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会盘江
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1 第 41 卷第 1 期 018 年 3 月南京师大学报 ( 自然科学版 ) JOURNAL OF NANJING NORMAL UNIVERSITY( Natural Science Edition) Vol 41 No 1 Mar018 doi: / j.issn 关于 Diophantine 方程 x -s( s+1) y = 1 与 y - n z = 4 的公解万飞杜先存 ( 红河学院教师教育学院云南蒙自 ) [ 摘要 ] 本文了当 sn Z + 时 Diophantine 方程 x -s(s+1)y = 1 与 y - n z = 4 除开 s = 且 n = 135 外仅有平凡解 (xyz)= ( ±5±0). [ 关键词 ] 整数解公解基本解 Pell 方程递归序列奇素数 [ 中图分类号 ]O156 [ 文献标志码 ]A [ 文章编号 ] (018) On the Diophantine Equations x -s(s+1)y = 1 and y - n z = 4 Wan FeiDu Xiancun ( College of Teacher EducationHonghe UniversityMengzi China) Abstract:In this paperthe following conclusions are proved:if sn Z + then the equations in title has only trivial solu tion(xyz)= ( ±5±0) with the exceptions that s = and n = 135. Key words:integer solutioncommon solutionfundamental solutionpell equationrecursive sequenceodd prime Diophantine 方程 x -D 1 y = k 与 y -Dz = m 的求解问题一直受到人们的关注.k = 1m = 4 时方程变为关于方程 (1) 的解的情况目前已有如下一些结果 : 收稿日期 : 基金项目 : 江西省教育厅科学技术研究项目 ( GJJ16078) 红河学院校级教改课题 ( JJJG151010) 江西科技师范大学重点课题 (015XJZD00) 红河学院中青年学术骨干培养资助 (015GG007) 通讯联系人 : 万飞副教授研究方向 : 初等数论及数学教育. E mail:mzwanfei@ 163.com x -D 1 y = 1 与 y -Dz = 4. (1) [1] (1)D 1 = 陈建华解决了 D 最多为个不同奇素数之积的情况曹珍富 [] [3] 曾登高等解决了 D 最 [4] 多为 4 个不同奇素数之积的情况陈永高解决了 D -1(mod 1) 且 D 最多为 6 个不同的奇素数之积的 [5] 情况任小枝解决了 D -1(mod 1) 且 D 最多为 8 个不同的奇素数之积的情况胡永忠韩清 [6] 管训 [7] 贵等对 D = k i = 1 情况. ()D 1 = 6D = k [8] p i (p i 是互异的奇素数 ) 的不同情况做过一些研究陈志云解决了 D = n ( n Z + ) 的 i = 1 [9] p i (p i 是互异的奇素数 ) 时贺腊荣等已经对 p i 受某些条件限制的情况做过一些工作 D = n (n Z + [10] ) 时王冠闽李炳荣已经解决. (3)D 1 = 30D = n (n Z + [11] ) 时贺腊梅已经解决. (4)D 1 = m(m+1)d = n (n Z + [11] m( m+1) ) 时贺腊梅已经解决了 3(mod 8)(m Z + ) 时的情形. 在此基础上本文将利用与文 [11] 不同的方法研究 D 1 = s(s+1)(s Z + )D = n (n Z + ) 时方程 (1) 的解的情况. 17

2 南京师大学报 ( 自然科学版 ) 第 41 卷第 1 期 (018 年 ) 1 主要引理引理 1 [1] 引理当 a>1 且 a 是平方数时方程 ax 4 -by = 1 至多有一组正整数解. Diophantine 方程 (s+1) x 4 -s(s+1)y = 1 仅有正整数解 (xy)= (1). 由引理 1 知方程 (s+1) x 4 -s(s+1)y = 1 至多只有一组正整数解而 (1) 为方程 (s+1) x 4 - s(s+1)y = 1 的正整数解故方程 (s+1) x 4 -s(s+1)y = 1 仅有正整数解 (xy)= (1). 引理 3 [13] 设 d Z + 且不是一个完全平方数设 (x 1 y 1 ) 为方程 x -dy = 1 的最小解则 x -dy = 1 的全部正整数解 ( y n ) 可以由下式给出 : 引理 4 [14] ì = 1 [(x + d y 1 1) n +(x 1 - d y 1 ) n ] í y n = 1 n N. d [(x + d y 1 1) n -(x 1 - d y 1 ) n ] î 设 ab 是 x -Dy = 1 的基本解则有下面递归序列成立 : + = a+1 - y n+ = ay n+1 -y n { x0 = 1x 1 = ay 0 = 0y 1 = b. 引理 5 设 Pell 方程 x -s(s+1)y = 1 的全部整数解为 ( y n )n Z 则为平方数当且仅当 n = 1. s+1 若 s+1 = a 则 = (s+1)a 代入原方程得 (s+1) a 4 -s(s+1)y = 1. 由引理得 (s+1) a 4 - s(s+1)y = 1 仅有整数解 (ay)= ( ±1±) 此时 = s+1 从而 n = 1. 反之显然. 引理 6 下性质 : (1) = x m 设 Pell 方程 x -s(s+1)y = 1 的全部整数解为 (x m )m Z 则对任意 m Zx m 具有如 ()x m+1 = (s+1)x m +s(s+1) +1 = x m +(s+1) (3)x m-1 = (s+1)x m -s(s+1) -1 = -x m +(s+1) (4)y m -4 = -1+1 (5)x m+ = (s+1)x m+1 -x m x 0 = 1x 1 = s+1 (6)+ = (s+1)+1 - y 0 = 0y 1 = (7)x m 1(mod )x m+1 0(mod(s+1))x m 0(mod(s+1)) (8)+1 (mod 4) 0(mod 4) (9)gcd( +1 )= (10)+1 ± (mod(s+1)) 0(mod(s+1)) (11)gcd(x m )= s+1 (1)gcd(x m x m 设 (x 1 y 1 ) 为 Pell 方程 x -s(s+1)y = 1 的基本解则有 (x 1 y 1 )= (s+1). 由引理 3 可得到 (1) () (3). (4) 设 ε = s+1+ s(s+1) ε = s+1- s(s+1) 则由引理 3 得 Pell 方程 x -s(s+1) y = 1 的全部整数解 (x m )m Z 可表为 : 则有 y = é εm -(ε) m ù m ê ë s( s+1) ú û 18 = εm +(ε) m - 4s( s+1) ì x m = εm +(ε) m í = εm -(ε) m î s(s+1) m Z. y -4 = εm +(ε) m -(8s +8s+1) m 而 4s( s+1)

3 万飞等 : 关于 Diophantine 方程 x -s(s+1)y = 1 与 y - n z = 4 的公解 +1-1 = εm+1 -(ε) m+1 s(s+1) ε m-1 -(ε) m-1 s(s+1) 由引理 4 得 (5) (6) 成立. = εm +(ε) m -[ε +(ε) ] 4s(s+1) = εm +(ε) m -(8s +8s+1) 故 y m 4s(s+1) -4=+1-1. (7) 对递归序列 (5) 取模得周期为 1 的剩余类序列且对于 m Z + 均有 x m 1(mod ) 对递归序列 (5) 取模 s+1 得周期为 4 的剩余类序列且当 m 1(mod ) 时有 x m 0(mod(s+1)) 当 m (mod 4) 时有 x m -1(mod(s+1)) 当 m 0(mod 4) 时有 x m 1(mod(s+1)) 故有 x m+1 0(mod(s+ 1))x m ±1(mod(s+1)) 故 x m 0(mod(s+1)). (8) 对递归序列 (6) 取模 4 得周期为的剩余类序列且当 m 1(mod ) 时有 ( mod 4) 且当 m 0(mod ) 时有 0(mod 4) 故有 +1 (mod 4) 0(mod 4). 由 (8) 即可得 (9) 成立. (10) 对递归序列 (6) 取模 s+1 得周期为 4 的剩余类序列且当 m 0( mod ) 时有 0( mod(s+ 1)) 当 m 1(mod 4) 时有 (mod(s+1)) 当 m 3(mod 4) 时有 y n -(mod(s+1)) 故有 +1 ±(mod(s+1)) 0(mod(s+1)). (11) 由 x m+1 = (s+1)x m +s(s+1) 得 x m+1 = (s+1)x m +s(s+1) 则有 gcd((s+1)x m +s(s+1) )= gcd((s+1)x m )= gcd(s+1 ) 再由 (10) 中的 0(mod(s+1)) 可得 (x m+1 )= s+1. 同理可得 gcd(x m+1 + )= s+1. (1) 设 gcd(x m s)= t 则由 () 中的 x m+1 = (s+1)x m +s(s+1) 知 t x m+1 故由 x m+1 -s(s+1)+1 = 1 得 t 1 所以 t = 1 即 gcd(x m s 同理可得 gcd(x m s+1 由 () 中的 +1 = x m +(s+1) 得 +1 = x m +(s+1). 再设 gcd(s+1+1 )= p 则由 +1 = x m + (s+1) 知 p x m 再由 p (s+1) 及 (10) 中的 0(mod(s+1)) 得 p 故由 x m -s(s+1) = 1 得 p 1 所以 p = 1 即 gcd(s+1+1 同理可得 gcd(x m s+1 再设 gcd(x m )= d 则由 x m -s(s+1) = 1 知 d 1 故 d = 1 所以 gcd(x m )= 1 由 () 知 gcd(x m x m+1 (s+1)x m +s(s+1) s(s+1) ) = gcd(x m )= 1 即 gcd(x m x m+1 )= 1 由 () 知 gcd(x m+ +1 )= gcd((s+1)x m+1 +s(s+1) ) = gcd((s+1) x m+1 +1 ) = gcd( x m+1 +1 ) = 1 即 gcd(x m+ +1 )= 1 由 () 知 gcd( x m +1 ) = gcd( x m x m +(s+1) ) = gcd( x m (s+1) ) = gcd(x m )= 1 故 gcd(x m +1 本文主要结论定理的公解的情况如下 : 若 sn Z + 则 Diophantine 方程 (1) 当 s = 时 x -s(s+1)y = 1 与 y - n z = 4 () 1 若 n = 1 式 () 有非平凡解 (xyz)= ( ±485±198±140) 和平凡解 (xyz)= ( ±5±0) 若 n = 3 式 () 有非平凡解 (xyz)= ( ±485±198±70) 和平凡解 (xyz)= ( ±5±0) 3 若 n = 5 式 () 有非平凡解 (xyz)= ( ±485±198±35) 和平凡解 (xyz)= ( ±5±0) 4 若 n 135 式 () 只有平凡解 (xyz)= ( ±5±0) () 当 s 时式 () 只有平凡解 (xyz)= ( ±(s+1)±0). 3 定理设 (x 1 y 1 ) 为 Pell 方程 x -s(s+1)y = 1 的基本解则有 (x 1 y 1 )= (s+1) 故 Pell 方程 x -s(s+1)y = 1 的全部整数解 (x m )m Z 可表示为 : 19

4 南京师大学报 ( 自然科学版 ) 第 41 卷第 1 期 (018 年 ) x m + s(s+1) = ±[x 1 + s(s+1) y 1 ] m = ±[s+1+ s(s+1) ] m m Z. 设 (xyz)= (x m z)m Z 为 () 的整数解. 若 n 为正偶数设 n = ll Z + 则由 y - n z = 4 得 n z = l z = y m -4 即 ( + l z) ( - l z) = 4 于是 + l z = 4 - l z = 1 解得 = 5 z = 3 l+1 由此可见此时方程 () 无正整数解故当 n 为正偶数时方程 () 无非平凡解. ±0). 又 ( z)= ( ±0) 为 y - n z = 4 的平凡解故当 n 为正偶数时 () 只有平凡解 (xyz)= ( ±(s+1) 若 n 为正奇数令 n = l-1l Z + 则由引理 6(4) 知 () 成为若 m 为偶数令 m = kk Z 此时 (3) 成为 n z = l-1 z = y m -4 = (3) l-1 z = +1. (4) 由引理 6(8) 知 +1 ( mod 4) 则有 +1 故式 (4) 的右边的次数为 ( 偶数次 ) 而式 (4) 的左边的次数为 l-1 次 ( 奇数次 ) 矛盾. 由此可见 m 为偶数时 (10) 无整数解则 () 无整数解. 故 m 只能为奇数令 m = k-1k Z 则 (3) 成为 l-1 z = 4-1. (5) 由引理 6(9)(1) 得 gcd(-1 )= gcd( )= gcd( -1 )= 1gcd( )= 则 gcd ö ç =1. è ø 1k 为奇数时由引理 6(11)(1) 得 gcd(-1 )= 1gcd( )= s+1 则 gcd s+1 ö ç = 1. 所以 -1 è s+1ø (s+1) s+1 两两互素. 又 k = 1 时 -1 = x 0 = 1 s+1 = x 1 s+1 = 1 = y 1 = 1 而对于任意 k Z (s+1) 1. 故 k 1 为奇数时 -1 (s+1) s+1 两两互素且均不为 1. s+1 由引理 5 知为平方数当且仅当 k = 1 故当 k 1 时不为平方数. 又 k 1 时 x s+1 s+1 k-1 (s+1) 两两互素且均不为 1. 又由引理 6(7) 知 -1 1(mod ) 故当 k 1 时 -1 (s+1) s+1 不为平方数的倍所以 4-1 = (s+1) -1 (s+1) s+1 不为平方数的倍所以此时无整数解则 () 无整数解. k = 1 时 (5) 为 l-1 z = 4x 0 y 0 x 1 y 1 = 0 则 z = 0 故此时 () 只有平凡解 (xyz)= ( ±(s+1)±0). k 为偶数时由引理 6(11)(1) 得 gcd( )= 1gcd(-1 )= s+1-1 则 gcd s+1 ö ç = 1. 故 è s+1ø (s+1) -1 s+1 两两互素. 又 k = 0 时 = x 0 = 1k = 时 -1 s+1 = x 1 s+1 = 1 = y 1 = 1 而对于任意 k Z (s+1) 1. 故 k 0 为偶数时 (s+1) -1 s+1 两两互素且均不为由引理 5 知为平方数当且仅当 k = 故 k 时 x s+1 k 不为平方数. 又 k 0 时 (s+1) -1 s+1 两两互素且均不为 1. 又由引理 6(7) 知 1(mod ) 故 (s+1) -1 s+1 不为平方数的倍所 0

5 万飞等 : 关于 Diophantine 方程 x -s(s+1)y = 1 与 y - n z = 4 的公解以 4-1 = (s+1) (s+1) -1 s+1 不为平方数的倍所以此时 (5) 无整数解则 () 无整数解. k = 0 时 (5) 为 l-1 z = 4x -1 y -1 x 0 y 0 = 0 则 z = 0 故此时 () 只有平凡解 (xyz)= ( ±(s+1)±0). k = 时 (5) 为 l-1 z = 4x 1 y 1 x y = = 则有 (lz)= (1±140)(±70)(3±35). 此时 m = k-1 = 3 即 y 3 = 198. 又由 (6) 知 y = 4(s+1) 再由 (6) 得 y 3 = (s+1)y -y 1 且 y 3 = 198 则有 (s+1) = 5 解得 s = s = -3( 舍去 ). 又 y -3 = -y 3 所以 ( y -3 ) = ( -y 3 ) 故 y 3 = -198 也是 Pell 方程 x - m s(s+1)y = 1 m 的解. 故 l = 1 即 n = l-1= 1 时 () 有非平凡解 (xyz)= (±485±198±140)l = 即 n = l-1 = 3 时 () 有非平凡解 (xyz)= (±485±198±70)l = 3 即 n = l-1= 5 时 () 有非平凡解 (xyz)= (±485±198±35). 综上定理得证. [ 参考文献 ] [1] 陈建华. 关于 Pell 方程 x -y = 1 与 y -Dz = 4 的公解 [J]. 武汉大学学报 ( 理学版 )199019(1):8-1. [] 曹珍富. 关于 Pell 方程 x -y = 1 与 y -Dz = 4 的公解 [J]. 科学通报 (6):476. [3] 曾登高. 也说 Pell 方程 x -y = 1 与 y -Dz = 4 的公解 [J]. 数学的实践与认识 1995(1): [4] 陈永高. Pell 方程组 x -y = 1 与 y -Dz = 4 的公解 [J]. 北京大学学报 ( 自然科学版 )199430(3): [5] 任小枝. Pell 方程 x -y = 1 和 y -Dz = 4 的公解 [J]. 南京师大学报 ( 自然科学版 )01437():1-4. [6] 胡永忠韩清. 也谈不定方程组 x -y = 1 与 y -Dz = 4[J]. 华中师范大学学报 ( 自然科学版 )0036(1): [7] 管训贵. 关于 Pell 方程 x -y = 1 与 y -Dz = 4 的公解 [ J]. 华中师范大学学报 ( 自然科学版 )0146( 3): [8] 陈志云. 关于 Pell 方程 x -y = 1 与 y -Dz = 4 的公解 [J]. 华中师范大学学报 ( 自然科学版 )1998(): [9] 贺腊荣张淑静袁进. 关于不定方程组 x -6y = 1y -Dz = 4[J]. 云南民族大学学报 ( 自然科学版 )011(1): [10] 王冠闽李炳荣. 关于 Pell 方程 x -6y = 1 与 y -Dz = 4 的公解 [J]. 漳州师范学院学报 ( 自然科学版 )0015(4): [11] 贺腊梅. 关于几类不定方程组的正整数解的研究 [D]. 西安 : 西北大学 01. [1] 乐茂华. 一类二元四次 Diophantine 方程 [J]. 云南师范大学学报 ( 自然科学版 )01030(1):1-17. [13] 单墫余红兵. 不定方程 [M]. 合肥 : 中国科学技术大学出版社 1991:90. [14] 赵天. 关于不定方程 x 3 ± 3n = 3Dy [D]. 重庆 : 重庆师范大学 008:9. [ 责任编辑 : 陆炳新 ] 1