初等数论 我们知道 除 以外的所有素数均为奇数 每一个素数和下一个素数之差是偶数 显然 两个相继素数之差为 至少为 如果一个素数和下一个素数之差为 我们就把这一对素数称为孪生素数 例如 等 年 波林那克!"#"$% 猜测 孪生素数有无穷多 这是一个至今尚未获证的问题 并且 猜测 哥德巴赫猜想 & 年
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- 彬谨 殳
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1 绪 论 数论是一门古老的数学分支 它是研究整数性质的一门精湛的科学 内容极为丰富 被数学家喻为数学的 皇后 历史表明 每一个重大的数论课题 都是在吸收了当时最新的数学成果 创造了极深刻的新方法之后 才获得进展的 反之 数论研究的进程也促进了数学其他分支的发展 因此 数论中的绝大多数问题都受到了大批世界著名的大数学家的重视 数论中有许多奇妙的猜测 这些猜测有的已经解决了 有的至今尚未得到证明或否定 猜测 角谷猜想 从任意一个大于 的正整数出发 反复进行下列两种运算 若为奇数就乘 加 若为偶数就除以 则最后回到 数学家们做了许多演算 结果都相同 于是猜想 从任意奇数出发 反复经过 和 两种运算 最后必定得到 已经验证 它对于 亿以下的数都是对的 然而 时至今日 仍无人能彻底解决它 猜测 爱尔迪希猜想 世纪初期 爱尔迪希 曾猜想 方程 没有整数解 可在 年 我国著名的数论专家柯召就给出了反例 否定了这个猜想 他找到了无穷多组解 这里 是否还有别的 的整数解 这个问题至今没有解决 猜测 波林那克猜想 又称孪生素数猜想
2 初等数论 我们知道 除 以外的所有素数均为奇数 每一个素数和下一个素数之差是偶数 显然 两个相继素数之差为 至少为 如果一个素数和下一个素数之差为 我们就把这一对素数称为孪生素数 例如 等 年 波林那克!"#"$% 猜测 孪生素数有无穷多 这是一个至今尚未获证的问题 并且 猜测 哥德巴赫猜想 & 年 德国数学家哥德巴赫 '$ 注意到 于是写信给当时侨居俄国彼得堡的瑞士数学家欧拉 在信中 他提出了将正整数表示为素数之和的猜想 即哥德巴赫猜想 这个猜想可用略为修改了的语言表述为 ( 每一个 的偶数都是两个奇素数之和 每一个 的奇数都是三个奇素数之和 显然命题 是命题 ( 的推论 事实上 设 是 的奇数 则 ) 是 的偶数 由命题 ( 成立 可知存在奇素数 与 使 )*& 即 *&& 因此 命题 也成立 从哥德巴赫写信起到现在 已经积累了不少关于该问题的宝贵资料 有人核对过 当 时 命题 ( 是正确的 后来 又有人进一步核对过 当 + 时 命题 ( 都是正确的 但是至今我们还不能确定命题 ( 的真假 年 德国数学家朗道,$"$ 在第五届国际数学家大会上曾经说过 即使要证明下面较弱的命题 - 也是现代数学家所力不能及的 - 存在一个正整数 使每一个 的整数都可以表示为不超过 个素数之和 我国著名的数学家华罗庚先生早在 世纪 年代就开始研究哥德巴赫问题 并取得了重要成果 解放后 在他的倡议与领导下 我国青年数学工作者从 年代初开始研究这一问题 他的学生不断得到重要成果 尤其是陈景润的结果赢得了国内外著名学者的高度评价 下面我们将介绍这个问题的一些重要结果
3 绪 论 首先是史尼尔曼在 年 即哥德巴赫提出猜想后 年 证明了命题 - 即 定理 史尼尔曼 任何 的整数都可以表示为不超过 个素数之和 这里 是一个常数 史尼尔曼不仅证明了命题 - 而且在他的论文中 还引入了关于正整数集合的一个很重要的概念 密率 这一概念后来有了新的发展与应用 用 表示最小的正整数 使每一充分大的整数都可以表为不超过 个素数之和 我们把 称做史尼尔曼常数 由史尼尔曼的方法不仅能够得到 的存在性 而且可以得到 的明确上界 即 不少数学家改进了 的上界估计 如我国数学家严文霖就在 年证明过 目前关于 的最佳估计是由沃恩.$#$" 得到的 他证明了 定理 沃恩 每一充分大的奇数是不超过 个素数之和 每一充分大的偶数是不超过 个素数之和 每一个 的整数是不超过 个素数之和 年 苏联数学家依 维诺格拉朵夫.!"#$/ 利用英国数学家哈代 0$1 与李特尔伍德,! 创造的 圆法 证明了 定理 依 维诺格拉朵夫 每一充分大的奇数都是 个奇素数之和 如果 是充分大的偶数 那么 ) 是充分大的奇数 由定理 可知 )* && 这里 都是奇素数 所以 即充分大的偶数都可以表示为不超过 个素数之和 因此由定理 可以推出史尼尔曼常数 这是史尼尔曼方法所达不到的 由史尼尔曼方法目前只能证明 年 我国著名数学家华罗庚及一些国外数学家独立证明了命题 ( 对于几乎所有的偶数都成立 华罗庚证明的结果比其他人的更强一些 他证明了 定理 华罗庚 设 是某一固定的正整数 则几乎所有的偶数都可表成 & 的形式 这里 是素数 另一种研究哥德巴赫猜想的方法是 筛法 为叙述方便 我们引入下列两个命题 每一个充分大的偶数都是一个不超过 个素数的乘积与一个不超过 个素数的乘积之和 记为 & 每一个充分大的偶数都可以表示为一个素数与一个不超过 个素数的乘积之和 记为 &
4 初等数论 哥德巴赫猜想本质上就是要证明 & 首先是挪威数学家布伦 " 在 年证明了 & 其次是匈牙利数学家雷尼 "1! 在 年证明了 & 后来不少数学家改进了布伦与雷尼的结果 尤其在 年 我国著名数学家陈景润在对 筛法 作了新的重要改进之后终于证明了 & 即 定理 陈景润 每一个充分大的偶数都可以表示为一个素数与一个不超过 个素数的乘积之和 这是迄今为止最为接近这一猜想的结果 国外称之为 陈氏定理 讲上面四个例子的目的是给大家增加一点数学常识 在近代数学的结论中 能让非数学专业人员了解的也许除了数论以外就不多了 从这里也不难看到 虽然数论中的许多问题表面上提法很简单 但证明起来十分困难 因此 我们认为有兴趣解决这类经典问题 如哥德巴赫猜想 的人 应该具备相当的数学知识与修养 而且应该熟悉数论中已有的成果与方法 再作进一步的探讨 才可能有所收获
5 第 章 整数的整除性 整除理论是初等数论的基础 因而本章从整除的概念出发 引进带余除法 然后介绍素数的基本性质 最大公因数与最小公倍数 接着证明算术基本定理 此外 本章还要介绍高斯函数 正整数的正因数个数与正因数和 完全数与亲和数以及数论中常用的逐步淘汰原则与抽屉原理 为了使讨论自然和方便 先简述数学归纳法 数学归纳法 由于数学归纳法是证明某些数论问题的得力工具 所以这一节着重介绍数学归纳法的几种常用形式 第一数学归纳法 第二数学归纳法 反向归纳法和跷跷板归纳法 并举例说明它们的应用 第一数学归纳法 设 是一个含有正整数 的命题 如果 当 * 时 成立 由 成立必可推得 & 成立 那么 对所有正整数 都成立 例 试证 任何 的正整数均能表示为若干个 与 的和 证 当 * 时 有 *& 命题显然成立 假设当 * 是正整数且 时命题成立 即存在正整数 使得 * & 或存在正整数 使得 * 或存在正整数 使得 * 那么由 或 或 可知这个命题当 *& 时也是成立的 综上 根据第一数学归纳法 这个命题对所有 的正整数 都成立
6 初等数论 第二数学归纳法 设 是一个含有正整数 的命题 如果 当 * 时 成立 在! 对所有适合! 的正整数! 成立的假定下 & 成立 那么 对所有正整数 都成立 例 有两堆棋子 数目相等 有两人玩耍 每人可以在任一堆里任意取几颗 但不能同时在两堆里取 规定取得最后一颗者胜 试证 后取者必胜 证 设 是每一堆棋子的颗数 当 * 时 先取者只能在一堆里取一颗 这样另一堆里留下的 颗就被后者取得 所以结论成立 假设当 时结论成立 现在我们来证明 当 *& 时结论也成立 在这种情况下 先取者可以在一堆里取棋子 "" 颗 这样 剩下的两堆棋子中 一堆有棋子 & 颗 另一堆有棋子 &)" 颗 这时后取者可以在较多的一堆里取棋子 " 颗 使两堆棋子都有 &)" 颗 由归纳假设 后取者可以获胜 根据第二数学归纳法 这个命题对所有正整数 来说 后取者必胜 反向归纳法 反向归纳法是数学归纳法的一种变化形式 通常表述为 设 是一个含有正整数 的命题 如果 有无穷多个正整数 使 成立 在假设 & 成立的前提下 成立 那么 对所有正整数 都成立 例 设 是素数 而! 是正整数 试证! )! 是 的倍数 证 令!*" " 是正整数 则 " )" 是 的倍数 即有无穷多个正整数 " "* 使得! )! 是 的倍数 假设!*& 时 & )& 是 的倍数 则由 # # # 以及 # $ $ $ $ 是 的倍数 知 ) 是 的倍数 从而根据反向归纳法 对任意正整数!! )! 都是 的倍数 跷跷板归纳法 跷跷板归纳法是数学归纳法的又一种变化形式 通常表述为
7 第 章 整数的整除性 设有两个命题 ( 如果 ( 成立 假设 ( 成立 则推出 成立 假设 成立 则推出 (& 成立 那么对任意正整数 命题 ( 都成立 例 设 % 表示方程 &* 的非负整数解的组数 试证 %""%"" 证 这里 命题 ( 是 %)* 命题 是 %*& 当 * 时 方程 &* 仅有一组非负整数解 ** 所以命题 ( 成立 假设 %)* 即 ( 成立 则当 * 时 方程 &* 的非负整数解的组数 % 可分为两类 一类是 * 解的组数等于 一类是 解的组数等于方程 )&*) 满足 ) 都是整数 的解的组数 %) 所以 %% 即命题 成立 假设 %*& 即 成立 则当 *& 时 方程 &*& 的非负整数解的组数 %& 同样可分为两类 一类是 * 解的组数等于 一类是 解的组数等于方程 )&* 满足 ) 都是整数 的解的组数 % 所以 %% 即命题 (& 也成立 因此 由跷跷板归纳法知 对一切非负整数 " 有 %""%"" 习题 试证 对于任何正整数 总存在奇数 使得 * & 已知斐波那契!"$! 数列 & 满足 试证 &* 槡 & 槡 & & & && ) ) 槡 在数列 中 如果 是它的第 项 ' 是它的前 项的和 且 "*" ")* "")& 这里 " 是正整数 试证 ' ")* " " )"&' "* " " &"&
8 初等数论 试证 当! 与 取遍全体正整数时 也取遍全体正整数 既没有重复也没有遗漏!!! 整除性概念及其性质 大家知道 两个整数的和 差 积仍然是整数 但是两个整数的商 分母不为零 却不一定是整数 为此我们引进整除的概念 这里约定 如果没有特别声明 本节及以后所用的小写字母均表示整数 定义 设 若有一整数 使得 * 则称 能整除 或 能被 整除 记作 此时我们把 叫作 的倍数 叫作 的因数 否则 称 不能整除 或 不能被 整除 记作 定义 若 且 则称 是 的真因数 下面我们给出整除的一些性质 定理 设 均不为零 若 则 若 则 若 则 若 则对任意整数!!& 证 仅证 由 知 存在整数 使得 ** 即 而!& 是整数 故!!!! 此结论可推广到有限个整数的情形 定理 相继 个整数的乘积能被 整除 即 证 若相继 个整数均为正整数 则当正整数 时 一方面 注意到组合数 # 总是一个正整数 另一方面 我们有 #
9 第 章 整数的整除性 即 ))&*# 故 ))& 若相继 个整数中有零 则结论显然成立 若相继 个整数均为负整数 则可转化为正整数的情形 由于整数除法不一定总能实施 所以在一般情况下 带有余数的除法可用下面的定理来表述 定理 带余除法 若 是两个整数 且 则存在唯一一对整数 及 % 使得 %% 证 存在性 由整数的除法 知 % 是存在的 唯一性 设有两对这样的整数 % 及 % 使得 则有 %% %% %% 由此得 %)% 但 %)% 故得 %)%* 即 %*% 将此式代入式 得 *) 又 故 * 定义 式 中的 称为 被 除所得的不完全商 简称为商 % 称为 被 除所得的余数 带余除法虽然很简单 但很重要 它是整除性理论的基础 整除的许多性质都是由它推导出来的 例 已知!)!) 试证!) 证 因为 )))*) 且!)!) 所以!) 例 设 是奇数 试证 ) 证 令 *& 是任意整数 则 由定理 知 )&&& 故 + ) 即 ) 例 试证 对任意正整数 & 个组合数 # # # 均为奇数的充要条件是 具有 * ) 的形式 证 用数学归纳法
10 初等数论 当 时 直接验证可知 仅在 ** )** )** ) 时 组合数 # " " 为奇数 假设对小于 的情形命题成立 我们来考察等于 的情形 此时全体组合数 # " 分别为 " " 要使这些数均为奇数 首先 第二项及倒数第二项的 应是奇数 即 *!& 另外 在其余各项的分子 分母中 把奇因数去掉后 余下部分以 *! & 代入 恰得!!!! 要使全体 # " 均为奇数 则它们也应全是奇数 而它们恰是! 时的全体 # "! "! 由归纳假设知 它们都是奇数的充要条件是! 有!* ) 的形式 此时! 这就证明了命题对任意正整数 都成立 例 设对所有的正整数 有!& & 求正整数! 证 由!!!!!! 知 要使!& & 必须有! & 因任一正整数被 除所得余数为 或 故! 或! 或! 或! 若!* 为正整数 则 & 的末尾数字是 若!*& 为非负整数 则 & & 的末尾数字是 若!*& 为非负整数 则 & & 的末尾数字是 若!*& 为非负整数 则 & & 的末尾数字是 综上 当!*& 为非负整数 时! & 从而!& & 例 若 & 是形如 & 是任意整数 是两个不全为零的整数 的数中的最小正整数 试证 证 由 知 %%
11 第 章 整数的整除性 % 即 % 也是形如 & 的数 但因 %&& 是形如 & 的数中的最小正整数 故 %* 此时 即 例 试证 '*& & & 不是整数 证 设 是满足条件 的最大整数 是所有不大于 的正奇数的乘积 则 ' 的展开式中 除 ) 外 其余各项均为整数 所以 ) ' 不是整数 因而 ' 不 是整数 习题 已知!)!& 试证!)!& 设 试证 ) ) 的充要条件是 ) 试证 对任意整数 多项式 & * & & 总取整数值 设 是奇数 试证 & & 设 是正整数 试用数学归纳法证明 & & ) & ) 有三个大于 的正整数 其中任意两个数的积与 的和能被另一个数整除 求这三个数 设 是奇数 试证 & ) 的最后两位数为 设 " 是一个给定的正整数 若 && " ) " 且 " ) 试证 对任意正整数 有 "& & "& & 设 都不是 的倍数 试证 & 和 ) 中有且仅有一个是 的倍数 试证 '* & & & & 不是整数 设 是正整数 试证 存在唯一一对整数 " 使得 * ) &" " 设 是整数 试证 任一正整数 均可唯一表示成 的形式 这里 $ $*)
12 初等数论 素数与合数 我们知道 数 的正因数只有 显然 任何大于 的正整数 的正因数至少有 及 两个 有的数的正因数恰好只有两个 如 有的则多于两个 如 定义 若正整数 恰好只有 及本身 两个正因数 则称 为素数 又称 质数 若正整数 的正因数多于两个 则称 为合数 又称复合数 如数 的一个因数 是素数 则称 是 的一个素因数 今后 我们常用 表示素数 依定义 全体正整数按其正因数的多少可分成三类 只有一个正因数 素数 有且仅有两个正因数 合数 有两个以上的正因数 由此可见 既不是素数也不是合数 现在带来一个问题 素数究竟是有有限多个 还是有无穷多个 这件事早在公元前 世纪希腊人欧几里得! 就已经证明了 定理 素数有无穷多个 证 假设素数的个数有限 那么我们就可以将全体素数列举如下 令 *) 则 总是有素因数的 但我们可证明任何一个 $$ 都除不尽 事实上 若 $ 则由 $ 知 $ 这是不可能的 既然任何一个 $ 都除不尽 说明 有不同于 的素因数 这与 是全体素数的假定相矛盾 所以素数有无穷多个 由定理 的证明立刻可以推出 定理 当 时 在 与 之间一定有一个素数 证 设不大于 的素数为 并令 *) 一方面 由于 所以 由定理 的证明 可知 有一个不同于 的素因数 所以 若 则 是 $ 中之一 另一方面 ) 故 关于合数 我们也有
13 第 章 整数的整除性 定理 对任给的正整数 必有 个连续正整数都是合数 证 构造 个连续正整数 $ 显然 对 $& 有 $& &$ 即这 个连续正整数都是合数 例 求能使 && 都是素数的一切 解 * 时 &*&* 都是素数 所以 * 是一解 此外 无其他解 因为 *& 时 &*&*& 是合数 *& 时 & *&*& 是合数 例 问 个大于 的连续正整数中 最多有几个素数 解 大于 的 个连续整数中 最多有 个奇数 而大于 的素数必为奇数 于是素数只可能在这 个连续奇数之中 又知连续 个奇数中至少有一个是 的倍数 事实上 设连续 个奇数为 &&& 是正整数 令 *&% 这里 % 当 %* 时 & 当 %* 时 & 当 %* 时 & 所以在这 个连续奇数中最多有 个素数 另外 在 至 这 个连续正整数中 有 这 个素数 也就是说 在 个大于 的连续正整数中 最多只有 个素数 例 设 是一个大于 的素数 试证 被 除所得的余数必为 证 因 是大于 的素数 故 必为 2 的形式 这里 为正整数 此时 即 被 除所得的余数必为 例 当 与 & 均为素数时 称 和 & 为一对孪生素数 设 为素数 为正整数 试证 对于任意一对孪生素数 与 & 或者 &&* 或者存在一对孪生素数 与 & 使得 证 因 与 & 都是大于 的素数 故必存在正整数! 使得 *!) &*!& 于是 &&*! 若! 可令!* 这里 为正整数 此时 &&* 若! 可令!*&% 这里 为正整数 %* 或 当 %* 时 令 * 则 &* 此时 当 %* 时 令 * 则 &* 此时
14 初等数论 综上 命题得证 例 试证 形如 & 的素数有无穷多 证 如果形如 & 的素数有限 则可假定它们的全体是 令 *)*)& 则 也是形如 & 的数 而且任何 $ $ 都除不尽 由于除 以外 素数都是奇数 而奇素数用 除所得的余数必是 或 又两个被 除余 的数 "& 与!& 的乘积 "! "! "! 仍然是一个 & 形式的数 故由 是 & 形式的数 推知 的素因数不可能都是 & 形式的 即 还有形如 & 的素因数 但又不能是 中的一个 这就与假设相矛盾 所以形如 & 的素数有无穷多 例 设 是大于 的偶数 试证 对于任何充分大的奇素数 存在满足 ) 的素数 使得 证 对于正整数 设 是第 个素数 当 是偶数时 记 $ $$ 则 * 而 ) 均为奇素数 令! 由式 可知当 是充分大的奇素数时! 是充分大的奇数 因此 根据依 维诺格拉朵夫定理 存在奇素数 %%% 使得!*%&%&% 再令 )* %)*%*% 则有! 把式 代入式 并结合 * 可得 习题 求能使 和 & 都是素数的一切
15 第 章 整数的整除性 哪些素数 可使 ) ) 和 & 都是素数 设 若 及 & 均为素数 试证 & 必为合数 试证 形如 & 的素数有无穷多 设奇数 试证 是素数的充要条件是 不能表为三个或三个以上的相邻正整数之和 设! 为大于 的正整数 试证 当且仅当! 为大于 的合数时!! 试证 当正整数 时 & 为合数 德布埃尔 曾断言 对所有 ) 和 & 中至少有一个是素数 试举出反例 试证 有无穷多个 使得 ) 和 & 同时为合数 设 试证 ) 个连续正整数 中 每一个数都有一个素因数 并且该素因数不能整除其他 ) 个数中的任何一个 试找出所有奇数 使得 ) 全体素数按大小顺序排成的序列为 * * 试证 ) 试找出 个小于 而成等差数列的素数 并证明不可能有 个皆小于 的素数成等差数列 设 是任意给定的正整数 是所有不超过 的素数 试证 并由此推出素数有无穷多个 $ $ 几类特殊的素数 历史上许多数学家试图用一个公式来表示素数 即求变量 的一个函数 使它当 取任何正整数或非负整数时 该函数的值都是素数 不一定包括一切素数 欧拉曾构造函数 &* && 当 * 时 & 的值都是素数 类似地 对于函数 & 当 * 时 & 的值都是素数 对于函数 &
16 初等数论 当 * 时 & 的值都是素数 对于函数 & 当 * 时 & 的值都是素数 等等 但要找一个定义在整数集上的多项式函数 使得其值都是素数的努力注定要失败 因为我们有 定理 不存在次数! 的一元整系数多项式 &!!!! 使得对于任意的正整数 & 都是素数 证 若对某个整数 * &!!!! 是素数 考察 *& 为任意整数 的情形 &!!!!!!!! & 这里 是某一正整数 由于 & & 是合数 因此我们证明了并非对每个正整数 & 都是素数 下面介绍两类特殊的素数 费马 素数 定义 形如 * & 的正整数称为费马数 其中的素数称为费马素数 当 * 时 ***** 都是素数 由此 费马曾猜测所有的费马数都是素数 不幸的是 年 欧拉证明了 * &*+ 从而一举否定了这个猜想 然而 问题并没有结束 人们又在想 * 时 是素数还是合数 年 朗道指出 *+ 是合数 年 布里罕德!$ 和莫瑞森 3!" 指出 也是合数 目前人们已经证明了 时 均为合数 但 的因数却一个也未能找到
17 第 章 整数的整除性 现在人们利用电子计算机 以更快的速度继续进行这些计算 然而所得到的结果都是否定的 新的费马素数没有被发现 梅森 素数 定义 形如 (* ) 的正整数称为梅森数 其中的素数称为梅森素数 可以证明 如果 ( 是素数 则 必为素数 但反之不成立 即当 是素数时 ( 不一定是素数 例如 ((((( 到 年为止 我们只知道 个梅森素数 记为 ( 这里 * 有人提出过这样的猜想 如果 ( 是素数 那么 (( 也是素数 这个猜想对于小的梅森素数都是对的 但到第五个梅森素数 (* 这个猜想就被否定了 借助于电子计算机 可以证明 (( * ) 是一个合数 这个数有 位 但我们还不知道它的任何素因数 到 年 有人证明了 虽然 ( 与 ( 都是素数 但 (( 与 (( 都是合数 它们可以分别被 与 整除 于是 例 试证 * & 是合数 证 设 * * 则 即 & 故 是合数 例 设 且 ) 为素数 试证 * 且 为素数 证 假设 因 故 ) ) 且
18 初等数论 从而 ) 有真因数 ) 即 ) 不是素数 矛盾 因此 * 假设 是合数 即 *" 这里 那么 且 即 ) 也不是素数 因此 要使 ) 是素数 必须 * 且 为素数 例 设 * & 试证 若! 且 则! 由此推出素数有无穷多个 &*& 证 不妨设! 且!*& 则!! 这里 是某一正整数 假设! 因 则 而 故 * 但 是奇数 故 矛盾 因此 若! 且 则! 这说明当! 时! 中的素因数与 中的素因数完全不同 而费马数有无穷多个 故不同的素因数也有无穷多个 由此推出素数有无穷多个 本题可以用数学归纳法进行证明 这里我们提供另一种证法 在 中 令 * 得 两边再同时加上 即得 例 设数列 ) 满足 ) *) &*) &) & 试证 如果 是偶数 则 ) 中仅有素数 ) * 证 设 **) & 则有 *** 由此推出 ** ) 于是 ) 当 * 时 ) * 为素数 当 且 为偶数时 ) ) 由于 ) 所以 又 ) * ) ) )& 故 ) 这说明当 且 为偶数时 )
19 第 章 整数的整除性 是合数 因此 如果 是偶数 则 ) 中仅有素数 ) * 习题 设! 为正整数 且! & 为素数 试证!* 设 + *+ &*+ )+ & 试证 若! 且 + 则 +! 由此推出素数有无穷多个 + &*+ + & 最大公因数及其求法 定义 设 是不全为零的整数 如果 $ $* 则称 为 的公因数 的公因数中最大的 称为 的最大公因数 记作 定义 如果 * 则称 互素 如果 中每两个数都互素 则称 两两互素 由定义 立即得出下面两个结论 定理 如果 是 个不全为零的整数 则 证 设 是 的任一公因数 由定义 知 $ $* 因而 $$* 因此 是 的一个公因数 同理可证 的任一公因数也是 的一个公因数 所以 与 有相同的公因数 从而它们的最大公因数相同 即 定理 如果 则 * 证 因 * 故 ** 由于有了上面两个结论 今后我们只讨论正整数的情形 定理 同时也告诉我们 下面介绍最大公因数的求法 求两个正整数的最大公因数常用的方法是欧几里得算法 早在公元前 年左
20 初等数论 右 我国第一部数学名著九章算术! 第一章 方田章 的约分术中就指出 置分母 子之数 以多减少 更相减损 以求其等也 以等数约之 这与欧几里得所著的几何原本! 第七章第二题 求最大公因数的欧几里得算法 一致 为了介绍这一方法 首先给出 定理 如果 *& 则 * 证 设 是 的任一公因数 因为 *& 所以 即 是 的公因数 同理 的任一公因数也是 的公因数 所以 的公因数和 的公因数相同 因此 * 定理 用欧几里得算法求任意两个正整数 和 的最大公因数 就是以每次的余数为除数去除上一次的除数 直至余数为 那么最后一个不为零的余数 便是 和 的最大公因数 此算法也称辗转相除法 证 我们把欧几里得算法的计算过程用带余除法公式逐次表示出来 就是 % % %% % % % %% % % % %% % % % % 由上述诸式 按定理 可得 % %% %% %% 推论 公因数一定是最大公因数的因数 证 设 是 的任一公因数 已知 %* 则由 得 % 又由 % 得 % 以此类推 最后必得 % 所以 例 求 和 的最大公因数 解 因为 为了书写方便 上面一系列计算可简写为
21 第 章 整数的整除性 例 设! 是正整数! 试证! & &* 或 证 由! 不妨设! 且!*&%% 则! % % ( ( 是正整数 即! &* &(& 由定理 得! 即! & &* 或 由于 偶数 奇数 例 设! 是正整数 试证! ) )*! ) 证 当!* 时 结论显然成立 现不妨设! 则由欧几里得算法和定理 可得! % %%% % %% %! % %% %% %%! % % % % 这里 是正整数 故! ) )* ) % ) 以此类推 可得! % % % % % %! 习题 用欧几里得算法求 已知! 且! 是奇数 试证! ) &* 设 & 是形如 & 是任意整数 是两个不全为零的整数 的数中最小的正整数 试证 * & 试证 ) )* 的充要条件是 * 设 试证 存在 个合数可组成一个等差数列 而且其中任意两个数互素
22 初等数论 最大公因数的有关结论 上一节中已经得到 公因数一定是最大公因数的因数 借助这一性质我们可以证明 定理 * 的充要条件是 证 必要性 已知 * 用反证法 * 假设 * 则 都是整数 故 有公因数 即 这与假设矛盾 所以 充分性 已知 * 仍用反证法 易知 是 的公因数 假设 * 则有 * 这里 是大于 的整数 即 还有公因数 这与已知矛盾 所以 ** 推论 设 是正整数 " 是 的一个公因数 且 * 则 * " " " * " 该推论表明 在求最大公因数时 可把任何正的公因数提出来 定理 对任意整数 有 *& 证 设 **& 则由 可得 & 又 故 & 于是 同理 可证 因此 * 例 求下面的最大公因数 &&&& 为正整数 解 原式 *&)*)* 当 * 时 原式
23 第 章 整数的整除性 当 *& 时 原式 例 设 ** 试求 & 解 由题意 可设 *&*& 则 下面的结论给出了多个正整数最大公因数的求法 定理 * *%%& 证 如果 $ $ 那么 $ $ 反之 若 $ $ 则由定义 知 $ $ 这说明 与 有相同的公因数 因此 类似可证 *%%& 推论 设 是任意 个正整数 且 * *)* 则 * 该推论表明 多个数的最大公因数 可以通过求两个数的最大公因数逐步求出 推论 * 证 易知 左边 右边 一般地 有 % %% 例 求 解 由 得 * 由
24 初等数论 得 * 由 得 * 综上 * 例 试证 * 证 因为 所以 * 即 习题 求下面的最大公因数 & )) && 试给出四个正整数 它们的最大公因数是 但任何三个数都不互素 求 试证 * 整除的进一步性质 本节我们从一个引理出发进一步导出整除的性质 引理 对任意两个正整数 用欧几里得算法
25 第 章 整数的整除性 可得 这里 % %%% %% % %%% %, %,,,,, % 是欧几里得算法中的余数 证 用数学归纳法 当 * 时 式 显然成立 当 * 时 % %, 式 也成立 假如式 对于不超过 的正整数都成立 则 % %% % %,,,,, 因此 由第二数学归纳法 知结论成立 定理 若 是任意两个不全为零的整数 则存在两个整数 使得 &* 证 若 中有一个为零 则结论显然成立 不妨设 都是正整数 且 *% 那么由引理 知,)* ) ) % 即 ) ),&) *% 令 *) ),*) 即得 &* 推论 若 是 个不全为零的整数 那么存在 个整数 使得 &&&* 推论 * 的充要条件是 存在两个整数 和 使得 证 必要性 由定理 知 存在两个整数 和 使得 &*
求出所有的正整数 n 使得 20n + 2 能整除 2003n n 20n n n 20n n 求所有的正整数对 (x, y), 满足 x y = y x y (x, y) x y = y x y. (x, y) x y =
求出所有的正整数 n 使得 20n + 2 能整除 2003n + 2002 n 20n + 2 2003n + 2002 n 20n + 2 2003n + 2002 求所有的正整数对 (x, y), 满足 x y = y x y (x, y) x y = y x y. (x, y) x y = y x y 对于任意正整数 n, 记 n 的所有正约数组成的集合为 S n 证明 : S n 中至多有一半元素的个位数为
数学分析（Ｉ）短课程 [Part 2] 4mm 自然数、整数和有理数
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数域定义 第一章多项式一 内容提要 1.1 数域 设 F 是由一些复数组成的集合, 其中包括 和 1. 如果 F 中任意两数 ( 这两个数可以相同 ) 的和 差 积 商 ( 除数不为零 ) 仍然是 F 中的数, 那么 F 就称为一个数域. 1. 一元多项式定义设 是一非负整数. 形式表达式 其中 1 1.2 一元多项式 1 ax + a 1x + + a L, a, a, L, a 属于数域 F,
初等数论基础
第一章整除理论 整除性理论是初等数论的基础 本章要介绍带余数除法, 辗转相除法, 最大公约数, 最小公倍数, 算术基本定理以及它们的一些应用 第一节数的整除性 定义 设 a,b 是整数,b 0, 如果存在整数 c, 使得 a = bc 成立, 则称 a 被 b 整除,a 是 b 的倍数,b 是 a 的约数 ( 因数或除数 ), 并且使用记号 ba; 如果不存在整数 c 使得 a = bc 成立, 则称
幻灯片 1
第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f
6.3 正定二次型
6.3 正定二次型 一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不惟一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩 当变换为实变换时, 标准形中正系数和负系数的个数均是不变的 定理 ( 惯性定理 ) 设有二次型 f =x T Ax, 它的秩为 r, 如果有两个实的可逆变换 x=c y 及 x=c z 分别使 f =k
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RSA 图为 RSA 公开密钥算法的发明人, 从左到右 Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman. 照片摄于 1978 年 裴士辉 QQ:168159305 RSA 的数论基础 质数 ( 素数 ) (prime number) 一个大于 1 的自然数, 除了 1 和它本身以外不再有其他的因数, 那么这个数为素数 ; 否则称为合数 最小的质数是 目前为止, 人们未找到一个公式可求出所有质数
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第 41 卷第 1 期 018 年 3 月 南京师大学报 ( 自然科学版 ) JOURNAL OF NANJING NORMAL UNIVERSITY( Natural Science Edition) Vol 41 No 1 Mar018 doi:10.3969 / j.issn.1001-4616.018.01.004 关于 Diophantine 方程 x -s( s+1) y = 1 与 y
试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
2008年全国初中数学联合竞赛
017 年全国初中数学联合竞赛 ( 初二年级 ) 试题参考答案及评分标准 说明 : 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 第一试, 选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档 ; 第二试各题, 请按照本评分标准规定的评分档次给分. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在 评卷时请参照本评分标准划分的档次, 给予相应的分数. 第一试 一 选择题 :( 本题满分 4 分, 每小题 7
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零点启航教育 www.ligdiajy.com 05 年 MBA MEM MPAcc 管理类联考数学专题强化训练 一 整数的整除性 专题一 : 实数计算的典型问题. 如整数 m, 均能被 k 整除, 且 ab, 为整数, cd, 为正整数, 则 除 例 数 a 能被 8 整除 () a 为两个连续偶数的平方差 () a 为两个连续奇数的平方差 a c d + bm 也能被 k 整 解 :( 两个连续偶数可以写为
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Can use the Chinese Remainder Theorem to calculate the positive integers of The Euler phi-function and the results of even Goldbach's Conjecture Tong Xin-Ping Txp1313abc@hotmailcom Keywords calculate Euler's
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05 年全国高中数学联合竞赛加试 ( 卷 ) 参考答案及评分标准 说明 : 评阅试卷时, 请严格按照本评分标准的评分档次给分 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理 步骤正确, 在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分, 0 分为一个档次, 不要增加其他中间档次 一 ( 本题满分 40 分 ) 设 a, a,, a ( ) 是实数, 证明 : 可以选取 { } ε, ε,, ε,, 使得 证法一
循环中的秘密
Secrets i Cyclic Decials Abstract Suose is a ositive iteger. Whe the rie uber factorizatio of cotais rie uber other tha a 5, the uit fractio ca be reresete as a ifiite cyclic ecial. By the ai of couter,
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66 随机变量的函数.5 随机变量的函数的分布 设 是一随机变量, 是 的函数, g(, 则 也是一个随机变量. 本节的任务 : 当 取值 x 时, 取值 y g 67 ( 一 离散型随机变量的函数 设 是离散型随机变量, 其分布律为 或 P { x } p (,, x x, P p p, x p 已知随机变量 的分布, 并且已知 g 要求随机变量 的分布. (, 是 的函数 : g(, 则 也是离散型随机变
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离散数学 大连理工大学软件学院 陈志奎 博士 教授 博士生导师 办公室 : 综合楼 405,Tel: 62274392 实验室 : 综合楼一楼, 教学楼 A502/C109, Mobile: 13478461921 Email: zkchen@dlut.edu.cn zkchen00@hotmail.com QQ: 1062258606 2016/9/28 1/37 回顾 集合的定义 集合的描述 内涵与外延
年第 期
年第 期 马 艳 劳动生产率 商品价值量 理论假定 新的释义 劳动生产率与单位商品价值量反向变动关系是经典马克思主义劳动价值理论的一个重要命题 我们将马克思经典 成反比 理论中关于劳动因素做了重新假定 即假定在科技进 步的条件下 伴随劳动客观因素的变化 劳动主观因素也发生同方面的变化 并假设劳动主观 条件的变化幅度大于劳动客观条件的变化幅度 那么 我们就可以获得劳动生产率与商品价值 量之间呈现正向变动趋势的结论
高等数学 积分表 公式推导
高等数学 积分表 公式推导 目 录 一 含有 的积分 ~9 二 含有 的积分 ~ 5 三 含有 的积分 9~ 9 四 含有 的积分 ~ 五 含有 的积分 9~ 六 含有 的积分 ~ 5 七 含有 的积分 5~5 八 含有 的积分 59~7 7 九 含有 的积分 7~7 十 含有 或 的积分 79~ 5 十一 含有三角函数的积分 ~ 55 十二 含有反三角函数的积分 其中 ~ 6 十三 含有指数函数的积分
公理化 数学的公理化 数学公理化起源于欧几里德 公理化的要求 : 协调性, 即无矛盾性 完备性 喻良 ( 南京大学现代数学研究所 ) 可计算性与可判定性 October 30, / 28
可计算性与可判定性 第三讲 : 模型论引论 喻良 南京大学现代数学研究所 October 30, 2013 喻良 ( 南京大学现代数学研究所 ) 可计算性与可判定性 October 30, 2013 1 / 28 公理化 数学的公理化 数学公理化起源于欧几里德 公理化的要求 : 协调性, 即无矛盾性 完备性 喻良 ( 南京大学现代数学研究所 ) 可计算性与可判定性 October 30, 2013
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第 35 卷第 期西南大学学报 ( 自然科学版 ) 3 年 月 Vol.35 No. JouralofSouthwestUiversity (NaturalScieceEditio) Feb. 3 文章编号 :673 9868(3) 69 4 一类积分型 Meyer-KiḡZeler-Bzier 算子的点态逼近 赵晓娣, 孙渭滨 宁夏大学数学计算机学院, 银川 75 摘要 : 应用一阶 DitziaṉTotik
第 5 期 方彩云 : 涉及极点重数的亚纯函数的唯一性 17 H.X.Yi [3~5],P.Li,C.C.Yang [6],G.Frank 和 M.Reinders [7] 讨论了亚纯函数的情况, 证明了 定理 B 存在一个集合 S,#S=11, 对于任意一对非常数亚纯函数 f 与 g, 如果满足条
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东南大学学报 ( 自然科学版 ) JOURNAL OF SOUTHEAST UNIVERSITY(NaturalScienceEdition) 第 31 卷第 5 期 Vol 31 No 5 2001 年 9 月 Sept.2001 涉及极点重数的亚纯函数的唯一性 方彩云 ( 南京师范大学数学系, 南京 210097) 摘要 : 应用值分布理论研究了涉及极点重数的亚纯函数的唯一性问题. 得到了下述结论
第二节 换元积分法
第二节 换元积分法 一 第一类换元法 二 第二类换元法 三 小结 思考题 一 第一类换元法 问题 cos d ( )sin C, 解决方法利用复合函数, 设置中间变量. 过程令 cos d d d, sin cos d C sin C. 在一般情况下 : 设 F ( u) f ( u), 则 f ( u)d u F( u) C. 如果 u () ( 可微 ) d F[ ( )] f [ ( )] (
高等数学A
高等数学 A March 3, 2019 () 高等数学 A March 3, 2019 1 / 55 目录 1 函数 三要素 图像 2 导数 导数的定义 基本导数表 求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 2 / 55 函数 y = f(x) 函数三要素 1 定义域 2 值域 3 对应关系 () 高等数学 A March
Remark：随机变量不只离散和连续两种类型
Remar: 随机变量不只离散和连续两种类型 当题目要求证明随机变量的某些共同性质时 很多同学只对连续和离散两种类型进行讨论 这是比较典型的错误 练习 4. () P( = ) = P( = ) = P( = ) = P( ) = = = = = = () 由 E < 且 lm a =+ 不妨设 a > 其中 j = f{ : a a j} ap ( a) = a p ap ap j j j a :
<4D F736F F D20B5DACAAED5C220CBABCFDFD0D4BAAFCAFDA3A8BDB2D2E5A3A92E646F63>
高等代数第十章双线性函数 第十章双线性函数 10.1 线性函数 1. 设 V 是数域 F 上的一个线性空间, f 是 V 到 F 的一个映射, 若 f 满足 : (1) f( α + β) = f( α) + f( β); (2) f( kα) = kf( α), 式中 α, β 是 V 中任意元素, k 是 F 中任意数, 则称 f 为 V 上的一个线性函数. 2. 简单性质 : 设 f 是 V
标题
算术基本定理 第摇 摇章 除法算式. 观察表.. 如果用同样的方法向下延续, 它能否包含我们的指定的任何一个正整数 (,2,,n,n +, )? 2. 表. 中的每个数与它下面的数有什么关系? 3. 简洁地描述由 0 以下的一列数所组成的整个集合. 4. 如果在 0 以下的一列中取两个数并把它们相加, 那么它们的和必在表的哪一位置? 5. 表. 的整个排列可以看做是以 0 下面的一列数与表头上的三个数,2,3
三 课程教学内容 1. 教学基本要求 第一章整数的可除性 以带余除法为先导, 以辗转相除法 最大公因数 最小公倍数和算术基本定理为主干 讲授整除理论中最基本的性质 2. 要求学生掌握的基本概念 理论 原理 通过本章学习, 使学生能准理解整数整除 公因数 公倍数的概念及相关性质, 理解剩 余定理, 熟
初等数论 教学大纲 课程编码 :1511102902 课程名称 : 初等数论学时 / 学分 :32/2 先修课程 : 数学分析 高等代数 适用专业 : 数学与应用数学专业开设教研室 : 代数与几何教研室 一 课程性质与任务 1. 课程性质 : 初等数论是数学与应用数学专业的一门专业选修课 本课程是研究整数性质和方程 ( 组 ) 整数解的一门学科, 也是一个古老的数学分支 初等数论与中学数学教育有着密切的联系,
数理逻辑 I Mathematical Logic I
前情提要 前情提要 我们定义了两种 可定义 概念结构内的可定义性 : 给定结构关于该结构论域上的 k 元关系的性质由一个公式定义定义结构类 : 给定语言关于该语言的结构类的由一则闭语句定义 ( 初等类 ); 由一集闭语句定义 ( 广义初等类 ) 前情提要 我们定义了两种 可定义 概念结构内的可定义性 : 给定结构关于该结构论域上的 k 元关系的性质由一个公式定义定义结构类 : 给定语言关于该语言的结构类的由一则闭语句定义
费马大定理
Fermat s last theorem, Goldbach s Coecture ad Rema Hypothess Chu-xua Jag cxua@sa.com 费马大定理 哥德巴赫猜想和黎曼假设 蒋春暄 北京 394 信箱,00854,agchuxua@sohu.com 摘要 : 本文用非常简单方法证明费马大定理和哥德巴赫猜想, 用初等方法否定了黎曼假设 关键词 : 复双曲函数 S, 数论函数
提问 课堂讨论等 )(30%) 成绩评定采用百分制,60 分为及格 三 课程教学内容 1. 教学基本要求 第一章整数的可除性 以带余除法为先导, 以辗转相除法 最大公因数 最小公倍数和算术基本定理为主干 讲授整除理论中最基本的性质 2. 要求学生掌握的基本概念 理论 原理 通过本章学习, 使学生能准
初等数论 教学大纲 课程编码 :110823 课程名称 : 初等数论学时 / 学分 :54/3 先修课程 : 数学分析 高等代数 适用专业 : 数学与应用数学专业开设教研室 : 代数与几何教研室 一 课程性质与任务 1. 课程性质 : 初等数论是数学与应用数学专业的一门专业选修课 本课程是研究整数性质和方程 ( 组 ) 整数解的一门学科, 也是一个古老的数学分支 初等数论与中学数学教育有着密切的联系,
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归纳与递归 离散数学 归纳与递归 南京大学计算机科学与技术系 内容提要 归纳 数学归纳法 强数学归纳法 运用良序公理来证明 递归 递归定义 结构归纳法 递归算法 数学归纳法 数学归纳法 ( 有效性 ) 良序公理 正整数集合的非空子集都有一个最小元素 数学归纳法的有效性 ( 归谬法 ) 假设 n P(n) 不成立, 则 n (P(n)) 成立. 令 S={ n + P(n)},S 是非空子集. 根据良序公理,S
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! # ! # 第 吕玉 琦 等 人 体 心 脏 的 三 维 超 声 成 像 期 左 心 室边界 轮廓 的 校 正 由于 采 集 幅 图 象时 探 头 位 置 及 角度 稍 有变 化 就 会 导 致 幅 图象 的 心 尖 位置 及 左 心 室 长 轴 位置 在 图象 中 不 重合 因 此 必 须 进 行轮 廓 校 正 校 正 以 第 幅 二 维超 声 心 动 图 为 标 准 对 后 续的 幅 图 象
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设 X 是 Baach 空间 X 是 X 的闭子空间 映射 : X X / X 定义为 : [ ] X 其中 [ ] 表 示含 的商类 求证 是开映 射 证法 用开映射定理 只需证明 满射 事实上 [ ] X X 任取 [ ] 则有 X [ ] 证法 不用开映射定理 教材 9 定理 8 的证明中的 () 为了证 T 是开映射 必须且仅 须 > st TB( ) U ( ) 取 并设 B X 中的开单位球
初等数论 教学大纲 课程编码 : 课程名称 : 初等数论学时 / 学分 :54/3 先修课程 : 数学分析 高等代数 适用专业 : 信息与计算科学开设教研室 : 代数与几何教研室 一 课程性质与任务 1. 课程性质 : 初等数论是信息与计算科学专业的一门专业必修课程 该课程是研究
初等数论 教学大纲 课程编码 :1512106903 课程名称 : 初等数论学时 / 学分 :54/3 先修课程 : 数学分析 高等代数 适用专业 : 信息与计算科学开设教研室 : 代数与几何教研室 一 课程性质与任务 1. 课程性质 : 初等数论是信息与计算科学专业的一门专业必修课程 该课程是研究整数性质和方程 ( 组 ) 整数解的一门学科, 也是一个古老的数学分支 初等数论是现代密码学的一门基础课程,
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廖老师网上千题解答分类二十八 超纲离散 x, x P, 8 函数 f(x) 其中 P,M 为实数集 R 的两个非空子集, 又规定 x, x M, f(p){y yf(x),x P},f(M){y yf(x),x M}. 给出下列四个判断 : 若 P M, 则 f(p) f(m) ; 若 P M, 则 f(p) f(m) ; 若 P MR, 则 f(p) f(m)r; 4 若 P M R, 则 f(p)
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基础练习 (50 题 ) 1 把 60 分解质因数是? 60=2 x 2 x 3 x 5 2 三个连续自然数的积是 60, 求这三个数 60=3 x 4 x 5 3 12 和 18 的公约数有多少个? 公约数有 1 2 3 6 共 4 个 4 求 3 1997 的末位数字. 3 1 的末尾数字是 3 3 2 的末尾数字是 9 3 3 的末尾数字是 7 3 4 的末尾数字是 1 3 5 的末尾数字是
第1章 函数的极限和连续函数
第 -7 节数列极限的例题和习题 下面的例题和习题都是数列极限理论中的著名习题, 初学者能够完全读懂其中例题的证明是 不容易的, 能够独立完成后面那些习题就更不容易. 因此, 你可以先粗读一下 ( 因为不管你读懂多 少, 都暂时不会影响到你学习微积分 ), 有兴趣的读者等有空时或假期中再去细读它. 读一读它, 你会在做题方法上受到严格的训练. 件 : 条件 : 称一个数列 (,, ) 为无穷小量,
2016 西城区高二 ( 下 ) 期末数学 ( 文科 ) 一 选择题 ( 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的 ) 1.( 5 分 ) 已知集合 A={x R 0<x<1},B={x R x (2x-1)>0}, 则 A B=( )
2016 西城区高二 ( 下 ) 期末数学 ( 文科 ) 一 选择题 ( 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的 ) 1.( 5 分 ) 已知集合 A={x R 0
《高等数学》 CAI课件
第四部分 : 定积分 一 重点 难点与例子 第五部分定积分 共 6 例 : 定积分的存在定理 定积分性质 3 用定积分的定义求极限 关于积分限为变元的函数 5 Newo Leibiz 公式的重要意义 6 计算定积分 N L 公式 7 定积分常用公式与例子 8 广义积分二 判断题 下列运算对吗? 共 6 个 三 练习题 共 个 练习题解答 一 重点 难点与例子 定积分的存在定理 若 在闭区间 [,b]
类 似 地, 又 可 定 义 变 下 限 的 定 积 分 : ( ). 与 ψ 统 称 为 变 限 积 分. f ( ) d f ( t) dt,, 注 在 变 限 积 分 (1) 与 () 中, 不 可 再 把 积 分 变 量 写 成 的 形 式 ( 例 如 ) 以 免 与 积 分 上 下 限 的
5 ( 一 ) 微 积 分 学 基 本 定 理 当 函 数 的 可 积 性 问 题 告 一 段 落, 并 对 定 积 分 的 性 质 有 了 足 够 的 认 识 之 后, 接 着 要 来 解 决 一 个 以 前 多 次 提 到 过 的 问 题 在 定 积 分 形 式 下 证 明 连 续 函 数 必 定 存 在 原 函 数. 一 变 限 积 分 与 原 函 数 的 存 在 性 设 f 在 [,] 上
2008年全国初中数学联合竞赛
06 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 说明 : 评阅试卷时, 请依据本评分标准 第一试, 选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档 ; 第二试各题, 请按照本评分标准规定的评分档次给分 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在 评卷时请参照本评分标准划分的档次, 给予相应的分数 一 选择题 :( 本题满分 分, 每小题 7 分 ) 第一试 () 用 [ x ]
论中日 囚徒困境 的存在及逃逸 马亚华 本文试图用博弈论方法分析中日关系发生困难的原因 并在此基础上提出一点解决问题的思路 目前中日关系已在重复博弈中陷入了 囚徒困境 状态 囚徒困境 不仅为第三方势力提供了渔利的空间 直接损害了两国战略利益 而且其 溢出效应 还损害了全体东亚人民的利益 只有透过中国和平发展的参照系考察中日关系的过去 现在和未来 才能把握当前中日关系困难的本质并找到解决问题的办法 当前中日两国的综合国力基本处于同一层次
概述 _1 代数角度代数运算 : 加 减 乘 除 ( 带余除法 ) 及性质 最大公因式 互素 不可约 标准分解式 重因式 函数角度根及其性质, 余数定理 二者关联两多项式函数相等充要条件为这两多项式代数相等
第五章多项式 Polynomial 概述 _1 代数角度代数运算 : 加 减 乘 除 ( 带余除法 ) 及性质 最大公因式 互素 不可约 标准分解式 重因式 函数角度根及其性质, 余数定理 二者关联两多项式函数相等充要条件为这两多项式代数相等 概述 _2 与数域扩大无关的多项式性质 整除 最大公因式 互素 余数定理等 与数域扩大有关的多项式性质 不可约 因式分解 根理论等 5.1 目的与要求 掌握一元多项式形式的准确描述
一 集合基础 1.1 与 1.2 集合运算 1.3 幂集
集合论习题解析 经典习题与考研习题 经典习题一 集合基础二 二元关系三 函数四 概念综合练习 考研习题北京大学 中科院计算所 中科院软件所 中科院自动化所 北京师范大学 中科院成都计算所 上海交通大学 西安交通大学 西南交通大学 北京航空航天大学 复旦大学等 一 集合基础 1.1 与 1.2 集合运算 1.3 幂集 1.1 与 1 设 A, B, C 是任意 3 个集合, 如果 A B, B C,
一 握手定理的应用 二 平面图 欧拉公式的应用 三 图的基本概念与应用 四 欧拉图和哈密顿图 五 图的着色
图论习题 考研习题与经典习题 2004-5 一 握手定理的应用 二 平面图 欧拉公式的应用 三 图的基本概念与应用 四 欧拉图和哈密顿图 五 图的着色 一 握手定理的应用 1. 已知具有 n 个度数都为 3 的结点的简单图 G 有 e 条边, (1) 若 e=3n-6, 证明 G 在同构意义下唯一, 并求 e,n (2) 若 n=6, 证明 G 在同构意义下不唯一 提示 : 握手定理 ( 北师大 2000
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北京大学暑期课 ACM/ICPC 竞赛训练 北京大学信息学院郭炜 guo_wei@pku.edu.cn http://weibo.com/guoweiofpku 课程网页 :http://acm.pku.edu.cn/summerschool/pku_acm_train.htm 信息科学技术学院 程序设计与算法 ACM/ICPC 中的数学 郭炜 / 林舒 2 一些数论基本定理 ( a + b ) mod
2-2
第二节 函数极限 主要内容 : 一 函数极限的概念二 无穷大量与无穷小量三 极限的四则运算及两个重要极限 一 时 ( 自变量趋于有限数 ) ( ) f ( ), 把 值 f( ) 列表 : 附近的自变量 与它对应的函数.9.98.99.999.... f ()=+.9.98.99.999.... 当 从 的左右近旁越来越接近于 时, 函数 f( ) 越来越接近于, 并且要多接近就会有多接近. 当 无限变小时,
1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://
线性空间与线性映射 知识回顾 1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 1 线性空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 定义称 V 是数域 F 上的线性空间,
第四章 １０２ 图 ４唱１６ 基于图像渲染的理论基础 三张拍摄图像以及它们投影到球面上生成的球面图像 拼图的圆心是相同的 而拼图是由球面图像上的弧线图像组成的 因此我 们称之为同心球拼图 如图 ４唱１８ 所示 这些拼图中半径最大的是圆 Ｃｋ 最小的是圆 Ｃ０ 设圆 Ｃｋ 的半径为 ｒ 虚拟相机水平视域为 θ 有 ｒ Ｒ ｓｉｎ θ ２ ４畅１１ 由此可见 构造同心球拼图的过程实际上就是对投影图像中的弧线图像
4.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 21 分 15 秒处 ) 5.E ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 32 分 05 秒处 ) 6.D ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 4 分 28 秒处 ) 7.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 14 分 05 秒处 )
[ 说明 ] 1. 以下所指教材是指朱杰老师的 管理类联考综合能力数学套路化攻略 2. 该文档中所标答案和参见的教材答案, 与视频有冲突的, 以视频答案为准! 基础篇 第 1 章 数 1.2.1 整数例题答案 : 1. A ( 详细解析见教材 P7 例 2) 2. D ( 详细解析见视频课程 数的性质 约 10 分 53 秒处 ) 3. C ( 详细解析见教材 P7 例 3) 4.E ( 详细解析见视频课程
数字推理题720道详解
数字推理题 725 道详解 1 7,9,-1,5,( ) A 4;B 2;C -1;D -3 分析 : 选 D,7+9=16; 9+(-1)=8;( -1)+5=4;5+(-3)=2, 16,8,4,2 等比 2 3,2,5/3,3/2,( ) A 1/4;B 7/5;C 3/4;D 2/5 分析 : 选 B, 可化为 3/1,4/2,5/3,6/4,7/5, 分子 3,4,5,6,7, 分母 1,2,3,4,5
目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 二次方根與畢氏定理 因式分解 一元二次方程式
給同學的話 1 2 3 4 目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 1-1 3 1-2 7 1-3 11 1 16 2 二次方根與畢氏定理 2-1 20 2-2 24 2-3 29 2 33 3 因式分解 3-1 37 3-2 41 3-3 45 3 49 4 一元二次方程式 4-1 53 4-2 57 4-3 61 4 65 3 1-1 乘法公式 本節性質與公式摘要 1 分配律 : ddd
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数 值 积 分 与 数 值 微 分 解 题 方 法 专 题 一 知 识 点 复 习 了 解 数 值 积 分 与 数 值 微 分 的 基 本 思 想 掌 握 代 数 精 确 度 的 概 念 和 插 值 型 求 积 公 式 如 梯 形 公 式 Spso 公 式 和 牛 顿 柯 斯 特 公 式 节 点 为 高 斯 点 的 高 斯 公 式 以 及 相 应 的 复 化 求 积 公 式 ; 掌 握 求 数 值
7. 下列矩阵中, 与矩阵 相似的为. A.. C.. B.. D. 8. 设 AB, 为 n 阶矩阵, 记 rx ( ) 为矩阵 X 的秩,( XY?) 表示分块矩阵, 则 A. r( A? AB) r( A). B. r( A? BA) r( A). C. r A B r A r B (? )
8 数二真题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分. 下面每题给出的四个选项中, 只有一个选项 是符合题目要求的.. 若 lim( e a b), 则 A. a, b. B. a, b. C. a, b. D. a, b.. 下列函数中, 在 处不可导的是 A. f ( ) sin. B. f ( ) sin. C. f ( ) cos. D. f ( ) cos. a,,,,. 设函数
¼ ½ ¾ ¼ ½ ¾
回归传统 历史学视野中的资本主义 刘光临 虽然明清资本主义萌芽研究和西方现代史学都使用了资本主义一词 但双方并无相同的理论背景 资本主义作为一个成熟的学科概念是由 世纪末 世纪初的历史学家和强调历史面向的政治经济学家 可简称为 德国历史学派 一起创造出来的 强调从历史而不是从抽象的理论中寻求社会变化的原因 资本主义萌芽这一概念的启用 实际上是对欧洲近代历史的严重误读 有鉴于此 在今后的中国历史研究中应该用资本主义来取代资本主义萌芽
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背景介绍与复习 移位密码 仿射密码 课堂练习 2 信息加密的重要性 战场 商业竞争 日常生活 3 藏头诗 芦花丛里一扁舟俊杰俄从此地游义士若能知此理反躬逃难可无忧 4 反清复明 5 列宁的六个 墨水瓶 6 凯撒密码 恺撒大帝 7 凯撒密码 L O R Y H X 密文 I L O V E U 明文 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
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第四章小波变换的实现技术 Maat 算法 多孔算法 小波变换的提升实现 清华大学计算机系孙延奎 9 Lifting Scheme 概述 ) 设计构造双正交小波 特点 : 小波构造能够完全在空间域完成 ) 能够改进第一代小波变换算法 特点 : 快速 原位实现 逆变换 整数变换 边界处理 3) 可用于构造第二代小波 特点 : 摆脱 Fourier 变换 放弃二进伸缩与平移的思想 小波构造的工具 : 细分
目录 摘要 II Abstct III 第 章引言 第 2 章欧拉公式的推广与证明 2 第 3 章欧拉公式与拉格朗日插值公式的联系 7 第 4 章其他发现, 猜想与展望 24 第 5 章结论 27 插图索引 28 表格索引 29 参考文献 30 附录 3 致谢 34 I
欧拉公式的推广与证明 姓 名 : 朱泓霖王进一 指导老师 : 杨青明 目录 摘要 II Abstct III 第 章引言 第 2 章欧拉公式的推广与证明 2 第 3 章欧拉公式与拉格朗日插值公式的联系 7 第 4 章其他发现, 猜想与展望 24 第 5 章结论 27 插图索引 28 表格索引 29 参考文献 30 附录 3 致谢 34 I 摘要 本文首先介绍了众多欧拉公式中鲜为人知的一个 分式形式的欧拉公式,
五年级上册
小学五年级数学知识点归纳 五年级上册 知识点概念总结 1. 小数乘整数的意义 : 求几个相同加数和的简便运算 ; 一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几 百分之几 千分之几 是多少 2. 小数乘法法则先按照整数乘法的计算法则算出积, 再看因数中共有几位小数, 就从积的右边起数出几位, 点上小数点 ; 如果位数不够, 就用 0 补足 3. 小数除法小数除法的意义与整数除法的意义相同, 就是已知两个因数的积与其中一个因数,
数理逻辑 I Mathematical Logic I
前情提要 前情提要 一阶逻辑公理系统的元定理承自命题逻辑的元定理 : 演绎定理重言规则逆否命题反证法 前情提要 一阶逻辑公理系统的元定理承自命题逻辑的元定理 : 演绎定理重言规则逆否命题反证法 前情提要 一阶逻辑公理系统的元定理承自命题逻辑的元定理 : 演绎定理重言规则逆否命题反证法 前情提要 一阶逻辑公理系统的元定理承自命题逻辑的元定理 : 演绎定理重言规则逆否命题反证法 前情提要 一阶逻辑公理系统的元定理一阶逻辑特色的元定理
2008年全国初中数学联合竞赛
州奥林教育 05 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 说明 : 评阅试卷时, 请依据本评分标准 第一试, 选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档 ; 第二试各题, 请按照本评分标准规定的评分档次给分 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时请参照本评分标准划分的档次, 给予相应的分数 一 选择题 :( 本题满分 4 分, 每小题 7 分 ) 第一试 () b
中国 MBA MPA MPAcc EMBA 考前辅导第一品牌真正名师真正第一 sice 00 华杰门户网 : 华杰微信公众号 :hujiemb 华杰官网微博 华杰 MBA 专硕 三边可知充分 ; 条件 ( c b c c 成立, 所以 ( 也充分 答案选 D k
中国 MBA MPA MPAcc EMBA 考前辅导第一品牌真正名师真正第一 sice 00 华杰门户网 :www.hujiemb.com 华杰微信公众号 :hujiemb 华杰官网微博 :@ 华杰 MBA 专硕 课堂练习 : 数学核心考点精华攻略 课后答案解析第九章数列 解析: ( - - -, 答案选 A 7 0 0 7 0 7 解析: - (p - q 答案选 C p q, p q - p q
一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f
![一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f](/thumbs/91/105953711.jpg "一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f")
含参量正常积分 对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分, 它可用来构造新的非初等函数. 含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式. 一 含参量正常积分的定义二 含参量正常积分的连续性三 含参量正常积分的可微性四 含参量正常积分的可积性五 例题 返回 一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [
第八章不定积分 1 不定积分概念与基本积分公式 2 换元积分法与分部积分法
第八章不定积分 不定积分概念与基本积分公式 换元积分法与分部积分法 不定积分概念与基本积分公式 正如加法有其逆运算减法, 乘法有其逆运算除法一样, 微分法也有它的逆运算 积分法. 我们已经知道, 微分法的基本问题是研究如何中从已知函数求出它的导函数, 那么与之相反的问题是 : 求一个未知函数, 使其导函数恰好是某一已知函数. 提出这个逆问题, 首先是因为它出现在许多实际问题之中. 例如 : 已知速度求路程
标题
第 37 卷第 1 期西南师范大学学报 ( 自然科学版 ) 01 年 1 月 Vol.37 No. 1 JouralofSouthwestChiaNormalUiversity(NaturalScieceEditio) Ja. 01 文章编号 :1000 5471(01)01 0011 05 1 离散型随机变量序列最大值的收敛速度 张耿, 陈守全, 王超 西南大学数学与统计学院, 重庆 400715
数理逻辑
数理逻辑 杨睿之 复旦大学哲学学院 2018 年秋季 前情提要 前情提要定理 ( 前束范式定理 ) 对任何公式 α 都存在量词前束公式 α ( 形如 Q 1 x 1 Q n x n β), 使得 α α 前情提要定理 ( 前束范式定理 ) 对任何公式 α 都存在量词前束公式 α ( 形如 Q 1 x 1 Q n x n β), 使得 α α 前情提要 证明前束范式定理用到的元定理 Q1a xα x
专题综合检测三
014 高考二轮专题训练 ( 综合 ): 数列 一 选择题 ( 本大题共 1 小题, 每小题 5 分, 共 60 分 ; 在每小题给出四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 ) 1.( 文 )(013 天津十二区县联考 ) lgx,lgy,lgz 成等差数列 是 y =xz 成立的 ( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 [ 答案 ] A [
一 罗尔定理与拉格朗日定理 定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iii) f(a) = f(b). 那么在开区间 (a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一
![一 罗尔定理与拉格朗日定理 定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iii) f(a) = f(b). 那么在开区间 (a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一](/thumbs/49/25862895.jpg "一 罗尔定理与拉格朗日定理 定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iii) f(a) = f(b). 那么在开区间 (a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一")
拉格朗日定理和函数的单调性 中值定理是联系 中值定理, 就可以根据 质来得到 f 在该区间上的整体性质. f 一 罗尔定理与拉格朗日定理 二 函数单调性的判别 f 与 f 的桥梁. 有了 在区间上的性 返回 一 罗尔定理与拉格朗日定理 定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b)
1989－2004数学三、四考研试题（线性代数部分3）
989- 数学三 四考研试题 线性代数部分 ) 三 计算证明题. 已知 XXB 其中 求矩阵 X. B - 5 989 年数学三 四 ). 设 ) ) t) ) 问当 t 何值时 向量组 线性无关? ) 问当 t 何值时 向量组 线性相关? ) 当向量组 线性相关时 将 表示为 的线性组合. 设 ) 试求矩阵 的特征值 - - 989 年数学三 ) ) 利用 ) 小题的结果 求矩阵 E 的特征值 其中
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初二秋季第四讲课后作业答案 ( 尖端班 ) 几何变换 旋转 习题. 为等边 内一点, = 3, = 3, 求证 : 以 为边可以构成一个三角形, 并确定所构成的三角形的各内角的度数. 解析 绕点 旋转 到 ', 可得 ' 就是以 为边构成的三 角形, 则 ' = 3 60 = 63, ' = 3 60 = 53, ' = 80 63 53 = 64, 即三角形各个内角度数分别为 53 63 和 64
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8 考研数学 ( 二 ) 真题及答案解析 ( 文都版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的.. 若 lim(e + a + b), 则 A. a, b. B. a, b. C. a, b.. a, b. 答案 :(B) e + a + b e + a + b 解析 : lim( e + a + b )
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刘世定 内容提要 : 本文在嵌入性视角的引导下, 进入关系合同理论领域 对关系合同的 分析, 以威廉姆森的合同治理结构理论作为基点 在分析了他的理论脉络和隐含假 设后, 本文提出了三个假定, 即约前关系导入 多元关系属性 对关系属性的有限控 制 在新的假设下, 首先讨论了合同治理结构和嵌入关系结构之间不同的对应关系, 并特别探讨了两者间的结构性摩擦 继而, 在关系合同的研究中引入了委托 - 代理关系,
一 无界区域上的二重积分 定义 1 设 f ( x, y ) 为定义在无界区域 上的二元函 数. 若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线 g, f ( x, y) 在曲线 g 所围的有界区域 E g 与 的交集 E = ( 图 1-4) g g 上二重可积. 令 { } g d = min x +
* 8 反常二重积分 与反常定积分相同, 二重积分亦有推广到积分区域是无界的和被积函数是无界的两种情形, 统称为反常二重积分. 一 无界区域上的二重积分二 无界函数的二重积分 返回 一 无界区域上的二重积分 定义 1 设 f ( x, y ) 为定义在无界区域 上的二元函 数. 若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线 g, f ( x, y) 在曲线 g 所围的有界区域 E g 与 的交集 E =
海 外 中 国 电 影 研 究 的 东 方 主 义 话 语 方 式 以 海 外 谢 晋 电 影 研 究 的 文 献 学 分 析 为 例 杨 俊 蕾 复 旦 大 学 中 文 系 上 海 长 期 以 来 海 外 学 者 围 绕 中 国 电 影 的 研 究 存 在 着 东 方 主 义 惯 性 思 维 理 解 这 个 问 题 的 前 奏 可 以 联 系 到 海 外 电 影 关 于 中 国 华 人 形 象 塑
一 根据所给图表，回答下列问题。
09 年内蒙古临河教师招聘模拟卷 数学专业知识 一 选择题 ( 本大题共 题 每题 分 共 8 分 ) 所以. 答案 B. 解析 : 因为 0 所以 Q 0 所以 P Q 故 故选 B.. 答案 B. 解析 : 令 z a bi a b R a bi 则由 R z a bi a b P 由 可得 0 得 b 0 所以 z R p 正确 ; 当 z i 时 因为 z i R 而 z i R 知 故 p
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第一篇 质数判别通用公式 判别质数通用公式首发现 超越费马小定理 第一章质数的基本概念 性质与探研进展状况 第一节 质数的基本概念与性质 一 质数的基本概念 1. 质数与合数 1 质数的定义 : 一个大于 1 的整数, 如果只能被 1 和它本身整除, 就称为质数, 也称为素数 例如 2 3 5 7 11 13 是质数注 1 也可以说比 1 大但不是合数的整数称为质数注 15 2 合数的定义 : 一个大于
绝对值 绝对值 - 5 = 5 绝对值 - 5 = 5
Chinese 6 th Grade A-L Vocabulary Cards and Word Walls Revised: 5/8/15 Important Notes for Teachers: The vocabulary cards in this file match the Common Core, the math curriculum adopted by the Utah State
2017 年全国高中数学联赛 山东赛区预赛试题详解 ( 一 ) 填空题 ( 本大题共 10 个小题, 每小题 8 分, 共 80 分 ) (1) 已知复数 z1, z 2满足 z z 20, z z 16, 则 z 年 9 月 2 日 z 的最小值是
07 年全国高中数学联赛 山东赛区预赛试题详解 ( 一 ) 填空题 ( 本大题共 0 个小题 每小题 8 分 共 80 分 ) () 已知复数 z z 满足 z z 0 z z 6 则 z 07 年 9 月 日 z 的最小值是 解析 : 由已知得 : z z z z z z zz 0 z z z z 0 z z z z 0 z z z z 50 当且仅当 z z 0 z z 6 即 z 0 i 时等号成立
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1 离散数学 大连理工大学软件学院 陈志奎 博士 教授 办公室 : 综合楼 405,Tel: 62274392 实验室 : 综合楼一楼 ( 大数据研究所 ), Mobile: 13478461921 Email: zkchen@dlut.edu.cn zkchen00@hotmail.com QQ: 1062258606 离散数学 第一章命题逻辑 2/36 回顾 命题变元 合式公式 重言式 永真式
精 勤 求 学 自 强 不 息 Born to win! 解 析 : 由 极 限 的 保 号 性 知 存 在 U ( a) 当 a 时 f ( ) f ( a) 故 f ( ) 在 点 a 不 取 极 值 f ( ) f ( a) f ( ) f ( a) lim lim a a a a ( a)
年 考 研 数 学 二 模 拟 题 ( 二 ) 参 考 答 案 本 试 卷 满 分 5 考 试 时 间 8 分 钟 一 选 择 题 :~8 小 题 每 小 题 分 共 分 下 列 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 只 有 一 项 符 合 题 目 要 求 的 请 将 所 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 位 置 上 () 在 点 处 不 存 在 极 限 的 函 数 是 (
第4章 级 数
第 4 章级数 4. 收敛序列与收敛级数 4. 幂级数 4. 泰勒级数 4.4 罗朗级数习题课 4. 收敛序列与收敛级数 收敛序列 收敛数项级数 函数项级数 收敛序列 复数序列 : 指按一定法则有 依次序排成 的一列数. { } L L 定义 4. 若对任意给定的 ε > 总存在着正整数 当 > 时 不等式 成立 则称复数序列 { } < ε { } 否则 称是发散的. 那么 定理 4. 设序列 的充要条件是
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关于计算机所 王选老师 (1937.2-2006.2): 曾任北大计算机所所长, 汉字激光照排系统之父, 两院院士, 2001 年获国家最高科学技术奖 北京大学计算机科学技术研究所是北京大学的二级科研教学机构, 是计算机应用技术国家重点学科主要建设单位, 建有硕士 博士培养点及博士后流动站 http://www.icst.pku.edu.cn/ 2 联系老师 连宙辉 ( 博士, 副教授 ) Email:lianzhouhui@pku.edu.cn
第五章 数理统计中的统计量 及其分布
第五章 数理统计中的统计量 及其分布 随机样本 统计量 三大抽样分布 正态总体下常用统计量的一些重要结论 数理统计 以概率论为基础 主要研究如何收集 整理和分析实际问题的数据 有限的资源 以便对所研究的问题作出有效的 精确而可靠 推断 基础 概率论 功能 处理数据 目的 作出科学推断 就概率特征 总体与随机样本 总体 研究对象的某项数量指标值的全体 记作 Y 个体 总体中每个研究对象 元素.
图客巴巴
第二节 等差 1. 等差的相关概念 (1) 定义 : 如果一个从第 2 项起, 每一项与它的前一项的 差都等于 同一个常数, 那么这个就叫做等差. 符号表示为 (n 2,n N a * n -a n -1=d, d 为常数 ). (2) 等差中项 : 若 a,a,b, 成等差, 则 A 叫做 a 与 b 的等差中项, 且 A= a+b 2. 2. 等差的通项公式 (1) 若等差 {a n } 的首项是
中国 MBA MPA MPAcc 考前辅导第一品牌真正名师真正第一 sice 00 第九章数列 注 以下解题过程仅参考 课堂练习 60 解析 由题意 d 则 7 60 d 0 4 60 4 4 p q 解析 d pq p qd q q ( ) 0 p q 历年真题 解析 4 6 4 d d 4 d d 4 d 解析 4 ( 4) 4 6 条件 () 有 d 有 4 6 4 d 4 6 4 d 6 4
矩阵函数
矩阵函数 矩阵分析 - 研究生课程 矩阵的多项式表示与矩阵的极小多项式 定义 1: 已知 和关于变量 的多项 式 那么我们称 为 的矩阵多项式 n x n 1 n 1 1 0 f( x) a x + a x + L + a x+ a n n n 1 n 1 1 0 f( ) a + a + L + a + a I n n n C 设为一个阶矩阵, 为其 Jordan 标准形, 则 n J 于是有 1
“湖南华园科技杯”第四届湘潭市大学生程序设计比赛暨2012 ACM/ICPC 湘潭邀请赛
湖南华园科技杯 第四届湘潭市大学生程序设计比赛 暨 2012 ACM/ICPC 湘潭邀请赛 A: Anti-Goldbach's Conjecture B: Bus Transit C: Collatz Conjecture D: Data Encoding E: Echo F: Flip the Bits G: Girls and Boys H: Hanoi Tower I: Interview
马 克 思 主 义 公 正 观 的 基 本 向 度 及 方 法 论 原 则!! # #
马 克 思 主 义 公 正 观 的 基 本 向 度 及 方 法 论 原 则 马 俊 峰 在 社 会 公 正 问 题 的 大 讨 论 中 罗 尔 斯 诺 齐 克 哈 耶 克 麦 金 泰 尔 等 当 代 西 方 思 想 家 的 论 述 被 反 复 引 用 和 申 说 而 将 马 克 思 恩 格 斯 等 经 典 作 家 的 观 点 置 于 一 种 被 忽 视 甚 至 被 忘 却 的 状 态 形 成 这 种
一、选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
6 考研数学 ( 二 ) 真题及答案解析来源 : 文都教育 要求的. 一 选择 :~8 小题, 每小题 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目 () 设 a (cos ), a In( ), a. 当 时, 以上 个无穷小量按 照从低阶到高阶的排序是 (A) a, a, a. (B) a, a, a. (C) a, a, a. (D) a, a, a. 解析 : 选择 B
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第六章一阶偏微分方程 主讲人 : 刘兴波 6. 微分方程组的首次积分 对于非线性微分方程组 d d d d d d f (,,, f(,,,,, 6. f (,,, 它没有一般的求解方法. 本节介绍一种所谓的首次积分方法, 它不仅在某些情况下能有效地求解方程组 (6., 而且它与求 解一阶偏微分方程密切相关. 一 概念的引入 6. 求解方程组 d d dy d 解 : 将方程组中的两式相加得 d(
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第 2 章神奇的質數 2.1.1 什麼是質數 1 1 1 打下好基礎 - 程式設計必修的數學思維與邏輯訓練 1 1 0 10 2 3 5 7 4 6 8 9 10 4 10000 1229 1000 168 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131
终于在猜想提出 350 多年后的 1994 年由英国数学家安德鲁 怀尔斯 (Andrew Wiles) 完成, 遂称费马大定理 当然, 怀尔斯解决这个猜想本身就是一个精彩传奇 数学家安德鲁 怀尔斯 四色猜想 四色猜想的提出也颇具生活化 1852 年, 毕业于伦敦大学的格斯里 (FrancisGuth
数学史上那些是是非非的数学猜想, 令人着迷, 令人狂 摘要 : 1637 年左右, 业余数学家之王 费马先生在阅读丢番图 算术 拉丁文译本时, 曾 在第 11 卷第 8 命题旁写道 : 将一个立方数分成两个立方数之和, 或一个四次幂分成两个四 次幂之和, 或者一般地将一个高于二次的幂分成两个... 世界三大猜想费马猜想 费马纪念邮票 1637 年左右, 业余数学家之王 费马先生在阅读丢番图 算术 拉丁文译本时,
f ( d ) = f( d ) f ( d ) = [ f( ) f( ) ] d B: 函数 Φ ( ) 在 (, + ) 上无极值点 (5) 若函数 f ( ) 在闭区间 [, ] 上都连续., 则下列说法不正确的是 ( ) A: f () 是 的函数 B: f () 是 的函数 f () 是
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高等数学 第五章 - 定积分 练习题 (A) 一 判断正误题 :( 判断下列各题是否正确, 正确的划, 错误的划 ) n () + + + d n + = n n n () f ( d ) = f( udu ) () 若函数 f ( ) 在区间 (, + ) 上连续, c,, 为任意三个常数, 则 c f ( d ) = ( ) f d+ c f( d ) (5). () (6) sin d (7)
Microsoft Word - A200706-93.doc
http://www.pper.edu.c 基 于 反 函 数 微 分 法 则 的 反 函 积 分 法 的 探 讨 李 裕 信 湖 南 省 长 沙 市 邮 政 局, 湖 南 长 沙 (000) E-mil:l9989@6.com 摘 要 : 本 文 明 确 表 述 了 反 函 数 微 分 法 则 的 逆 定 理, 并 基 于 此 定 理 提 出 一 种 积 分 法, 举 例 说 明 了 其 运 用
数学分析考研辅导班讲义4.doc
数学分析考研辅导讲义第四章 - 9 - 第四章 不定积分 积分学是微积分的主要部分之一 积分运算是微分运算的逆运算. 而不定积分为定积分的计算提供了一种简便快捷的工具 又是今后计算重积分 曲线积分 曲面积分的基础. 本章的重点是不定积分的换元积分法与分部积分法. 难点是第二换元法 三角函数有理式及简单无理式积分. 要点是不定积分的各种积分方法. 通过本章的学习 应掌握不定积分的概念 性质 基本积分公式及积分方法.
8. e f ( e ) d = f ( t) dt, 则 ( ) b A) =, b = B) =, b = e C) =, b = D) =, b = e 9. ( sin ) d = ( ) A) B) C) D). ln( + + ) d = ( ) A) B) C) D). 若 f ( )
高等数学 试题 考试日期 :4 年 7 月 4 日星期三考试时间 : 分钟 一. 选择题. 当 时, y = ln( + ) 与下列那个函数不是等价的 ( ) A) y = B) y = sin C) y = cos D) y = e. 函数 f() 在点 极限存在是函数在该点连续的 ( ) A) 必要条件 B) 充分条件 C) 充要条件 D) 无关条件. 下列各组函数中, f () 和 () f
吉林大学学报 工学版 ２４４ 第 ４ 卷 复杂 鉴于本文篇幅所限 具体公式可详见参考文 献 ７ 每帧的动力学方程建立及其解算方法如图 ３ 所示 图４ 滚转角速度与输入量 η 随时间的变化波形 Ｆｉｇ ４ Ｗａｖｅｆｏｒｍ ｏｆ ｒｏｌｌ ｒａｔｅ ａｎｄ ｉｎｐｕｔ η ｗｉｔｈ ｔｉｍｅ ｃｈａｎｇｉｎｇ 图５ Ｆｉｇ ５ 滚转角随时间的变化波形 Ｗａｖｅｆｏｒｍ ｏｆ ｒｏｌｌ ａｎｇｌｅ ｗｉｔｈ
标题
第 36 卷第 8 期西南大学学报 ( 自然科学版 ) 4 年 8 月 Vol.36 No.8 JournalofSouthwestUniversity (NaturalScienceEdition) Auġ 4 DOI:.378/j.cnki.dzk.4.8.6 一个单调减非凸的零齐次核 Hilbert 型不等式 钟建华, 陈强. 广东第二师范学院数学系, 广州 533;. 广东第二师范学院计算机科学系,