. 坐標空間中一質點自點 P (,,) 沿著方向 a (,, ) 等速直線前進, 經過秒後剛好到達平面 x y z 上, 立即轉向沿著方向 b (,, ) 依同樣的速率等速直線前進請問再經過幾秒此質點會剛好到達平面 x 上? () 秒 () 秒 () 秒 () 秒 () 永遠不會到達解 OP

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琛键何
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1 0 年大學學科能力測驗數學科參考詳解單一選擇題. 設 f( x ) 為二次實係數多項式, 已知 f( x ) 在 x 時有最小值且 f () 請問 f () 之值為下列哪一選項 () () () () () 條件不足, 無法確定解依題意知: 二次函數頂點為 (,), 設 f ( x) a( x ), 又 f () 則 a( ) a 所求 f () ( ) 故選 () f x ( ) ( x ). 請問 sin7 sin6 sin 9 sin 9 sin6 這五個數值的中位數是哪一個? ()sin7 ()sin6 ()sin 9 ()sin 9 ()sin6 解 7 I,6 II, 9 III, 9 IV,6 I 9 與 9 分別落在第三象限與第四象限 sin 9 0 且 sin 9 0 故僅須找 sin7 sin6 sin6 中最小的數字即可, 又 sin6 sin(0 ) sin,sin6 sin 第一象限中,sin 為遞增函數, 故 sin7 sin6 sin6, 即五數中, 中位數應為 sin6 故選 (). 坐標平面上兩圖形, 的方程式分別為 : : ( x) y, : ( x y) 請問, 共有幾個交點? () 個 () 個 () 個 () 個 () 0 個解為圓心在 (, 0) 半徑之圓 : ( x y) x y 或 x y 圖形為兩平行直線作圖知 : 故選 () 兩圖形交於兩點. 放射性物質的半衰期 T 定義為每經過時間 T, 該物質的質量會衰退成原來的一半鉛製容器中有兩種放射性物質 A B, 開始紀錄時容器中物質 A 的質量為物質 B 的兩倍, 而 0 小時後兩種物質的質量相同已知物質 A 的半衰期為 7. 小時, 請問物質 B 的半衰期為幾小時? () 小時 ()0 小時 () 小時 () 小時 () 0 小時 0 解設原始之 A 物質質量為 P, B 物質質量為 P, 則 0 小時即為 A 物質經過 6 7. 個半衰期, 6 表 A 物質於 0 小時後的物質質量為 ( ) P ( ) P, 依題意可知, 此時 B 質量亦為 ( ) P 又 B 物質質量原為 P,0 小時後的質量為 ( ) P, 表 B 物質經過個半衰期 0 B 物質的半衰期為小時故選 ()

2 . 坐標空間中一質點自點 P (,,) 沿著方向 a (,, ) 等速直線前進, 經過秒後剛好到達平面 x y z 上, 立即轉向沿著方向 b (,, ) 依同樣的速率等速直線前進請問再經過幾秒此質點會剛好到達平面 x 上? () 秒 () 秒 () 秒 () 秒 () 永遠不會到達解 OP t a ( t, t, t) 代入平面 x y z, 得 ( t) ( t) ( t) t t, 表一開始質點每秒前進向量 a 到達平面上的點為 OP a (6,,), 又 a b, 故轉向後的質點再經過 k 秒後的位置為 (6,,) k b (6 k, k, k) 代入平面 x 得 : 6 k k k 故選 () 6. 設 a n 0 為一等比數列已知前十項的和為 ak 0, 前五個奇數項的和為 a a a a7 a9 0, 請選出首項 a 的正確範圍 () a 0 () 0 a 90 () 90 a 00 () 00 a 0 () 0 a 解設首項為 a, 公比為 r, 則 a k 0 a ( ) r 0 r a, ( r ) r 0 0 ( r ) r 0 r r r 0 ( ) 0 由得 : a r r r 0 a[ ( ) ] 0 得 : 0 a ( ) ( ) 故選 () 且 0 代入 00 a 0 多重選擇題 7. 下列各方程式中, 請選出有實數解的選項 () x x () x x 6 () x x () x x 6 () x x 解由三角不等式知: x x x x () 錯誤,() 正確令 f ( x) x x, 拆絕對值討論 : Case : x 時, f ( x) x ( x ) Case : 0 x 時, f ( x) x ( x ) x Case : x 0 時, f ( x) x ( x ) 可知 f( x ) 的範圍為 : f( x) () 正確,() 錯誤,() 正確 [ 另解 ] 三角不等式 : a b a b 得 : x x ( x) ( x ) x x x x () 正確,() 錯誤,() 正確故選 ()()()

3 . 下面是甲乙兩個商場的奇異果以及蘋果不同包裝的價格表, 例如 : 甲商場奇異果價格元 / 一袋顆表示每一袋有顆奇異果, 價格元甲商場售價奇異果價格 0 元 / 一袋顆元 / 一袋顆 0 元 / 一袋顆 00 元 / 一袋 6顆蘋果價格元 / 一袋顆 0 元 / 一袋顆 60 元 / 一袋 6顆 0 元 / 一袋顆乙商場售價奇異果價格元 / 一袋顆 0 元 / 一袋顆 6 元 / 一袋顆 9 元 / 一袋 6顆蘋果價格 0 元 / 一袋顆 90 元 / 一袋顆 0 元 / 一袋 6顆 0 元 / 一袋 0顆依據上述數據, 請選出正確的選項 () 在甲商場買一袋顆裝的蘋果所需金額低於買三袋顆裝的蘋果 () 乙商場的奇異果售價, 一袋裝越多顆者, 其每顆單價越低 () 若只想買奇異果, 則在甲商場花 00 元最多可以買到 0 顆奇異果 () 如果要買顆奇異果和顆蘋果, 在甲商場所需最少金額低於在乙商場所需最少金額 () 無論要買多少顆蘋果, 在甲商場所需最少金額都低於在乙商場所需最少金額解 () 一袋顆裝的蘋果所需金額為 0 元, 三袋顆裝的蘋果共需元正確 () 乙商場中, 奇異果與蘋果的單價分別為奇異果價格顆元顆 6 元顆 6 元顆元 6 蘋果價格顆 0元顆 7 元顆 6 元顆元一袋中越多顆奇異果越多顆, 奇異果單價越低 () 甲商場中, 奇異果與蘋果的單價分別為正確奇異果價格顆 0元顆 7 元顆 6元顆 6 元蘋果價格顆元顆元顆元顆元欲買最多顆奇異果, 應選單價最低者, 故選擇一袋顆者, 其單價最低, 買 6 袋花 0 元可再買一袋顆裝 0 元, 故 00 元最多可以買 6 顆錯誤 () 選擇單價越低越好甲商場 : 奇異果個數, 即顆的兩袋, 顆的一袋, 需 0 9 元蘋果個數, 即顆的一袋, 顆的一袋, 需 0 7元共需元乙商場 : 奇異果個數 6, 即 6 顆的兩袋, 需 9 90 元蘋果個數, 即顆的一袋, 需 90 元共需元故在甲商場購買較為便宜正確 () 若買 0 顆蘋果, 甲商場需 0 0 元, 乙商場需 0 元, 此時乙商場較便宜錯誤故選 ()()() 9. 下列各直線中, 請選出和 z 軸互為歪斜線的選項 x 0 y 0 z 0 x y () L : () L : () L : () () z 0 x z x y y z 解 z 軸的參數式為 (0, 0, s), s () L 參數式為 (0, t, 0), t, 存在 t s 0, 此時 L 與 z 軸交於點 (0, 0, 0) () L 參數式為 ( t, 0, t), t, 存在 t 0, s, 此時 L 與 z 軸交於點 (0, 0,)

4 () L 參數式為 ( t, t, 0), t, L 上的點, 其 x, y 坐標無法同時為 0 且 L 之方向向量 (,, 0) 與 z 軸不平行, 故 L 與 z 軸歪斜 () L 參數式為 (,, t), t, L 的方向向量 (0, 0,) 與 z 軸平行, 且 L 上點的 x, y 坐標恆為, 但 z 軸上的 x, y 坐標恆為 0, 故 L 與 z 軸平行 () L 參數式為 ( t,,), t, L 的方向向量 (, 0, 0) 與 z 軸不平行, 且 L 上點的 y 坐標恆為, 但 z 軸上的 y 坐標恆為 0, 故 L 與 z 軸歪斜故選 ()() 0. 設 a b c 皆為正整數, 考慮多項式 f ( x) x ax bx cx 請選出正確的選項 () f( x) 0 無正根 () f( x) 0 一定有實根 () f( x) 0 一定有虛根 () f() f( ) 的值是偶數 () 若 a c b, 則 f( x) 0 有一根介於與 0 之間解 () 係數均為正, 若 0, 則 f ( ) 恆為正數, 故 f( x) 0 必定無正根 ()() 四次實係數方程式的根可為 : 四實根兩實根兩虛根四虛根故不一定恆有實根, 亦不一定恆有虛根 () f () f ( ) ( a b c ) ( a b c ) b 6 ( b ), 又 b 為正整數故 f() f( ) 的值為偶數 () f (0), f ( ) a b c ( b) ( a c) 0 故由勘根定理知, f( x) 0 在, 0 之間必有根故選 ()()(). 一個人的班級某次數學考試, 每個人的成績都未超過 9 分老師決定以下列方式調整成績 : x 原始成績為 x 分的學生, 新成績調整為 0log 0( ) 60 分 ( 四捨五入到整數 ) 請選出正確的選項 0 () 若某人原始成績是 9 分, 則新成績為 60 分 () 若某人原始成績超過 0 分, 則其新成績超過 70 分 () 調整後全班成績的全距比原始成績的全距大 () 已知小文的原始成績恰等於全班原始成績的中位數, 則小文的新成績仍然等於調整後全班成績的中位數 () 已知小美的原始成績恰等於全班原始成績的平均, 則小美的新成績仍然等於調整後全班成績的平均 ( 四捨五入到整數 ) x 解新成績為 0log( ) 60 0log( x) log0 60 0log( x) 0 0 () 當 x 9 時, 新成績為 0log(9 ) 分正確 () 當 x 0 時, 新成績為 0log(0 ) 0 0 (log log7) 0 0 ( ) 分又調整成績的對數函數為遞增函數, 故原成績只要比 0 高, 則新成績必定超過 70 分正確 () 若原成績最高分為 9, 則新成績為 0log 分若原成績最低分為 9 分, 則新成績為 60 分即原成績的全距為 0 分, 新成績的全距為分, 此時全距降低錯誤 () y 0log( x) 0 為遞增函數原數據經調整後, 大小順序仍不變故原為中位數的成績, 調整後仍為中位數正確 () 調整成績的函數非線型函數錯誤故選 ()()()

5 . 在 ABC 中, 已知 A 0 AB BC 請選出正確的選項 () 可以確定 B 的餘弦值 () 可以確定 C 的正弦值 () 可以確定 ABC 的面積 () 可以確定 ABC 的內切圓半徑 () 可以確定 ABC 的外接圓半徑 BC AB 解由正弦定理知: R R sin A sin C sin 0 sin C 得 R sin 0, 且 sinc sin 0, 且故僅能確定 sinc 與外接圓半徑 R 當 sinc sin 0 0, 此時 C 可為銳角或鈍角, 不一定僅有一個三角形, 故 ()()() 均錯誤故選 ()(). 甲乙丙丁四位男生各騎一台機車約 A B C D 四位女生一起出遊, 他們約定讓四位女生依照 A B C D 的順序抽鑰匙來決定搭程哪位男生的機車其中除了 B 認得甲的機車鑰匙並且絕對不會抽取之外, 每個女生選取這些鑰匙的機會都均等請選出正確的選項 () A 抽到甲的鑰匙的機率大於 C 抽到甲的鑰匙的機率 () C 抽到甲的鑰匙的機率大於 D 抽到甲的鑰匙的機率 () A 抽到乙的鑰匙的機率大於 B 抽到乙的鑰匙的機率 () B 抽到丙的鑰匙的機率大於 C 抽到丙的鑰匙的機率 () C 抽到甲的鑰匙的機率大於 C 抽到乙的鑰匙的機率解 PA ( 抽到甲 ) PA ( 抽到乙 ) PA ( 抽到丙 ) PA ( 抽到丁 ) B 不可能抽到甲 PB ( 抽到乙 ) PB ( 抽到丙 ) PB ( 抽到丁 ) PC ( 抽到甲 ) P( D 抽到甲 ) ( PA ( 抽到甲 )) ( ) PC ( 抽到乙 ) P( D 抽到乙 ) ( PA ( 抽到乙 ) PB ( 抽到乙 )) ( ) PC ( 抽到丙 ) P( D 抽到丙 ) ( PA ( 抽到丙 ) PB ( 抽到丙 )) ( ) PC ( 抽到丁 ) P( D 抽到丁 ) ( PA ( 抽到丁 ) PB ( 抽到丁 )) ( ) () A 抽到甲的鑰匙的機率,C 抽到甲的鑰匙的機率錯誤 () C 抽到甲的鑰匙的機率, D 抽到甲的鑰匙的機率錯誤 () A 抽到乙的鑰匙的機率, B 抽到乙的鑰匙的機率錯誤 () B 抽到丙的鑰匙的機率,C 抽到丙的鑰匙的機率正確 () C 抽到甲的鑰匙的機率,C 抽到乙的鑰匙的機率正確故選 ()()

6 選填題 A. 考慮每個元 ( 或稱元素 ) 只能是 0 或的階矩陣, 且它的第一列與第二列不相同且各列的元素不能全為零, 這樣的矩陣共有個解階矩陣型如 :, 第一列的填法有 7, 第二列的填法有 6 全為 0 故所有的矩陣共有 76 個全為 0 與第一列相同時, 不合 B. 坐標平面上 O 為原點, 設 u (, ) v (, ) 令為滿足 OP x u y v 的所有點 P 所形成的區域, 其中 x y, 則的面積為平方單位 ( 化成最簡分數 ) 解 x y 面積 ( ) [ ( )] ( u, v 所張之平行四邊形面積 ) C. 從橢圓的兩焦點分別作垂直於長軸的直線, 交橢圓於四點已知連此四點得一個邊長為的正方形, 則的長軸長為解假設兩焦點為 F, F, 如右圖, 依題意, ABCD 為正方形, 則四邊形 OF AM 亦為正方形令 OF OF c, 則 AF c, 又 AF AD, 故 c 此時, F F c, AF AF F F 利用橢圓定義知 : 長軸長 a AF AF x y z 0 0 a b x y z 6 0 c d D. 線性方程組經高斯消去法計算後, 其增廣矩陣可化簡為, x y x y z 則 a,b, c, d 0 0 第二列先除以 0 第一列 ( ) 加到第二列再 ( ) 加到第一列 ( ) () 6 第一列加到第三列 ( ) 0 6 加到第三列 () 0 解第一列加到第四列加到第四列與題意比較得 : a, b, c, d x y a E. 設 a 為一實數, 已知在第一象限滿足聯立不等式的所有點所形成之區域面積為 x y 平方單位, 則 a

7 7 解先由 xy 得知在第一象限的面積為 9 且兩直線交點 : x y a a x, y a, 如右圖 x y 陰影區域面積為, 則三角形區域面積為 9 a ( a) ( ) ( a) 6 a, a 6 或 ( 不合 ), 故 a 6 a b F. 投擲一公正骰子三次, 所得的點數依序為 a, b, c 在 b 為奇數的條件下, 行列式 0 b c 的機率為 ( 化成最簡分數 ) a b 解 ac b 0 b ac b c, P( b為奇數 b ac) 所求 P( b ac b 為奇數 ) Pb ( 為奇數 ) 先製表如右, 橫列為 a, 直行為 c, 表內各數字為 ac ac Pb ( 為奇數 ) b時 b時 b時 b b 9 b Pb ( 為奇數 b ac), 故所求 G. 如右圖所示, ABCD EFGH 為一長方體若平面 BDG 上一點 P 滿足 AP AB AD a AE, 則實數 a ( 化成最簡分數 ) 解坐標化, 將 A 置於空間坐標原點 (0, 0, 0), 如右圖所示令 AB, AD, AE, 則 B (, 0, 0), D (0,, 0), E(0, 0, ), G(,, ) 故 AB (, 0, 0), AD (0,, 0), AE (0, 0, ), 依題意 AP (,, a) 且 A 為坐標原點, 故 P 點坐標即為 (,, a) 又 BD (,, 0) BG (0,, ), 得 0 0 BD BG,, (,, ) 0 0 B(, 0, 0) 可取平面 BDG 的法向量為 n (,, ), 故平面 BDG 方程式為 x y z 再將 P(,, a) 代入得 : 6 a a a [ 另解 ] 共面定理 AP AB AD a( AG GE) AB AD a AG a( AC) AB AD a AG a( AB AD) ( a) AB ( a) AD a AG P, B, D, G 共平面 ( a) ( a) a a

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Microsoft Word 年學科能力測驗.docx 第一部份 : 選擇題 ( 占 50 分 ) 壹單選題 ( 占 20 分 ) 206 年學科能力測驗. 設 f(x) 為二次實係數多項式, 已知 f(x) 在 x=2 時有最小值, 且 f(3)=3 請問 f() 之值為下列哪一個選項? () 5 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 條件不足, 無法確定 2. 請問 si73 si46 si29 si292 si365 這五個數值的中位數是哪一個?