7. 基本積分公式 (8) sec u tn udu = sec u + C (9) csc u cot udu = csc u + C () tn udu = ln cos u + C = ln sec u + C () cot udu = ln sin u + C = ln csc u + C
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1 第 7 章 積分技巧 目錄 7. 基本積分公式 分部積分 遞迴公式 三角函數的冪次 有理函數的積分 三角函數之有理式 三角代換 其他型式 數值積分 瑕積分 綜合例題 () 介紹在求不定積分時常用的技巧 (2) 介紹如何估計定積分之值 (3) 介紹瑕積分的概念 7. 基本積分公式 7... () du = u + C (2) u n = u n+ n+ (3) du u = ln u + C + C, n (4) sin udu = cos u + C (5) cos udu = sin u + C (6) sec 2 udu = tn u + C (7) csc 2 udu = cot u + C 7
2 7. 基本積分公式 (8) sec u tn udu = sec u + C (9) csc u cot udu = csc u + C () tn udu = ln cos u + C = ln sec u + C () cot udu = ln sin u + C = ln csc u + C (2) sec udu = ln tn u + sec u + C (3) csc udu = ln cot u + csc u + C (4) exp udu = exp u + C (5) u du = u ln + C (6) du 2 u 2 (7) du 2 +u 2 (8) du u u 2 2 (9) du 2 +u 2 (2) du u 2 2 = sin ( u ) + C = tn ( u )+C = sec u + C = sinh ( u ) + C = cosh ( u ) + C (2) { du = tnh ( u) + C u2 < 2 2 u 2 coth ( u) + C u2 > 2 (22) du u 2 u 2 = sech ( u ) + C, < u < (23) du u = 2 +u 2 csch ( u ) + C, u, > 例 求下列積分 : () 2x 9 x 2 9x+ (2) 2x 9 x 2 9x+ (3) 3x 2 7x 3x+2 (4) x 2x+5 (5) x 2 +4x+5 例 求下列積分 : () 3x+2 x 2 (2) 8x x 2 (3) 2 3+4x 2 微積分講義, 7
3 7.2 分部積分 例 求下列積分 : () x 2x 4 (2) x 2 2x 4 (3) x x+ x 2 + (4) 2x 2 +3 x 4 例 求下列積分 : () (sec x + tn x) 2 (2) π 4 + cos 4x (3) csc x (4) sin x+cos x (5) cos x cos 2x cos 3x 例 求下列積分 : () x ln x (2) coth5x (3) sinh2 x (4) ln 2 4e x sinhx (5) e x x 例 若 < < b, 求 lim t { [bx + ( x)]t 7.2 分部積分 (Integrtion by Prts) 定理 ( 分部積分公式 ) f(x)g (x) = f(x)g(x) f (x)g(x), 或 udv = uv vdu 例 求下列積分 : () x sin x (2) x cos x 例 求下列積分 : () t 2 e t dt (2) x 4 e x 微積分講義, 72 } t
4 7.3 遞迴公式 例 求下列積分 : () e x sin x (2) e x cos bx 例 求下列積分 : () ln x (2) rctn x (3) sin x (4) x sin x (5) (cos x) 2 例 求下列積分 : () x (x + 5) 8 (2) x (x 2 + 5) 8 (3) xe x (x+) 2 (4) x 3 +x 2 定理 ( 定積分之分部積分公式 ) f(x)g (x) = f(x)g(x) b f (x)g(x) 例 求曲線 y = xe x 與 x- 軸在 x = 到 x = 4 之間所圍的面積 例 將曲線 y = rctn x, y = 及 x = 所圍區域繞 y- 軸旋轉 求旋轉體體積 例 若 f() = g() =, 且 f 及 g 為連續, 證明 f ()g() + f (x)g(x) 例 假設 f(x) 為正值, 且 f (x) 為連續, 求 lim f(x) sin nx n 7.3 遞迴公式 (Reduction Formule) 例 求下列積分 : () x n e x (2) x 4 e x 例 求下列積分 : () x n ln x (2) (ln x) n 例 求下列積分 : 微積分講義, 73 f(x)g (x) = f()g ()
5 7.4 三角函數的冪次 () x 3 sin x (2) x n sin x 例 求下列積分 : () sin n x (2) ( x)p x q, p, q 為正整數 7.4 三角函數的冪次 sin m x cos n x 型 例 求下列積分 : () cos 5 x (2) sin 5 x cos 2 x (3) π sin2 x (4) sin 4 x (5) sin 4 x cos 2 x 例 (Wllis 公式 ) () π 2 sinn x (2) π 2 cosn x 例 (Wllis 乘積 ) 令 I n = π 2 sinn x () 證明 I 2n+2 I 2n = 2n+ 2n+2 I 2n+ I 2n (b) 證明 lim n I 2n+ I 2n = 2 (c) 證明 lim n n tn m x sec n x 型 2n 2n = π 2n+ 2 例 求下列積分 : () tn n x (2) sec n x (3) tn 3 x (4) sec 3 x 例 求下列積分 : 微積分講義, 74
6 7.5 有理函數的積分 () tn 3 x sec 3 x (2) tn 3 x sec 4 x (3) tn 4 x sec 4 x (4) tn 4 x sec 3 x (5) tn 5 x sec 7 x (6) tn 6 x sec 4 x 例 求 f(x) = π cos t cos(x t)dt, x 2π, 的極小值 其它 例 sin 4x cos 5x 例 令 m, n 為正整數, 求下列積分 : () π sin mx cos nx π (b) π sin mx sin nx π (c) π cos mx cos nx π 例 令 J n = 例 π 2, 則 J (x ) n n+ = 2n 2 sin n x sin n x+cos n x 7.5 有理函數的積分 x + 2n J (x ) n 2n 2 n 性質 任一實係數多項式必可分解成不可約的一次及二次因式的乘積 2. 任一有理式可寫成多項式及真分式之和 p(x) 3. 令為一真分式, q(x) = (x + q(x) ) n (x + k ) n k (x 2 + b x + c ) m (x 2 + b l x + c l ) m l, 其中 i 均相異, x 2 + b i x + c i 亦為各自相異之不可約因式 則 p(x) = q(x) p(x) q(x) 可表成 f (x) (x+ ) n + + f k(x) (x+ k ) n k + g (x) (x 2 +b x+c ) m + + g l (x) (x 2 +b l x+c l ) m l, 其中 deg f i (x) < n i, deg g j (x) < 2m j 4. f(x) (x+) n, deg f(x) < n, 必可表成 f(x) (x+) n = α x+ + α 2 (x+) α n, α (x+) n i R 5. g(x) (x 2 +bx+c) m, deg g(x) < 2m, 必可表成 g(x) (x 2 +bx+c) m = β x+γ x 2 +bx+c + + β mx+γ m (x 2 +bx+c) m, β j, γ j R 註 () 以上 項之表法稱為部分分式 (prtil frctions) (2) 求部分分式之表法一般可用未定係數法, 代入法, Heviside 法及綜合除法 (3) 由以上性質, 可知任一有理函數之積分必可分解成多項式之積分及以下六種類型之積分 : () x+ 微積分講義, 75
7 7.5 有理函數的積分 (b) (x+) n, n (c) x 2 +x+b (d) cx+d, c x 2 +x+b (e), n (x 2 +x+b) n (f) cx+d, c, n, 其中 x 2 + x + b 為不可約 (x 2 +x+b) n 例 以不同的方法求以下的積分 : () x 3 +x x (2) 5x 3 (x+)(x 3) ( 對照係數法 ) (3) x 2 +4x+ (x )(x+)(x+3) ( 代入數值法 ) (4) x (x+) 3 ( 微分法 ) (5) 6x+7 (x+2) 2 ( 綜合除法 ) 例 求以下的積分 : () 2x 3 4x 2 x 3 x 2 2x 3 (2) x 2 +2x 2x 3 +3x 2 2x (3) x 2 2, (4) x 4 2x 2 +4x+ x 3 x 2 x+ (5) x 2 + (x )(x 2)(x 3) (6) x 2 +4 x 3 +3x 2 x (7) (x+)(x+2) (x+m) 例 求以下的積分 : () 4x 2 3x+2 4x 2 4x+3 (2) x 2 + x(x 2 +3) (3) 2x 2 x+4 x 3 +4x (4) 2x+4 (x 2 +)(x ) 2 例 求以下的積分 : () x(x 2 +) 2 (2) x+2x 2 x 3 x(x 2 +) 2 微積分講義, 76
8 7.6 三角函數之有理式 (3) 2x 2 +3x+4 (x 2 +x+) 2 (4) x 3 +x 2 + x(x )(x 2 +x+)(x 2 +) 3 定理 (M. B. Ostrogrdski) 令 P2 (x), Q 2 其中 (x) P (x) 為一真分式 則其積分可寫為 P (x) = P (x) + Q(x) Q(x) Q (x) P (x), P 2(x) Q (x) Q 2 均為真分式, 且 Q(x) = Q (x) (x)q 2 (x), Q (x) = (x ) k (x 2 + px + q) m, Q 2 (x) = (x ) (x 2 + px + q) 例 求以下的積分 : () 4x 4 +4x 3 +6x 2 +2x+8 (x+) 2 (x 2 +) 2 (2) 2x 6 +5x 5 x 4 6x 3 96x 2 2x 24 (x ) 3 (x+)(x 2 +2x+5) 2 例 若 f 為二次函數, f() =, 且 7.6 三角函數之有理式 f(x) x 2 (x+) 3 為有理函數, 求 f () 被積分式是三角函數之有理式, 可作 u = tn x 2 之變數變換 例 求以下的積分 : () +cos x (2) 2+sin x (3) sec θdθ (4) +sin x+cos x 7.7 三角代換 形如 R(x, x2 ), R(x, + x 2 ), R(x, x 2 ) 之積分, 可分別作 x = sin θ, x = tn θ, x = sec θ 之變數變換 例 求以下的積分 : () x 2 5 4x 2 (2) 9 x 2 x 2 (3) x 2 x 2 +4 (4) 4+x 2 (5) x x 2 +4 (6) x 3 (4x 2 +9) 3 2 微積分講義, 77
9 7.8 其他型式 (7) x 3 2x x 2 (8) x 2 2, > (9) 25x 2 4, x > 2 5 例 求以下的積分 : () x x 2 + 2x + 4 (2) x 2 9 x 2 例 求 lim n n k= n 2 +k(k ) 例 將曲線 y = 4 x 2 +4, x 軸及 x =, x = 2 所圍區域繞 x- 軸旋轉, 求旋轉體體積 x 例 求橢圓 2 + y2 2 b 2 = 之內部面積 例 一大圓半徑為 R, 一小圓半徑為 r, 兩圓相交, 交點在小圓的直徑上 求在大圓外部, 且在小圓內部之部份 ( 新月形 lune) 的面積 7.8 其他型式 R(e x ) 型 例 求以下的積分 : () e 2x +e x (2) +sinh x +cosh x R(x, n x+b ) 型 cx+d 例 求以下的積分 : () x+4 x (2) x ( + x) (3) x++2 (x+) 2 x+ (4) x +x R( n x + b, n 2 x + b,..., n k x + b) 型 例 求以下的積分 : () (+x) 3/2 +(+x) /2 微積分講義, 78
10 7.9 數值積分 (2) x + 3 x Chebyshev 定理 定理 (P. L. Chebyshev) 令 m, n, p 為有理數 則形如 x m ( + bx n ) p 之積分可表為基本函數之充要條件為 p, m+ m+ 及 + p 中有一為整數 n n 例 求以下的積分 : () x x (2) 4 +x 4 (3) x 3 +x 5 定理 令 y = f(x) 是遞增可微函數 則 例 求以下的積分 : () sin x (2) e ln x f (x) = bf (b) f () 例 令 g(x) 為 f(x) = x + sin x 的反涵數, 求 7.9 數值積分 (Numericl Integrtion) f (b) f () + π 2 g(x) f(x) 註 () 以下之積分為非基本函數之例 : sin(x 2 ), sin x, x 4 sin2 x, + x4, x 3 +, e x2, e ex, e x,, ln(ln x), cos(e x ) x ln x (2) 本節內容所採用之符號如下 : 要估計 f(x) 將 [, b] n 等分, 得分點 x =, x = + x, x 2 = + 2 x,..., x n = + (n ) x, x n = b, x = b, y n i = f(x i ) 中點法 定理 ( 中點法, The Midpoint Rule) f (x) M n = x [f ( x ) + + f ( x n )], 其中 x = b n, x i = 2 (x i + x i ) 定理 ( 中點法誤差 ) 若 f 在 [, b] 上連續, 且 M 2 為 f 在 [, b] 之上界, 則上述估計之誤差 E M 滿足 E M M 2(b ) 3 24n 2 例 () 以中點法 ( 取 n = 5) 估計 (2) 若要誤差小於., 則該取 n 為多少? 例 利用中點法, 取 n = 估計 ex2 其誤差的上界是多少? 2 x 微積分講義, 79
11 7. 瑕積分 梯形法 定理 ( 梯形法,The Trpezoidl Rule) b f(x) T = (y 2n + 2y + 2y y n + y n ) 定理 ( 梯形法誤差 ) 若 f 在 [, b] 上連續, 且 M 2 為 f 在 [, b] 之上界, 則上述估計之誤差 E T 滿足 E T M 2(b ) 3 例 以 n = 4 估計 2n 2 2 x2 例 以 n = 的梯形法, 估計 例 以梯形法來估計 ln 2 = 2 拋物線法 π x sin x, 誤差之上界為何?, 希望誤差 < 6, 則須取 n 為多少? x 定理 ( 拋物線法, Simpson Rule) 取 n 為偶數 b f(x) S = (y 3n + 4y + 2y 2 + 4y y n 2 + 4y n + y n ) 定理 ( 拋物線法誤差 ) 若 f (4) 在 [, b] 上連續, 且 M 4 為 f (4) 在 [, b] 上的上界, 則上述估計之誤差 E S 滿足 E S M 4(b ) 5 8n 4 例 () 利用 Simpson 法, 取 n = 估計 (2) 若要誤差小於 6, 則該取 n 為何? 例 一湖如圖, 估計湖面面積 2 x 7. 瑕積分 (Improper Integrls) 第一型瑕積分 定義 7... ( 第一型瑕積分 ) () 若 f(x) 在 [, ) 連續, 則 f(x) = lim (2) 若 f(x) 在 (, b] 連續, 則 f(x) = b (3) 若 f(x) 在 (, ) 連續, 則任取一實數 c, 定義 f(x) lim f(x) f(x) = c f(x)+ c f(x) 在以上任一情況下, 若右式的極限存在, 則稱瑕積分收斂 (convergence), 且其值稱為瑕積分之值, 否則稱為發散 (divergence) 例 求 e x 2 例 x 2 註 f(x) = lim f(x) 不見得成立 例如 : x +x 2 例 求曲線 y = ln x x 2 之下從 x = 到 x = 的面積 微積分講義, 8
12 7. 瑕積分 例 求第一型 p- 積分 例 求 xex 例 求 2 x+3 (x )(x 2 +) x p 之值 例 一立體其垂直於 x- 軸之截面為直徑 y = e x 的圓, < x ln 2, 求其體積 第二型瑕積分 定義 7... ( 第二型瑕積分 ) () 若 f(x) 在 (, b] 連續, 則 f(x) = lim f(x) c + c c (2) 若 f(x) 在 [, b) 連續, 則 f(x) = lim f(x) c b (3) 令 c (, b) 若 f(x) 在 [, c) (c, b] 連續, 且在 x = c 不連續, 則 f(x) = c f(x) + f(x) c 在以上任一情況下, 若右式的極限存在, 則稱瑕積分收斂 (convergence), 且其值稱為瑕積分之值, 否則稱為發散 (divergence) 例 7... 求第二型 p- 積分 例 求 例 求 例 求 例 求 例 求 例 求 例 求 瑕積分審斂法 π 2 x x 2 x 2 (x ) 2 3 sec x ln x x 2 4 x p 之值 定理 ( 直接比較法, Direct Comprison Test) 令 f 及 g 在 [, ) 上連續, 且 f(x) g(x), x, 則 () 若 (2) 若 g(x) 收斂, 則 f(x) 發散, 則 例 判斷以下瑕積分之歛散 : () e x2 ; (2) sin 2 x; x 2 f(x) 收斂 g(x) 發散 微積分講義, 8
13 7. 綜合例題 (3) (4) x 2. +e x x 定理 ( 極限比較法, Limit Comprison Test) 若 f(x) 及 g(x) 在 [, ) 上連續且為 f(x) 正值, 且 lim 存在, 則 f(x) 及 g(x) 同歛散 x g(x) 例 判斷以下瑕積分之歛散 : () (2) ; +x 2 3 e x +5 例 判斷以下瑕積分之歛散 : () (2) 2+sin x x, +x 4 例 () 證明 : 在 >, 且 b > + 時, 積分 (b) 證明 : 在 <, 且 b < + 時, 積分 ( 例 求 C 之值, 使瑕積分 例 求下列極限 : () lim n n n! n, ( ) (2) lim (2n)! n n n!n n 例 若 n 為正整數, () 證明 (ln x)n = ( ) n n!, (2) 證明 ( x2 ) n = 22n (n!) 2 (2n+)! 7. 綜合例題 求下列積分 : () 2 2 x2 4x (2) 5 (3) 4 3w w+2 dw x x 2 4x 5 (4) x x 2 4x+5 (5) x x 2 2x+5 x C x 2 +4 x+2 微積分講義, 82 x +x b 收斂 ; 收斂 +x b ) 收斂, 並求此時之積分值
14 7. 綜合例題 (6) 2 2t dt (t 3) 2 (7) 3x 2 2 x 3 2x 8 (8) 3 2 u 3 + du u 3 u 2 (9) (x 2)(x 2 +4) () x 4 +4 () x x 4 4 (2) x x 4 +x 2 + (3) x(x 4 +) (4) (5) x 6 x 2 3 x 4 +2x 2 +9 (6) x 3 (x+) (7) x 4 (8) x +6 ( x 4 +x 6 ) 2 (9) x n x, (n 為正整數 ) (2) x n (x ), ( 且 n 為正整數 ) (2) x n (+x 2 ) + n 2, (n 為正整數 ) (22) x 3 x + c (23) ( + x) 8 (24) x +x 3 (25) t + 3 t dt (26) x++ x (27) x 4x+ (28) x 2 4x+ (29) x+4+4 x+ (3) +x x 微積分講義, 83
15 7. 綜合例題 (3) 2 x x (32) x+x 2 (33) 3 2x x 2 (34) (2x ) x 2 x (35) 2t 2 + t 2 t dt t 2 (36) ( x 2 ) 3/2 (37) /2 (38) 2/2 x x 2 x 2 x 2 (39) x x 2 + x 2 (4) 4y 2 4y 3 dy (4) x x 2 (42) x 3 x 4 (43) dθ + 3 θ (44) ( 3 x 7 7 x 3 ) (45) 3(x )2 ( x + (t )4 dt) (46) sin 3 θ cos 5 θdθ (47) sin x cos(cos x) (48) tn 3 θ dθ (49) tn 5 x sec 4 (5) tn 5 x sec 7 x (5) π/4 cos 2 θ tn 2 θdθ (52) (sin x + cos x) 2 (53) sin 4x cos 3x (54) sin x sin 2x sin 3x (55) sin tdt (56) cos 5 x sin x 微積分講義, 84
16 7. 綜合例題 (57) cos 6 x sin 4 x (58) tn θ sec 2 θ dθ (59) tn 3 x cos 3 x (6) cos x (6) 3 sin x 4 cos x (62) +sin x cos x (63) cos x+sin x sin 2x (64) sin x cos x sin 4 x+cos 4 x (65) cos θ cos 2 θ+2 dθ (66) sec x cos 2x sin x+sec x (67) tn x tn x+sec x (68) tn 2 x (69) 3+sec 2 x+sin x tn x (7) π/2 π/4 +4 cot x 4 cot x (7) tn x (72) sin 2θ +tn θ dθ (73) tn x+sin x (74) π 3 π 4 tn θ sin 2θ dθ (75) tn 5 x 3 cos x (76) x sin 2 x (77) (x + sin x) 2 (78) x sin 2 x cos x (79) θ tn 2 θdθ (8) x8 sin x (8) x sin x (82) x 2 tn x (83) 3 rctn t t dt 微積分講義, 85
17 7. 綜合例題 (84) x 2 rcsin x (85) sin x x( x) (86) e x+ex (87) e 3x e x (88) e 2x +e x (89) +2e x e x (9) e 2t +e 4t dt (9) e x + e x (92) + e x (93) 2e 2x e x 3e 2x 6e x (94) e 3 x (95) xe x (96) x 5 e x3 (97) t 3 e 2t dt (98) (2x 2 + )e x2 (99) (27) 3θ+ dθ () x 2 sinh mx () e rctn y dy +y 2 (2) e t sin(t 3)dt (3) xe x +e x (4) xe x sin x (5) x 2 ln( + x) (6) ln x (7) ln( x + + x) (8) +ln x x ln x (9) x ln x () ln x +x 2 微積分講義, 86
18 7. 綜合例題 () ln(x+) x 2 (2) x ln x x 2 (3) dt t(+ln t) (ln t)(2+ln t) (4) sin ln x (5) cot x ln(sin x) (6) π/3 π/4 ln(tn x) sin x cos x (7) cot x ln sin x (8) ( + ln x) + (x ln x) 2 微積分講義, 87
3.2 導 函 數 其 切 線 (tangent line) 為 通 過 P, 且 其 斜 率 為 m 的 直 線, 即 y = f(a) + m(x a) (3) 其 法 線 (normal line) 為 通 過 P 且 與 切 線 垂 直 的 直 線, 即 y = f(a) 1 (x a) m
第 3 章 微 分 (Differentiation) 目 錄 3.1 切 線................................... 25 3.2 導 函 數.................................. 26 3.3 微 分 公 式................................. 28 3.4 連 鎖 律..................................
( )
( ) * 22 2 29 2......................................... 2.2........................................ 3 3..................................... 3.2.............................. 3 2 4 2........................................
Successful ways to cultivate high quality personnel for exhibition industry
不 定 积 分 显 然 微 分 ( 或 导 数 ) 逆 运 算 的 问 题 就 是 : 找 一 个 还 函 数 y = F (), F( ) f ( ) F( ) 的 导 数 已 知 函 数 一 不 定 积 分 的 概 念 不 定 积 分 的 定 义 : 函 数 f () 的 原 函 数 全 体 称 为 f () 的 不 定 积 分 记 作 f ( ) d F( ) C 积 分 常 数 F() 求
例題. y = x x = 0 y = x 0 li 0 li 0 li = y = x x = 0 = f x) x = a x = a 2
y = x x = 0 y 2 0 2 x Figure : y = x f x) x = a f x) x = a f a) dy dx x=a f a) x a f x) f a) x a f a + ) f a) f x) x = a f x) x = a y = x x = 0 例題. y = x x = 0 y = x 0 li 0 li 0 li = y = x x = 0 = f x)
. h h [ x x ln x + x ] h ln h + h t ln h + h t e t h + h e t h h e t he t + h h e e t + he t h et + e t e t h,k h k k h et + + e t 4 et + e t 4 k et e
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.. x + y. { x cost y sint x, y t x y. { x sect y tant t t t t t cost,sint t r A r t.3 t A.4 t x t x Ph,k x y Ph,k P x M OP M t t t h hk x x t O M http://calculus.yuyumagic44.net . h h [ x x ln x + x ]
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() * 3 6 6 3 9 4 3 5 8 6 : 3. () ; () ; (3) (); (4) ; ; (5) ; ; (6) ; (7) (); (8) (, ); (9) ; () ; * Email: [email protected] . () ; () ; (3) ; (4).. () : P.4 3.4; P. A (3). () : P. A (5)(6); B. (3) :
幻灯片 1
第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f
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arctan lim ln +. 6 ( + ). arctan arctan + ln 6 lim lim lim y y ( ln ) lim 6 6 ( + ) y + y dy. d y yd + dy ln d + dy y ln d d dy, dy ln d, y + y y dy dy ln y+ + d d y y ln ( + ) + dy d dy ln d dy + d 7.
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图 灵 数 学 统 计 学 丛 书 The Calculus Lifesaver:All the Tools You Need to Excel at Calculus 普 林 斯 顿 微 积 分 读 本 [ 美 ] Adrian Banher 著 杨 爽 赵 晓 婷 高 璞 译 北 京 图 书 在 版 编 目 (CIP) 数 据 普 林 斯 顿 微 积 分 读 本 / ( 美 ) 班 纳 (Banner,
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+ lim = + + lim = + lim ( ) + + + () f = lim + = + = e cos( ) = e f + = e cos = e + e + + + sin + = = = = = + = + cos d= () ( sin ) 8 cos sin cos = ( ) ( sin ) cos + d= ( + ) = cos sin cos d sin d 4 =
微积分 授课讲义
2018 10 [email protected] 1201 / 18:00-20:20 213 14:00-17:00 I II Taylor : , n R n : x = (x 1, x 2,..., x n ) R; x, x y ; δ( ) ; ; ; ; ; ( ) ; ( / ) ; ; Ů(P 1,δ) P 1 U(P 0,δ) P 0 Ω P 1: 1.1 ( ). Ω
( ) : ( ) (CIP) /.. :,003. () ISBN O4 44 CIP (00) : : 7 : 7007 : (09 ) : : :850 mm 68 mm / 3 :0.5 :60 :00 0
( ) ( ) : ( ) (CIP) /.. :,003. () ISBN 7 56 448 0.... O4 44 CIP (00) 007344 : : 7 : 7007 : (09 )8493844 : www.nwpup.com : :850 mm 68 mm / 3 :0.5 :60 :00 003 3 :0 006 000 :3: 00 00, ( ),,,,,,,, 003 8 (
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26 13 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 1 18 1. xy D D = {(x, y) y 2 x 4 y 2,y } x + y2 dxdy D 2 y O 4 x 2. xyz D D = {(x, y, z) x 1, y x 2, z 1, y+ z x} D 3. [, 1] [, 1] (, ) 2 f (1)
x y z.... X Y (cdf) F (x, y) = P (X x, Y y) (X, Y ) 3.1. (X, Y ) 3.2 P (x 1 < X x 2, y 1 < Y y 2 ) = F (x 2, y 2 ) F (x 2, y 1 ) F (x 1, y 2
3 3.... xy z.... X Y (cdf) F (x, y) = P (X x, Y y) (X, Y ) 3.. (X, Y ) 3.2 P (x < X x 2, y < Y y 2 ) = F (x 2, y 2 ) F (x 2, y ) F (x, y 2 ) + F (x, y ) 3. F (a, b) 3.2 (x 2, y 2) (x, y 2) (x 2, y ) (x,
目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 二次方根與畢氏定理 因式分解 一元二次方程式
給同學的話 1 2 3 4 目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 1-1 3 1-2 7 1-3 11 1 16 2 二次方根與畢氏定理 2-1 20 2-2 24 2-3 29 2 33 3 因式分解 3-1 37 3-2 41 3-3 45 3 49 4 一元二次方程式 4-1 53 4-2 57 4-3 61 4 65 3 1-1 乘法公式 本節性質與公式摘要 1 分配律 : ddd
: : : ( CIP ) : ( ) /. :, ISBN :. G7. 4 CIP ( 00 ) 005 : : ( ) : : ( 0 : 0004) : : : / 6 : 7 ( ) : 408 () : 00
() ( ) ( : ) : : : ( CIP ) : ( ) /. :, 00. 7 ISBN 7-8008 - 958-8... :. G7. 4 CIP ( 00 ) 005 : : ( ) : : ( 0 : 0004) : : 00 7 00 7 : 78709 / 6 : 7 ( ) : 408 () : 000 : ISBN 7-8008 - 958-8/ G89 : 9 98. 00
( ) Wuhan University
Email: huangzh@whueducn, 47 Wuhan Univesity i L A TEX,, : http://affwhueducn/huangzh/ 8 4 49 7 ii : : 4 ; 8 a b c ; a b c 4 4 8 a b c b c a ; c a b x y x + y y x + y x x + y x y 4 + + 8 8 4 4 + 8 + 6 4
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6 + a lim = 8, a =. a l. a a + a a a a lim = lim + = e, a a a e = 8 a= l ( 6,, ), 4 y+ z = 8. + y z = ( 6,, ) 4 y z 8 a ( 6,, ) + = = { } i j k 4,,, s = 6 = i+ j k. 4 ( ) ( y ) ( z ) + y z =. + =, () y
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極限 limit 是由 無限接 近 的想法產生出來的數學概 念 最初用來決定某些函數在沒 有定義的點上的函數值 使得它 與鄰近的函數值有某種協調關 係 極限觀念的第一個應用 是 在決定函數由平均變化率導出瞬 間變化率 此過程即為微分 萊 布尼茲 Leibniz 1646 1716 從幾何觀點討論微分
微 分 2 極限 limit 是由 無限接 近 的想法產生出來的數學概 念 最初用來決定某些函數在沒 有定義的點上的函數值 使得它 與鄰近的函數值有某種協調關 係 極限觀念的第一個應用 是 在決定函數由平均變化率導出瞬 間變化率 此過程即為微分 萊 布尼茲 Leibniz 1646 1716 從幾何觀點討論微分 切線的斜 率 牛頓 Newton 1642 1727 從物理觀點討論微分 瞬 時速度 微積分實際上是在研討極
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00, + lim l[ ] =. ( + lim[ ] = lim[ ] ( + i e ( = ( + lim l[ ] = l e = ( 4 (, (, (, 0 d f d D= D + D, d f d + d f d =. 0 D = (, 0,, 4 D = (,, 4 D ( D =, 0,. 4 0 0 4 ( + ( = ( d f, d d f, d d f, d. - =
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第一章 函數與極限
第五章不定積分 反導微 - 簡介 定義 : 若, F, 其中 為一個區間 則稱 F 為 在 上 的一個反導微 tdervtve, 或不定積分 dete tegrl, 並以符號 d F c 其中 c 為常數 表之 [ 注意 ]: s the 唯一 dervtve o F o F s 不一定唯一 tdervtve o F o 與不定積分有關的三個問題 : 一 存在性 : 若 是定義在區間 上的任何一個函數,
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1 1 2 3 4 2 2004 20044 2005 2006 5 2007 5 20085 20094 2010 4.. 20112116. 3 4 1 14 14 15 15 16 17 16 18 18 19 19 20 21 17 20 22 21 23 5 15 1 2 15 6 1.. 2 2 1 y = cc y = x y = x y =. x. n n 1 C = 0 C ( x
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题 目 : 神 奇 的 矩 阵 第 二 季 ( 修 改 版 2.1) 学 校 : 哈 尔 滨 工 程 大 学 姓 名 : 黎 文 科 联 系 方 式 : QQ 群 :53937814 联 系 方 式 : [email protected] Contents CONTENTS... 2 前 言... 3 绪 论... 4 1 从 坐 标 系 谈 起... 8 2 内 积 与 范 数 的 深 入 理 解...
精 勤 求 学 自 强 不 息 Born to win! 5 具 有 听 觉 的 不 足 6 个 月 的 婴 儿 能 迅 速 分 辨 相 似 的 语 音, 不 仅 仅 是 那 些 抚 养 这 些 婴 儿 的 人 使 用 的 语 言 的 声 音 而 年 轻 人 只 能 在 他 们 经 常 使 用 的
0 年 考 研 经 济 类 联 考 综 合 能 力 模 拟 题 ( 一 ) Born to win 一 逻 辑 推 理 : 第 ~0 小 题, 每 小 题 分, 共 40 分 下 列 每 题 给 出 的 A B C D E 五 个 选 项 中, 只 有 一 个 是 符 合 试 题 要 求 的 癣 是 一 种 由 某 种 真 菌 引 起 的 皮 肤 感 染 很 大 一 部 分 得 了 癣 这 种 病
工程硕士网络辅导第一讲
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教学大纲
山 东 城 市 建 设 职 业 学 院 工 程 数 学 教 学 大 纲 一 课 程 的 性 质 与 任 务 工 程 数 学 是 工 科 各 专 业 的 一 门 重 要 的 基 础 课, 也 是 该 专 业 的 核 心 课 程 主 要 分 为 高 等 数 学 部 分, 工 程 数 学 部 分, 数 学 实 验 部 分, 数 学 建 模 部 分 通 过 本 课 程 的 学 习, 使 学 生 获 得 向
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数学分析考研辅导班讲义4.doc
数学分析考研辅导讲义第四章 - 9 - 第四章 不定积分 积分学是微积分的主要部分之一 积分运算是微分运算的逆运算. 而不定积分为定积分的计算提供了一种简便快捷的工具 又是今后计算重积分 曲线积分 曲面积分的基础. 本章的重点是不定积分的换元积分法与分部积分法. 难点是第二换元法 三角函数有理式及简单无理式积分. 要点是不定积分的各种积分方法. 通过本章的学习 应掌握不定积分的概念 性质 基本积分公式及积分方法.
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,, AB,, ( CIP) /, 000 ( /, ) ISBN 704009448 F47 CIP ( 000) 86786 55 00009 0064054588 ht tp www hep edu cn ht tp www hep com cn 006404048 787960/ 6 05 370 000 730,, 996,,,,,,, 997 7, 40 ; 998 4,,, 6, 8,
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主題二十一 : 不定積分的其他技巧 O06 第十八週不定積分的其他技巧 PART : 分部積分法 分部積分法公式 : 設 u 與 v 均為變數 udv uv - vdu 解釋 : 依據乘法的微分公式 d( u v) vdu + udv d( u v) vdu + udv u v vdu + udv
第一週 主題一 : 數 主題二 : 函數 主題三 : 一元二次方程式 主題四 : 直線方程式 第二週第三週第四週第五週第六週第七週第八週第九週第十週第十一週第十二週第十三週第十四週第十五週第十六週第十七週第十八週 主題五 : 極限主題六 : 連續性主題七 : 漸近線主題八 : 導函數主題九 : 指數與對數主題十 : 指數與對數的微分主題十一 : 微分技巧延伸主題十二 : 三角函數 ( 一 ) 主題十三
3.2 導函數 (2) 其切線 (tangent line) 為通過 P, 且其斜率為 m 的直線, 即 y = f(a) + m(x a) (3) 其法線 (normal line) 為通過 P 且與切線垂直的直線, 即 y = f(a) 1 (x a) m 註 圓 C 在 P 點的
第 3 章 微分 (Differentiation) 目錄 3.1 切線................................... 29 3.2 導函數.................................. 30 3.3 微分公式................................. 32 3.4 連鎖律..................................
6-1-1極限的概念
選 修 數 學 (I-4 多 項 式 函 數 的 極 限 與 導 數 - 導 數 與 切 線 斜 率 定 義. f ( 在 的 導 數 : f ( h 對 實 函 數 f ( 若 極 限 存 在 h h 則 稱 f ( 在 點 可 微 分 而 此 極 限 值 稱 為 f ( 在 的 導 數 以 f ( 表 示 f ( f ( 函 數 f ( 在 的 導 數 也 可 以 表 成 f ( 註 : 為 了
翁秉仁教授 本著作除另有註明, 所有內容取材自作者翁秉仁教授所著作的微積分講義, 採用創用 CC 姓名標示 - 非商業使用 - 相同方式分享 3.0 台灣授權條款釋出
翁秉仁教授 本著作除另有註明, 所有內容取材自作者翁秉仁教授所著作的微積分講義, 採用創用 CC 姓名標示 - 非商業使用 - 相同方式分享 3.0 台灣授權條款釋出 函數與圖形方程式與平面曲線 隱函數反函數反三角函數連續函數與極限 與自然對數 函數與圖形方程式與平面曲線 隱函數反函數反三角函數連續函數與極限 與自然對數 函數與圖形方程式與平面曲線 隱函數反函數反三角函數連續函數與極限 與自然對數函數定義函數必須滿足兩個條件
幻灯片 1
Digital Signal Processing [email protected] /gary/ 1. FT FT. 3. 4. DFT 5. 6. DFT 7. 1. FT FT (FS) (FT) ( ) xt () Dirichlet (, ), 1 T () = ( Ω), ( Ω ) = () T T jkωt jkωt xt X k e X k xte dt e jkω t k
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單元名稱 : 9 三角函數的積分 教學目標 : 使學生了解三角函數的積分 三角函數積分的類型及一些積分技巧 學習時數 : 約一小時 教學內容 :. [ 第一類型 ] 六個三角函數本身的積分. [ 第二類型 ] sin n 及 os n 的積分 sin os m n. [ 第三類型 ] 的積分 4. [ 第四類型 ] n 及 ot n 的積分 5. [ 第五類型 ] n 及 s n 的積分 m 6.
Paperless Printer, Job 4
三角函數 (Trigonomtric function 包含以下六個 : 正弦函數 :sin 餘弦函數 :cosin 符號 :sin 符號 :cos 正切函數 :tangnt 餘切函數 :cotangnt 符號 :tan 符號 :cot 正割函數 :scant 餘割函數 :coscant 符號 :sc 符號 :csc 銳角三角函數 : 一直角三角形, 鄰邊為 X, 對邊為, 斜邊為 Z, 斜邊和鄰邊夾角為
Calculus107A1Chapter07.dvi
7. Integrtion by Prts goo.gl/qriic5 Chpter 7 Techniques of Integrtion 7. Integrtion by Prts, pge 472 The rule tht corresponds to the Product Rule for differentition is clled the rule for integrtion by
➀ ➁ ➂ ➃ Lecture on Stochastic Processes (by Lijun Bo) 2
Stochastic Processes [email protected] 111111 ➀ ➁ ➂ ➃ Lecture on Stochastic Processes (by Lijun Bo) 2 (Stationary Processes) X = {X t ; t I}, n 1 t 1,..., t n I, n F n (t 1,..., t n ; x 1,..., x
市 ( 地 州 盟 ) 无 锡 市 江 阴 市 798635012 江 阴 新 浩 再 循 环 纸 业 有 限 公 司 无 锡 市 宜 兴 市 714086395 江 苏 三 木 化 工 股 份 有 限 公 司 无 锡 市 宜 兴 市 607994371 江 苏 国 信 协 联 能 源 有 限 公
附 件 2016 年 国 家 重 点 监 控 企 业 名 单 一 废 水 国 家 重 点 监 控 企 业 名 单 ( 共 2660 家 ) 江 苏 省 (182 家 ) 市 ( 地 州 盟 ) 南 京 市 栖 霞 区 690442841 南 京 中 电 熊 猫 液 晶 显 示 科 技 有 限 公 司 南 京 市 栖 霞 区 721730177 中 石 化 股 份 有 限 公 司 金 陵 分 公 司
3.1 ( ) (Expectation) (Conditional Mean) (Median) Previous Next
3-1: 3.1 ( )........... 2 3.1.1 (Expectation)........ 2 3.1.2............. 12 3.1.3 (Conditional Mean)..... 17 3.1.4 (Median)............ 22 Previous Next First Last Back Forward 1 1.. 2. ( ): ( ), 3.
Microsoft Word - HKU Talk doc
In the figure, E is a diameter and E is a straight line. Find x. 圖中, E 是一直徑, E為一直線 求 x. 54. 70. 74. 9 E. 94 In the figure, O is the center of the circle. EO and E are straight lines. Find x. 圖中, O 為圓心,
第 6. 節 不 定 積 分 的 基 本 公 式 我 們 可 以 把 已 經 知 道 反 導 函 數 之 所 有 函 數 都 視 為 不 定 積 分 的 基 本 公 式 基 本 公 式 涵 蓋 的 範 圍 愈 大, 我 們 求 解 積 分 就 愈 容 易, 但 有 記 憶 不 易 的 情 事 研 讀
第 6. 節 反 導 函 數 與 不 定 積 分 定 義 6.. 反 導 函 數 說 明 : 第 六 章 求 積 分 的 方 法 若 F( ) f ( ), Df, 則 F ( ) 為 f( ) 之 反 導 函 數 (antierivative) () 當 F ( ) 為 f( ) 之 反 導 函 數 時, 則 F( ) C,C 為 常 數, 亦 為 f( ) 之 反 導 函 數 故 若 反 導 函
ο HOH 104 31 O H 0.9568 A 1 1 109 28 1.01A ο Q C D t z = ρ z 1 1 z t D z z z t Qz = 1 2 z D z 2 2 Cl HCO SO CO 3 4 3 3 4 HCO SO 2 3 65 2 1 F0. 005H SiO0. 032M 0. 38 T4 9 ( K + Na) Ca 6 0 2 7 27 1-9
THERMO-6.PDF
v ( ) a = dv ln θ T ln θ S T ln θ θ 90 o θ = κ mb= R C ( θ) ( ) ln = ln T κ ln + const d κ d d log a = q = Tds ds = c d lnθ a = c Td ln θ = c teh. teh. 45 o ln T 45 o ( ) = ( ) + θ + = ( ) + κ κ κ δa =
- 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 分式型無窮數列的極限 求 lim? 原式 lim 5 求 lim? 5 原式 lim 分式型無窮數列的極限 求 lim 原式 lim 求 lim 原式 lim 7 分式型無窮數列的極限 求 lim 原式? lim ( )( )( ) ( )( )( ) lim ( )
第三章微積分及其應用 微積分及其應用 - 主題一極限的概念 ( 由授課老師自行選授 ) 數列極限的概念. 無窮數列的極限值定義 () 無窮數列 { }, 當 趨近無限大時, 逼近唯一定值 α, 則稱數列 { } 收斂於 α () 稱 α 為數列 { } 之極限值, 記作 lim = α () 若數列無法收斂到唯一定值, 即數列的極限不存在, 稱該數列為發散. 極限的運算性質 設無窮數列 { } {
Microsoft PowerPoint - 數控教材第四章
CNC 車 床 教 學 講 義 編 著 : 陳 德 楨 ( 南 亞 技 術 學 院 ) 機 械 系 CNC 車 床 程 式 設 計 基 本 機 能 簡 介 電 腦 數 值 控 制 車 床 之 程 式 是 利 用 各 種 英 文 字 母 數 值 符 號 等 組 成, 組 成 後 構 成 一 系 列 有 意 義 的 動 作 功 能, 通 常 吾 人 將 其 稱 為 機 能 指 令, 並 歸 類 為 六
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梦飞翔考研工作室友情提供 QQ:83659 000 () d. 0. 000 d d t tdt si cos 0 0 0 + y + 3z (,, ). y + z. 6 F, y, z + y + 3z F F F y z (,,),,, y (,,),, 8, z (,,),, 6. y + z 6 3 y + 3y 0. C y C +. 梦飞翔考研工作室 QQ:83 p y p C 3.
CIP / 005 ISBN X Ⅰ Ⅱ Ⅲ - - Ⅳ G CIP ISBN X/G http / /cbs pku edu cn pku edu
CIP / 005 ISBN 7-30-08496-X Ⅰ Ⅱ Ⅲ - - Ⅳ G634 603 CIP 004 353 ISBN 7-30-08496-X/G 380 0087 http / /cbs pku edu cn 67505 58874083 67656 xxjs@pup pku edu cn 675490 787 09 6 4 75 383 005 005 9 00 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
章節
試題 設 f (x) ( x 3 x ) 9 (1) f (x) 的常數項為. () f (x) 的各項係數和為. 編碼 010614 難易 易 出處 康熹自命題 解答 (1) 51;() 51 多項式 f (x) 滿足 8 f (x) 5x 6 f (x 3 ) f (x ) 18 0,則 f (x) 的常數項為. 編碼 010615 難易 易 出處 康熹自命題 解答 3 f (x) 的常數項為
B3C1
- B(. AB. A( ( 3. AA PP 0 a a a 4. ( 5. Ex. ABCDEF Ans8305 Ex. ABCDE Ans00. a+ b a+ b b. a+ b = b + a a b a ( a+ b + c = a+ ( b + c a+ 0= a = 0+a a + ( a = 0 = ( a + a b a b 3. a b = a+ ( b a 4.(P AB =
Solutions to Exercises in "Discrete Mathematics Tutorial"
1 2 (beta 10 ) 3 SOLVED AND TEXIFIED BY 4 HONORED REVIEWER BBS (lilybbs.us) 1 2002 6 1 2003 1 2 2 ( ) (E-mail: [email protected]) 3 beta 2005 11 9 ( / ) 40.97% 4 02CS chouxiaoya tedy akaru yitianxing
Microsoft PowerPoint 曲線之切線、曲率及紐率.ppt
4-5 曲線之切線 曲率及紐率 .1. 曲線切向量 切線 曲率 z r r y 曲線 L 的切線方程式 x ρ λ r + λ r 其中 λ 為切線的參數 L ρ λ r + λr ρ λ < x, y, z >+ λ< x, y, z > ρ λ < x + λx, y + λy, z + λz > ρ λ < x + λx, y + λy, z + λz > 切線的參數式方程式 x x + λx
範 例 1.1 試 解 出 下 列 微 分 方 程 dx = y. 不 嚴 謹 做 法 : 把 微 分 方 程 改 寫 為 y = dx. 兩 邊 同 時 積 分 y = 之 後 可 以 推 得 : ln y = X + C, 兩 邊 同 時 取 exp 之 後 可 以 得 到 y = Ce x.
微 分 方 程 法 蘭 克 老 師 1 微 分 方 程 1.1 可 分 離 微 分 方 程 假 設 M(x), N(y) 都 是 定 義 在 某 個 區 間 上 的 連 續 函 數 我 們 希 望 解 以 下 類 型 的 常 微 分 方 程 以 不 嚴 謹 的 方 法 我 們 可 以 把 (1.1) 改 寫 成 M(x) N(y) = 0. (1.1) dx N(y) = M(x)dx. (1.2)
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相對內容大綱 : 高考課程大網第一章第 3 節 參考 : 高級程度物理第一冊第七章 6.0 6. 6. 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.0 6. 6.0 CD 6. P ( x, y (pola coodinate P (,θ ( 6.. P θ OP x B s θ P θ (angula position θ θ [ θ ](angula displacement θ
Microsoft Word - 1-1泰宇解答
學校 : 學年度第學期第次段考科目名稱命題教師 : 年 班座號 : 姓名 : 得分 : 一 單選題 : ( ). 設 (x x6) (D) x Ax Bx Cx6, 則 A B C (A)6 (B) (C) 解答 :D ( ). 求 (x x x)( x x ) 的展開式中, x 項的係數為何? (A) (B) (C)6 解答 :A (D)7 9 統測 ( ). 下列何者為多項式? (A) x (B)
2.1 切線 但一般曲線上的切線不見得滿足以上條件, 現以直觀的方式來定義切線, 見下例 例 求 y = x 2 在點 (2, 4) 的斜率 (slope), 並求其切線方程式 定義 (1) f(a+h) f(a) h 稱為 f(x) 在 x = a 的 Newton 商
臺灣大學開放式課程 微積分甲 - 朱樺教授 第 2 章 微分 (Differentiation) 目錄 2.1 切線................................... 23 2.2 導函數.................................. 25 2.3 微分公式................................. 26 2.4 連鎖律..................................
B = F Il 1 = 1 1 φ φ φ B = k I r F Il F k I 2 = l r 2 10 = k 1 1-7 2 1 k = 2 10-7 2 B = ng Il. l U 1 2 mv = qu 2 v = 2qU m = 2 19 3 16. 10 13. 10 / 27 167. 10 5 = 5.0 10 /. r = m ν 1 qb r = m ν qb
第 2 單元三角函數編著 By 吳春鋒 一 有向角及其度量 1. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負 角度與弧度 : 1() 1() 弧度 弧度 = 180 只有代表弧度時為 180, 其餘皆為 3.14 ( D )1. 角為 (A) 直角 (B) 鈍角
一 有向角及其度量. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負 8. 角度與弧度 : () () 弧度 57.957 弧度 = 8 只有代表弧度時為 8, 其餘皆為.4 ( D ). 角為 (A) 直角 (B) 鈍角 (C) 平角 (D) 銳角. 5 等於 5 8 弧度 角度 弧度 6 45 4 6 9 5 5 6 8 7 6 看到角度 弧度, 8 擺分母 ; 看到弧度 角度, 擺分母. 扇形的弧長與面積
7.2 旋轉體體積 7.2 旋轉體體積 定義 平面上有一區域及一不與該區域內部相交的直線, 將該區域繞此直線旋轉而得一立體, 稱為旋轉體 (solid of revolution) 圓盤法 (Volumes by Slicing, Disk Method) 定理 令旋轉軸
臺灣大學開放式課程 微積分甲 - 朱樺教授 第 7 章 積分應用 (Applictions of Integrtion) 目錄 7.1 切片法求體積............................... 84 7.2 旋轉體體積................................ 85 7.3 平面曲線之弧長.............................. 86 7.4
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1, : ( ),?, :,,,, ( ), 1 180,, ( ) 1 1,, 2 180 ;,, 3 180 ;, n ( n - 2 ),, ( n - 2) 180 1 1, : ( ),.,, 2, (, ) 1 , 3 x + y = 14, 2 x - y = 6 : 1 ( ) : + 5 x = 20, x = 4 x = 4 y = 2, x = 4, y = 2 2 ( ) :
Cauchy Duhamel Cauchy Cauchy Poisson Cauchy 1. Cauchy Cauchy ( Duhamel ) u 1 (t, x) u tt c 2 u xx = f 1 (t, x) u 2 u tt c 2 u xx = f 2 (
Cauchy Duhamel Cauchy CauchyPoisson Cauchy 1. Cauchy Cauchy ( Duhamel) 1.1.......... u 1 (t, x) u tt c 2 u xx = f 1 (t, x) u 2 u tt c 2 u xx = f 2 (t, x) 1 C 1 C 2 u(t, x) = C 1 u 1 (t, x) + C 2 u 2 (t,