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封享虞
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1 kaoya.om Leure Noes 7 4/9/8 随机过程一随机过程. 随机过程的描述 () 是一簇随机变量, 给定一个时间, 就是一个随机变量 () 以函数为样本的随机事件因为是无限个随机变量, 所以需要任意 N 维分布才能完全描述其分布特性. 平稳平稳的意思就是与绝对时间无关如果一维二维特性与绝对时间无关, 称宽平稳或广义平稳以后说的平稳都指宽平稳定义 : 随机过程的自相关函数定义为 (, + τ) * ( + τ) E 平稳过程的自相关函数如下性质 : (, + τ) ( + τ) 与无关 ( τ ) E 有. ( ) () 是 E 的平均功率定义 : 任意随机过程 ( 不论是否平稳 ) 的平均功率定义为样本功率的数学期望 P E x E () () (, ). ( τ ) ( ) E 柯西 - 许瓦兹不等式 (Cauhy-Shwarz Iequaliy): E Y E E Y 3. * { } () τ E + τ E + τ + τ τ τ 联合平稳 : 互相关也只和时间差有关 /

2 kaoya.om Leure Noes 7 4/9/8 3. 遍历遍历性 : 如果一个特征在所有样本上都存在 ( 以概率 ), 则称此特征具有遍历性遍历过程的意思是说每个样本都能反映整个随机过程的各种特征宽遍历过程 : 所有一阶二阶特征都具有遍历性二随机过程的功率谱密度 x 定义 : 随机过程的平均功率谱密度定义为样本的功率谱密度的数学期望, 即 E T f T Px E Px E lim lim T T T P 其中 x 是某个样本的功率谱密度, T T 是样本短截后的傅氏变换 x 定义 : 随机过程的平均自相关函数定义为样本自相关函数的数学期望, 即 T x E x E lim x () x( τ) d T T + T T lim E x x d x, T T + + T () 定理 ( 维纳 - 辛钦 ): 随机过程的功率谱密度是平均自相关函数的傅氏变换 { Φ τ } Φ { () } Φ x () Px f E x x + E x x+ 特例 : 对于遍历过程, 每个样本的功率谱密度就是随机过程的功率谱密度特例 : 对于平稳过程, (, + τ) x x x x E x x ( + τ) 程的自相关函数 x 的傅氏变换, 所以功率谱密度是随机过特例 3: 对于循环平稳过程, x τ E x x+ τ 与有关, 是的周期函数, 设周 T x (, ) x + τ d 期为 T, 则时间平均只需在一个周期内进行 : T 注意我们需要的条件是 :() 以概率, 样本的功率谱密度自相关函数存在 ;() 数学期望和积分的次序可交换这些条件在通信中是没有问题的三高斯过程任意 N 维分布是联合正态分布 /

3 kaoya.om Leure Noes 7 4/9/8 要非常熟悉一维分布 : 若 x 服从 (, ) N, 则 ( xm) p( x) e π erf 函数的定义 : 对于 ~ N, 及 x Y ~ N 对于 (, ) erf( x) P( > x) P( > x) P( < x) e d x π 及 x 四随机过程通过线性系统 x PY ( > x) PY ( < x) erf. 平稳过程通过线性系统后还是平稳过程. 高斯过程通过线性系统后还是高斯过程, 非高斯过程通过后有变成高斯的趋向 3. 功率谱密度 : 4. 直流分量 : 对于平稳过程五窄带平稳高斯噪声. 定义 y P f H f P f () ( ) () E y H E x ( ) E y H E x N P 功率谱密度为常数, 即的平稳高斯过程叫白高斯噪声这是通信中最基本的噪 N 声 N 是单边的功率谱密度, 是双边的功率谱密度白高斯噪声通过带通系统的输出叫窄带高斯噪声简称窄带噪声 x 3/

4 kaoya.om Leure Noes 7 4/9/8 ( ) W H 注 : 图中的 H 的等效矩形带宽是 B, 意思是说 H 有相同的面积缺省情况下, 我们假设在其中心频率处的高度是. 窄带噪声的表达式其中 3. 性质 osπ a() os π f + ϕ() j f e{ %() e π } () 是均值的平稳高斯过程, 功率为 f siπ f s j + % j a e ϕ s NB 和一个带宽为 B 的理想 BPF 证 : 因为是白噪高斯噪声通过线性系统的输出, 由此易知均值平稳高斯这几个特征的功率为 N N P P df H df H df H 的等效矩形的面积是 B H f df, 所以 P NB () ˆ ˆ 的 Hilber 变换是均值的窄带平稳高斯过程, 功率为, ˆ ˆ τ ˆ τ NB, 证 ˆ :Hilber 变换是线性系统, 所以是均值的窄带平稳高斯过程, 其自相关函数为 4/

5 kaoya.om Leure Noes 7 4/9/8 ˆ 因此, 即 (3) 由 ( ) ( + τ ) u v ˆ E du dv πu πv ( τ + ) v u dudv ( τ + ) u v dv πv du πu ˆ u u du πu πu ˆ πu πv ( τ + ) ˆ ( τ ) 和有相同的功率谱, 故也有相同的功率 du ( + τ ) ( τ ) v v ˆ(, ) () ˆ + τ E dv dv πv πv ( ) ( τ + ) v v ˆ (, ) ˆ + τ E + τ dv dv τ πv πv ˆ ˆ ˆ z 构成的解析信号 + jˆ 的自相关函数是由 z 是均值平稳复高斯过程解析信号 z 构成的解析函数共轭不相关定义 : 平稳过程 Y 和的共轭相关函数是 E Y( + τ) 若共轭相关函数为, 则称数, 即若不相关的共轭自相关函数为, 则称证 : 易见均值平稳高斯这几点 Y 和这两个过程的自相关函 Y 和共轭不相关共轭不相关, 也就是说 { } ( + τ) ˆ ( + τ) + ˆ( + τ) z Ez z E j j ˆ + ˆ + j ˆ ˆ + j 和 5/

6 kaoya.om Leure Noes 7 4/9/8 { } () ( + τ) () + ˆ() ( + τ) + ˆ( + τ) E z z E j j ˆ + j ˆ + ˆ % 4 窄带噪声的复包络 () 是均值平稳复高斯过程复包络的自相关函数是其自相关函数的复包络的倍, 复包络的功率谱密度为 P % 4P f + f f BaseBad oherwise 功率为 NB, %() 共轭不相关证 : %() () z e jπ f () () E % % + τ E z e z + τ e τ e τ j π f jπ f + j π f τ z % % 故 () 是平稳过程 z 因为 () π () () () E % E z e E z e j f jπ f % 是复高斯过程, 所以 () 是复高斯过程 + ˆ j e jπ fτ % j f { } % e e π τ ( + ) sg ( + ) ( + ) 4P ( f + f ) f BaseBad P f P f f f f P f f % P NB 功率 % % else jπ f () ( + τ) () ( + τ) π E z() z( τ) e j f + + jπ f + E % % E z e z e (5) () 的同相分量 () 及正交分量 s() 都是同分布的均值平稳高斯过程, 功率和 () 一样 () 的功率谱密度为 6/

7 kaoya.om Leure Noes 7 4/9/8 P BaseBad P f + f + P f f f else 给定时, s 这两个随机变量相互独立若 P s 这两个高斯过程独立此时关于 f 对称, 则 os τ τ π fτ 证 : + () e{ %()} % %, 由此可知是均值的高斯过程 + ( + τ) + ( + τ) % % % % E () ( + τ ) E 由此知是平稳过程代入 % ( τ ) % % % % ˆ τ + + ( τ) + ˆ j e j e j π f τ j π fτ 是实信号, 故 ( τ ) 是实欧函数, ˆ ( τ ) 是实奇函数, 故此 ˆ τ + + ˆ j e j e e + jπ f τ jπ fτ ˆ jπ fτ { τ j e } os ˆ si τ π f τ + τ π f τ P P NB 其功率为 P 的功率谱密度为 + ( ) ( + ) + ( ) BaseBad P % f P % f P f f P f f f 4 else 同理可推导 s 的情形, 结果表明它和是同分布的和 s 函数为之间的互相关 7/

8 kaoya.om Leure Noes 7 4/9/8 ( + τ) s E s () + () ( + τ) ( + τ) % % % % E 4 4 % % % % 故 s ( ), 表明给定时, 和 s 变量, 所以它们相互独立此时 P 若 P 关于 f P 对称, 则 s ( τ ) 表明和 s 相互独立此时由于 a (6) %, 故有 ϕ ( ), 这两个随机变量不相关, 由于是高斯随机 P f + f f BaseBad else % 关于 f 对称, 于是 % ( τ ) 是实偶函数, 于是这两个随机过程独立, 即对任意的 e e π % e j f { } j { π f} τ τ e τ osπ f τ a 相互独立 ϕ ( ) 服从 ayleigh 分布, 证 : 设 x y 是两个的独立同分布的高斯随机变量, 均值为, 方差为概率密度函数为, ( ), ( ), [,π ] 服从上的均匀分布则它们的联合下图中阴影区域的面积近似是 x + y pxy ( xy, ) e π S ( d)( dθ) 近似认为这个区域非常之小, 以至于其中的概率密度近似是常数 p xy (, ) 概率是 xy, 则落在 S 内的 Spxy ( xy, ) ( d)( dθ) e π 8/

9 kaoya.om Leure Noes 7 4/9/8 也即落在区域 ( d) ( dθ) p 度 θ ( θ, ) 内的概率是 π e, 这自然就是按极坐标计算时的概率密 S ( d)( dθ) 于是 p π, e d e θ < π π pθ ( θ) e d, θ < π π 即服从 ayleigh 分布, θ 服从均匀分布 (7) 余弦波 + 窄带噪声 : 包络是 iea 分布 j f { } () () π () () + Aos f e + A+ s e π 现在的同相正交分量分别是其联合概率密度函数为 x + A s y 仿照前面的处理 ( x A) + y pxy ( xy, ) e π 9/

10 kaoya.om Leure Noes 7 4/9/8 p pθ ( πθ, ) π e + A + Aosθ 由此得的概率密度为 + A Aosθ π p ( ) e dθ π + A A os π θ e e dθ π + A A os π ( θ π) e e dθ π π + A A os π θ e e dθ π π + A A e I 即服从 iea 分布 /

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PowerPoint Presentation 平稳过程的功率谱密度在无线电通信技术等领域的一些问题中, 通常需要分析平稳过程的频域结构. 为此引入平稳过程的功率谱密度随机过程引论西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋定义 5.4.1 设 ={ t, -