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1 7-3 虚功原理 虚功原理是分析力学中解决静力学问题的基本原理 它阐明了力学系统保持静平衡的必要充分条件 并提供了解决各类力学系统静力学问题的统一观点和方法. 一 虚功原理受有理想约束 [ 定常约束] 的力学系统 保持 [ 静 ] 平衡的必要 [ 充分 ] 条件是作用于该系统的全部主动力的虚功之和为零. 在直角坐标系中 上式写成 ( 必要条件的证明 : 当力学系统相对惯性系处于 [ 静 ] 平衡时 R... 对于理想约束 ( R ) R )...

2 R 所以 充分条件的证明 : 若系统的主动力虚功之和为零 对于受有理想约束的系统 R 力学系统的约束是定常的 各质点的无限小实位移必与其中一组虚位移重合 故系统的主动力和约束力的实功之和也满足 d d R 根据质点系的动能定理 d d d R T T 常量说明系统开始时静止 以后就会始终保持静止. 关于这个原理 我们有几点说明. () 普适性. () 在变动中寻找平衡的条件. 例如单摆.

3 (3) 与牛顿力学不同 分析力学的方法不是将注意力放在区分内力和外力上 而是放在区分主动力和约束力上. 虚功原理只涉及到主动力 包括外力中的主动力和内力中的主动力 而未知的约束力不会在虚功原理中出现 这是此原理的突出优点. 如图所示提升重物的装置 假如 是 的最小值 以把手端点的弧坐标 s 为广义坐标 设重物距地面 高度为 h. 根据虚功原理 s Wh 得 Wh s 如果知道 h 和 s 的函数关系 通过上式 就可求出. 由于虚功原理的方程中不出现约束力 因此不能由虚功原理求出约束力 但是 通过释放约束或用不定乘子法 可以求出约束力. 具体方法将在下面阐述. (4) 虚功原理中所说的主动力所做虚功之和为零 是对任意的虚位移而言的 而不是针对特殊的虚位移. 二 广义平衡方程运用虚功原理 具有统一的程序和方法.

4 为了得到广义平衡方程 需要将虚功原理化为以广义坐标表述的形式. s α Q α q α s [ W Q α qα α 展开后写成 Q q Qq Q s qs. 在完整系中 s 个广义坐标的变分 ] q q... qs 相 互独立 所以上式成立的条件为各个广义力都为零 即 缩写成 Q Q Q Q α s α 这 s 个方程称为系统静平衡的广义平衡方程. 据此 虚功原理又可叙述为 : 对于受完整的 定常的 理想约束的力学系统 保持静平衡的必要充分条件是所有的广义力都为零. 对于主动力均为有势力的有势系 广义平衡方程成为 V α s q α 表明在有势系中 只要算出系统的总势能 就能得到广义平衡方程. s

5 s α V q α q α 即 V 表明处于静平衡的系统的势能取极值 ( 极小值 极大值或是稳定值 ). 由此得出 : 对有势系 势能取极值是平衡的必要条件. 例题 有一固定的直角三棱柱 其斜边是水平的. 现有一条匀质的绳索跨在棱的两边 如图所示. 不计摩擦 试证明绳索平衡时 它的两端点必在同一水平面上. 证明系统所受约束符合虚功原理的适用条件 ( 分析略 ). 绳索的自由度为 设跨在左边棱上绳的长度 s 为广义坐标. 又设绳总长为 则右边棱上的绳长为 s. 设绳的线密度为 ρ 则两段绳索的质量分别为 m ρs m ρ ( s). 在直角坐标系 O 中 根据虚功原理写出 m g mg 分别是两段绳的质心的纵坐标. 设 α 为三棱柱的右倾角 由于 s cosα ( s)sα 所以 cosαs sαs

6 则 [ ρ sg cosα ρ( s) g sα ] s 因 s 是任意的 上式要求 即 [ ρsg cosα ρ( s) g sα ] s cosα ( s) sα 由上式可知 如果绳的两个端点用 M N M N 表示 则 即绳的两端点在同一水平面上. 该题的另一种计算方法是先计算绳索的势能 V ρgs cosα ρg( s) sα 然后 应用 Q s d V ds 便可得到广义平衡方程. 例题 3 如图 7.7 所示. 匀质杆 OA 质量为 m 长为 能在竖直平面内绕固定的光滑铰链 O 转动 此杆的 A 端用光滑铰链与另一根质量为 m 长为 的匀质杆 AB 相连. 在 B 端有一水平作用力. 求处于静平衡时 两杆与铅垂线的夹角 和. 解系统所受约束符合虚功原理的适用条件 ( 分析略 ). 系统自由度为 以 和 为广义坐标. 系统的主动力有 m g m g 和. 根据虚功原理

7 3 m g m g 和 3 是 3 个主动力的受力质点的虚位移. 建立如图的直角坐标系 O 上式成为 3 g m g m 坐标变换方程为 3 s s cos cos cos 将上面各式变分 得 3 cos cos s s s s s cos g m m g s cos m g 由于 和 相互独立 所以

8 cos cos mg s m g s m g s 由这两个广义平衡方程 可求出系统处于静平衡时 和 所满足的方程 : 所以 ta ta acta ( m m ) m g g ( m m ) acta m g 虚功原理主要用于求解 : () 系统的静平衡位置 ; () 维持系统平衡时作用于系统上的主动力之间的关系. 应用虚功原理解题的主要步骤是 : () 明确系统的约束类型 看是否满足虚功原理所要求的条件 ; () 正确判断系统的自由度 选择合适的广义坐标 ; (3) 分析并图示系统受到的主动力 ; (4) 通过坐标变换方程 将虚功原理化成 g

9 S α Qα qα 的形式 进而得出广义平衡方程 Q α α s. 对有势系 求出系统的势能 V 后 可通过 V / qα α s 得广义平衡方程 ; (5) 求解广义平衡方程. 三 利用虚功原理求约束力对于理想约束的力学系统 虚功原理使广义平衡方程中不出现约束力. 但如果需要求约束力 我们仍可通过特殊方法 应用虚功原理求解.. 利用释放约束的方法求约束力释放约束 将约束力视为主动力 自由度增加. 例题 4 试求例题 3 中 O 处的约束力. 解释放 O 处的约束 自由度 s 4. 选择 O 点的坐标 和两杆与 轴的夹角 作为系统的广 义坐标. 并将 O 点处约束力 N 以主动力的身份与 主动力 m g mg 一起代入虚功原理的方程中 得 N 坐标变换方程为 3 m g mg 3 cos cos cos s s N

10 求出 3 并代入 得 ( ) ( m g m g ) N cos N m g s mg s cos mg s 由于 相互独立 于是有 N mg mg N cos mg s mg s cos mg s 从后两个方程 即例题 3 中的广义平衡方程 可求 出系统平衡时的 和. 从前两个方程 可解出 约束力 : N N ( m m ) g. 不定乘子法. 先设系统由 个质点组成 受 个完整约束 ( ) 则 3 个坐标中有 个是不独立的. 但是现在我们不去寻找相互独立的广义坐标 用 3 个直角坐标作为描述系统位置的变量. 于是当系统平衡时 应满足虚功原理

11 但式中的 不是相互独立的 它们满足由约束方程得出的 乘待定常数 ( 不定乘子 ) 与前式相加 得 ) ( ) ( ) ( 设 是独立的 适当取 值使 则 ) ( [ 主动力 已知 与约束方程 ( ) 联立求解 ] 可求出平衡位置 ) ( 和待定常数 称为不定乘子 又称拉格朗日乘子. 这种方法称为不定乘子法. 下面我们来说明不定乘子 是一个与约束力有关的量. 为了看出这一点需要约束力在虚功原理中出现. 为此 我们采用约束释放的方法 将约束都释放 并将约束力视为主动力 虚功原理

12 成为 ( ) ( ) ( ) R R R 由于所有约束释放了 3 个坐标变分变成完全独立的了 所以每一个坐标变分前的系数分别为零 即 可知 R R R R R R 由此可见 不定乘子 与约束力有密切关系. 设想质点被约束在一个光滑曲面上 其约束力为 即 R R R j R j R 说明约束力沿曲面的法线方向 是约束力 R 与梯 度 的比例系数. 一般性讨论设一力学系统由 个质点组成 受到 个完整约束的限制 ( )

13 则 3 个坐标中有 个是不独立的. 系统平衡时 应满足虚功原理 ( ) 但是 式中的 3 个 不是相互独立的 它们满足 个由完整约束给出的方程 : 利用 的待定性质 选择 个 的值 使式中 个不独立的坐标变分的系数为零 从而得到 3 个方程. 与 个约束方程联立求解 个 与平衡位置坐标

14 便可同时求出. 称为不定乘子 又称拉格朗日乘子. 这种方法称为不定乘子法. 将 个完整约束都释放 并将约束力都视为主动力 虚功原理成为 ( R ) ( R ) ( R ) 3 个坐标变分变成完全独立的了 所以 比较可知 R R R R R R 由此可见 不定乘子 与约束力有密切关系. 例题 5 一质量为 m 的质点 P 被限制在光滑球面上运动. 已知球面的半径为 a 求质点的平衡位置和约束力. 解建立原点在球心上的直角坐标系 O 质点的约束方程为

15 ( ) a () 质点有两个自由度 但解题时仍以质点的 3 个坐标 作为确定质点位置的变量. 它们的变分不独 立 满足以下关系 : 即 () 质点所受的主动力是重力 mg 根据虚功原理 mg mg (3) 以不定乘子 乘 () 式 再与 (3) 式相加 得 ( mg ) 不定乘子的待定性可使 相互独立 ( 系数均为 ) 于是 mg (4) 由于 从 (4) 式的后两个方程以及 () 式 可得到质点平衡位置的两组坐标 : 从 (4) 式的第一式求出 ( a ) 和 ( a) mg 可见不定乘子 是坐标的函数. R j 以 mg mg j mg 代入 得到两个平衡位置的约束力

16 均为 mg R 这个结果符合实际情况 并与用牛顿力学求得的结果一致.

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