2.2 离散型随机变量及其分布. 离散型随机变量的分布律 2. 两点分布 3. 二项分布 4. 泊松分布 2

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态妾鲁
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1 第二章随机变量及其分布 2. 随机变量与分布函数 2.2 离散型随机变量及其分布 2.3 连续型随机变量及其分布 3.4 随机变量函数的分布

2 2.2 离散型随机变量及其分布. 离散型随机变量的分布律 2. 两点分布 3. 二项分布 4. 泊松分布 2

3 . 离散型随机变量的分布律定义 2.2. 设离散型随机变量的所有可能的不同取的值为 x 而取值,,2, x 的概率为 p, 即 x p,,2, 则称 2.2. 为离散型随机变量的概率分布或分布律 3

4 把可能取的值及相应的概率列成表, 如表 2.2. 所示, 称表为的概率分布表, 或称为分布列 x x 2 x p p 2 p 4

5 随机变量的分布律是指随机变量所有可能的取值与取这些值的概率之间的一种对应关系这种对应关系可用解析式 2.2. 和分布列表示, 还可用图示法表示图

6 对于离散型随机变量, 概率分布中的 p 必须满足下列两个性质 : p 0,,2, 2 p 反过来, 满足上式的数 p 也一定可作为离散型随机变量的概率分布 6

7 例 2.2. 设有 0 件产品, 其中正品 6 件, 次品 4 件, 从中任取 3 件产品, 用表示从中取出的次品数, 求其分布律. 解 : 设表示 3 件产品中的次品数, 则可能取的值是 0,,2,3, = =0,,2,3 表示事件有件次品. 则 0 C C 0 3 C C4C6 2 3 C C C 3 C C C 3 3 C

8 随机变量的分布律可表示为其分布列为 3 C C 4 6 C 3 0 0,,2, /6 /2 3/0 /30 8

9 前例 2.2. 设有 0 件产品, 其中正品 6 件, 次品 4 件, 从中任取 3 件产品, 用表示从中取出的次品数, 求其分布律. 求的分布函数并作出图形. 其分布列为 /6 /2 3/0 /30 9

10 0 解当 x <0 时,-, x] 内不含 x 的任何可能值, 故 Fx=0 6 0, 0 x x F x , x x F x , 2 x x F x

11 3, 3 0 x x F x 故的分布函数为 x x x x x x F

12 一般, 在总共 N 件产品中, 其中有 M 件次品, 现从中任取件不放回地取, 则这件中所含的次品数是一个离散型随机变量, 其概率分布为其中 CM CN M 0,,2,, l C 通常称这个概率分布为超几何分布 N l mi M, 2

13 3 例从次品率为 p 的一批药品中, 有放回地一个一个抽取, 直到抽到次品为止. 设为所抽取的药品次数, 求的概率分布. 解则第次抽取次品, 设,,2, } { i i A i q p A p A i i, 于是,2,, 2 2 p q A A A A A A A A 因为 A i 之间相互独立

14 上式是几何级数的一般项, 因此称上式为几何分布显然 q p p q p q 4

15 例已知离散型随机变量的分布列为解求 -<ξ 6; 2 ξ= 注意到在 -<ξ 6 中, 离散型随机变量 ξ 的可能取值只有三个, 即 ξ=0,ξ=3 及 ξ=6, 所以 ξ /8 /8 /6 /4 / 注意到 ξ 的可能取值没有 ξ=, 说明事件 ξ= 是不可能事件, 所以 ξ= =0 6 5

16 例 : 设随机变量具有分布律 a,,2,3,4,5 5 确定常数 a,2 计算, 解由分布律的性质, 得 a a 从而 a

17 7 设随机变量的分布律为试确定常数 b. 解 :,2,3,, 3 2 } { b } { b b b b b 练习由分布律的性质, 有

18 几个常见的离散型随机变量两点分布二项分布泊松分布 8

19 2. 两点分布设在一重伯努里试验中, 只有两个可能的结果 : 事件 A 和 A 的逆事件, 并且或 A p, A q p 若以记事件 A 出现的次数, 则的分布列为 0 q p p q 0, 则称服从参数为 p 的两点分布 9

20 两点分布又称 0- 分布. 凡试验只有两个结果, 常用两点分布. 如抛硬币试验产品是否合格人口性别统计系统是否正常电力消耗是否超标等都可以用两点分布来描述 20

21 例 00 件产品中有 95 件正品,5 件次品, 从中任取一件, 定义 0 取得正品时, 取得次品时. 则有 ξ= = 0.95,ξ=0 = 0.05, 即 ξ 服从两点分布 2

22 3. 二项分布重贝努利试验中, 若事件 A 在次试验中发生的次数记为, 则随机变量可能取的值是 0,,2,,, A = p 且相应的概率分布为 C p p, 0,,, 则称服从参数为, p 的二项分布, 记作 ~ B, p 显然 0 分布是 = 的二项分布用上一章学的方法怎样表示? 22

23 23 容易验证二项分布满足概率分布的两个性质 :, 0,,2, 0, q p C 0 0 q p q p C

24 例在初三的一个班中, 有 /4 的学生成绩优秀. 如果从班中随机地找出 5 名学生, 那么其中成绩优秀的学生数服从二项分布 ~B5,/4. 即 5- C , 0,,,5 的概率分布表如下 : / / /024 90/024 5/024 /024 24

25 例办公室内有 8 台计算机, 在任一时刻每台计算机被使用的概率为 0.6, 计算机是否被使用相互独立, 问在同一时刻 : 恰有 3 台计算机被使用的概率是多少? 2 至多有 2 台计算机被使用的概率是多少? 3 至少有 2 台计算机被使用的概率是多少? 解设为在同一时刻 8 台计算机中被使用的台数, 则于是 ~B8,0.6 25

26 C C C C C C

27 从上例可看出, 当从 0增加时, 概率经历了一个从小到大, 又从大到小的过程, 事件 " 5" 发生的概率最大, 我们们称之为最可能事件,"5 次 " 为最可能次数 27

28 一般地, 若 ~ B,p, 有 [ C p q C p q 所以, 当当 p 是整数时, 在两项概率均为最大值. p] 处达到最大值. p q p时, ; p时,. 特别当当 p 及 p q p-处 p不是整数时, 在 28

29 上述 [ p] 称为二项分布 B, p 的最可能出现次数, 又称为最可能值 29

30 例已知某种大批量产品的一级品率为 0.2, 现随机地抽查 20 件, 问 20 件产品中恰好有件 =0,,2,,20 为一级品的概率是多少? 解在此是不放回抽样, 但由于批量很大, 且抽查的件数相对于产品的总数来说又很小, 因而可作为有放回的抽样来处理这样做会有误差, 但误差不会大设为 20 件产品中一级品的件数, 则 ~ B20,

31 则所求的概率为 20- C , 0,,,20 对不同的值分别进行计算, 结果如表和图

32 例设每次射击命中目标的概率为 0.0, 现独立地射击 400 次, 求最可能命中目标的次数及相应的概率 ;2 至少 3 次命中目标的概率. 解设在 400 次射击中命中目标的次数为, 则 ~B400,0.0 最可能命中目标的次数为 [ p] [ ] [4.0] 相应的概率为 4 C

33 33 2 至少命中 3 次的概率为 C C C

34 从上面的式子可看出, 当较大时, 计算服从二项分布的随机变量所表达有关事件的概率是非常麻烦的泊松定理给出了近似计算公式 : 34

35 定理 2.2. 泊松定理设随机变量 =,2, 服从参数, p 的二项分布若 lim p 0, 则有 lim lim C p p! e 0,,2, 35

36 证明 : 记 p, 则 C p p!! 2 36

37 37 2 lim e ] lim[ lim 及因为, lim 0,,2,! lim e 故有

38 泊松定理说明若 ~ B, p, 则当较大,p 较小, 而 p =λ 适中, 则可以用近似公式 C p p e, 0,,2,! 在实际应用中, 当 >0,p<0. 时, 就可用公式近似计算二项分布的概率 38

39 前例设每次射击命中目标的概率为 0., 现独立地射击 400 次, 求最可能命中目标的次数及相应的概率 ;2 至少 3 次命中目标的概率. 解因为 p 查附表 3 泊松分布表得 e ! e e! [ p] !

40 课堂练习 i. { i} 2a, i,2,, 求常数 a. a=/3 2. 下面给出的数列能否成为某一随机变量的分布列 : 0.,0.2,0.3,0.4. 是 3. 设随机变量的概率分布为 /8 3/8 3/8 a 求 : a 的值 ; 2 ; 3 <3 a=/8 2/2 36/8 40

41 4. 泊松分布若随机变量的分布列为 e, 0,,2,! 其中 λ>0 是常数, 则称服从参数为 λ 的泊松分布记作 ~ 4

42 泊松分布是法国数学家泊松 oisso 研究二项分布在一定条件下的极限分布时而发现的泊松分布是概率论中最重要的离散型随机变量的分布之一, 许多稀疏现象, 如电话交换机的电话转接次数放射性物质每分钟分裂的原子数在一寄生动物的宿主上寄生物的数目等都服从泊松分布所以泊松分布又称为稀疏现象律 42

43 可验证泊松分布满足分布律的两条性质 : 0, 0,, 2, 2 0 泊松分布图的上升下降情况与二项分布相仿 43

44 由 e! e! 可看出, 若 λ 不是整数, 泊松分布的最可能值为 [λ]; 若 λ 是整数, 泊松分布的最可能值为 λ 或 λ-. 44

45 例某电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从 λ=5 的泊松分布, 试求一分钟内呼叫次数不超过 6 次的概率解设每分钟电话交换台接到的呼叫次数为, 则 5 5 ~5, 于是 e! 一分钟内呼叫次数不超过 6 次的概率为 ! e 5 查泊松分布表 45

46 例保险问题 : 人群出现意外事故的概率为 0.002, 现有 2500 人参加这种保险, 规定参加该项保险的人每年交保险金 20 元, 若在一年内被保人出现意外, 保险公司赔偿元试问保险公司在办理该项业务上亏本的概率是多少?2 该项业务获利不少于 0 万元的概率有多大? 解保险公司在该项业务中的收入为 = 元设在这一年中死亡人数为 x, 则保险公司要支付赔偿金 20000x 元, 只要 20000x >300000, 即 x >5 人, 保险公司在办理该项业务上就亏本 46

47 设出现事故人数为, 则 ~ B2500,0.002 因为较大,p 较小, 且 p 5 故 e 6!

48 2 该项业务获利不少于 0 万元, 即 x 00000,x 0 人, 故 e ! 由此可看出, 保险公司在办理该项业务亏本的风险很小, 赢利 0 万元以上的可能性接近 99 % 48

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第 37 卷第 1 期西南师范大学学报 ( 自然科学版 ) 01 年 1 月 Vol.37 No. 1 JouralofSouthwestChiaNormalUiversity(NaturalScieceEditio) Ja. 01 文章编号 :1000 5471(01)01 0011 05 1 离散型随机变量序列最大值的收敛速度张耿, 陈守全, 王超西南大学数学与统计学院, 重庆 400715