一集合基础 1.1 与 1.2 集合运算 1.3 幂集

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癸滕郭
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1 集合论习题解析经典习题与考研习题经典习题一集合基础二二元关系三函数四概念综合练习考研习题北京大学中科院计算所中科院软件所中科院自动化所北京师范大学中科院成都计算所上海交通大学西安交通大学西南交通大学北京航空航天大学复旦大学等

2 一集合基础 1.1 与 1.2 集合运算 1.3 幂集

3 1.1 与 1 设 A, B, C 是任意 3 个集合, 如果 A B, B C, 则 A C 可能吗? A C 常真吗? 举例说明

4 A C 可能 A={1}, B={{1}}, C={{1}, {{1}}} A C 不常真 A={1}, B={{1}}, C={{{1}}}

5 2 设 A, B 是任意 2 个集合, A B 与 A B 同时成立, 这可能吗?

6 可能 A={1}, B={{1}, 1}.

7 3 设 A, B, C 是集合, 判断下列命题真假, 如果为真, 给出证明 ; 如果为假, 给出反例 : 1) A B, B C A C; 2) A B, B C A C; 3) A B, B C A C; 4) A B, B C A C; 5) a A, A B a B.

8 1) 假 A={1}, B={2}, C={{2}} 2) 假 A={1}, B={2}, C={{1}} 3) 假 A={1}, B= {{1}}, C={{1}, 1}

9 4) 假 A={1}, B={{1}, 1},C={{1}, 2} 5) 真子集定义

10 4 设 A, B, C 是 U 的子集, 判断下列命题真假, 如果为真, 给出证明 ; 如果为假, 给出反例 : 1) A B A B=B; 2) A B A B=A; 3) A B A B=A; 4) A B A B=B; 5) A B A (B-A)=B; 6) B A (A-B) B=A;

11 1) 假, A=B 时不成立 /* 与不同 */ 分析 : I) A B A B=B: 因为 B A B; 对于任意 x A B, 如果 x A, 因为 A B, 所以 x B, 则对任意的 x A B, x B 成立所以 A B=B II) A=B A B=B, 但 A B 不成立

12 2) 假, A={1},B={1,2}, 不成立 ; 3) 假, A=B 时不成立 ; 4) 假, A={1},B={1,2}, 不成立 ; 5) 假, A=B 时不成立 6) 假, A={1,2},B={1}, 不成立 ;

13 1.2 集合运算 5 设 A, B, C 是任意 3 个集合, (1)A B=A C, 则 B=C 吗? (2)A B=A C, 则 B=C 吗? (3) A B=A C 且 A B=A C, 则 B=C 吗?

14 (1) 假 A={1, 2}, B={1}, C={2} (2) 假 A={1}, B={1, 2}, C={1, 3} (3) 真 /* 基本法反证法证明 */ 设 x B, 假设 x C 因为 x B, 所以 x A B; 因为 A B=A C, 所以 x A C; 因为 x C, 所以 x A; 又因为 x B, 所以 x A B; 因为 A B=A C, 所以 x A C; 则 x C, 这与 x C 矛盾所以 B=C

15 6 设 A, B 是任意 2 个集合, (1) 若 A-B=B, 则 A 与 B 有何关系? (2) 若 A-B=B-A, 则 A 与 B 有何关系? (3) 若 A B=A B, 则 A 与 B 有何关系? (4) 若 A B=A, 则 A 与 B 有何关系? /* 用文氏图辅助 */

16 证明 :(1) 由 A-B=B, 可得出 A=B=

17 (2) 由 A-B=B-A, 可导出 A=B

18 (3) A=B

19 (4) B=

20 7 给出下列命题成立的充分必要条件 (1)(A-B) (A-C)=A (2)(A-B) (A-C)= (3)(A-B) (A-C)= (4)(A-B) (A-C)= /* 等式推导 */

21 解 :(1) 1) : 设 (A-B) (A-C)=A, 对任意的 x, x A, 则 x A-B 或 x A-C; 则有 x A B或 x A C x B或 x C x B C x B C 所以, A B C.

22 2) : 设 A B C=, 对任意的 x,x A, 则 x B 或 x C, 则有 x A B或 x A C x A B或 x A C x ( A B) ( A C) 所以, A ( A B) ( A C).

23 对任意的 x,x (A-B) (A-C), 则 x A-B 或 x A-C, 则有 x A B或 x A C x A. 所以,( A B) ( A C) A. 从而,( A B) ( A C) A A B C.

24 (2) (A-B) (A-C)= (A-B)= 或 (A-C)= A B 并且 A C A B C 所以, 充要条件为 A B C

25 (3) 1) 设 (A-B) (A-C)=, 对任意的 x,x A, x (A-B) 并且 x (A-C); 所以 x B-A 或 x C-A; 则有 x B 或 x C; 得 x B C 所以 A B C 2) A B C A B 或 A C; 所以 A-B= 或 A-C= 得(A-B) (A-C)= 从而, (A-B) (A-C)= A B C

26 (4) (A-B) (A-C)= ((A-B)-(A-C)) ((A-C)-(A-B)) = (A-B) (A-C) 并且 (A-C) (A-B) (A-B)=(A-C)

27 1.3 幂集 7 设 A, B 是任意 2 个集合, 证明 : (1) A B P(A) P(B) (2) P(A) P(B) A B (3) P(A)=P(B) A=B

28 /* 利用基本法证明集合的包含关系 */ 证明 : (1) 对任意的 x P(A), 有 x A, 又因为 A B, 所以 x B, 即 x P(B) ; 所以 P(A) P(B) (2)/* 证明方法同 (1);*/ 对任意的 x A, 则 {x} P(A), 又因为 P(A) P(B), 所以 {x} P(B), 即 x B; 所以 A B (3) 由 (1) 和 (2) 的证明导出

29 二二元关系 1 设 R 是集合 A 上的关系 (1)R 是自反的, 则 R R 是自反的 ; (2)R 是对称的, 则 R R 是对称的 ; (3)R 是反自反和传递的, 则 R 是反对称的 ;

30 /* 证明思想 : 根据定义给出的性质证明 */ 证明 : (1) 证明思想与 (2) 和 (3) 相同 (2) 设 (a, b) R R, 则存在 c, (a, c) R, (c, b) R; 因为 R 是对称的, 所以 (b, c) R, (c, a) R; 所以 (b, a) R R 则 R R 是对称的 (3) 假设 (a, b) R, (b, a) R 因为 R 是传递的, 所以 (a, a) R,(b, b) R; 因为 R 是反自反的, 所以导致矛盾

31 2 设 R 是 A 上的关系, 若 R 是自反的和传递的, 则 R R=R 其逆命题也成立吗? 证明思想 : 证明 R R=R,1) 证明 R R R; 2) 证明 R R R:

32 证明 : 1) 证明 R R R: 设 (a, b) R R, 存在 c A, 使得 (a, c) R, (c, b) R, 因为 R 是传递的, 所以 (a, b) R; 则 R R R; 2) 证明 R R R: 设 (a, b) R,R 是自反的,(b, b) R, 所以 (a, b) R R; 则 R R R 所以 R R=R

33 自反不成立传递成立

34 特殊关系 3 设 S={1, 2, 3, 4}, 并设 A=S S, 在 A 上定义关系 R 为 :(a, b)r(c, d) 当且仅当 a+b=c+d (1) 证明 R 是等价关系 ; (2) 计算出 A/R

35 (1) 证明 :/* 根据等价关系的定义证明 */ 1) /* 证明 R 是自反的 ;*/ 对于任意的 (a, b) S S, 因为 a+b=a+b, 所以 (a, b) R (a, b), 即 R 是自反的 2) /* 证明 R 是对称的 ;*/ 如果 (a, b) R (c, d), 则 a+b=c+d, 那么有 c+d=a+b; 所以 (c, d) R (a, b), 即 R 是对称的 3) /* 证明 R 是传递的 ;*/ 如果 (a, b) R (c, d), (c, d) R (e, f), 则 a+b=c+d,c+d= e+f; 所以 a+b= e+f, 得 (a, b) R (e, f), 即 R 是传递的

36 (2) 如果 (a, b) R (c, d), 则 a+b=c+d, 所以根据和的数来划分

37 4 设 R, S 是 A 上的等价关系, 证明 :R S 是 A 上的等价关系 R S=S R

38 证明思想 : 1)R S 是 A 上的等价关系 R S=S R; 证明 (i)r S S R; (ii)s R R S; 2) R S=S R R S 是 A 上的等价关系 ; 证明 R S 是 (i) 自反的 ;(ii) 对称的 ;(iii) 传递的 ;

39 证明 : 1)R S 是 A 上的等价关系 R S=S R: 如果 (a, b) R S, 因为 R S 是对称的, 所以 (b, a) R S, 所以存在 c A, 使得 (b, c) R, (c, a) S; 因为 R 和 S 是对称的, 所以 (c, b) R, (a, c) S; 则 (a, b) S R; 同理,S R R S;

40 2) R S=S R R S 是 A 上的等价关系 : /* 证明 R S 是自反的对称的比较容易 */

41 传递性证明 : 对任意 a, b, c A, 如果 (a, b) R S, (b, c) R S, 因为 R S=S R, 则有 (b, c) S R, 即存在 e, f A, 使 (a, e) R, (e, b) S,(b, f) S,(f, c) R 因为 S 是传递的,(e, b) S,(b, f) S, 所以 (e, f) S; 因为 (a, e) R, 所以 (a, f) R S;R S 是对称的, 则 (f, a) R S; 因为 R 是对称的,(f, c) R, 则 (c, f) R 因为 (f, a) R S, 则存在 g A, 使得 (f, g) R,(g, a) S; 因为 R 是传递的, 由 (c, f) R,(f, g) R, 则 (c, g) R; 因为 (c, g) R,(g, a) S, 所以 (c, a) R S 因为已经证明,R S 是对称的, 所以 (a, c) R S

42 函数 12 设 f: X Y 是函数,A, B 是 X 的子集, 证明 : (1)f(A B) f(a) f(b) (2)f(A B)=f(A) f(b) (3)f(A) - f(b) f(a-b)

43 /* 基本法证明 */ 证明 :(1) 对任意的 y f(a B), 存在 x,x A B, 使得 y=f(x) 因为 x A, 所以 y f(a); 因为 x B, 所以 y f(b) 所以 y f(a) f(b) 则 f(a B) f(a) f(b)

44 13 设 R 是 A 上的一个二元关系,S={(a, b) a,b A 并且对于某个 c A, 有 (a, c) R 且 (c, b) R} 证明 : 若 R 是 A 上的等价关系, 则 S 是 A 上的等价关系 /* 证明是 S 自反对称和传递 */

45 四概念综合练习一选择题 ( 北京理工大学 2000 考研 ) 1 下列集合运算中 ( ) 对满足分配律 A) B) C) D)

46 2 A B 是集合,P(A) P(B) 为其幂集, 且 A B=, 则 P(A) P(B)=( ) A) B) { } C) { { } } D) {, { }}

47 3 A B 是集合, 以下各式除 ( ) 之外, 均与 A B 等价 A) A B B B) A B=B C) A B=A D) A B B 2

48 4 R 是集合 A 上的自反关系, 则 ( ) A) R о R B) R R о R C) R R -1 =I A D) R о R -1 =I A

49 5 集合 A 中有 n 个元素, 则 A 上共有 ( 既对称又反对称的关系 A) 0 B) 2n C) n 2 D) 2 n ) 个

50 6 R 是可传递的二元关系, 则在 R R -1,R R -1, R-R -1, R -1 -R 中, 有 ( ) 个一定是可传递的 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

51 7 函数 f: R R, 其中 R 为实数集合, 下列四个命题中 ( ) 为真 A) f(x)=5 是内射的 B) f(x)=5 是满射的 C) f(x)=5 是双射的 D) A), B), C) 都不真

52 8 集合 A 到 B 共有 64 个不同的函数, 则 B 中元素不可能是 ( ) 个 A) 4 B) 8 C) 16 D) 64

53 二选择题 ( 北京理工大学 1999) 1 已知 A B={1, 2, 3},A C={2, 3, 4}, 若 2 B, 则 A) 1 C B) 2 C C) 3 C D) 4 C

54 2 对任何二元关系 R, 在 R R -1, R R -1, R R -1, R R -1 中有个一定是对称关系 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

55 3 R={(1, 4), (2, 3), (3, 1), (4, 3)}, 则 t(r) A) (1, 1) B) (1, 2) C) (1, 3) D) (1, 4)

56 集合论考研习题考研习题一集合基础二二元关系三函数

57 一集合基础 1.1 集合运算容斥原理 1.2 集合运算证明 1.3 幂集 1.4 相类似的练习题目

58 1.1 集合运算容斥原理中国科学院自动化所个学生参加考试, 考试有 A B 和 C3 道题, 考试结果如下 :12 个学生 3 道题都做对了,20 个学生做对 A 和 B,16 个学生做对 A 和 C,28 个学生做对 B 和 C, 做对 A 的有 48 个学生, 做对 B 的有 56 个学生, 有 16 个学生一道也没有做对试求做对了 C 的学生有多少个? 直接使用容斥原理

59 解 : 设做对 A 题的学生集合为 P A, 做对 B 题的学生集合为 P B, 做对 C 题的学生集合为 P C /* 根据容斥原理, 列出计算式 */ P A P B P C =12, P A P B =20, P A P C =16, P B P C =28, P A =48, P B =56, PA PB PC 16

60 /* 根据容斥原理, 进行计算 */ P A P B P C =120-16, P A P B P C = P A + P B + P C - P A P B - P A P C - P B P C + P A P B P C, 所以 P C = =52, 做对 C 题的学生为 52 人

61 容斥原理解题总结使用容斥原理时, 首先搞清论域, 划定全集 ; 其次对全集进行分类, 列出计算式 ; 最后根据容斥原理的公式进行计算

62 北京师范大学 2001 证明容斥原理 : 设 A 1, A 2,, A n 都是有限集, 则 n A 1 A 2 A n = k 1 ( 1) m k k 1 其中 : mk Ai A 1 i... A 2 i k {i 1, i 2, i n } 是遍历 {1, 2,, n} 的所有 k 元子集 /* 证明思想 : 数学归纳法 */

63 证明 : 1) 归纳基础 : 当 k=2 时, 集合 A 1 和 A 2 的公共元素个数为 A 1 A 2, 这些元素中的每一个在 A 1 + A 2 里计算了两次, 但在 A 1 A 2 中是作为一个元素计算的因此有 A 1 A 2 = A 1 + A 2 - A 1 A 2 所以, 当 n=2 时, 命题成立

64 2) 归纳步骤 : 当 k n 1时, 设 1 2 n 1 1 i j n 1 n 1 A A... A A 成立 i 1 A A... ( 1) A A... A n i j 1 2 n 1 i

65 当 k=n 时, A 1 A 2 A n = (A 1 A 2 A n-1 ) A n = (A 1 A 2 A n-1 ) + A n - (A 1 A 2 A n-1 ) A n 因为 (A 1 A 2 A n-1 ) A n = (A 1 A n ) (A 2 A n ) (A n-1 A n ) /*n-1 个集合的并, 根据归纳假设展开 */

66 北京师范大学 2000 设 S 为任一集合, 证明在 S 与其幂集 P(S) 之间不存在 1-1 对应

67 1.2 集合运算证明基本法公式法

68 中国科学院软件所对于任意集合 A 和 B, 证明 : (1) P(A) P(B) P(A B), (2) P(A) P(B)=P(A B); 并举例说明 P(A) P(B) P(A B) /* 幂集的定义 :P(A)={x x A} */

69 (1)/* 基本法 */ 对任意的 x P(A) P(B), 有 x P(A) 或 x P(B) 若 x P(A), 则 x A, 所以 x A B, 即 x P(A B); 同理, 若 x P(B), 则 x B, 所以 x A B, 即 x P(A B) 综上所述, P(A) P(B) P(A B)

70 (2) /* 基本法 */ 对任意的 x P(A) P(B), 有 x P(A) 且 x P(B) 即 x A 并且 x B, 则 x A B 所以 x P(A B) 故 P(A) P(B) P(A B) 对任意的 x P(A B), 有 x A B, 即 x A 并且 x B, 所以 x P(A) 且 x P(B) 因此 P(A B) P(A) P(B) 综上所述,P(A) P(B)=P(A B)

71 举例说明 P(A) P(B) P(A B) A={1}, B={2}, A B={1, 2}; P(A)={, {1}}, P(B)={, {2}}, P(A) P(B)= {, {1}, {2}}, P(A B)= {, {1}, {2}, {1, 2}}; 所以 P(A) P(B) P(A B)

72 中国科学院计算所证明 : 若 (A-B) (B-A)=C, 则 A (B-C) (C-B) 的充分必要条件是 A B C= 证明思想 : (1) 充分性, 即证明 : 若 A B C=, 则 A (B-C) (C-B); 基本法证明 ; (2) 必要性, 即证明 : 若 A (B-C) (C-B), 则 A B C= ; 反证法证明

73 证明 :(1) 对于任意的 a A, 因为 A B C=, 所以 a B C, 则 a 有 3 种情况 : I) a B, 但 a C, 则 a C-B, 所以 a (B-C) (C-B); II) a B, 但 a C, 则 a B-C, 所以 a (B-C) (C- B); III) a B 且 a C, 因为 a A, 所以 a A-B, 所以 a (A-B) (B-A), 即 a C, 导致矛盾, 所以 a B 且 a C 不可能出现综上所述, 对于任意的 a A, a (A-B) (B-A), 所以 A (B-C) (C-B)

74 证明 :(2) 假设 A B C, 则存在 a,a A B C, 即 a A, a B, 且 a C 所以 a B-C,a C-B 则 a (B-C) (C-B) 因为 A (B- C) (C-B),a A, 所以导致矛盾所以 A B C=

75 北京大学给出集合表达式 (A-C) B=A B 成立的充要条件.

76 ( A C) B ( A C) B ( A B) ( C B) 所以, 要求 (A-C) B=A B, 即要求 (A B) (C B)=A B; 即,(A B) (C B), 所以 A C B.

77 北京大学 1994 判断题, 为真给出证明, 为假给出反例 : 1){ } {x}-{{x}} 2) 若 A B=A C, 则 B=C 3)R 是 A 上的关系, 则 R=R 2 的充要条件是 R=I A

78 幂集运算 : 代数法 1.3 幂集

79 北京大学设 A 为集合,B=P(A)-{ }-{A}, 且 B 求偏序集 (B, ) 的极大元, 极小元, 最小元

80 因为 B, 所以 A >1 对任意 x A, A-{x} 是极大元,{x} 是极小元, 无最小元

81 北京大学设 A={, { }}, 计算 P(A)-{ }, P(A) A

82 /* 代数法求 P(A) */ 设 x=, y={ },A={x, y}, P(A)={, {x}, {y}, {x, y}}; P(A)={, { }, {{ }}, {, { }}}; P(A)-{ }={, {{ }}, {, { }}}; P(A) A={ {{ }}, {, { }} };

83 上海大学设 A 是集合,A 的元素也是集合,P(A) 是 A 的幂集定义 A={ x y A, x y } (1) 计算 {{a, b, c}, {a, d, e}, {a, f}}; (2) 证明 P(A)=A; (3) 请问 P( A)=A? 解题要素 : A( 广义并 ) 和幂集的定义 ; 基本法

84 (1) 计算 {{a, b, c}, {a, d, e}, {a, f}} 解 : {{a, b, c}, {a, d, e}, {a, f}} ={a, b, c} {a, d, e} {a, f} = {a, b, c, d, e, f}

85 (2) 证明 P(A)=A 证明 : 对任意 x P(A), 则存在 y P(A), x y; 因为 y P(A), 所以 y A; 因此 x y, 则有 P(A) A ; 对任意 x A, 设 y={x}, 则 y A 所以 y P(A) 因此 x P(A) 所以 P(A)=A

86 (3) 请问 P( A)=A? 不成立反例 :(1) A={{a, b, c}, {a, d, e}, {a, f}} A={a, b, c, d, e, f} P( A) A

87 上海交通大学 C 是非空集合族, 证明 :P( C)= {P(X) X C} 证明方法 : 基本法, 集合族的概念

88 证明 : 任取 x P( C), 则 x C, 所以对于任意的 a x, 有 a C; 对于任意的 X C, 有 a X; 那么 x X, 即 x P(X) 由 X 的任意性, 也即 x {P(X) X C} 所以 P( C) {P(X) X C} 任取 x {P(X) X C}, 则对于任意的 X C, 有 x P(X), 即 x X 因为 X C, 对于任意的 a x, 有 a X; 因此 a C 所以 x C, 即 x P( C) 所以 {P(X) X C} P( C) 所以 P( C)= {P(X) X C}

89 中科院成都计算所设 A 是一有限集,A 的基数为 A 证明 :A 的幂集 P(A) 的基数 P(A) =2 A

90 1.4 相类似的题目 1 A, B 是两个集合, 给出 A B=B 的充分必要条件是什么, 并证明你的结论 /* 南京理工大学 2000*/

91 2 判断下列各式是否成立, 如果成立, 则证明之, 否则举出反例 (1)P(A) P(B)=P(A B), (2)(A B) C=(A C) (B C) 上海交通大学 2001

92 3 证明 P(A) P(B) P(A B), 并说明等号成立的条件上海交通大学 1999

93 4 设 A, B, C, D 为 4 个非空集合, 则 A B C D 的充分必要条件是 /* 重庆大学 1998*/

94 二二元关系关系及其性质与运算等价关系与划分序关系

95 关系及其性质与运算

96 北京大学设 R={(x, y) x, y N 并且 x+3y=12}, 求 R 2 解题思路 : 将 R 的所有元素列出, 求 R 与它本身复合所得的关系

97 解 : R={ (0, 4), (3, 3), (6, 2), (9, 1), (12, 0) } R 2 ={ (3, 3), (12, 4) }

98 北京大学设 R 是复数 C 上的二元关系, 且满足 xry x-y=a+bi,a 和 b 为非负整数, 试确定 R 的性质 ( 自反反自反对称反对称和传递 ), 并证明之

99 北京大学判断题, 为真给出证明, 为假给出反例 : R 是 A 上的二元关系, 则 R=R 2 R=I A

100 武汉大学设 A={a, b, c}, 给出 A 上的一个二元关系 R, 使其同时不满足自反反自反对称反对称和传递性

101 武汉大学设 A={1, 2, 3},R 是 P(A) 上的二元关系, 且 R={ (a, b) a b } 则 R 不满足下列哪些性质? 为什么? 1) 自反 2) 反自反 3) 对称 4) 反对称 5) 传递性

102 等价关系与划分

103 中科院成都计算所设 R 是集合 A 上的一个传递的和自反的关系,T 是 A 上的一个关系, 使得 (a, b) 属于 T 当且仅当 (a, b) 和 (b, a) 都属于 R 证明 :T 是一个等价关系

104 西南交通大学设 X 和 Y 都是正整数集,x i X, y i Y, i=1, 2. [1] 下列关系是否是等价关系? 证明你的结论 1) R={((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) x 1 +y 2 =x 2 +y 1 } 2) R={((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) x 1 +y 1 =x 2 +y 2 } [2] 若 R 是等价关系, 定义集合 M, M={(0, 2), (1, 2), (2, 4), (3, 4), (4, 6), (5, 6), } 试给出它的等价类

105 西南交通大学设 S={1, 2, 3}, 定义 S S 上的关系 R 为 : 对任意 (a, b), (c, d) S S, 有 ((a, b), (c, d)) a+d=b+c, 证明 :R 为 S S 上的等价关系并给出 S S/R

106 上海交通大学设 P 是 X 上的等价关系,Q 是 Y 上的等价关系, 关系 R 满足 ((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) R 当且仅当 (x 1, x 2 ) P,(y 1, y 2 ) Q, 证明 : R 是 X Y 上的等价关系

107 南京理工大学 R 是集合 A 上等价的二元关系, 证明 R 2 也是 A 上的等价关系

108 序关系

109 西南交通大学集合 A 上的二元关系 R 如果是传递和反自反的, 则称 R 是 A 上的拟序关系, 证明 : (1) 如果 R 是 A 上的拟序关系, 则 r(r)=r I A 是偏序关系 ; (2) 如果 R 是 A 上的偏序关系, 则 R-I A 是拟序关系

110 西南交通大学设 R 是集合 A 上的偏序关系, 且 B A, 试证明 R =R (B B) 是 B 上的偏序关系

111 复旦大学判断是否正确, 并说明理由设 A 是一个集合,R 是 A 的幂集 P(A) 上的二元关系, 对所有 S T P(A),(S, T) P(A) 当且仅当 S T,R 是偏序关系

112 华中科技大学设 P 是集合 A 上的二元关系,P 是传递的和反自反的, 证明 :r(p) 是 A 上的偏序关系

113 北京师范大学证明整除关系是正整数集合上的偏序关系

114 三函数

115 西南交通大学假设函数 f: A B 并定义 G: B P(A), 对于 b B,G(b)={x x A, f(x)=b} 证明如果 f 是 A 到 B 的满射, 则 G 是内射的 ; 其逆命题成立吗?

116 北京大学设 f: N N N, f((x, y))=xy 求 f(n {1}), f -1 ({0}), 并说明是否为满射内射和双射

117 3 设 f: X Y 是函数,A, B 是 X 的子集证明 : (1)f(A B) f(a) f(b); (2)f(A B)=f(A) f(b); (3)f(A)-f(B) f(a-b)

118 复旦大学判断是否正确, 并说明理由设 A 和 B 为集合, 若存在 A 到 B 的满射函数, 则 B A

119 武汉大学设 A, B, C, D 是任意集合,f 是 A 到 B 的双射, g 是 C 到 D 的双射令 h: A C B D 且 (a, c) A C,h((a, c))=(f(a), g(c)) 那么 h 是双射吗? 请证实你的判断

120 中国科学院软件所设 f: A B, g: B C, h:b C, 证明 : 如果 h o g o f=i A,f o h o g=i B,g o f o h=i C, 则 f g 和 h 均为双射, 并求出 f -1,g -1,h -1

121 中国科学院计算所设 R 1 和 R 2 为 X 上的两个关系, 且 R 1 o R 2 =I X 1) 若 X 为有限集合, 证明 : 存在 X 上双射 f 1 和 f 2, 使得 f 1 o f 2 =I X 且 ar 1 b b=f 1 (a), cr 2 d d=f 2 (c) 2) 若 X 为无限集合, 举例说明 1) 的结论不成立

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引言在现实生活中, 集合与集合之间还存在着某种联系现实世界中的二元关系 1, 同一个集合中的二元关系 : 同学关系同桌关系 2, 两个不同集合之间的二元关系 : 师生关系学生和选修课程的关系现实世界中的多元关系学生课程和任课教师的关系

引言在现实生活中, 集合与集合之间还存在着某种联系现实世界中的二元关系 1, 同一个集合中的二元关系 : 同学关系同桌关系 2, 两个不同集合之间的二元关系 : 师生关系学生和选修课程的关系现实世界中的多元关系学生课程和任课教师的关系第二章关系 2.1 二元关系 2.2 关系的性质 2.3 关系的运算 2.4 关系数据库的一个实例 2.5 关系的闭包 2.6 等价关系与划分 2.7 次序关系引言在现实生活中, 集合与集合之间还存在着某种联系现实世界中的二元关系 1, 同一个集合中的二元关系 : 同学关系同桌关系 2, 两个不同集合之间的二元关系 : 师生关系学生和选修课程的关系现实世界中的多元关系学生课程和任课教师的关系

一 集合基础 1.1 与 1.2 集合运算 1.3 幂集

一集合基础 1.1 与 1.2 集合运算 1.3 幂集