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谟苏
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双线性变换法通带截止频率 tgω ( /) 阻带截止频率 tgω ( /) δ 按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器 Butterworth 低通滤波器 Chebyhev 低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

1 Framewor: IIR DF 设计 Part3 数字信号处理面向专业 : 自动化系授课教师 : 刘剑毅数字指标模拟指标幅度平方准则模拟低通滤波器巴特沃斯切比雪夫冲激响应不变法双线性变换法数字低通滤波器实现步骤 : 确定数字滤波器的技术指标 : 通带截止频率 ω 通带衰减 δ 阻带截止频率 ω 阻带衰减将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标冲激响应不变法通带截止频率 ω / T 阻带截止频率 ω / T δ δ 不变双线性变换法通带截止频率 tgω ( /) 阻带截止频率 tgω ( /) δ 按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器 Butterworth 低通滤波器 Chebyhev 低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器冲激响应不变法双线性变换法 ew Problem: 一个新的问题又产生了 : 上述框架仅解决了数字低通的设计问题那么如何计算数字高通带通等其他类型滤波器? Solution: 频带变换技术 : () 模拟域频带变换 : () 数字域频带变换 :

2 四模拟域频带变换技术根据已经获得的模拟低通系统函数 H () a, 寻找转换函数 f(.) 或 g(.), 将 H () a 直接变换为其他类型的模拟滤波器 : H ( ) H ( ) a a g( ) H ( j ) H ( j) a a f ( ) 模拟低通模拟带通设计目标 : > > > B 寻找符合上述约束条件的 f 函数 : ( ) 为通带几何对称中心角频率 B 为通带带宽设计结果 : f ( ) Illutration: 验证 : 由两式分别相加与相减 B 另, 根据求根公式可得 : ± + 4 可以看出, 上述解中存在满足条件 ± + 4 > > 的根由 j j 进一步可得 + g( ) 变换步骤小结 : 根据给定的模拟带通滤波器指标, 由 B, 定出模拟低通滤波器截止频率求出模拟低通系统函数 HLP ( ), 由下述函数变换为模拟带通滤波器 : ( ) ( ) HBP HLP + g( ) 其他转换关系模拟低通模拟高通 : ( ) ( ) HHP HLP g( ) 模拟低通模拟带阻 : ( ) ( ) HBR HLP g( ) + 其中 B

3 模拟低通模拟低通 : ( ) ( ) H H LP LP g( ) 可以实现低通滤波器截止频率的更换当原低通截止频率, 而新低通时, 相当于去归一化操作例 8: 设计一个数字带通滤波器, 通带范围为.3π rad 到.4π rad, 通带内最大衰减为 3dB,.π rad 以下和.5π rad 以上为阻带, 阻带内最小衰减为 8dB 采用 Butterworth 模拟低通滤波器双线性变换法解 :) 确定数字带通滤波器的技术指标 : ω.π rad ω.3π rad δ 3dB ω.5π rad ω.4π rad δ 8dB ) 利用双线性变换法中的模数频率转换公式 : tg ω T ( 选 T) 可得对应模拟带通滤波器技术指标 : ω tg.65 rad / T ω tg T rad / ω tg.9 T rad / ω tg.453 T rad /.7 rad / B.434 rad/ 3) 再由模拟 LP-BP 频带变换公式 : f ( ) 可得模拟 LP 的阻带备选频率 :.78 以及.6 选取其中绝对值更小的, 所以 :.6 另外,.434 rad / 4) 利用巴特沃思模拟 LP 设计公式可得 :.δ.7.δ lg / lgλ.94 取 λ /.9 查表可得 Butterworth 归一化模拟原型 LP: Han() + + 5) 模拟 LP 去归一化 : 6) 模拟 LP-BP 频带变换 : H ( ) H ( ) + a a g( ) H( ) H ( ) a T + + Ha() H an 7) 最后利用双线性变换将模拟 BP 转换成数字 BP: 4.( + ) 五数字域频带变换技术模拟低通要求 : 冲激响应不变法或双线性变换数字低通平面 H L ( ) ) 平面单位圆平面单位圆数字域频带变换数字低通高通带通带阻平面 Hd ( ) H ( ) ( ) L G ) 保持因果稳定 : 平面单位圆内平面单位圆内 3 ) 系统函数 G ( ) 是的有理函数

4 ( ) ( ) H ( ) H d L G j 令 e θ, e jω 则 : e G( ) G( e ) G( e ) e jω 即 : Ge ( ) jω θ arg[ Ge ( )] jω jθ jω jω jarg[ G( e )] 可以证明上述函数可因式分解为如下形式 : * a 极点 : a, a < G( ) ± a 零点 : / a * 选择合适的, a, 即得各类变换阶数 : 数字低通数字高通设计要求 : 设计结果 : 时即可以找到满足上述指标的变换函数 : θ ω π θ π ω G( ) + α + α α + α 验证 : + α G( ) + α : jω jω e e ω : π ω ω π θ : θ π π θ : jθ jθ e e 参数估计 + α G( ) + α 可以看到在上述映射下, 频率轴发生了镜像翻转, 即 : θ ω j 代入 e θ, e 可得 e jω e α jω + αe jθ + θ + ω o 推得参数估计公式 : α θ ω o jω 其他数字域频带变换函数数字低通数字低通数字低通数字带通变换函数 : + d + d + + 即 G( ) d d 参数估计公式 : α d d + + ω + ω θ o ω ω 其中 : tg tg α ω ω o 变换函数 : α G( ) α 参数估计公式 : θ ω in α θ + ω in 其中 : α > 频率压缩 α < 频率扩张即

5 例 9: 设计一个数字带通滤波器, 通带范围为.4π rad 到.5π rad, 通带内最大衰减为 db,.π rad 以下和.7π rad 以上为阻带, 阻带内最小衰减为 5dB 采用切比雪夫模拟低通滤波器双线性变换及数字域频带变换法解 :) 确定数字带通滤波器的技术指标 : ω.π rad ω.4π rad δ db ω.7π rad ω.5π rad δ 5dB ) 利用双线性变换法中的模数频率转换公式 : tg ω T ( 选 T) 可得对应模拟带通滤波器技术指标 : ω tg.65 rad / T ω tg 3.95 rad / T ω tg.453 rad / T ω tg rad / T.7 rad / B.547 rad/ 3) 再由模拟 LP-BP 频带变换公式 : f ( ) 可得模拟 LP 的阻带备选频率 : 3.8 以及 3.85 选取其中绝对值更小的, 所以 : ) 利用切比雪夫模拟 LP 设计公式可得 :.δ h.δ ε ε.5.57 h 取. 查表可得切比雪夫归一化模拟原型 LP: Han () ) 利用双线性变换将模拟 LP 转换成数字 LP( 注意 : 跳过了去归一化操作 ) H( ) H ( ) an T ( + ) ) 数字域 LP-BP 频带变换 : 由于模拟归一化原型 LP 的截止频率, 根据双线性变换模 - 数频率转换公式 θ tg, 可得上述源 T 数字 LP 截止频率 : θ tan.95π 目标数字 BP 的通带截止频率则题目已直接给出 : ω ω.4π rad ω ω.5π rad 代入数字 LP-BP 的数字域频带变换公式 : + d + d G( ) d + d + 其中参数结算结果为 : ω + ω o θ ω ω tg tg 3.57 α.58 ω ω o α d.4 d 最后可得所求数字 BP 的系统函数 : H ( ) H ( ) G ( )

6 Summary: from idea to olution The Final Framewor 滤波器数字指标 -> 模拟指标归一化模拟原型 LP 基于幅度平方准则的模拟滤波器设计滤波器模拟 -> 数字技术数字域频带变换技术 X 通数字滤波器数字 LP Chebyhev 型 Butterworth 型模拟域频带变换技术 X 通模拟滤波器冲激响应不变法双线性变换法 X 通数字滤波器 ote:x 通滤波器 { 低通高通带通带阻多通带 } 六.IIR 数字滤波器的结构表示法 () 系统函数 H ( ) Y ( ) X ( ) () 差分方程 ( 阶 ) b a y( ay( n ) + bx( n ) 可见, 实现滤波器只需三种运算 : 加法单位延迟乘常数方框图法特点 : 直观其三种基本运算 : 单位延时 : 乘常数 : x( - a ay( x( n ) ( ) ( ) ( ) x n x n X y( 信号流图法相加 : x( y( n ) y ( n ) + x( 特点 : 简洁其三种基本运算 : 单位延时 : 乘常数 : a 相加 : 35 36

7 3 IIR 数字滤波器的基本结构 : 直接 Ⅰ 型直接 I 型根据 IIR 的差分方程可以直接画出 : y( ay( n ) + bx( n ) 直接 Ⅱ 型 ( 正准型 ) 级联型并联型 x( x( n ) x( n ) x( n +) x( n ) b b b b b a a a a y( n ) y( n ) y( y( n +) y( n ) 直接 I 型结构的特点 :. 第一个网络实现零点, 即实现 x( 加权延时 : bx( n ). 第二个网络实现极点, 即实现 y( 加权延时 : a y( n ) 3. 结构上是递归型的, 即存在着输出到输入的反馈 4. 共需 (+) 个存储延时单元 39 x(. 直接 II 型 ( 正准型 / 典范型 /Canonial ) a a a a x'( y( x' ( b b b b b y( a x'( n ) + x( b x'( n ) x( a a a a b b b b b y( 4 对以上两式进行变换 : X '( ) X '( ) a + X ( ) Y ( ) X '( ) b 由 (), X '( ) 由 (),(3), Y ( ) H ( ) X ( ) X ( ) a b a ⑴ ⑵ ⑶ 即为 IIR 滤波器标准形式, 验证了直 II 型结构的正确性直接 II 型结构的优缺点 : 优点 : 所需的延时单元数量少, 实现中只需个延时单元, 而直 I 型需 + 个 a b { } max, 缺点 : 系数, 对滤波器的性能控制作用不明显, 即不能直接与零极点相对应, 这点和直 I 型相同 4 4

8 3 级联型 ( 串联型 ) 先将系统函数按零极点进行因式分解 b ( ) ( ) A a ( ) H ( q ( d )( q ) )( d ) 其中, 为实零点, 为实极点 ;q,q * 表示复共轭零点,d,d * 表示复共轭极点, +, + 再将共轭因式相乘, 构成实系数二阶因子, 则得 ( ) (+ + β β ) H ( ) A ( ) ( α α ) 最后, 将两个一阶因子合并成二阶因子 ( 或将一阶因子看成是二阶因子的退化形式 ), 则有 + β + β H ( ) A A H ( ) α α ⑷ (4) 式中, 分子系数均取正号, 分母中系数均取负号, 是为了配成 IIR 系统函数的一般形式 : H ( ) Y ( ) X ( ) b 当 () 时,(4) 式可写成 : H + β + β ( ) A α α 从而可画出其直接 II 型结构图 : a x ( y( A α α β β ( 当 (6) 时 + β H( ) A α + β α + β. α + β α + β. α 系统函数的乘积可以表示为结构图的串联 : A α α β α α - β β α 3 α β α β 3 β x A y( β 级联型的特点 :. β, β 仅影响第对零点, 同样 α, α 仅影响第对极点 ( 但并非直接等于零极点 ), 便于调节滤波器的频率特性. 如果有奇数个实零点, 则有一个 β ; 同样, 如果有奇数个实极点, 则有一个 α 3. 通常当时, 共有 ( +) 级结构 4. 并联型将 H() 进一步展成部分分式形式 : H ( ) A B ( g + + * 其中, A, B, g,, G 均为实数, d * 与 d 复共轭 ; ( d )( d ) 当 < 时, 不包含 G ) G 项 ; 时, 该项为 G 47 48

9 当时, 将两个一阶实极点合为一项, 将共轭极点合并为实系数二阶多项式, 则 H() 可表示为 : γ + γ H ( ) G + G + H ( ) ( + )/ ( + )/ α α 例 :3 时,H() 可分解为如下形式 : γ γ + γ H( ) G + + α α α H( ) + H ( ) + H 3( ) 因系统函数的求和表示结构图的并联, 故 H() 结构图如下 : G x ( y( γ 当为奇数时, 包含一个一阶节, 即 α γ α α γγ γ α 49 5 并联型的特点 : 通过调整系数 α, α可单独调整一对极点位置, 但不能单独调整零点位置 ; 各并联基本节的误差互不影响, 不会像串联型那样被逐级放大, 故整体运算误差最小 ; 可对输入信号进行并行运算, 故运算速度最高例 : 设 IIR 数字滤波器差分方程为 : yn ( ) 8 xn ( ) 4 xn ( ) + xn ( ) xn ( 3) yn ( ) yn ( ) + yn ( 3) 试用四种基本结构实现此滤波器解 : 对差分方程两边取变换, 得系统函数 : H( ) H( ) 得直接 Ⅰ 型结构 : 3 3 H ( ) 注意 : 上正下负 Y ( ) X ( ) 正准型结构 : b a 将 H() 因式分解 : ( ) (.379 )( ) H ( )( ) + β + β 对照标准形式 H () A 绘出其级联型结构 : α α 53 54

10 再将 H() 部分分式分解 : 8 6+ H( ) 绘出其并联型结构 : 本章作业郑南宁程洪编, 数字信号处理清华大学出版社,7 P8~P9,3. 题,3.9 题程佩青编, 数字信号处理教程 ( 第二版 ) 清华大学出版社, P33, 第 4 题 55

数字信号处理第五章06 IIR数字滤波器-频率变换2.ppt [兼容模式]

数字信号处理第五章06 IIR数字滤波器-频率变换2.ppt [兼容模式] 数字信号处理周治国 05. 第五章数字滤波器 IIR 数字滤波器的频率变换数字带通带阻高通滤波器的设计把一个归一化原型模拟低通滤波器变换成另一个所需类型的模拟滤波器, 再将其数字化直接从模拟滤波器通过一定的频率变换关系完成所需类型数字滤波器的设计先设计低通型的数字滤波器, 再用数字频率变化方法将其转换成所需类型数字滤波器模拟原型模拟 - 模拟频带变换模拟带通带阻高通数字化数字带通带阻高通