循环中的秘密

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祷乌
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1 Secrets i Cyclic Decials Abstract Suose is a ositive iteger. Whe the rie uber factorizatio of cotais rie uber other tha a 5, the uit fractio ca be reresete as a ifiite cyclic ecial. By the ai of couter, the cycles a the istributio of igits i the cycles for a large uber of uit fractios ( is a rie uber)were ivestigate. Soe roerties a theores o the cycles of cyclic ecials were iuce a rove. At the e of the aer, we ut forwar the cocet of erfect rie uber, as well as soe relate oe robles a cojectures. 摘要 : 循环小数中的秘密设为正整数, 且的质因数分解不仅仅含有或 5 的因子时, 单位分数循环小数借助计算器, 在考察了大量单位分数可表示为无限 ( 为素数 ) 后, 本文归纳并证明了有关循环小数循环节的若干性质和定理另外, 考察了素数单位分数循环节与数码分布的情形后, 本文提出了完美素数的概念以及与之相关的一些问题和猜想关键词 : 质数 ( 素数 ), 单位分数, 循环, 整除. 问题引入经常使用计算器, 偶尔也会注意到一些奇妙的现象如 = & &, = & &, = & &, = & &, = & &, = & & 分母为 7 的分数, 化为循环小数后, 为什么循环节的长度都是 6? 为什么每一循环节的数字只是排列顺序不同而已? 分数化为循环小数过程中, 到底掩藏着怎样的规律秘密带着这些疑问, 我们详细分析了更多的分数 ( 循环小数 ), 终于归纳和发现了循环中的一些. 问题分析

2 . 数论中的有关结论整除与同余对于整数 abc,,, 且 c 0, 若 b 是 c 的倍数, 称 c 整除 b, 记作 c b 若 c ( a b), 则称 ab, 关于模 c 同余, 记作 a b(o c) ( ab, ) 表示整数 a 和 b 的最大正公约数,[ ab, ] 表示整数 a 和 b 的最小正公倍数, 若 ( ab, ) =, 称 a 和 b 是互素的设 abc,,, 为整数, 为正整数, 为素数, 则有如下性质和定理定理.. 若 ( ab, ) = 且 a bc, 则 a c; 定理.. 若 a b(o ), c (o ), 则且 ac b(o ) ; 定理..3 若 a b(o ) 且 ( =, ), 则 a b(o ) ; 定理..4 每个大于的正整数都可分解为素数的乘积, 而且不计因数的顺序时, 这种表示是唯一的 = α α L α 其中是素数, α 是正整数, i =,, L i i 定理..5 如果素数不能整除 a, 则 a (o ) (Ferat s 费尔玛定理 ) 证明 : 考虑 = a, = a, = 3 a, L, = ( ) a, 因为 ( a, ) = 3 所以,, L, 被除的余数各不相同, 恰好为,, 3, L, 的一个排列, 由定理.. 知, L L ( )(o ) 即 a ( )! = ( )!(o ) 又 (( )!, ) =, 由定理..3 知 a (o ). 一些记号的说明, 在下文中表示某个素数 ( 特别说明的地方除外 );,, 表示循环小数中循环节的长度, ( ) 表示分母为的循环小数中循环节的长处 ; 将单位分数化为循环小数, 记为 0. aaa 3 a = & L &, 其中 a i 为 0~9 这 0 个数码之一 ; 利用无穷等比数列所有项之和公式, 可在分数与循环小数之间转化如 :

3 其中 3 aaa 3 a 0. aaa 3 a = = L & L & 0 aaa L a 表示一个正整数, 可能为 0;.3 问题的描述 a 当 7 时, 循环节长度 ( ) 是从小数点后第一位开始, 各数码重复出现所需最小个数如, 化成循环小数后有多种表示, = & & = & & = & & 我们统一考虑其循环节为 4857, 从小数点后第一位开始, 循环节长度为 6 本文主要研究如下几个问题 : 化成小数后的循环节长度有何规律? 化成小数后的循环节长度有何规律? 化成小数后, 其循环节中各数码的分布有无规律? 3. 问题研究 3. 有限小数定理 3. 有素数或 5 单位分数化成小数后为有限小数的充要条件是的素数分解表示形式中仅含 aaa 3 a 证明 : 设 0. aaa 3 a = = L L, 则 aaa 3L a 0 =, 即 0, 0 而 0 = 5, 故也只能为 5 (, N,0, ) 即的素数分解表示形式中仅含有素数或 5 反之, 容易验证 3. 形如 5 是有限小数的分数 ( 为素数, 7) 为研究一般形式的分数化为循环小数的情形, 先考虑素数单位分数并有如下引理 : 引理 : 是 / 的循环节长度当且仅当是满足 (0 ) 的最小正整数引理 : 如果正整数 a,, 满足 a (0 ) 且, 则 a (0 ) 3

4 引理 3: a, a,, 是正整数满足 a (0 ), a (0 ) 如果是最小的, 且 a a, 那么, 定理 3. 化成循环小数后, 其循环节长度满足 ( ) aaa 3 a 证明 : 根据定义, = L, 所以 (0 ), 即 0 (o ) 0 且是所有满足 (0 ) 中的最小正整数又 (0, ) =, 根据定理..5 知 0 (o ), 即 (0 ) 若 ( ), 可设 = + t(, t N, t < ) 因为 0 (o ), 所以 0 + t t 0 (o ), 即 (0 t ) 这与循环节的定义是满足条件的最小正整数矛盾, 故必有 ( ) 从附录中可清楚地看到这个结果 3.3 形如定理 3.3 的分数 ( 为素数, 7, 为大于的自然数 ) 设的循环节长度, 的循环节长度记为, 则 = 证明 : 当 = 时, 命题成立, 假设时命题成立, 有 ; =, 即 (0 ) + + 时, 由定义知 (0 + ), 显然 (0 + ) 根据的最小性和定理 3. 的证明可得, +, 不妨设 = (, N + ) 则只需证明 = 即可 ( ) ( ) 因为 (0 ) (0 0 = = + + L+ 0 + ) 因为 (0 + ) 但 ( 0 ), 故有 ( ) ( ) ( ) L +, 即 ( ) 0 ( ) L + + = 0(o ) 又由 0 (o ) 以及引理得 ( ) 0 ( ) L = (o ), 因此 = 0(o ), 由于是最小的, 即 4

5 得 = 由归纳假设知, 命题成立如, 7 化成小数后的循环节为 4, 7 3 的循环节为 94, 的循环节为素数 3 是个的循环节还是, 的循环节为 3, 一般的有的循环节为 3 3 例外, 3 的循环节为, 3.4 形如的分数 ( q 为不同素数 ) q 定理 3.4 设 q 为大于 5 的不同素数, 的循环节为, 的循环节为 q 循环节为 = [, ] 证明 : 根据定义, (0 ), q (0 ), q (0 ) 所以 (0 ), q (0 ) 由, 的最小性知,, [, ] 再根据的最小性知, = [, ]反之, 由引理可得 q (0 ), 则的 q 如, 的循环节为 6, 的循环节为 6, 则 = 的循环节为 6; 再如的循环节为 , 的循环节为 3, 则 = 的循环节为一般形式的单位分数综合前面的论述, 可得一般情况下的循环小数循环节的公式定理 3.5 设正整数的素数分解形式为 = α 5 β 3 γ α α L α, 则分数化成循环小数后的循环节长度 ( ) = [3 γ, α, α, L, α ] 其中, ( i =,, L) 分别为素单位分数 i i 的循环节长度, γ λ = 是, 公式为 ( ) = [ α, α, L, α ] 当素数,5 的出现只是使得不再是纯循环小数, 即不是从小数点后第一位开始循环, 但不影响循环节的长度如, 6830 = 5 3 7, 3,, 的循环节分别为,,6, 而的循环节也恰好是 6 4. 其他思考 4. 数码的分布 5

6 我们在详细列举素数单位分数时发现, 前几个分数,,,,,, 的循环节中数码 0~9 出现的次数恰好成对称分布即 0 出现的次数与 9 出现的次数相同, 出现的次数与 8 出现的次数相同, 和 7,3 和 6,4 和 5 出现的次数也都成对相同详见附录在列出了更多的素单位分数的数码分布后, 发现这并不是始终如此, 3 就不符合我们将素单位分数化成小数后的一个循环节中数码分布对称, 且循环节为的素数称为完美素数, 附录中标记 * 的即为完美素数如 6,8 就是超完美素数提出如下问题和猜想完美素数是否与费玛素数, 梅森素数那样有其它很好的性质? 完美素数是否有无穷多个? 它们的分布情况如何? i () 我们猜想完美素数的数码分布随着数值的增大将趋于平均, 即 li = 0. * * * 其中表示完美素数, i = 0,,, L 9, i () 为数码 i 出现的次数 4. 循环节的分段表示对有些循环小数, 我们发现可以截取一段然后用倍乘叠加得到整个循环小数如 = & &, 截取长度为的一段 4, 乘以得 8, 再乘得 56, 再乘得, 产生了进位, 将加到前面一段并将其改写为 57, 再乘得 4, 取后两位得 4, 重复可得 4, 8,57,4,, 连起来也就是 = & & = & &, 截取长度为 0 的第段 , 乘得第段 , 再乘得第 3 段 , 再乘得第 4 段 , 再乘得第 5 段 , 再乘得第 6 段 , 产生了进位, 将加到前一段, 并将第 5 段改为 , 再乘得 , 取后 0 位作为第 6 段 , 再乘得 , 又产生了进位, 同理将第 6 段改为 , 再乘得 , 将后 0 位作为第 7 段 , 乘得 , 将第 7 段改为 , 乘得 , 取后 0 位作为第 8 段 , 乘得 , 将第 8 段该为 , 乘得 , 将后 0 位作为第 9 段 ,, 将每一段连起来就得 7 我们发现, 很多循环小数都有上述奇妙的现象为什么会有如此奇妙的性质? 5. 参考文献.[ 美 ]R 柯朗 H 罗宾著, 左平张饴慈译 : 什么是数学上海 : 复旦大学出版社, 罗增儒 : 数学竞赛导论西安 : 陕西师范大学出版社,00,7 6

7 6. 附录附录 :00 以内素数单位分数与数码 0~9 分布对称是 * 是是 6 6 是 * 8 8 是 * 3 3 是 * 是 * 否否否否是 * 否是 * 是 * 否否否 7

8 对称否否是是 * 是是否是 * 3 是 * 是是 * 是是是 * 否是否是 * 否是 * 是 * 8

9 对称否是 * 是否附录 :TI 计算器程序程序 : 判断一个正整数是否为素数程序 : 计算单位分数小数点后前位程序 3: 统计小数点后前位中数码 0~9 出现的次数 9

求出所有的正整数 n 使得 20n + 2 能整除 2003n n 20n n n 20n n 求所有的正整数对 (x, y), 满足 x y = y x y (x, y) x y = y x y. (x, y) x y =

求出所有的正整数 n 使得 20n + 2 能整除 2003n + 2002 n 20n + 2 2003n + 2002 n 20n + 2 2003n + 2002 求所有的正整数对 (x, y), 满足 x y = y x y (x, y) x y = y x y. (x, y) x y = y x y 对于任意正整数 n, 记 n 的所有正约数组成的集合为 S n 证明 : S n 中至多有一半元素的个位数为