性 关, 从 是 R(T ) 的 组基底, 则 dim R(T ) = n k, 得到 dim R(T ) + dim N(T ) = dim X 438 设有 ξ k+ T (x k+ ) + + ξ n T (x n ) = 0, 即 T (ξ k+ x k+ + + ξ n x n ) = 0, 从 ξ k+ x k+ + + ξ n x n N(T ) 故可设 ξ k+ x k+ + + ξ n x n = λ x + + λ k x k, 即 λ x λ k x k + ξ k+ x k+ + + ξ n x n = 0 x,, x k, x k+,, x n 为 X 的基底, 故 λ = = λ k = ξ k+ = = ξ n = 0 故 T (x k+ ),, T (x n ) 线性 关 439 Definition 97 给定线性变换 T : X Y, 则称 R(T ) 的维数为 rank(t ) 又称 N(T ) 的维数为 T 的零 度, 记为 null(t ) T 的 秩, 记为 前述定理的结论也可以表达为 rank(t ) + null(t ) = dim X

41 7 习题 Exercise 98 ( 习题 ) 证明 : α = (,,, ) T, α 2 = (,,, ) T, α 3 = (,,, ) T, α 4 = (,,, ) T 是 R 4 的 组基, 并求 β = (, 2,, ) T 在这 组基下的坐标 解 : r i r i=2,3,4 r 2 +r 3 +r 4 r 3 r , (r +r 2 +r 3 +r 4 )/4 (r 3 +r 2 )/( 2) (r 4 +r 2 )/( 2) 故 α, α 2, α 3, α 4 是 R 4 的 组基, 且 β 在这组基下的坐标为 ( 5 4, 4, 4, 4) T Exercise 99 ( 习题 2) 已知 R 3 的两组基为 α = (, 2, ) T, α 2 = (2, 3, 3) T, α 3 = (3, 7, ) T ; β = (3,, 4) T, β 2 = (5, 2, ) T, β 3 = (,, 6) T 求 : () 向量 γ = (3, 6, 2) T 在基 {α, α 2, α 3 } 下的坐标 ; (2) 基 {α, α 2, α 3 } 到基 {β, β 2, β 3 } 的过渡矩阵 ; (3) 公式 (47) 求 γ 在基 {β, β 2, β 3 } 下的坐标 解 : () 设 x α + x 2 α 2 + x 3 α 3 = γ, 解 程组 : r 2 2r 0 0 r 3 r r i ( ) i=2,3 0 0 r 2+r 3 r 3r r 3+r 2 r 2r , 0 0 故向量 γ = (3, 6, 2) T 在基 {α, α 2, α 3 } 下的坐标为 ( 2,, ) T 443 4

42 (2) 设所求的过渡矩阵为 P, 即有 (β, β 2, β 3 ) = (α, α 2, α 3 )P, 那么 P = (α, α 2, α 3 ) (β, β 2, β 3 ) 由 r 2 2r r 3 r r 3 +r r i ( ) i=2, r 2 +r 3 r 3r r 2r , 故所求过渡矩阵为 P = (3) 向量 γ = (3, 6, 2) T 在基 {β, β 2, β 3 } 下的坐标为 y y 2 y 3 = 因为 r +3r 2 r 3 4 r r 3 r 2 9r r r 3 r 2 r 2 ( 7) r 2r 3 r 2 +9r 3 r 3r , 445 所以向量 γ = (3, 6, 2) T 在基 {β, β 2, β 3 } 下的坐标为 ( 53 4, 06 4, 83 4 )T 446 Exercise 00 ( 习题 3) 已知 R 4 的两组基为 α = (, 2,, 0) T, α 2 = (,,, ) T, α 3 = (, 2,, ) T, α 4 = (,, 0, ) T ; β = (2,, 0, ) T, β 2 = (0,, 2, 2) T, β 3 = ( 2,,, 2) T, β 4 = (, 3,, 2) T 42

43 () 求基 {α, α 2, α 3, α 4 } 到基 {β, β 2, β 3, β 4 } 的过渡矩阵 ; 若向量 γ 在基 {α, α 2, α 3, α 4 } 下的坐标为 (, 0, 0, 0) T, 求 γ 在基 {β, β 2, β 3, β 4 } 下的坐标 ; (2) 求基 {β, β 2, β 3, β 4 } 到基 {α, α 2, α 3, α 4 } 的过渡矩阵 ; 若向量 ξ 在基 {β, β 2, β 3, β 4 } 下的坐标为 (, 2,, 0) T, 求 ξ 在基 {α, α 2, α 3, α 4 } 下的坐标 ; (3) 已知向量 α 在基 {α, α 2, α 3, α 4 } 下的坐标为 (, 2,, 0), 求它在基 {β, β 2, β 3, β 4 } 下的坐标 解 : 记 A = (α, α 2, α 3, α 4 ), B = (β, β 2, β 3, β 4 ) () 设所求过渡矩阵为 P, 即有 B = AP, 从 P = A B r 2 2r r 3 +r r 2 r r 3 2r r 4 +3r r 3 ( 2) r 4 7r r +r 4,r 2 r r r 2 +2r , r r r 2 r 即从基 {α, α 2, α 3, α 4 } 到基 {β, β 2, β 3, β 4 } 的过渡矩阵为 P = 记 x = (, 0, 0, 0) T, 设 γ 在基 {β, β 2, β 3, β 4 } 下的坐标为 y 则 Ax = By 448 又 B = AP, 得 Ax = AP y, 从 x = P y, 故 y = P x 449 由 (P, x) = r 2 r

44 r 3 r 2 r r r 3 r 3 r 故 γ 在基 {β, β 2, β 3, β 4 } 下的坐标为 : (0,, 0, ) T (2) 设所求过渡矩阵为 Q, 即有 A = BQ, 从 Q = B A, 于是 Q = P 下 求 P r (P, I) = 2 r r 3 r 2 r r r , r 3 r 即 0 P 0 0 = 向量 ξ 在基 {α, α 2, α 3, α 4 } 下的坐标为 : = (3) 当向量 α 在基 {α, α 2, α 3, α 4 } 下的坐标为 (, 2,, 0) T 时, 它在基 {β, β 2, β 3, β 4 } 下的坐标为 : =

45 Exercise 0 ( 习题 4) 在 R 4 中找 个向量 γ, 使它在 然基 {ε, ε 2, ε 3, ε 4 } 和 基 β = (2,,, ) T, β 2 = (0, 3,, 0) T, β 3 = (5, 3, 2, ) T, β 4 = (6, 6,, 3) T 下有 相同的坐标 解 : 设向量 γ 在两组基下的坐标均为 (x, x 2, x 3, x 4 ) T, 则有 x ε + x 2 ε 2 + x 3 ε 3 + x 4 ε 4 = x β + x 2 β 2 + x 3 β 3 + x 4 β 4 即 (x, x 2, x 3, x 4 ) T = x β + x 2 β 2 + x 3 β 3 + x 4 β 4 得 2x + 5x 3 + 6x 4 = x, x + 3x 2 + 3x 3 + 6x 4 = x 2, x + x 2 + 2x 3 + x 4 = x 3, x + x 3 + 3x 4 = x 4, x + 5x 3 + 6x 4 = 0, x + 2x 2 + 3x 3 + 6x 4 = 0, x + x 2 + x 3 + x 4 = 0, x + x 3 + 2x 4 = 0 对上述 程组的系数矩阵进 初等 变换 : r 2 r,r 3 +r r A = r 4 r r 4 ( 4) r 3 r r r 5r 3 0 0, r 4 r r 2 +r 取 x 4 = k, 得 程组得通解为 : 454 (x, x 2, x 3, x 4 ) T = ( k, k, k, k) T (k R) 即所求向量为 : γ = ( k, k, k, k) T (k R) 455 Exercise 02 ( 习题 5) 已知 α = (, 2,, ), β = (2, 3,, ), γ = (,, 2, 2) () 求 α, β, γ 的长度及 α, β, α, γ ; (2) 求与 α, β, γ 都正交的所有向量 解 : () α = ( ) = 7, β = = 5, γ = = 0 45

46 α β α, β = arccos α β = arccos = arccos α γ α, γ = arccos = arccos = arccos α γ (2) 设与 α, β, γ 都正交的向量为 x = (x, x 2, x 3, x 4 ), 则有 (α, x) = 0, (β, x) = 0, (γ, x) = 0 即 x +2x 2 x 3 +x 4 = 0, 2x +3x 2 +x 3 x 4 = 0, x x 2 2x 3 +2x 4 = 0 解此 程组 : r 3 +r 2 r 2 ( ) r 2 2r r 3 +r r 2r , 同解 程组为 457 x = 5x 3 + 5x 4, x 2 = 3x 3 3x 4, 于是与 α, β, γ 都正交的所有向量为 x 3 = x 3, x 4 = x 4 ( 5k + 5k 2, 3k 3k 2, k, k 2 ) 其中 k, k 2 为任意常数 458 Exercise 03 ( 习题 6) 求与 (,,, ), (,,, ), (2,,, 3) 都正交的单 位向量 解 : 设所求向量为 x = (x, x 2, x 3, x 4 ), 则有 x + x 2 x 3 + x 4 = 0, x x 2 x 3 + x 4 = 0, 2x + x 2 + x 3 + 3x 4 = 0 解此 程组 : 2 3 (r 2 r )/( 2) r 3 2r

47 r r 2 r 3 +r r r , 同解 程组为 459 x = 4x 3, x 2 = 0, x 3 = x 3, x 4 = 3x 3 得 程组的基础解系为 故所求单位向量为 ξ = (4, 0,, 3) T, ± 26 (4, 0,, 3) 460 Exercise 04 ( 习题 7) 已知向量 β 与向量组 α, α 2,, α m 中每个向量都正 交, 求证 β 与 α, α 2,, α m 的任 线性组合正交 证 : 设 k α + k 2 α k m α m 为 α, α 2,, α m 的任 线性组合, 注意到 (β, α i ) = 0 (i =, 2,, m), 则 (β, k α + k 2 α k m α m ) = k (β, α ) + k 2 (β, α 2 ) + + k m (β, α m ) = 0 结论成 46 Exercise 05 ( 习题 0) 设 {α, α 2, α 3 } 是 R 3 的 组标准正交基, 证明 β = 3 (2α + 2α 2 α 3 ), β 2 = 3 (2α α 2 + 2α 3 ), β 3 = 3 (α 2α 2 2α 3 ) 也是 R 3 的 组标准正交基 证 : 设 A = (α, α 2, α 3 ), B = (β, β 2, β 3 ) 由题设可知 : A T A = I, 且 B = A 因为 462 B T B = T A 3 AT

48 = T = I 所以 {β, β 2, β 3 } 也是 R 3 的 组标准正交基 463 a Exercise 06 ( 习题 ) 已知 Q = b c d 为正交矩阵, 试求 a, b, c, d, e 的值 3 7 解 : 第 : a =, 故 a = ± 第 3 : e2 =, 故 e = ± 6 7 此两 正交 : 3 7 a e = 0, 2 7 e () 将 a = 6 代 上式, 得 e = 2 7 7, 这与 e = ± 6 7 盾, 故舍去 (2) 将 a = 6 代 上式, 得 e = 故 Q = b c d Q 的各列为单位向量, 故 464 由各列两两正交, 故 b = 2 7 时, c = 6 7, d = 3 7 ; b = 2 7 时, c = 6 7, d = 3 7 b = ± 2 7, c = ±6 7, d = ±3 7 故所求的值有两组 : (a, b, c, d, e) = ( 6 7, 2 ) ( 7, 6 7, 3 7, 6 或 6 7 7, 2 7, 6 7, 3 ) 7, 6 7 Exercise 07 ( 习题 2) 证明 : 若 A 是正交阵, 则 A 的伴随矩阵 A 也是正交 矩阵 465 证 : 因为 A 是正交矩阵, 所以 A T A = I, AA T = I, 且 A 2 = A T A = A T A = I = A = A A, 于是 (A ) T A = ( A A ) T A A = A 2 (AA T ) = I = I 故 A 也是正交矩阵

49 2 3 Exercise 08 ( 习题 2) 设 A = 0, 求齐次线性 程组 Ax = 0 的解空间的维数及解空间的 组标准正交基 分析 : 齐次线性 程组 Ax = 0 的解空间的维数就是其基础解系中解向量的个 数, 并且基础解系就是解空间的 组基, 因此本题就是要求齐次线性 程组 Ax = 0 的基础解系, 再将其标准正交化 解 : r 2 r r 3 r r +r 2 r 选取 x, x 5 为 由未知量, 得同解 程组 : 467, 得基础解系为 x = x, x 2 = x x 5, x 3 = 0, x 4 = x +4x 5, x 5 = x 5, ξ = (,, 0,, 0) T, ξ 2 = (0,, 0, 4, ) T 故解空间的维数为 2 将 ξ, ξ 2 正交化得 : η = ξ = η 2 = ξ 2 (ξ 2, η ) (η, η ) η = = 再单位化 : e = η η = 0, e 3 2 = η 2 η 2 = , 468

50 综上 : 齐次线性 程组 Ax = 0 的解空间的维数为 2, 解空间的 组标准正交基为 e = (,, 0,, 0) T, e 2 = (, 2, 0, 3, ) T Exercise 09 ( 习题 22) 设 V 是 R 5 的 个 维 空间, 它的 组基为 α = (,,,, ), α 2 = (,, 0,, ), 试将 V 的基扩充为 R 5 的基 分析 : 与 α, α 2 正交的向量 定与 α, α 2 线性 关 解 : 设向量 x 满 (α, x) = 0, (α 2, x) = 0, 得 { x +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 = 0, x +x 2 +x 4 +x 5 = 0, 即 { x3 = 0, 程组的基础解系为 : x = x 2 x 4 x 5 ξ = (,, 0, 0, 0) T, ξ 2 = (, 0, 0,, 0) T, ξ 3 = (, 0, 0, 0, ) T 于是得到 R 5 的 组基为 : (,,,, ) T, (,, 0,, ) T, (,, 0, 0, 0) T, (, 0, 0,, 0) T, (, 0, 0, 0, ) T 470 另解 : r 3 r 于是得到 R 5 的 组基为 : r 3 ( ) r +r i i=2,3,4,5 (,,,, ) T, (,, 0,, ) T, (0,, 0, 0, 0) T, (0, 0, 0,, 0) T, (0, 0, 0, 0, ) T 47 Exercise 0 ( 习题 27) 设 {α, α 2,, α n } 是 n 维空间 V 的 组基, 又 V 中向量 α n+ 在这组基下的坐标 (x, x 2,, x n ) 全不为零 证明 α, α 2,, α n, α n+ 中任意 n 个向量必构成 V 的 组基 并求 α 在基 {α 2,, α n, α n+ } 下的坐标 证 : 只需证明 α, α 2,, α n, α n+ 中任意 n 个向量线性 关 50

51 若这 n 个向量中不包含 α n+, 那么结论显然成 ; 若这 n 个向量中包含 α n+, 不妨考虑 α 2,, α n, α n+ 设 k 2 α k n α n + k n+ α n+ = 0, 代 α n+ = x α + x 2 α x n α n, 则有 k n+ x α + (k n+ x 2 + k 2 )α (k n+ x n + k n )α n = 0 注意到 {α, α 2,, α n } 是 n 维空间 V 的 组基, 所以 472 k n+ x = 0, k n+ x 2 + k 2 = 0, k n+ x n + k n = 0 因为 x i 0, 所以 k 2 = k 3 = = k n+ = 0 故结论成 473 设 α 在基 {α 2,, α n, α n+ } 下的坐标为 (y 2, y 3,, y n, y n+ ) T 即有 α = y 2 α 2 + y 3 α y n α n + y n+ α n+ = y 2 α 2 + y 3 α y n α n + y n+ (x α + x 2 α x n α n ) = (x y n+ )α + (y 2 + x 2 y n+ )α (y n + x n y n+ )α n 于是 x y n+ =, y n+ = x, y 2 + x 2 y n+ = 0, y 2 = x 2 x, y n + x n y n+ = 0 y n = xn x ( 故 α 在基 {α 2,, α n, α n+ } 下的坐标为 x 2 x,, xn x, ) T x 474 另解 : 由 x 0 0 x 2 ( ) ( ) α2,, α n, α n+ = α, α 2,, α n 0 0 x 3, 0 0 x n 上式右端矩阵记为 A, 矩阵 A 可逆, 知向量组 α 2,, α n, α n+ 与向量组 α, α 2,, α n 等价, 从 向量组 α 2,, α n, α n+ 线性 关 又 α = ( ) 0 α, α 2,, α n ( ) α, α 2,, α n x 0 5

52 = ( α 2,, α n, α n+ ) y = ( α, α 2,, α n ) Ay 故 y = A x x 0 0 x x x x 3 0 相邻互换 0 0 x n x n x 0 0 x x 2 x 0 0 x x 3 x r n x r i x i+ r n, 0 0 x n xn x x x 故所求坐标为 ( x 2 x, x 3 x,, xn x, x ) T 476 Example ( 习题 5) 设 A 为正交矩阵, I + A 可逆, 证明 : () (I A)(I + A) 可交换 ; (2) (I A)(I + A) 为反对称矩阵 证 : () 因为 I A 2 = (I A)(I + A) = (I + A)(I A), 所以 (I + A) (I A)(I + A) = (I + A) (I + A)(I A) = (I A), 从 (I + A) (I A) = (I A)(I + A) 故 (I A)(I + A) 可交换 477 (2) 因为 A 为正交矩阵, 所以 AA T = A T A = I, 从 [(I A)(I + A) ] T = [(I + A) ] T (I A) T = [(I + A) T ] (I A) T = (I + A T ) (I A T ) = [A T (A + I)] A T (A I) = (A + I) (A T ) A T (A I) = (I + A) (I A) = (I A)(I + A) 故 (I A)(I + A) 为反对称矩阵

53 Exercise 2 ( 习题 52) 证明 : 证 : () 若 det A =, 则 A 为正交矩阵的充要条件是 A 的每个元素等于 的代 数余 式 ; (2) 若 det A =, 则 A 为正交矩阵的充要条件是 A 的每个元素等于 的 代数余 式乘以 A 为正交矩阵 A T = A A T = A A 若 A =, 则 A 为正交矩阵 A T = A a ij = A ij (i, j =, 2, n) 若 A =, 则 A 为正交矩阵 A T = A a ij = A ij (i, j =, 2, n) 结论成 479 Exercise 3 ( 习题 53) 设 α, α 2,, α m R n, 证明 : α, α 2,, α m 线性 关的充要条件是 (α, α ) (α, α 2 ) (α, α m ) (α 2, α ) (α 2, α 2 ) (α 2, α m ) det A = det 0 (α m, α ) (α m, α 2 ) (α m, α m ) 证 : 充分性 设 x α + x 2 α x m α m = 0, 分别 α i (i =, 2,, m) 与上式两端的向量做内积, 得到线性 程组 : x (α, α ) + x 2 (α, α 2 ) + + x m (α, α m ) = (α, 0) = 0, x (α 2, α ) + x 2 (α 2, α 2 ) + + x m (α 2, α m ) = (α 2, 0) = 0, 因为 x (α m, α ) + x 2 (α m, α 2 ) + + x m (α m, α m ) = (α m, 0) = 0, det A = det (α, α ) (α, α 2 ) (α, α m ) (α 2, α ) (α 2, α 2 ) (α 2, α m ) 0, (α m, α ) (α m, α 2 ) (α m, α m ) 480 所以上述 程组只有零解, 即 x = x 2 = = x n = 0, 故 α, α 2,, α m 线性 关 48 必要性 反证法, 假设 det A = 0, 那么 A 的 m 个列向量线性相关, 记 A (α, α i ) (α 2, α i ) 的第 i 列为 β i =, 则存在不全为 0 的数 k, k 2,, k m, 使得 (α m, α i ) k β + k 2 β + + k m β m = 0 53

54 即 于是 m (α i, k j α j ) = 0, i =, 2,, n j= 亦即 m m m m m m k i (α i, k j α j ) = ( k i α i, k j α j ) = ( k i α i, k i α i ) = 0 i= j= i= j= i= i= m k i α i = 0, 这与 α, α 2,, α m 线性 关 盾, 故结论成 482 i= 54