( ). 在坐標空間中給定兩點 A(,, ) 與 B(7, 6, 5) 令 S 為 xy- 平面上所有使得向量 PA垂直於向量 PB 的 P 點所成的集合, 則 () S 為空集合 () S 恰含一點 () S 恰含兩點 () S

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涯编都
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1 第一部分 : 選擇題一單一選擇題 9 年數學科學科能力測驗說明 : 第至 6 題, 每題選出最適當的一個選項, 每題答對得 5 分, 答錯不倒扣.. 已知一等差數列共有十項, 且知其奇數項之和為 5, 偶數項之和為 0, 則下列哪一選項為此數列之公差?() () () () (5) 5 解 :(a +a +a 6 +a 8 +a 0 ) (a +a +a 5 +a 7 +a 9 ) = 0 5 = 5, (a a ) + (a a ) + (a 6 a 5 ) + (a 8 a 7 ) + (a 0 a 9 ) = 5d=5, 故所求 d= 故選 () ( ). 下列選項中的數, 何者最大? [ 其中 n!=n (n-) ] () 00 0 () 0 00 () () 50! (5) 50! 解 :0 00 =(0 ) 50 =00 50, () 00 0 <00 50 = (0 ) 50 = 0 00 () <00 50 = (0 ) 50 = ! () 50! = 509 < = <00 50 = (0 ) 50 = ! (5) 50! < = 0050 故選 (). 右圖陰影部分所示為複數平面上區域 9 學測 A {z:z r (cos isin ),0 r, 5 } 之略圖 9 學測令 D {w:w z,z A}, 試問下列選項中之略圖, 何者之陰影部分與區域 D 最接近? () () () () (5) 解 : 由棣美弗定理知 :w=z =r (cosθ +isinθ ), 其中 0<r <, 9 5 故選 (5)

() () () () (5) 5 解 :(a +a +a 6 +a 8 +a 0 ) (a +a +a 5 +a 7 +a 9 ) = 0 5 = 5, (a a ) + (a a ) + (a 6 a 5 ) + (a 8 a 7 ) + (a 0 a 9 ) = 5d=5, 故所求 d= 故選 () ( ). 下列選項中的數, 何者最大? [ 其中 n!

2 ( ). 在坐標空間中給定兩點 A(,, ) 與 B(7, 6, 5) 令 S 為 xy- 平面上所有使得向量 PA垂直於向量 PB 的 P 點所成的集合, 則 () S 為空集合 () S 恰含一點 () S 恰含兩點 () S 為一線段 (5) S 為一圓解 : PA PB APB 90, P 點在以 AB 為直徑的球面 K上, 且 K:(x) +(y) +(z) =, r 又因球心 (,, ) 到 xy 一平面的距離大於球半徑, 所以球面 K 與 xy- 平面不相交, 故 S 為空集合故選 () ( ) 5. 設 ABC 為平面上的一個三角形,P 為平面上一點且 AP AB t AC, 其中 t 為一實數解 : 請問下列哪一選項為 t 的最大範圍, 使得 P 落在 ABC 的內部? 板橋高中數學科祝福您順心愉快! 板橋高中數學科祝福您順心愉快! () 0 t () 0 t () 0 t () 0 t (5) 0 t 令 D 滿足 AD AB AC, D 在 BC上, 如圖所示若 P 落在 ABC 的內部, 且 AP AB t AC 0 t 故選 () ( ) 6. 台灣證券交易市場規定股票成交價格只能在前一個交易日的收盤價 ( 即最後一筆的成交價 ) 的漲跌 7% 範圍內變動例如 : 某支股票前一個交易日的收盤價是每股 00 元, 則今天該支股票每股的買賣價格必須在 9 元至 07 元之間假設有某支股票的價格起伏很大, 某一天的收盤價是每股 0 元, 次日起連續五個交易日以跌停板收盤 ( 也就是每天跌 7%), 緊接著卻連續五個交易日以漲停板收盤 ( 也就是每天漲 7%) 請問經過這十個交易日後, 該支股票每股的收盤價最接近下列哪一個選項中的價格? () 9 元 () 9.5 元 () 0 元 () 0.5 元 (5) 元解 : 最後的收盤價為 0(7%) 5 (+7%) 5 = , log( ) = 5(log0.9+log.07)=5( ) =5(0.00)=0.005= =+log9.76=log0.976 ( 查表得 =log9.76) 所以收盤價約為 = , 故選 () K d= xy 平面 d>r 不相交 B E Q(,, ) A P D G C

設 ABC 為平面上的一個三角形,P 為平面上一點且 AP AB t AC, 其中 t 為一實數解 : 請問下列哪一選項為 t 的最大範圍, 使得 P 落在 ABC 的內部? 板橋高中數學科祝福您順心愉快!

3 二多重選擇題說明 : 第至 5 題, 每題至少有一個選項是正確的, 選出正確選項. 每題答對得 5 分, 答錯不倒扣, 未答者不給分. 只錯一個可獲.5 分, 錯兩個或兩個以上不給分. ( ). 中山高速公路重慶北路交流道南下入口匝道分成內外兩線車道, 路旁立有標誌外側車道大客車專用請選出不違反此規定的選項 :() 小型車行駛內側車道 () 小型車行駛外側車板道橋高中數學科祝福您順心愉快! () 大客車行駛內側車道 () 大客車行駛外側車道 (5) 大貨車行駛外側車道解 : 此標誌意思為外側車道只限行駛大客車, 而內側車道則無限制, 因此不違反此規定的選項有 ()()() 故選 ()()() ( ). 在坐標平面上, 下列哪些方程式的圖形可以放進一個夠大的圓裡面? () x=y () x +y = () x -y = () x+y = (5) x + y = 解 : 所求圖形須為一封閉曲線 () x=y 表開口向右的拋物線, 非封閉曲線 () x +y = 表直立型的橢圓, 為封閉曲線 () x -y = 表左右開口的雙曲線, 非封閉曲線 () x+y = x+y= 或 x+y=- 表二平行直線, 非封閉曲線 (5) x + y = 圖形為正方形 ( 如右圖 ), 為封閉曲線故選 ()(5) ( ). 如右圖 O-ABCD 為一金字塔, 底是邊長為之正方形, 頂點 O 與 A B C D 之距離均為板試問下橋列哪些高式子中是正確數的? 學科祝福您順心愉快! () OA OB OC OD 0 OA OB OC OD () OA OB OCOD (5) OA OC () OA OB OC OD 0 () 0 OA OB OC OD OA OB OC OD 板橋高中數學科祝福您順心愉快 H! OA OC OH OB OD OA OB OC OD OAOB OA OB AOB AOB, cos cos AOB COD OA OB OCOD ( ) OAOC AOC 解 : 設 OH 垂直平面 ABCD 於 H, () OA OC OH, OB OD OH OA OB OC OD 0 () 0 () 0 () cos cos (5) cos 故選 ()() OCOD OC OD COD COD

() 大客車行駛內側車道 () 大客車行駛外側車道 (5) 大貨車行駛外側車道解 : 此標誌意思為外側車道只限行駛大客車, 而內側車道則無限制, 因此不違反此規定的選項有 ()()() 故選 ()()() ( ).

4 . 從,,,0 這十個數中隨意取兩個, 以 p 表示其和為偶數之機率, q 表示其和為奇數之機率試問下列哪些敘述是正確的? () p q () p q () p q 0 解 : 若兩數之和為偶數, 則兩數必都是奇數或都是偶數 () p q C 0 C (5) p C p 5 9 板橋高中數學科祝福 5 5您順心愉快! 若兩數的和為奇數, 則兩數必是一奇數一偶數 C C 5 5 q 故選 ()() C <9 學測 > 5. 設 f (x) 為三次實係數多項式, 且知複數 i 為 f (x) 0 之一解試問下列哪些敘述是正確的? () f ( i) 0 () f ( i) 0 () 沒有實數 x 滿足 f (x) x () 沒有實數 x 滿足 f (x ) 0 (5) 若 f (0) 0 且 f () 0, 則 f () 0 <9 學測 > 解 :() 實係數方程式, 虛根必成對 f ( + i) f ( i) 0 () 三次且 f ( + i) f ( i) 0 另一根為實根 f ( i) 0 () f (x) x f (x) x 0 為三次方程式 ( 奇數次 ) 必有一實根 () f (x ) 0 為九次方程式 ( 奇數次 ) 必有一實根 (5) f (0) 0 且 f () 0 0 之間必有一實根, 且沒其它實根, 故 f () 0 故所求為 ()()(5) 0 x 第二部分 : 填充題說明 : 第至 9 題, 每題完全答對給 5 分, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分.. 某數學老師計算學期成績的公式如下 : 五次平時考中取較好的三次之平均值佔 0%, 兩次期中考各佔 0%, 期末考佔 0%. 某生平時考成績分別為 , 期中考成績分別為 86 79, 期末考成績為 90, 則該生學期成績為.( 計算到整數為止, 小數點以後四捨五入 ) 板橋 8 高 7 85中數學科祝福您順心愉快! 解 : 學期成績為 + + 0%+86 0%+79 0%+90 0% = 8. 某電視臺舉辦抽獎遊戲, 現場準備的抽獎箱裡放置了四個分別標有 000,800,600,0 元獎額的球參加者自行從抽獎箱裡摸取一球 ( 取後即收回 ), 主辦單位即贈送與此球上數字等額的獎金, 並規定抽取到 0 元的人可以再摸一次, 但是所得獎金折半 ( 若再摸到 0 就沒有第三次機會 ) 則一個參加者可得獎金的期望值是多少元?( 取整數, 小數點以後四捨五入 ) <9 學測 > 解 : 機率分配如下所示, 故所求期望值 ( ) ( ) 675 元 6 金額 ( 元 ) 機率

若兩數的和為奇數, 則兩數必是一奇數一偶數 C C 5 5 q 故選 ()() C 5 9 0 <9 學測 > 5. 設 f (x) 為三次實係數多項式, 且知複數 i 為 f (x) 0 之一解試問下列哪些敘述是正確的?

5 . 設 a,b,c 為正整數, 若 alog 50 +blog 50 5+clog 50 =, 則 a+b+c=. 解 :alog 50 +blog 50 5+clog 50 =, log 50 ( a 5 b c )= a 5 b c = 50 = ( 5 ) = 9 5 a+b+c = 9++ = 5. 設 ABC 為一等腰直角三角形,BAC=90. 若 P Q 為斜邊 BC 的三等分點, <9 學測 > 則 tan PAQ=.( 化成最簡分數 ) 5 解 : 令 AB AC, BC, ACQ 中, AQ ( ) cos 5 5 AQ 9 5 同理, AP ( ) 9 9 PAQ 中, cospaq, 板橋高又因中 PAQ 數為銳學角, 所求 tan PAQ 科祝福您順心愉快! 板 69橋高 6 中數學科祝福您順心愉快! + AP AQ 另解 : 令 AP (, ), AQ (, ) cos PAQ 9 9 AP AQ 某高中招收高一新生共有男生 008 人女生 9 人報到學校想將他們依男女合班的原則平均分班, 且要求各班有同樣多的男生, 也有同樣多的女生 ; 考量教學效益, 並限制各班總人數在 0 與 50 人之間, 則共分成班解 : 設共分成 d 班, 則 d 為 008 與 9 的公因數 ( 各班有同樣的男生數, 也有同樣的女生數 ) 008 與 9 的最大公因數為 8= 9 7, 且每班的人數須介於 0 與 50 之間, d 又,,, 故所求 d=( 班 ), 且每班有 6 人在坐標空間中, 平面 xy+z=0 上有一以點 P(,, ) 為圓心的圓 Γ, 而 Q(9, 9, 7) 為圓 Γ 上一點 n n 若過 Q 與圓 Γ 相切的直線之一方向向量為 (a, b, ), 則 a=,b= 解 : 令 d ( a, b,), n (,,) 如圖 d, d PQ d / /( n PQ) (,,) PQ ( 0,8, 6) d ( a, b,) (5,,), 故所求 a 5, b n PQ ( 60, 6, ) (5,,) P 注意 : 因為切線為割線的極限圓 Γ 與圓的切線 L 必共平面 E 割線切線 L Q n 5

( 化成最簡分數 ) 5 解 : 令 AB AC, BC, ACQ 中, AQ ( ) cos 5 5 AQ 9 5 同理, AP 5 5 + ( ) 9 9 PAQ 中, cospaq, 5 5 5 板橋高又因中 PAQ 數為銳學角, 所求 tan PAQ 科祝福您順心愉快! 板 69橋高 6 中數學科祝福您順心愉快!

6 7. 設 70<A<60 且 sina+cosa=sin00, 若 A=m, 則 m= 解 : 板橋高中數學科祝福您順心 y 愉快! sin A cos A (sin A cos A ) =(sinacos0+cosasin0)=sin(a+0), 又 00<A+0<90, 且 00=605+0, O sin00=sin0= sin(800)=sin()=sin6, 所以 A+0=6, 故所求 A=m=06 80= =0 x 8. 坐標平面上的圓 C:(x 7) (y 8) 9 上有個點與原點的距離正好是整數值 <9 學測 > 解 : 圓 C:(x7) +(y8) =9 的圓心為 K(7, 8), 半徑 r=, y 設 P 為圓 C 上任一點,O 為原點, 板橋高中 7 數 8 學科祝. 福您順心愉快 K! 則 OP 的最大值 OK r +, OP 的最小值 OK r , 則 OP 的整數值為 8,9,0,,,, 共六個 8 x 分別以 8,9,0,,, 為半徑畫弧, 與圓 C 共交於個點 O 故所求為個 8 9. 在坐標平面上, 設直線 y= x+ 與拋物線 :x =y 相交於 P,Q 兩點若 F 表拋物線的焦點, 則 PF QF <9 學測 > 解 : 設交點 P(x, y ),Q(x, y ), y= x+ 代入 x =y 得 y 8y+=0, y x =y 板橋高中數學科祝福您順心愉 P(x 快,y )! 由根與係數得 y +y =8, x =y 的焦點 F(0,), 準線 y=, 故 PF QF ( y ) ( y ) 8 0 Q(x,y ) y + y + F y= x+ L:y= 6

坐標平面上的圓 C:(x 7) (y 8) 9 上有個點與原點的距離正好是整數值 <9 學測 > 解 : 圓 C:(x7) +(y8) =9 的圓心為 K(7, 8), 半徑 r=, y 設 P 為圓 C 上任一點,O 為原點, 板橋高中 7 數 8 學科祝. 福您順心愉快 K!

6-1-1極限的概念

6-1-1極限的概念選修數學 (I-4 多項式函數的極限與導數 - 導數與切線斜率定義. f ( 在的導數 : f ( h 對實函數 f ( 若極限存在 h h 則稱 f ( 在點可微分而此極限值稱為 f ( 在的導數以 f ( 表示 f ( f ( 函數 f ( 在的導數也可以表成 f ( 註 : 為了

( ). 在 坐 標 空 間 中 給 定 兩 點 A(,, ) 與 B(7, 6, 5) 令 S 為 xy- 平 面 上 所 有 使 得 向 量 PA垂 直 於 向 量 PB 的 P 點 所 成 的 集 合, 則 () S 為 空 集 合 () S 恰 含 一 點 () S 恰 含 兩 點 () S

( ). 在坐標空間中給定兩點 A(,, ) 與 B(7, 6, 5) 令 S 為 xy- 平面上所有使得向量 PA垂直於向量 PB 的 P 點所成的集合, 則 () S 為空集合 () S 恰含一點 () S 恰含兩點 () S