數學 B 考前重點複習 重點 0 + m 設 A() B() 為數線上相異兩點, 若點 P() 在 AB 上且 AP : BP = m :, 則 = m+ 比例相加當分母, 交叉相乘再相加當分子! 重點 0 設 A() B() 為數線上相異兩點, 若點 M() 在 AB 上且 AP : BP = : 重點 03 +, 則 = 二 (-,+) 三 (-,-) 一 (+,+) 四 (+,-) 重點 04 坐標平面上, 已知 A(, ) B(, ) 兩點, 則 AB = ( ) + ( ) 重點 05 坐標平面上, 已知 ABC 三頂點 A(, ) B(, ) C( 3, 3 ), 若 G(, ) 為 ABC 之重 = 心, 則 = + + 3 3 + + 3 3 重點 06 坐標平面上, 已知平行四邊形 ABCD 四頂點 A(, ) B(, ) C( 3, 3 ) 和 D( 4, 4 ), + = + 則 + = + 3 4 3 4
重點 07 坐標平面上, 已知 A(, ) B(, ), 則 AB 的斜率 m = = 符號 是 差 的意思, 例如 是表示 坐標差, 即 坐標相減 重點 08 坐標平面上, 過點 ( 0, 0 ) 且斜率為 m 之直線方程式為 0 = m ( 0) 此直線方程式稱為點斜式 重點 09 坐標平面上, 過 (, 0 ) ( 0, ) 兩點之直線方程式為 + =, 其中 稱為 截距 稱為 截距 此直線方程式稱為截距式 重點 0 坐標平面上, 過點 ( 0, ) 且斜率為 m 之直線方程式為 = m +, 其中 為 截距 此直線方程式稱為斜截式 重點 坐標平面上, 一直線之方程式為 + + c = 0( 0 此直線方程式稱為一般式 重點 兩直線互相平行 m = m ( 斜率相等 ) ), 則其斜率 m = 若直線 L 與 + + c = 0互相平行, 則可假設 L : + + k = 0 重點 3 兩直線互相垂直 m m = ( 斜率相乘等於 ) 若直線 L 與 + + c = 0互相垂直, 則可假設 L : + k = 0 重點 4 線型函數 = f ( ) = + ( 其中 0, 均為實數 ) = 0 時稱為常數函數, 圖形為水平線
3 重點 5 二次函數 = f ( ) = + + c ( 其中 0, c 均為實數 ) 經配方法處理可得 4c 4c = f( ) = ( + ), 其圖形之頂點坐標為 (, ) 4 4 重點 6 二次函數 = f ( ) = + + c 圖形之重點 : ( 0, c ) > 0 < 0 = 4c > 0 4c > 0 恆正 : 恆負 : > 0 < 4c 0 < 0 < 4c 0 重點 7 重點 8
4 重點 9 siθ cosθ si θ + cos θ = 平方關係 : t θ + = sec θ + cot θ = csc θ tθ secθ cscθ cotθ 重點 0 siθ cosθ siθ cscθ = 倒數關係 : cosθ secθ = tθ cotθ = tθ secθ cscθ cotθ 重點 siθ cosθ siθ tθ = cosθ 商數關係 : cosθ cotθ = siθ tθ secθ cscθ cotθ 重點 餘角關係 : si(90 θ) = cosθ ; cos(90 θ) = siθ ; t(90 θ) = cotθ cot(90 θ) = tθ ; sec(90 θ) = cscθ ; csc(90 θ) = secθ 重點 3 () () θ + θ = + θ θ (si cos ) si cos θ θ = θ θ (si cos ) si cos (3) tθ + cotθ = siθcosθ 重點 4 θ = φ± 360 ( 為整數 ),θ 與 φ 為同界角 360 π 70 4π 080 6π 440 8π 800 0π 60 π
5 重點 5 扇形弧長 S = rθ 扇形面積 A= r θ 重點 6 S r θ P(, ) r θ r = + r siθ = cosθ = tθ = cotθ = secθ = cscθ = r r r 重點 7 當取 r = 時,P 點坐標為 ( cosθ, siθ ), 此時可得 : cos 0 = cos90 = 0 cos80 = cos 70 = 0 si 0 = 0 si 90 = si80 = 0 si 70 = 80 siθ cosθ tθ = cotθ = secθ = cscθ = (,0) cosθ siθ cosθ siθ 可求得其它函數值 重點 8 (0,) 90 P( cosθ, siθ ) θ (0, ) 70 0 (,0) () 80 θ :( 函數不變 ) si(80 θ) = siθ ; cos(80 θ) = cosθ ; t(80 θ) = tθ ; cot(80 θ) = cotθ ; sec(80 θ) = secθ ; csc(80 θ) = cscθ () 80 + θ :( 函數不變 ) si(80 + θ) = siθ ; cos(80 + θ) = cosθ ; t(80 + θ) = tθ ; cot(80 + θ) = cotθ ; sec(80 + θ) = secθ ; csc(80 + θ) = cscθ (3) 360 θ :( 函數不變 ) si(360 θ) = siθ ; cos(360 θ) = cosθ ; t(360 θ) = tθ ; cot(360 θ) = cotθ ; sec(360 θ) = secθ ; csc(360 θ) = cscθ
6 重點 9 () 90 + θ :( 正餘互換 ) si(90 + θ) = cosθ ; cos(90 + θ) = siθ ; t(90 + θ) = cotθ ; cot(90 + θ) = tθ ; sec(90 + θ) = cscθ ; csc(90 + θ) = secθ () 70 θ :( 正餘互換 ) si(70 θ) = cosθ ; cos(70 θ) = siθ ; t(70 θ) = cotθ ; cot(70 θ) = tθ ; sec(70 θ) = cscθ ; csc(70 θ) = secθ (3) 70 + θ :( 正餘互換 ) 重點 30 負角 : si(70 + θ) = cosθ ; cos(70 + θ) = siθ ; t(70 + θ) = cotθ ; cot(70 + θ) = tθ ; sec(70 + θ) = cscθ ; csc(70 + θ) = secθ si( θ) = siθ ; cos( θ) = cosθ ; t( θ) = tθ ; cot( θ) = cotθ ; sec( θ) = secθ ; csc( θ) = cscθ 重點 3 () = si 之週期為 π si 0 si () = cos 之週期均 π cos 0 cos (3) = t 之週期為 π < t < 重點 3 () = Asi( B + C) + D 之週期為 () = Acos( B + C) + D 之週期為 π ( 週期與 A C D 無關 ) B π ( 週期與 A C D 無關 ) B π (3) = At( B + C) + D 之週期為 ( 週期與 A C D 無關 ) B
7 重點 33 坐標平面上, 已知 A(, ) B(, ), 則 AB = (, ) 重點 34 坐標平面上, 已知 A(, ) B(, ), 則 AB = ( ) + ( ) 重點 35 向量相加 頭接尾 A AC AB B C BC AB + BC = AC ( 頭接尾 ) 重點 36 向量相減 共始點 O PQ = OQ OP P Q ( 共始點 ) 重點 37 = (, ) 已知 () r = ( r, r) = (, ),r s 均為實數, 則 和 r ± s = ( r ± s, r ± s ) () 重點 38 向量分點公式 : m 設點 P 在 AB 上且 AP : BP = m :, 則 OP = OA + OB m+ m+ O A P B
8 重點 39 已知兩向量 = (, ) = (, ), 則 = + 重點 40 = cosθ cosθ = 兩向量互相垂直時內積為 0 重點 4 r + s = r + rs( ) + s 重點 4 指數 :( 底數大於 0 且不等於 ) () 0 = () = (3) m m = + (4) m m = (5) ( ) = m m (6) 重點 43 m m m = = (7) = (8) ( ) m = m m (9) ( ) m = m m 指數函數圖形 :( 底數大於 0 且不等於 ) () > 遞增 ( > < ) () 0< < 遞減 ( < > )
9 重點 44 對數 :( 底數大於 0 且不等於, 真數大於 0) () log = 0 () log = (3) log ( M N) = log M + log N M (4) log ( M N) = log ( ) = log M log N (5) log m = log N m (6) log m = log = log = = log m (7) log logc = ( 換底公式 ) log c (8) (log )(log c)(log d) = log d ( 連鎖律 ) (9) c 重點 45 對數圖形 :( 底數大於 0 且不等於, 真數大於 0) log = log () > 遞增 ( < log < log ) () 0< < 遞減 ( < log > log ) 重點 46 常用對數 :( 底數為 0) () log0 = 0 log 0 0.300 log 0 3 0.477 log 0 4 0.600 log 0 5 0.6990 log0 6 0.778 log 0 7 0.845 log 0 8 0.9030 log 0 9 0.954 log 0 0 = () = 0 ( 科學記號 : < 0, Z ) log0 = + log0 ( 0 log0 <, Z ) 此時稱 為 log0 的首數 log 0 為 log0 的尾數 若 0, 則 為 + 位數 若 < 0, 則 的小數點後第 位數字始不為 0 ( 亦即小數點後連續有 個 0)
0 重點 47 Σ 的性質 : () k 3 k = () (3) = + + + + ( p ± q ) = p ± q (p q 為常數 ) k k k k k= k= k= c= c (c 為常數 ) k = (4) 常用公式 : 3 k= + + 3 + + = ( + ) k = k = + + 3 + + = ( + )(+ ) 6 k = 3 3 3 3 3 k = + + 3 + + = ( + ) k = 重點 48 一數列 重點 49 之前 項和為 S, 則第 項 = S S ( 其中 = S, 且 N) 分項對消法 = ( ) ( + k) k + k 重點 50 等差 :( 首項, 公差 d, 第 項, 項數, 前 項和 S ) () = + ( ) d () S = ( + ) S = [ + ( ) d] + c (3) 若 c 三數成等差數列, 則 = 稱為 c 的等差中項 (4) S S S S 3 S 亦會成等差數列
重點 5 等比 :( 首項, 公比 r, 第 項, 項數, 前 項和 S ) () = r ( r ) ( r ) () S = = r r (3) 若 c 三數成等比數列, 則 = ± c 稱為 c 的等比中項 (4) S S S S 3 S 重點 5 設 為非負整數且 i 重點 53 亦會成等比數列 R(i = 0~), 則 兩多項式相等, 其對應項的係數相等 重點 54 常用乘法公式 : f( ) = + + + + 稱為 的多項式 0 () () ( + )( ) = ( ) + = + + + = ( + ) (3) ( ) 3 3 3 3 3 + = + + + 3 3 3 + = + + ( ) 3 ( ) 3 3 + = ( + )( + ) 重點 55 多項式相乘 同類項合併 重點 56 除法原理 : 被除式 f( ) 除以除式 g ( ) 得商式 Q ( ) 餘式 R, ( ) 則 f( ) = g ( ) Q ( ) + R ( ), 其中 R ( ) 的 次數必小於 g ( ) 的次數 重點 57 餘式定理 : 多項式 f( ) 除以 所得餘式為 f( )
重點 58 因式定理 : 若多項式 f( ) 被 所整除, 即 為 f( ) 之因式, 則 f( ) = 0重點 59 長除法 用減法 ; 綜合除法 用加法重點 60 利用綜合除法可改變多項式的形式 + + + = k + k + c k + d 3 3 3 0 ( ) ( ) ( ) 重點 6 雙重根號 : 若 > > 0, 則 ( + ) + = + ; ( + ) = 重點 6 部分分式 將一真分式化為數個真分式的和 重點 63 ± 4c 設 c 均為實數且 0, 則一元二次方程式 + + c = 0 之解為 =, 其中 D = 4c 為判別式 () D > 0 兩相異實根 () D = 0 兩相等實根 (3) D < 0 無實根 (4) D 0 重點 64 根與係數關係 : + = 一元二次方程式 + + c = 0 之兩根為 α β, 則 c = 重點 65 以 α β 為兩根之一元二次方程式為 重點 66 ( α + β ) + αβ = 0 有實根 分項對消法 = ( ) ( + )( + ) + +
3 重點 67 行列式的運算規則 : () 行列互換, 其值不變 () 任意兩行 ( 列 ) 互換, 其值變號 (3) 任一行 ( 列 ) 可提出共同因數 (4) 將一行 ( 列 ) 乘以 k 倍加到另一行 ( 列 ), 其值不變 (5) 任兩行 ( 列 ) 成比例, 其值為 0 (6) 某一行 ( 列 ) 的元素, 若由兩個元素所組成, 則可分成兩個行列式之和 + d g d g d g 例如 : + e h = e h + e h 重點 68 降階 : + + 降階時對照 + + + c + c f i c f i c f i 以第一行降階為例 c d e f g e h d g d g h = + + c f i f i e h i
4 重點 69 克拉瑪公式 : + + cz = d 方程組 : + + cz= d + + cz= d c 3 3 3 3 令 = c, = d c, = d c, = c 3 3 3 d c d c 3 3 3 d c d c 3 3 3 z d d d 3 3 3, 則 原方程組可化為 = = z = = () 0 恰有一組解 = z z = () = 0 且 = = = 0 無限多組解 z z (3) = 0 但 z 至少有一不為 0 無解 重點 70 三一律 : 均為實數, > = < 三式中恰有一式會成立 重點 7 遞移律 : c 均為實數, 若 > 且 > c, 則 > c
5 重點 7 c 均為實數 : () 若 >, 則 + c> + c () 若 > 且 c > 0, 則 c > c ; 若 > 且 c < 0, 則 c < c (3) 若 > > 0, 則 > ; 若 0 > >, 則 (4) 若 > > 0, 則 < (5) 若 0 >, 則 > 0 ; 若 0 <, 則 < 0 重點 73 不等式的解之實例 (PART ): < () ( )( 9) > 0 < 或 > 9 ( 比小的小 比大的大 ) () ( )( 9) < 0 < < 9 ( 介於兩者之間 ) + + (3) ( )( 5)( 9) > 0 < < 5或 > 9 5 9 + + (4) ( )( 5)( 9) 0 < 或 5< < 9 5 9 (5) (6) (7) + 5 0 6 + 6 + + + > 6 < < 或 > + 6 ( )( 5) 0 6 + 6 + + > 0 R; + + < 0 無解
6 重點 74 不等式的解之實例 (PART ): () () ( 5) 0 R; ( 5) 0 = 5; ( 5) 0 > R但 5 ( 5) 0 < 無解 (3) ( )( 3) > 0 (4) ( )( 3) 0 (5) 3 4 5 ( ) ( ) ( 3) 0 ( )( )( 3) > 0 < < 或 > 3 ( )( )( 3) 0 但 < 或 3 < ( )( 3) < 0 但 < < 3但 (6) 3 4 5 ( ) ( ) ( 3) 0 ( )( 3) 0 3 重點 75 > 0 () c 均為實數, 若 + + c 恆正, 則 4c < 0 < 0 () c 均為實數, 若 + + c 恆負, 則 4c < 0 重點 76 () < < < < < + () > ( > 0 ) < 或 > < 或 > + 重點 77 () < < + + < () < 或 > + + >
7 重點 78 算幾不等式 算術平均數 幾何平均數 + () 設 > 0 且 > 0, 則 ( = 時等號成立 ) + + c 3 () 設 c 均大於 0, 則 c ( = = c 時等號成立 ) 3 重點 79 柯西不等式 : () 設 均為實數, 則 ( + )( + ) ( + ) ( = 時等號成立 ) () 設 3 3 均為實數, 則 = = 時等號成立 ) 3 ( 3 重點 80 直線分割原理 : ( + + )( + + ) ( + + ) 3 3 3 3 設平面上有兩相異點 A(, ) B(, ) 與一直線 L : + + c = 0, 則 : () 點 A B 在 L 之同側 ( + + c)( + + c) > 0 () 點 A B 在 L 之異側 ( + + c)( + + c) < 0 (3) AB 與 L 相交 ( + + c)( + + c) 0 重點 8 解線性規劃之步驟 : () 依題意列限制條件 () 畫可行解區域並找出邊界點 (3) 寫出目標函數 (4) 以各邊界點代入目標函數求值, 找出最大值與最小值 重點 8 +
8 重點 83 階乘 : 0! =! =! = = 3! = 3 = 6 4! = 3 4 = 4 5! = 3 4 5 = 0 重點 84 且 乘 ( 乘法原理 ); 或 加 ( 加法原理 ) 重點 85 個相異物作直線排列, 方法數為! 重點 86! 個相異物中取 r 個作直線排列, 排列數為 P = r ( ) ( ) ( r ) ( r)! = + 共 r 個重點 84 不盡相異物的直線排列 : 有 p 個 A q 個 B r 個 C 做直線排列 ( 其中 p+ q+ r = ), 方法數有 重點 88 走捷徑 :( 由 A 走到 B, 只能向右走或向上走 )! p! q! r! 重點 89 c 若一數 = 3 5, 則 : () 的質因數個數有 3 個 ( 即 3 和 5) () 的正因數有 ( + )( + )( c+ ) 個 向右要走 (m ) 次, 向上要走 ( ) 次, 故視為有 (m ) 個 右 和 ( ) 個 上 作直線排列, 其 ( m+ )! 方法數有 ( m )! ( )! c c c (3) = 3 5 = 3 ( 3 5 ) = ( 3 5 ) 的正因數中, 為 的因數有 [( ) + ][( ) + )]( c+ ) 個
9 重點 90 重複排列 : r 將 r 個相異物全分給 個人, 每人可兼得, 方法數為 種重點 9 環狀排列 :! 個相異物作環狀排列, 方法數為 ( )! = 種重點 9 個相異物中選出 r 個, 組合數為 C 重點 93 r Pr! ( ) ( ) ( r+ ) = = = r! r! ( r)! r ( r ) ( r ) C r = ( 餘組合 ) C r 重點 94 巴斯卡定理 : C + C = C + r r+ r+ 5 6 7 5 5 6 7 6 6 7 7 7 8 E: + C + C + C = C + C + C + C = C + C + C = C + C = C = 56 重點 95 重複組合 : 3 0 3 3 3 3 + + + = r之非負整數解有 H r = 組 r C + r 重點 96 + + + = r之正整數解有 H r = 組 r C r 重點 97 二項式定理 : ( + ) r r 展開式中, 第 r + 項為 C r
0 重點 98 ( + ) = C + C + C + C + + C C0 + C + C + C3 + + C = 3 0 3 重點 99 若一集合有 個相異元素, 則此集合有 個子集合 重點 00 排容原理 : () A ( B) = A ( ) + B ( ) A ( B) () A ( B C) = A ( ) + B ( ) + C ( ) A ( B) B ( C) C ( A) + A ( B C) 重點 0 笛摩根定律 : () ( A B)' = A' B' () ( A B)' = A' B' 重點 0 古典機率 : A ( ) PA ( ) = ( 其中 S ( ) 為樣本空間總數 ) S ( ) 重點 03 互斥事件 A B= φ PA ( B) = 0 PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) 重點 04 條件機率 : ( A B) P( A B) 在 B 發生的條件之下,A 發生的機率為 P( AB) = = B ( ) PB ( ) 重點 05 獨立事件 PA ( B) = PA ( ) PB ( ) PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( ) PB ( )
重點 06 數學期望值 : 一隨機試驗的樣本空間為 S, 其中 { A A A },,, 為 S 的一個分割, 且發生 A i 可得報酬 i, 對應 發生機率為 p i, 則此隨機試驗之數學期望值為 E = p+ p + + p 重點 07 常用抽樣方法 : () 簡單隨機抽樣 () 系統抽樣 (3) 分層隨機抽樣 (4) 部落抽樣 重點 08 算術平均數 重點 09 中位數 : X i i = = () 奇數個 由小到大排列後取中間數 () 偶數個 由小到大排列後取最中間兩數之算術平均數重點 0 w + w + + w 加權平均數 W = w + w + + w 重點 百分等級 (PR 值 ): 將 N 筆數據由小到大排列後, 平分成 00 等分 (PR 值 0~PR 值 99) N A 若某筆資料排名為 A, 則其 PR 值 = ( ) 00, 若有小數點, 則無條件捨去 N PR 值 = k 表示勝過 k % 的人
重點 四分位距 :( 實例說明 ) + 3 6+ 7 (),, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Q =, Q 3 =, 四分位距 = Q3 Q + 3 7+ 8 (),, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Q =, Q 3 =, 四分位距 = Q3 Q (3),, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 Q = 3, Q 3 = 8, 四分位距 = Q3 Q (4),, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, Q = 3, Q 3 = 9, 四分位距 = Q3 Q 重點 3 母群體標準差 :( 非抽樣 ) 個資料,, 3,,, 其算術平均數 X i i = =, 則 先求得離均差為 ( X), ( X), ( 3 X),, ( X), 再取其平方得 ( X), ( X), ( X),, ( X), 3 再求其算術平均數得 i = ( X) i, 再開根號得標準差 S = ( i X) i = 求標準差的過程即為求 離均差 之方 ( 平方 ) 均( 算術平均 ) 根( 開根號 )重點 4 S X = ( i ) i = ( i X) = S i= i X = S i= i= = S ( + X ) i 重點 5 若兩組資料之關係為 i = i +, 則 : () Y = X + () SY = SX
3 重點 6 當一組資料的分布是 常態分布, 且其算術平均數為 與標準差為 S 時, 則約有 68% 的資料 落在 S 與 + S 之間 ; 約有 95% 的資料落在 S 與 + S之間 ; 約有 99.7% 的資料落在 3S與 + 3S之間 算術平均數 中位數及眾數均相等 重點 7 信賴區間 [ 估計值 誤差, 估計值 + 誤差 ] ( 閉區間 ) 重點 8 和差角公式 : si( α + β) = siαcos β + cosαsi β ; si( α β) = siαcos β cosαsi β cos( α + β) = cosαcos β siαsi β ; cos( α β) = cosαcos β + siαsi β t + t β t( + β) = ; t t β t t β t( β) = + t t β 重點 9 二倍角公式 : () si θ = siθcosθ () θ = θ θ = θ = θ cos cos si cos si tθ (3) t θ = t θ 重點 9 tθ si θ = + t θ t θ cos θ = + t θ m m L 和 L 的交角為 θ tθ = ( 另一交角為 80 θ ) + mm 若 m m =, 則兩直線互相垂直 交角為 90 ( 以 tθ 表示 si θ cos θ t θ ) β θ α L L
4 重點 0 A ABC 中, BC = CA = AB = c, 則 c ABC 的面積 = si c A = si c B = si C B C 重點 ABC 中, BC = CA = AB = c,r 為 ABC c = = = R ( 正弦定理 ) si A si B si C 重點 之外接圓半徑, 則 ABC 中, BC = CA = AB = c, 則 sia:sib:sic = ::c 重點 3 ABC 中, BC = CA = AB = c, 則 = + cos = + cos = + cos c c A c c B c C ( 餘弦定理 ) 重點 4 + c cos A = c c + ABC 中, BC = CA = AB = c, 則 cos B = c + c cosc = 重點 5 令 表 ABC 之面積,R 表 ABC 外接圓半徑,r 表 ABC 內切圓半徑, s = ( + + c) 表 ABC 之半周長, 則 : () = ss ( )( s )( s c) ( 海龍公式 ) c () = 4R c R = ( 外接圓半徑 ) 4 (3) = rs r = ( 內切圓半徑 ) s
5 重點 6 點 P( 0, 0 ) 到直線 L: + + c = 0之距離為 dpl (, ) = 重點 7 + + c 0 0 + 兩平行線 L: + + c = 0 L : + + c = 0之間的距離為 dl (, L) = 重點 8 c c + 圓之心徑式 圓心 ( h, k ), 半徑 r ( h) + ( k) = r 重點 9 圓之直徑式 直徑兩端點 (, ) (, ) ( )( ) + ( )( ) = 0 重點 30 圓之一般式 重點 3 + + + + = 0 d e f 圓之參數式 圓心 ( h, k ), 半徑 r 重點 3 拋物線之定義式 : d + e 4 f > 0 d e 圓心 (, ), 半徑 r = = h+ r cosθ, 0 θ < π = k + r siθ d + e 4 f 拋物線上任一點 P (, ) 到焦點 F ( 0, 0 ) 的距離等於 P 點到準線 L 的距離 ( ) + ( ) = dpl (, ) 0 0
6 重點 33 拋物線之標準式 : () 左右型 ( k) 4( c h) = 開口方向 :c > 0 開口向右 ;c < 0 開口向左 頂點 ( h, k ) 3 焦距 = c 正焦弦長 = 4 c 4 焦點 ( h + c, k ) 5 準線方程式 : = h c 6 對稱軸方程式 : = k () 上下型 ( ) 4( ) h = c k 開口方向 :c > 0 開口向上 ;c < 0 開口向下 頂點 ( h, k ) 3 焦距 = c 正焦弦長 = 4 c 4 焦點 ( h, k + c ) 5 準線方程式 : = k c 6 對稱軸方程式 : = h 重點 34 橢圓之定義式 : 兩焦點 F (, ) F (, ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = 橢圓上任一點 P(, ) 到兩焦點之距離和 PF+ PF = > FF = c 橢圓 = + c 最大 重點 35 橢圓之標準式 : () 左右型 中心 ( 0, 0 ) () 上下型 中心 ( 0, 0 ) + = ( c = ) 焦點 ( ± c, 0 ) 3 長軸長 = 4 短軸長 = 5 正焦弦長 = + = ( c = ) 焦點 ( 0, ± c ) 3 長軸長 = 4 短軸長 = 5 正焦弦長 =
7 重點 36 雙曲線之定義式 : 兩焦點 F (, ) F (, ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) = 雙曲線上任一點 P(, ) 到兩焦點之距離差的絕對值 PF PF = < FF = c 雙曲線 c = + c 最大 重點 37 雙曲線之標準式 : () 左右型 = ( c = + ) 中心 ( 0, 0 ) 焦點 ( ± c, 0 ) 3 長軸長 = 4 共軛軸長 = 5 正焦弦長 = 6 兩漸近線方程式為 + = 0 = 0 斜率為 ± () 上下型 = ( c = + ) 中心 ( 0, 0 ) 焦點 ( 0, ± c ) 3 長軸長 = 4 共軛軸長 = 5 正焦弦長 = 6 兩漸近線方程式為 + = 0 = 0 斜率為 ± 重點 38 等軸雙曲線 : 重點 39 以 L c = 或 = 兩漸近線互相垂直 : + + = 0和 L : + + c = 0為兩漸近線之雙曲線方程式為 ( + + c)( + + c) = k( k R且 k 0 ) 重點 40 函數的極限 lim f( ) = L 當 時 f( ) L 若極限值存在, 其值必唯一
8 重點 4 左極限 lim f( ) 右極限 lim f( ) + < 且 > 且 lim f( ) = lim f( ) = L lim f( ) = L 左極限等於右極限時, 極限值存在 + 重點 4 f( ) 若 lim 存在且 lim g g ( ) = 0, 則 lim f( ) = 0 ( ) 重點 43 夾擠原理 : 存在一包含 的開區間 ( c, d ), 對於所有在 ( c, d ) 中的點 ( ) 使得 g ( ) f( ) h ( ), 若 lim g ( ) = lim h ( ) = L, 則 lim f ( ) = L 重點 44 若函數 f( ) 滿足 () f( ) 存在 ; () lim f( ) = lim f( ) lim f ( ) 存在 ; (3) lim f ( ) = f ( ) + 則稱函數 f( ) 在 = 處連續 ()~(3) 只要有任何一個不成立, 則函數 f( ) 在 = 處為不連續! 重點 45 可微分之函數必為連續函數, 但連續函數不一定可微分! 重點 46 f '( ) = lim f( ) f( ) f( + h) f( ) f '( ) = lim h 0 h f '( ) = lim f '( ) 稱為 f( ) 在 = 處的導數, 而 f '( ) 則稱為是 f( ) 的導函數 重點 47 h 0 f( + h) f( ) h 曲線 = f( ) 在 = 處的切線斜率為 m= f '( ), 切點為 (, f( )), 故得切線方程式為 f( ) = f '( ) ( )
9 重點 48 微分公式 :( 設 u v 均為可微分函數, 且 均為實數 ) d () = 0 常數的微分為 0 d () d d = (3) d ( u ± v ) = u ' ± v ' d (4) d ( uv ) = u ' v + uv ' d d u u ' v uv ' (5) ( ) = d v v 重點 49 隱函數的微分 : d d d 已知 u= u ( ) gu ( ( )) = gu ( ), 則 gu ( ) = gu ( ) u ( ) d du d 重點 50 羅必達法則 : f( ) 0 f( ) f '( ) 若為型或型, 則 lim = lim g ( ) 0 g ( ) g'( ) 重點 5 曲線 = f( ) 在 = 處的切線斜率為 m= f '( ) 遞增 遞減 遞減 遞增
30 重點 5 f '( ) = 0 f "( ) < 0 f '( c) = 0 f "( c) > 0 在 = 處產生相對極大值 f( ); 在 = c 處產生相對極小值 f() c ; f "( ) = 0 在 = 處產生反曲點 c 重點 53 c < r < lim r = 0 r = lim r = 3 r > 或 r lim r 無窮等比數列收斂 < r 重點 54 < r < 無窮等比級數 S= r 收斂 S = r 重點 55 夾擠原理 : = 不存在 設數列 c 恆有 c, 且 lim = lim c = K, 則 lim = K 重點 56 d f( ) = [ F( ) + C] f ( ) d = F( ) + C d (C 為常數 ) F( ) + C為 f( ) 的反導函數重點 57 f( ) = 重點 58 + + d = + C (C 為常數且 ) 微積分基本定理 : 設 f( ) 在 [, ] 為連續函數且 F( ) 在 [, ] 為可微分函數, 若 (, ) 且 F'( ) = f( ), 則 f ( ) d = F( ) = F( ) F( ) 重點 59 面積 A = [ f ( ) g( )] d A
補充遺漏重點 : 3