目录摘要 II Abstct III 第章引言第 2 章欧拉公式的推广与证明 2 第 3 章欧拉公式与拉格朗日插值公式的联系 7 第 4 章其他发现, 猜想与展望 24 第 5 章结论 27 插图索引 28 表格索引 29 参考文献 30 附录 3 致谢 34 I

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浇李
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1 欧拉公式的推广与证明姓名 : 朱泓霖王进一指导老师 : 杨青明

2 目录摘要 II Abstct III 第章引言第 2 章欧拉公式的推广与证明 2 第 3 章欧拉公式与拉格朗日插值公式的联系 7 第 4 章其他发现, 猜想与展望 24 第 5 章结论 27 插图索引 28 表格索引 29 参考文献 30 附录 3 致谢 34 I

3 摘要本文首先介绍了众多欧拉公式中鲜为人知的一个分式形式的欧拉公式, 然后推广并用数学归纳法证明了其在项数增加, 幂次为整数时的情况, 然后研究了欧拉公式与拉格朗日插值公式的关系及利用拉格朗日插值公式辅助证明推广过程, 最后利用两公式之间的联系得到了一个新公式关键词 : 欧拉公式 ; 拉格朗日插值公式 ; 数学归纳法 II

4 ABSTRACT I ths ppe we fst todced lttle-kow fctol fom foml mog mbe of Ele s fomls. We the exteded the foml d wth mthemtcl dcto poved the cse whe the mbe of tems ceses d the expoet s tege. Aftewds, we stded the coecto betwee Ele s foml d Lgge tepoltg polyoml d sed the ltte to pove the exteded foml. At lst, we obted ew foml fom ths coecto. Keywods: Ele s Foml, Lgge Itepoltg Polyoml, Mthemtcl Idcto III

5 第章引言欧拉在 8 世纪提出了欧拉公式 ( 分式 ): 0, 0, b c, 2 (.) ( b)( c) b b c c c b b c, 3 该公式只考虑了 0,,2,3 以及项数为 3 的情况, 因此该公式的推广引起了一些数学爱好者的兴趣, 并且有人成功地把它推广到了为自然数的情形本文中, 我们将系统地将欧拉公式推广为 f, (.2) 情形 ( 其中, 2,, 互不相等, 2, ), 即为整数, 项数大于等于 2 的首先我们使用数学归纳法证明了 0 的情形, 并利用此结论得出了在 0 时 f (, ) 与 f (, ) 0,,, 时的情况 0 0时以及 0 情况之间的递推公式再用此公式解决了之后我们又类似地解决了 0 的接着, 我们研究了拉格朗日插值公式与欧拉公式的联系, 并使用它再次证明了 f (, ) 的一部分情形, 又利用之前的结论推导出了一个新公式最后, 我们从欧拉公式的推广得到了一些新的想法和几个公式

6 第 2 章欧拉公式的推广与证明 2. 0 的情形我们借助计算机随机地选取一些并计算 f(,0), 发现结果总与 0 很接近选取的数结果 3 0 0,-6, ,-7,3, ,-,5,9, ,-3,,7,-, ,-7,-3,0,-4,6,3 表一 ( 附录为 C++ 源代码和 f (7,0), f (,0) 的输出结果 ) 所以我们猜想 f(,0) 0 引理 : f(,0) 0 证明 : 首先已经有 : 0 b b 假设 f( k,0) 0, 即 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 3 k k k 2 k 0 ( )( ) ( )( ) 那么 k k 2 k k2 k k 2

7 k 2 k 2 3 k k k k 0 k k 2 k k k k (2.) 现在要证明 f( k,0) 0, 即 ( ) ( ) 2 3 k k 0 ( )( ) (2.2) 左端 k k k k k k 得 k k ( ) ( ) 2 3 k k k ( )( ) k k k k k (2.2) (2.3) 0 (2.) 左端 -(2.3) 得 0 2 ( )( ) ( )( ) 2 3 k k k 2 k k ( )( ) k k 2 k k k k ( )( ) ( )( ) k 2 k k 3 k ( )( ) k 2 k 3 k k k k (2.)-(2.3) (2.) 0 0 (2.3) 0 又 (2.3) (2.2) k (2.2) 0, 即如果 f( k,0) 0 则 f( k,0) 0 命题得证 3

8 图一 4

9 2.2 0 的情形 2.2. f (, ) 的递推公式猜想 f(,0) 0 之后, 我们发现如果这个猜想成立, 那么 f (, b) f (,0), f (,),, f (, b ) 之间存在递推关系我们给出下列引理引理 2: 与 2,, 0, 0 f, 2 f, f f f (2.4) 图二 5

10 证 : f, , 0,, 2, f f f f 2 0 6

11 时的通项公式首先, 我们观察到, 由于 f (2,0) 0, 所以 f (3,) f (2,0) 0 又因为 0 0 f(3,0) f(3,) 0, 所以 f (4,) f (3,0) 0, f (4, 2) f (3,0) f (3,) 0 利用引理 2 (2.4) 以此类推, 不难发现定理 : 当 0时, f (, ) 0 (2.5) 图三图四图五图六 7

12 证 : 通过引理 2 (2.4) 2,, 0, 0 f, 2 f, f f f 得 3 2 f, 0 c f 2, 0 c f 2, 3 c f 2, 2 ( c 为常数 ) 0 0 d f 3, 0 d f 3, 4 d f 3, 3 ( d 为常数 ) kf,0 ( k为常数 ) 因为 2, 所以 f (, ) 0. 8

13 时的通项公式显然, g(, ) f (2, ) ( 0, 因为 f (2,0) 0) ( k, k 0) k k2 2 2 k k2 根据引理 2 (2.4) 2,, 0, 0 f, 2 f, f f f 得 2 0 3, 2, 0 2, 2, 2 2, f f f f f (, 因为 0否则式子中每一项均为 0) 0 2 k k2 3 k k k k2 0 k k2 k k2 k3 2 以此类推, 可以得到定理 2: 当 0时, k k2 0 k k k k2 3 k k2 2 k k2 k3 2 3 f g k (2.6) k k,, 0 证明 ( 数学归纳法 ): 首先, f (2, ) g(2, ) 若对于正整数, v 和任意整数 w ( v w 0, 2, v 0, w 0), 有 f (, v w) g(, v w) 那么 9

14 f vw vw2 0, v w f,0 f, f, v w vw vw2 0 g,0 g, g, v w vw g, g, v w 当 0 时, vw k vw k k0 k k k vw 0 k vw vw k h [ ( )] h0 k vwh k g, v w f g k k,, 0 k 0

15 时的总结当 0 时, f, k k 0, k 0, (2.7)

16 2.3 0 的情形时的递推公式我们猜想在 0 时仍存在关于引理 3: f (, ) 的递推公式我们给出如下引理,,, 2 2 f, f, f f f (2.8) 图七 2

17 f, 证 : ,, 2,, f f f f 3

18 时的通项公式首先, f 2, 根据 (2.8) 得 ( k, k 0) k k2 2 2 k k2 k k2 k 3, 3,, f k k k k k2 k3 2 以此类推, 可以得到定理 3: 当 0 时 f h k k,, 0 证明 : 首先, f 2, h2, (2.9) k 若对于整数, v 和任意整数 w, ( 2, v 0, w 0, w v 0), 有 f, v w h, v w, 那么 4

19 5,,, 2,,, 2, v w v w v w v w k v w k k v w k k f v w f f f v w h h h v w (, ) k v w k k v w h k k v w v w h h h v w 当 0 时, ( 0, ), k k f h k

20 2.4 时的总结 k 0, k k f, 0, 0 k k 0, 0 k 图八 6

21 第 3 章欧拉公式与拉格朗日插值公式的联系我们的指导老师告诉我们, 拉格朗日差值公式与欧拉公式有些相似之处, 我们注意到, 拉格朗日插值公式中其中中, l ( x) F( x) f ( x ) l ( x) (3.) ( x x )( x x2) ( x x )( x x ) ( x x) l ( x) ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) ( x x ) 2 的分母与 f (, ) 相同 ( 当然, 这里的常数 x 的系数是, 于是就找到了以得到 f (, ) 某些情况的证明 f (, ) 换成了 x ), 而且分子在拉格朗日插值公式中的体现, 进而可 7

22 3. 拉格朗日插值公式 F( x) f ( x ) l ( x) (3.) 2 其中 l ( x) x x x x2 x x x x x x ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) ( x x ) ( )( ) ( )( ) ( ) 我们先证明一个引理引理 4: 一个不超过证 : 若一个不超过少个拐点, 即即 f x f x 次的多项式不可能有个零点次的多项式 f x 至少有个零点同样地, 至少有 2个零点以此类推, 因为有个零点, 则这个多项式必有至 f x f x 至少有 2个拐点, 最多有阶导数, 且这个导数还一定有至少一个零点, 而这个导数是个常数, 矛盾, 所以命题得证引理 5: 若 f x 是不超过证 : 若 f x F x, 则设 g x f x F x, f x 与 F x 在, 2,, f x f x f x, 所以 x x 式, 因为,,, 2 可能的所以得出矛盾, 命题得证 f x F x 次多项式, 则 x x x 这个点都有相同的值 g x 为不超过次多项 g x 有, 2,, x 共个零点, 根据引理 4 这是不 8

23 3.2 的情形证 : 拉格朗日插值公式中, 设 f ( x) x 此时 Fx ( ) 中 x 的系数 x ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) ( x x ) 2 f (, ) 由引理 5 得, 当时, F( x) f ( x) x, 因此除了项的系数均为 0 当时, x 的系数 f (, ) f (, ) 当时, 因为, 故 x f x 的系数 (, ) 0 的系数, 其他次 9

24 3.3 通过拉格朗日插值公式推导欧拉公式在当 f ( x) Fx ( ) 中 Fx ( ) 中 x 时 f x 的系数 (, ) 2 x 的系数 0 0 的情形 x x2 x x x x x x x x2 x x x x x x x x2 x x x x x x x2 x x x x x x x x x f, f, 所以 2 Fx ( ) 中所以 f (, ) ( x x x ) 3 x 0 的系数 2 x xh x, h, h ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) ( x x ) 2 x xh x ( x x2 x ) x x, h, h ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) ( x x ) 2, h, h x xh f (, ) ( x x2 x ) f (, ) f (, ) 2 kk22 2 h, h, h f (, ) ( x x x ) x x x x ( k, k 0) k k2 2 2 以此类推, t Fx ( ) 中 x 的系数 20

25 0 t t x x h h ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) ( x x ) 2 t t2 2 0 t 2 x h x x x h x h h t t ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) ( ) x x 2 ( 互异 ) h t t x f (, ) h h t2 t2 x f (, ) f (, t 2) h h 所以 (3.2) t t2 t t f (, t 2) x f (, ) x (, ) h f h h h k t k x 2 h 我们再次得出了定理 2 (2.6), 即当 0 时, f x f (, t 3) h k, x k (2.6) 2

26 而且 3.4 通过欧拉公式在拉格朗日差值公式中的应用得出的新公式我们发现, 拉格朗日插值公式的各项系数可以用欧拉公式的推广形式表达, Fx ( ) 中 x 的系数, 0, 当然, f ( x) x 因此, 我们可以通过这一等量关系推导出新的公式根据 (3.2), 若 f ( x) x, t t x f (, ) h h Fx ( ) 中 t x 的系数 t2 t2 x f (, ) f (, t 2) h h t t t x f (, 2) h (3.3) h 因此, Fx ( ) 中 0 x 0 的系数 x f (, 2) h (3.4) h 定义 g(, ) x g (,0) h h (3.5) h 则有 f (,2 2) g(,0) f (,2 3) g(,) ( ) f (, ) g(, ) 0 (3.6) 或者同样地, 用简洁的形式表达, 我们得到 22

27 定理 4: ( ) f (, 2) g(, ) 0 (3.7) 23

28 第 4 章其他发现, 猜想与展望我们注意到, f (, ) 中的项不一定是一个常数, 而可以是任何互不相等的函数, 因此我们认为通过这一点可以在将来发现一些比较有用的公式下面是我们通过代入常数或函数找到的一些公式. 根据定理 2, 有 f,, 即 f, 代入 2, 得 !! 即定理 5: (4.)!! 2. 根据定理 2, 有 4, f (4.2) 24

29 代入 = s cosb cosg 2 = cos sb cosg 3 = cos cosb sg 4 = -s sb sg 由于三角和公式 s s cos cos cos s cos cos cos s s s s (4.3) 得 4 s cos cos s cos cos cos s cos s cos cos cos cos s s cos cos s s s 4 cos s cos cos s cos s cos cos cos s cos cos cos s cos s cos s s s 4 cos cos s coscos s s cos cos cos cos s cos s cos cos cos s s s s 4 s s s s s s s cos cos s s s cos s cos s s s cos cos s s cos cos cos s cos cos cos s s s s s 即 3 3 s cos cos cos s cos s s cos s s cos 3 3 cos cos s s s s s s cos cos cos cos s (4.4) 当然, ;,, 2 令即得定理 6: 25

30 3 s s s s cos cos cos s cos cos cos s s s cos s s cos s s cos, ;,, ; + + = cos cos cos 2 (4.5) 3. 与定理 6 类似地, 根据三角和公式 cos cos cos cos cos s s s cos s s s cos (4.6) 和定理 2 得 ( cos cosb cosg ) 3 cos( - b )cos( b - g )cos - g ( ) 3 s sb cosg - s( g - )s( g - b )cos - b ( ) = cos + b + g ( ( ) - cos sb sg ) 3 ( s( - b )s( - g )cos( b -g ) - s cosb sg ) 3 s( b - )s( b -g )cos( - g ) ( ) 同样, ;,, 2 令即得定理 7: 3 cos cos cos cos s s s cos s s s cos s s cos s s cos s s cos, ;,, ; + + = cos cos cos 2 (4.7) 由于时间问题, 我们只得到了这几个公式但我们认为, 通过欧拉公式的推广还能得出许多其他的公式 26

31 第 5 章结论在本文中, 我们成功地把欧拉公式 ( 分式 ) 推广到项数为大于等于 2 的整数, 以及幂次为自然数及负整数时的情况, 并证明了我们的结论然后我们又将拉格朗日插值公式与欧拉公式的推广进行了关联, 运用高等数学的方法再次证明了我们的结论, 并通过欧拉公式在拉格朗日插值公式中的应用得到了一个新公式最后, 我们由欧拉公式的推广得出了几个新公式并进行了一些关于欧拉公式推广的猜想 27

32 插图索引图一 4 图二 5 图三 7 图四 7 图五 7 图六 7 图七 2 图八 6 28

33 表格索引表一 2 29

34 参考文献 [] 拉格朗日插值公式的证明及其应用作者未知 [2] 欧拉公式的一个推广黄文谦 30

35 附录 #clde <ostem> #clde <ctme> #clde <cstdlb> sg mespce std; t [22]={0}; log log t powe(t,t b) { t ; log log t x=; fo(=;<=b;++) x*=; et x; } log doble f(t,t ) { t,;log doble x=0,y=; fo(=;<=;++) { cot<<" 分母 ="; fo(=;<=;++) { f(==)cote; y*=([]-[]); cot<<"("<<[]<<"-"<<[]<<")"; } cot<<" = "<<y<<"\"; x+=(powe([],))/y; cot<<" 结果加上 "<<powe([],)<<"/"<<y<<"(="<<(powe([],)/y)<<") ="<<x<<"\"; y=; 3

36 } et x; } t dom(t stt,t ed) { t x=stt+(ed-stt)*d()/(rand_max+.0); et x; } t m() { sd(sged(tme(0))); t ;t,;bool b; whle() { cot<<"\( 输入 0 退出 ) 请输入 (<20),: "; c>>; f(<=0 >=20) et 0; c>>; fo(=;<=;++) { b=flse; whle(!b) { []=dom(-0,0); b=te; fo(t =;<;++) { f([]==[])b=flse; } } cot<<" "<<<<" = "<<[]<<"\"; } log doble eslt=f(,); cot<<" 结果是 "<<eslt<<" \\"; 32

37 } } et 0; 部分运行结果 : 33

38 致谢感谢我们的指导老师杨青明老师的帮助以及指导是他给了我们这样一次, 也是我们人生中第一次写一篇数学论文的宝贵机会并且感谢伍智璋老师指出拉格朗日插值公式与欧拉公式的相似之处, 我们作为初一学生从未接触过高等数学, 如果没有他的帮助第三章根本不可能出现当然, 也感谢我们的家人的支持但我们最想感谢的, 是这篇论文本身在写这篇论文的过程中, 我们不仅学到了很多知识, 更获得了合作, 查阅资料和文献, 以及创造的能力这次经历也是我们第一次能够应用学过的东西自己创造知识, 而不是仅仅吸收知识做题 34

幻灯片 1

幻灯片 1 第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导复习 : 凑微分部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f

目录 摘要 II Abstct III 第 章引言 第 2 章欧拉公式的推广与证明 2 第 3 章欧拉公式与拉格朗日插值公式的联系 7 第 4 章其他发现, 猜想与展望 24 第 5 章结论 27 插图索引 28 表格索引 29 参考文献 30 附录 3 致谢 34 I

目录摘要 II Abstct III 第章引言第 2 章欧拉公式的推广与证明 2 第 3 章欧拉公式与拉格朗日插值公式的联系 7 第 4 章其他发现, 猜想与展望 24 第 5 章结论 27 插图索引 28 表格索引 29 参考文献 30 附录 3 致谢 34 I