线性代数 定义 三阶行列式的定义为 不难看出 三阶行列式共有 项 其中正 负项各为 项 每项均为取自不同行不同列的三个元素的乘积 确定每项的符号的法则是 当该项元素的行标按自然数顺序排列后 若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号 是奇排列则取负号 例如 项 的列标 的逆序数为 为奇排列 所以此项符号

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1 第 章 行 列 式 引 言 行列式的概念最早是在 世纪由日本数学家关孝和 约 提出来的 他在 年写了一部名为 解伏题之法 的著作 意思是 解行列式问题的方法 书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述 欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家 微积分学奠基人之一莱布尼兹! "#$% & 年 月 莱布尼兹在写给法国数学家洛比达 "'% 的一封信中使用了行列式 并给出了线性方程组的系数行列式为零的条件 年 瑞士数学家克莱姆 ()*) 在其著作 线性代数分析导引 中 对行列式的定义和展开法则给出了比较完整 明确的阐述 并给出了我们现在熟知的解线性方程组的克莱姆法则 年 法国数学家贝祖 +,% 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化 利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解 在很长一段时间内 行列式只是作为解线性方程组的一种工具 没有人意识到它可以独立于线性方程组之外 单独形成一门理论 在行列式的发展史上 第一个把行列式理论与线性方程组求解相分离的人是法国数学家范德蒙 -.$/)*$/& 范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐 但对数学有浓厚的兴趣 后来终于成为法兰西科学院院士 他给出了用余子式来展开三阶行列式的法则 并研究了被后人以他的名字命名的 范德蒙行列式 范德蒙是行列 式理论的奠基人 法国数学家拉普拉斯 0 "1& 在 年发

2 线性代数 定义 三阶行列式的定义为 不难看出 三阶行列式共有 项 其中正 负项各为 项 每项均为取自不同行不同列的三个元素的乘积 确定每项的符号的法则是 当该项元素的行标按自然数顺序排列后 若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号 是奇排列则取负号 例如 项 的列标 的逆序数为 为奇排列 所以此项符号为负 综上所述 三阶行列式可定义为 其中 为排列 的逆序数 表示对 三个数的所有排列 求和 仿照上述三阶行列式的定义 可以给出一般的 阶行列式的定义 定义 设有 个数 排成 行 列的数表 & 做出表中位于不同行不同列的 个数的乘积 并冠以符号 得到形如

3 第 章 行 列 式 的项 其中 为 的一个全排列 为此排列的逆序数 由于这样的排列共有 个 因而形如 式的项共有 项 所有这 项的代数和 称为 阶行列式 记为 简记为 /% 称为行列式的元素 按此定义的二阶 三阶行列式 与 节中用对角线法则定义的二阶 三阶行列式显然是一致的 当 时 一阶行列式 注意不要与绝对值记号相混淆 例 试证明 若 阶行列式 中非零元素的个数少于 则 证 因为 中非零元素的个数少于 所以 的一般项 根据行列式的定义 例 证明下三角行列式 证 由于当 时 所以 中可能不为 的元素 其下标应满足 即 在所有排列 中 能满足上述关系的排列只有一个自然排列 即 中可能不为 的项只有一项 显然 所以

4 第 章 行 列 式 定理 一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性 证 先证相邻对换的情形 设排列为 对换 与 变为 显然 和 这些元素的逆序数经过对换并不改变 而 两元素的逆序数改变为 当 时 经对换后 的逆序数增加 而 的逆序数不变 当 时 经对换后 的逆序数不变而 的逆序数减少 因此 排列 与排列 的奇偶性不同 再证一般对换的情形 设排列为 先将它作 次相邻对换 变成 再作 次相邻对换 变成 也就是说 经 次相邻对换 排列 变成排列 所以这两个排列的奇偶性相反 推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数 证 由定理 知 对换的次数就是排列奇偶性的变化次数 而标准排列是偶排列 其逆序数为 因此推论成立 定理 在所有 阶排列中 奇 偶排列各半 各为 个 证 设奇 偶排列分别为 个 则 不妨假定 对所有排列作同一对换 由定理 奇 偶排列的个数变为 个 根据假定 又有 从而 下面我们利用定理 给出行列式的另一种表示法 定理 阶行列式也可定义为! 其中! 为行标与列标排列的逆序数之和 即! 证 对于行列式 中的一般项! 若交换两 元素的位置 相当于同时进行一个行标的对换和一个列标的对换 根据

5 线性代数 定理 行标和列标排列的逆序数都要发生改变 因此 无论交换前一般项行标和列标排列的逆序数为奇或偶 交换后一般项行标和列标排列的逆序数之和的奇偶性始终保持不变 即! 的奇偶性保持不变 从而一般项! 的符号始终保持不变 这样 我们总可以经过有限次交换 使其行标为自然数顺序排列 即变为 式的一般项 从而 阶行列式也可以定义为 式的形式 特别地 若经过有限次交换将一般项! 的列 标变为自然数顺序排列 则可得 阶行列式的另一种定义 其中 为行标排列 的逆序数 例 在六阶行列式中 下列两项各应带什么符号 解 用定义 讨论 列标 的逆序数 为偶数 所以 前应带正号 用定理 讨论 行标 的逆序数为 列标 的逆序数为 行标与列标排列的逆序数之和! 为偶数 所以 前应带正号 例 用行列式定义计算 解 显然 此行列式中不为零的不同行不同列的乘积只有 一项 而

6 第 章 行 列 式 质 列也同样具有 反之亦然 性质 交换两行 列 行列式仅改变符号 证 设 阶行列式 交换行列式的第 行与第 行对应元素 得行列式 根据定理 有!! 其中 和 都是 中取自不同行不同列的 个元素的乘积 且!! 由定理! 与! 的奇偶性相反 即 的一般项与 的一般项符号相反 从而 一般地 用 ) 表示行列式的第 行 用 1 表示第 列 交换 两

7 线性代数 把下列行列式化为上三角形行列式 并计算其值 设行列式 依下列次序对 进行变换后 求其结果 交换第一行与第五行 再转置 用 乘所有元素 再用 乘以第二列加到第四列 最后用 除以第二行各元素 用行列式性质证明下列等式 "# #$ $" $ " # $" "# #$ # $ " #$ $" "# " # $ % % % % 计算下列行列式

8 第 章 行 列 式 由定义知 & & & & ' ' ' ' ) ) ) ) 求行列式 习 题 中元素 和 的代数余子式 已知四阶行列式 中第三列元素依次为 它们的余子式依次为 求 证明

9 线性代数 $ 11$$1 " $11$$ 这表明 的长度也为 而辐角为 因此 这是把向量 依逆时针方向旋转 角的旋转变换 见图 图 图 习 题 二人零和对策问题 两儿童玩石头 剪子 布游戏 每人的出法只能在 石头 剪子 布 中选择一种 当他们各选择一个出法 亦称策略 时 就确定了一个 局势 也就是得出了各自的输赢 若规定胜者得 分 负者得 分 平手各得 分 对于各种可能的局势 每一局势得分之和为零即零和 试用赢得矩阵来表示 ' 的得分 有 名选手参加乒乓球比赛 成绩如下 选手 胜选手 负于 选手 胜 负于 选手 胜 负于 选手 胜 负于 选手 胜 负于 若胜一场得 分 负一场得 分 试用矩阵表示输赢状况 并排序 矩阵的运算 矩阵的加法定义 设有两个 矩阵 矩阵 与 的和记为 规定为

10 线性代数 最后的行阶梯形矩阵中有两个非零行 故 例 设 已知 求 和 的值 解 ) ) ) ) 因 故即 矩阵的秩的有关结论 鉴于矩阵的秩在线性代数中的重要作用 下面再介绍矩阵的秩的几个重要性质 供学有余力的读者参考 *! 特别地 当 为向量时 有 证 因为 的最高阶非零子式总是 的非零子式 所以 同理有 从而 *! 设! 对 和 分别作列变换将其化为列阶梯形 和 则 和 中分别含! 个和 个非零列 故可设!!! 从而 由于 中只含! 个非零列 故! 而 从而! 即

11 第 章 矩 阵 证 不妨设 为 矩阵 对矩阵 作列变换 则 得 *$! 若! 则 和 的证明可分别见 中的例 和 中的例 例 设 为 阶矩阵 证明 证 因为 由性质 而 所以 习 题 设 为 矩阵 为 矩阵 试说明 与 的大小关系 在秩为 的矩阵中 有没有等于零的 阶子式 有没有等于零的 阶子式 从矩阵 中划去一行得到矩阵 问 的秩的关系怎样 求作一个秩为 的方阵 它的两个行向量是 设 为 阶矩阵 证明 的充分必要条件是存在非零列向量 和 使 求下列矩阵的秩 并求一个最高阶非零子式

12 线性代数 设矩阵 其中 为参数 求矩阵 的秩 设矩阵 其中 为参数 求矩阵 的秩的最大值和最小值 & 设 阶矩阵 满足 为 阶单位矩阵 证明 设 为 阶方阵 证明

13 第 章 线性方程组 引 言 线性方程组的解法 早在中国古代的经典数学著作 九章算术 中已作了比较完整的论述 其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的方法 即高斯消元法 在西方 线性方程组的研究是在 世纪后期由德国数学家 微积分学奠基人之一莱布尼兹! "#$% 开创的 他曾研究了含两个未知量的线性方程组 英国数学家麦克劳林 ( 1)$ & 在 世纪上半叶研究了含有二 三 四个未知量的线性方程组 得到了求解线性方程组的一个法则 虽然瑞士数学家克莱姆 ()*) 几年后才得出了这个法则 但是这个法则最终还是被称为克莱姆法则 其实张冠李戴这种事情在数学史乃至科学史上是屡见不鲜的 不过 麦克劳林还是得到了一些补偿 众所周知 麦克劳林展开式只不过是泰勒展开式当 $ 时的特殊情形 而且这种情形已由泰勒明确指出 但历史还是开了个玩笑 人们将此作为一条独立的结果而归于麦克劳林 德国大数学家高斯 ( 2 大约在 年提出了高斯消元法 并用它解决了天体计算和地球表面测量计算中的最小二乘法问题 这种涉及测量 求取地球形状或当地精确位置的应用数学分支在当时被称为测地学 在随后的几年里 高斯消去法一直被认为是测地学中的一部分 而不是数学 因为高斯消元法最初出现在由测地学家!3*4)/$ 撰写的测地学手册中 所以也称为高斯约当消去法 不过 后人多把著名的法国数学家约当 ( 4)/$& 误认为是 高斯约当消去法 中的约当 这又是一次张冠李戴

14 线性代数 世纪下半叶 法国数学家贝祖 +,% 对线性方程组理论进行了一系列研究 证明了 元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零 & 世纪 英国数学家史密斯 *%3 和道奇森 ( " 5/6$& 继续研究线性方程组理论 前者引进了方程组的增广矩阵的概念 后者证明了 个未知数 个方程的方程组有解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同 这正是现代方程组理论中的重要结果之一 大量的科学技术问题 最终往往归结为解线性方程组 因此 在线性方程组解的结构等理论性工作得到发展的同时 线性方程组的数值解法也取得了令人满意的进展 现在 线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位 本章首先通过高斯消元法给出线性方程组的解法以及解存在的条件 然后引入向量组的线性相关性和向量组的秩等工具对线性方程组做进一步的讨论 最后从向量空间的观点研究线性方程组的通解的结构 线性方程组的解 在本章中 我们研究的是 个方程 个未知量的线性方程组 $ $ $ $ $ $ $ $ $ 其矩阵形式为 其中 $ $ $

15 第 章 线性方程组 矩阵 称为线性方程组的系数矩阵 称为解向量 称为右端向量 矩阵 称为线性方程组的增广矩阵 当 时 方程 变为 称为齐次线性方程组 否则称为非齐次线性方程组 将线性方程组写成矩阵形式 不仅书写方便 而且可以把线性方程组的理论与矩阵理论联系起来 这给线性方程组的研究带来很大的便利 下面我们通过一个例子研究如何用消元法求解线性方程组 引例 用高斯消元法解四元线性方程组 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ &$ $ & 解 为了更清楚地观察消元过程 我们将消元过程中每个步骤的方程组及与其对应的增广矩阵一并列出 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ &$ $ & & & $ $ $ $! ( $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ &$ $ &

16 线性代数 & & $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ( $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ( $ $ $ $

17 第 章 线性方程组 $ $ $ $ $ 原方程的同解方程组为 $ $ $ $ $ 由于 $ 为自由未知量 所以可令 $ 为任意实数 因此 方程组的解为 或 $ $ " $ $ " 从引例中可以看出 用高斯消元法求解线性方程组就是对方程组反复实施以下三种变换 从而将方程组化为阶梯形方程组 交换某两个方程的位置 用一个非零数乘某一个方程的两边 用一个数乘某一个方程后加到一个方程上 高斯消元法可用矩阵语言描述如下 对线性方程组的增广矩阵施行初等行变换 将其化为行阶梯形 如

18 线性代数 引例中的 并进而再将其化为行最简形 如引例中的 则从行最简形矩阵对应的同解方程组中可直接 读 出该线性方程组的解 根据高斯消元法的思想 利用矩阵的秩的概念 可以得出线性方程组理论中最基本的一个定理 定理 设 元非齐次线性方程组 无解的充要条件是 即 有唯一解的充要条件是 有无穷多解的充要条件是 证 显然 只需证明条件的充分性 因为 中条件的必要性分别是 中条件的充分性的逆否命题 设 的行最简形为 % % % % 若 则 中的 % # 的第 行对应矛盾方程 故方程组 无解 若 则 中的 % 且 都不出现 从而 对应方程组 $ % $ % $ % 故方程组 有唯一解 若 则 中的 % 从而 对应方程组

19 第 章 线性方程组 $ $ $ % $ $ $ % $ $ $ % 令自由未知数 $ $ 即得方程组 的含 个参数的解 $ $ $ % 即 $ $ $ $ $ % $ $ $ $ % % 由于参数 可任意取值 故方程组 有无穷多个解 当 时 由于含 个参数的解 可表示线性方程组 的任一解 从而也可表示线性方程组 的任一解 因此解 称为线性方程组 的通解 将定理 应用于齐次线性方程组 又可以得到另一个重要定理 定理 设 元齐次线性方程组 有非零解的充要条件是 即 仅有零解的充要条件是 显然 定理 就是定理 中 的特例

20 线性代数 定理 的证明过程实际上给出了求解线性方程组的步骤 这个步骤在引例中也已显示出来 现归纳如下 对于非齐次线性方程组 将它的增广矩阵 化成行阶梯形 从 的行阶梯形可同时看出 和 若 则方程组无解 若 则进一步将 化成行最简形 而对于齐次线性方程组 则将其系数矩阵 化成行最简形 设 将行最简形中 个非零行的非零首元所对应的未知数取作非自由未知数 其余 个未知数取作自由未知数 并令自由未知数分别等于 则由 或 的行最简形即可写出含 个参数的通解 下面对上述方法给予举例说明 例 求解齐次线性方程组 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 解 对系数矩阵 施行初等行变换 变为行最简形矩阵

21 第 章 线性方程组 即得与原方程组同解的方程组 $ $ $ $ $ $ $ 可任意取值 $ 令 $ $ 将它写成通常的参数形式 $ $ 或写成向量形式 $ $ $ $ $ $ 其中 为任意实数 例 求解非齐次线性方程组 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 解 对增广矩阵 施行初等行变换

22 线性代数 可见 故方程组无解 例 求解非齐次线性方程组 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ &$ $ 解 对增广矩阵 施行初等行变换 & 即得 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

23 第 章 线性方程组 从而方程组的通解为 $ $ $ " $ 例 设有线性方程组 $ $ $ $ $ $ $ $ $ 问 取何值时 此方程组 有唯一解 无解 有无穷多个解 并在有无穷多个解时求其通解 解 对增广矩阵 作初等行变换 将其变为行阶梯形矩阵 有 当 ## 时 方程组有唯一解 当 时 方程组无解

24 线性代数 当 时 方程组有无穷多个解 此时 同解方程组为 从而通解为 $ $ $ $ $ 可任意取值 $ $ " $ 解 因系数矩阵 为方阵 故方程组有唯一解的充要条件是系数行列式 # 而 当 ## 时 方程组有唯一解 当 时