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午纷庾
7 years ago
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1 随机信号分析第一章随机过程的概念与基本类型罗锴 Signal processing & Information Networking in Communications

2 如何描述随机现象随机现象如何用数学模型描述呢?

3 提纲随机变量随机变量的基本概念随机变量定义及分布函数随机变量的数字特征随机过程随机过程的定义和统计描述随机过程分布律和数字特征复随机过程随机过程基本类型

4 随机变量的基本概念随机试验试验结果事先不能准确预言, 三个特征 : 可以在相同条件下重复进行 ; 每次试验结果不止一个, 可预先知道试验所有可能结果 ; 每次试验前不能确定哪个结果会出现

5 随机变量的基本概念概率空间概率空间是随机试验和概率的数学模型 ; 概率空间三要素 : 1) 样本空间 2) 定义于样本空间的事件集 3) 定义于事件集上的概率集

6 随机变量的基本概念样本空间随机试验所有可能结果组成的集合, 记为 Ω Ω 中的元素 e 称为样本点, 样本点是试验的每一个不可分解的结果. 事件集合运算样本空间的子集 A 称为事件. 基本事件和复合事件 ; 必然事件和不可能事件

7 随机变量的基本概念和事件 A B 事件 A 和事件 B 至少一个发生构成的事件积事件 A B 事件 A 和事件 B 同时发生构成的事件差事件 A B 事件 A 发生而事件 B 不发生构成的事件互逆关系 A = B A B=, A B=Ω 事件 A 与事件 B 必有一个发生, 且仅有一个发生互不相容关系 A B= 事件 A 与事件 B 不可能同时发生

8 随机变量的基本概念古典概率随机试验中一切可能结果是有限多个 ; 每个结果出现的可能性是相等的 ; 则事件 A 发生的概率可表示为 PA= ( ) 事件 A所包含的样本点个数样本空间中所含样本点个数

9 随机变量的基本概念例题 : 一批产品共 100 件, 其中次品 4 件, 从这批产品中任取 1 件, 求取到正品的概率

10 随机变量的基本概念几何概率计算无穷个基本事件的情形 ; 样本点具有均匀分布的性质 ; 设用 L( Ω ) 作为区域 Ω 大小的量度, 而区域 Ω 中任意可能出现的小区域 A 的量度用 L(A) 表示 ; 则事件 A( 或某一区域 ) 发生的概率表示为 P( A) L( A) = L ( Ω)

11 随机变量的基本概念例如 : 跳伞运动员降落在某一区域的概率

12 随机变量的基本概念例题 : 在时间间隔 T 内的任何瞬间, 两个不相关的信号等可能地进入收音机如果当且仅当这两个信号进入收音机的间隔时间不大于 t, 则收音机受到干扰, 试求收音机收到干扰的概率 y T S x-y=t T 2 -(T-t) 2 t A x-y=-t 0 t T x

13 用于计算前两种随机概率概括不了的随机事件概率 ; 用事件的频率近似地去表达事件的概率 ; 随机变量的基本概念统计概率若在同样的条件下, 将随机试验独立的重复做 n 次, 事件 A 出现了 n A 次, 则事件 A 的频率是当试验次数 n 增大时, 其中大量的频率聚集在一个常数周围 ; f n A A = f A P ( A) n 这个常数是客观存在的, 反映了事件 A 出现可能性的大小, 我们认为这个常数就是事件的概率

14 随机变量的基本概念公理化定义的概率 (1933 年前苏联科学家柯尔莫哥洛夫 ) 对于一个事件 A 样本空间 Ω, 赋予一个实数 P, 若满足 : 1. 0 P(A) 1; ( 非负性 ) 2. P(Ω)=1; ( 规范性 ) 3. 若 A 1,A 2,..,A k 两两互斥, 则 ( 可加性 ) P ( k = 1 A k ) = k = 1 P ( A k ) 我们称 P(A) 为事件 A 的一个概率

15 随机变量的基本概念概率空间规定一个随机试验, 所有样本点之集合构成样本空间 Ω, 在样本空间中一个样本点或若干个样本点之适当集合 F 称为事件域,F 中的每一个集合称为事件若 A F, 则 P(A) 就是事件 A 的概率, 并称这三个实体的结合 ( Ω,F,P) 为一个概率空间

16 随机变量的基本概念条件概率在事件 B 已发生这一条件下, 事件 A 发生的概率 : 全概率 P( A B) = P( A B) P( B) 若有 N 个互斥事件 A i (i=1,2,,n), 它的并集等于整个样本空间, 则 : N P( B) = P( B Ai) P( Ai) i= 1 其中, 事件 B 伴随事件 A i 发生

17 随机变量的基本概念例题 : 10 箱同规格产品, 其中 5 箱为甲厂生产, 3 箱为乙厂生产, 2 箱为丙厂生产, 而甲厂乙厂, 丙厂生产的次品率分别为 0.1, 0.06,0.03, 现在任取 1 箱, 在从箱子中任取 1 件, 问取得正品的概率? N PB ( ) = PB ( A) PA ( ) i= 1 i = = i

18 随机变量的基本概念贝叶斯公式 ( 后验概率公式或逆概率公式 ) 设事件 A 1,A 2,,A N 构成一个完备事件组, 概率 P(A i )>0, i=1,2,,n, 对于任何一个事件 B, 若 P(B)>0, 有 PA ( B) = i N i= 1 P( A) P( B A) i P( A) P( B A) 事件 A 1,A 2,,A N 看作是导致事件 B 发生的因素,P(A i ) 是在事件 B 出现这一信息前 A i 出现的概率, 通常称为先验概率 i 公式给出的 P(A i B) 是在经过试验获得事件 B 已经发生这个信息之后, 事件 A i 发生的概率, 称为后验概率 i i

19 随机变量的基本概念例题 : 设一个二进制的数字通信系统, 主要由 1 和 0 两种符号组成, 如下图, 且 P(B 1 )=0.6,P(B 2 )=0.4, 求条件概率 PB [ A] 1 1 B1 A PBA [ 1 1] PB [ 1 A1] = PA [ 1] 1 PB [ 1] PA [ 1 B1] = P[ B1] P[ A1 B1] + P[ B2] P[ A1 B2] = = B A2 1

20 随机变量的基本概念例题 : 10 箱同规格产品, 其中 5 箱为甲厂生产, 3 箱为乙厂生产, 2 箱为丙厂生产, 而甲厂乙厂, 丙厂生产的次品率分别为 0.1, 0.06,0.03, 现在任取 1 箱若取得的是正品, 问该箱产品是甲厂生产的概率是多少? 5 9. PAB ( 1 ) PA ( 1) PB ( A1) PA ( 1 B) = = = = 3 PB ( ) PB ( A) PA ( ) i= 1 i i

21 随机变量的基本概念独立事件设 ( Ω,F,P) 为一概率空间, 事件 A F,B F 且 P(A)>0, 若 P(B A)=P(B), 则称事件 B 随机独立于事件 A. P ( A B) = P( A) P( B) 例题 : 设每个家庭有 3 个孩子, 男孩女孩排列的八种可能性的概率均为 1/8, 定义如下事件 : A= 既有男孩又有女孩的家庭 B= 最多只有一个女孩的家庭问 :A,B 是否统计独立? P(A)=(8-1-1)/8=3/4 P(B)=(1+3)/8=1/2 P(AB)=P (1 女 )=3/8

22 随机变量的定义随机变量定义 : 设 ( Ω,F,P) 是概率空间, 对任一个 e Ω, 都有实数 X(e) 与之对应, 则称 X(e) 为随机变量, 简记为 X 随机现象随机变量

23 随机变量的定义离散型随机变量 : 只取有限个数值或可列无穷多个值连续型随机变量 : 从原样本空间到新样本空间的映射是某一个范围, 是一段 ( 或几段 ) 实线 ( 也可能是整个坐标轴 ), 随机变量可以取值于某一区间中的任一数

24 随机变量的分布函数分布函数一个描述随机变量取值的概率分布情况的统一方法性质 : F ( x) = P( e : X ( e) x), < x 1. F(x) 是非降函数 ; ( 单调不减性 ) 2. 0 F(x) 1; ( 有界性 ) 3. P{x 1 <X x 2 }=F(x 2 )-F(x 1 ) 4. F(x+0)=F(x) ( 右连续 ) <

25 随机变量的分布函数离散型随机变量的所有取值为 x i (i=1,2 ) P i 是 X 取 x i 的概率, 称 : P(X=x i )= P i, i=1,2 为离散型随机变量 X 分布律设 F(x) 是连续型随机变量 X 的分布函数, 若存在非负函数 f(x), 有 : x F( x) = f( t) dt 则 f(x) 为连续型随机变量 X 概率密度函数

26 随机变量的分布函数 q X P p X P = = = = ) 0 (, 1) ( k n k k n q p C k X P = = ) ( λ λ = = e k k X P k! ) ( < < = 其它, 0, 1 ) ( b x a a b x f ) ( 2 1 ) ( σ π σ a x e x f = < = 0 0, 0, ) ( x x e x f λ x λ 0-1 分布二项分布泊松分布均匀分布正态分布指数分布 < = 0 0, 0, ) ( x x e x f λ x λ 离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布

27 随机变量的分布函数随机变量函数的分布在给定某任意的随机变量 X, 以及它的分布函数 F X (x), 希望进一步求出给定的随机变量的某些可测函数 ( 如 Y=g(X)) 的分布函数 X g(x) Y Y 的分布函数公式为 F Y ( y) = P( x: g( x) y, x ΩX ) 如果上式右端概率的导数对于 y 处处存在, 那么这个导数就给出了随机变量 Y 的概率密度 d fy ( y) = P({ x: g( x) y, x ΩX}) dy

28 随机变量的分布函数

29 随机变量的分布函数

30 随机变量的分布函数边际分布若二维联合分布函数中有一个变元趋于无穷, 则其极限函数便是一维分布函数, 对于这种特殊性质, 我们称其为边际分布对于任意两个随机变量 X,Y, 其联合分布函数为 F XY (x,y), 则 F 1 (x) = F(x, ) F 2 (y) = F(, y) 分别称 F 1 (x) 和 F 2 (y) 为 F XY (x,y) 关于 X 和关于 Y 的边际分布函数离散型随机变量 (X,Y) 边际分布函数计算如下 F1 ( x) = F ( x, ) = lim FXY ( x, y) = P( X x, Y < ) = P( X x) y 连续型随机变量 (X,Y) 边际分布函数计算如下 (, y ) = F ( y ) = F f ( u, v ) dudv 2 y

31 随机变量的分布函数联合密度联合密度边际密度边际密度相互独立的随机变量设 X,Y 是两个随机变量, 若对任意实数 x,y 有 P( X x, Y y) = P(( X x) ( Y y)) = P( X x) P( Y y) 则称 X,Y 为相互独立的随机变量若 X,Y 为相互独立随机变量, 则有 F ( x, ( x, f XY XY y) y) = = F f X X ( x) F ( x) f Y Y ( y) ( y)

32 随机变量的分布函数条件分布在给定条件随机变量 Y=y 下, 随机变量 X 的条件概率密度函数为 : fx Y ( x y) = 条件概率密度函数 : f XY f Y ( x, y) ( y) x X Y ( x Y = y) = f X Y F ( u y) du

33 随机变量的数字特征统计平均与数学期望方差协方差相关系数独立与不相关

34 随机变量的数字特征统计平均与数学期望设离散随机变量 X, 它可能取 4 个值 x 1,x 2,x 3,x 4, 做试验 n 次, 计算 X 的算术平均可得 : = = = = = ) ( 1 k k k k k k n n x n x n n x n x n x n x n X P(X=x k ) = = = = 1 ) ( ) ( k k x k X P x X E X 对于离散型随机变量可以用脉冲函数来表示其概率密度 = = = 1 ) ( ) ( ) ( k k k X x x x X P x f δ 冲激函数随机变量数学期望定义 E(X) = xf X (x)dx

35 随机变量的数字特征随机变量函数的数学期望值已知随机变量 X 的数学期望值, 求随机变量函数 Y=g(X) 的数学期望 : E( Y ) Y ( y) dy = g ( x) f X ( x) = E( g( X )) = yf dx

36 随机变量的数字特征 K 阶原点矩,k 阶中心矩随机变量 X, 若 E[ X k ]<, 称 E[X k ] 为 k 阶原点矩 E [ X k ] = 离散随机变量 n i = 1 x k i P ( X = x i ) = 连续随机变量 x k f X ( x ) dx 又若 E[X] 存在, 且 E[ X-E[X] k ]<, 称 E[( X E[ X ]) ] 为 X 的 k 阶中心矩 E[( X E[ X]) ] = i= 1 k n ( x 离散随机变量 i E[ X]) k P( X = x i ) = 连续随机变量 ( x E[ X]) k f X k ( x) dx

37 随机变量的数字特征一阶原点矩就是随机变量的数学期望 EX = def xdf(x) 数学期望大致的描述了概率分布的中心二阶中心矩就是随机变量的方差 DX = def E(X EX) 2 方差反映随机变量取值的离散程度

38 随机变量的数字特征

39 随机变量的数字特征中心化的两个随机变量 X-E[X],Y-E[Y] 的互相关称为随机变量 X 和 Y 的协方差 Cov(X,Y ) def = E[(X EX)(Y EY )] = E(XY ) E(X)E(Y ) 协方差是描述随机现象中随机变量 X 和 Y 线性相关的程度引入一个描述两个随机变量相关程度的系数 ρ def Cov(X,Y ) XY = DX DY ρ XY 称为归一化的相关系数 1 1 ρ XY

40 随机变量的数字特征若 ρ XY =0, 则称随机变量 X 和 Y 不相关若两个随机变量 X 和 Y 的联合矩满足 E [ X Y ] = E[ X ] E[ Y ] 则称随机变量 X 和 Y 统计独立 i j i j

41 随机变量的数字特征统计独立 Cov( X, Y ) = = 统计独立 E[( X E[ XY EX )( Y 不相关 EY )] ] E[ X ] E[ Y ] = 0 不相关例题 : 设 Z 是一个随机变量, 具有均匀概率密度 f Z 1, ( z) = 2π 0, 0 z 其它令 X=sinZ,Y=cosZ, 求随机变量 X 和 Y 是否相关, 是否独立? 2π

42 随机变量小结

43 随机变量小结基本概念定义及分布函数数字特征随机试验样本空间事件概率概率空间随机变量定义分布函数随机变量函数的分布边际分布条件分布统计平均数学期望方差协方差相关性统计独立

44 作业复习概率论与数理统计方面的知识

45 随机变量思考在实际应用中, 我们经常要涉及到在随机试验过程中随时间 t 而改变的随机变量, 该怎么办呢?

46 提纲随机变量随机变量的基本概念随机变量定义及分布函数随机变量的数字特征随机过程随机过程的定义和统计描述随机过程分布律和数字特征复随机过程随机过程基本类型

47 随机过程在实际应用中, 我们经常要涉及到在随机试验过程中随时间 t 而改变的随机变量此时, 这种随机现象是个过程

48 随机过程举例电话交换台接入呼叫次数问题某电话交换台在一定时间段内 [ 0,t ] 内接到的呼叫次数是与 t 有关的随机变量, 记为 Z(t); 对于固定的时刻 t,z(t) 是一个取非负整数的随机变量, 故 {Z(t), t [0, )} 是一个随机过程对于一个固定的时刻 t, Z(t) 是一个随机变量

49 随机过程举例天气预报问题每天的天气 ( 晴, 雨, 阴 ) 是随机的, 对于确定的一天 ( 假设 t=1, 代表第一天 ), 天气状况是一个离散型的随机变量, 记为 Z t 所以, 多天的天气状况 {Z t,t=1,2,3 } 是一个随机过程 ; 对于一个固定的某天 t, Z t 是一个随机变量

50 随机过程举例电阻的噪声电压对于一个固定的时刻 t, 电阻的噪声电压 X(t) 是一个随机变量, X(t) 是随时间变化的所以噪声电压 {X(t),t [0, )} 是一个随机过程 ; 对于一个固定的时刻 t,x(t) 是一个随机变量

51 随机过程自然界事物的变化过程分为两大类 : (1) 具有确定形式的过程, 可以用一个时间 t 的确定函数来描述 (2) 另外一种过程没有确定的变化形式, 不能用一个时间 t 的确定函数来描述例如 : 液面上的质点的运动用 {x(t),y(t)} 表示 t 时刻该质点在液面上的坐标

52 随机过程布朗运动股票如何描述一个随机的过程?

53 随机过程定义与统计描述我们必须对一些随机现象的变化过程进行研究, 必须考虑无穷多个随机变量针对这个问题, 我们必须用一族随机变量才能刻画这种随机现象的全部统计规律我们通常将这族随机变量称为随机过程

54 随机过程定义与统计描述定义 1 设 ( Ω,F,P) 是概率空间,E 是随机试验, Ω={ e } 是样本空间,T 是给定的参数集, 若对每个固定的时刻 t T,X(t,e) 或者 X(t) 都是一个随机变量, 则称随机变量族 {X(t,e),t T} 是 ( Ω,F,P) 上的随机过程简记为 X(t)

55 随机过程定义与统计描述在第 w i 次试验中测量获得的噪声电压 X t 是一个样本函数

56 随机过程定义与统计描述定义 2 设 E 是随机试验, Ω ={ e } 是样本空间, 对于每一个样本 e, 总可以以某种规则确定一个时间函数 X(t, e) ( 称为样本函数或者轨道 ),t T, 则对于所有的 e Ω, 就得到一个函数的集合, 称此集合为随机过程, 简记为 X(t)

57 随机过程定义与统计描述 w= 1 X( t) w= 2 w= 3 w=k X( t) X( t) X(t) w=n X(t) t1 t2

58 随机过程定义与统计描述随机过程 {X(t,e),t T} 是定义在 T Ω 上的一个二元函数 1 对固定的 t,x(t,e) 是一个随机变量 ; 2 对固定的 e, X(t,e) 是随机过程 {X(t,e),t T} 的一个样本函数 ( 轨道 ) 即定义在 T 上的普通函数 ; 3 对于固定的 e 和 t, X(t,e) 是一个标量, 它表示时刻 t 所处的状态对于一切 t T,X(t) 所有可能的状态构成的集合称为状态空间 ; 4 当 t 和 e 都是变量时, X(t,e) 是一个随机变量族或者时间函数族 ( 称为随机过程 )

59 随机过程定义与统计描述例题 : 判断以下现象是否是一个随机过程? (1) 示波器产生的余弦波 X(t)=acos(wt+B), 其中,a,w 为常量,B 为初始相位, 并为 (0,2π) 上均匀分布的随机变量 (2) 正弦波 X(t)=Vcos(wt), 其中 V 为在 (0,1) 分布的随机变量

60 随机过程定义与统计描述通常我们可以根据随机变量 X(t) 在时间和状态上的类型区分随机过程的类型在时间和状态上都连续连续型随机过程

61 随机过程定义与统计描述在时间上连续, 状态上离散离散型随机过程

62 随机过程定义与统计描述在时间上离散, 状态上离散离散型随机序列

63 随机过程定义与统计描述在时间上离散状态上连续连续型随机序列

64 随机过程定义与统计描述状态时间连续离散连续连续型随机过程连续型随机序列离散离散型随机过程离散型随机序列

65 随机过程分布律有限个随机变量随机过程联合分布函数有限维分布函数族统计规律统计规律

66 随机过程分布律随机过程的一维分布函数 :

67 随机过程分布律例题 :

68 随机过程分布律例题 :

69 随机过程分布律随机过程的二维分布函数 :

70 随机过程分布律例题 : 1 F( x1, x2;,1) 2

71 随机过程分布律有限个随机变量联合分布函数统计规律随机过程有限维分布函数族统计规律设 X T ={X(t),t T} 是随机过程, 对任意 n 1 和 t 1,t 2,,t n T, 随机向量 (X(t 1 ),X(t 2 ),,X(t n )) 的 n 维联合分布函数为 : F ( x1, x2,, xn ) = P{ X ( t1) x1, X ( t t1,, tn n n 称为随机过程 X(t) 的 n 维分布函数 ) x }

72 随机过程分布律这些分布函数的全体 F = F ( x, x, x ), t, t,, t T, n { t, t 1 2 n n n 1} 称为 X T ={X t,t T} 的有限维分布函数族 n 维概率密度函数为 :

73 随机过程分布律有限维分布函数的性质对于 {t 1,t 2,,t n } 的任意排列 },,, { 2 1 n i i i t t t ),, ( ),,, ( 1 1 1,, 2 1,, in i in i n t t t t n t t x x F x x x F = 当 m<n 时, ),,,,,, ( ),,, ( 2 1,,,, 2 1, 1, 1 = m t t t m t t x x x F x x x F n m m 对称性相容性

74 随机过程分布律随机过程有限维分布函数族相容性对称性 Kolmogorov 存在定理 ( 柯尔莫哥洛夫,1931) 设已给参数集 T 及满足对称性和相容性条件的分布函数族 F, 则必存在概率空间 (Ω,Y,P) 及定义在其上的随机过程 {X(t),t T}, 它的有限维分布函数族是 F

75 随机过程数字特征期望设 X T ={X(t),t T} 是随机过程, 如果对任意 t T,E[X(t)] 存在, 则称函数 m x ( t) def = EX ( t), t T 为 X T 的数学期望, 反映随机过程在时刻 t 的平均值

76 随机过程数字特征均方值和方差函数反映随机过程 t 时刻平均功率反映随机过程在时刻 t 对平均值的偏离程度

77 随机过程数字特征自相关函数

78 随机过程数字特征协方差函数若对任意 t T,E[X 2 (t) ] 存在, 则称 X T 为二阶矩过程, 而称 B X ( s, t) def = E[{ X ( s) m ( s)}{ X ( t) m ( t)}], s, t T X X 为 X T 的协方差函数 ( 混合中心矩 ), 反映随机过程在时刻 t 和 s 时的状态起伏值的线性相关程度

79 随机过程数字特征协方差函数和相关函数有如下关系 : B X ( s, t) = R ( s, t) m ( s) m ( t) X X X 例题 : 设随机过程 X ( t ) = Y cos( θ t ) + Z sin( θ t ), t > 0 其中,Y 和 Z 是相互独立的随机变量, 且 EY=EZ=0, DY=DZ=σ 2, 求 X(t) 的均值函数和协方差函数

80 随机过程数字特征

81 随机过程数字特征例题 : 设随机过程 X(t)=Vcos4t, 其中 V 是随机变量, 其数学期望是 5, 方差为 6, 求随机过程 X(t) 的均值 M x (t) 方差 D x (t) 相关函数 R X (t 1,t 2 ) 和协方差函数 B x (t 1,t 2 )

82 随机过程数字特征两个随机过程之间的关系互协方差函数互相关函数定义 : 设 {X(t),t T},{Y(t), t T} 是两个二阶矩过程, 则称 B XY ( s, t) = ˆ E[( X ( s) m ( s))( Y ( t) m ( t))], s, t T X 为 {X(t),t T} 与 {Y(t), t T} 的互协方差函数 ; 称 R XY ( s, t) = ˆ E[ X ( s) Y ( t)] 为 {X(t),t T} 与 {Y(t), t T} 的互相关函数 Y

83 随机过程数字特征互协方差函数与互相关函数之间的关系 B XY ( s, t) = R ( s, t) m ( s) m ( t) XY X Y 两个随机过程 {X(t),t T} 与 {Y(t), t T} 互不相关 B XY ( s, t ) = 0

84 随机过程数字特征例题 : 设 X(t) 为信号过程,Y(t) 为噪声过程, 令 W(t)=X(t)+Y(t), 求 W(t) 的均值函数和相关函数当两个随机过程互不相关且均值函数为零时 :

85 复随机过程定义 : 设 {X t, t T},{Y t, t T} 是取实数值的两个随机过程, 若对任意 t T Z = X + t 其中 i = 1, 则称 {Z t, t T} 为复随机过程复随机过程的数字特征函数均值函数方差函数 Z t iy t m ( t) = E ( Z ) = EX + D Z t 2 t iey ( t) = E[ Z m ( t) ] = E[( Z m ( t))( Z m ( t))] t Z t t Z t Z 相关函数协方差函数相互之间的关系 R Z ( s, t ) = E [ Z s Z t ] B B Z Z ( s, t) = E[( Z m ( s)) ( Z m ( t))] s Z t Z ( s, t) = R ( s, t) m ( s) m ( t) Z Z Z

86 复随机过程两个复随机过程 {X t },{Y t } 的互相关函数定义为 R XY ( s, t) = E ( X syt ) 复随机过程互协方差函数定义为 B XY ( s, t) = E[ X m ( s)] [ Y m ( t)] s X t Y

87 随机过程基本类型 1. 正交增量过程 2. 独立增量过程 3. 马尔可夫过程 4. 正态过程 5. 维纳过程 6. 平稳过程

88 随机过程基本类型正交增量过程设 {X(t),t T} 是零均值的二阶矩过程, 若对任意的 t 1 <t 2 t 3 <t 4 T, 有 2 = E[( X ( t ) X ( t1))( X ( t4) X ( t3))] 0 则称 X(t) 是正交增量过程

89 随机过程基本类型例题设 {X(t),t T} 是正交增量过程,T=[a,b] 为有限区间, 且规定 X(a)=0, 当 a<s<t<b 时, 求其协方差函数 B X (s,t) 结论 : 正交增量过程的协方差可以由它的方差确定

90 随机过程基本类型独立增量过程设 {X(t),t T} 是随机过程, 若对任意的正整数 n 和 t 1 <t 2 < <t n T, 随机变量 X(t 2 )-X(t 1 ),X(t 3 )- X(t 2 ),,X(t n )-X(t n-1 ) 是互相独立的, 则称 {X(t),t T} 是独立增量过程

91 随机过程基本类型特点 : 独立增量过程在任一个时间间隔上过程状态的改变, 不影响任一个与它不相重叠的时间间隔上状态的改变例如 : 电话交换台 [0,t] 时间内接受到的电话呼叫数量服务系统 ( 例如商场 ) 在 [0,t] 时间内的顾客数

92 随机过程基本类型正交增量过程互不相关独立增量过程相互独立正交增量过程独立增量过程正交增量过程二阶矩存在, 均值函数恒为零独立增量过程

93 随机过程基本类型平稳独立增量过程设 {X(t),t T} 是独立增量过程, 若对任意 s<t, 随机变量 X(t)-X(s) 的分布仅依赖于 t-s, 则称 {X(t),t T} 是平稳独立增量过程

94 随机过程基本类型平稳独立增量过程例如 : 考虑一种设备一直使用到损坏为止, 然后换上同类型的设备假设设备的使用寿命是随机变量, 令 N(t) 为在时间段 [0,t] 内更换设备的件数, 通常可以认为 {N(t),t 0} 是平稳独立增量过程

95 随机过程基本类型设 {X(t),t T} 是随机过程, 若对任意正整数 n 及 t 1 <t 2, <t n,p(x(t 1 )=x 1,,X(t n-1 )=x n-1 )>0, 且其条件分布 } ) ( ) ( { } ) (,, ) ( ) ( { = = = = n n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X P 则称 {X(t),t T} 是马尔可夫过程马尔可夫过程

96 随机过程基本类型正态过程设 {X(t),t T} 是随机过程, 若对任意正整数 n 及 t 1,t 2,,t n T,(X(t 1 ),X(t 2 ),,X(t n )) 是 n 维正态随机变量, 则称 {X(t),t T} 是正态过程或高斯过程

97 随机过程基本类型正态过程特点 : 1. 在通信中应用广泛 ;( 中心极限定理 ) 只要 n 充分大,x1,x2, xn 之和近似正态分布例如 : 高斯白噪声 ; 一个城市某个时刻的总耗电量 ; 实验的测量误差 2. 正态过程只要知道其均值函数和协方差函数, 即可确定其有限维分布

98 随机过程基本类型维纳过程维纳过程是正态过程的一种特殊形式设 {W(t),- <t< } 为随机过程, 如果 1. W(0)=0; 2. 它是独立平稳增量过程 ; 3. 对任意 s,t, 增量 W(t)-W(s)~N(0,σ 2 t-s ), σ 2 >0 则称 {W(t),- <t< } 为维纳过程, 也称布朗运动过程

99 随机过程基本类型平稳过程设 {X(t),t T} 是随机过程, 如果 1. {X(t),t T} 是二阶矩过程 ; 2. 对任意 t T,m X (t)=ex(t)= 常数 ; 3. 对任意 s,t T,R X (s,t)=e[x(s)x(t)]=r X (s-t) 则称 {X(t),t T} 为宽平稳过程或者广义平稳过程, 简称为平稳过程

100 随机过程基本类型宽平稳过程严平稳过程宽平稳过程二阶矩存在严平稳过程对于正态过程, 宽平稳过程和严平稳过程是等价的

101 随机过程基本类型例题 : 示波器产生的余弦波 X(t)=Acos(wt+Ø), 其中,A,w 为常量, Ø 为初始相位, 并为 (- π,π) 上均匀分布的随机变量, 求随机过程的一维概率密度函数

102 随机过程的概念与基本类型小结数学建模时间

103 作业习题二 2.2,2.4,2.7,2.14

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Microsoft PowerPoint - 概率统计Ch02.ppt [Compatibility Mode] 66 随机变量的函数.5 随机变量的函数的分布设是一随机变量, 是的函数, g(, 则也是一个随机变量. 本节的任务 : 当取值 x 时, 取值 y g 67 ( 一离散型随机变量的函数设是离散型随机变量, 其分布律为或 P { x } p (,, x x, P p p, x p 已知随机变量的分布, 并且已知 g 要求随机变量的分布. (, 是的函数 : g(, 则也是离散型随机变