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烷御
5 years ago
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1 频率直方图, 频率直方图是统计学中表示频率分布的图形, 该图形在直角坐标系中, 用横轴表示随机变量的取值, 横轴上的每个小区间对应一个组的组距, 作为小矩形的底边 ; 纵轴表示频率与组距的比值, 并用它作小矩形的高, 以这种小矩形构成的一组图称为频率直方图..3 连续型随机变量及其概率分布概率密度函数案例某制造商为给其所生产的某种型号的晶体管打寿命标签, 对该型号的晶体管的使用寿命进行了抽查, 下表是只的使用寿命 XX( 千时 :kh) 的抽查资料 : 寿命组段频数能否根据这个抽查资料刻画随机变量 XX 的分布呢, 如何刻画?

2 寿命组段频数 f( ) c, > 1 = 0, 其他因此, 从这次的抽查结果, 我们认为这批晶体管的寿命的可以用这个函数或者近似可以用这个函数刻画概率分布.

3 定义设 X 是一随机变量, F ( ) 是它的分布函数, 若存在一个非负可积函数 f ( ), 使得 F( ) = f ( t)dt < < + 则称 X 是连续型随机变量,f ( ) 是它的概率密度函数, 简称为密度函数或概率密度. 注 1: 连续性随机变量的分布函数连续. 注 :f () 不唯一.

4 分布函数 F ( ) 与密度函数 f ( ) 的几何意义 f ( ) F ( ) y = f ()

5 概率密度函数 f ( ) 的性质 1 f ( ) 0 + ( )d = ( + ) = 1 f F 常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数, 或求其中的未知参数 3 在 f ( ) 的连续点处, ( ) = F ( ) f f ( ) 描述了 X 在附近单位长度的区间内取值的概率 f( ) P( < X + ) 0 0 0

6 注意 : 对于连续型随机变量 X, P ( X = a) = 0 这里 a 可以是随机变量 X 的一个可能的取值事实上 ( X = a) ( a < X a) > 0 0 P( X = a) P( a < X a) = a a f ( )d a 0 P( X = a) lim f ( )d = a P( X = a) = 0 命题连续型随机变量取任一常数的概率为零强调概率为 0 (1) 的事件未必不发生 ( 发生 )

7 对于连续型随机变量 X P( a < X b) = P( a X b) f ( ) 0.08 = = = P ( a < X < b) P ( a X < b) b a f ( )d = F( b) F( a) a b

8 P ( X b) = P( X < b) = F( b) P( X > a) = P( X a) = 1 F( a) f ( ) a

9 例有一批晶体管, 已知每只的使用寿命 X 为连续型随机变量, 其概率密度函数为 c, > 1000 f( ) = 0, 其他 (1) 求常数 c. ( c 为常数 ) () 已知一只收音机上装有 3 只这样的晶体管, 每只晶体管能否正常工作相互独立, 求在使用的最初 1500 小时三只晶体管中损坏的只数所服从的分布 (3) 这样的晶体管, 使用的最初 1500 小时只有一个损坏的概率.

10 解 (1) c 令 f( )d = d = c = 1000 () 设事件 A 表示一只晶体管的寿命小于 1500 小时 P( A) = P(0 X < 1500) (3) = d = 1000 设在使用的最初 1500 小时三只晶体管中 1 损坏的只数为 Y ~ B 3, 3 PY ( = 1) = C 3 3 = 3 9

11 例一个靶子是半径为米的圆盘, 设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶, 以 X 表示弹着点与圆心的距离, 试求随机变量 X 的分布函数.

12 解 : 若 < 0, 则 ( X ) 是不可能事件, 于是 F( ) = P( X ) = 0 若由题意是某一常数 0 <,, P(0 X < ) = k, k. 取 =, 有 (0 ) 1, P X < = k = k = 即 P(0 X < ) =, 于是 4 F( ) = P( X ) 1 4 = P ( X < 0) + P(0 X ) = 4

13 1 ) ( ) ( = = X P F 综上所述, 随机变量 X 的分布函数为 < < = ) ( F,,, 若由题意是必然事件于是

14 常见的连续性随机变量的分布 (1) 均匀分布若 X 的密度函数为 1, a< < b f( ) = b a 0, 其他则称 X 服从区间 ( a, b) 上的均匀分布记作 X ~ U ( a, b) X 的分布函数为 F( ) = 0, a, b a 1 < a, a < b, b

15 f ( ) 1 b a a b F( ) 1 a b

16 ), ( ), ( b a d c a b d X c P d 1 ) ( d c = < < a b c d = 即 X 的取值在 (a,b) 内任何长为 d c 的小区间的概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正比. 这正是几何概型的情形.

17 例解 : 设随机变量 X 服从 (1,6) 上的均匀分布, 求一元两次方程 t +Xt+1=0 有实根的概率. 因为当 = X 4 0时, t + Xt + 1 = 0有实根. 故所求概率为 : P ( X 4 0) = P ( X 或 X ) 而 X 的密度函数为 : 1 5, 1 < < 6; f ( ) = 0, 其他, 6 4 且 P( X ) = f ( t) dt =, P( X ) 5 4 因此所求概率 P( X 4 0) =. 5 = 0,

18 () 指数分布若 X 的密度函数为 f( ) λe λ, 0 = 0, 其他 λ > 0 为常数则称 X 服从参数为 λ 的指数分布记作 X ~ Ep( λ) X 的分布函数为 0, 0 F( ) = 1 e λ, > 0

19 f ( ) λ 0 F( ) 1 0

20 例假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故 λt 障的次数 X(t) 服从参数为的泊松分布求 : (1) 相继两次故障时间间隔 T 的概率分布 ; () 设备已经无故障运行 8 小时的情况下, 再无故障运行 10 小时的概率

21 解 (1) F() t = PT ( t) T 0, t < 0 = 1 PT ( > t), t > 0 0 λt ( λt) e λt PT ( > t) = PNt ( ( ) = 0) = = e 0! 0, t < 0 0, t < 0 Ft () = f() t = λt 1 e, t > λt 0 λe, t > 0 即 T ~ E( λ) () PT ( > 18 T> 8) = PT ( > 18) PT ( > 8) 1 F(18) = = 1 F(8) e 10λ

22 指数分布具有无记忆性 : X ~ Ep( λ ), 则 PX ( > s+ t X> s) = PX ( > t)

23 例 ( 常识 ) (0,t) 内的保险公司索赔次数 N(t) 服从 poisson 分布即 N(t) ~P(λt); 其两次索赔之间的时间间隔服从指数分布例 ( 常识 ) (0,t) 内某柜台需要服务的顾客数 N(t) 服从 poisson 分布即 N(t) ~P(λt); 先后两个顾客到达柜台的时间间隔服从指数分布

24 例某美容厅顾客到达后需要等候的服务时间服从参数为 0.1 的指数分布, 若顾客等候时间超过 0 分钟就会离开 X (1) 请给出该美容厅在营业时间内 50 个顾客中因等候时间超过 0 分钟, 没有等到服务而离开人数的分布律 ; ()50 个顾客中没有等到服务而离开的人数大于 1 的概率

25 解设 X Y 表示 50 个顾客中因等候时间超过 0 分钟, 没有等到服务而离开的人数, 根据题意每个顾客等待时间超过 0 分钟的概率为 + PX ( 0) = 0.1e d = e Y 可以看成是 p = e 的 50 重 Bernoulli 试验中顾客离开发生次数, 因此 Y ~ B(50, e ) k k 50 k 50 PY ( = k) = C p (1 e ), k= 0,1,,,50

26 () 没有等到服务而离开的次数大于 1 的概率为 PY ( > 1) = 1 py ( = 0) py ( = 1) = 1 (1 e ) 50 e (1 e ) 50 49

27 (3) 正态分布 (Gauss 分布 ) 若 X 的密度函数为 f ( µ ) 1 ( ) σ = e π σ < < + µ, σ 为常数, σ > 0 则称 X 服从参数为 m, s 的正态分布记作 X ~ N ( m, s )

28 N (-3, 1. ) µ = 3

29 f () 的性质 : 图形关于直线 = µ 对称 : f (µ + ) = f (µ - ) 在 = µ 时, f () 取得最大值 1 π σ 在 = µ±σ 时, 曲线 y = f () 在对应的点处有拐点曲线 y = f () 以轴为渐近线曲线 y = f () 的图形呈单峰状

30 P( X µ ) = F( µ ) = 1 F( µ ) = P( X > µ ) =

31 f () 的两个参数 : µ 位置参数即固定 σ, 对于不同的 µ, 对应的 f () 的形状不变化, 只是位置不同 σ 形状参数固定 µ, 对于不同的 σ,f ( ) 的形状不同. 若 σ 1 < σ 则附近值的概率更大. 1 π σ > 1 1 π σ 比 = µ ± σ 所对应的拐点更靠近直线 = µ 前者取 µ = µ ± σ 1 所对应的拐点

32 Show[fn1,fn3] σ 小 0.5 σ 大几何意义数据意义 σ 大小与曲线陡峭程度成反比 σ 大小与数据分散程度成正比

33 一种重要的正态分布 :N (0,1) 标准正态分布标准正态分布的计算 : ( ) 1 = e, + π 如果随机变量 X ~ N 0, 1, 则其密度函数为 ϕ 其分布函数为 ( ) ( ) t 1 ϕ t dt e dt π Φ = = < < + ( ) ( ) ( ) 教科书上都附有标准正态分布表, 由此可得 Φ( ) 值. Φ ( 0) = 0.5 Φ ( ) = 1 Φ ( ) P( X < a) = Φ ( a) 1

34 Φ ( 0) = 0.5

35 Φ ( ) = 1 Φ ( ) P( X < a) = Φ ( a) 1

36 对一般的正态分布 :X ~ N ( µ,σ ) 其分布函数作变量代换 F( ) = 1 πσ s = t µ F ( ) σ Pa ( < X b) = Fb ( ) Fa ( ) P( X > a) e ( t µ ) σ dt µ = Φ σ b µ a µ =Φ Φ σ σ = 1 F( a) µ = 1 Φ a σ

37 定理若 X ~ N( µσ, ), 则 X σ µ ~ N(0,1).

38 例设 X ~ N(1,4), 求 P (0 X 1.6) 解 P( 0 X 1.6) = Φ Φ = Φ 0.3 Φ 0.5 ( ) ( ) 1 P301 附表 = Φ 0 Φ (.3) [1 ( 0.5)] = [ ] =

39 例已知 X ~ N(, σ ) 且 P( < X < 4 ) = 0.3, 求 P ( X < 0 ). 解一 0 P(X < 0) = Φ = 1 Φ σ σ 4 P( < X < 4) = Φ Φ σ σ = Φ Φ (0) = 0. 3 σ Φ = 0.8 σ P( X < 0) = 0.

40 解二图解法由图 P( X < 0) = 0.

41 例 3σ 原则设 X ~ N ( µ, σ ), 求 P( X µ < 3σ ) P( X µ < 3σ ) = P( µ 3σ < X < µ + 3σ ) µ + 3σ µ µ 3σ µ = Φ Φ σ σ = Φ( 3) Φ( 3) 解 = = = Φ ( 3) 一次试验中, X 落入区间 ( µ - 3σ, µ +3σ ) 的概率为 , 而超出此区间可能性很小由 3σ 原则知, 当 a < 3时 Φ( a) 0, b > 3时 Φ( b) 1

43 例设测量的误差 X ~ N(7.5, 100)( 单位 : 米 ), 问要进行多少次独立测量, 才能使至少有一次误差的绝对值不超过 10 米的概率大于 0.9? 解 P( X 10) = Φ Φ Φ( ) ( ) = 0.5 Φ 1.75 = Φ 0 Φ = (.5) [1 ( 1.75)] 设 A 表示进行 n 次独立测量至少有一次误差的绝对值不超过 10 米 n P( A) = 1 ( ) > 0.9 n > 3 所以至少要进行 4 次独立测量才能满足要求.

44 非离散非连续的随机变量举例 0, y < 0, y FY ( y) =, 0 y< 1 1, y 1 1 FY ( y) y F Y (y) 不是连续函数, 在 y = 1 处间断, Y 非连续也非离散型随机变量

幻灯片 1

幻灯片 1 .3 连续型随机变量及其概率分布一连续型随机变量的概念定义设 X 是一随机变量, 若存在一个非负可积函数 f ( ), 使得 F( ) = f ( t)dt < 其中 F ( ) 是它的分布函数 < + 则称 X 是连续型随机变量,f ( ) 是它的概率密度函数 ( p.d.f. ), 简称为密度函数或概率密度注 1: 连续性随机变量的分布函数连续. 注 :f () 不唯一. 分布函数 F