(99 課綱 ) 第一冊第二章多項式函數 - 簡單的多項式函數 目標 能了解一次與二次多項式函數及其圖形 並了解一次函數 a b 中的一次係數 a 的幾何與物理意涵 也能利用配方法處理二次函數之圖形 極值 正定性以及圖形的平移相關的問題 再者 能理解單項高次函數的奇 偶性 單調性及其圖形和圖形的平移 定義. 多項式 : 形如 a a a a 其中 是非負整數 a a a a 是實數的式子稱為 的多項式 當 a 時 此多項式為 次多項式. 多項式函數 : 由變數 的值可決定多項式 y a a a a 的值 即決定變數 y 的值 就稱 y 是 的多項式函數 其中 a a a a 稱為多項式 f () 的係數 且若 a 時 a 稱為領導 ( 首項 ) 係數 a 稱為常數項. 次多項式函數 : 一般而言 若 次多項式 f ( ) a a a a ( a ) 且變數 y 的值由多項式 f( ) 的值定義 即 y f ( ) a a a a a 則稱 y 是 的 次多項式函數 簡稱 次函數 4. 坐標平面 : 平面上兩條互相垂直的數線 交點 O 為共同原點 取相同的單位長 其中橫的數線是 軸 縱的數線是 y 軸 平面上一定點 P 若過 P 垂直 軸的直線交 軸於 a ; 過 P 垂直 y 軸的直線交 y 軸於 b 則 P 點的坐標為 ( ab ) 記為 P( a b ) 5. 常數函數 : 設 b 是常數 則 y b 的圖形是一水平線 ( 垂直 y 軸的直線 ) 稱為常數函數 6. 線型函數 : 一次函數 y a b ( a ) 與常數函數 y b 的圖形都是一直線 當 a b 為常數時 無論 a 是否為 函數 y a b 的圖形都是一直線 這種函數統稱為線型函數 註 : () y a b 稱為線型函數 因為其圖形都是直線 若 a 時 為一次函數 若 a 時 若 b 時 為零次函數 ( 圖形是一水平線 ) 若 a b 時 為零函數 ( 圖形是是 軸 ) () 只要點出其上兩點 即可描繪其直線圖形 () 零次函數 : f ( ) c c 零函數 : f ( )
性質. 多項式的係數 : f ( ) a a a a a. 常數項 : f ( ) a. 各項係數和 : f ( ) a a a a a 4. 偶次項係數和 : f () f ( ) a a a4 5. 奇次項係數和 : f () f ( ) a a a5 6. 其他 : f ( i) f ( i) a a a4 f ( i) f ( i) a a a5 i 方法 求多項式的未知係數 :. 若已知根則將根代入. 代某些值進去後比較係數? 定義. 斜率 : 在坐標平面上給定直線 L 在其上任取相異兩點 P ( y) P ( y ) y y 當 L 不是鉛直線 ( 垂直 軸的直線 ) 時 比值稱為直線 L 的斜率 註 : P P y y 若直線 L 上點 P P 改變位置 則 PPP 保持相似 故 PP 為定值 事實上 無論 或 y y 的大小關係為何 y y m 都只與直線 L 的傾斜情況有關 不因起點不同而有不同的斜率
性質 斜率 :. 斜率為正數的直線從左到右是上升的 而斜率是負數的直線從左到右是下降的. 給定線型函數 y a b 它的圖形是一直線 L 且 L 不會是鉛直線 設 是相異實數 y a b y a b 則 P ( y ) P ( y ) 是 L 上的相異點 y y ( a b) ( a b) a( ) 由此可得 L 的斜率為 a 所以線型函數 y a b 圖形的斜率就是 a. 在函數 y a b 中 變數 每增加 單位 變數 y 就改變 a 單位 ( a 時 y 增加 a ; a 時 y 減少 a ) 上述性質正是直線斜率為 a 的直觀意義 換言之 函數 y a b 中 y 值相對於 值的變化率 a 就是其圖形的斜率 4. 函數 y m b 的圖形中 m 表斜率 那麼 b 有何直觀意義呢? 由於 時 y m b b 故此直線與 y 軸交於點 ( b ) 5. 當 m 時 此直線不是水平線 ( 垂直 y 軸的直線 ) 考慮它與 軸的交點 令 b y 即 m b 得 m 故該直線與 軸交於 ( b m ) 6. 線型函數的直線圖形的斜率為 a 截距為 k 時 此線型函數可表為 y a( k) 若將 y m b 表成 y m( ) 的形式 則其圖形與 軸交於 ( ) 7. 一次函數 y a b 當 值增加一單位時 [ a( ) b] ( a b) a 此時 y 值改變了 a 單位 也就是 y 值相對於 值的變化率 a 稱為直線的斜率 就物理學的觀點 它代表著 : 一質點沿著一直線作等速運動 若 時刻在線上的位置為 a b 則此質點運動的速度就是 a 質點在兩時刻之間的平均位移就是此質點的運動速度 也就是時間 與位置 y 的二維平面上的直線 y a b 的斜率 a
定義. 二次函數 : 二次函數 y a ( a ) 的圖形是拋物線 因為在地表附近 若不計空氣阻力 任意拋出一質點 在其軌跡所在的平面建立一坐標系 描繪出軌跡點的坐標關係是一個二次函數 所以二次函數的圖形稱為拋物線 性質. 平面上常用的幾何變換有 : 平移 鏡射 ( 即對稱 ) 旋轉 伸縮等四種 本章的圖形變換不涉及旋轉的概念. 拋物線 y a 的圖形對 y 軸自身對稱 且 a 愈大 開口愈小 因為函數值 的變化率隨 a 愈大而變化愈快 y a 與 y a 的圖形對 軸對稱 且所 有型如 y a 的拋物線之頂點都在原點. 二次函數 y a 的圖形可由 y ( a) 的圖形以 為對稱軸鏡射 ( 翻轉 ) 得到 4. 二次函數的圖形 : 二次函數 y a b c 可用配方法化成 y a( h) k 的形式 其圖形可 由拋物線 y a 沿 軸平移 h 單位 再沿 y 軸平移 k 單位而得 a 時開口向上 a 時開口向下 且圖形對稱於 y 軸 頂點是 ( h k) 對稱軸是 h y h ( h k) 4
5. 二次函數的最大值 最小值 : 設 a b c 是實數 且 a b cb 二次函數 f ( ) a b c a( ) a 4 若令 b ac b h k 則 y a( h) k a b c b 其圖形可由拋物線 y a 平移而得 它的頂點是 ( hk ) ( ) a 對稱軸是直線 b a 與 y 軸交點是 ( c ) 以下分成 a 與 a 兩種情形討論 : () a 時 圖形開口向上 b c b b cb 頂點 ( ) 是最低點 而 f ( ) 是最小值 a a () a 時 圖形開口向下 b c b b cb 頂點 ( ) 是最高點 而 f ( ) 是最大值 a a 註 : 有範圍求極值時 極值只可能產生在頂點或端點 b a a > a < b ( a b c ) b ( a ( c ) b c ) b a 6. 恆正或恆負的判別 : 二次函數 f ( ) a b c( a ) () 當 a 時 若 b c 時 則 f ( ) 恆成立 ; () 當 a 時 若 b c 時 則 f ( ) 恆成立 ( c ) 5
7. 二次函數的圖形 : 二次函數 y a b c 的判別式 b c b c b c 極值 a a b c 恆成立 有最小值 a a b c 恆成立 與 軸的交點數沒有交點恰有一交點交於相異兩點 實根數 沒有實根 有兩 相等實根 ( 重根 ) 有兩個 相異實根 有最大值 6
定義. 單項式 : 只含一個項的多項式. 單項函數 : 設 a 函數 y a 稱為單項函數 其中 是正整數 討論 二次函數圖形的平移 旋轉 伸縮 對稱有如下關係 : --------> y a k y a( 右移 h 單位 y a 上移 k 單位 --------> 右移 h 單位 h) k 上移 k 單位 y a( h) 各係數的影響 : 二次函數 y a( h) k 中. h 表示左右平移. k 表示上下平移. a 為正時 表示對於 軸作伸縮 ; a 為負時 表示對於 軸作伸縮及對稱 4. 平移常用的有 左 右平移 與 上 下平移 由 y a 上下平移 k 單位時 新圖形的函數為 y a k ; 由 y a 左右平移 h 單位 新圖形的函數為 y a( h) 5. 任意二次函數 y a( h) k 的圖形都可由拋物線 y a 的圖形 經左右平移 再經上下平移得之 6. 對 y a ( h) k 與 y a ( h) k 兩拋物線依序為 與 而言 當 a a 則 的開口較 的開口小 7. 二次函數圖形也可用描點法作圖 但透過配方找出頂點 對稱軸後 利用對稱性或利用平移作圖較可行 8. 利用配方法可將二次式 y a b c 化為 y a( h) k 的形式 因此利 用圖形的平移 可由 y a 的圖形作出 y a b c 的圖形 而且它的頂 b b c 點在 ( h k) 即 ( ) 的位置 a 7
問題. 試利用 y 的圖形 作出 y 的圖形 解答 : 對任意實數 將點 ( ) 往上平移 單位即得點 ( ) 將函數 y 的圖形往上平移 單位即得函數 y 的圖形. 試利用 y 的圖形 作出 y( ) 的圖形 解答 : 對函數 y 上任一點 ( y ) y 將點 ( y ) 往右平移 單位 得點 ( y) 由於 y [( ) ] 故點 ( y) 在函數 y( ) 的圖形上 因此 將函數 y 的圖形往右平移 單位即得函數 y( ) 的圖形. 描繪二次函數 y 4 的圖形 並求頂點坐標 解答 : 利用配方法 y 4 ( ) ( ) 故將拋物線 y 右移 單位 下移 單位即得 其頂點為 ( ) 8
理論 圖形平移 伸縮 鏡射的理論 :. 將函數中 ( y) 以 ( y) 代入 表將圖形右移 單位 也就是 y f () 變數變換成為 y f ( ) 即 y a y a( ) 表將圖形右移 單位 證明 : 若 ( y y a ) y a y a(( ) ) y) y a( ) ( 即將 y a 的圖形右移 單位會得到 y a( ) 的圖形. 將函數中 ( y) 以 ( y ) 代入 表將圖形上移 單位 也就是 y f () 變數變換成為 y f ( ) 或表為 y f ( ) 即 y a y a 表將圖形上移 單位 證明 : 若 ( y y a ) y a ) y ) y ( y a ( a 即將 y a 的圖形上移 單位會得到 y a 的圖形 也就是 y a 的圖形. 將函數中 ( y) 以 ( y) 代入 表將圖形沿著 y 軸方向向 軸伸縮倍 也就是 y f () 變數變換成為 y f ( ) 或表為 y f ( ) 即 y a y 證明 : 若 ( y y a 即將 ) a y a y a y ( ) y a 也就是 y a 表將圖形沿著 y 軸方向向 軸伸縮 的圖形沿著 y 軸方向向 軸伸縮 a y 的圖形 倍 倍會得到 y a 的圖形 9
4. 將函數中 ( y) 以 ( y) 代入 表將圖形沿著 軸方向向 y 軸伸縮倍 也就是 y f () 變數變換成為 y f ( ) 即 y a y a( ) 表將圖形沿著 軸方向向 y 軸伸縮倍 證明 : 若 ( y y a ) y a 即將 y ( y ) y a( ) y a a( ( )) 的圖形沿著 軸方向向 y 軸伸縮倍會得到 ( y 以 ( y) 代入 表將圖形對 軸作對稱 5. 將函數中 ) 也就是 y f () 變數變換成為 y f () 即 y a y a 表將圖形對 軸作對稱 證明 : 若 ( y y a ) y a ( y a ) y) ( y a 即將 y a 的圖形對 軸作對稱會得到 y a 的圖形 6. 將函數中 ( y) 以 ( y) 代入 表將圖形對 y 軸作對稱 也就是 y f () 變數變換成為 y f ( ) 即 y a y a( ) 表將圖形對 y 軸作對稱 證明 : 若 ( y y a ) y a y a( ( )) ( y ) y a( ) 即將 y a 的圖形對 y 軸作對稱會得到 y a( ) 的圖形 7. 將函數中 ( y) 以 ( y) 代入 表將圖形對原點作對稱 也就是 y f () 變數變換成為 y f ( ) 即 y a y a( ) 表將圖形對原點作對稱 證明 : 若 ( y y a 即將 ) y a ( y ) a( ( )) ( y ) y a( ) y a 的圖形對原點作對稱會得到 y a( ) 的圖形 y a( ) 的圖形
方法 求極值常用的方法有 :. 配方法 用算幾不等式 用科西不等式 用定義域的範圍 用值域的範圍 用三角函數的範圍 用指對數的範圍. 沒有範圍限制時 只有最大值或最小值 但有範圍求二次函數的極值時 極值產生在頂點或端點. 若二次函數 y a b c 有最小值 直觀而言 此函數圖形必頇開口朝上 即 a 此時 拋物線的頂點是圖形的最低點 其 y 坐標是所有函數值的最小者 此函數值沒有最大值 4. 若二次函數 y a b c 有最大值 即表示 a 最大值就是拋物線頂點的 y 坐標 此函數值沒有最小值 5. 若二次函數 y a b c 且 ( 即 在兩定數 與 之間 ) 此時不論 a 或 a 此函數有最大值 也有最小值 ; 但最大值與最小值不一定是拋物線頂點的 y 坐標 問題. 試問二次函數的頂點 對稱軸 開口大小由誰決定? 解 : 數個二次函數的要比較開口的大小時 需要放在同一個頂點上才能比較 且 a 越大 開口越大. 試問 a b c D b c分別對圖形有何影響?. 試問 y a( h) k 中 a h k 分別對圖形的平移 旋轉 伸縮 對稱之含意為何?
性質. 單項函數 y a 中 時 y 其圖形通過原點. 每當 時 必有.此性質表示: 當 為正實數時 的取值 越大 相對的 y 值就越大 換言之 其圖形從原點開始往右發展時 逐漸上升. 依 是偶數 奇數討論如下 : () 是偶數 : 此時 ( ) 當點 P( y ) 在函數 y 圖形上時 y 得 y ( ) P( y ) 亦在函數圖形上 即點 此時 PP 被 y 軸平分且 PP 垂直 y 軸 因此 函數圖形對 y 軸對稱 () 是奇數 : 此時 ( ) 當點 P( y ) 在函數 y 圖形上時 y 得 y 即 y ( ) 故點 P( y) 亦在函數圖形上 此時 PP 的中點是原點 因此 函數圖形對原點對稱
4. 設 a 形如 y a 的函數也稱為單項函數 () 當 a 時 y a 的圖形可由 y 的圖形以 軸為基準上下伸縮而 得 其圖形的方向是 y 的圖形的方向 例如 : y 的圖形可由 y 的圖形以 軸為基準上下伸縮 倍 ( 放大 ) 而得 () 當 a 時 y a 的圖形可由 y 的圖形以 軸為對稱軸鏡射得到 再行伸縮而得 其圖形的方向是 y 的圖形對 軸對稱的圖形的方向 4 4 例如 : y 的圖形可由 y 的圖形以 軸為對稱軸作鏡射就得到 4 y 的圖形 再伸縮倍 ( 縮小 ) 而得 5. 二次函數圖形的性質 : 二次函數 y a b c ( a ) 都可以化成 y a( h) k 的形式 故其圖形 必可由單項函數 y a 平移而得
6. 三次函數圖形的性質 : 形如 y a( h) k 的 次函數 它的圖形也可由單項函數 y a 的圖形沿 軸平移 h 單位 且沿 y 軸平移 k 單位得到 一般而言 任意 次函數未必能 化成 y a( h) k 的形式 以三次函數 y a b c d ( a ) 而言 也 未必能化成 y a( h) k 的形式 y 的圖形可利用描點法粗略的作出其圖形 較精確的圖形可用電腦畫其 圖形 由 y 之圖形利用平移可作出 y ( h) 的圖形與 y h 的圖形 利用伸縮可由 y 的圖形作出 y a 的圖形 其中 a 例如 : () y ( ) 的圖形就是 y 的圖形沿 軸平移 單位 且沿 y 軸平移 單位 () 由 y 的圖形經平移可得 y( ) 的圖形 再經平移可得 y ( ) 4 的圖形 即 y 6 4 的圖形可由 y 經變換而 得 但 y 6 4 就無法由 y 的圖形經變換而得之 () 求 y 的圖形與 軸的交點 其目的在說明 y 的圖形與 y 圖形形狀是不同的 ; y 的圖形是由左而右都是遞增的 而 y 的圖形是由左而右遞增 之後又遞減 之後又遞增的形狀 至於在哪個位置改變增 減的方向 目前不建議說明 但利用電腦繪圖 可知道大致的情況 問題. 在下圖中 已知圖形 A 為函數 y 的圖形 試判斷下列函數的圖形是哪 一個? y y ( ) ( ) y 解答 : 為 B 圖 為 D 圖 為 C 圖 4
討論 三次或三次以上多項式函數的圖形描繪 要配合微積分的方法 ( 一次微分可判別遞增遞減 二次微分可判別凹口方向 ) 才可以描繪出其圖形的大致形狀 一般是以電腦軟體繪製圖形 性質 高次多項式函數圖形的性質 :. 圖形為連續不斷的 註 : 連續的定義為 lim f ( ) f ( a) a. 當首項係數為正 則圖形最右邊向上 ; 當首項係數為負 則圖形最右邊向下. 次多項式函數的圖形與 軸至多 個交點 註 : 實係數多項式方程式的虛根成對 故奇數次實係數多項式函數的圖形與 軸至少有一個交點 偶數次實係數多項式函數的圖形與 軸不一定有交點 5
方法 如圖 試討論三次實係數多項式函數 f ( ) a b c d 中 各係數的正負 :. 方法一 : 若已知圖形與 軸的交點為 ( )( )( ) 則可利用 f ( ) a( )( )( ) 將其展開 並利用圖形最右側向上或向下判別首項係數的正負後 就可以知道其它係數的正負. 方法二 : 若已知圖形與 軸的交點為 ( )( )( ) 利用圖形最右側向上或向下判別首項係數的正負後 再利用三次方程式根與係數關係 : b a c 若三次方程式的三根為 則 a d a 可判別 a b c d 的正負. 方法三 : 若不知圖形與 軸的交點 則可利用圖形與 y 軸的交點 ( d ) 處之圖形性質 判別如下 : () a : 由圖形最右側向上或向下判別 () b : 由圖形 ( d ) 處的凹口方向判別 ( 二次導數 f ''( ) 6aa b 故 f ''() b ) () c : 由圖形 ( d ) 處的遞增或遞減判別 ( 一次導數 f '( ) a b c 故 f '() c ) (4) d : 由圖形與 y 軸交點的位置判別 6
結論 單項函數 f ( ) 是所有 次函數 f ( ) a( h) k 其中 a h k 為常數 且 a 的基礎函數. 當 時 y f ( ) 的圖形為一直線 而 a 是直線的斜率. 當 時 y f ( ) 的圖形為一拋物線 而 a 決定拋物線開口的大小 ; a 愈大 拋物線的開口愈小. 當 為奇數時 所有 y 的圖形都是增函數圖形 愈大時 點 ( ) 的位置愈高 4. 當 為偶數時 所有 y 的圖形都是以 y 軸為對稱軸的自身對稱的圖形 5. 所有 y a( h) k 的圖形都可以由 y 的圖形透過平移與伸縮及對稱的 幾何變換得到 本單元教材強調學生應培養由 y 經變換後的圖形的函數的辨識能力 6. 所有一次函數圖形都可由 y 的圖形變換而得 所有二次函數的圖形也都 可由 y 的圖形變換而得 但 時 y 的圖形變換而得的圖形只是 次圖形中的一部分 7