第三章动量与角动量作业参考解答 [ B ] 4.( 自测提高 ) 质量为 g 的子弹, 以 4 /s 的速率沿图 3-6 所示的方向射入一原来静止的质量为 98 g 的摆球中, 摆线长度不可伸缩子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为 () /s. (B) 4 /s. (C) 7 /s. (D) 8

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午力水
5 years ago
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1 第三章动量与角动量作业参考解答第三次 ( 第三章动量与角动量 ) 作业重点提示 : 动量 p ; 冲量 Fd ; 力矩 M r F ; 角动量 r 都是矢量质点的动量定理, 质点的角动量守恒, 质点组的动量定理及动量守恒, 质点组的角动量守恒作业分类 : 质点的冲量及动量定理, 应用中常用分量 F d dp : 题,3,4*,7*; 合 p p : 题 6,8,9, 合质点的角动量守恒定律 : 当合力为向心力或离心力时 ( 例如, 万有引力弹簧的弹性力和绳子的拉力 ), 力矩 =, 则角动量守恒 : 题 4,3 3 质点组的动量守恒 : 常用分量式 ( 某方向上的合外力为零, 则该方向上的总动量分量就守恒 ): 题,7,,*,5* 4 质点组角动量及角动量守恒 : 题 5,6* (* 号表示难度系数略高 ) 一选择题 [ ] [ 基础训练 ] 一质量为的斜面原来静止于水平光滑平面上, 将一质量为的木块轻轻放于斜面上, 如图. 如果此后木块能静止于斜面上, 则斜面将 () 保持静止. (B) 向右加速运动. (C) 向右匀速运动. (D) 向左加速运动. 答将和作为质点组, 较简单设相对于地面以 V 运动依题意, 静止于斜面上, 跟着一起运动根据水平方向动量守恒 : V V, 得 : V, 所以斜面保持静止 [ C ].( 基础训练 3) 如图 3- 所示, 圆锥摆的摆球质量为, 速率为, 圆半径为 R, 当摆球在轨道上运动半周时, 摆球所受重力冲量的大小为 (). (B) ( gr / ) (C) Rg/ ( ) (D). 答重力为恒力, 用定义式计算它的冲量 G T T gd g R, 其中 T R 图 3- [ C ]3.( 基础训练 4) 机枪每分钟可射出质量为 g 的子弹 9 颗, 子弹射出的速率为 8 /s, 则射击时的平均反冲力大小为 ().67 N. (B) 6 N. (C)4 N. (D) 44 N. 答射击时的平均反冲力大小 = 子弹受到的平均冲力用平均冲力的定义式计算 P V 9.8 平均反冲力大小为 F 4N 6

2 第三章动量与角动量作业参考解答 [ B ] 4.( 自测提高 ) 质量为 g 的子弹, 以 4 /s 的速率沿图 3-6 所示的方向射入一原来静止的质量为 98 g 的摆球中, 摆线长度不可伸缩子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为 () /s. (B) 4 /s. (C) 7 /s. (D) 8 /s. 3 答碰撞过程中, 相对于摆线顶部所在点, 重力和拉力的力矩为零, 所以系统的角动量守恒 : l sin 3 ( M ) lv 其中为子弹质量, M 为摆球质量, l 为摆线长度解得 :V=4 /s ( 解法二 : 因为水平方向无外力, 所以系统水平方向动量守恒 : sin 3 ( M ) V ) 图 3-6 [ C ]5.( 自测提高 3) 体重身高相同的甲乙两人, 分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端. 他们从同一高度由初速为零向上爬, 经过一定时间, 甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的倍, 则到达顶点的情况是 () 甲先到达. (B) 乙先到达. (C) 同时到达. (D) 谁先到达不能确定. 答以地面为参考系, 系统的合外力矩为零, 所以系统的角动量守恒 : R甲对地 R乙对地, 所以甲对地乙对地, 因此, 从地面观察, 两人永远同一高度二填空题 6 ( 基础训练 6) 质量为的物体, 初速极小, 在外力作用下从原点起沿轴正向运动. 所受外力方向沿轴正向, 大小为 F k. 物体从原点运动到坐标为的点的过程中所受外力冲量的大小为 k. 答依题意, 要求的所受外力冲量即合力的冲量已知初速为零, 若能求出末速度, 则可以用动量定理求合力的冲量 d d d d F k a, 分离变量, 积分 : d d d d 由动量定理 : k kd d, 得 : k 7 ( 基础训练 9) 湖面上有一小船静止不动, 船上有一打渔人质量为 6 kg. 如果他在船上向船头走了 4. 米, 但相对于湖底只移动了 3. 米,( 水对船的阻力略去不计 ), 则小船的质量为 8 kg. 答有相对运动将人和船视为质点组进行研究依题意, 人 () 相对于湖底移动了 3. 米 (Δ=3.), 所以, 小船相对于湖底反向移动了. 米 (ΔX= -.); 由动量守恒, 得 : + MV, d+ M Vd 6 3+ M, M 8kg, MX, 8 [ 自测提高 6] 质量为的小球自高为处沿水平方向以速率抛出, 与地面碰撞后跳起的最大高度为 /, 水平速率为 /, 如图. 试求 :() 小球的竖直冲量的大小为 ( ) g 球的水平冲量的大小为. 答小球在与地面碰撞前后, 动量发生了改变用动量定理计算注意, 分解为分量式在竖直方向和水平方向的分量式分别为 : () g ( g ) ( ) g O ; () 地面对小

3 ( 注意为负的 ) 第三章动量与角动量作业参考解答 () 故它们的大小分别为 : ( ) g, 9 [ 自测提高 7] 一质量为 kg 的物体, 置于水平地面上, 物体与地面之间的静摩擦系数 =., 滑动摩擦系数 =.6, 现对物体施一水平拉力 F=+.96 (S), 则秒末物体的速度大小 =.89 / s. 答首先应分析物体何时开始运动, 然后运用动量定理求解静摩擦力的最大值为 : g ( N) ; 由 F=+.96=.96, 得 :=s; 所以 =s 时物体才开始运动, 滑动摩擦力为 : f g ( N) ; =s 至 s 内, 合力的总冲量为 : s s 根据动量定理, 得 :.89 / s s F f d ( ) d.89( N s) [ 自测提高 8] 两球质量分别为 =. g, =5. g, 在光滑的水平桌面上运动用直角坐标 OXY 描述其运动, 两者速度分别为 i c/s, (3. 5. ) i j c/s. 若碰撞后两球合为一体, 则碰撞后两球速度的大小 = 6.4c/s, 与轴的夹角 = 答碰撞过程中, 内力 >> 外力, 故系统的动量守恒 : ( ),( 注意, 是矢量式 ) 解得 : i j c / s 大小为 : 6.4 c / s, s 5 ; 方向 : arcan [ 自测提高 ] 一块木料质量为 45 kg, 以 8 k/h 的恒速向下游漂动, 一只 kg 的天鹅以 8 k/h 的速率向上游飞动, 它企图降落在这块木料上面. 但在立足尚未稳时, 它就又以相对于木料为 k/h 的速率离开木料, 向上游飞去. 忽略水的摩擦, 木料的末速度为 5.45 k / h. 答取向下游为正方向, 设 M=45kg,V =8k/h,=kg, = - 8 k/h,u= - k/h, 木料的末速度为 V MV + MV u V, 以地面为参考系, 系统水平方向动量守恒 : V V, 得 : V k / h ( 注意各个速度的正负 ) 三计算题 [ 基础训练 3 ] 一质点的运动轨迹如图 3-3 所示. 已知质点的质量为 g, 在 B 二位置处的速率都为 /s, 与轴成 45 角, 垂直于轴, 求质点由点到 B 点这段时间内, 作用在质点上外力的总冲量. B 3

4 第三章动量与角动量作业参考解答解 : 根据动量定理, B,( 注意, 是矢量式, 分解为分量计算 ) B..683N s 5 B..83N s 5.683i.83 j( N. s) ( 此分量表达式即可作为最后答案了 ) B O B 图 3-3 ( 或者 : 总冲量的大小.739N s, 方向 : 设与轴正向的夹角为 θ, an.443,.5 ) 3 [ 基础训练 5 ] 如图所示, 在中间有一小孔 O 的水平光滑桌面上放置一个用绳子连结的质量 = 4 kg 的小块物体. 绳的另一端穿过小孔下垂且用手拉住. 开始时物体以半径 R =.5 在桌面上转动, 其线速度是 4 /s. 现将绳缓慢地匀速下拉以缩短物体的转动半径. 而绳最多只能承受 6 N 的拉力. 求绳刚被拉断时, 物体的转动半径 R 等于多少? 解 : 因绳是缓慢地下拉, 物体运动可始终视为圆周运动. 物体因受合外力矩为零, 故角动量守恒. 设开始时和绳被拉断时物体的切向速度分别为和. 则 R R 得 : R / R O 物体作圆周运动的向心力由绳的张力提供, F FR, 得 :, R 代入式, 解得 : R ( R / F / 3 ) 当 F = 6 N 时, 绳刚好被拉断, 此时物体的转动半径为 R =.3 4 [ 自测提高 3] 如图, 用传送带输送煤粉, 料斗口在上方高 h=.5 处, 煤粉自料斗口自由落在上. 设料斗口连续卸煤的流量为 q =4 kg/s, 以 =. /s 的水平速度匀速向右移动. 求装煤的过程中, 煤粉对的作用力的大小和方向.( 不计相对传送带静止的煤粉质重 ) 分析煤粉对的作用力与对煤粉的作用力是一对力, 因此, 选取 -+Δ 时间内落到传送带上的煤粉 Δ 作为研究对象, 应用动量定理 h 解 : 如图, 建立坐标系煤粉自料斗口下落, 接触传送带前具有竖直向下的速度大小为煤粉与相互作用的时间内, 落于传送带上的煤粉质量为设对煤粉的平均作用力为 f, 由动量定理写分量式 : 将 f f q 代入得 f q, f q gh q f f f 4

5 所以, f f f 49 N 第三章动量与角动量作业参考解答 f 与轴正向夹角为 = arcg (f / f ) = 57.4 由牛顿第三定律知 : 煤粉对的作用力 f = f = 49 N, 方向与图中 f 相反. 5 [ 自测提高 5 ] 如图所示, 水平地面上一辆静止的炮车发射炮弹. 炮车质量为 M, 炮身仰角为, 炮弹质量为, 炮弹刚出口时, 相对于炮身的速度为 u, 不计地面摩擦 : () 求炮弹刚出口时, 炮车的反冲速度大小 ; () 若炮筒长为 l, 求发炮过程中炮车移动的距离. 分析炮弹和炮车之间有相对运动, 视为质点组较为简单解 :() 如图建坐标系以炮弹与炮车为系统, 以地面为参考系, 水平方向动量守恒设炮车相对于地面的速度为 V i, 则有 MV i ( ucos i V i ) ( 说明, 式子中的 i 可以不写 ) ucos V 负号表示炮车向后退 M () 以 u() 表示发炮过程中任一时刻炮弹相对于炮身的速度, 根据动量守恒 u( )cos 定律得 : 该瞬时炮车的速度应为 V ( ) M cos 积分求炮车后退距离 V ( )d u( )cos d u( )d M M 其中, u( )d l, l cos M l cos 即炮车向后退了的距离 M 6 [ 自测提高 6 ] 一个具有单位质量的质点在随时间变化的力 F (3 4) i ( 6) j (S) 作用下运动. 设该质点在 = 时位于原点, 且速度为零. 求 = 秒时, 该质点受到对原点的力矩和该质点对原点的角动量. 分析根据力矩和角动量的定义式, 应先求出 = 秒时的速度和位置矢量解 : 以下各式均为 S 式 =, 由 F a 得 : a (3 4) i ( 6) j a d / d, 且 = 时, d a d [(3 4) i ( 6) j]d 3 ( ) i (6 6) j d r /d, 且 = 时, r r d ( ) i ( 3 ) j 当 = s 时 : r( s) i 4 j, ( s) j, F( s) 4i 8 j 3 所以, 力矩 M r F 4k (N s) 角动量 r p r 6k (kg s - ) 5

6 第三章动量与角动量作业参考解答四附加题 7 [ 自测提高 4] 一质量为的匀质链条, 长为, 手持其上端, 使下端离桌面的高度为 h 现使链条自静止释放落于桌面, 试计算链条落到桌面上的长度为 l 时, 桌面对链条的作用力分析桌面对链条的作用力可以分为两部分, 第一, 对时刻已落到桌面上的链条的支持力, 第二, 对 -+d 时间内即将落到桌面上的链条的作用力对第二部分的作用力可用动量定理求解, 类似作业题 4 解 : 取轴向下为正设时刻, 落在桌面上的部分链条长为 l, 质量为, l 则有 l l l ( 为链条的质量线密度 ) 桌面对已落在桌面上的链条的作用力为 f l g i lgi ; 此时在空中的链条的速度大小为 : g l h 在 d 时间内, 有 d d 链条元落在桌面上设桌面对链条元的作用力 l f 为 f, 对链条元应用动量定理, 得 fd d d i, l g d f i i g l h i d 所以, 桌面对整根链条的作用力为 3l h g f f f i, 方向向上 6

2.1. 动量与冲量

第 2 章运动定理 2.1. 动量与冲量 2.2 功和能 2.3 冲量矩和角冲量 2.1. 动量与冲量 1. 动量与冲量牛顿第二定律 : dv d = F = a = F = F = d(v) d(v) 冲量 : 作用力与作用时间的乘积 I = F (t - t ) 恒力的冲量 : 2 1 I = 变力的冲量 : 2 t t 1 F(t) 单位 :N s 冲量是反映力对时间的累积效应的物理量动量