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注名安
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1 第 36 卷第 8 期西南大学学报 ( 自然科学版 ) 4 年 8 月 Vol.36 No.8 JournalofSouthwestUniversity (NaturalScienceEdition) Auġ 4 DOI:.378/j.cnki.dzk 一个单调减非凸的零齐次核 Hilbert 型不等式钟建华, 陈强. 广东第二师范学院数学系, 广州 533;. 广东第二师范学院计算机科学系, 广州 533 摘要 : 应用权函数的方法及参量化思想, 研究了一个具有单调递减非凸的零齐次核的 Hilbert 型积分不等式, 得到了相关的具有最佳常数因子的不等式及其等价形式, 并给出了特殊情况. 关键词 :Hilbert 型不等式 ; 权函数 ; 参数 ; 等价式中图分类号 :O78 文献标志码 :A 文章编号 : (4)8 9 5 [] 95 年,Hardy 引入了一对共轭指数 (,), >, 获得了一个经典的不等式 : f()g(y) +y ddy < π ( sin π ()d ) f ( ()d ) g () 式 () 被称为核为 - 齐次的 Hardy-Hilbert 积分不等式, 其常数因子 π 为最佳值. 它在分析学中有很 [-3] 多重要的应用. sin π 年, 文献 [4] 在同一对共轭指数下, 引入参数 λ>, 设 f,g, 使得当 < ( -)(-λ) f ()d < < ( -)(-λ) g ()d < 时, 得到式 () 的一个推广 : f()g(y) λ +y λ ddy < π λsin π ( -)(-λ) ( f ()d ) ( -)(-λ) ( g ()d ) () 其常数因子 π 为最佳值. 式 () 称为核为 -λ 的齐次不等式. 核为负数齐次的 Hilbert 型不等式是相关 λsin π [5] 研究中重要的一个组成部分, 构成 Hilbert 型不等式参量化研究的基础. 7 年, 文献 [6] 得到一个核为实数齐次的 Hilbert 型不等式, 引入参数 λ, 在右边积分为正数的条件下, 有 ( ) min{ λ,y λ } ma{,y} f ()g(y)ddy < +λ λ f ()d ( λ g ()d ) 式 (3) 中的为最佳常数因子. 当 λ< 时, 式 (3) 是核为负数齐次的 Hilbert 型不等式 ; 当 λ= 时, +λ (3) 收稿日期 :3 9 基金项目 : 国家自然科学基金面上项目 (63786); 广州市科技计划应用基础研究项目 (3J49). 作者简介 : 钟建华 (96 ), 男, 广东廉江人, 副教授, 主要从事几何与 Hilbert 型不等式的研究.

2 西南大学学报 ( 自然科学版 ) ht://bbjb.swu.cn 第 36 卷式 (3) 的核为零齐次 ; 当 λ> 时, 式 (3) 的核变为正数齐次. 本文进一步推广了 Hilbert 型不等式的参量化思想. 文献 [7] 给出了一个关于核为零齐次的 Hilbert 型不等式的深刻结果 : 设 α, >,f,g, 使当 < (-a)- f ()d < < (+α)- g ()d < 时, 有 e - y f()g(y)ddy < Γ(a) (-a)- ( α f ()d ) 这里, Γ(a) 为最佳常数因子.Γ(a)= e -u u α- [8] du 是 Γ 函数. α (+α)- ( g ()d ) (4) 本文运用参量化思想, 考虑一个由双曲正割函数 [9]sech(u)= e u +e -u( u >) 所确定的单调减非凸的零齐次核 : k(,y)= = ( ) e y - +e y (5) ( ) 应用权系数方法及实分析方法, 建立了具有最佳常数因子的, 正向的 Hilbert 型积分不等式和等价式, 并考虑了一些特殊结果. 则有引理设,,σ>, 定义如下权函数 ω(), ω(y): 这里,Γ(σ)= e -u u σ- du 是 Γ 函数证 ω()= -σ y σ- ω(y)= yσ -σ- 对式 (6) 作变换 u= y, 则有 dy > (6) d y > (7) k(,σ)=ω()= ω(y)= σ Γ(σ) η (σ) (8) [8], 且 η ( (-) σ)= k. (k+) σ k= ω()= σ u σ- sech(u)du (9) 利用公式 (-) + = k k (<<), 有 sech(u)= e-u k= + (e -u ) = (-) k e (k+)u. - 将其代入式 (9) k= 中, 并令 t=(k+)u, 得 ω()= u σ- σ (-) k e - (k+) [ u ] k= du= Γ(σ) (-) k σ (k+) σ k= 同理, 对式 (7), 令 u= (y ), 可得 ω (y)= σ u σ- sech(u)du. 综上所述, 式 (8) 成立. 引理设 >, + =, 且,,σ>,f() 在 (,) 上非负可测, 则有以下不等式 : J= yσ- 这里,k(,σ) 为式 (8) 所定义. 证 [] 由 Hlder 不等式及式 (7), 有 ù f()d ú dy k( û,σ) (+σ)- f ()d () f()d= +σ -σ y -σ ù f( ) y ù +σ ú úd û û

3 第 8 期钟建华, 等 : 一个单调减非凸的零齐次核 Hilbert 型不等式 [] 由式 () Fubini 定理及式 (6) 式 (8), 有 { ω(y ) } y -σ (+σ)(-) f ()d { } J= yσ- { ω(y)} - y -σ ù f()d ú dy û (+σ)(-) y -σ f ()d dy= 3 () k - (,σ) ω() (+σ)- f ()d=k (,σ) (+σ)- f ()d 即式 () 成立. 定理设 >, + =, 且,,σ>,f(),g() 在 (,) 上非负可测, 并使得则有以下等价不等式 : < (+σ)- f ()d < < (-σ)- g ()d < I= J= yσ- f()g(y)ddy < k(,σ) (+σ)- f ()d 这里,k(,σ) 及 k (,σ) 都为最佳值. (-σ)- { g ()d } () ù f()d ú dy <k( û,σ) (+σ)- f ()d (3) 证当 < (+σ)- f ()d< 时, 假设存在 y>, 使得式 () 取等号, 则由文献 [], 必有不全为零的常数 E,F, 使得在 (,) 上几乎处处有 E (+σ) f ()= Fy (-σ). 不妨设 E ( 否则,F= E= ), +σ y -σ 故在 (,) 上几乎处处有 (+σ)- f ()=y (-σ) F E, 这与 < (+σ)- f ()d< 矛盾, 故式 () 取严格不等号, 因此, 式 () 亦取严格不等号, 故有式 (3). 由 Hlder 不等式 [], 有 I= (y -σ g(y))y σ- 再由式 (3), 式 () 成立. 反之, 设式 () 成立, 取 g(y)=y σ- f()d dy J (-σ)- ( y g (y)d y) - f()d (4) 则有 J= y (-σ)- g (y)dy. 由式 (),J<. 若 J=, 则式 (3) 自然成立. 设 <J<, 则由式 (), 有 <J= y (-σ)- g (y)dy=i < 即 J k(,σ) (+σ)- { f ()d } = (-σ)- y g (y)d y 对式 (6) 两边取次方, 可得式 (3), 且它与式 () 等价. (-σ)- y g (y)d y <k (,σ) (+σ)- f ()d (5) (6)

4 4 西南大学学报 ( 自然科学版 ) ht://bbjb.swu.cn 第 36 卷任给 <ε<σ, 定义 f (), g() 如下 : (,) f()= -σ-- ε { [, ) 则可算得 y (,) g(y)= y σ-- ε { y (, ) L= (+σ)- f ()d (-σ)- y g (y)d y 由 Fubini 定理 [], 并作变换 u= y, 可得 I= f() g(y)ddy= = ε -σε - y σ-ε - ù d y û úd= σ- ε -ε- ε [ - sech(u)d u] d= -uσ- σ- ε -ε- ε ( - -uσ- sech(u)d u) d+ -ε- [ ( - sech(u)d u) d ] σ- ε ( - u -ε- d ) ε σ- ε - ε - sech(u)du+ ε - sech(u)du+ [ - sech(u)d u] - ù sech(u)d u ú = û = 假设有正数 k k(,σ), 使其取代式 () 的常数因子 k(,σ) 后式 () 仍能成立, 则用符合定理条件的 f(), g(), 可算得 - sech(u)du+ [ - sech(u)d u ] =ε I <εkl =k (7) σ- ε - ε [] 由 Fatou 引理及式 (7), 易得 k(,σ)= lim - sech(u)du+ ( lim - sech(u)d u) σ ε + lim ε + σ- ε - ε ε + - sech(u)du+ ( - sech(u)d u) k 这与假设矛盾, 故 k=k(,σ) 必为式 () 的最佳值. 式 (3) 的常数因子 k (,σ) 必为最佳值, 不然, 由式 (4), 必导出式 () 的常数因子也不为最佳值, 矛盾. 不等式 : 注在定理的条件下, 当 ==,σ= 时, 式 () 式 (3) 变为如下具有最佳常数因子的等价 sech y f ()g(y)ddy <k, 3 - f ()d y - { - g ()d } (8) sech y f ù ()d ú dy <k, û 3 - f ()d (9) 这里, 常数因子 k, =Γ η = π (-) k. k= (k+) 当 =σ=,= 为如下具有最佳常数因子的等价不等式 : 时, 有 k (,)=4Γ() η ()=4η ( (-) )=4 k k= k+ =π, 式 () 式 (3) 变

5 第 8 期钟建华, 等 : 一个单调减非凸的零齐次核 Hilbert 型不等式 5 sech y y f ()g(y)ddy < π 3 - f ()d - sech { - g ()d } () y f ù ()d ú ú dy < π û 3 - f ()d () 参考文献 : [] HARDY G H.NoteonaTheoremofHilbertConcerningSeriesofPositiveTerm [J].ProceedingoftheLondon Math Society,95,3(): [] HARDY G H,LITTLEWOODJE,POLYEG.Ineualities[M].Cambridge:CambridgeUnivPress,95. [3] MINTRINOVICDS,PECARICJE,FINK A M.IneualitiesInvolvingFunctionsandTheirIntegralsandDerivatives [M].Boston:KluwerAcademicPublishers,99. [4] 杨必成. 关于一个推广的 Hardy-Hilbert 不等式 [J]. 数学年刊 :A 辑,,3():47-5. [5] 杨必成. 算子范数与 Hilbert 型不等式 [M]. 北京 : 科学出版社,9: [6] 杨必成. 一个 Hilbert 型积分不等式 [J]. 浙江大学学报 : 理学版,7,34():-4. [7] 杨必成. 一个新的零齐次核的 Hilbert 型积分不等式 [J]. 浙江大学学报 : 理学版,,39(4): [8] 王竹溪, 郭敦仁. 特殊函数概论 [M]. 北京 : 北京大学出版社,:4-8. [9] 钟玉泉. 复变函数论 [M]. 北京 : 高等教育出版社,3. [] 匡继昌. 常用不等式 [M]. 济南 : 山东科学技术出版社,4:4-5. [] 匡继昌. 实分析引论 [M]. 长沙 : 湖南教育出版社,996: A MonotoneDecreasingandNon-ConveHilbert-Tye IneualitywiththeHomogeneousKernelofDegree ZHONGJiaṉhua, CHEN Qiang. DeartmentofMathematics,GuangdongUniversityofEducation,Guangzhou533,China;. DeartmentofComuterScience,GuangdongUniversityofEducation,Guangzhou533,China Abstract:Bymeansofweightedcoeficientsandarameterintroductiuon,amonotonedecreasingandnoṉ conve Hilberṯtyeineualitywiththehomogeneouskernelofdegreeisdiscussed.Arelated Hilberṯ tyeineualitywiththebestconstantfactoranditseuivalentformareobtained,andsomearticularcases areconsideredinthisaer. Keywords:Hilberṯtyeineuality;weightedfunction;arameter;euivalentform 责任编辑廖坤

6 6 西南大学学报 ( 自然科学版 ) ht://bbjb.swu.cn 第 36 卷

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第 35 卷第期西南大学学报 ( 自然科学版 ) 3 年月 Vol.35 No. JouralofSouthwestUiversity (NaturalScieceEditio) Feb. 3 文章编号 :673 9868(3) 69 4 一类积分型 Meyer-KiḡZeler-Bzier 算子的点态逼近赵晓娣, 孙渭滨宁夏大学数学计算机学院, 银川 75 摘要 : 应用一阶 DitziaṉTotik