内 容 简 介 本书共分六章 内容包括行列式 矩阵 向量空间 线性方程组 矩阵的相似对角化 二次型 各章中均有典型例题的归纳与解题方法的总结 还有历届研究生入学考试题按知识点的归类 每章均配有适量的习题 书后附有参考答案 加 号的内容适用于分层教学较高层次的教学 本书可作为高等院校工科和经济管理学科

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1 普通高等教育 十二五 规划教材 线性代数及其应用 主 编 邹杰涛 张 杰副主编 孙明正 钱 盛 张智勇 科学出版社职教技术出版中心 北 京

2 内 容 简 介 本书共分六章 内容包括行列式 矩阵 向量空间 线性方程组 矩阵的相似对角化 二次型 各章中均有典型例题的归纳与解题方法的总结 还有历届研究生入学考试题按知识点的归类 每章均配有适量的习题 书后附有参考答案 加 号的内容适用于分层教学较高层次的教学 本书可作为高等院校工科和经济管理学科各专业的分层教学教材 也可供报考研究生的同学与科技工作者参考 图书在版编目 数据 线性代数及其应用 邹杰涛 张杰主编 北京 科学出版社 普通高等教育 十二五 规划教材 线 邹 张 线性代数 高等学校 教材 中国版本图书馆!" 数据核字 第 号 责任编辑 沈力匀 责任校对 王万红责任印制 吕春珉 封面设计 耕者设计工作室 印刷科学出版社发行 各地新华书店经销 年 月第一版 开本 年 月第一次印刷 字数 印张 定价 元 如有印装质量问题 我社负责调换 销售部电话 编辑部电话 版权所有 侵权必究 % 举报电话

3 前 言 线性代数是高等学校理工科和经济及管理学科有关专业的一门数学基础课 它不仅 是其他数学课程的基础 也是物理 力学 电路等课程的基础 实际上 任何与数学有 关的课程都涉及线性代数知识 另外 由于计算机的飞速发展和广泛应用 使得许多实 际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决 于是 作为处理离散问题工具的线 性代数 也是从事科学研究和工程计算的科技人员的必备的数学基础 本书是编者在进行多年教学实践和改革探索的基础上 为适应不同层次线性代数教 学要求 在原有 线性代数 讲义的基础上几经修改 使用 历经十年编写而成的 根 据教学改革的精神和本科专业对线性代数内容的不同要求 我们在内容结构等方面做了 精心选择和编排 内容包括 行列式 矩阵 向量空间 线性方程组 矩阵的相似对角 化 二次型 主要有以下几个特点 层次分明 适用面广 全书有基础部分和经典例题归纳与考研提高部分两个模 块组成 基础模块是按国家教委指定的 线性代数课程教学基本要求 编写的 其中包 括线性代数的主要内容和基本计算方法 为 学时 提高模块是对前面所学内容 的综合应用与提高 书中加 内容 可供多学时 如 学时 教学使用 也可作为有 余力的学生的课外拓展阅读和考研学生的复习参考之用 因此 本书不但适合理工科本 科线性代数课程的教学需求 也适用于专科生的教学需求 更适合分层教学需求 分散难点 提高素质 线性代数所使用的各种推证方法 公理化定义 抽象化 思维 计算与计算技巧及应用能力等都具有特色 是其他课程所无法替代的 是提高学 生数学素质不可缺少的一环 为了既有适当的理论深度 又能便于理解 我们对于一般 科学出版社职教技术出版中心 线性代数中教学难度较大内容做了适当的处理 突出矩阵 加强变换 矩阵这一数学概念能够与工程技术问题相结合并成为表 达手段 主要依赖于它的种种运算和变换 本书突出矩阵的四大变换 即初等变换 相 似变换 合同变换 正交变换 特别是初等变换 几乎贯穿于全书各章的始终 例题典型 题目丰富 每章精选了一定数量的基础例题与习题 使初学者在学 完一章之后 就能练习这些题目 从而加深了学生对所学概念的理解 达到初学的目 的 在每章的最后一节 对本章所涉及的知识和练习题进行了系统的归纳与总结 特别 是对解题方法和典型例题的归纳总结 是本书的一大特色 对于有余力和考研的学生 在解题技巧 计算能力和灵活性等方面都是大有帮助的 每章还配有历届研究生入学试 题 并在书后附有习题答案 应用广泛 案例丰富 全书结合知识点的应用给出了很多应用实例 从而使读 者对线性代数知识的应用有了一个初步的体会 同时也增加了读者的学习兴趣 借助电脑 兴趣学习 我们在每章的最后都设计了利用计算机软件 &

4 线性代数及其应用 解决线性代数中的计算问题的教学内容 使学生可以借助软件解决复杂烦琐的线性代数 计算问题 提高学生的计算能力和线性代数的应用能力 为培养学生的科学计算能力打 下良好基础 本书编写分工如下 孙明正 第一章与第二章 邹杰涛 第三章 张杰 第四 章 张智勇 第五章 钱盛 第六章 全书由邹杰涛统稿并负责修改定稿 在编写 过程中得到了北方工业大学公共数学教学团队各位同事的关心和支持 科学出版社和北 方工业大学教务处为本书的出版给予了很大的支持与帮助 在此一并表示衷心的感谢 由于水平所限 书中疏漏和不妥之处 恳请同行与读者指正

5 目 录 第 章 行列式 行列式的定义 二阶 三阶行列式的定义 二阶 三阶行列式的几何意义 排列及其逆序数 对换 阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行 列 展开 克莱姆法则 行列式的几何应用 行列式按 行 列 展开 典型例题 概述 应用 计算行列式 本章小结 习题 习题 考研真题 第 章 矩阵 矩阵的定义及其运算 矩阵的定义 几种特殊矩阵 矩阵的加减法 数与矩阵相乘 矩阵的乘法 矩阵的转置!""% 方阵的幂 方阵的行列式 共轭矩阵 矩阵的初等变换与初等矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 科学出版社职教技术出版中心

6 & 线性代数及其应用 矩阵的逆 用伴随矩阵求逆矩阵 用初等变换求逆矩阵 矩阵方程 分块矩阵 矩阵在实际问题中的应用 典型例题 应用 对矩阵进行运算 本章小结 习题 习题 考研真题 第 章 向量空间 向量及其运算 维向量的定义 维向量的加法和数乘运算 向量间的线性关系 向量的线性组合 向量组线性相关或线性无关 向量组的极大线性无关组 向量组的极大线性无关组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩 求向量组的极大无关组 向量空间 向量空间的概念 向量空间的基 维数和坐标 基变换与坐标变换 的标准正交基 向量的内积与向量的长度 标准正交基 施密特 &( 正交化方法 正交矩阵 应用问题 典型例题 应用 解向量组与向量空间相关问题 本章小结 习题 习题

7 目 录 考研真题 第 章 线性方程组 齐次线性方程组 齐次线性方程组有非零解的条件 齐次线性方程组解的性质及其结构 齐次线性方程组的解法 非齐次线性方程组 非齐次线性方程组解的性质及其结构 非齐次线性方程组解的存在条件 非齐次线性方程组解的判定的几何直观解释 非齐次线性方程组的解法 线性方程组求解的相关应用 典型例题 应用 解线性方程组 本章小结 习题 习题 考研真题 第 章 矩阵的相似对角化 方阵的特征值与特征向量 特征值与特征向量 特征值与特征向量的性质 相似矩阵与方阵的对角化 相似矩阵的概念及其性质 方阵的相似对角化 实对称矩阵的相似对角化 特征值与特征向量的应用 递推关系式的矩阵解法 一阶线性常系数微分方程组的矩阵解法 典型例题 应用 解相似矩阵 本章小结 科学出版社职教技术出版中心 习题 习题 考研真题 第 章 二次型 二次型的定义及其矩阵表示 二次型的标准形 线性变换与矩阵的合同

8 & 线性代数及其应用 用正交变换化二次型为标准形 用可逆线性变换化二次型为标准形 配方法 惯性定理与二次型的规范形 正定二次型与正定矩阵 二次型的应用 二次曲面的化简 典型例题 应用 求二次型的标准形 本章小结 习题 习题 考研真题 主要参考文献 附录 习题参考答案 附录 考研真题参考答案

9 第 章 行 列 式本章首先分析二阶 三阶行列式的构成 然后定义 阶行列式 并导出行列式的一些基本性质 最后介绍利用行列式求解 元线性方程组的克莱姆法则和齐次线性方程组有无非零解的判别定理 知识框架 7 4 / 6? ;? 4 ; +, A +?D?4;U4UC2?4;??4;+0<91??,)EAA236,B科学出版社职教技术出版中心

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11 第 章 行 列 式 行列式的定义 二阶 三阶行列式的定义 给定四个实数 使用对角线法则 我们定义下面的记号 称这个记号为一个二阶行列式 称数 为该行列式的元素或 分量 二阶行列式有两行和两列 其中元素 的第一个下标 为行指标 第二个下标 为列指标 即 位于行列式的第 行第 列 类似地 我们给出三阶行列式的计算公式 由上式可知三阶行列式含 项 每项均为不同行 不同列的三个元素的乘积并冠以正负号 其规律也遵循对角线法则 如图 所示 a 11 a 12 a 13 a 21 a 31 a 22 a 32 图 a 23 a 33 科学出版社职教技术出版中心 例 求解方程 解 由对角线法则得!

12 线性代数及其应用 解得 二阶 三阶行列式的几何意义 a b 图 设二阶行列式 令向量 则二阶行列式 的绝对值 为由向 量 为边构成的平行四边形的面积 如图 所示 事实上 由初等数学平面向量知识 平行四边形的面 积为 " 槡 " 槡 槡 槡 槡 设三阶行列式 令向量 则三阶行列式 的绝对值为以 为棱的平行六面体的体积 下面我们使用向量的相关知识计算以向量 为邻边的平行六面体的体积 如图 所示 以向量 为邻边的平行四边形作为底面 那么底面积为 % 而这个底面上的高是! " % 于是平行六面体的体积 " " ahb c h b a 图 这就是用向量计算平行六面体的体积的公式 因为体积只能取正值 故上式要取绝对值

13 第 章 行 列 式! % 称为三向量 的混合积 记作 所以平行六面体体积为 " 排列及其逆序数 需要注意的是对于四阶及以上的行列式 对角线法则便不适用了 下面我们用排列的 概念引出 阶行列式的定义 定义 由 组成的一个有序数组称为一个 级排列 例如 是一个四级排列 三级全排列的全体共有 种 分别为 个不同数码的不同 级排列总数用 表示 容易验证 将任意一个 级排列记成 定义 在一个排列中 如果某一个较大的数码排在较小的数码之前 就称这两个 数码构成一个逆序 一个排列中所有逆序的总数 叫做这个排列的逆序数 排列 的逆序数记成 有时简记为 % 显然 标准排列 的逆序数是 下面我们给出一般排列逆序数的求法 设 是自然数 到 的一个排列 对于元素 计算出排在 前面比 大的元素个数 % 则称元素 的逆序数为 % 从而 该排列的逆 序数为 %%%% % 例 求排列! 的逆序数 解 排列! 共有! 个元素 图 表示各个元素的逆序 比如 排在首位 所以 的逆序数为 前面比 大的数是 故 的逆序数为! 是最大数 逆序数为 前面比 大的数有 个 故 的逆序数为 类似的 的逆序数为 因此排列! 的逆序数为 %! && &&! 图 定义 逆序数为偶数的排列称为偶排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列 例如 排列! 是偶排列 排列 是奇排列 对换 下面对排列中元素之间的位置关系进行讨论 引入对换的概念 定义 在一个排列中 把任意两个元素的位置对调 而其它元素不动 就得到一 个新的排列 对于排列所施行的这样一个变换叫做一个对换 将相邻的两个元素对换 叫 做相邻对换 例如 排列 经元素 和 对换 变成新排列 科学出版社职教技术出版中心

14 线性代数及其应用 在对换下 排列的奇偶性会有变化 定理 对换改变排列的奇偶性 证 先看相邻对换的情形 设有排列 & 对调 得到 & 可以看出 经对换后 元素 & 和 的逆序数没有改变 而元素 的逆序数可能改变 当 时 的逆序数增加 的逆序数不变 当 时 的逆序数不变 的逆序数减少 总之 对换后的新排列与原来排列的逆序数相差 它们的奇偶性相反 一般对换的情形 设有排列 & 对换 将排列变成 & 这一对换可以看成是经若干次相邻对换得到的 先将元素 与 依次作相邻对换 经 次以后 变成 & 然后再将元素 与 依次作相邻对换 经 & 次以后 变成 & 即为上述的新排列 这就 是说 经过 & 次相邻对换 把原来的排列变成新排列 由 知 经 & 次相邻对换后 排列的奇偶性改变 所以原排列与新排列的奇偶 性不相同 因此 根据定理 经过奇数次对换后 排列改变其奇偶性 经过偶数次对换后 排 列不改变其奇偶性 而标准排列是偶排列 于是有 推论 奇排列调成标准排列的对换次数是奇数 偶排列调成标准排列的对换次数是 偶数 定理 个元素的所有排列中 奇排列和偶排列的个数相等 各为 个 阶行列式的定义 认真分析二阶 三阶行列式的表达式 我们发现有如下共同的特征 每一项都是不同行和不同列的元素的乘积 确切地说 每一项都包含了每一行的一个元素和每一列的一个元素 在每一项前面都冠以正号或负号 所包含的项数为所有可能的乘积 例如三阶行列式共有 项 即 项 基于这些特征 使用排列及其逆序数的性质 对于三阶行列式可以得到如下的表达式 求和号 表示对 三个数的所有排列 求和 即上式等于所有取自不 同行不同列的三个元素的乘积的 项代数和 类似的 可以给出 阶行列式的概念 定义 设有 个数 定义 阶行列式

15 第 章 行 列 式 其中 是两个 级排列 特别的 注 有时把行列式 简记作 或者 数 称为 的元素 当 时 一阶行列式 注意和 的绝对值区分开 需要时加以说明 行列式从左上角到右下角的对角线称为行列式的主对角线 例 证明行列式 证 我们利用定义 在 的第 行中除了 外 其它元素均为 因此只能取 第 行除 和 两个元素外 其它元素均为 因此 可以取 和 而前面已取 所以只能取 依次类推 可得 这样 中可能不为零的 项只有一项 其符号 故 上例中的行列式 它的主对角线以下的元素都是 称其为上三角行列式 类似地 主 对角线以上的元素都是 的行列式 称为下三角行列式 上三角行列式与下三角行列式统称为三角行列式 在计算行列式时 它们可作为公式应用 即常常把行列式化为三角行列式 以简化计算 例 证明 科学出版社职教技术出版中心 其中未写出的元素均为 其中未写出的元素均为 证 这是例 特例 这样的行列式称为对角行列式

16 线性代数及其应用 此行列式称为反对角行列式 使用定义 该行列式中除了 一项外 其余 项都等于 而此项的列标排列为 它的逆序数 所以 行列式的性质 根据 阶行列式的定义 计算一个 阶行列式 需要求 项 个元素乘积的代数 和 当阶数 比较大时 这样的计算量是很大的 因此我们有必要讨论行列式的计算方法 在这一节 先研究行列式的一些运算性质 然后利用其性质给出简便的计算方法 定义 设 把 的各行换成同序号的列 得到另一个行 列式 记成 称为行列式 的转置行列式 易见 与 互为转置行列式 性质 行列式与它的转置行列式的值相等 即 证 记 的转置行列式为 则有元素 由定义 % % 注 由性质 知 行列式中 行 与 列 的地位是等同的 行与列具有相同的性质 性质 互换行列式的其中两行 列 行列式改变符号 证 设 是由行列式 交换 两行得到的 那么有 当 & 时 & & 于是 % % % 最后一式中的

17 第 章 行 列 式 行标排列 是自然排列 列标排列 是由 经一 次对换得到的 设 的逆序数为 则由对换性质有 % 从而 下面我们用 表示行列式的第 行 用 表示第 列 交换行列式的第 行与第 行 记作 类似的 交换第 列与第 列 记作 由性质 得 推论 如果行列式其中有两行 列 完全相同 那么行列式等于零 例如 对于方程 明显的 所以方程的解为 性质 将行列式的某一行 列 中所有的元素都乘以数 & 等于用数 & 乘此行 列式 证 记 用数 & 乘以 的第 行 得 & & & 由定义 % & & % & 第 行元素乘以数 & 记作 %& 类似地 第 列元素同乘以数 & 记作 %& 推论 行列式中某一行 列 所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 如果行列式中有两行 列 的元素对应成比例 那么行列式等于零 第 行 列 提出公因子 & 记作 & & 性质 如果行列式的某一行 列 元素都是两个数之和 那么可以把行列式表示 成两个行列式的和 即 例 计算行列式 & 解 &! & &!! & & & 科学出版社职教技术出版中心 &! &

18 线性代数及其应用 & &!!! & 性质 把行列式某一行 列 的元素同乘以数 & 加到另一行 列 对应元素上去 行列式的值不变 即 & & & 证 设原行列式为 变形后得到的行列式为 由上面的性质得 & & & 用数 & 乘以第 行 列 加到第 行 列 上去 记作 && && 利用行列式的以上性质 可以把行列式化简 化为上 下 三角行列式 从而方便地求 出行列式的值 此方法称为计算行列式的化上 下 三角形法 例 计算行列式 解 化为上三角行列式

19 第 章 行 列 式 例 计算 & 解 该行列式称为 爪形 三线型 行列式 其算法如下 将第 & 列的 倍加到第 列 得到上三角行列式 例 计算 阶行列式 解 从行列式 的元素排列特点看 每一列 行 的 个元素的和都相等 下面的计 算方法称为 内加边法 把第 行同时加到第 行 提出公因子 & 然后各行减去第一行的 倍 即 行列式按行 列 展开 科学出版社职教技术出版中心 本节介绍计算行列式的另一种方法 降阶法 一般来说 低阶行列式比高阶行列式 的计算要简单 因此我们考虑用低阶行列式来表示高阶行列式 从而将高阶行列式的计算 问题化为低阶行列式来进行 为此 先介绍行列式的余子式和代数余子式的概念

20 线性代数及其应用 定义 在 阶行列式中 把元素 所在的第 行和第 列去掉 留下的元素按原 来的次序排成的 阶行列式 称为元素 的余子式 记作 对 冠以符号 & 记作 & 称为元素 的代数余子式 如 中 的余子式为 其代数余子式为 下面就利用代数余子式给出行列式的展开定理 先看一种特殊情形 引理 如果行列式 中第 行元素除 外其它都为零 那么行列式 等于 与 它的代数余子式 的乘积 即 证 先证 的情形 设 有 而 & 于是 再证一般情形 设 将 的第 行依次与第 行 第 行 第 行作交换 把第 行换到第 行 位置上 然后再将得到的这一行列式的第 列依次与第 列 第 列 第 列作 交换 把第 列换到第 列位置上 这时得到的行列式记为 则有 & & 由上述交换过程可知 在 中的余子式和在 中的余子式是一样的 根据前面结 果有 从而 & & 定理 行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 即 &&& 或 &&& 证 由行列式性质 得

21 第 章 行 列 式 类似地 可证得 &&& 该定理叫做行列式按行 列 展开法则 这一法则 能够把 阶行列式用 阶行列式来 表示 例 已知 求 求 && 解 使用上面的行列式按行 列 展开法则 我们按第一行展开 根据代数余子式的定义及行列式按行 列 展开法则得到 一般的 利用定理 把一个 阶行列式化成 个 阶行列式来计算 实际上并没有减少计算量 因此在利用这一法则时 通常是把它与行列式的性质结合使用 先将行 列式的某一行或列中除一元素外的其他元素均化为 然后再按此行 列 展开降阶 这样 便可以简化行列式的计算 例 计算 解 & &!!!!! &!!! 例 证明三阶范德蒙行列式 &!!! &!! 科学出版社职教技术出版中心

22 线性代数及其应用 证 & & & 推论 行列式任一行 列 的所有元素与另一行 列 对应元素的代数余子式的乘积之 和等于零 即 & && 或 &&& 证 设 它的第 行元素 的代数余子式为 把 的第 行元素换成第 行元素 其余行不变 得 当 时 按第 行把 展开 有 第 行 第 行 所以 & && 同理可证 &&&! 例 已知五阶行列式! 求 && 和 &!! 其中! 为 的第 行第 列元素的代数余子式 解 由行列式按行展开法则得!! 解得 &&&!

23 第 章 行 列 式! 用消元法解二元线性方程组 克莱姆法则 对于式 用加减消元法 将第 个方程两边乘以 将第 个方程两边乘以 然后把得到的两个方程相减 可得 类似地 将第 个方程两边乘以 将第 个方程两边乘以 然后把得到的两个方程相减 可得 当 时 由上述两个等式得到方程组 的唯一解 与上面二元线性方程组类似 含有 个未知量 个方程的线性方程组 在一定条件下 它的解可以用 阶行列式表示出来 有下面定理 定理 克莱姆法则 设线性方程组 科学出版社职教技术出版中心 如果式 的系数行列式不等于零 即 那么 方程组 存在唯一解 且 其中行列式 是把 的第 列元素用方程组 右端的常数项代替后 得到的 阶行列式 即

24 线性代数及其应用 证 用 中第 列元素的代数余子式 依次乘线性方程组 的 个方程 再把它们相加 得 && & && & && & && & 即! 因 故方程组! 有唯一解 下面证明式 也是方程组 的一个解 即 成立 为此 作 & 阶行列式 该行列式有两行元素相同 值为 把它按第 行展开 由于第 行中的 的代数余子 式为 所以有 即 & & & 由于方程组 的解一定是方程组! 的解 而式! 只有一个解 所以方 程组 有唯一解 例 已知平面上三个点 试确定经过这三个点且对称 轴与 轴平行的抛物线方程 解 设经过已知三点的抛物线方程为 其中 是待定常数 因为抛物线过三个点 所以有

25 第 章 行 列 式 系数行列式为三阶范德蒙行列式 故由克莱姆法则知此方程组有唯一解 又 故 从而所求抛物线方程为 & 线性方程组 当右端的常数 不全为 时 称为非齐次线性方程组 当 全为 时 称为齐次线性方程组 明显的 一定是它的解 这个解叫做齐次线性方程组 的零解 如果有一组不全为零的数是 的解 则它叫做齐次线性方程组 的非零解 齐次线性方程组 一定有零解 但不一定有非零解 使用克莱姆法则我们有 定理 如果齐次线性方程组 的系数行列式 则方程组 只有零解 & 例 设齐次线性方程组 & 有非零解 求 的值 & 解 要使齐次线性方程组有非零解 它的系数行列式必为零 而 由 得! 行列式的几何应用 利用二阶行列式计算平行四边形的面积请参考本章第 节 科学出版社职教技术出版中心 利用三阶行列式计算平行六面体的体积请参考本章第 节 平面上三点 ( 所确定的三角形面积为!( 设空间中四点 ( 若 ( 不共面 则以 ( 为顶点的四面体体积为

26 线性代数及其应用 " 若 ( 共面的充要条件为! 空间中不在同一直线上的三点 所确定平面的方程为 或者 例 已知四点 (!! 求四面体 ( 的体积 解 由立体几何知道 四面体的体积 " 等于以向量 ( 为棱的平行六面体 的体积的 即有 " ( 由于 (!! 所以 (!! 从而 " % 例 导出四点 在同一平面上的条件 解 所求的条件就是向量 共面的充分必要条件 因此 在同一平面上的充分必要条件是 例 一平面经过三点 求这平面的方程

27 第 章 行 列 式 解 设 为空间的任意一点 那么 在该平面上的充分必要条件为向量 共面 即 化简得所求的平面方程为 & & 行列式按 & 行 & 列 展开 我们知道 将三阶行列式按第 行展开 有 其中 个二阶行列式分别为 的余子式 现在 若将 与它们的余子式 的关系反过来看 将这 个二阶行列式称为该 阶行列式的二阶子式 而将 个一阶行列 式 分别称为这 个二阶子式的余子式 并且令 分别为二阶子式 的代数余子式 则三阶行列式也可以表示为 即三阶行列式也可以表示为第 行的所有二阶子式与它们的代数余子式的乘积之和 称上式为三阶行列式按第 行的展开式 对于 阶行列式 也可以定义其按 & 行 或 & 列 的展开式 为此 先介绍 定义 在 阶行列式 科学出版社职教技术出版中心

28 线性代数及其应用 中 任意选定 & 行 & 列 "&" 位于这些行和列交叉点上的 & 个元素 按原来的相对 位置组成的一个 & 阶行列式 称为行列式 的一个 & 阶子式 特别地 行列式的每一个元素都是它的 阶子式 行列式本身则是其 阶子式 当 "& 时 在行列式 中 划去这 & 行和 & 列 "& 后 剩下的元素按原 来的相对位置组成的 & 阶行列式 称为 & 阶子式 的余子式 如果 & 阶子式 在式 中所在行和列的标号分别为 & 和 & 其中 "&""&" 则在 的余子式 前加上符号 后 所得到的表示式 称为 & 阶子式 的代数余子式 & & ( & & 例如 在四阶行列式中 如果选定第 行 第 列 可确定! 一个二阶子式 的余子式为 的代数余子式为 ( 定理 拉普拉斯 )*+ 定理 在 阶行列式 中 任意取定 & 行 或 & 列 第 & 行 或列 "&""& 则这 & 行 或 & 列 元素组成的所有 & 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于该行列式的值 证明略 显然 当 & 时 即为行列式按一行 或一列 的展开式 例 利用拉普拉斯定理计算行列式! 解 注意到该行列式的第 列只有一个二阶子式! 因此可以选择行列式的第 列展开 从而 该二阶子式的代数余子式为 &&&!!!!!

29 第 章 行 列 式 一般地 拉普拉斯定理在用于下列形式行列式的计算时 有 & & & & & & & & 或 & & & & & & & & 例 已知 分别求下列行列式的值 解 将行列式按第 列展开 将行列式按第! 行展开! 科学出版社职教技术出版中心 典型例题 题型 利用行列式的定义计算行列式

30 线性代数及其应用 解题思路 对含零元素较多的行列式 可直接用定义计算 因行列式中的项有一元素为零时 该项的值为零 故只须求出所有非零项即可 此外 若一个 阶行列式中零元素的个数大于 则此行列式等于零 例 计算!!!! 解 方法一 用行列式定义 中第一行的非零元为 所以 同理可 求出!!! 因而行列式的非零项乘积的列标! 不能组成任何的! 级排列 即行列式没有非零项 因此 方法二 将行列式按第! 行展开!!!!! 题型 化行列式为上 下 三角形行列式进行计算解题思路 掌握行列式的特征是计算行列式的关键 在此基础上 充分利用行列式的 性质 灵活选用方法 值得注意的是 同一个行列式有时会有不同的求解方法 我们可选取 相对较简单的方法或自己最熟悉的方法 常见的类型有 若行列式的各行 或列 之间差别不大 可采用逐行 或列 相加 或减 的方法 将 其化简进行计算 对 爪形 三线型 行列式 可通过将其余各行 或列 的某一倍数加到第 行 或 列 而化为三角形行列式 若行列式各行 或列 元素相加后均等于同一个数 则可用 内加边法 对某些行列式 可在原行列式中增加一行一列 且保持原行列式的值不变 使其 具有某种特征 便于计算 称此法为 外加边法 例 计算 阶行列式 解 将第一行分别加到第 行 有

31 第 章 行 列 式 例 数四 设 阶矩阵 求 解 方法一 注意到所有各行元素相加后均等于 故可用 内加边法 方法二 使用 外加边法 把行列式化为 爪形 三线型 行列式 科学出版社职教技术出版中心 & 例 计算 阶行列式 解 利用 外加边法 有 & &

32 线性代数及其应用 题型 利用按 & 行 或 & 列 展开计算行列式解题思路 利用行列式 & 行 或 & 列 展开定理计算行列式 一般总是先利用行列式 的性质 把行列式的某行 列 的元素转化为尽可能多的零 然后再按行 列 展开以达到降 低行列式阶数 此即所谓的降阶法 例 数一 计算行列式 解 方法一 按第一列展开 方法二 利用行列式性质 方法三 按第 行展开

33 第 章 行 列 式! 明显的 第三种方法是最简单的 例 数二 设 根的个数为 则方程!!,(-. 解! 故有两个根 选 ( 题型 递推公式法!!!!! 解题思路 递推公式法 应用按行 列 展开定理 把一个 阶行列式表示为具有相同结构的较低 阶行列式的线性关系 & 或 & 再根据此关系递推求得所给 行列式的值 一般 三对角行列式 常用递推公式法计算 数学归纳法 对于包含整数 的公式 若要证的结果已知或者可以猜到时 可用数学 归纳法来证明 其步骤如下 验证 取第一个值 或 等 时公式成立 假定 "& 时公式成立 验证当 && 时公式也成立 例 数四 五阶行列式 解 这是 三对角行列式 按第一行展开 得递推公式! 科学出版社职教技术出版中心

34 线性代数及其应用! 例 计算 阶行列式 其中未 写出的元素均为 解 按第一列展开有 递推得 故 % 例 证明 阶范德蒙行列式 证 用归纳法 时 % "" 现假设 阶范德蒙行列式结论成立 那么 % ""

35 第 章 行 列 式 按第一列展开 ) ) ) 上式最后一个行列式是 阶范德蒙行列式 由归纳假设 于是 % "" "" % "" % 题型 利用范德蒙行列式计算行列式解题思路 若一行列式可转化为具有如下特征的行列式 其各行 列 都以第一行 列 的升幂从上到下 从左到右 由 所给行列式 例 设 到 排列 则可利用范德蒙行列式的结论来计算 其中 互不相同 求 的次数 最高次项的系数及 科学出版社职教技术出版中心 的全部根 解 利用范德蒙行列式 有 故 是 的 次多项式 最高次项的系数为 % "" 当 时 有 即 故 的全部根为

36 线性代数及其应用 例 利用范德蒙行列式计算 解 从第二列到第 列中依次提出公因数 化为范德蒙行列式 "" % % & &,),( 概述 一 简介,),( 是 /)01 矩阵实验室 的缩写 是在 世纪 年代中期 由 -++ 博士与其同事在美国国家科学基金的资助下开发的,),( 的产生 是与数学计算密切联系在一起的 设计者的初衷是为解决 线性代数 课程的矩阵运算 问题,),( 程序设计语言是 " 公司于 世纪 年代中期推出的一套高性能的数值计算和可视化数学软件 具有非常强大的计算功能 它以超群的风格与性能风靡 全世界 经过十几年的发展已成为适合多学科 成功地应用于各工程学科的研究领域 正 式凭借其杰出的性能,),( 现在已经成为世界上应用最广泛的工程应用软件之一 其功能强大 简单易学 编程效率高 深受广大科技工作者的欢迎,),( 是一种直译式的高级语言 比其他程序设计语言容易 它集科学计算 信号处理 控制 系统识别 图像处理 声音处理于一身 并提供了丰富的 " 图形界面 设计方法 目前 在世界各高等院校的数学 工程和科学系科,),( 被用做许多课程的辅 助教学手段 已经成为线性代数 自动控制理论 数字信号处理 时间序列分析 动态系统 仿真 图像处理等课程的基本教学工具 成为大学生 硕士生以及博士生必须掌握的基本 技能和计算工具 二 系统,),( 是一个可视化的计算程序 包括命令控制 可编程 有上百个预先定义好的命令和函数 这些函数能通过用户自定义函数进一步扩展,),( 有强有力的二

37 第 章 行 列 式 维 三维图形工具 能与其他程序一起使用 不同的,),( 工具箱可应用于特殊的应 用领域 如用于控制领域的工具箱有 ")2+",),( 系统主要具有如下的强大功能与语言特点,),( 主要功能有 数值计算功能 符号计算功能 数值分析可视化功能 文 字处理功能 45)4, 动态仿真功能 电子学 控制理论 物理学 经济学 化学和生物 学等学科方面的教学与研究功能,),( 特点有 功能强大 友好的界面和编程环境 运算符 库函数丰富 出色 的图形处理功能 扩展性强,),( 语言特点 语言简洁紧凑 语法限制不严 程序设计自由度大 可移植 性好 强大的数值 矩阵 运算功能 广泛的符号运算功能 高级与低级兼备的图形功能 可 靠的容错功能 适用的程序接口和发布平台 功能强大的工具箱 具有结构化的控制语句 丰富的,),( 工具箱 三 工具 许多学科在,),( 中都有专用工具箱 现已开发有 多个工具箱 但,),( 语言的扩展开发还远远没有结束 各学科的相互促进 将使得,),( 更加强大 主要 包括,),( 主工具箱 符号数学工具箱 小波工具箱 45)46 仿真工具箱 控制 系统工具箱 信号处理工具箱 图像处理工具箱 模糊逻辑工具箱 通讯工具箱 优化工具 箱 系统辨识工具箱 神经元网络工具箱 统计工具箱 财政金融工具箱 四 启动 用鼠标双击,),( 图标或者通过 开始 按钮 选择 程序 菜单项 然后打开,),( 菜单中的,),( 程序 就可启动,),( 系统 如图! 所示 科学出版社职教技术出版中心 图!

38 线性代数及其应用 单击,),( 进入,),( 的主窗口 如图 所示 工作窗出现以后 即可进 行各种操作 图 五 运算量,),( 操作符与功能说明见表 表 操作符 功能说明 操作符 功能说明 & 加 & 矩阵左除 减 & 数组左除 矩阵乘 矩阵右除 数组乘 数组右除 7 矩阵乘方 矩阵转置 7 数组乘方 数组转置 六 特殊运算符,),( 特殊运算符号与功能说明见表 表 符 号 功能说明冒号 在,),( 上非常重要分号 用于分隔行逗号 用于分隔列圆括号 指出在算术运算中的优先次序

39 第 章 行 列 式 符 号 功能说明 方括号 用于构成向量和矩阵 续表! 大括号 用于构成单元数组 小数点或域访问符 父目录 用于语句行尾端表示续行 8 用于注释 用于调用操作系统命令 用于赋值 七 关系运算,),( 关系符号与意义见表 表 关系符号意 义关系符号意 义 小于 大于或等于 小于或等于 等于 大于 不等于 八 输出格式 可用 9 命令选择输出格式 其结果只影响显示 不影响计算与存贮,),( 总是以双精度执行所有的运算 应用,),( 计算行列式,),( 中主要用 分别求行列式的数值解和符号解 有关这些命令的详细信息请查阅各种,),( 图书以及利用 +*+* 帮助 计算矩阵 对应的行列式 为数值方阵 计算矩阵 对应的行列式的符号值 为符号方阵 例 计算行列式 的值 解 利用,),( 计算为! 输入 >>!" >> 科学出版社职教技术出版中心

40 线性代数及其应用 输出 >>" 则计算得 当行列式中有字母时 就不能和单纯的数值矩阵一样 这时需要利用命令 如 * & && && &* 例 计算行列式 的值 & && && &* 解 利用,),( 计算为 输入 >>%& >>% & && && &* >>%%%%% %"% >> 输出 >>^^% ^ 则计算得 & 本题中 如果用 就不能计算出结果 命令等同 于 命令 对于特殊的行列式 如范德蒙德行列式的计算 * 例 计算范德蒙德行列式 * 的值 解 利用,),( 计算为 * 输入 >>%& >>% >>%^^%^^^^%^^ >>& 输出 >> % % % ( 本章小结 一 内容小结 本章首先通过对二阶 三阶行列式的推广 给出了 阶行列式的定义 然后研究了 阶行列式的性质和按行 列 展开的问题 最后 给出了解线性方程组的克莱姆法则 本章的基本要求包括 了解行列式的概念 掌握行列式的性质 会应用行列式的性质和行列式按行 列 展开定理计算行列式 会根据行列式的不同特点采用不同的数学方法 比如化上下三角形法 内加边法 数学归纳法 利用范德蒙行列式结论等 计算行列式 会利用克莱姆法则解线性方程组

41 第 章 行 列 式 二 知识要点 行列式的定义 阶行列式是所有取自不同行不同列的 个元素乘积的代数和 它由 项组成 其中带正号与带负号的项各占一半 表示排列 的逆序数 行列式的性质 行列式与它的转置行列式的值相等 互换行列式的其中两行 列 行列式改变符号 行列式中某一行 列 所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 如果行列式的某一行 列 元素都是两个数之和 那么可以把行列式表示成两个 行列式的和! 把行列式某一行 列 的元素同乘以数 & 加到另一行 列 对应元素上去 行列式 的值不变 行列式按行 列 展开定理 按行 列 展开法 行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式 乘积之和 即 &&& 或 &&& 其中 & 为 阶行列式 中 的代数余子式 余子式 是 在 阶行列式 中 去掉第 行和第 列后的 阶行列式 行列式某一行 列 的所有元素与另一行 列 对应元素的代数余子式乘积之和等 于零 即 & && 或 &&& 克莱姆法则 若线性方程组 的系数行列式 不等于零 即 那么 方程组存在唯一解 且 科学出版社职教技术出版中心

42 线性代数及其应用 其中行列式 是把 的第 列元素用方程组右端的常数项代替后得到的 阶行列式 如果齐次线性方程组的系数行列式 则方程组只有零解 齐次线性方程组有非零解的充要条件是 填空题 习题! 行列式 若! 则 &&&! 已知 的代数余子式 则代数余子式 单项选择题 多项式 中的常数项是, ( -!.! 若 & & 则 & &, ( 或 -.! 或 * *, * * ( * * - **. * * 计算下列行列式

43 第 章 行 列 式! * + 已知四阶行列式 求 的代数余子式 &! 证明 * * * * 计算行列式 计算下列各行列式 为 阶行列式 用克莱姆法则解方程组! && 问 取何值时 齐次线性方程组 && 有非零解 && 习题 科学出版社职教技术出版中心 设 则 的展开式中 的系数为

44 线性代数及其应用 若 阶范德蒙行列式的值为 " 是其代数余子式 则 已知 求下列行列式的值 计算行列式! 计算 阶行列式 计算 阶行列式 利用数学归纳法证明 证明 & & & & & " " " " " & "

45 第 章 行 列 式 计算 & 阶行列式 证明 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 设 在 上连续 在 内可导 试证 至少 使得,,, & 问 取何值时 齐次线性方程组 && 有非零解 && && 已知方程组 & 有唯一解 且 求 & 已知四点 (!! 求四面体 ( 的体积! 一平面经过三点 求这平面的方程 数四 求 阶行列式 考研真题 科学出版社职教技术出版中心 数一 计算行列式, (&

46 线性代数及其应用 为 - 数四 设 阶矩阵. 数二 设!! 则方程 根的个数为! 求, ( -.! 数四 设行列式 则第四行各元素余子式之和的值 数四 五阶行列式 数一 数二 数三 行列式 * *!,* (* - *. *

47 C+,A2C+D2第 章 矩 阵 本章首先给出了矩阵的定义 然后介绍了矩阵的运算 包括加法 数乘 乘法 转置 方 阵的行列式 方阵的幂 共轭及其各种运算规律 其次给出了矩阵的秩 逆的定义及其计算 方法 最后研究了分块矩阵及其对矩阵运算的简化 知识框架 0D<;2C +>C4 C,1C 2C+0,;) 2C2C+), 2C+B< 2C+(/ <2C 2C+DD,C+?4;5 *+(/*+2C 2C+6,32C+B< 科学出版社职教技术出版中心

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49 第 章 矩 阵 矩阵的定义及其运算 矩阵的定义 例 请用消元法求解下列三元一次线性方程组 && 解 交换前两个方程得到 && 第二式减去第一式的 倍 可得 第三式减去第一式的 倍 可得 若将方程组中的第二和第三个方程分别用上面两个新方程替换后 则得到等价的方程组 若该方程组的第三个方程替换为它与第二个方程的 倍的和 最终可得严格三角 形方程组 利用回代法得到 如果我们不改变上面方程组中未知数的位置 只考虑未知数前面的系数与常数项 则得到如下的矩形数表 那么 上述方程组的求解步骤 消元法 就可以用下面的变换得到 科学出版社职教技术出版中心

50 线性代数及其应用 一般的 对于 个方程的 元线性方程组 未知数前面的系数与常数项可以排成 行 & 列的数表 线性方程组的解完全由这一数表决定 在许多问题中 都有这样的矩形数表出现 如果撇 开数表中数据的意义 则可用下面的矩阵这一概念描述它 定义 设有 % 个数 将这些数按照一定的方 式排成 行 列的数表 称为 行 列的矩阵!" 简称 % 矩阵 矩阵 也记作 % % 或 & 这 % 个数叫做矩阵 的元素 有时简称为元 叫做矩阵 的第 行第 列的元 素 元素是实数的矩阵称为实矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵 本书中除了特别说明 外 都是指实矩阵 一般用大写字母 ( 等表示矩阵 定义 若 都是 % 的矩阵 则称它们是同型矩阵 又假设 即矩阵 与 的对应元素都相等 则称矩阵 与 矩阵 相等 记作 例如 设 如果 那么 几种特殊矩阵 零矩阵 元素全为零的矩阵称为零矩阵 记作 -% 或 - 注意的是 根据定义 % 矩阵 对任意的数 定义 % 矩阵为 行 列 矩阵 只有一行的矩阵 叫做行矩阵 也称为行向量 "!" 为避免元素之间的混淆 行矩阵有时也记为 只有一列的矩

51 第 章 矩 阵 阵 叫做列矩阵 也称为列向量 (!" 方阵 ":2/ 当矩阵 % 的行数与列数相等 即 时 称为 阶 方阵! 单位阵 阶方阵. 称为 阶单位阵 简记作. 其元素特点 主对角线 从左上角到右下角的这条线 上的 个元素都是 其余元素都是 对角矩阵 阶方阵 角线以外的元素都是 为了方便起见 有时也写成 称为对角矩阵 它的元素特点 主对 ;! 特别地 当 时 ;! 称为 阶数量矩阵 矩阵的加减法 或 定义 设有两个 % 矩阵 那么 将 与 的对应元素相 加 得到的 % 矩阵 称为矩阵 与 的和 记作 & 类似地 可以定义矩阵的减法 注 只有当两个矩阵是同型矩阵时 才能相加减 科学出版社职教技术出版中心

52 线性代数及其应用 记矩阵 % 称为矩阵 的负矩阵 矩阵的加减法满足以下运算规律 && &&(&&( & 数与矩阵相乘 定义 设 是 % 矩阵 为数 那么数 与矩阵 的乘积记作 或 定义为 设 是 % 矩阵 为常数 则数与矩阵的乘法满足下列运算规律 & & && 例 设 解 矩阵的乘法 求!! 定义 设 是 % 矩阵 是 % 矩阵 定义矩阵 与矩阵 的 乘积为一个 % 矩阵 ( 其中 && & 记作 ( 注 当第一个矩阵 或左矩阵 的列数等于第二个矩阵 或右矩阵 的行数时 矩阵 与 才能相乘 否则 不能进行乘法运算 例如 与 不能相乘! 特别的 一个 % 矩阵与一个 % 的矩阵相乘是一个 阶方阵 例如

53 例 设 求 和 解 设 ( ( 为 % 矩阵 即有 同理得到 注 从例 可看出 矩阵的乘法不满足交换律 即在一般情况下 同时由 - 不能得出 - 或 - 这是矩阵的乘法和数的乘法不同之处 当 时 称 与 可交换 设 ( 为矩阵 为数 则矩阵的乘法满足以下运算规律 (( &(&(&(&(.%%.% 例 将下面的线性方程组用矩阵乘法表示! 解 方法一 设! / 则 /!! 方法二 上述方程组也可写成! 矩阵的转置!"()*) 第 章 矩 阵! 科学出版社职教技术出版中心 定义 把矩阵 的行换成同序数的列 所得到的矩阵称为 的转置矩阵 记作 如果 阵 则 为 % 矩阵 那么 若 为 % 的矩

54 线性代数及其应用 例 矩阵! 的转置矩阵为! 设 为矩阵 为常数 矩阵的转置满足以下运算规律 & & 的证明 设 % % 则 为 % 矩阵 则 为 % 矩阵 记 ( % * % 根据定义 有 && 而 的第 行元素 & 为 的第 列元素为 因此 * & & && 所 & & 以 * 即 ( 从而 注 规律 可推广到有限个矩阵乘积的情形 如 ( ( ( ( 例 设 求 解 方法一 因为 于是 方法二 由于 所以 定义 设 为 阶方阵 如果满足 则称 为对称矩阵 简称对称阵 "1/ 如果满足 则称 为反对称矩阵 简称反对称阵 对称矩阵的元素满足 即以主对角线为对称轴的对应元素相等 反对称矩阵的元素满足 从而 即主对角线上的元素都为 其他元素以主对角线为对称轴 对应元素互为相反数

55 第 章 矩 阵 例如 是对称矩阵 是反对称矩阵 例 设 为 阶矩阵 证明 和 都是对称矩阵 为反对称矩阵 证 因为 所以 为对称矩阵 类似可得 因为 所以 为反对称 矩阵 方阵的幂 下面定义 阶方阵的幂 定义 设 为 阶方阵 定义 & & 其中 & 为正整数 & 称为 的 & 次幂 设 为 阶方阵 &0 为正整数 则方阵的幂运算满足下列运算规律 & 0 &&0 & 0 &0 当 与 可交换 即 时 有 & & & 另外 当 与 可交换时 我们才有下面的公式 1 1 例 已知矩阵 ( 设 ( 求 解 因为 ( 所以直接算 计算量会很大 观察到 ( ( ( ( ( ( ( 又 ( 故 ( 定义 设 & &&& 是 的 次多项式 为 阶方阵 记 & &&&. 其中. 为 阶单位矩阵 则 称为 阶方阵 的矩阵多项式 例 设 && 求 解 因 所以 科学出版社职教技术出版中心

56 . 方阵的行列式 线性代数及其应用 定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式 各元素的位置不变 叫做方阵 的行列式 记为 或 应该注意 方阵与行列式是两个不同的概念 阶方阵是 个数按一定方式排成的 数表 而 阶行列式是这些数按一定的运算法则所确定的一个数 它们的意义完全不相 同 但是 利用方阵的行列式可以研究方阵的某些性质 设 为 阶方阵 为任意数 & 为正整数 方阵的行列式运算满足下述运算规律 & & & & 由式 可知 对于 阶方阵 一般来说 但总有 例 已知 求 解 方法一 于是 方法二 因 所以 % 共轭矩阵 当 为复矩阵时 用 表示 的共轭复数 记 称为 的共轭矩阵 共轭矩阵满足下述运算规律 设 为复矩阵 为复数 且运算都是可行的 则有 && 下面证明 设 ( 则 & && 于是 & && & && & & & 所以 ( 即 矩阵的初等变换 矩阵的初等变换与初等矩阵 在本章的例 中 可以发现矩阵的变换有下面的几种情形 定义 下面的三种变换称为矩阵的初等行变换

57 第 章 矩 阵 对调两行 用数 && 乘某一行的所有元素 把某一行所有元素的 & 倍加到另一行对应的元素上去 注 经过初等变换 一个矩阵变成另一个新的矩阵 但由例 知两个矩阵所对应的 方程组是同解的 对调 两行 记作 第 行元素乘以 & 记作 %& 第 行的 & 倍加到第 行 上 记作 && 如果把定义中的 行 换成 列 所得到的对列施行的三种变换称为初等 列变换 所用记号把 换成 即可 矩阵的初等行变换和初等列变换 称为矩阵的初等变换 定义 若矩阵 经过有限次的初等变换变成矩阵 则称矩阵 与矩阵 等 价 记作 或 矩阵的等价关系满足 反身性 对称性 若 则 传递性 若 ( 则 ( 初等矩阵 即 定义 对单位阵. 进行一次初等变换得到的矩阵 称为初等矩阵 简称初等阵 三种初等变换对应了三种初等矩阵 对调两行或两列 对调单位矩阵. 的第 两行 得到的初等矩阵记为. 第 行. 第 行. 也可由对调. 的第 两列得到 以数 && 乘某行或某列 用数 & 为.& 即 科学出版社职教技术出版中心 乘单位阵. 的第 行 得到的初等矩阵记

58 ! 线性代数及其应用.& & 第 行.& 也可由. 的第 列乘以数 & 得到 以数 & 乘某行 列 加到另一行 列 上 用数 & 乘. 的第 行加到第 行上 得到 的初等矩阵记为.& 即 & 第 行.& 第 行.& 也可由. 的第 列乘以 & 加到第 列得到 容易验证 初等矩阵具有下面特性 用 阶初等矩阵. 左乘 % 得. 用 阶初等矩阵. 右乘矩阵 得. 第 行 第 行 第 列 第 列 这表明. 左乘矩阵 % 结果相当于对 作第一种初等行变换. 右乘矩阵 结果相当于对 作第一种初等列变换 对初等矩阵.& 和.& 也有同样的结果 于是得到

59 第 章 矩 阵! 定理 设 是 % 矩阵 对 施行一次初等行变换 相当于在 的左边乘以相 应的 阶初等矩阵 对 施行一次初等列变换 相当于在 的右边乘以相应的 阶初等 矩阵 初等变换是矩阵的一种基本运算 有着很重要的应用 但它不是新的运算 而是用初等矩阵乘矩阵的简便算法 矩阵的秩 在第 章我们定义了行列式的 & 阶子式 下面我们类似的定义矩阵的 & 阶子式 给定矩阵 % 定义 在矩阵 % 中任取 & 行 & 列 &"! 位于这些行与列交叉处的 & 个元素不变顺序构成的 & 阶行列式 称为矩阵 的一个 & 阶子式 例如 取 行与 列 得到一个二阶子式!! 与 列 得到一个三阶子式!! 取 行!! 一个 % 的矩阵 共含有 ( & ( & 个 & 阶子式 定义 设矩阵 中有一个 & 阶子式 而所有 && 阶子式 如果存在的话 都等于 那么 称为矩阵 的一个最高阶非零子式 数 & 称为矩阵 的秩 & 记为 & 或 & 或秩 & 规定零矩阵的秩为 由定义容易得到下列结论 推论 对于 % ""! 若 中有一个 阶子式不为 则 若 中所有的 阶子式全为 则 设矩阵 中有一个 阶子式 而所有包含 的 & 阶子式 如果存在的 话 都等于 那么矩阵 的秩为 即 例 求矩阵 的秩及一个最高阶非零子式 解 明显的 " 的一个二阶子式 而包含 的三阶子式有两个 且都等于 即 科学出版社职教技术出版中心

60 ! 线性代数及其应用 所以由推论 得到 的秩 并且 就是一个最高阶非零子式 另 外也是一个最高阶非零子式 对于一般的矩阵 当行数和列数较高时 按定义来求矩阵的秩是很麻烦的 因此 我们 还需要寻找更方便的方法 证明 定理 若 则 证 首先证明 对矩阵 进行一次初等行变换变为矩阵 则有 " 设 且 的某个 阶子式 因为初等行变换有三种 所以我们分别来 当 时 在 中总能找到与 相对应的 阶子式 由于 或 因此 从而有 " %& 当 时 在 中总能找到与 相对应的 阶子式 由于 或 & 因此 从而有 " && && 当 时 由 可知 只需证明 这一特殊情形即可 分两种情形讨论 不包含 的第 行 这时 也就是 的某个 阶非零子式 即 从而有 " 包含 的第 行 这时把 中与 相对应的 阶子式 记作 & % % & & 若 则 若 则 也是 的某个 阶子式 由于 & 因此 与 不能同时为零 总之 中存在 阶非零子式 或 从而有 " 以上证明了 对矩阵 进行一次初等行变换变为矩阵 则有 " 由于矩 阵 也可以通过一次初等行变换变为矩阵 故也有 " 因此 经一次初等行变换矩阵的秩不变 即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变 再设对矩阵 进行初等列变换变为矩阵 则矩阵 进行初等行变换变为矩阵 由上述证明知 又因为 所以有 总之 对矩阵 进行有限次初等变换变为矩阵 即 则 据上面定理可知 矩阵经初等变换而秩不变 因此 我们可以用初等变换把矩阵中的 许多元素变为 从而直接看出矩阵的秩

61 第 章 矩 阵! 例 设 求矩阵 的秩及一个最高阶非零 子式 解 利用初等行变换 上式最后一个矩阵称为行阶梯形矩阵 它具有下述特性 每个阶梯只有一行 同理也有列 阶梯形矩阵 可以看出 有一个非零的三阶子式 且一切四阶子式全为零 所以 从而 再根据行变换及行列式的性质 三阶子式 就是一个最高阶非零子式 所对应的 中的行列式 从这个行阶梯形矩阵不仅可看出矩阵的秩 继续施行初等行变换 还可化为最简单的 形式 上式中最后一个行阶梯形矩阵具有下述特性 每一个非零行的第一个非零元素均为 且含这些元素的列的其他元素都为 这个矩阵称为矩阵 的行最简形 % 矩阵 经初等行变换可化为行阶梯形及行最简形 若再经初等列变换 还可化为如下的最简形式 科学出版社职教技术出版中心

62 ! 线性代数及其应用 矩阵 称为 的标准形 其特点是 的左上角是一个 阶单位阵 其他元素 都是 可见若 则 与 有相同的标准形 特别地 当 为 阶方阵且 时 可知 故 的标准形为单位阵. 即. 因此称行列式不为零的方阵为满秩方阵 称行列式为零的方阵为降秩方阵 下面总结几个常用的矩阵秩的性质 若 是满秩方阵 则 /!""& &"&!"! 若 %%- 则 &" 的证明 因为 的最高阶非零子式总是 的非零子式 所以 " 同理有 " 故 /!" 设 把 % 和 %& 分别作初等列变换化为列阶梯形 和 ( 则 和 ( 分别含有 个和 个非零列 故可设 ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 从而 ( 由于 ( 中只含有 & 个非零列 因此 ("& 而 ( 故 "& 即 "& 的证明 不妨设 和 均是 % 矩阵 对矩阵 & 作初等列变换 &

63 第 章 矩 阵!! 得到 & 于是 ""! 的证明见第 章 定理 的推论 的证明见第 章 定理 的推论 例 数一 设 为 % 矩阵 为 % 矩阵, 为 阶单位矩阵 若. 则, 秩 秩 ( 秩 秩 - 秩 秩. 秩 秩 解 由. 有. 由 "! 知 又 为 % 矩阵 为 % 矩阵 因此 "" 故秩 秩 应选 矩阵的逆 我们知道 对于实数 则 有倒数 类似的 我们引入矩阵的求逆 " 运算 定义 设 为 阶方阵 如果存在 阶方阵 使. 那么称 是可 逆的 或 是可逆方阵 方阵 称为 的逆矩阵 记为 同时 也是可逆的 并 且 例如单位阵. 是可逆的 且.. 又因为!!.! 所以 注 注意 不能理解或写成 若 是可逆的 那么 的逆矩阵是唯一的 证明 设 ( 都是 的逆矩阵 由定义.((. 于是有. ( (.( ( 下面要解决的问题是 在什么条件下方阵 是可逆的 " 若 可逆 则怎样求 " 科学出版社职教技术出版中心

64 ! 线性代数及其应用 用伴随矩阵求逆矩阵 定义 设有 阶方阵 的代数余子式 所构成的 阶方阵 由行列式 的各元素 为 的伴随矩阵 / 记为 注 伴随矩阵 的第 列元素是 的第 行元素的代数余子式 定理 若 是 阶方阵 则有. 阶方阵 可逆的充分必要条件是 且当 可逆时 证 设 % 则. 类似可得. 必要性 因 可逆 即 存在 使. 从而. 故 充分性 由 的结果 因为 所以. 类似可证. 故 可逆 且 注 当 时 称为奇异方阵 当 时 称为非奇异方阵 推论 若方阵 可逆 则 就是非奇异方阵 也是满秩方阵 并且 设 为 阶方阵 若存在 阶方阵 使得. 或. 成立 则 可逆 且 证 由. 得. 所以 由定理 可逆 用 左乘等式. 有. 即 方阵逆运算满足以下运算规律 称

65 第 章 矩 阵! 若 可逆 则 也可逆 且 即 与 互为逆阵 若 可逆 则 也可逆 且 若 可逆 数 则 可逆 且 若 为同阶方阵 且均可逆 则 也可逆 且! 若 可逆 & 为正整数 则 & &. 若 可逆 & 为正整数 则 & & 的证明.. 因此 的证明因. 故 可逆 且 例 设 求 的逆矩阵 解 由 因而 存在 计算!! 得 所以! 例 数一 设矩阵 满足 &. 其中. 为单位矩阵 则. 解 设 和 是待定系数 将题中方程化为如下形式.&.. 即 &&.- 与题给方程比较 得 & 由此解得 于是 方程化为.&..*. &.. 因为. 所以. 可逆 且. &. 用初等变换求逆矩阵 容易验证 初等矩阵的行列式值均不为零 因此初等矩阵均是非奇异方阵 即初等矩阵 均可逆 易知...&. &.&.& 即初等矩阵的逆矩阵仍是同类初等矩阵 定理 设 为可逆阵 则存在有限个初等矩阵 0 使 0 证 因 可逆 则 满秩 从而. 这说明. 可以经过有限次初等变换变成 于是 存在有限个初等矩阵 0 使.&0 即 0 推论 方阵 可逆的充分必要条件是. % 矩阵 与 等价的充分必要条件是存在 阶可逆矩阵 及 阶可逆矩 阵 使 据上面定理 当 可逆时 存在初等矩阵 0 使 0 在上式两 科学出版社职教技术出版中心

66 ! 线性代数及其应用 边左乘 0 有 式 两边右乘 有 其中 0 都是初等方阵 式 表明可逆阵 可以只经初等行变换成单位阵. 式 和式 两式表 明对 和. 施行相同的初等行变换 当 变成单位阵. 时. 就变成了 下面介绍一种求逆阵的简便可行的方法 把 和. 合起来 写成 % 的矩阵 +. 对它仅作初等行变换 把 化成单位阵. 那么右半部分. 就化成了.. 从而求得 即有 一般的 初等行变换.,,,,. 初等行变换,,,,. 例 设 求 解 使用初等变换法式.!! 故! 例 数二 已知 矩阵 / 满足 / &/ 其中 是 的伴随矩阵 求矩阵 / 解 由. 用 左乘方程的两端得 /.&/ 移项得. /. 由于

67 第 章 矩 阵!. 又. 故. 可逆 由可逆定义有 /. 从而 / 矩阵方程 当 可逆时 下面的等式 ///( 称为矩阵方程 并且都有唯一的解 解的形式分别为 / / / (! 例 求矩阵 / 使 / 其中 解 方法一 先求出 然后与 做乘法 此方法省略 方法二 若 可逆 则 / 下面使用方法 式!! +!!! ) 所以 / ) 例 设! ( 求矩阵 / 使满足 /( 解 因 所以 存在 用 左乘上式 右乘上式 则有 / ( 即 / ( 从而得 / (!! 科学出版社职教技术出版中心

68 线性代数及其应用 例 设 均为三阶方阵. 为三阶单位矩阵 它们满足 &. & 其中 求矩阵 解 由 满足的关系式可知.. 因为. 故. 可逆 因此有......! 分块矩阵 阶数较高的矩阵 运算相对比较繁琐 并且容易出错 这一节介绍如何用矩阵的分块法 将高阶矩阵化为低阶矩阵 在一定程度上简化矩阵的运算 把一个矩阵 用一些横线和纵线分成若干个小矩阵 每一个小矩阵称为 的一个子块 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵 矩阵的分块方式可以是任意的 根据需要进行分块 例如矩阵 作如下划分 就得到 的三种分块矩阵 记 + + 则 就是 的子块 第一种分块矩阵即可写成 其他两种 分块矩阵请读者写出 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则基本相同 下面分别加以讨论 加减法 设 都是 % 矩阵 用相同的分法将 分成分块矩阵 设

69 第 章 矩 阵 则 数乘 设 乘法 为数 则 设 为 %0 矩阵 为 0% 矩阵 分块成 % % % 其中 % 的列数分别等于 % 的行数 即 对 列的分法与对 行 的分法相同 则 ( ( ( ( % 其中 ( && & 例 设 求 解 将 分块成 其中.. - % 科学出版社职教技术出版中心

70 线性代数及其应用 那么 - +! 所以 ( (! 设 ( ( 因为 - ( (. - ( ( ( ( 所以 (.(-(-(. 又因为 ( 所以 均可逆 故 ( -( -( 因此 - 分块矩阵的转置 - 设! 分块对角阵 设 阶方阵 则 ( ( 其中 为 阶方阵 则称 为

71 第 章 矩 阵 分块对角阵 或准对角阵 其中 &&& 分块对角阵 有下述性质 可逆的充要条件是 都可逆 且 设 则 矩阵概念的应用及运算 矩阵在实际问题中的应用 与 为同阶方阵 矩阵概念的应用十分广泛 在工程技术 经济工作和解决逻辑判断问题中有大量与矩 形数表有关的问题 某些问题的条件往往给的很多 看上去错综复杂 但如果我们能恰当 地设计一些矩阵 则有助于我们把所给条件的头绪理清 在此基础上再进行推理 能达到 化简问题的目的 例 某计算机公司有三个销售门市部 销售四种计算机 它在某月内的销售 情况如表 所示 门市部 销售数 计算 表!! 单位 台 解 如果我们用 表示第 个门市部销售第 种计算机的 数量 如! 等 那么我们就可以把上述的计算机销售情况表简化 成一个 行 列的矩形数表 科学出版社职教技术出版中心

72 线性代数及其应用!! 一般地 如果问题所牵涉的数据以表格形式出现的 那么这些数据常常用这种简化的 数表来表示 如果三个门市部销售四种计算机 单位 台 在某两个月内的销售情况矩阵分别为!! 及!! 那么 在这两个月内三个门市部销售四种计算机的销售情况可以由矩阵!! (! 表示 其中矩阵 ( 的第 行第 列 元素恰好是矩阵 与 的第 行第 列元素之和 矩阵的乘法 下面讨论矩阵的乘法的应用问题 例 某公司的 个工厂 / 工厂生产 种产品 每种产品的材料 劳动力及管理费的单位成本如表 所示 表 单位 元 产品单位成本 材料 劳动力 管理费 个工厂生产这 种产品的月产量如表 所示 表 单位 件 工厂产品 /!!!!!

73 第 章 矩 阵! 如何求每个工厂关于材料 劳动力及管理费的月度总成本 " 解 首先 我们用下述两个矩阵分别表示表 与表!!!!! 容易知道 厂关于材料 劳动力及管理费的月度总成本为 材料 % &% &% 劳动力 % &% &% 管理费 % &% &% 同理 我们可以分别得到其余三个工厂关于材料 劳动力及管理费的月度总成本 以 每个工厂关于材料 劳动力及管理费的月度总成本作为列构成的矩阵!! (!!! 是一个 % 矩阵 并且它的第 行第 列元素恰好是 的第 行元素与 的第 列对应元素乘积之和 我们把矩阵 ( 称为矩阵 与 的乘积 记作 ( 方阵乘幂的应用 例 某岛国里每年有 8 的农村居民移居城市 有 8 的城市居民移居农村 假设该国总人口不变 且上述人口迁移规律也不变 该国现有农村人口 万 城市人口 万 问该国一年后农村与城市人口各是多少 " 年后呢 " 解 设 & 年后该国农村人口与城市人口分别为 & 和 & 单位 万人 这里正整数 & 下面计算 和 由题意有 写成矩阵形式为 即一年后 农村人口 万 城市人口 万 记矩阵 则 于是!!! 科学出版社职教技术出版中心

74 线性代数及其应用 即 年后农村人口与城市人口各为 万 类似地 不难得出 & & & 当 & 为较大的正整数时 要计算 的 & 次幂 & 一般是比较麻烦的 逆矩阵在加密传输中的应用 可逆方阵可用来对需传输的信息加密 首先给每个字母指派一个码字 如表 所示 表 字母 * + 2! & 0 3 % 空格 码字!!! 于是为传输信息 3, 把对应的码字写成 % 矩阵 按列!!! 如果直接发送矩阵 这是不加密的信息 容易被破译 无论军事或商业上均不可行 因此 必须对信息予以加密 使得只有知道密钥的接收者才能准确 快速破译 为此 可以取定三 阶可逆矩阵 并且满足 令 ( 则 ( 是 % 矩阵 其元素也均为整数 现发送加密后的信息矩阵 ( 己方 接收者只需用 进行解密 就得到发送者的信息 ( 例如现取 则 且 现发送矩阵 (!!!!! 接收者收到矩阵 ( 后 就用 解密 (!!!!! 即 3, 这里所述仅是原理 实际应用中 用于加密的可逆矩阵 的阶数可能很大 其构造也十 分复杂 第二次世界大战期间 一些最优秀的数学家 包括著名数学家图灵,2; 等

75 第 章 矩 阵 都被请来从事对己方信息的加密和对敌方信息的破译工作! 转移矩阵 转移矩阵总结了两种 状态 间的转换信息 这种 状态 可以指社会阶层 收入层和地 理区域 我们将考察表示两个区域的人口迁移的转移矩阵 工人的走与留取决于他们面临 的经济条件 如 对那些有稳定工作的人来说 留在原来的工作地点是明智的 但是对那些 失业的人来说 最好还是换个地方 设一个国家分成三个地区 和 那么 下面的转移 矩阵就表示这三个地区留下或迁移到另一地区的人口比例 例 转移矩阵 在这个 % 矩阵中 表示地区 迁往 地区 的人口比例 例如 如果地区 的 8 的人口停留不动 8 的人口迁往地区 8 的人口迁往地区 那么相应的 同 样 如果地区 的 8 的人口停留不动!8 的人口迁往地区!8 的人迁往地区 那 么!! 最后 如果地区 的 8 的人口停留不动!8 的人口 迁往地区!8 的人口迁往地区 那么!! 矩阵 可记作 移民问题!!!! 例 我们考虑一下例! 所讲的三地区的转移矩阵 我们用 表示在某时! 间起点 时的三地区的人口 单位 万人 给定 求三地区在下一个时间的 人口 解 我们要求 从例! 中 我们知!!!! 那么!!!!!!!!!!!!!! 例如!! 是原来在地区 的人口 %! 原来在地区 后迁 科学出版社职教技术出版中心

76 线性代数及其应用 至地区 的人口!% 其值为! 万人 我们可以看到三地区的人口分布由 增多了 而地区 的人口减少了 线性生产技术 以及原来在地区 迁至地区 的人口!% 的和 变为 地区 和地区 的人口 例 某厂商用两种生产要素 和 生产两种产品 和 表示生产 单 位 产品所需的投入品 的数量 那么 就代表了投入品需求矩阵的元素 投入产出系数 矩阵为! 设厂商生产 单位 和! 单位 解等式 可得投入品 和 得投入数量!!!! 设现在我们已知投入品的投入数量 和 分别为 和 求 和 的产量水平 这是厂商的生产函数 解 根据已知的 我们解 求 即求!!! 逆矩阵的元素 表示由 单位投入品 生产的产品 的数量 典型例题 题型 矩阵的概念与运算解题思路 理解矩阵的概念 矩阵是由数构成的一种表格 矩阵运算实质上是表格的运算 故矩阵的运算规律与数的运算法则不尽相同 掌握矩阵的加法 数乘 乘法 转置 逆矩阵和伴随矩阵的运算规律 此外 要注意矩阵与行列式的联系与区别 矩阵的运算一般不满足交换律 但满足结合律 (( 巧妙利用矩阵的结合律往往可简化计算 掌握几类特殊方阵的定义与性质 对称矩阵 反对称矩阵 伴随矩阵 对角矩阵 三角矩阵等 并用之解题 求与已知矩阵可交换的矩阵 定义法 方程法 例 如果 则称 是幂等矩阵 如果. 则称 是对合矩阵 设 都是幂等矩阵 证明 & 是幂等矩阵的充要条件是 &- 设 都是对合矩阵 证明 是对合矩阵的充要条件是 证 必要性 因为 & 是幂等矩阵 所以

77 第 章 矩 阵 & & 故由 有 &- 充分性 因为 &- 所以 故 & 是幂等矩阵 因为 是对合矩阵 所以.. 必要性 因为 是对合矩阵 所以. 即. 从而有... 充分性 因为 所以. 故 是对合矩阵 例 设 阶 为对称矩阵 且 当.& 可逆时 试证.& 为对称矩阵 证 因为 所以 故.& 为对称矩阵 例 如果 则称矩阵 与 可交换 设 求所有与 可交换的矩阵 解 因为 &.& 设与 可交换的矩阵为 于是有 & & 即只要 即可 由此可知 科学出版社职教技术出版中心

78 线性代数及其应用 由矩阵相等的定义可得 由此可解得 其中 为任意常数 所以我们得到所有与 可交换的矩阵是 题型 求方阵的幂解题思路 一般方阵的高次幂的计算是比较繁杂的 但对某些特殊的方阵 常可以利 用矩阵的运算规律 矩阵的分解以及递推规律等巧妙计算方阵的幂 若 则矩阵 可分解为列矩阵与行矩阵的乘积 再利用矩阵乘法的结 合律能方便地计算出 的幂 通过计算 来看出规律 再用数学归纳法计算 如果 是一初等矩阵 则可 利用初等矩阵的性质计算 若 能分解成两个矩阵的和 即 &( 且 (( 则 &( 可用二项式定理展开 当然 ( 之中有一个的方幂最好尽快为零矩阵 通过试算找出某种降幂的规律 并用此递推计算之 根据所给矩阵的特征 利用矩阵分块法计算之 例 数四 设 其中 为三阶可逆矩 阵 则 解 因为 故.. 例 设 求

79 第 章 矩 阵 解 方法一 假设 则 方法二. 是第 行的 倍加到第 行的初等矩阵. 即是对. 施行 次上边的初等行变换 得 方法三 &.& 而 - 所以 & -& 故.&. &. &. &&. &.& 例 已知 求 & 科学出版社职教技术出版中心 解 设 则 & & & 而!! 所以 & &!& &!

80 % 又 由归纳法可推得 & & &% && 所以 &! & & &! & & & & & & 题型 可逆矩阵的计算与证明解题思路 求指定矩阵的逆矩阵常见方法有 用逆矩阵的定义 找出 使. 或.* 具体计算时可以用初 等变换法 即 分块求逆公式 线性代数及其应用 初等行变换.,,,, ( - - ( - ( ( - ( ( 例 设 是同阶方阵 已知 是可逆矩阵 且满足 && - 证明 和 & 都是可逆矩阵 并求它们的逆矩阵 证 因为 && 由于 所以 & 因而有 & 可逆 由 &. 得 & 由 &. 得 & 例 数一 数二 数三 设 为三阶矩阵 为三阶可逆矩阵 且 若 & 则, ( -. 解 &