１直線方程式
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- 青 祖
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1 第 章微分 55 微分 *- 極限的概念 區間 : 若 a b 為實數, 且 a b: () 閉區間 :a, b a b () 開區間 :a, b a b () 半開區間 ( 或半閉區間 ): a, b a b a, b a b 0 老師講解學生練習 0 試以區間表示下列集合 : () 4 6 () 6 4 () 6 () 4,6 () 6, 4 () 6, 試以區間表示下列集合 : () 5 () 5 () (),5 (),5 (),
2 56 函數的定義域與值域 : () 定義域 : 函數的自變數所在的集合 一般情形如果不特別說明, 所考慮的是最大可能定義域 () 值域 : 由自變數對應出來的所有函數值所組成的集合 0 老師講解學生練習 0 試求有理函數 圖 6 的定義域, 並繪 6 分式有意義的條件為分母不為 0, 即 故 的定義域為, 6 化簡後為 圖形為一直線, 但 所對應的點是空心 的, 表示此點不在圖形上 試求有理函數 義域, 並繪圖 分式 分母不為 0, 即 故 的定義域為, 化簡後為 圖形為一直線, 但不含 的定 有意義的條件為,, 兩點
3 第 章微分 57 0 老師講解學生練習 0 試求絕對值函數 任意實數 代入函數 故函數 的定義域, 並繪圖 皆有意義, 的定義域為, 0時, 0時 () 當 0 時 試求絕對值函數 圖 的定義域, 並繪 任意實數 代入函數 皆有意 義 故函數 的定義域為, 時, 時 () 當 時 () 當 0 時 () 當 時 由 ()() 知 由 ()() 知
4 58 04 老師講解學生練習 04 試求函數 的定義域, 並繪圖 分式有意義的條件為分母不為 0, 即 0 故 的定義域為 0,, 0時, 0時, 0時, 0時 的圖形 如右 試求函數 的定義域, 並繪圖 分式有意義的條件為分母不為 0, 即 故 的定義域為,, 時, 時, 時, 時 的圖形 如右 合成函數 : g 稱為函數 與 g 的合成函數, 以 g 表示之, 即 g g 05 老師講解學生練習 05 若, g 4, 試求 : () g () g () g g () g g g g 若,, 試求 : () g () g () g g g g () g g 4 4 9
5 第 章微分 59. 函數極限的定義 : 當 趨近於常數 a 時 ( 的極限為 A, 記為. 極限值 : 計算 a), 對應的函數值 趨近於定數 A, 此時可稱 趨近於 a 時, a A 趨近於 時, 趨近於 9 a 之值 :( 9 為多項式 有理式或根式 ) () 以 a直接代入, 函數值不會出現分母為 0 的情形, 即 a 有意義, 則 a a () 以 a 直接代入 ( a a 0, 所得結果為 0, 此時可將分子 分母中的公因式 a先約去 a 0 ), 再把 a代入求值 g () 若, 且 ga 0 a 0, 此時 a () () () 4 5. 極限的運算性質 : 設 a, g a () c c(c 為常數 ) a () a a 不存在, 則 : c c c (c 為常數 ) g g () a a a g g (4) (5) a a a a g a ( 0 ) g a 不存在
6 60 06 老師講解學生練習 06 有一函數 右, 試求 : () (), 其圖形如 () 趨近於 時, 趨近於 () 趨近於 時, 趨近於 有一函數 右, 試求 : () (), 其圖形如 () 趨近於 時, 趨近於 () 趨近於 時, 趨近於 07 老師講解學生練習 07 試求 試求 0 08 老師講解學生練習 08 設 () 6, 試求 : () () () 直接代入 必須先化簡 得到 故 設 (), 試求 : () () () 直接代入 必須先化簡 故 得到 0
7 第 章微分 6 09 老師講解學生練習 09 4 試求 4 直接代入 4 得到 必須先化簡 4 故 直接代入 試求 得到 必須先化簡 故
8 6 0 老師講解學生練習 0 設 () 5 (), 試求 : 5 5 () () 直接代入 0 得到 0 必須先化簡 故 6 4 設 () (), 試求 : () 0 () 0 直接代入 必須先化簡 故 得到 0
9 第 章微分 6 函數的左 右極限 : () 當 a且 a a () 當 a且 a, 會使得, 則稱 為 於 a 的右極限, 記為, 會使得, 則稱 為 於 a 的左極限, 記為 () A a a a (4) 若, 則 a a a A 不存在 a 老師講解學生練習 有一函數 右, 試求 :, 其圖形如 () 和 () 和 () 當 且 當 且, 則, 則 () 當 且, 則 4 4 當 且, 則 不存在 設一函數 右, 試求 :, 其圖形如 () 和 () 和 () 當 且 當 且, 則, 則 不存在 () 當 且 當 且, 則, 則
10 64 老師講解學生練習 設 (), 0, 試求 :, 0 () 0 () () 不存在 設 (),, 試求 : 6, () () () 老師講解學生練習 設 (), 試求 : () () 0 () 0 直接代入 必須先對 0 得到 0 進行約分 但約分前要先去掉 的絕對值 故 不存在 設 (), 試求 : () () 0 () 0 直接代入 必須先對 0 得到 0 進行約分 但約分前要先去掉 的絕對值 故
11 第 章微分 65 函數的連續性 : () 函數 在 a連續, 意思為 函數 y 的圖形在 a () 函數 若滿足下列三個條件, 則稱函數 在 a連續 : a 存在 存在 a a 處沒有中斷 a 4 老師講解學生練習 4 有一函數 圖形如右, 試利 用定點連續的三個條件判斷 : () 在 是否連續? () 在 是否連續? () 故 在 不連續 () 故 在 連續 有一函數 圖形如右, 試利 用定點連續的三個條件判斷 : () 在 是否連續? () 在 是否連續? () 不存在 在 不連續 () 故 不存在 在 不連續 5 老師講解學生練習 5, 設, 連續? () 6 () 故, 在 是否 不存在 在 不連續 4, 5 設 5, 5 續? () 5 () 在 5 是否連, 故 在 5不連續 不存在
12 66 6 老師講解學生練習 6 6, 設 5, 是否連續? () 5 (), 在 6 () 故 在 連續 5 6, 4 設 4 6, 4 連續? () 4 6, 在 4 是否 () () 4 4 故 在 4 不連續 進階題 0 老師講解學生練習 0 a b 已知 代入, 試求數對 ab, a b ab 得 0 a b 又 存在 ab 0 b a a b a a a a a a a, b 故 ab,, 已知 a b 代入, 試求數對 ab, 得 a b 0 4ab 又 0 a b 4 a b 0 ba 4 a b a a 4 a a a 4 a 5, b 故 ab, 5,6 a 4
13 第 章微分 67 0 老師講解學生練習 0 設函數 a b c d, 已知, 值 代入得 又 存在, 試求 0 0 同理 0 故可設 由得, 4 故 之 設 為三次多項式, 若 且, 試求 之值 代入得 0 又 存在 0 同理 故可設 a b a b a b ab a b a b a b ab 由得 a, b 故 9 9 8
14 68 - 多項函數的導數與導函數. 導數的定義 ( 平均變化率 瞬時變化率 ): () () b a 為函數 在區間 ab, 的平均變化率 b a b a 為函數 b a 在 a的瞬時變化率 b a. 導數的定義 : () a 為函數 為 在 a a 定義域內一點, 如果 a a a 表之 的導數, 以 () 若令 a, 則 a, 且當 a時, 0, a a a a a 0 a a a 即 a a a 0 () 0 () 0. 導數的意義 : () 幾何意義 : a 為曲線 y 在點 a, a () 物理意義 : 設運動物體的位移函數為 v t a t 的切線斜率 a 存在, 則稱 a a t, 速度函數為 vt, 加速度函數為 at, 則 t v t,
15 第 章微分 69 0 老師講解學生練習 0 設 4, 試依下列方法, 求 的導數 : () 0 () () () 在 設, 試依下列方法, 求 的導數 () 0 () () () 在
16 70 0 老師講解學生練習 0 設, 試求曲線 y 的切線方程式 切點為 切線斜率為,,8 在 切線方程式為 y8 6 6 y 4 0 設, 試求曲線 y 線方程式,, 8 切點為 切線斜率為 在 的切 切線方程式為 y8 y6 0 0 老師講解學生練習 0 t t 若一運動物體的位移函數為 物體在 t 4時的瞬時速度 t 所求為 4 t4 t 4 t 48 4 t4 t 4 t4 t4 t4 t 4 t4 t 4 4, 試求此 v t 若一運動物體的速度函數為 此物體在 t 的瞬時加速度 v t v 所求為 v t t t 5 t0 t t t t t t, 試求
17 第 章微分 7 導函數 : 若 定義域中的每一個定點 a, 都恰有一個導數 a 與之對應, 此時 a a 新的函數, 此新函數通常以 表示 () 的導函數為 0 () y 的導函數有以下表示方法 : y d dy d d d d 形成一個 04 老師講解學生練習 04 的導函數 試求 試求 的導函數
18 7 連續與可微分 : () 若函數 在 a處有導數 ( 即 a 存在 ), 則稱 () 若 在 a可微分, 則 () 若 在 a處連續, 則 在 a處連續 在 a處不一定可微分 在 a處可微分 05 老師講解學生練習 05 設, 試問 : () 在 0 是否連續? () 在 0 是否可微分? () 故 在 0 連續 () 但 不存在即 0 故 在 0 不可微分 0 不存在 設, 試問 : () 在 0 是否連續? () 在 0 是否可微分? () 故 在 0 連續 () 故 在 0 可微分
19 進階題 第 章微分 7 0 老師講解學生練習 0 已知函數 在 a的導數 a 為常數, 且 0, 試證 0 存在, a a a 0 a a a a a a 0 a a r 0 a a 0 a a r 0 a a 0 r a a a 已知函數 在 的導數 師講解 的結果, 求 : () () 4 5, 利用老 () 所求 () 所求 老師講解學生練習 0 已知 a b 求數對 ab, 在 處可微分, 試 ab a b a b a a a b a 故 ab,, a 已知 b 試求數對 ab, 在 處可微分, 4 b 4 a 4 b b a 4a 4a a 故 ab,, a 4a b 4a 4
20 74 - 微分公式 微分公式 : 設 與 g 皆可微分 () 若 k (k 為常數 ), 則 0 n n n () 若 (n 為有理數 ), 則 () 若 F k (k 為常數 ), 則 F k (4) 若 F g, 則 F g (5) 若 F g, 則 F g (6) 若 F g, 則 F g g g g (7) 若 F ( g 0 ), 則 F g g (8) 連鎖規則 : 若 F g, 且 g 存在, 則 F g 0 老師講解學生練習 0 試求下列函數的 : () () () (4) () 0 () () (4) 試求下列函數的 : () () () (4) () 0 () () 4 4 (4)
21 第 章微分 75 0 老師講解學生練習 0 5 設 4 6 5, 試求 設 0 7, 試求 老師講解學生練習 0 7, 試求 設 之值 設, 試求 0 值 7 0 之 04 老師講解學生練習 04 設 5, 試求 d d d 5 d dy, 試求 d 設 y dy d d d d d
22 76 05 老師講解學生練習 05 設, 試求 d d d d 6 8 設 數 5, 試求 在 的導 d 5 5 d d d 老師講解學生練習 06 試求 5 的導函數 d d , 試求 設 d d 老師講解學生練習 07 設 5, 試求 設 , 試求
23 第 章微分 老師講解學生練習 08 設 為三次函數, 且 0, 0 0, 則, 設 a b c d ( a 0 ) a b c 0 d, a b c d ab c 0 0 c 0, 0 a b c 0 a b c a b c 0 a, b ab ab0 設函數 a b c, 若,, 則 a b 0 0 c 0 ab ab 4 由可得 a b 0 0, 高階導函數 : () 若 之導函數存在, 稱為 d d y dy d 的第一階導函數, 其記號為 () 承 (), 若函數 仍可微分, 則 的導函數稱為 為 d d d y y d () 承 (), 若函數 仍可微分, 則 的導函數稱為 為 d d d y y d (4) 承上, 依次類推, 的第 n 階導函數, 其記號為 n d d n n n d y y n d n 註二階或二階以上的導函數, 總稱為高階導函數 的第二階導函數, 其記號 的第三階導函數, 其記號
24 78 09 老師講解學生練習 , 試求 : 設 () () () 4 6 n 設, 試求使得 0 的最小自然 數 n 每微分一次, 的次方會少 6 常數 0 微分 6 次微分 0 n 7 0 老師講解學生練習 0 設 6, 試求 0 d d d d 設, 試求 0 d d d d
25 -4 微分的應用 第 章微分 79 遞增函數與遞減函數 : () 若, 則 若將上述中不等號 改成, 則稱 () 若, 則 若將上述中不等號 改成, 則稱 () 設 在開區間, 若 在, 若 在, ab 內每一點都可微分 稱為遞增函數, 其圖形由左方往右方上升 ; 為嚴格遞增函數 稱為遞減函數, 其圖形由左方往右方下降 ; ab 內每一點的導數都大於 0, 則 ab 內每一點的導數都小於 0, 則 為嚴格遞減函數 在, 在, ab 內為遞增函數 ab 內為遞減函數 0 老師講解學生練習 0 函數 況 y 的圖形如下, 試討論其增 減狀 函數 況 y 的圖形如下, 試討論其增 減狀 在區間, 4, 為遞增在區間,4 為遞減 及 在區間, 為遞增在區間,, 為遞減 及
26 80 0 老師講解學生練習 0 試討論下列函數的增 減狀況 : 4 5 () 4 () () 在區間, 為遞增 4 0 在區間, 為遞減 () 或 4 在區間, 及 4, 為遞增 在區間,4 為遞減 試討論下列函數的增 減狀況 : 6 () 9 7 () () 在區間, 為遞增 6 0 () 在區間 6 9 0, 為遞減 0 0 在區間, 0 或 為遞增 在區間, 及, 為遞減
27 第 章微分 8. 多項函數的極值 : () 最大值 ( 絕對極大值 ): 對於函數 最大值 定義域中的每個, 若 a 都成立, 則稱 () 最小值 ( 絕對極小值 ): 對於函數 最小值 定義域中的每個, 若 b 都成立, 則稱 () 極大值 ( 相對極大值 ): 對於函數 數 a 是函數 b 是函數 定義域中非常接近 c 的每個, 若 c 都成立, 則稱 的極大值 (4) 極小值 ( 相對極小值 ): 對於函數 函數 的 的 c 是函 定義域中非常接近 d 的每個, 若 d 都成立, 則稱 的極小值 d 是 註最大值 最小值也是極大值 極小值 ; 但極大值 極小值不一定是最大值 最小值. 利用一階導數求極值 : () 若函數 在 a處有極值, 且 在 a處可微分, 則 a 0 註 :() 若 a 0, 則 a 不一定為 的極值 () 極值可能出現的地方 滿足 0的點 不可微分的點 () 函數 在 a的附近都可微分, 且 a 0 在 a有極大值 a 當 a時, 0, 當 時, 0 a 在 a有極小值 a 當 當. 利用二階導數求極值 : 時, 0 a a, 時, 0 函數 在 a的附近都可微分, 且 a 0, a () 若 a 0, 則 在 a有極大值 a () 若 a 0, 則 在 a有極小值 a 存在 的定義域的端點
28 8 0 老師講解學生練習 0 試利用一階導數求函數 值 的極 在區間, 為遞增 4 0 在區間, 在 時 有極小值 9 為遞減 試利用一階導數求函數 極值 的 在區間, 為遞增 6 0 在區間 在 時 有極大值, 為遞減 7 04 老師講解學生練習 04 4 的 試利用一階導數求函數 極值 或 4 0 或 在區間, 及 4, 為遞增 0 4 在區間,4 時, () 當 時, 當 為遞增 為遞減 為遞減 在 時 有極大值 時, () 當 4 時, 當 4 8 為遞增 為遞減 在 4 時 有極小值 試利用一階導數求函數 9 7 的極值 或 0 在區間, 0 為遞增 0 或 0 在區間, 及, 為遞減 () 當 時, 當 為遞減 時, 為遞增 在 時 有極小值 時, () 當 時, 當 為遞增 為遞減 在 時 有極大值 4
29 第 章微分 8 05 老師講解學生練習 05 試利用二階導數求函數 值 4, 0 0 在 時 有極小值 4 5的極 9 試利用二階導數求函數 極值 6, 0 0 在 時 有極大值 6 的 7 06 老師講解學生練習 06 4 的 試利用二階導數求函數 極值 或 4 () 在 時 有極大值 () 在 4 時 有極小值 試利用二階導數求函數 的極值 或 () 在 時 有極小值 () 在 時 有極大值 4 07 老師講解學生練習 07 4 在 中 試求函數 的最大值與最小值 或 4 4 不在 的範圍內 4 不予以考慮 將端點 及 分別代入 得 0, 7 在 有最大值 0 在 有最小值 在 4 4 試求函數 中的最大值與最小值 或 4 且, 將端點 4及 4 分別代入 得 4 8, 4 7 在 4有最大值 8 在 有最小值
30 84 08 老師講解學生練習 08 設 a b c 為常數, 若 a b c, 在 有極小值, 在 有極大值 6, 試求 a b c 之值 a b 由題意知 0 a b a b 9 故 c 6 9 c 6 c 設 6 9 a,a 為常數, 若 之極小值為極大值的倍, 試求 a 值 或 () 6 0 有極大值 () 6 0 有極小值 故 a a 4 a 4 a a 4 09 老師講解學生練習 09 有一果園, 每畝種 0 棵蘋果樹, 平均每棵樹可 產 500 個蘋果, 若每畝增種一棵蘋果樹, 則每棵 樹平均減產 0 個蘋果 試問應種多少棵, 方能 使其總產量最大? 設每畝增種 棵可得最大總產量 此時, 每棵樹的產量為 個蘋果 總產量 當 5時, 有極大值 5 50 故每畝應種 0 5 5棵時 有最大總產量 50 個蘋果 如何把 分成兩數, 使這兩數的平方和為最 小? 最小為多少? 設兩數為 兩數的平方和 , 當 6 時, 有極小值 6 5 故 分成 6 6 時, 最小平方和為 5
31 第 章微分 85 0 老師講解學生練習 0 一個邊長為 0 公分的正方形硬紙板, 將四個角 各切去一個正方形, 以便摺成一個無蓋的紙盒, 問此盒子的最大容積為多少? 設切去之正方形邊長 為 公分 則盒子的底邊長為 0 公分 盒子的容積為 或 0 若 0, 則盒子的底邊長為 0 公分, 不合 故只能取 0 0 又 時, 有極大值 故盒子的最大容積為立方公分 7 有一養鴨人家, 沿著溪邊作圍籬, 欲圍成一長方 形, 且只圍三邊, 如果圍籬總長 80 公尺, 試求 所圍土地的最大面積 設所圍土地的寬為 公尺 如圖所示 面積為 , 時, 有極大值 故最大面積為 800 平方公尺 0 800
32 86. 函數圖形的凹向 : 設函數 的切線 L 在開區間, () 若 在, () 若 在,. 利用二階導數判斷凹向 : 設函數 ab 內每一點都可微分,c 為 ab, 內任一點, 過點 ab 內的圖形均在 L 上方, 則稱凹口向上 ab 內的圖形均在 L 下方, 則稱凹口向下 在開區間, ab 內每一點都可微分, 且 c 為 ab, 內任一點 () 若 c 0, 則 的圖形於點 c, c () 若 c 0, 則 的圖形於點 c, c. 反曲點 : 函數 點 在 c的附近都可微分, 且 為凹口向上 為凹口向下 c, c 為 的反曲點 ( 或拐點 ), 此時 c 0 c, c 作 的圖形在 c的左 右兩方凹向改變, 則稱 老師講解學生練習 試討論下列各函數的凹向性和反曲點坐標 : 4 5 () 4 () () 4, 恆大於 0 恆凹口向上 凹口恆向上 沒有凹性發生變化的點 故無反曲點 () 6 4, 在區間, 為凹口向上 在區間, 在 的右邊為凹口向上 反曲點為 左邊為凹口向下,, 6 為凹口向下 試討論下列各函數的凹向性和反曲點坐標 : 6 () 9 7 () () 6, 恆小於 0 恆凹口向下 凹口恆向下 沒有凹性發生變化的點 故無反曲點 () 6 9, 在區間, 為凹口向上 在區間 在 的右邊凹口向下 反曲點為 左邊凹口向上, 為凹口向下,,8
33 第 章微分 87 多項函數圖形的描繪 : 描繪圖形需考慮 : () 增 減函數的範圍 () 極大值與極小值 () 圖形的凹向 老師講解學生練習 4 的圖形並求其實根個 描繪 數 列表如下 : 遞增遞減遞減遞增 0 凹口 向下 向下 向上 向上 略圖 8 極大值 的圖形如下 : 6 反曲點 80 極小值 9 7 的圖形並求其實 描繪 根個數 列表如下 : 0 0 遞減遞增遞增遞減 0 凹口 向上 向上 向下 向下 略圖 8 4 極小值反曲點極大值 圖形如下 : 4 和 軸有三個相異交 點 4 0有 個實根 9 7 和 軸有一個交 點 有 個實根
34 88 進階題 0 老師講解學生練習 0 9 的極值 試求函數 恆正 恆遞增 沒有極值 的極值 試求函數 8 7 恆遞增 沒有極值 恆正 0 老師講解學生練習 0 a a 沒有極 若函數 值, 試求實數 a 的範圍 6 沒有極值 a a 無實根或重根 0 a a a a a 5有極大值與極 若函數 小值, 試求實數 a 的範圍 4a a 0 有極大值與極小值 有二相異實根 a a a 或 a 0 4
35 綜合練習 第 章微分 89 表挑戰題 -. () 函數 () 函數. 若 的定義域為, 的定義域為 5 5 5, 9, 9 9 6, 9. () 6 4. () () 4 () 4, 則 () 7 5. () () () 9 4 () 7. 若 8. 若 ,,, a 0, 0 0. 若, 6 a, 0 6 4, 則, 且 不存在 存在, 則 a, 且 在 連續, 則 a 5
36 設, 則 6. 設 0, 則. 設 4 4 5, 則 設 的導函數, 則 () 設, 則 () 設 4, 則 7. 若多項式 滿足 0及, 則 8. 設 (),() 0 9. 設, 4, 則 4, 4 5, 則 0 6,() (),() 5,() 設二次函數 a b c, 且 0,, 則 4, 則 a 4. 設, 若 a 0. 過函數 6 7 圖形上一點, -4 0 或. 已知 的導函數 為三次多項函數, 且 y 函數 的 () 遞增範圍為 4 或 9, () 遞減範圍為 或 設 k, 若 不存在 不存在 之切線方程式為 5 y7 0 的圖形如右, 則 的極大值與極小值為相反數, 則 k 5. 一張矩形鐵片, 長 6 公分, 寬 0 公分, 四個角各截去一個相等大小的正方形, 再將四邊摺起, 做成一個無蓋的長方體容器, 則此容器體積的最大值為 44 立方公分 6. 某次考試成績太低, 最高分只有 8 分, 最低分為 0 分, 故老師決定將原始分數開根號乘以 0, 再加 0 分為調整後的分數, 則原始分數為 5 分者, 所加的分數為最多
37 7. 已知 的二階導函數 為三次多項函數, 且 y 右, 則函數 的 () 凹口向上的範圍為 6 或 4, () 凹口向下的範圍為 6 4 或 的圖形如 8. 若函數 a b 的反曲點是,, 則數對 ab, 6,9 第 章微分 9 9. 設函數 a b c d, 在 時有極大值, 而 0,0 為反曲點, 則序組 a, b, c, d 0. 設,0,,0 k 0 有三個相異實根, 則 k 的範圍為 7 k 0
38 9 考古觀摩題 - ( B ). 已知 - - C (D) ( C ). 若 5,, 5, 則 0 若 在 處連續, 則 C (A) 8, 則 ( B ). 設 為函數 的導函數, 若 (B) 4 (C) [0 統測數 (C)] (A)5 (B)0 (C) 0 (D) 40 0 [96 統測 ] (A) (B) (C) (D) 4 [97 統測 ] 之解 ( A ) 4. 設 為函數 的二階導函數, 若, 則 0 ( A ) 5. 若 為何? (A) (B) 5 (C) 6 (D)9 [97 統測 ] 5 ( C ) 6. 下列各曲線中, 何者在 47 (C) y, 則 0 (A) (B) (C) (D) 5 [98 統測數 (C)] 處的切線斜率為? (A) y (B) y 4 (D) y ( D ) 7. 已知函數 5與函數 與 b, 其中 a b 若 (A) (B) (C)0 (D) [98 統測數 (C)] g 與 g 在, 圖形相交於兩點, 而其 坐標分別為 a ab 上的最小值分別為 m 與 m, 則 mm [99 統測數 (C)] ( B ) 8. 關於函數的導函數, 下列何者正確? (A) , 則 (B) 4, 則 4 (C) 4 5, 則 4 5 (D) 4 4 [99 統測數 (C)], 則 4 ( D ) 9. 若 5, 且 為 (C)5 (D) 0 ( A ) 0. 若函數 的導函數為 ( B ). 設拋物線 (C)6 (D) 不存在 y a b 在 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 的一階導函數, 則 6, 則 處之切線方程式為 y 4 (A)0 (B) [00 統測數 (C)] 之值為何? (A)0 (B) [0 統測數 (C)], 則 a b之值為何? [0 統測數 (C)]
39 ( A ). 已知多項式 (D) 0 求 0 ( C ). 設 4, 則下列哪一個方程式為 第 章微分 9 之值 (A) (B) (C) 圖形的切線方程式? [0 統測數 (B)] (A) y5 0 (B) y 0 (C) y 5 (D) y 8 [0 統測數 (B)] ( D ) 4. 已知 a b 為實數, a b 若 且 (C) (D)5 ( D ) 5. 設, 求 ( A ) 6. 設直線 8 y c (D)7 ( D ) 7. 設 為拋物線 y 4 4 6, 則 ab (A) (B) (A)6 (B)8 (C)9 (D) [0 統測數 (C)] [0 統測數 (B)] 之切線, 則 c 之值為何? (A) 4 (B) 5 (C) 6 [0 統測數 (C)], 則導數 0 之值為何? (A) (B) (C)0 (D) ( B ) 8. 已知 a b 為實數, 若過函數 a b 圖形上一點 P,5-4 (A) (B) (C) (D) ( A ) 9. 設 a b 為實數, 若函數 a b 6 之圖形的反曲點 [0 統測數 (C)] 的切線斜率為, 則 [04 統測數 (C)],0, 則 ab (A) (B)5 (C)9 (D) [96 統測 ] 00 ( D ) 0. 設 0 0, 若, 則 之最小值為何? (A) 4 (B) 8 (C) 0 (D) 0 [97 統測 ]
- 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 分式型無窮數列的極限 求 lim? 原式 lim 5 求 lim? 5 原式 lim 分式型無窮數列的極限 求 lim 原式 lim 求 lim 原式 lim 7 分式型無窮數列的極限 求 lim 原式? lim ( )( )( ) ( )( )( ) lim ( )
第三章微積分及其應用 微積分及其應用 - 主題一極限的概念 ( 由授課老師自行選授 ) 數列極限的概念. 無窮數列的極限值定義 () 無窮數列 { }, 當 趨近無限大時, 逼近唯一定值 α, 則稱數列 { } 收斂於 α () 稱 α 為數列 { } 之極限值, 記作 lim = α () 若數列無法收斂到唯一定值, 即數列的極限不存在, 稱該數列為發散. 極限的運算性質 設無窮數列 { } {
函數的極大極小應用
極大值與極小值 第二章 導數的應用 1. 最大值 : 最小值 : 極大值 : 極小值 : 說明 :(1) 最大值又稱為絕對極大值, 最小值又稱為絕對極小值極大值也稱為相對極大值或局部極大值 () 最大值一定是極大值 ; 但極大值不一定是最大值 (3) 最大值與最小值最多只能各有一個 ; 但極大值與極小值可能有很多個 (4) 最大值一定比最小值大 ; 但極大值卻不一定比極小值大. 定理一 : 若函數
函數的微分
函數的極限與微分 f ( ) lim h 0 f ( + h) h f ( ) ( g ( f ( ) )) g ( f ( ) ) f ( ) 姓名 函數的微分 函數及其圖形. 函數之定義 : 有 A,B 兩個非空集合, 若對應 f 滿足 : A, 必在 B 中恰有一元素 y 與之對應, 即 f () y, 稱此對應為函數 稱 y 為應變數或 y 為 之函數值 ; f ( A) { f ( ) A}
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高中數學學習講義 ( 配合龍騰選修數甲下 ) -1 微分 ( 第 1 頁 / 共 9 頁 ) 1 微分本節課程學習重點 : 了解導數導數的定義 能使用函數的和 差 積及 k 次方的微分公式微分公式 能求多項式函數的導函數導函數 能求過多項式函數圖形上一點或過圖形外一點的切線方程式切線方程式 能知道曲線上的切線並不是都與該曲線恰交於一點曲線上的切線並不是都與該曲線恰交於一點 了解導數在運動學運動學上的意義
對數函數 陳清海 老師
對數函數 陳清海 老師 p ok 對數函數 一 對數函數. 定義:設 0,, 0,稱 為以 為底數的對數函數.. 圖形與基本性質 對數函數 yf log y log 在 與 0 時的圖形如下: 函數圖形通過點 且 y 軸為其漸近線.,0,整個圖形在 y 軸右方, p 範例 y log 在下列的方格紙中作出 y log 與 的圖形. 演練 已知 y log 的圖形與 y log 方格紙中作出 y log
數學C_I_隨堂講義第四章_答案卷_.doc
98 向量 4- 向量的意義 向量的意義 : () 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段 稱為向量 AB () 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ) 以 AB 表之 和向量 CD 的長度相等 方向相同 則稱此 () 向量的相等 : 若向量 AB 兩向量相等 以 AB CD 表之 (4) 零向量 : 始點和終點為同一點的向量稱為零向量 以 表之 () 反向量
經濟系微積分 (95 學年度 ) 單元 28: 對數函數的導函數 單元 28: 對數函數的導函數 ( 課本 x4.5) 一. 自然對數函數的導函數 因為 e x 與 ln x 互為反函數, 故對於 x > 0, 將兩邊對 x 微分, 得 d e ln x = x dx [eln x ] = d [x
![經濟系微積分 (95 學年度 ) 單元 28: 對數函數的導函數 單元 28: 對數函數的導函數 ( 課本 x4.5) 一. 自然對數函數的導函數 因為 e x 與 ln x 互為反函數, 故對於 x > 0, 將兩邊對 x 微分, 得 d e ln x = x dx [eln x ] = d [x](/thumbs/95/126244036.jpg "經濟系微積分 (95 學年度 ) 單元 28: 對數函數的導函數 單元 28: 對數函數的導函數 ( 課本 x4.5) 一. 自然對數函數的導函數 因為 e x 與 ln x 互為反函數, 故對於 x > 0, 將兩邊對 x 微分, 得 d e ln x = x dx [eln x ] = d [x")
單元 28: 對數函數的導函數 ( 課本 x4.5) 一. 自然對數函數的導函數 因為 e x 與 ln x 互為反函數, 故對於 x > 0, 將兩邊對 x 微分, 得 e ln x = x x [eln x ] = [x] () x 接著, 根據自然指數函數的導函數公式 由 () 式, 得 x [eu ] = e u u x 亦相當於 e ln x x [ln x] = x [ln x] = x
Microsoft Word - 多變量微積分講義.doc
多變量微積分 (I 偏導數 (A 多變數函數 設 為所有實數所成的集合, 為所有二元有序實數組所成的集合, 即 {(,, } 若, 且對每一 (,, 在 中有唯一的 z 與之對應, 則函數 f: 稱為兩個變數的實值函數, 為函數 f 的定義域, 為函數 f 的對應域, 在 中有被對應的 z 所成的集 合, 稱為 f 之值域 中元素 (, 所對應的 z 值, 記作 f (,, 即, 稱為自變數, z
翁秉仁教授 本著作除另有註明, 所有內容取材自作者翁秉仁教授所著作的微積分講義, 採用創用 CC 姓名標示 - 非商業使用 - 相同方式分享 3.0 台灣授權條款釋出
翁秉仁教授 本著作除另有註明, 所有內容取材自作者翁秉仁教授所著作的微積分講義, 採用創用 CC 姓名標示 - 非商業使用 - 相同方式分享 3.0 台灣授權條款釋出 函數與圖形方程式與平面曲線 隱函數反函數反三角函數連續函數與極限 與自然對數 函數與圖形方程式與平面曲線 隱函數反函數反三角函數連續函數與極限 與自然對數 函數與圖形方程式與平面曲線 隱函數反函數反三角函數連續函數與極限 與自然對數函數定義函數必須滿足兩個條件
2-2 函數圖形的描繪
2-2 函數圖形的描繪 為了使畫出來的近似圖形較為接近正確的圖形, 我們須借助一些資料 (1) 圖形的局部最高點與局部最低點 (2) 圖形的上升與下降的變化情形 (3) 圖形彎曲方向的變化情形 ( 甲 ) 函數的遞增與遞減由 2 1 節的討論可知 : (1) 設 f() 在 (a,b) 內每一點都可微分 (a) 若 f / () 0, (a,b), 則 f() 在 (a,b) 上為遞增 (b) 若
0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1
0 0 = 1 0 = 0 1 = 0 1 1 = 1 1 = 0 0 = 1 : = {0, 1} : 3 (,, ) = + (,, ) = + + (, ) = + (,,, ) = ( + )( + ) + ( + )( + ) + = + = = + + = + = ( + ) + = + ( + ) () = () ( + ) = + + = ( + )( + ) + = = + 0
. 雙曲線 y + y = 0 兩頂點的距離為何? 6 6. 若 log ( ) = + log, 則 =? 或 +. 若 f ( ) =, 且 f ( a) = f ( b) =, 則 f ( a + b) =? 6 8 =. 求 log ( + + )? π 6. 設 0 < θ <, 且 si
00 學年度四技新生基礎數學第一次測驗. 已知 f () 為一實係數多項式, 且 f ( ) =, f ( ) = 8 若 f () (6 + ) 的餘式為 a + b, 則 b a =? 8 6 0. 若 α, β 為方程式 + = 0 的兩根, 則 ( + )( + ) =? α β 9. 求 + + 9 =? 8. 若 + = + A B + C + D +, 則 A + B + C + D
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第七章 二次函數 壹 重點整理 1. 函數的意義 : 函數是一種對應關係, 可以一對一或多對一, 但不可一對多或一對無. 函數圖形的檢驗法 : 對 x 軸作垂線, 若與 x 軸僅交於一點, 即是函數圖形 3. 函數值的求法 : 函數 x f, 當 0 xa 時其函數值為 a 1 f 4. 二次函數 : 設 a, b, c 為常數且 a 0, 則 y f ( x) ax bx c 所表示的函數叫做二次函數,
Microsoft Word - 1-1泰宇解答
學校 : 學年度第學期第次段考科目名稱命題教師 : 年 班座號 : 姓名 : 得分 : 一 單選題 : ( ). 設 (x x6) (D) x Ax Bx Cx6, 則 A B C (A)6 (B) (C) 解答 :D ( ). 求 (x x x)( x x ) 的展開式中, x 項的係數為何? (A) (B) (C)6 解答 :A (D)7 9 統測 ( ). 下列何者為多項式? (A) x (B)
Microsoft PowerPoint 曲線之切線、曲率及紐率.ppt
4-5 曲線之切線 曲率及紐率 .1. 曲線切向量 切線 曲率 z r r y 曲線 L 的切線方程式 x ρ λ r + λ r 其中 λ 為切線的參數 L ρ λ r + λr ρ λ < x, y, z >+ λ< x, y, z > ρ λ < x + λx, y + λy, z + λz > ρ λ < x + λx, y + λy, z + λz > 切線的參數式方程式 x x + λx
標題
5 反三角函數的基本概念 ( 甲 ) 反函數的概念 (1) 反函數的定義 : 函數 f() g(), 設, 分別是 f() g() 定義域內任意元素, 如果 g(f())= 且 f(g())= 則稱 f() 與 g() 互為反函數,f() 的反函數記為 f 1 (), 即 g()=f 1 () 此時 f() g() 的定義域與值域互換, 即 f() 的定義域為 f 1 () 的值域,f() 的值域為
Chap 8: Inferences Based on a Single Sample: Tests of Hypothesis
第五講 連鎖律與隱函數微分法 Chain Rule & Implicit Dierentiation 5 - 目錄 5. :綱要 5. :合成函數 5. :連鎖律 5. :隱函數微分 5.4 :動動腦想一想 5 - 綱 要 本講將介紹連鎖律與隱函數微分法, 前者是有關合成函數之微分公式, 後者則有別於前面第四講之顯函數微分 5 - o g 合成函數 C o m p o s i t e F u n c
2.1 切線 但一般曲線上的切線不見得滿足以上條件, 現以直觀的方式來定義切線, 見下例 例 求 y = x 2 在點 (2, 4) 的斜率 (slope), 並求其切線方程式 定義 (1) f(a+h) f(a) h 稱為 f(x) 在 x = a 的 Newton 商
臺灣大學開放式課程 微積分甲 - 朱樺教授 第 2 章 微分 (Differentiation) 目錄 2.1 切線................................... 23 2.2 導函數.................................. 25 2.3 微分公式................................. 26 2.4 連鎖律..................................
一、乘法公式與多項式
一 乘法公式與多項式 多項式的乘法公式除了用來簡化多項式的乘法運算外, 還可運用於因式 分解 在本章中, 我們首先來複習已經學過的平方公式, 然後再延伸到立方公式 1-1 平方公式 二項式相乘公式 我們可利用分配律來展開 ( a+ )( c+ d) 的乘積而得到下列的公式 : ( a + )( c + d) ac + ad + c + d 公式 1 a c ac d ad c d 另一方面, 也可利用幾何圖形來解釋這個公式
_題目卷
東大附中國三數學科 :- 練習卷 年 班座號 : 姓名 : 一 單一選擇題. ( ) 如圖, 中, 分別為 上的點, 則下列哪個條件無法推得 //? () : = : () : = : () : = : () : = : 7. ( ) 如圖, 為直角三角形, 且 分別為 的中點, 已知 =, =4, 則 的面積為多少平方單位? () ( ) 8 () 4 () 48. ( ) 如圖, 中, =, =,
極限 limit 是由 無限接 近 的想法產生出來的數學概 念 最初用來決定某些函數在沒 有定義的點上的函數值 使得它 與鄰近的函數值有某種協調關 係 極限觀念的第一個應用 是 在決定函數由平均變化率導出瞬 間變化率 此過程即為微分 萊 布尼茲 Leibniz 1646 1716 從幾何觀點討論微分
微 分 2 極限 limit 是由 無限接 近 的想法產生出來的數學概 念 最初用來決定某些函數在沒 有定義的點上的函數值 使得它 與鄰近的函數值有某種協調關 係 極限觀念的第一個應用 是 在決定函數由平均變化率導出瞬 間變化率 此過程即為微分 萊 布尼茲 Leibniz 1646 1716 從幾何觀點討論微分 切線的斜 率 牛頓 Newton 1642 1727 從物理觀點討論微分 瞬 時速度 微積分實際上是在研討極
遞迴數列
(99 課綱 ) 第一冊第二章多項式函數 - 簡單的多項式函數 目標 能了解一次與二次多項式函數及其圖形 並了解一次函數 a b 中的一次係數 a 的幾何與物理意涵 也能利用配方法處理二次函數之圖形 極值 正定性以及圖形的平移相關的問題 再者 能理解單項高次函數的奇 偶性 單調性及其圖形和圖形的平移 定義. 多項式 : 形如 a a a a 其中 是非負整數 a a a a 是實數的式子稱為 的多項式
6-1-1極限的概念
選 修 數 學 (I-4 多 項 式 函 數 的 極 限 與 導 數 - 導 數 與 切 線 斜 率 定 義. f ( 在 的 導 數 : f ( h 對 實 函 數 f ( 若 極 限 存 在 h h 則 稱 f ( 在 點 可 微 分 而 此 極 限 值 稱 為 f ( 在 的 導 數 以 f ( 表 示 f ( f ( 函 數 f ( 在 的 導 數 也 可 以 表 成 f ( 註 : 為 了
章節
試題 設 f (x) ( x 3 x ) 9 (1) f (x) 的常數項為. () f (x) 的各項係數和為. 編碼 010614 難易 易 出處 康熹自命題 解答 (1) 51;() 51 多項式 f (x) 滿足 8 f (x) 5x 6 f (x 3 ) f (x ) 18 0,則 f (x) 的常數項為. 編碼 010615 難易 易 出處 康熹自命題 解答 3 f (x) 的常數項為
目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 二次方根與畢氏定理 因式分解 一元二次方程式
給同學的話 1 2 3 4 目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 1-1 3 1-2 7 1-3 11 1 16 2 二次方根與畢氏定理 2-1 20 2-2 24 2-3 29 2 33 3 因式分解 3-1 37 3-2 41 3-3 45 3 49 4 一元二次方程式 4-1 53 4-2 57 4-3 61 4 65 3 1-1 乘法公式 本節性質與公式摘要 1 分配律 : ddd
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第五十單元微分的應用 ( 二 ) 最佳化問題 ( 求最大值與最小值的應用問題 ) 是數學上很重要一個課題, 許多應用的領域, 最後可能都會歸結到求一個或多個數學式子的最大值與最小值, 最佳化問題是微分學發展出來的動機之一, 因此利用微分來解決最佳化的問題必然是它的主要應用之一 本單元的主題是利用微分的技術來求函數的最大值與最小值 ( 甲 ) 極值的意義先觀察定義於閉區間 [a,b] 上的多項式函數
論鄭玄對《禮記‧月令》的考辨
19997 183-196 論 鄭 玄 對 禮 記 月 令 的 考 辨 183 論 鄭 玄 對 禮 記 月 令 的 考 辨 一 問 題 的 背 景 20b 8a 1 472 24 20a 33 7a 2 3 1 35 60 64 472 240241 2 1a 3 19b 184 4 5 二 鄭 玄 考 辨 月 令 成 書 時 代 及 來 源 的 論 證 65 4 20b 282 5 235244
Microsoft Word - 0.5bh.doc
198 FG7. 199 HG8 E 圖中,DE 為一正方形, = 及 為一邊長 1 cm 的等邊三角形, 而 為此 = 90 若 DE 的面積為 10 cm, 三角形內的任意一點 ( 如圖所示 ) 若 至三邊 求 的面積 及 的垂直距離的總和為 x cm, 求 x 的值 In the figure shown, DE is a square and is an equilateral triangle
章節
試 題 阿 財 每 年 年 初 存 入 銀 行 0000 元, 年 利 率 %, 每 年 計 息 一 次, () 若 依 單 利 計 息, 則 第 0 年 年 底 的 本 利 和 多 少? () 若 依 複 利 計 息, 則 第 0 年 年 底 的 本 利 和 約 為 多 少?( 近 似 值 :0 0 計 ) 編 碼 0044 難 易 中 出 處 高 雄 中 學 段 考 題 解 答 ()000 元
遞迴數列
第三冊 - 向量 - 向量的基本應用 應用. 在 中 分別是 兩邊的中點 試證 : 且 + + ( + 故 // 且. 向量的線性組合 : 設 a // 則在 a 與 所決定的平面上的每個向量 都有唯一的實數對 ( x y 使 xa + y 稱為 a 的線性組合. 三點共線 : ( P 三點共線 存在 t R t 0 使得 P t ( 設 s t R 且 OP s O + t O 若 P 共線 s
840 提示 Excel - Excel -- Excel (=) Excel ch0.xlsx H5 =D5+E5+F5+G5 (=) = - Excel 00
Excel - - Excel - -4-5 840 提示 Excel - Excel -- Excel (=) Excel ch0.xlsx H5 =D5+E5+F5+G5 (=) = - Excel 00 ( 0 ) 智慧標籤 相關說明提示 -5 -- Excel 4 5 6 7 8 + - * / % ^ = < >= & 9 0 (:) (,) ( ) Chapter - :,
1-2 二元一次聯立方程式 21 例 1 代入法判斷二元一次聯立方程式的 { x3y5 2xy3 x1y2 x3y3 x2y1 xy 二元一次式 x y x+3y x-y x2y1 x2y1 { x3y5 2xy3 { 2x3y1 xy3 x2y1
1 20 1-2 二元一次聯立方程式 1 二元一次聯立方程式 2 代入消去法 3 加減消去法 主題 1 二元一次聯立方程式 列二元一次聯立方程式 6 x y 3 1 700 3xy700 5 2 1200 5x2y1200 { 3xy700 5x2y1200 二元一次聯立方程式 二元一次方程組 二元一次聯立方程式的 3xy700 5x2y1200 xy x y 共同 x200y100 3xy700
-1-3 無窮等比級數 061 無窮等比數列設 { } 為一無窮等比數列, 首項為, 公比為 r, 若 -1<r<1 時, 則 為收斂數列 06 無窮等比級數 : 設 為一無窮等比級數, 首項為, 公比為 r, 總和為 S, 若 -1<r<1 時, = 1 則 為收斂級數, 其和為 S= 1 r =
-1-1 等差數列與級數 055-1-0 數列與級數 數列 : 將一串數字排成一列, 形如 1,, 3, 4 k, 其中的 1 稱為第一項 或首項 稱為第二項 依此類推 k 稱為一般項或第 k 項, 通常以 { } 或 k 是表示第 k 項為 k 的數列 級數 : 將數列中的每一項用 + 連接起來, 讀作 前 項和, 記為 S = 1 + + 3 + + 056 級數連加性質 的性質 : (1) ()
第 2 單元三角函數編著 By 吳春鋒 一 有向角及其度量 1. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負 角度與弧度 : 1() 1() 弧度 弧度 = 180 只有代表弧度時為 180, 其餘皆為 3.14 ( D )1. 角為 (A) 直角 (B) 鈍角
一 有向角及其度量. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負 8. 角度與弧度 : () () 弧度 57.957 弧度 = 8 只有代表弧度時為 8, 其餘皆為.4 ( D ). 角為 (A) 直角 (B) 鈍角 (C) 平角 (D) 銳角. 5 等於 5 8 弧度 角度 弧度 6 45 4 6 9 5 5 6 8 7 6 看到角度 弧度, 8 擺分母 ; 看到弧度 角度, 擺分母. 扇形的弧長與面積
ok313 正餘弦定理
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 BC 三內角 表示 BC 的面積則 1 1 1 bcsin ca sin B absin C B 和 C 的對邊長 例題 1 在 BC 中已知 B 10 C 8 10 求 BC 的面積 ns: 0 3 1 1 BC 面積 B C sin 108sin10 0 3 Show xes Show 底 10 Show 底 8 C 8 10 10 B 類題
. 試解下列各不等式 () + x x >, 答 : () 5x 86x 6 <, 答 : () x 8x+ > x 6x, 答 : () 9x + 6 < x, 答 : 答 () < x < 5 () < x < () x 為任意實數解但 x () x 無解 5 解 () 同乘 ( ) 得 : x
- 一元二次不等式 基礎型. 試解下列各不等式 ()x+ > x, 答 : () x + x < x, 答 : () ( x+ )( x), 答 : 答 () x < () x > () x 解 ()x+ > x + > x x > x () 同乘 6 得 :( x) (x+ ) < 6(x ) 9x x < 8x 6 + 6< 8x 5x < x () 同乘 ( ) 得 : ( x+ )(x )
目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 相似三角形的應用 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 外心 內心與重心 3-1 推理證明 三角形與多
給同學的話 1.. 內 3. 內 內 目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 8 1-3 相似三角形的應用 13 1 18 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 9 34 3 外心 內心與重心 3-1 推理證明 40 3- 三角形與多邊形的心 45 3 51 3 1-1 比例線段 本節性質與公式摘要
55202-er-ch03.doc
8 第 章 機 率 - 樣 本 空 間 與 事 件 列 出 擲 一 粒 骰 子 所 出 現 點 數 的 樣 本 空 間, 並 以 集 合 表 示 下 列 各 事 件 : A 是 出 現 點 數 為 偶 數 的 事 件, B 是 出 現 點 數 為 奇 數 的 事 件, C 是 出 現 點 數 大 於 的 事 件 骰 子 出 現 的 點 數 可 能 是,,, 4,5, 6, 因 此 出 現 點 數 的
蔡逸高中數學二講義
要點 A: 整數指數 第三章指數函數與對數函數 - 指數 - 指數 自然數的指數 : 對於每個實數 a, 我們以記號 a 代表 a 自乘 次的 乘積, 即 個 a a a a a 的 a, 我們稱為底數, 稱為指數 例如 可以用 5 來表示 而 a 中 正整數指數的運算性質 ( 指數律 ): a m a =a m+ a m a a m (a m ) =a m a b =(ab) a b a b 例如
(Microsoft Word - 3-3 \245\277\244\361\273P\244\317\244\361.doc)
觀 念 篇 關 係 式 描 述 兩 個 變 數 x 與 y 之 間 關 係 的 數 學 式 子 例 題 練 習 1. 時 速 60 (km/h) 前 進, 求 距 離 y ( 公 里 ) 與 時 間 x ( 小 時 ) 的 關 係 式 關 係 式 就 是 描 述 兩 個 變 數 x 與 y 之 間 關 係 的 數 學 式 子 例 如 :y=60x 2. 媽 媽 的 年 齡 (x 歲 ) 比 女 兒
竞赛报名与报名审核
2014 年 全 国 职 业 院 校 技 能 大 赛 高 职 组 广 东 省 选 拔 赛 工 程 造 价 基 本 技 能 赛 项 竞 赛 指 南 主 办 : 广 东 省 教 育 厅 承 办 : 广 州 城 建 职 业 学 院 协 办 : 广 联 达 软 件 股 份 有 限 公 司 目 录 一. 竞 赛 的 几 个 重 要 时 间...1 二. 竞 赛 时 间 地 点 及 费 用...1 ( 一 )
第 6. 節 不 定 積 分 的 基 本 公 式 我 們 可 以 把 已 經 知 道 反 導 函 數 之 所 有 函 數 都 視 為 不 定 積 分 的 基 本 公 式 基 本 公 式 涵 蓋 的 範 圍 愈 大, 我 們 求 解 積 分 就 愈 容 易, 但 有 記 憶 不 易 的 情 事 研 讀
第 6. 節 反 導 函 數 與 不 定 積 分 定 義 6.. 反 導 函 數 說 明 : 第 六 章 求 積 分 的 方 法 若 F( ) f ( ), Df, 則 F ( ) 為 f( ) 之 反 導 函 數 (antierivative) () 當 F ( ) 為 f( ) 之 反 導 函 數 時, 則 F( ) C,C 為 常 數, 亦 為 f( ) 之 反 導 函 數 故 若 反 導 函
4.2 求根法 例 一倒立的圓錐形容器, 高 4 m, 底半徑 2 m 現以 2 m 3 /min 的速率倒入水, 則當水面高 3 m 時, 水面升高的速率為若干? 並求加速度 例 一人在路上以 1.5 m/s 的速度走, 探照燈在距馬路 6 m 遠處持續照這人, 則這人
臺灣大學開放式課程 微積分甲 - 朱樺教授 第 4 章 導函數應用 目錄 4.1 相對速率................................. 51 4.2 求根法.................................. 52 4.3 不定形.................................. 53 4.4 漸近線..................................
2-V-1 2-V-1 數學領域 A 版本學習重點 A-11-1 一元一次不等式 A-11-2 一元二次不等式 A-11-3 絕對值不等式 A-11-4 二元一次不等式 S-10-2 圓方程式 S-10-3 圓與直線的關係 R-10-1 線型函數 R-10-4 直線方程式 D-11-2 直線排列 D
柒 附錄 附錄一 : 數學領域學習重點與核心素養呼應表參考示例 本表以核心素養為基準, 標列相呼應的與 一 數學 A 版本 數學領域 A 版本學習重點 1-V-1 能夠了解所學習的數學 N-10-1 概念 運算與關係 N-10-2 1-V-4 能夠連結並應用數學的 N-10-3 概念 程序或方法到日常 N-10-4 生活或專業學科情境 N-10-6 1-V-2 1-V-3 能夠正確地執行數學程序 能夠運用數學概念
龍騰100-B5-習作-CH3.doc
8 第 章 不 等 式 不 等 式 - 絕 對 不 等 式. 已 知 正 數 a, b 滿 足 a+ b = 8, 求 ab 的 最 大 值 及 此 時 a, b 的 值. a+ b 解 : 由 算 幾 不 等 式 可 知 a ( b). 8 將 a+ b = 8代 入 上 式, 得 將 兩 邊 平 方, 整 理 得 ab. ab, 因 為 當 a = b時, 等 號 才 成 立, 且 a+ b =
章節
試題 求 ( )7 展開式中 8 的係數 編碼 05 難易 易 出處 康熹自命題 解答 8 67 ( )7 7 7 7 ( ) 7 7 7 ( ) 7 7 7 3 ( ) 0 0 () 3 5 係數 7 5 ( ) 7 5 8 () 3 8 8 係數 7 ( )7 ( 3 ) 67 [a (b c) ] 6 展開式中 a 3 b c 係數? 0 編碼 055 難易 易 出處 康熹自命題 解答 300
3-2 連比例 連比的運算性質 a b c 0 a b c (a m) (b m) (c m
114 3-2 連比例 1 連比與連比例式 2 應用問題 主題 1 連比與連比例式 12 15 3 6 15 3 6 15 3 6 連比 15 3 6 15 3 3 6 15 6 600 120 15 3 6 7 2 1 3-2 連比例 115 24 2 30 6 12 4 1 3 5 1 2 12 24 4 15 3 6 30 6 12 5 1 2 15 3 6 30 6 12 15 3 6 5
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第 四 章 - 試 分 別 說 明 組 合 邏 輯 電 路 與 序 向 邏 輯 電 路 之 定 義 解 : 組 合 邏 輯 電 路 由 基 本 邏 輯 閘 所 組 成 的 此 種 邏 輯 電 路 之 輸 出 為 電 路 所 有 輸 入 的 組 合 因 此 輸 出 狀 態 可 完 全 由 目 前 之 輸 入 來 決 定 而 組 合 邏 輯 電 路 之 示 意 圖 如 圖 所 a 示 ; 而 序 向 邏
高職數學B重點公式整理集
013 年 4 月 v.0 版 高職數學 B 重點公式 整理集 [99 課綱版 ] http://kitty.y.idv.tw/~rew/blog 雲淡風清 Fu-Sheg Fu-Sheg 高雄高商進修學校 高職數學 B 重點整理 目錄 Ch0 銜接教材... 1 [ 公式 0-1] 乘法公式... 1 Ch1 直線方程式... 13 [ 定義 1-1] 直角坐標... 13 [ 公式 1-] 兩點距離公式...
目次 CONTENTS 1 數列與級數 幾何圖形 三角形的基本性質 平行與四邊形
給同學的話 1 3 4 目次 CONTENTS 1 數列與級數 1-1 3 1-8 1 13 幾何圖形 -1 18 - -3 6 30 3 三角形的基本性質 3-1 35 3-39 3-3 44 3 48 4 平行與四邊形 4-1 54 4-59 4-3 63 4 68 3 1-1 數列 本節性質與公式摘要 1 數列 : 1 1 a 3 a 3 n n a n 3 n n1 a n1 4 n n1
所 3 學 分 課 程, 及 兩 門 跨 領 域 課 程 共 6 學 分 以 上 課 程 學 生 在 修 課 前, 必 須 填 寫 課 程 修 課 認 定 表, 經 班 主 任 或 指 導 教 授 簽 名 後 始 認 定 此 課 程 學 分 ) 10. 本 規 章 未 盡 事 宜, 悉 依 學 位
95 年 訂 定 96 年 11 月 修 正 97 年 10 月 修 正 100 年 2 月 修 正 101 年 4 月 修 正 102 年 1 月 修 正 103 年 4 月 修 正 103 學 年 度 入 學 新 生 適 用, 舊 生 可 比 照 適 用 1. 研 究 生 須 於 入 學 後 第 二 學 期 開 學 前 選 定 指 導 教 授, 經 課 程 委 員 會 認 定 後 方 得 繼 續
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In the figure, E is a diameter and E is a straight line. Find x. 圖中, E 是一直徑, E為一直線 求 x. 54. 70. 74. 9 E. 94 In the figure, O is the center of the circle. EO and E are straight lines. Find x. 圖中, O 為圓心,
中華民國 第51屆中小學科學展覽會
中 華 民 國 第 51 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 國 小 組 物 理 科 第 三 名 080115 問 水 哪 得 高 如 許? 為 有 熱 源 伴 水 來 學 校 名 稱 : 桃 園 縣 龍 潭 鄉 三 坑 國 民 小 學 作 者 : 指 導 老 師 : 小 六 陳 嬿 云 黃 啟 晉 小 六 張 婉 怡 關 鍵 詞 : 熱 脹 冷 縮 模 擬 燃 燒 影 響 力
(A)3 4 (B)5 6 (C)7 9 (D)10 2 (E) (A) (B) (C) (D) (E) ( ) ( ) ( ) (A) (B) (C) (D) (E) (A) (B) (C) (D) (E). (A) (B) (C) (D) (E). (A) (B) (C) (D) (
. (A) (B) (C) (D) (E). (A) (B) (C) (D) (E) (A) (B) (C) (D) (E) (A) (B) (C) (D) (E).. (E) (A) (B) (C) (D). (A) (B) (C) (D) (E). (A) (B) (C) (D) (E). (A) (B) (C) (D) (E) (A) (C) (D) (E) (A) (B) (C) (D) (E)
第一章 函數與極限
第五章不定積分 反導微 - 簡介 定義 : 若, F, 其中 為一個區間 則稱 F 為 在 上 的一個反導微 tdervtve, 或不定積分 dete tegrl, 並以符號 d F c 其中 c 為常數 表之 [ 注意 ]: s the 唯一 dervtve o F o F s 不一定唯一 tdervtve o F o 與不定積分有關的三個問題 : 一 存在性 : 若 是定義在區間 上的任何一個函數,
C12711--CH4.tpf
第 直 流 迴 路 章 4-1 節 點 電 壓 法 4-2 迴 路 電 流 法 4-3 重 疊 定 理 4-4 戴 維 寧 定 理 4-5 最 大 功 率 轉 移 4-6 諾 頓 定 理 4-7 戴 維 寧 與 諾 頓 之 轉 換 重 點 掃 描 習 題 探 討 熟 練 節 點 電 壓 法 的 解 題 技 巧 熟 練 迴 路 電 流 法 的 解 題 技 巧 熟 練 重 疊 定 理 的 解 題 技 巧
Book1
經 辦 網 點 名 稱 網 點 位 址 第 一 支 行 營 業 室 廣 東 省 廣 州 市 越 秀 區 沿 江 中 路 193 號 第 二 支 行 營 業 室 廣 東 省 廣 州 市 沿 江 西 路 145 號 吉 祥 支 行 廣 東 省 廣 州 市 東 風 中 路 313 號 荔 灣 支 行 營 業 室 廣 東 省 廣 州 市 荔 灣 區 南 岸 路 63 號 三 樓 北 京 路 支 行 營 業
二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲
-1 圓方程式 第 章 二次曲線 38 二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲線合稱為圓錐曲線 因為在平面坐標 系中 其對應的方程式均為二元二次式
76 數 學 傳 播 9 卷 1 期 民 94 年 月 H G O 共 線 例. 以 直 角 三 角 形 的 每 邊 為 邊 向 外 作 正 方 形, 則 連 結 直 角 邊 上 正 方 形 中 心 的 線 段 和 連 結 斜 邊 上 的 正 方 形 中 心 與 直 角 頂 點 的 線 段 互 相
用 解 析 法 解 決 平 面 幾 何 問 題 優 勢 多 多 胡 紹 宗 平 面 解 析 幾 何 是 中 學 數 學 課 程 的 重 要 組 成 部 分, 它 是 以 坐 標 系 為 工 具, 用 代 數 方 法 研 究 平 面 幾 何 圖 形, 它 不 僅 是 聯 繫 中 學 數 學 各 部 分 知 識 的 紐 帶, 也 是 進 一 步 學 習 高 等 數 學 和 力 學 等 不 可 缺 少 的
工 序 的 是 ( ) A. 卷 筒 切 筒 装 药 造 粒 B. 搬 运 造 粒 切 引 装 药 C. 造 粒 切 引 包 装 检 验 D. 切 引 包 装 检 验 运 输 7. 甲 公 司 将 其 实 施 工 项 目 发 包 给 乙 公 司, 乙 公 司 将 其 中 部 分 业 务 分 包 给
2013 年 安 全 工 程 师 法 律 知 识 答 案 解 析 一 单 选 择 题 1. 某 省 人 大 常 务 委 员 会 公 布 实 施 了 某 省 安 全 生 产 条 例, 随 后 省 政 府 公 布 实 施 了 某 省 生 产 经 营 单 位 安 全 生 产 主 体 责 任 规 定, 下 列 关 于 两 者 法 律 地 位 和 效 力 的 说 法, 正 确 的 是 ( ) A. 某 省 安
長跨距暨挑高建築特殊結構系統之調查分析
第 一 章 1 2 3 4 第 二 章 5 6 7 8 1. 2. 9 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 10 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 11 第 三 章 p 12 b / B 0.75 13 p 14 15 D = l 20 +10 16 17 p l D l D l D 3 p 4 3 18 19 20 21 22 23 24 25
解 如圖所示 : H i 為切點因此 F H = F H, F H = F H, P H = P H 6 = a = P F P F = (P H + F H ) (P H + F H ) = F H F H 所以 H 在雙曲線上, 即為頂點又 CH x 軸, 所以 C 和 H 之 x 坐標相 同,
8 圓錐曲線 04 8 定義操作 9 方程式 (x + 4) + + (x 4) + = 0 的實根 x 為 答 ± 0 (00 成德高中 98 曉明女中 ) 解 該方程式可看成橢圓 x 5 + y 9 = 和直線 y = 相交, x = ± 0 9 試解方程式 x + 6x + + x x + 4 = 8, 則 x = (99 萬芳高中代理 ) 答 x = ± 9 以 x + 4y = 的焦點為焦點,
<4D F736F F D20B2C43330B3E6A4B8A57EBF6EBB50A454B6A5A6E6A643A6A12E646F63>
( 甲 ) 空間向量的外積 第三十單元外積 體積與三階行列式 在物理學中, 設力 F 作用在位移 r 的終點上, 它的力矩定義為一個向量 M, 其大小 為 F r sinθ, 方向垂直 F 與 r, 且 M 與 r F 構成右手系, 符號寫成 : M r F 這樣的概念抽象化之後, 形成 外積 的定義 () 外積的定義 : F 設空間中兩向量 與 的外積為一個向量, 符號記為, 設空間中兩向量 與
課 程 簡 介 第 一 章 基 本 電 路 理 論 第 二 章 半 導 體 物 理 與 pn 接 面 二 極 體 元 件 分 析 第 三 章 二 極 體 電 路 分 析
電 子 學 ( 一 ) 課 程 簡 介 第 一 章 基 本 電 路 理 論 第 二 章 半 導 體 物 理 與 pn 接 面 二 極 體 元 件 分 析 第 三 章 二 極 體 電 路 分 析 第 四 章 雙 載 子 接 面 電 晶 體 第 五 章 雙 載 子 接 面 電 晶 體 之 直 流 偏 壓 分 析 第 六 章 雙 載 子 接 面 電 晶 體 之 交 流 小 訊 號 分 析 基 本 電 路
2016 年 地 质 工 程 系 教 学 工 作 安 排 2016 学 年 我 系 将 在 总 结 过 去 工 作 的 基 础 上, 结 合 今 年 学 院 以 抓 质 量 强 内 涵 促 改 革 调 结 构 建 品 牌 细 管 理 重 过 程 为 宗 旨, 以 规 范 管 理 深 化 内 涵 为
2016 年 地 质 工 程 系 教 学 工 作 安 排 2016 年 教 学 工 作 安 排 2015 2016 学 年 第 二 学 期 教 学 工 作 计 划 二 O 一 六 年 三 月 十 日 2016 年 地 质 工 程 系 教 学 工 作 安 排 2016 学 年 我 系 将 在 总 结 过 去 工 作 的 基 础 上, 结 合 今 年 学 院 以 抓 质 量 强 内 涵 促 改 革 调
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一 九 八 八 年 创 刊 回 忆 与 研 究 第 十 六 辑 上 海 市 新 四 军 历 史 研 究 会 浙 东 浙 南 分 会 编 二 O 一 三 年 十 二 月 1 ( 封 面 折 页 字 ) 编 委 会 顾 问 丁 公 量 丁 柯 吴 文 达 汪 志 荣 戚 南 强 李 国 经 主 编 陈 晓 光 副 主 编 葛 奇 忠 方 思 朋 编 委 ( 按 姓 氏 笔 画 为 序 ) 方 思 朋 王
( ) 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 121.2 117.5 125.8 122.0 130.9 126.8 135.4 131.5 140.3 136.0 144.9 140.2 153.5 147.9 160.6 154.7 165.1 160.3 167.7 163.9 169.3 165.8 169.6 166.7 170.0 167.8
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九 评 共 产 党 大 纪 元 系 列 社 论 2004 年 11 月 http://dajiyuan.com http://epochtimes.com 目 录 公 告 大 纪 元 发 表 系 列 社 论 九 评 共 产 党... 3 九 评 之 一 评 共 产 党 是 什 么... 4 前 言... 5 一. 以 暴 力 恐 怖 夺 取 和 维 持 政 权... 5 二. 以 谎 言 为 暴 力
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九 评 共 产 党 大 纪 元 系 列 社 论 2004 年 11 月 http://dajiyuan.com http://epochtimes.com 目 录 公 告 大 纪 元 发 表 系 列 社 论 九 评 共 产 党... 4 九 评 之 一 评 共 产 党 是 什 么... 4 前 言...5 一. 以 暴 力 恐 怖 夺 取 和 维 持 政 权... 5 二. 以 谎 言 为 暴 力
理 论 探 索 事 业 单 位 改 革 的 五 点 思 考 余 路 [ 摘 要 ] 事 业 单 位 改 革 是 中 国 改 革 的 重 要 环 节, 其 影 响 力 和 难 度 不 亚 于 国 有 企 业 改 革 本 文 着 重 围 绕 推 进 事 业 单 位 改 革 应 考 虑 的 五 个 方 面
![理 论 探 索 事 业 单 位 改 革 的 五 点 思 考 余 路 [ 摘 要 ] 事 业 单 位 改 革 是 中 国 改 革 的 重 要 环 节, 其 影 响 力 和 难 度 不 亚 于 国 有 企 业 改 革 本 文 着 重 围 绕 推 进 事 业 单 位 改 革 应 考 虑 的 五 个 方 面](/thumbs/40/21960388.jpg "理 论 探 索 事 业 单 位 改 革 的 五 点 思 考 余 路 [ 摘 要 ] 事 业 单 位 改 革 是 中 国 改 革 的 重 要 环 节, 其 影 响 力 和 难 度 不 亚 于 国 有 企 业 改 革 本 文 着 重 围 绕 推 进 事 业 单 位 改 革 应 考 虑 的 五 个 方 面")
目 录 理 论 探 索 事 业 单 位 改 革 的 五 点 思 考 1 信 息 交 流 省 编 办 刘 维 寅 副 主 任 到 我 市 对 市 县 政 府 机 构 改 革 工 作 进 行 实 地 评 估 11 我 市 部 分 部 门 试 点 实 行 部 门 内 部 行 政 审 批 制 度 改 革 工 作 13 我 市 三 项 措 施 确 保 机 构 编 制 监 督 活 动 常 态 化 14 基 层
2深化教育教学改革、创新人才培养模式
高 职 物 流 管 理 专 业 人 才 培 养 模 式 的 创 新 与 实 践 1 李 选 芒 2 赵 居 礼 摘 要 高 职 物 流 管 理 专 业 人 才 培 养 模 式 改 革 的 重 点 是 明 确 专 业 培 养 目 标, 构 建 适 应 培 养 目 标 的 课 程 体 系, 营 造 职 业 技 术 训 练 的 教 环 境, 建 设 双 师 结 构 的 师 资 队 伍 陕 西 工 业 职
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九 评 共 产 党 大 纪 元 系 列 社 论 2004 年 11 月 http://dajiyuan.com http://epochtimes.com 目 录 公 告 大 纪 元 发 表 系 列 社 论 九 评 共 产 党... 4 九 评 之 一 评 共 产 党 是 什 么... 5 前 言... 5 一. 以 暴 力 恐 怖 夺 取 和 维 持 政 权... 5 二. 以 谎 言 为 暴 力
实 习 上 下 点 表 格 解 释 和 相 关 纪 律 要 求 : 1 表 格 中 所 有 名 词 都 为 简 称, 包 括 医 院 名 称 四 年 级 五 年 级 各 专 业 名 称 等 所 有 时 间 都 为 学 生 装 好 行 李 出 发 时 间, 请 提 前 0 分 钟 将 行 李 运 到
附 件 :.014 年 实 习 生 进 出 实 习 单 位 用 车 方 案 南 京 医 科 大 学 014 年 6 月 实 习 学 生 进 出 实 习 单 位 用 车 计 划 教 务 处 编 014 年 6 月 5 日 实 习 上 下 点 表 格 解 释 和 相 关 纪 律 要 求 : 1 表 格 中 所 有 名 词 都 为 简 称, 包 括 医 院 名 称 四 年 级 五 年 级 各 专 业 名
简报158期.doc
党 员 干 部 现 代 远 程 教 育 简 报 第 15 期 ( 总 第 158 期 ) 中 共 山 东 省 委 农 村 党 员 干 部 现 代 远 程 教 育 领 导 协 调 小 组 办 公 室 2012 年 10 月 31 日 喜 迎 十 八 大 威 海 市 组 织 开 展 系 列 主 题 宣 传 活 动 迎 接 党 的 十 八 大 一 是 发 挥 党 建 电 视 栏 目 作 用 强 化 宣 传
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九 評 共 產 黨 大 紀 元 系 列 社 論 2004 年 11 月 http://dajiyuan.com http://epochtimes.com 目 錄 公 告 大 紀 元 發 表 系 列 社 論 九 評 共 產 黨... 3 九 評 之 一 評 共 產 黨 是 甚 麼... 4 前 言... 4 一. 以 暴 力 恐 怖 奪 取 和 維 持 政 權... 5 二. 以 謊 言 為 暴 力
103.06.23退休權益.ppt [相容模式]
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臺 中 市 政 府 人 事 處 不 可 不 知 之 退 休 權 益 1 大 綱 一 退 休 撫 卹 理 論 二 現 行 退 休 制 度 (85 制 ) 三 再 任 停 止 領 受 月 退 休 金 及 優 惠 存 款 四 案 例 分 享 五 公 務 人 員 退 休 撫 卹 法 草 案 (90 制 ) 六 公 務 人 員 保 險 法 103 年 1 月 29 日 修 法 七 結 語 一 退 休 撫 卹