8 圓錐曲線 04 8 定義操作 9 方程式 (x + 4) + + (x 4) + = 0 的實根 x 為 答 ± 0 (00 成德高中 98 曉明女中 ) 解 該方程式可看成橢圓 x 5 + y 9 = 和直線 y = 相交, x = ± 0 9 試解方程式 x + 6x + + x x + 4 = 8, 則 x = (99 萬芳高中代理 ) 答 x = ± 9 以 x + 4y = 的焦點為焦點, 且過直線 L x y + 9 的一點 M 作一橢圓欲使橢圓 的長軸最短, 則橢圓的方程式為 (00 北一女中 ) 答 x 45 + y 6 = 94 設 F, F x 是橢圓 Γ a + y b = (a > b > 0) 之焦點, P 為橢圓 Γ 上任一點, 過 P 之切 線 L, 自 F 作 L 之垂線得垂足 H, 求 H 的軌跡方程式 (00 北港高中 ) 答 x + y = a 95 P 為橢圓 x 5 + y 6 = 上一點 ( 不為端點 ), 一魔力光點自 P 向橢圓一焦點 F 射出, 在到達 P F 中點 M 時, 會朝橢圓中心 O 折射而去, 求此魔力光點自 P 經 M 到達 O 之 最短路徑長 (98 彰化女中 ) 答 5 96 求與兩圓 C x + y =, C x + (y 0) = 9 均內切或外切的動圓圓心軌跡方程 式 答 (y 5) x 4 = (99 苗栗高中 ) x 97 若 P 為雙曲線 9 y 4 = 上非頂點之一點,F F 為此雙曲線之兩焦點, 求 P F F 之內心的 x 坐標? (00 鳳新高中代理 ) 答 48
解 如圖所示 : H i 為切點因此 F H = F H, F H = F H, P H = P H 6 = a = P F P F = (P H + F H ) (P H + F H ) = F H F H 所以 H 在雙曲線上, 即為頂點又 CH x 軸, 所以 C 和 H 之 x 坐標相 同, 即 98 已知雙曲線 C x 9 y 4 =, 其兩焦點為 F, F 設 P (x 0, y 0 ) 為 C 上異於頂點的任意點, 且設 P F F 的內切圓與 x 軸切於點 M (98 台北縣聯招 ) () 求 M 與兩焦點的距離各是多少 () 當 x 時, 內切圓圓心的 y 坐標之極限值為何? 答 ± x 99 雙曲線 Γ a y b = 的焦點 F, F, 設 P 為 Γ 上的動點, 試問 P F F 內心的軌跡為何? 並證明之 (99 台中二中 ) 答 {(x, y) x = ±a, y < b, y 0} 90 設圓 C x +y =4 及直線 x 6=0, 有一動圓與圓 C 及直線均相切, 則此圓圓心軌 跡方程式為 (99 松山家商 招 ) 答 y = 6(x 4), y = 8(x ) 8 光學性質 9 一橢圓兩焦點為 F (, 5), F ( 0, 9), 且與 y = x 相切, 求橢圓的長軸長 答 4 (99 萬芳高中 ) 49
解 F 對直線 y = x 作對稱, 得 F = (5, ) 而 F F = 5 + = 4, 即為所 求 評 這是光學性質, 在圓錐曲線的題型, 往往可以解得很漂亮 9 平面上有一橢圓, 已知其焦點為 ( 5, 0) 和 ( 5, 0), 且 x + y = 5 為此橢圓的切 線, 求此橢圓方程式 (00 文華高中代理 ) 答 x + y = x 另解 由兩焦點可設橢圓方程式 a + y a 0 = 考慮 P (x, y) 在橢圓上, x + y 的最大值 5 必發生在 x + y = 5 恰為切線之時 而由以柯西不等式可得 ( x y a 0 ) (a + 4(a 0)) (x + y) 可得 x + y 有 最大值 5a 80 = 5 a x =, 所以橢圓為 + y = a + 評 原解是正當的方法, 但在計算上, 碰到根號, 反而不如另解之漂亮 9 有一個雙曲線, 已知二焦點為 (0, 5) 與 (0, 5), 且與直線 y = x +, 切於第一象限的 P 點, 則 P 點的坐標為? (00 玉井工商 ) 答 (, ) 94 若某橢圓的兩焦點為 (0, 0) (0, 4), 且此橢圓與直線 x + y + = 0 相切, 則此橢圓的 長軸長為 (99 全國聯招 ) 答 6 95 若坐標平面上有一橢圓與 x 軸相切, 且其焦點為 (, ) 與 (6, ), 則此橢圓的短軸長為 答 (99 中興高中 ) 96 有一橢圓長軸在直線 x y + = 0 上, 其一焦點坐標為 (, ), 若此橢圓與 x 軸切於點 B(, 0), 試求此橢圓另一焦點的坐標為 (97 台南女中 ) 答 (5, 6) 97 已知平面上一橢圓 Γ 之兩焦點為 F (, ),F (, ) 若直線 L 8x 6y + 45 = 0 與 橢圓 Γ 相切於 P 點, 試求此橢圓之正焦弦長及 P 點坐標 (97 潮州高中 ) 答 正焦弦長 5, P (, 7 ) 98 已知拋物線 Γ 與直線 y + = 0 相切, 且 Γ 的對稱軸方程式為 x + y =, 準線方程式 為 x = y + 5, 則 Γ 的方程式為 (00 成淵高中 ) 50
答 4x + 4xy + y 0y 5 = 0 99 雙曲線與直線 x + y = 8 相切, 且二焦點為 (0, 0) 與 (0, 4), 求雙曲線的正焦弦長 答 8 5 (97 台中一中 ) 90 已知點 P 為橢圓 x 8 + y 64 = 上的點, A(6, 0), B(, 4), 求 P A + P B 的最小值為? 答 (00 玉井工商 ) 解 令 F ( 6, 0) 為橢圓另一焦點 三角不等式可得 P A + P B + BF P A + P F = a P A + P B a F B, 所以最小值 = 6 5 = 評 光走最短距離, 利用橢圓光學性質可得最小值為 a F B 9 坐標平面上, 已知點 A(4, 0) 和 B(, ),P 是橢圓 x 6 + y 0 = 上的動點, 則 P A+P B 的最小值為 (00 彰化女中 ) 答 58 9 Γ x 6 + y 7 =, F (, 0), A(, ),P 在 Γ 上, 設 P A + P F 最大值 M, 最小值 m, 則 (M, m) = (99 建中市內 ) 答 (9, 7) 9 雙曲線 :xy =, 有一光線 P ( 0, ) 從出發, 射到雙曲線上一點 A(, ), 反射後的 光線會碰到雙曲線上另一點 A, 依此類推, 試求 lim A A + = (97 台南女中 ) 答 4 8 旋轉 94 曲線 Γ x + 6xy + 7y = 0 上一點 P (h, k), 則 h + k 最小值為 答 5 (00 文華高中 ) 解 利用旋轉不變量 F, A + C = 0 A C = 4 + 6 = 解得 A = 5 +, B = 5 因此最小值為 5+ = 5 評 亦可用特徵值計算旋轉後的 A, C 5
95 設 x, y 為實數 且滿足 x + xy + y = 6 若 x + y 的最大值為 M 最小值為 m 試 (00全國聯招) 求 M + m 答 6 96 設 x, y R 且 5x 6xy + 5y = 若 x + y 的最大值為 M 最小值為 m 則 (00南港高工) M +m= RRR R 5 λ 解 旋轉 計算特徵值 RRRR RR 答 0 x 4 + y 6 RR RRR RRR R = 0 λ = 8 或 新方程式 8x + y = 5 λ RRRR R = M + m = 6 + 4 = 0 97 若 5x 4xy + y 6 = 0 且 x + y 之最大值 M 最小值 m 求 M + m 答 6 (97大安高工) 98 x, y 為實數 已知 x xy+y = 則 x +y 的最大值 a 最小值 b 得 a+b = 答 (97台南女中) 5 4 99 設二元二次方程式 x + xy + y = 6, P (a, b) 為 Γ 上的一點 試求 () Γ 的焦點坐標為 (97中和高中) () a b 的最大值為 答 () ±(, ) () 4 940 設 x, y 均為實數 考慮方程式 5x 6xy + 5y 4x 4y = 0 的圖形 若 A 為其短軸上 ÐÐ ÐÐ 的一個頂點 F, F 為其兩焦點 試求之值 AF AF (97台中女中) 答 94 平面上有兩個橢圓 其中一個橢圓為 Γ x + y = 另一個橢圓 Γ 為 Γ 繞原點 逆時針 旋轉 60 已知這兩個橢圓相交於四個點 逆時鐘順序依次連成一個四邊形 請 問該四邊 形的面積 答 (00文華高中) 8 5 a b 表示的線性變換 當橢圓 4x + 8y = 經 f 94 設 a, b, c 為正數 f 由矩陣 a c 變換後之圖形是以原點為圓心 為半徑的圓 則 (a, b, c) = 5
答 (, 6, ) (0內湖高工招) 94 設實係數二元二次方程式為 ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0 (b 0) 將坐標軸以原點 O 為中心 旋轉一銳角 θ 可得新方程式為 Ax + Cy + Dx + Ey + F = 0 (沒有 x y 項) 其中 A C = ± (a c) + b 而正負符號則依 b 的正負而定試說明為何正負 符號是依 b 的正負而定 (97陽明高中) x cos θ si θ x 則 0 = B = a ( si θ cos θ)+b (cos θ si θ)+ 證 令 = y si θ cos θ y c( si θ cos θ) = b cos θ + (c a) si θ cot θ = a c b 又 θ 為銳角 si θ = b 同理可計算 A C = (a c) cos θ (a c) +b b b b (a c) + ) = ( (a c) + b b b (a c) +b 84 + b si θ = b si θ ( a c b cot θ + ) = 圓錐截痕 944 右圖為一直圓錐 ABC 為正三角形 底圓 的圓心為 O 且 AO BC今一過 O 點的平 面與直圓錐之截痕為拋物線 此拋物線的頂點 為 S 此拋物線的焦點為 R 試找出 R 點的 位置 並證明之 解 以 OA 為軸 旋轉截平面 拋物線之形狀不變故可假 答 R 在 OS 上 且 OR RS = (00中正高中) 設該平面與 AB 平行 且 S 在 AC 上 如上 即在平 面和圓錐中做一切球 平面與球相切之點即為焦點 若只觀察 ABC 所在之平面 即為右圖可依相似形計 算得 R 在 SO 上 且 SR RO = 而其準線位在內切線與圓錐所在之平面和截面所相交的 直線上 其證明概要為 點到球的切線段長相等 所以截痕上任一點對球做兩切線 一者為 Ð 與焦點連線 另一者與 A 連線透過旋轉可使與 A 連線變成 BA 方向 再平移 回到截痕上的點 原切點的位置變移到了先前宣稱的準線上而由先前所宣稱的準 Ð 直 其必與 BA 方向垂直 故得證 評 圓錐截線就是放入那顆內切球就對了 5
945 如圖, 直圓錐頂點為 A, BC 為底面的直徑,O 為圓心,AD = CD, AB = AC = BC = 4, 若 AC 的垂直平分面過 D 點截圓錐得一截痕, 則此截痕圖形正焦弦長為 (0 中正高中 招 ) 答 4 946 在底圓半徑為 6 的圓柱內, 有兩個半徑也為 6 的球面, 其球心距為 若作一平面 E 與這兩個球面相切, 且兩球面的球心在平面 E 的異側則 : (00 桃園高中 ) () 求證平面 E 與圓柱的截痕為橢圓 () 求這個橢圓的長軸長 947 在底面半徑為 6 的圓柱內, 有兩個半徑也為 6 的球面, 其球心距為 今有一平面與這兩球面相切, 且與圓柱面相交成一橢圓, 則這個橢圓的長軸與短軸長之和為 (99 中正高中 ) 答 5 948 x + y = 4, 求兩焦點座標 (97 大里高中 ) x + y + z = 0 答 ±(,, 4 ) 949 空間坐標中, 光源自點 P (, 0, 4) 發出, 球 S x + y + (z ) = 在 xy 平面上的 影子形成一個橢圓, 則此橢圓的短軸長為 (00 麗山高中 招 ) 答 解 右圖為 xz 平面之剖面圖 令 A 為球 S 之球心, 則 P A = + = 0 P 至球的切線段長 = 0 = ta BP A = ta BP C = 9 4 4 = a = = 4 BC = 注意球 S 與 xy 平面切線處, 即焦點, 因此 a c = c = b = b = 950 設有一球心為原點 O, 半徑為 的球面 S, 一光源於 P (, 0, ) 照射球面 S, 投射在 平面 E x + = 0 上所成的區域為 A, 若點 Q(, u, v) 落在區域 A 內, 試求 u 和 v 的關係式 (99 育成高中 ) 54
答 u 6 + (v+ 5 ) 64 9 95 設兩曲面 f(x, y, z) = x + y = 0 及 g(x, y, z) = x + z 4, 則此兩曲面之交集為 E, 則 E 的形狀為, 而在 E 上點 P (,, ) 的切線為 答 橢圓 x = y = z (00 內湖高工 ) 85 線性變換 95 先在橢圓蛋糕 0cm 的長軸與 0cm 的短軸上各切一刀, 若欲將蛋糕八等份, 且每一刀 均切過橢圓中心, 則下一刀與長軸所夾銳角為多少? (00 香山高中 ) 答 θ = ta 解 壓扁成圓, 切 45 角, 再拉成橢圓 評 線性變換, 保面積比 95 在坐標平面上, 已知直線 y = mx 將區域 {(x, y) x 9 + y 4, x 0, y 0} 的面積二等分, 則 m = (00 師大附中 ) 答 m = 954 已知 A B C 為橢圓 Γ x + y = 56 上相異三點, 若 A 點之坐標為 (, ) 且 ABC 有最大面積, 則 BC 邊之長為 (99 建國高中 ) 答 6 5 955 設橢圓 Γ x 4 + y 9 = 上兩點 P Q 其中點為 (, ), 求 P Q 直線方程式 答 9x + 4y = (00 松山家商 招 ) 解 平行弦中點為過中心之線段, 該組平行弦中點軌跡為 (t, t) x 令弦的端點坐標為 (t, t) 代入 4 + y 9 =, 解得 t = ± 6 端點切線為 4 6 x + 9 6 y = ± 所求弦與該切線平行, 又通過 (, ), 可得弦所在直線方程式為 9x + 4y = x 解 令兩端點作標 (x, y ), (x, y ), 則 4 x 4 + y 9 + y 9 = 0 和 x +x =, y +y = x x 4 + y y 9 = 0 y y x x = 9 4 y = 9 4 x + 4 (x ) 解 將橢圓對 (, ) 做對稱可得另一橢圓 4 + (y ) 9 = 而該弦兩端點在兩橢圓相交上故將兩方程式相減即可得所求直線 解 4 利用線性變換, 將橢圓映射至圓, 弦中點仍是弦中點 而新弦將於圓心到中點的線段垂直, 可得新弦斜率或方程式 再用線性變換, 將圓還原成橢圓, 同時也得到原本弦的斜率或方程式 55
類題 類似技巧在圓亦可使用, 見 00 彰化藝術暨田中高中 956 兩端點在一橢圓上的線段, 稱為該橢圓的弦在橢圓 5x + 4y = 00 的諸弦中, 以點 (, 4) 為中點的方程式為何? (99 桃園縣高中現職聯招 ) 答 5x 6y = 89 957 已知橢圓 x 6 + y 9 = 有一弦以 (, ) 為中點, 則含此弦的直線方程式為 答 x + y = 4 (98 玉井工商 ) 958 給定一橢圓 Γ x 6 + y = 及內部一點 M(, ), 試求 : (00 松山工農 ) () 以 M 點為中點之弦 AB 斜率 () 直線 AB 的方程式及弦 AB 的長度 答 () () x + y = 8, 78 959 橢圓之中心為 O, 長軸頂點為 A B, 若 P 為橢圓上一點, 過 P 點作一切線 L, 過 A 點作一切線 M, 且直線 L 和直線 M 交於 Q 點, 試證明 :BP //OQ (97 台中二中 ) 證 做線性變化把橢圓變成圓, 再利用圓周角等圓心角之一半, 得同位角, 證畢 86 其它 960 求橢圓 (x ) 9 + (y+) 6 = 上諸點在直線 x y + 0 = 0 上的正射影長 (99 萬芳高中 ) 答 5 96 設橢圓 Γ x a + y b =, 則外切矩形面積 A 之範圍為何? (00 松山家商 ) 答 [4ab, (a + b )]解 切線 :y = mx ± a m + b, y = x m ± a m + b, 長 寬為 a m +b m + 和 a +b m m + (a m + b )(b m + a ) (m ab + ab), 所以 A 4(m ab+ab) m + = 4ab, 注意上式柯西之等號必不成立, 但當 m 0 或 m 時 A 4ab (a m +b )+(a +b m ) (a m + b ) (a + b m ), 所以 A 4 (a m +b )+(a +b m ) m + = (a + b ) 96 試求與橢圓 x 6 + y 6 = 相切且互相垂直的兩切線的交點軌跡方程式 (97 大安高工 ) 答 x + y = a + b 56
96 試求與橢圓 x 0 + y5 = 相切且互相垂直的兩切線的交點軌跡方程式 (97彰化藝術) 964 a > b > 0 試證 雙曲線 b x a y = a b 互相垂直二切線的交點必在圓 x +y = a b 上 (98新港藝術) x 6 965 給定雙曲線Γ y 0 = 與直線 L x + 4y = k 若在直線 L 上存在唯一的點 P 使過點 P 對雙曲線可作二條互相垂直之切線 則點 P 座標 = (99台中一中) 6 答 ±( 5, 5 ) 966 直線 y = mx 與雙曲線 6x 9y = 44 恰交於一點 則 m = (97台南二中) 答 m = 或 ± 4 967 設橢圓 x 9 + y 6 = 與雙曲線 x A + y B = 有公共焦點當以它們的 交點 為頂點的四 邊形面積為最大時 則數對 (A, B) = (00苑裡高中) 答 ( 7, 7 ) 968 設 P (x, y) 為雙曲線 9x 6y = 44 上一點 且點 P 為第一象限內 則 lim x x x y 值為何 題目有誤 應修正成 lim x x x 4y 較為合理 (99家齊女中) 答 6 969 設 拋 物 線 y = px 的 焦 點 F 若 焦 弦 AB 滿 足 AF = m, FB = 試證 m + = (99清水高中) p 證 若 AB 平行 y 軸 則 m = = p m + = p 若 AB 不平行 y 軸 不失一般性假股 m > 如右圖 BH 和準線 DG 平行有 BCF BHA CF = (m ) m+ p = EF = + m + = m m+ = m m+ p 970 設 橢 圓 曲 線 Γ x 6 + y 9 = 與 直 線 L x = 若 A0, F 的 坐 標 分 別 為 (6, 0), (, 0), 在曲線 上另有 個點 Ak, k =,,, 使得 A0 F A = A F A = = A F A0 令 dk 為 Ak 到 L 的距離 試求 k=0 57 dk (00中壢高中招)
解 注 意 L 為 Γ 之 右 準 線 有 d(p, F ) = 答 4 ed(p, L) 其 中 e = c a 如 右 圖 BC 為 一 焦 弦 D, E, G 在 L 上 且 為 B, F, C 到 L 之垂足可計算得 F E = BF CG+F C BD BF +F C FE = BD CG BD+CG 由此性質 所求 dk = BD FE = 9 + CG = = 4 評 用到離心率時 很漂亮 但不常考 97 有一撞球臺如右圖所示(原圖只有 ABP QRS, Γ) 曲線 (00麗山高中招) 部分 Γ 是一個拋物線 若 AB 與 Γ 的軸垂直 AB = 0 今小明自 P 處將球平行 Γ 之軸撞向Q 經反彈到 R 最後再反彈到 S 若 AP =, BS = 8 則拋物線 Γ 的焦距為 答 97 考慮雙曲線 y x = 圖形的上半部(如右圖) 取此雙 (0中科實中 98慈濟聯招) 曲線上 x 坐標為 的點 此點與漸近線 y x 的距離記 為 d 其中 為正整數則 lim ( d ) = 答 4 97 一橢圓之中心在原點 長軸在 x 軸上 若此橢圓內切於梯形 ABCD AD//x 軸且 AD = AB = CD = 5, BC = 則橢圓之正焦弦長為何 (99大安高工招) 974 已知拋物線 (x+) = py (p > 0) 的焦點 F A 是拋物線上縱坐標為 4 且在 y 軸左方的 點 A 到拋物線準線的距離等於 5 過 A 作 x 軸的垂線 交 x 軸於 B 點 O 為原點 令 M 為 OB 中點 過 M 作 AF 的垂線交 AF 於 N 則 N 點坐標為 58
答 ( 7 5, 4 5 ) (99 中正高中 ) (x+) 00 + (y ) (x+) 975 試求以橢圓 75 = 的右焦點為圓心, 且與雙曲線 9 (y ) 6 = 之兩條漸近線都相切的圓的方程式 (97 台中高工 ) 答 (x 4) + (y ) = 6 976 給定一條橢圓曲線, 如何利用尺規作圖的方法找出它們的焦點? (97 彰化藝術 ) 解 平行弦中點過中心, 找兩組, 可得中心 以中心, 為圓心, 適當長為半徑, 畫圓, 交橢圓於四點, 四點為一矩形 矩形之邊長之中垂線即為兩軸所在之直線直線與橢圓交點即為頂點 以短軸上的頂點為圓心, 半長軸長為半徑畫圓, 交長軸於兩點, 即為兩焦點 977 平面上有一橢圓, 已知其焦點為 (0, 0) 和 (4, 4), 且 y = x + 為此橢圓的切線 () 設此橢圓方程式為 Ax +Bxy +Cy +Dx+Ey =, 求 A B C D E 之值 () 經過適當的平移及旋轉之後得方程式為 Mx + Ny =, 求數對 (M, N) = () 過 (, 0) 作此圖形之切線, 求此切線方程式 (97 彰化藝術 ) 答 () (A, B, C, D, E) = (5, 8, 5, 4, 4) ()(M, N) = (9, ) 或 (, 9) () x y = 9 矩陣 行列式 04 0 a b c 978 設 A =, B = d e f, 若 ABA = I, 其中 I 為三階單位矩陣, 0 g h i 則 b + d + i = (99 嘉義高工 ) 答 0 0 979 已知矩陣 A = 0,B = 0 且 C 為三階方陣, 滿足 ACA + BCB = 0 0 0 0 ACB + BCA + I, 其中 I = 0 0, 求 C (00 師大附中 ) 0 0 5 答 0 0 0 59
980 矩陣 A = 答 6 0, 若 A + aa + ba + ci = O, 求 a + b + c (99 彰化藝術 ) 解 Cayley-Hamilto 定理 : 特徵多項式必為零多項式 x p A (x) = x = (x x 4x + ) x 若其無重根, 則為最小多項式, 可以微分和輾轉相除法檢驗之, 得無重根 (a, b, c) = (, 4, ) 所求 a + b + c = 6 0 0 98 設矩陣 A =, 矩陣 I = 0 0, 若 (A + I) 4 = xa + I, 其中 x, y 為兩定 0 0 實數, 則 x + y = (98 嘉義高工 ) 答 解 A = 9A A 的最小零多項式 t 9t 令 f(t) = (t + ) 4, 則 f(0) =, f(9) = 0 4 f(t) 除以 t 9t 的餘式為 0 4 9 t + x =, y = x + y = 98 設 A = a c 且乘法反元素 A 存在, 若 A A = I ( I 為二階單位矩陣 ), 則 b d A 6 =xa + yi, 其中 x, y R, 試問數對 (x, y) = (99 中壢高中 招 ) 答 (8, 5) 98 設矩陣 A =, 試利用矩陣的對角化方法求 A, 其中 為自然數 答 4 + ( ) ( ) 4 + ( ) 5 ( ) 4 + ( ) 4 + ( ) (99 明倫高中 ) 984 設 A = 4, N, 求 A (00 北港高中 ) 答 + + + + 985 若 A = 0, 求 A50 (99 清水高中 ) 60
答 986 A = 5 + 5 0 8 0 50 50 + 答 (I A) =, 求 I + A + A + A + + A + (98 彰化女中 ) 6 5 8 5 5 6 5 987 a, b, c, x, y, z R, 且 a + b + c = 6, x + y + z = 5, 則 a b c 之絕對值的最 x y z 大值為 (00 台南二中 99 關西高中 ) 答 60 解 三邊垂直時, 平行六面體有最大體積 4 5 + 4 + 4 = 60 988 設 a, b, c, d, e, f 為實數, 且 a + b + c = 9, d + e + f = 4, 則 a b c 的最大 d e f 值為 (00 北港高中 ) 答 4 989 設 a, b, c, d, e 均為實數且 a + b + c = 6, d + e + f = 6, 則行列式 a b c d e f 的最 大值為 (00 彰化藝術暨田中高中 ) 答 4 990 a, b, c, d, e, f R, 已知 a + b + c + d + e + f = 50, 求 a b c d e f 的最大值 答 75 (99 文華 招代理 ) 99 若 a + b =, c + d =, ac + bd =, a 則 c b d 之值為 (99 中正預校 ) 答 ± 另解 丟番圖恆等式 :(ac + bd) + (ad bc) = (a + b )(c + d ) ad bc = ± 6
99 a, b, c 為 x x + x = 0 之三根, 則行列式 答 0 a + b + c c b c a + b + c a b a a + b + c (00 嘉義縣聯招 ) 99 設 a, b, c 為方程式 x +4x +6x = 0 的三個根, 求行列式 a b c a a b b a c b c c c a b 的值為 (99 桃園農工 ) 答 8 = 0 微積分 04 0 極限 994 若數列 a =, a =, a + = a + a +, N, 求 lim a + a (00 文華高中代理 ) 答 + 5 995 設數列 a 滿足 a > 0, 且 a + = a + 0 a, 假設此數列收斂到某一實數, 求此實 數 (00 香山高中 ) 996 若 lim x x 5 +ax+b (x ) 的極限存在, 則 a + b = (00 永春高中代理 ) 答 4 解 令 f(x) = x 5 + ax + b, 則 f() = f () = 0, 解得 (a, b) = ( 5, 4) a + b = 4 x 另解 x = (x ) +, 由二項式定理得 5 +ax+b (x ) ) + 0(x ) + 0 = (a+5)(x )+(b+a+) (x ) + (x ) + 5(x 類題 99 彰化藝術 4 997 設 a > 0 且 k 為實數, 若 lim +a +k 5 + = 5, 則 a + k = (99 嘉義高工 ) 答 8 6
0 有理式極限 a 998 lim x+ b x x =, 則 (a, b) = (00 基隆女中代理 ) 答 (4, 8) ax (6b+) 999 已知 lim x 4 x = 0, 則 (a, b) = (97 台中高工 ) 答 (5, ) 000 lim x ( 4x + 5x + + x) = (99 中壢家商 ) 答 5 4 另解 若 t,c 為常數, 則 t + c = t + c t = t ( + c t + o( t )) = t + O( t ) 4x + 5x + = (x + 5 4 ) 9 8, 故所求 = x 5 4 + x = 5 4 00 若 lim (5 a b + c) =, 則數對 (a, b) = (99 清水高中 ) 答 (5, 0) 00 設 k 為定數, 若 lim x +a x+b x (x ) = k, 求實數 a + b + k 之值 = (99 中興高中 ) 答 5 4 00 設 a 0 =, a = ( +a ), =,,,,, 則 lim 4 ( a ) 之值為 答 π 8 提示 a 0 = cos π (99 師大附中 ) 0 微分 004 設 f(x) = (x )(x 4)(x 6)(x 8)(x 0) (x )(x )(x 5)(x 7)(x 9), 則 f (6) = (00 新竹高工 ) 答 64 45 解 注意 f(6) = 0, f f(x) (6) = lim x 6 x 6 = 4 ( ) ( 4) 5 ( ) ( ) = 64 45 評 考微分不考定義, 難道要考大家都會的微分乘法規則嗎? 005 設 f(x) = (x )(x )(x )(x 4) 4, 求導函數 f () = (99 中興高中 ) 答 006 f(x) = 00x cos x (x+)(x+)(x+) (x+00), 求 f (0) (99 清水高中 ) 6
答 99! 007 若 f(x) = 4x+9 e x (x +) x x+8, 則 f (0) = (98 內湖高工 ) 答 si 008 試求 lim x π +cos x (00 全國聯招 ) 答 9 009 求 lim x x ( x00 x 00) (99 彰化藝術 ) 答 C 00 = 09045 解 通分後, 使用 L'Hospital rule 兩次 另解 令 x = + t, 以二項式定理展開之得 lim t t ( 00t C00 t + t 00) = C 00 = 09045 00 設多項式函數 f(x) 之導函數為 f (x), 已知 f() = 5,f () =, 求 lim x x f() f(x ) x 答 (00 基隆女中代理 ) 04 夾擠定理 0 a = k(k + ), a 則 lim k= = (98 玉井工商 ) 答 0 試求 lim ( k(k + )) = (97 中和高中 ) 答 0 已知數列 a 中, 若 a = + + + + + + + +, 則 lim a = 答 (98 嘉義高工 ) 04 設 a = 008 k, 求 lim a 之值 (97 松山家商 ) k=97 答 008 64
05 微積分基本定理 均值定理 x 4 05 lim x 4 答 6 t+ t dt x 4 (00 文華高中代理 ) 解 該極限即微分, 由微積分基本定理得所求 = 4+ 4 = 6 06 若 f(x) = 答 0 x t +t +t 4 dt, 試求 f () (00 文華高中代理 ) x x 07 lim +t dt x 0 x = (99 家齊女中 ) 答 解 由中間值定理, 得上式 x x 間 故所求 x x +t dt x + t dt = (x x ) + ξ, 其中 ξ 在 x 和 x 之 08 求值 lim x 0 e x e si x x si x = (99 明倫高中 ) 答 e 解 由 Mea-Value Theorem 得 x e si x x si x e 故得 lim x e si x x 0 x si x = e0 = (x si x)eξ = x si x = e ξ, 其中 ξ 在 x 和 si x 之間 06 函數方程 09 設 f, g 為可微分函數, 且 f(x + y) = f(x) + g(y), x, y R 試問: 若 f(0) =, f (0) =, 求 g(5) (00 中壢高中 ) 答 0 解 對 x 偏微得 f (x + y) = f (x), x, y R f (x) f(x) = + x f(0 + 0) = f(0) + g(5) g(5) = 0 00 同上, 求 g(0) (00 鳳山高中 ) 答 40 0 f(x + y) = f(x) + g(y),f(0) = 4, f (0) =, 求 g(0) (00 南科實中 ) 答 0 65
0 設 f(x) 表一實係數多項式, 若 f(x) = 5x 4 x [ 0 f(x)dx] + 6x 5, 求 f(x) = (00 北港高中 ) 答 5x 4 + x + 6x 5 0 設 f(x) = x + + 0 g(x)dx,g(x) = x + 0 f(x)dx, 試求 g(x) 除以 (4x ) 之餘式 (00 全國聯招 ) 答 04 假設存在一個函數對於所有的實數 x 與 y, 都滿足 f(x + y) = f(x) + f(y) + x y + y x f(x), 且已知 lim x 0 x, 則 f (x) = (00 桃園新進聯招 ) 答 + x 05 設有一函數 f(x) 滿足 x f(t)dt = x x + ax + b, 自點 P (, ) 作曲線 y = f(x) 的二切線互相垂直, 求 a b 值 (00 鳳山高中 ) 答 (a, b) = ( 9 4, 9 ) 06 若 f(x) 是可微分的實函數, 滿足 (x 4 )f(x) (f(x)) = 0x 5 75x 4 +5x x +5x 對任意實數 x 均成立, 則導數 f () 之值為 (99 桃園縣高中現職聯招 ) 答 5 6 07 函數圖形 07 已知方程式 x (k + )x + 6kx k = 0 有三相異實根, 求實數 k 的範圍 答 k > k < 0 (00 嘉義高中 ) 解 令 f(x) = x (k + )x + 6kx k = 0, 則 f (x) = 0 有兩根, k f()f(k) < 0 k(k ) (k ) > 0 k > k < 0 08 x 6x 5x k = 0 有三個相異實根, 則 k 之範圍為 (97 台中高工 ) 答 00 < k < 8 09 若 f(x) = x x 9x + k,k R, 且 f(x) = 0 有相異 負根及 正根, 則 k 的範 圍為 (00 南港高工 ) 答 5 < k < 0 00 x x + k = 0 有二相異負根及一正根, 求實數 k 範圍為 66
答 7 < k < 0 (99 中興高中 ) 0 若兩曲線 y = x x + a 與 y = x x 0x + 4 交於相異三點, 求實數 a 的範圍 答 < a < 9 (99 高雄市聯招 ) 0 若直線 y = x + a 與曲線 y = x + 有三相異交點, 則 a 的範圍為 答 0 < a < 4 (00 成淵高中 ) 另解 以圖形觀之,y = x + 有兩斜率為 之切線若直線在此二切線之間則為三相 異交點 d dx (x + ) = x = ±, y = (±) + = or 兩切線 y = x, y = x + 4 0 < a < 4 類題 當三次方程式, 缺 次項, 或 次項時, 可以判別式處理之, 見 00 南湖高中代 理 0 Γ y = x, 已知 A(a, ) 可對 Γ 作三條法線, 求 a 的範圍 (00 豐原高中 ) 答 4 < a < 4 04 三次函數 f(x) = x x 之圖形為曲線 Γ, 由點 A(, ) 作曲線 Γ 的切線 解 令切線為 (t, f(t)), 則切線可表示為 y t + t = (t )(x t) (99 桃園高中 ) 將 a 代入, 解得 t = or ± 故有三條切線 05 設過原點 (0, 0) 有三條相異直線與 f(x) = x + kx + 相切, 則實數 k 值的範圍為 答 k > (00 楊梅高中 99 台中二中 ) 評 從圖形看就是原點必須落在過反曲點之切線和函數圖形之間 ( 縱向 ) 06 三次曲線 y = x + ax + x +, 若由原點可作三條相異之切線, 試求實數 a 的範圍 答 a > (0 中科實中 ) 07 a R, 過 P (a, ) 作 y = f(x) = x x + 的切線, 若所作的切線恰有一條, 求 a 的 範圍 答 < a < 評 (, ) 和 (, ) 分別為 y = 和過反曲點之切線與 y = f(x) 之交點 (97 大里高中 ) 67
小結 以上數題, 平面上一點, 對三式多項式之圖形作切線之數量如圖, 其中 R 為反曲 點,L 為過反曲點之切線, 若點在 y = f(x) 或 L 且不為 R, 則為兩切線而 R 點僅 一切線, 其餘區域如圖所標示 08 設函數 f(x) = x ax + 6(a )x 4 的圖形與 x 軸正向相切, 且在切點處 f(x) 有 極小值, 求 a 之值 (00 台南二中 99 松山家商 招 ) 答 09 拋物線 Γ y = P (x) 的對稱軸平行於 y 軸, 且 Γ 與 x 軸交於點 (, 0), 並在 x = 時 與函數 y = x 4 + 的圖形相切, 試求 P (x) (00 永春高中代理 ) 答 6x + 6x 8 040 f(x) 為三次函數, 若 f(x) 在 x = 處的切線方程式 4x y = 0, 又在 x = 處有 極小值 7, 則 f(x) = (99 嘉義高工 ) 答 x + x + 5x 4 04 設 f(x) = x + ax + bx + c, 若曲線 y = f(x) 上, 以 (, 0) 為切點的切線斜率為最 小, 且此時之切線通過原點, 求 a, b, c 之值及切線方程式 (98 家齊女中 ) 答 a = 6, b = 7, c = 8, 切線 y = 5x 04 已知拋物線 y = ax 上的點 P 到直線 x y = 的最短距離為 5 4, 求點 P 的座標 答 ( 4, ) (99 松山工農 ) 04 已知三次多項式函數 y = f(x) 的圖形與某一條直線交於相異三點 (a, f(a)), (b, f(b)), (c, f(c)), 試證 : 函數 y = f(x) 圖形的反曲點坐標為 ( a+b+c, f( a+b+c )) 68
證 令直線 L: y = αx + β 過 (a, f(a)), (b, f(b)), (c, f(c)) (00 華江高中 ) 則 f(x) (αx + β) = 0 有三相異根 a, b, c, 又 deg f = f(x) = r(x a)(x b)(x c) + (αx + β) f (x) = r (6x (a + b + c)) f ( a+b+c ) = 0 且 f (x) > 0 當 x > a+b+c 和 f (x) < 0 當 x < a+b+c 所以 ( a+b+c, f( a+b+c )) 是 f(x) 函數圖形的反曲點 044 若兩圖形 y = f(x) = a x 與 y = g(x) = log a x 有唯一的交點, 則為為 的正實數 a 之範 圍為 (99 建國高中 ) 答 e e a < 或 a = e e 解 見數學傳播函數 y=a x 與 y=log_a x 的圖形交點個數的探索 045 指數函數 y = f(x) = a x 與對數函數 y = g(x) = log a x, 若已知 f(x) 與 g(x) 相交三 點, 求實數 a 的範圍 (97 台中一中 ) 答 0 < a < e e 解 見數學傳播函數 y=a x 與 y=log_a x 的圖形交點個數的探索 046 若 x x + k = 0 恰有兩相異實根, 則 k 值範圍為 (99 關西高中 ) 答 k < 4 或 < k < + 提示 畫圖 047 設 a, b, c R,f(x)=x + ax f(x) + bx + c, 若 lim x x+ = 且 y = f(x) 無極值時, 求 a 值範圍為何? (99 台中一中 ) 答 0 a 6 048 設三次函數 f(x) = ax + (b )x + ( a)x +, 已知 f(x) 無極值, 且對任意實數 x 恆有 f (x) < x, 求滿足件之所有點 (a, b) 所圍成之面積 (99 台中二中 ) 答 π 6 8 解 f (x) 為一次式, 又 f (x) x, 所以其一次項係數絕對值, 常數項非正, 得 a, b f (x) = ax +(b )x+ a, 欲使 f 無極值, 即判別式非正 (a ) +(b ) 又 a 和 b 可計算得面積 π 6 8 049 已知三次函數 f(x) = ax + bx f() + cx 係數 a, b, c 皆為正數且其極值不存在, 試求 f (0) 的最小值 (99 中壢高中 招 ) 69
答 + = + 6 050 設 m 為實數, 若四次方程式 x 4 4mx + = 0 無實數根, 則 m 的範圍為 答 < m < (99 基隆女中 98 嘉義高中 97 台南二中 ) 另解 顯然 x = 0 不是方程式之解 若 m <, x 0 算幾不等式得 x 4 +x 4 +x 4 + 4 x > mx x 4 4mx + > 0 無實根 若 m, 令 f(x) = x 4 4mx +,f(0) =, f(m) = m 4 4m 4 + < 0, 由 勘根定理得至少一實根 05 兩曲線 Γ y=x + x 曲線 Γ y=x + x + k, 若直線 L 為兩曲線 Γ Γ 之公切線 且直線 L 之斜率大於 4, 試求實數 k 之範圍 (97 台中女中 ) 答 k > 4 08 積分 基本技巧 05 試求 (x 5x + x 6)(x ) dx 的值 (0 文華高中 ) 解 59 40 提示 x = y +, 或 x 連續綜合除法 05 試求 0 x ( x) dx (00 文華高中 ) 答 4 5 解 0 x ( x) dx = ( y) y dy = y y 4 + y 5 dy = 4 5 另解 亦可分部積分兩次 054 Evaluate the itegral 0 答 l 5 解 注意 (x + 4x + ) = x + 4 因此 0 055 試求 答 x+4 x +4x+ dx = (98 南科雙語 ) x+4 x +4x+ dx = l x + 4x + x= x=0 = l 5 = l 5 x 5 x + dx (97 台中高工 ) 056 積分 dxdy (+x +y ) 的值為 (97 嘉義高中 ) 70
答 π 解 極坐標代換 : 0 π 0 rdθdr (+r ) = π +r 0 = π 057 在坐標平面上, 心臟線 r = + cos θ 所包圍的面積是 (97 嘉義高中 ) 答 π π 解 0 cos θ 0 rdrdθ = π ( cos θ) 0 dθ = π + π 0 cos θdθ = π 058 空間坐標中, 設 0 x + y 6, x y + z, x + y z 7 所圍成的平行 六面體為 Γ, 則 Γ 的體積 (00 文華高中 ) 答 6 解 令 x = (x, y, z), a = (α, β, γ) = (x + y, x y + z, x + y z) 0 J = x a = = 9, 所求 = Γ dxdyxdz = 7 6 0 J dαdβdγ = 6 4 6 9 = 6 059 階乘函數的定義是 Γ(x) = 0 t x e t dt, x > 0 (97 嘉義高中 ) () 計算 Γ() () 計算 Γ( ) () 證明 Γ(x + ) = xγ(x) (4) 對正整數, 求 Γ( + ) 的值 答 () () π (4)! 解 () Γ() = 0 e t dt = () Γ( ) = 0 t e t dt = 0 e s ds = π () Γ(x + ) = 0 t x e t dt = lim a t x e t a 0 + x 0 t x e t = xγ(x) (4) 由數歸可得 Γ( + ) =! 其它例題 060 0 lim ( x)(x+x ) +x dx 之值為 (99 彰化女中 99 中正預校 ) 答 7 6 7
06 在坐標平面上, 設曲線 y = x + x 及兩直線 x =,y = 所圍成的區域為 S, 則 S 的面 積為 (00 新北聯招 ) 答 l 06 拋物線 y = x + 4x 上 ; 分別以 (0, ) 及 (, 0) 兩點為切點作切線, 此兩切線與 拋物線所圍區域面積 (99 嘉義高工 98 彰化女中 ) 答 9 4 06 試由 (, ) 對拋物線 y = x 作切線, 得兩切線 L, L, 則由 Γ, L, L 所圍成的面 積為 (99 中壢高中 招 ) 答 6 064 考慮不等式 x + y 4 x + x + 所決定的圖形 A 若直線 y = ax + (a < 0) 將 A 的 面積分成, 則 a = (00 松山工農 ) 答 8 解 先解交點 x + = x 4 + x + x = ±, 令交點為 A(, 0), B(, 4) 取 P (0, ) 在拋物線上則 A 的面積 = 4 ABP = 4 4 4 = 8 y = ax + 與 x + 和 y = x 4 + x + 分別交於 C( a, a + ), P 取 Q(, 9 4 ) 在拋物線上則 A 在直線 y = ax + 右側之面積 = P BC+ 弓形 BP Q 計算得該面為 4 + a, 其超過 8, 因此令其等於 6 9, 解得 a = 8 評 本題中, 運用阿基米德的弓形面積結果 065 球 x + y + z = 被平面 x + y + z + = 0 分成兩部分, 其體積分別為 V, V (V < V ), 則 V V = (99 苗栗高中 ) 答 5 066 若球 x + y + z 4 被平面 x + y + z = 5 分割成兩部分, 求較小部分之體積 答 5π (99 中壢高中 ) 067 y = x, 一直線通過 (, ), 求此直線與拋物線所圍的最小面積 (00 台中二中 ) 答 8 7
解 令直線 y = mx m +, 交點 x 坐標滿足方程式 x mx + m = 0 令兩根 α < β 則 α + β = m, αβ = (m ) β α = m 4m + 所圍面積 = β α (x α)(x β)dx, (β α) 分部積分, 再積分可得 6 當 m = 時, 有最小面積 = 8 評 此技巧稱設而不求, 在二次式中, 常利用根與係數化簡之, 類似運用見 00 育成高 中代理 068 已知拋物線 Γ y = 4 x 與一點 A(, ), 設 L 為過 A 的任一直線, 求與 L 所圍成 區域之面積的最小值, 及此時 L 的方程式 (98 嘉義女中 ) 答 mi =, L y = x + 4 069 過點 (, ) 之直線交雙曲線 xy = 於 P Q 兩點, 求 P Q 長度的最小值 (98 嘉義女 中 ) 答 070 設四次多項式 f(x) = x 4 +x x +x, 選取積分區間 a x b, 使得定積分 b a f(x)dx 得到最大值, 求此最大值為 (0 中科實中 ) 答 60 07 () x 為實數, 求 cos x si x 的最大值及最小值分別為何? (98 台北縣聯招 ) () x 為實數, 求 si x+cos x +si x cos x 的最大值及最小值分別為何? () 求 0 π 6 si x+cos x +si x cos x dx 答 () () max =, mi = () l(6 9 ) 解 () si x cos x = si x, 所以最大值為, 最小值為 解 () 令 y = si x + cos x, 則 si x cos x = y 由和角可得 y si x+cos x 令 t = +si x cos x = y = y y + ty y + t = 0, 判別式 0 t + y 代入解 y 檢驗, 可得 y =, y = 因此最大最小值分別為, 解 () 令 y = si x cos x, 則 si x cos x = y, y = si x + cos x 7
0 π 6 si x + cos + si x cos x dx = = dy + y = = l y y + = l(6 9 ) dy y y y + dy x + y 07 求滿足 y + z 之共同部分體積 (98 彰化女中 ) 答 6 解 x y, z y, y y y y dxdzdy = 8 0 = 6 y dy 07 試證 : 半徑為 r 的球體的體積為 4 πr (00 全國聯招 97 彰化藝術 ) 074 在直徑 公分的半球形容器內裝滿水, 將此容器傾斜 0, 求流出去的水量為多少立 方公分? (99 高雄市聯招 98 清水高中 ) 答 99π 09 旋轉體 075 y = si x, x = 0, x = π, 與 x 軸所圍區域繞 y = 旋轉的旋轉體體積為 答 4π π (99 建中市內 ) 076 求由 y = 4x 與 x = 4y 所圍成之區域繞 x 軸旋轉所得之旋轉體體積為 答 96π 5 (99 中興高中 ) 077 求 x 5 + y 6 = 繞 x 軸所得旋轉體 τ 的表面積 (98 彰化女中 ) 答 π + 00π si ( 5 ) 74
x 5 078 設聯立不等式 + y 6 在坐標平面上所圍成的區域為 R, 求此區域 R 繞 x 軸旋轉 y 所得旋轉體體積為 (00 彰化女中 ) 答 ( 0 40 ) π 079 在坐標平面上, 設 S = {(x, y) x + y x 且 x y}, 求區域 S 繞直線 x = 旋轉一 周所得的旋轉體體積 (00 桃園現職聯招 ) 答 π π x 080 求二橢圓 6 + y 9 = x 與 9 + y 6 = 所圍成區域的公共部分區域繞 x 軸旋轉一周所得體 積 (99 彰化女中 ) 答 08 5 π 08 求拋物線 y = x + x 與直線 y = x 的圖形所圍成之封閉區域繞 x 軸旋轉一圈所得之 旋轉體的體積為 (00 桃園高中 ) 答 0π 解 畫圖, 注意 y 的範圍, 應分成三段 [0, ], [, ], [, ] 所求 = π [ 0 ( x + x) dx + 0 ( x) dx + 0 (( x) ( x + x) ) dx] = 0π 評 分段分段, 這根本是是在考驗我們計算錯誤的能力 08 設曲線 y = ax (a < 0, x 0) 與曲線 y = x 交於 P 點,L 為過原點 O 和點 P 的 直線,S 為 L 與曲線圍成的區域, 且 T 為 S 繞 x 軸旋轉一周所得的旋轉體則當 a 為何值時,T 有最大的體積? 最大體積為何? (00 師大附中 ) 答 a =,T max = 4 08 一曲線 Γ y = ax 上一點 P, 已知 P O =,P 對 x 軸做垂足 H, 求被 Γ P H x 軸圍住, 繞 x 軸旋轉的旋轉體體積 V (a) 的最大值 (00 豐原高中 ) 答 9 π x 084 設直線 L = y = z 在平面 E x y + z = 0 上的投影直線為 M, 將直線 M 繞 y 軸旋轉一周所成的曲面方程式為 (00 桃園現職聯招 ) 答 4x 7y + 4z + y = 0 75
Pappus 定理 085 求由 y = x 與 y = x 所圍成的區域 R, 繞下列直線旋轉一週所形的立體的體積 (a) x 軸 (b) y = (c) y 軸 (d) x = (00 內湖高工 招 ) 答 π 6, π 6, π 5, π 5 解 0 ( x x)dx = 6 x = 6 0 x( x x) = 5 ȳ = 6 0 y(y y )dy = 用 Pappus 定理可得以下 (a) 6 π = π 6 (b) 6 π ( ) = π 6 (c) 6 π 5 = π 5 (d) 6 π ( 5 ) = π 5 086 平面上坐標系上兩個函數圖形 y = f(x) = x, y = f(x) = x 所圍成的區域假設為 R, 試分別求出將 R () 繞 x 軸 () 繞 y 軸一圈所得之旋轉體體積 (99 明倫高中 ) 答 () 8 64 π () 5 π x + y 087 將 xy 平面上的區域 繞 xy 平面上的直線 x = y 在空間中旋轉一圈所 x 0, y 0 得的旋轉體體積 = (99 松山家商 ) 答 π 解 可計算得形心 ( 4 π, 4 π ), 其到 x = y 的距離為 由 Pappus 定理得所求 = 4 π 4 π π = π 4 π 00 黎曼和 088 () 令 s = + + + 4 + + 0000, 若 s 0 +, 其中 為自然數, 則 = (00 中正高中 招 ) () 同上, 求 [S] (00 北一女中 ) () 若 k = + + + 4 + + 0, 求 [k] = (00 文華高中 ) 答 () 9 () 98 () 0 解 () 從積分的上下和, 可得不等式 : + + 0000 0000 x dx = 98 + + + 9999 計算積分得 980 s 99 = 9 () 從積分的上下和, 可得不等式 : + + 0 + x dx + + + 0 因此 0 k 0 + < [k] = 0 76
089 () 若 k = + + + 4 + 5 + + 80, 求 [k] (00 香山高中 ) () 求 + + + + 900 的整數部分 (99 台中一中 ) () a = + + + + +, 求 lim a (99 左營高中 ) 答 () 6 () 58 () 090 () 求 ( + + + + ) (98 高雄市聯招 97 陽明高中 ) () 求 lim + k= k = (97 台南女中 ) () 求 lim ( k= 答 () () () k ) (00 中科實中 ) 09 () lim [ + + + + + + ] = (00 成淵高中 ) () 計算 lim () 試求 lim [ (+) + k= 答 () 6 () (+) + (+) + + (+) ] 的值 (00 彰化女中 ) (k+) k+k 之值 (00 慈濟聯招 ) 09 () 求值 lim ( + + + + + + + ) + = (99 明倫高中 ) k= () lim k= () lim k +k = (99 全國聯招 ) +k +k = (99 建中市內 ) 答 () π 4 () l () π 4 + l 09 試求 lim ( k ) (0 高雄市聯招 ) k= 答 094 求 lim 5 + 5 ++( ) 5 6 (00 文華高中 ) 答 6 77
另解 k=(k ) 5 = 5 k= k 5 + = 6 6 + 因此極限 6 = 6 095 設 為自然數 ; 試證 : + + + 4 + + (97 高雄市聯招 ) 096 lim ( + + ++ )( 5 + 5 + 5 ++ 5 ) ( + + ++ )( 4 + 4 + 4 ++ 4 ) = (99 彰化女中 ) 答 0 9 解 上下同除 9 得 ( k ) ( k )5 ( k ) ( k 6 )4 4 5 = 0 9 097 設 a = [( + 答 4 e )( + )( + + ) ( )], 試求 lim a (00 香山高中 ) 098 設有編號,,,, 的 個盒子, 在第 k 個盒子內裝有 + k 個紅球與 k 個白 球, 現在隨便選出一個盒子, 且由此盒子內每次隨機抽取 個球, 取後放回, 連取 次, 若 次皆為紅球的機率為 P, 則 lim P = (99 彰化女中 ) 答 5 099 假設連續函數 f(x) 在區間 [a, b] 中的平均值 w(f) 可以定義如下 : w(f) = lim f(c )+f(c )++f(c ), 其中 c k 為 [a, b] 作 等分分割時, 從第 k 個區間中 任意取出來的一個數那麼, 函數 f(x) = x 在 [0, 6] 中的平均值為 答 (99 桃園縣高中現職聯招 ) 0 泰勒展式 級數斂散 00 求 ( ) + 4 的值 (00 彰化女中 ) = 答 π 8 解 ( ) + 4 = 6 + 0 4 + = ( + 5 7 + ) = ta = π 8 = 0 試求無窮級數 π + π4 4! + ( ) π ()! + 之和 (99 文華高中 ) 答 0 求 l( + x ) 在 x = 0 的泰勒展開式 (97 嘉義高中 ) 答 ( ) k+ k x k k= 0 設函數 y = f(x) = x x, 求 f (6) (0) f (4) (0) (0 中科實中 ) 78
答 0 04 下列各無窮級數, 何者為發散級數? (00 桃園現職聯招 ) (A) = 答 (A) + (B) ( ) + (C) = = (l ) (D) ta = ++ 註 ta ++ = ta ( + ) ta ta = ++ = π π 4 = π 4 05 試證無窮級數 = 收斂 (99 松山家商 ) 0 其它例題 06 設 x 4 + mx + 4x + 被 (x ) 整除, 則 m =, = (98 新營高工 ) 答 m = 4, = 解 令 f(x) = x 4 +mx +4x+, 則 f() = +m+4+ = 0 和 f () = 4+m+4 = 0, 07 已知 (x + ) 為 px 0 + qx 9 + 的因式, 求數對 (p, q) (97 文華高中 ) 答 (9, 0) 解 利用除法原理 ( 定理 ) 和微分得 : 解得 (p, q) = (9, 0) p q + = 0 0p + 9q = 0 08 函數 f(x) = 4x +4x 4 x 4 x 9x +8x, 有幾條垂直漸近線? (00 桃園新進聯招 ) 答 條 09 已知 f(x) = 4 x x[x], 求 f ( ) (00 慈濟聯招 ) 答 4 0 試問曲線 x + y 6x = 6 x + y 上 P (x, y) 有多少個點與 A(8, 0) 距離是整數? 答 8 (99 建國高中 ) 79
解 以極坐標寫之可得 r = 6( + cos θ), 利用餘弦定理可計算曲線到 (8, 0) 之距離平方 d(θ) = 6( + cos θ + cos θ) + 64 96(cos θ + cos θ) = 00 4 cos θ 60 cos θ = 60(cos θ + 5 cos θ + 60 ) + 00 + 5 5 = 60(cos θ + 5 ) + 5 5 所以 6 d 5 5, 且在 [, 5 ] 和 [ 5, ] 皆為單調函數 d( ) = 8, d( 5 ) = 0 <, d() = 4 從單調就可數出 5-0, 0-9 上下對稱, 及 x 軸上的 4, 8 因此共 8 + = 8 若 00 < cos π 7 < + 00, N, 則 = (99 建國高中 ) 答 4 解 令 x = cos π 7 + i si π 7, 則 x + x = cos π 7 且 x 6 + x 5 + x + x + x + = 0 令 y = x + x, 則 y + y y = 0 令 f(y) = y + y y 牛頓法解之 : 取 y =, f() f () = 4, 取 y =;y f(y ) f (y ) = 4 6 5, 取 y = 5;y f(y ) f (y ) = 5 4 46 f(4) 004, f(5) 00 = 4 注意該方程式有三根 : cos π 7, cos 4π 7, cos 6π 7, 僅 cos π 7 為正根 評 這是給人算的嗎? 旋轉 對稱 已知面平上一點 P, 其到正 ABC 的三個頂點距離分別為,,, 試求正 ABC 的面積 答 7 4 (00 中正高中 ) 解 如圖灰色是負的, 白的沒有面積, 前三張相加得第四張, 所以二倍三角形面積等於 三個正三角形面積和 4 ( + + ) = 7 4 80