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白友
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二维完全弹性碰撞的理论研究周游刘程涂灿辉刘华郑才龙 ( 湖北师范大学化学化工学院湖北黄石 435002) ( 收稿日期 :2017 03 23) 摘要 : 用相关的物理知识解决二维碰撞的问题, 发现碰撞中更为普遍的规律. 对于二维完全弹性碰撞问题, 可以用矢量分解能量守恒和动量守恒解决.

1 二维完全弹性碰撞的理论研究周游刘程涂灿辉刘华郑才龙 ( 湖北师范大学化学化工学院湖北黄石 ) ( 收稿日期 : ) 摘要 : 用相关的物理知识解决二维碰撞的问题, 发现碰撞中更为普遍的规律. 对于二维完全弹性碰撞问题, 可以用矢量分解能量守恒和动量守恒解决. 关键词 : 二维弹性碰撞矢量分解能量守恒动量守恒速度在生活或学习中, 有许多的碰撞现象, 例如桌球之间的碰撞微观粒子之间的轰击天体之间的相互撞击等. 这些过程有明显的特点 : 一般发生在二维平面内, 相互作用的时间极短, 相互作用力极大, 运动状态瞬间发生急剧改变, 在物理学中这类问题叫 [1~3] 做碰撞. 碰撞是生活中常见的现象, 也是经典物理学的广度和深度. 从简单情况出发, 处理两个小球的二维完全弹性碰撞. 设质量为的小球 A 以初速度射向质量为 m 2 静止的小球 B, 如图 1 所示, 初速度方向和两球碰撞时球心连线方向所成的入射夹角为 α (0 α<90 ), 发生弹性碰撞后, 求解末速度大小和散射角. 重点, 更是动量中的核心内容. 最初动量守恒定律正是为了解决碰撞问题而发现的. 我们在中学物理中学习了对心碰撞, 领悟到动量的巨大魅力. 通常所说的碰撞包括正碰和斜碰, 本次研究较为复杂且应用更广的斜碰, 即二维碰撞. 发生斜碰的两个物体光滑, 没有摩擦, 碰后两物体只有平动没有转动, 这是完全弹性二维碰撞的条件. 如果系统有摩擦, 则碰后物体既有平动又有转动, 且有能量损失, [4~6] 属于普通二维碰撞, 此问题难以解决. 关于二维碰撞问题, 不少学者对其进行理论或实验的研究, 如用质心系法矢量三角形计算机程序碰撞实验等方法进行研究 ; 基于他们的工作, 我们用基础物理学知识系统地研究了二维完全弹性碰 [7,8] 撞. 本文介绍了用通俗易懂的物理方法解决较为复杂的问题, 得到了速度大小和方向的准确解析解, 对各种碰撞情况进行分类讨论, 并通过作图辅助说明均得到了相应的结论, 从而拓展了碰撞研究的图 1 二维完全弹性碰撞分析图 1 解决思路由于两球碰撞为理想的二维碰撞, 故碰撞过程能量守恒动量守恒.A 和 B 碰撞瞬间如图 1 状态. 以两球球心连线方向为 x 轴, 垂直于球心连线且过 A 球心的方向为 y 轴 ; 可以设 A 的末速度 v 1 沿 x 轴方向分量为 v x, 在 y 轴方向上分量为 v y, 故与 B 发生作用的只有 v x, 根据一维碰撞规律,B 碰后末速度方向必然和 v x 方向共线. 在任意两个正交方向上运用分动量守恒, 并结合能量守恒和分速度关系, 即可求指导教师 : 郑才龙 (1971 ), 男, 讲师, 主要从事物理教学工作. 46

2 解末速度. 2 解决过程因 = 2m1cosα 设 A 碰后的末速度大小为 v 1,B 碰后的末速度大小为,v 1 在 x 和 y 轴方向的分量分别为 v x 和 v y,a 碰后 v 1 与碰前方向夹角为 β, 碰后两球末速度 v 1 和之间的夹角为 θ, 即有角度关系 α+β=θ. 若引入恢复系数 v2 -vx v2 -vx = e= cosα 0 - y 本次研究情形即 e=1, 可用于求解检验. 由 x 轴方向分动量守恒有 cosα=v x +m 2 (1) 由 y 轴方向分动量守恒有 sinα=v y (2) 由系统碰撞前后能量守恒有 1 2 m1v m2v2 2 = 1 2 m1v2 0 (3) 由 v 1 的合分速度关系有由式 (1)~ (4) 即可求解. 由式 (1) 得由式 (2) 得 1 = x + y (4) v x =cosα- m2 v y =sinα 将 v x 和 v y 代入到式 (4) 有 1 = 0cos 2 α+ m2 2 m m2 cosα+ 0sin 2 α 1 = 0 + m2 2 m m2 cosα 1 将 1 代入式 (3) 中 æ 0 = 0 + m2 2 m m2 ö ç cos α +m 2 2 è 1 ø 将代入上式有或 1 = 0 + m2 2 m m2 cosα 1 1 = 0 + m2 2 2 æ2cosα ö ç 0 - è +m2 ø m m2 cosα 0cosα 1-4m1m2cos2 α ( ) 2 m2 1 +m 2 2-2m 2cos2α 因为动量在方向上守恒, 故 =v 1cosβ+m 2cosα 将 v 1 和代入上式得又因为 -m 2cos2α m 2 1 +m 2 2-2m 2cos2α v x =cosα- m2 =v 1cosθ 联立并将 v 1 和代入得 3 分析讨论 ( -m 2 )cosα m 2 1 +m 2 2-2m 2cos2α 二维弹性碰撞的两球末速度大小为 1-4m1m2cos2 α ( ) 2 = 2m1cosα A 的末速度 v 1 与方向夹角为两球末速度方向夹角为 -m 2cos2α m 2 1 +m 2 2-2m 2cos2α ( -m 2 )cosα m 2 1 +m 2 2-2m 2cos2α 47

3 为了方便讨论, 不妨设 m 2 =u, 则 1-4ucos2 α (u+1) 2 = u+1 = 2ucosα u+1 v0 u-cos2α ( u-1)cosα 特别地, 可以分下列几类情况讨论 : (1) 当两球质量相等时, 即 u=1 时, 公式可以简图 2 u =0.5 时,v1 和 v2 随 α 变化图像 2) 当 u=1 时,v 1 和随 α 变化图像如图 3 所化为 sinα =cosα β=90 -α θ=90 (2) 当碰前夹角 α=0, 碰撞前后速度始终共线, 变为一维弹性碰撞, 即弹性正碰情形 m1 -m2 2m1 = β=θ=0 (3) 当 > m 2, 两球末速度夹角为锐角 ; 当 < m 2, 两球末速度夹角为钝角 ; 图 3 u =1 时,v1 和 v2 随 α 变化图像 3) 当 u=2 时,v 1 和随 α 变化图像如图 4 所当 =m 2, 两球末速度夹角为直角. (4) 当 m 2, 即 u 很大时 v 1 2cosα β 0 θ α 当 m 2, 即 u 0 时 v 1 β 180-2α 0 θ 180 -α 4 图像解析 (1)v 1 和随 α 变化图像 1) 当 u=0.5 时,v 1 和随 α 变化图像如图 2 所 48 图 4 u =2 时,v1 和 v2 随 α 变化图像小结 : 无论质量比如何变化,v 1 随 α 改变而递增至,v 1 随 α 改变而递减至零. (2) β 和 θ 随 α 变化图像

4 1) 当 u=0.1 时, β 和 θ 随 α 变化图像如图 5 所当 u 6 时,θ 随 α 变化的图像接近递增的直线, 且 u 越大, 拟合度越好 ; 而 β 有极大值, 且 β 在两端点均为零,u 越大 β 的极大值越小. 鉴于当质量比 u >1 时, 在入散射角图像中发现 A 的散射角度 β 有极大值, 通过求导, 即得即 β 在 dcosβ dα =0 ucos2α=1 图 5 u =0.1 时, β 和 θ 随 α 变化图像 2) 当 u=2 时, β 和 θ 随 α 变化图像如图 6 所处有 α= 1 2 arccos1 u βmax =arccos u2-1 u 在上述图像中, 将质量比代入极值公式 u=2 α=30.00 βmax =30.00 u=6 α=40.20 βmax = 研究总结本文从理论上严谨地推导了二维完全弹性碰撞的速度公式, 并对其进行深入地分析讨论. 通过一维图 6 u =2 时, β 和 θ 随 α 变化图像 3) 当 u=6 时, β 和 θ 随 α 变化图像如图 7 所碰撞等特殊情况的验证, 以及图像的直观变化规律, 我们对较为陌生的斜碰有了更为完整的认识和深刻的理解. 本文解决了中学尚未学习而大学忽略讨论的斜碰问题, 发现了斜碰的力学规律, 拓展了经典力学研究碰撞的范围. 参考文献 1 陈亚兰. 一维对心完全弹性碰撞的速度分析. 河南科技, 2014(01):184~184 2 朱晓波, 黄奚超, 邹毅. 二维碰撞的简化计算及其电脑程序. 吉林工业大学自然科学,2001(31):91~95 3 曾奇军, 戈静, 徐元国, 等. 弹性碰撞的图示分析法. 信阳图 7 u =6 时, β 和 θ 随 α 变化图像小结 : 当 u 0.3 时, β 和 θ 随 α 变化的图像接近递减的直线,θ 在两端点取值为 180 和 90 ; β 在两端取值为 180 和 0; 且 u 越小, 拟合度越高. 师范学院学报 ( 自然科学版 ),2013,26(3):343~347 4 人民教育出版社. 高中物理选 3 5. 北京 : 人民教育出版社, 漆安慎, 杜婵英. 力学 ( 第 3 版 ). 北京 : 高等教育出版社,

5 6 H.Orland,R.Schaefer.Two bodycolisionsandtime 35~37 dependenthartree Focktheory.ZeitschriftfürPhysik 8 刘金铭, 陈阳, 陈琪. 关于弹性斜碰前后系统动能的讨 A:AtomsandNuclei,1979,290(2):191~204 论. 湖南中学物理,2015(2):82~84 7 李忠相. 处理斜碰问题的三种方法. 物理通报,2014(5): TheTheoreticalResearchonTwo dimensionalperfectelasticcolision ZhouYou LiuCheng TuCanhui Liu Hua ZhengCailong (SchoolofChemistryandChemicalEngineering,HuBeiNormalUniversity,Huangshi,Hubei ) Abstract:TheColisionisacommonphenomenoninourlife,anditisimportantforclassicalphysics,aswel asitisthecorecontentinthemomentum.thefirstlawofconservationmomentum wasfoundinordertosolvethe problemofcolision.wehavelearntthecentralcolisioninthehighschoolandcomprehendedthegreatcharmof momentum.inthisarticle,we usetherelevantphysicalknowledgeto solvethetwo dimensionalcolision problem,andfindthe moregeneralregularincolision.asfortheproblem oftwo dimensionalperfectelastic colision,thevectordecomposition,energyconservationand momentumconservationcanbeusedtosolveit. Keywords:two dimensionalelasticcolision;vectordecomposition;energyconservation;conservationof momentum;sp eed 췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍 ( 上接第 45 页 ) AnalysisontheProcesofCar s MovementWithConstantPower OuShigang YangYunshan Huang Min (MingzhangInstitutionofXinduNo.1 HighSchool,Chengdu,Sichuan610500) ZhaoYunhe (DepartmentofPhysics,BeijingNormalUniversity,Beijing100875) Abstract:Inthispaper,theprocessofacceleratingdriving withconstantoutputpowerisanalyzedunderthe influenceofairresistance.thediferentialequationofautomobile motionisobtainedandtheultimatevelocity increaseswiththeincreaseofpower.theresistancecoeficientandthenthenumericalsimulationandfurther discussiononthetheory,thegreaterthepower,thesmalerthequalityofthecar,100kmfasteraccelerationtime, andfrictioncoeficienthasnothingtodowiththeconclusion. Keywords:engineoutputpower;airresistance;accelerationtime;ultimatespeed 50

2 1 4

2 1 4 08 2 1 4 é é 1584 1611 1727 186 1 2 5 1 2 é é é 3 1 2 4 2 3 4 5 4 2, 5 3 18 19 16 12 1 7 2 18 3 2 3 1 2 E F S M V I F t M V 2 4 9 4 27 1 W H MV 2 2 2 3 4 72 9 1 1 6 2 2 76 1