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桂琦慎
5 years ago
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1 随机信号分析第三章泊松过程 (Poisso Processes) Sigal processig & Iformaio Neworkig i Commuicaios 罗锴

2 提纲 u 泊松过程定义 u 泊松过程的数字特征 u 时间间隔分布等待时间分布及到达时间的条件分布 u 非齐次泊松过程 u 复合泊松过程

3 泊松过程定义泊松过程是一类时间连续状态离散的随机过程例如 : 电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数 ; 火车站某段时间内购买车票的旅客数 ; 机器在一段时间内发生故障的次数 ;

4 泊松过程定义计数过程 ( 定义 3.1) 设 {N(), 0} 为随机过程, 若 N() 表示到时刻为止已发生的事件 A 的总数, 且 N() 满足下列条件 : 1. N() 0; 2. N() 取正整数值以及 0; 3. 若 s<, 则 N(s) N(); 4. 当 s< 时,N()-N(s) 等于区间 (s,] 中发生的事件 A 的次数 ; 称随机过程 {N(), 0} 为计数过程

5 泊松过程定义如果计数过程在不相重叠的时间间隔内, 事件 A 发生的次数是相互独立的, 则计数过程 N() 是独立增量过程若计数过程 N() 在 (,+s] 内 (S>0), 事件 A 发生的次数 N(+s)-N() 仅与时间差 s 有关, 而与无关, 则计数过程 N() 是平稳增量过程

6 泊松过程定义定义 3.2 称计数过程 {X(), 0} 为具有参数 λ>0 的泊松过程, 若它满足下列条件 : 1. X(0)0; 2. X() 是独立增量过程 ; 平稳增量过程 3. 在任一长度为的区间中, 事件 A 发生的次数服从参数 λ>0 的泊松分布, 即对任意 s, 0, 有 λ ( λ) P{ X ( + s) X ( s) } e,! 0,1,!

7 泊松过程定义定义 3.3 称计数过程 {X(), 0} 为具有参数 λ>0 的泊松过程, 若它满足下列条件 : 1. X(0)0; 2. X() 是独立平稳增量过程 ; 3.X() 满足下列两式 : P{ X ( P{ X ( + h) X ( ) 1} λh + h) X ( ) 2} o( h) + o( h) 在充分小的时间内, 最多有一个事件发生, 而不能有两个或两个以上事件同时发生

8 泊松过程定义证明定义 3.2 和定义 3.3 是等价的 ( 一 ) 定义 3.2 定义 3.3 由定义 3.2 条件 (3) 蕴含 X() 为平稳增量过程, 故只需要证明由定义 3.2 推出定义 3.3 的条件 (3) 对于充分小的 h, 有 : 1 λ ( λh) ( λh) P X h X e h h h O h h O h 1!! h { ( + ) ( ) 1 } λ λ [1 λ + ( )] λ + ( ) λ ( λh) ( λh) ( λh) P X h X e h O h O h! 2 6 h { ( + ) ( ) 2 } [1 λ + ( )][ +...] ( ) 2

9 泊松过程定义 ( 二 ) 定义 3.3 定义 3.2 令 P() P{ X() } P{ X() X(0) } 先证明 : P() o e λ { } { } { () X(0) 0, ( ) X() 0} { () X(0) 0 } { ( ) X() 0} { } { } P( + h) P X( + h) 0 P X( + h) X(0) 0 o P X X + h P X P X + h { } P X() X(0) 0 1 P X( + h) X() 1 P()[1 λh+ O( h)] o 所以 : P ( o + h ) P ( o ) ( ) λpo () + Oh h h 当 h 0, P ' o () λp o () 则有 : P () 将 { } o o ke λ P(0) P X(0) 0 1 代入上式, 有 : P() o e λ

10 泊松过程定义 -1 λ ( λ) λ ( λ) 其次, 假设 P 成立, 则 P() 成立 e -1() e!! 当 1 时, j 2 { } { } { () (0), ( ) () 0 } { () (0) 1, ( ) () 1} P( + h) P X( + h) P X( + h) X(0) P X X X + h X + P X X X + h X + 可以得到 { () (0), ( + ) () } P X X j X h X j 将 0 1 P(+ h) P() P( h) + P () P( h) + O( h) P( + h) P( ) P( h) 1 λh, P( h) λh 代入上式得 : λ + λ 1 h ' 当 h 0, P() λp() + λp 1() -1 λ ( λ) λ ( λ) 将 P -1() e 代入得到 : e P () + c!! 将 P () P X (0) 0 1代入上式得 : c 0 0 { } 最后得到 : P() e ( )! λ λ P() P ()

11 泊松过程的数字特征设 {X(), 0} 是泊松过程, 对任意的,s [0, ), 且 s<, 有 E[ X( ) 由于 X(0)0, 所以均值函数方差函数 m σ X 2 X ( ) ( ) X( s)] E[ X ( )] D[ X ( )] D[ X( ) λ λ X( s)] λ ( s) λ E[X()] 泊松过程的速率或强度相关函数协方差函数 R X (s,) E[X(s)X()] λs(λ +1) B X (s,) λs

12 提纲 u 泊松过程定义 u 泊松过程的数字特征 u 时间间隔分布等待时间分布及到达时间的条件分布

13 泊松过程的时间间隔分布时间间隔 T 的分布设 {X(), 0} 是泊松过程, 令 X() 表示时刻事件 A 发生的次数, T 表示从第 (-1) 次事件 A 发生到第次事件 A 发生的时间间隔

14 泊松过程的时间间隔分布定理 3.2: 设 {X(), 0} 为具有参数 λ 的泊松过程,{T, 1} 是对应的时间间隔序列, 则随机变量 T 是独立同分布的均值为 1/λ 的指数分布即 : 对于任意 1,2,, 事件 A 相继到达的时间间隔 T 的分布为 λ 1 e, 0 FT ( ) P{ T } 0, < 0 其概率密度为 f λe 0, λ T ( ), 0 < 0

15 泊松过程的时间间隔分布证明 : F() P{T } 1 P{T> } T1 1 1 P{T1 > } P{X() 0} F() 1 P{X( ) 0} 1 e λ T 1 所以,T 1 服从均值为 1/λ 的指数分布

16 泊松过程的时间间隔分布 F () P{ T } 1 P{ T > } T2 2 2 F () 1 P{ X( T+) X( T) 0} 1 e λ T2 1 1 所以,T 2 也服从均值为 1/λ 的指数分布同理可以证明 : 对于任意的 1,2,, 事件相继到达的时间间隔 T 也服从均值为 1/λ 的指数分布

17 泊松过程的等待时间分布等待时间 W 的分布等待时间 W 是指第次事件 A 出现的时刻 ( 或第次事件 A 的等待时间 ) W T i i 1 因此,W 是个相互独立的指数分布随机变量之和

18 泊松过程的等待时间分布定理 3.3: 设 {W, 1} 是与泊松过程 {X(), 0} 对应的一个等待时间序列, 则 W 服从参数为与 λ 的 Г 分布 ( 也称爱尔兰分布 ), 其概率密度为 1 λ ( λ) λe, 0 fw () ( 1)! 0, < 0

19 泊松过程的等待时间分布证明 : FW () P{ W } P{ X() } e j λ ( λ) j! j 对上式求导, 得到 W 的概率密度函数为 j j 1 1 λ ( λ) λ ( λ) λ ( λ) fw () λe + λe λe j! ( j 1! ( 1! ) ) j j

20 泊松过程的到达时间的条件分布假设在 [0,] 内事件 A 已经发生一次, 我们要确定这一事件 A 到达时间 W 1 的分布 P{ W 1 s X ( ) 1}?

21 泊松过程的到达时间的条件分布解 : { s X ( ) 1} PW 1 { 1 sx, ( ) 1} P{ X() 1} { () 1, () X() 0} P{ X() 1} { () 1 } { () X() 0} P{ X() 1} PW P X s X s P X s P X s λse e λe s λs λ( s) λ

22 泊松过程的到达时间的条件分布 < < s s s s s F X W 1, 0, 0 0, ) 1 ( ) ( 1 < 其它 0, 0, 1 ) 1 ( ) ( 1 s s f X W 分布函数概率密度函数

23 泊松过程的到达时间的条件分布例题 : 设 {X(), 0} 是泊松过程, 已知在 [0,] 内事件 A 发生次, 求这次到达事件 W 1 <W 2, <W 的联合概率密度函数解 : P{ 1 W1 1+ h1,..., W + h X( ) } P{ 1 W1 1+ h1,..., W + h, X( ) } P{ X() } {[ i, i + i] 中有一事件, 1,...,, [ 0, ] 其他地方未有事件 } P h i λ λh1 λh he... λhe e 1! hh h λ( h... h ) ( λ ) λ e /! 1 { () } P X

24 泊松过程的到达时间的条件分布因此, P{ 1 W h 1,..., W + h X () }! h 1 h 2...h h 0 X () 令, 则 W 1,...,W 在已知的条件下的条件概率密度函数为 :!, 0 < 1 <... < < f( 1,..., ) 0, 其它与个 [0,] 上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布定理 3.4

25 泊松过程的到达时间的条件分布例题 3.4: 设在 [0,] 内事件 A 已经发生次, 且 0<s<, 对于 0<k<, 求 P{X(s)k X()} 解 : P{ X(s) k, X( ) } P { X() s k X() } P{ X() } P{ X( s) k, X( ) X( s) k} P{ X() } P{ X( s) k} P{ X( ) X( s) k} P{ X() } k k λs ( λs) λ( s) [ λ( s)] e e k! ( k)! λ ( λ) e!! s s s s ( ) (1 ) C ( ) (1 ) k!( k)! k k k

26 泊松过程的到达时间的条件分布例题 3.5: 设在 [0,] 内事件 A 已经发生次, 求第 k(k<) 次事件 A 发生的时间 W k 的条件概率密度函数解 : 当 h 充分小时, 条件概率 { } P s< W s+ h X() k P{ s< Wk s+ h,x() } P{ X() } { < k + + } P{ X() } { < k + } { + } P{ X() } { < + } { + } P s W s h,x() X(s h) k P s W s h P X() X(s h) k P s W s h P X() X(s h) k k e ( )! λ λ

27 泊松过程的到达时间的条件分布将上式两边同除以, 并令, 取极限可以得到 f (s ) W X () k lim h 0 lim h 0 W f k { < + } P s W s h X() k h P s W s h P X() X(s h) k (s) h { < + } { + } k { } λ k 1! s s ( 1 ) k (k 1)!( k)! h P X() X(s) k e h 0 ( λ)! k e λ ( λ)!

28 泊松过程的到达时间的条件分布例题 3.6: 设 {X 1 (), 0} 和 {X 2 (), 0} 是两个相互独立的泊松过程, 它们在单位时间内平均出现的事件数分别为 λ 1 和 λ 2, 记求 (1) W k (2) W 1 为过程 X 1 () 的第 k 次事件到达时间, 为过程 X 2 () 的第 1 次事件到达时间, (1) P{ W k < W (2) 1 }

29 泊松过程的到达时间的条件分布解 : (1) W k (2) W 1 设的取值为 x, 的取值为 y, 则 ( λ x) λ f ( 1 )(x) (k 1)! W k 0, x< 0 2 y λ e λ,y f ( 2 )(y) W k 0, y< 0 k 1 λ1 x 1 1e,x { } f (x,y)dxd 则 : P W k ( 1 ) <W 1 ( 2 ) D y

30 泊松过程的到达时间的条件分布 f (x, y) 所以 (1) W k (2) W 1 为和的联合概率密度函数, 考虑到二者相互独立 f(x,y) f (x)f (x) W ( 1) ( 2 ) k W1 k 1 ( 1) ( 2) λ1x( λ1x) λ2x λ 1 PW { K < W1 } λ 0 x 1e λ2e dydx (k 1)! λ1+ λ2 k

31 非齐次泊松过程定义 3.4: 允许速率或强度是的函数称计数过程 {X(), 0} 为具有跳跃强度函数 λ() 的非齐次泊松过程, 若它满足下列条件 : 1. X(0)0; 2. X() 是独立增量过程 ; 3. P{ X ( P{ X ( + h) X ( ) 1} λ( ) h + h) X ( ) 2} o( h) 非齐次泊松过程的均值函数为 + o( h) m X () 0 λ(s)ds

32 非齐次泊松过程定理 3.5: 设 {X(), 0} 为具有均值函数非齐次泊松过程, 则有 m X () λ(s)ds 0 0 )]}, ( ) ( [ exp{! )] ( ) ( [ } ) ( ) ( { m s m m s m X s X P X X X X 或 )}, ( exp{! )] ( [ } ) ( { m m X P X X

33 非齐次泊松过程 1 例题 3.8: 设 {X(), 0} 是具有跳跃强度 λ ( ) (1 + cosω) 2 的非齐次泊松过程 (ω 0), 求 E[X()] 和 D[X()] 解 : E[X()] D[X()] 1 () sds (1 cos( ws)) ds 2 λ ( si( )) 2 + w w

34 非齐次泊松过程例题 3.9: 设某路公共汽车从早上 5 时到晚上 9 时有车发出, 乘客流量如下 :5 时按平均乘客为 200 人 / 时计算 ;5 时至 8 时乘客平均到达率按线性增加,8 时到达率为 1400 人 / 时 ;8 时至 18 时保持平均到达率不变 ;18 时到 21 时从到达率 1400 人 / 时按线性下降, 到 21 时为 200 人 / 时假定乘客数在不相重叠时间间隔内是相互独立的求 12 时至 14 时有 2000 人来站乘车的概率, 并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望? 解 :

非齐次泊松过程为方便起见, 将时间 5 时至 21 时平移为 0 时至 16 时, 则乘客的到达率 200 + 400, 0 3 λ() 1400, 3 13 1400 400( 13), 13 16 [ m (9) (7)][ (9)

35 非齐次泊松过程为方便起见, 将时间 5 时至 21 时平移为 0 时至 16 时, 则乘客的到达率 , 0 3 λ() 1400, ( 13), [ m (9) (7)][ (9) (7)] X m m X X mx PX { (9) X(7) 2000} e 2000! 上式中 9 7 m ( 9) m ( 7) 1400ds λ(s)ds X X ds 1400ds

36 复合泊松过程定义 3.5: 设 {N(), 0} 是强度为 λ 的泊松过程,{Y k,k1,2, } 是一列独立同分布随机变量, 且与 {N(), 0} 独立, 令 N ( ) X ( ) Y k 1, 0 则称 {X(), 0} 为复合泊松过程 k N() 在时间段 (0,] 内来到商店的顾客数 Y k 第 k 个顾客在商店所花的钱数 X() 该商店在 (0,] 时间段内的营业额

37 复合泊松过程例如 : 到达体育场的公共汽车数是一泊松过程, 而每辆公共汽车内所载的乘客数是一个随机变量若各辆车内的乘客数 Y 服从相同分布, 且又彼此统计独立, 各辆车的乘客数和车辆数 N() 又是统计独立的, 则到达体育馆的总人数 X() 是一个复合泊松过程. N() X () Y, 0 1

38 复合泊松过程定理 3.6: 设 N ( ) X ( ) Y k 1 k, 0 是复合泊松过程, 则 1. 若 E(Y 12 )<, 则 E[ X 2 1 λe[ Y 1 ( )] λ E[ Y ], D[ X ( )] ]

39 复合泊松过程例题 : 设移民到某地区定居的户数是一个泊松过程, 平均每周内有 2 户定居, 但每户的人口数是随机变量, 一户 4 人概率为 1/6, 一户 3 人概率为 1/3, 一户 2 人概率为 1/3, 一户 1 人概率为 1/6, 求 5 周内移民到该地区的人口的数学期望与方差

40 复合泊松过程 X () N() Y i 1 i 则 : PY { 1} PY { 4} PY { 2} PY { 3} EY [ ] EY [ ]

41 复合泊松过程 15 E[ X (5)] λe[ Y ] D[ X (5)] λe[ Y ]

42 复合泊松过程例题 : 设交换机每分钟接到电话的次数 X() 是强度为 λ 的泊松过程求 1 两分钟内接到 3 次呼叫的概率 2 第二分钟内接到第 3 次呼叫的概率

43 作业 v 习题三 3.1, 3.3, 3.5, 3.9

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PowerPoint Presentation 第四章跳跃随机过程直观讲 : 跳跃随机过程是指样本轨道存在跳跃点的随机过程如计数过程泊松过程复合泊松过程泊松点过程等. 本章重点学习 : 泊松过程复合泊松过程泊松过程 ( 第一讲 ) 泊松过程定义称随机过程 N={N, 0} 是参数为 λ 的泊松过程, 如果它满足以下三条件 : () 1 N = 0 0 (2) 对任意的 0 s