Microsoft PowerPoint - 第7讲.ppt
|
|
|
- 装 崔
- 4 years ago
- Views:
Transcription
1 随机过程的微分和积分
2 在高等数学中 数列的收敛与极限是微积分的基础 在随机过 程中 随机序列的收敛与极限的概念的概念则是随机过程微积分随机过程微积分的基础基础 举例 : 设一电压控制电路对外来的噪声电压信号进行控制 使 其稳定在某一水平 我们考察这一渐进过程 设该试验共有三个结果 Ω ξξ ξ3 在 n 上采样 随时间变化得一串随机变量 n 称随机变量序列 {n}
3 ζ { } 对某次试验结果 而言 在样本函数 x 上采样得到的 x n 是一个普通数列称 样本序列 数列收敛 的概念 : 若有数列 SS Sn 对任意小的正实数 ε> 总能找到一个正整数 N 使得当 n>n 时 存在 Sn- < ε 对任意 n>n 则称数列 SS Sn 收敛于常数 用 lm S n 表示 或用 SS Sn 随机序列的收敛 n > n> 即称 : 数列 {Sn} 的极限为. 一 随机序列收敛的几种定义 随机变量序列 处处收敛 every where 若随机序列样本空间 Ω{ξ ξ ξ3} 中的 所有 的样本序列 普通数列 均收敛 即 : ζ x x L x n x n ζ : x x L x n x x x x 3 n ζ : x x L x n x n
4 则称 : 随机序列 {n} 处处收敛 于随机变量 记作 : lm n 简写 : n lm x n x ζ Ω n e { n} 在上述 处处收敛 的定义中 Ω 中只要有 一个 ξ 对应的样本序列 { x n } 不收敛 则随机序列 {n} 就不是 处处收敛 的 这个条件一般的随机序列都不容易满足 下面介绍几种常用的 宽松的 收敛定义 以概率 收敛 几乎处处收敛 lmos.every.where 若随机序列 {n} 相对试验 的所有可能结果 ξ Ω P{lm n } 满足 : n 则称 : 随机序列 {n} 以概率 收敛 于随机变量 简记 : e. { n}
5 3 依概率收敛 Proly 若随机序列 {n} 对于任意给定小正数 ε > 有 : lm P{ n ε} n 则称 : 随机序列 {n} 依概率收敛 于随机变量 记 : P { n } 4 依分布收敛 dsruon 若存在设 :Fnxn : 是随机序列 {n} 的分布函数 Fx 是随机变量则称 : 的分布函数 随机变量序列 {n} 依分布收敛 于 Fx 记 : lm Fn x F x n F x n d n Fx M M M x
6 5 均方收敛 平均意义下的收敛 Men.squre 设随机序列 {n} 对所有的 n 二阶矩存在 随机变量 的二阶矩也存在 若 {n} 满足 : lm { n } n 则称 : 随机序列 {n} 均方收敛 于随机变量 MS 记作 : l m n 或 : n n 均方收敛的充要条件 柯西准则 若随机序列 {n} 和随机变量 的二阶矩均存在 则 {n} 均方收敛于 的充要条件是 : lm { n m } n m 只需要对随机序列 {n} 的一个方差 n m 进行检验 比较方便方便 因此 在随机过程中运用的是均方收敛
7 四种收敛模式之间的关系 : e e P d M S e e M S P d
8 随机过程的连续性 在微积分中 一个函数要可微 该函数首先必须要连续 一般确定函数的连续性 : 设函数 χ 在 的某个邻域内有定义 当自变量的增量 时 函数的增量也趋于 即 lm χ + χ 则称 : 函数 χ 在 上连续. 一 随机过程处处连续对于随机过程 而言 若它的每一个样本函数在上都续 : lm χ + χ ξ ξ ξ Ω 上处处连续 则称 : 该过程 在
9 二 均方连续 定义若二阶矩过程在 T 上满足 lm { + } 则称 在 T 上 在均方意义下 连续 或称该二阶矩过程 具有 均方连续性 常表示为 或者简称过程 m.s 连续 l m + T 均方连续的准则 过程 在 T 上均方连续的 充要条件 ⑴ 若 的自相关函数 在 T T 上连续 则 便在 T 上均方连续 T T T
10 ⑵- - 若 在 T 上均方连续 则一般连续 在 上 证明 : + { ⑴ + + } + { + ⑵ } 利用许瓦兹不等式 { + ⑴ / + } { { + } + } { + ⑵ 对不等式两端取极限 : / } { { + }} lm lm{ } 及 lm lm { }
11 一. 随机过程的微分 导数. 均方导数的定义 即满足 或者 随机过程的微分 设均方连续过程 T 和随机过程 T 若在整个 T 内当 时 均方收敛于 lm + + l m + 则称过程 在 T 上均方 m.s 可导 可微 d 而 便称为过程 在 T 上的均方导数 d
12 . 均方可微的条件 在检验过程 是否均方可微时 我们遇到了一个问题 在 上式中 是待求的 在 尚未求出时 检验 是否均方可微 我们可以运用一个能避开 的准则 -Cuchy 准则 即 如果 满足 : lm + + 则称 在均方意义下可微
13 由此可见 随机过程随机过程 在 T 上 上 均方均方可微的充要条件是在可微的充要条件是在一切一切 T T 上存在存在 如果偏导数存在 则上式写成 lm + + +
14 即 二. 随机过程导数 的数学期望 设 为可微过程 的导数 d d 的数学期望与相关函数 d + l m d + lm + d lm d d d 导数的期望 d d l m + & 求极限 与 求期望 交换次序 期望的导数 随机过程的导数运算与其数学期望的运算可以交换次序 数学期望的运算可以交换次序
15 lm lm m l m l 的自相关函数的自相关函数根据自相关函数的定义 有而 与 的互相关函数
16 又因 lm lm m l 随机过程导数随机过程导数的自相关函数 等于随机过程的自相关函数 等于随机过程自相关自相关函数的二阶偏导数 函数的二阶偏导数 将该式代入上式 得到 :
17 一. 随机过程的积分 随机过程的积分 若连续时间过程 { T} 在区间 T 上对所有样本函数 ξ χξ ξ Ω 存在 emnn 积分 n lm n χ ξ χ ξ d yξ... ξ Ω 则称过程 是 处处可积 的 + 其中是在 上有限分割 <... < n 的任意子区间 长度 是子区间 中任意处 + n ξ + 相应与每个试验结果 积分都可得到一个数 ; 但是 对应不同的 ξ 积分值 y ξ 也是不同的 故对所有的试验结果 是一个随机变量 y ξ
18 一般的随机过程 并不是所有的样本函数的积分都存在的 因此 我们定义均方意义上的积分. 均方积分的定义 若二阶矩过程 满足 : lm n 则称过程 是均方可积的 而随机变量 n l m n n 为过程 在确定区间 上的 均方积分 d 均方可积的条件 d d <
19 .. 积分的期望积分的期望 n n n n m d m d m l d lm 随机过程积分的期望和自相关函数随机过程积分的期望和自相关函数可见 : 均方可积的过程 求积分与求期望可以交换次序 均方可积的过程 求积分与求期望可以交换次序 积分的均方值 积分的均方值 d d d d d d d d d d 积分求期望 期望求积分
20 4 积分的自相关函数 积分的自相关函数 3 积分的方差积分的方差 d d C d d d d d d D 的自相关函数 : 则过程的积分为随机过程 因为过程的变上限积分 : d λ λ d d d d d d λ ν ν λ λ ν ν λ ν ν λ λ T
定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn / 23
定积分的基本概念内容提要 1 定积分的基本概念 2 定积分的几何意义 3 定积分的基本性质 4 定积分中值定理 5 变限积分及其性质 6 微积分基本公式 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 1 / 23 定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 2 /
Ζ # % & ( ) % + & ) / 0 0 1 0 2 3 ( ( # 4 & 5 & 4 2 2 ( 1 ) ). / 6 # ( 2 78 9 % + : ; ( ; < = % > ) / 4 % 1 & % 1 ) 8 (? Α >? Β? Χ Β Δ Ε ;> Φ Β >? = Β Χ? Α Γ Η 0 Γ > 0 0 Γ 0 Β Β Χ 5 Ι ϑ 0 Γ 1 ) & Ε 0 Α
! # % & ( & # ) +& & # ). / 0 ) + 1 0 2 & 4 56 7 8 5 0 9 7 # & : 6/ # ; 4 6 # # ; < 8 / # 7 & & = # < > 6 +? # Α # + + Β # Χ Χ Χ > Δ / < Ε + & 6 ; > > 6 & > < > # < & 6 & + : & = & < > 6+?. = & & ) & >&
Remark：随机变量不只离散和连续两种类型
Remar: 随机变量不只离散和连续两种类型 当题目要求证明随机变量的某些共同性质时 很多同学只对连续和离散两种类型进行讨论 这是比较典型的错误 练习 4. () P( = ) = P( = ) = P( = ) = P( ) = = = = = = () 由 E < 且 lm a =+ 不妨设 a > 其中 j = f{ : a a j} ap ( a) = a p ap ap j j j a :
! Ν! Ν Ν & ] # Α. 7 Α ) Σ ),, Σ 87 ) Ψ ) +Ε 1)Ε Τ 7 4, <) < Ε : ), > 8 7
![! Ν! Ν Ν & ] # Α. 7 Α ) Σ ),, Σ 87 ) Ψ ) +Ε 1)Ε Τ 7 4, <) < Ε : ), > 8 7](/thumbs/48/24501715.jpg "! Ν! Ν Ν & ] # Α. 7 Α ) Σ ),, Σ 87 ) Ψ ) +Ε 1)Ε Τ 7 4, <) < Ε : ), > 8 7")
!! # & ( ) +,. )/ 0 1, 2 ) 3, 4 5. 6 7 87 + 5 1!! # : ;< = > < < ;?? Α Β Χ Β ;< Α? 6 Δ : Ε6 Χ < Χ Α < Α Α Χ? Φ > Α ;Γ ;Η Α ;?? Φ Ι 6 Ε Β ΕΒ Γ Γ > < ϑ ( = : ;Α < : Χ Κ Χ Γ? Ε Ι Χ Α Ε? Α Χ Α ; Γ ;
07-3.indd
1 2 3 4 5 6 7 08 11 19 26 31 35 38 47 52 59 64 67 73 10 18 29 76 77 78 79 81 84 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
高等数学A
高等数学 A March 3, 2019 () 高等数学 A March 3, 2019 1 / 55 目录 1 函数 三要素 图像 2 导数 导数的定义 基本导数表 求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 2 / 55 函数 y = f(x) 函数三要素 1 定义域 2 值域 3 对应关系 () 高等数学 A March
Ρ Τ Π Υ 8 ). /0+ 1, 234) ς Ω! Ω! # Ω Ξ %& Π 8 Δ, + 8 ),. Ψ4) (. / 0+ 1, > + 1, / : ( 2 : / < Α : / %& %& Ζ Θ Π Π 4 Π Τ > [ [ Ζ ] ] %& Τ Τ Ζ Ζ Π
![Ρ Τ Π Υ 8 ). /0+ 1, 234) ς Ω! Ω! # Ω Ξ %& Π 8 Δ, + 8 ),. Ψ4) (. / 0+ 1, > + 1, / : ( 2 : / < Α : / %& %& Ζ Θ Π Π 4 Π Τ > [ [ Ζ ] ] %& Τ Τ Ζ Ζ Π](/thumbs/52/29426146.jpg "Ρ Τ Π Υ 8 ). /0+ 1, 234) ς Ω! Ω! # Ω Ξ %& Π 8 Δ, + 8 ),. Ψ4) (. / 0+ 1, > + 1, / : ( 2 : / < Α : / %& %& Ζ Θ Π Π 4 Π Τ > [ [ Ζ ] ] %& Τ Τ Ζ Ζ Π")
! # % & ( ) + (,. /0 +1, 234) % 5 / 0 6/ 7 7 & % 8 9 : / ; 34 : + 3. & < / = : / 0 5 /: = + % >+ ( 4 : 0, 7 : 0,? & % 5. / 0:? : / : 43 : 2 : Α : / 6 3 : ; Β?? : Α 0+ 1,4. Α? + & % ; 4 ( :. Α 6 4 : & %
&! +! # ## % & #( ) % % % () ) ( %
&! +! # ## % & #( ) % % % () ) ( % &! +! # ## % & #( ) % % % () ) ( % ,. /, / 0 0 1,! # % & ( ) + /, 2 3 4 5 6 7 8 6 6 9 : / ;. ; % % % % %. ) >? > /,,
4= 8 4 < 4 ϑ = 4 ϑ ; 4 4= = 8 : 4 < : 4 < Κ : 4 ϑ ; : = 4 4 : ;
! #! % & ( ) +!, + +!. / 0 /, 2 ) 3 4 5 6 7 8 8 8 9 : 9 ;< 9 = = = 4 ) > (/?08 4 ; ; 8 Β Χ 2 ΔΔ2 4 4 8 4 8 4 8 Ε Φ Α, 3Γ Η Ι 4 ϑ 8 4 ϑ 8 4 8 4 < 8 4 5 8 4 4
., /,, 0!, + & )!. + + (, &, & 1 & ) ) 2 2 ) 1! 2 2
! # &!! ) ( +, ., /,, 0!, + & )!. + + (, &, & 1 & ) ) 2 2 ) 1! 2 2 ! 2 2 & & 1 3! 3, 4 45!, 2! # 1 # ( &, 2 &, # 7 + 4 3 ) 8. 9 9 : ; 4 ), 1!! 4 4 &1 &,, 2! & 1 2 1! 1! 1 & 2, & 2 & < )4 )! /! 4 4 &! &,
, ( 6 7 8! 9! (, 4 : : ; 0.<. = (>!? Α% ), Β 0< Χ 0< Χ 2 Δ Ε Φ( 7 Γ Β Δ Η7 (7 Ι + ) ϑ!, 4 0 / / 2 / / < 5 02
! # % & ( ) +, ) %,! # % & ( ( ) +,. / / 01 23 01 4, 0/ / 5 0 , ( 6 7 8! 9! (, 4 : : ; 0.!? Α% ), Β 0< Χ 0< Χ 2 Δ Ε Φ( 7 Γ Β Δ 5 3 3 5 3 1 Η7 (7 Ι + ) ϑ!, 4 0 / / 2 / 3 0 0 / < 5 02 Ν!.! %) / 0
Π Ρ! #! % & #! (! )! + %!!. / 0% # 0 2 3 3 4 7 8 9 Δ5?? 5 9? Κ :5 5 7 < 7 Δ 7 9 :5? / + 0 5 6 6 7 : ; 7 < = >? : Α8 5 > :9 Β 5 Χ : = 8 + ΑΔ? 9 Β Ε 9 = 9? : ; : Α 5 9 7 3 5 > 5 Δ > Β Χ < :? 3 9? 5 Χ 9 Β
Β 8 Α ) ; %! #?! > 8 8 Χ Δ Ε ΦΦ Ε Γ Δ Ε Η Η Ι Ε ϑ 8 9 :! 9 9 & ϑ Κ & ϑ Λ &! &!! 4!! Μ Α!! ϑ Β & Ν Λ Κ Λ Ο Λ 8! % & Π Θ Φ & Ρ Θ & Θ & Σ ΠΕ # & Θ Θ Σ Ε
! #!! % & ( ) +,. /. 0,(,, 2 4! 6! #!!! 8! &! % # & # &! 9 8 9 # : : : : :!! 9 8 9 # #! %! ; &! % + & + & < = 8 > 9 #!!? Α!#!9 Α 8 8!!! 8!%! 8! 8 Β 8 Α ) ; %! #?! > 8 8 Χ Δ Ε ΦΦ Ε Γ Δ Ε Η Η Ι Ε ϑ 8 9 :!
% & :?8 & : 3 ; Λ 3 3 # % & ( ) + ) # ( ), ( ) ). ) / & /:. + ( ;< / 0 ( + / = > = =? 2 & /:. + ( ; < % >=? ) 2 5 > =? 2 Α 1 Β 1 + Α
# % & ( ) # +,. / 0 1 2 /0 1 0 3 4 # 5 7 8 / 9 # & : 9 ; & < 9 = = ;.5 : < 9 98 & : 9 %& : < 9 2. = & : > 7; 9 & # 3 2
) Μ <Κ 1 > < # % & ( ) % > Χ < > Δ Χ < > < > / 7 ϑ Ν < Δ 7 ϑ Ν > < 8 ) %2 ): > < Ο Ε 4 Π : 2 Θ >? / Γ Ι) = =? Γ Α Ι Ρ ;2 < 7 Σ6 )> Ι= Η < Λ 2 % & 1 &
! # % & ( ) % + ),. / & 0 1 + 2. 3 ) +.! 4 5 2 2 & 5 0 67 1) 8 9 6.! :. ;. + 9 < = = = = / >? Α ) /= Β Χ Β Δ Ε Β Ε / Χ ΦΓ Χ Η Ι = = = / = = = Β < ( # % & ( ) % + ),. > (? Φ?? Γ? ) Μ
8 9 < ; ; = < ; : < ;! 8 9 % ; ϑ 8 9 <; < 8 9 <! 89! Ε Χ ϑ! ϑ! ϑ < ϑ 8 9 : ϑ ϑ 89 9 ϑ ϑ! ϑ! < ϑ < = 8 9 Χ ϑ!! <! 8 9 ΧΧ ϑ! < < < < = 8 9 <! = 8 9 <! <
! # % ( ) ( +, +. ( / 0 1) ( 2 1 1 + ( 3 4 5 6 7! 89 : ; 8 < ; ; = 9 ; ; 8 < = 9! ; >? 8 = 9 < : ; 8 < ; ; = 9 8 9 = : : ; = 8 9 = < 8 < 9 Α 8 9 =; %Β Β ; ; Χ ; < ; = :; Δ Ε Γ Δ Γ Ι 8 9 < ; ; = < ; :
Microsoft PowerPoint - 概率统计Ch02.ppt [Compatibility Mode]
![Microsoft PowerPoint - 概率统计Ch02.ppt [Compatibility Mode]](/thumbs/104/161694025.jpg "Microsoft PowerPoint - 概率统计Ch02.ppt [Compatibility Mode]")
66 随机变量的函数.5 随机变量的函数的分布 设 是一随机变量, 是 的函数, g(, 则 也是一个随机变量. 本节的任务 : 当 取值 x 时, 取值 y g 67 ( 一 离散型随机变量的函数 设 是离散型随机变量, 其分布律为 或 P { x } p (,, x x, P p p, x p 已知随机变量 的分布, 并且已知 g 要求随机变量 的分布. (, 是 的函数 : g(, 则 也是离散型随机变
8 9 8 Δ 9 = 1 Η Ι4 ϑ< Κ Λ 3ϑ 3 >1Ε Μ Ε 8 > = 8 9 =
!! % & ( & ),,., / 0 1. 0 0 3 4 0 5 3 6!! 7 8 9 8!! : ; < = > :? Α 4 8 9 < Β Β : Δ Ε Δ Α = 819 = Γ 8 9 8 Δ 9 = 1 Η Ι4 ϑ< Κ Λ 3ϑ 3 >1Ε 8 9 0 Μ Ε 8 > 9 8 9 = 8 9 = 819 8 9 =
. /!Ι Γ 3 ϑκ, / Ι Ι Ι Λ, Λ +Ι Λ +Ι
! # % & ( ) +,& ( + &. / 0 + 1 0 + 1,0 + 2 3., 0 4 2 /.,+ 5 6 / 78. 9: ; < = : > ; 9? : > Α
= Υ Ξ & 9 = ) %. Ο) Δ Υ Ψ &Ο. 05 3; Ι Ι + 4) &Υ ϑ% Ο ) Χ Υ &! 7) &Ξ) Ζ) 9 [ )!! Τ 9 = Δ Υ Δ Υ Ψ (
! # %! & (!! ) +, %. ( +/ 0 1 2 3. 4 5 6 78 9 9 +, : % % : < = % ;. % > &? 9! ) Α Β% Χ %/ 3. Δ 8 ( %.. + 2 ( Φ, % Γ Η. 6 Γ Φ, Ι Χ % / Γ 3 ϑκ 2 5 6 Χ8 9 9 Λ % 2 Χ & % ;. % 9 9 Μ3 Ν 1 Μ 3 Φ Λ 3 Φ ) Χ. 0
9!!!! #!! : ;!! <! #! # & # (! )! & ( # # #+
! #! &!! # () +( +, + ) + (. ) / 0 1 2 1 3 4 1 2 3 4 1 51 0 6. 6 (78 1 & 9!!!! #!! : ;!! ? &! : < < &? < Α!!&! : Χ / #! : Β??. Δ?. ; ;
> # ) Β Χ Χ 7 Δ Ε Φ Γ 5 Η Γ + Ι + ϑ Κ 7 # + 7 Φ 0 Ε Φ # Ε + Φ, Κ + ( Λ # Γ Κ Γ # Κ Μ 0 Ν Ο Κ Ι Π, Ι Π Θ Κ Ι Π ; 4 # Ι Π Η Κ Ι Π. Ο Κ Ι ;. Ο Κ Ι Π 2 Η
1 )/ 2 & +! # % & ( ) +, + # # %. /& 0 4 # 5 6 7 8 9 6 : : : ; ; < = > < # ) Β Χ Χ 7 Δ Ε Φ Γ 5 Η Γ + Ι + ϑ Κ 7 # + 7 Φ 0 Ε Φ # Ε + Φ, Κ + ( Λ # Γ Κ Γ #
2 2 Λ ϑ Δ Χ Δ Ι> 5 Λ Λ Χ Δ 5 Β. Δ Ι > Ε!!Χ ϑ : Χ Ε ϑ! ϑ Β Β Β ϑ Χ Β! Β Χ 5 ϑ Λ ϑ % < Μ / 4 Ν < 7 :. /. Ο 9 4 < / = Π 7 4 Η 7 4 =
! # % # & ( ) % # ( +, & % # ) % # (. / ). 1 2 3 4! 5 6 4. 7 8 9 4 : 2 ; 4 < = = 2 >9 3? & 5 5 Α Α 1 Β ΧΔ Ε Α Φ 7 Γ 9Η 8 Δ Ι > Δ / ϑ Κ Α Χ Ε ϑ Λ ϑ 2 2 Λ ϑ Δ Χ Δ Ι> 5 Λ Λ Χ Δ 5 Β. Δ Ι > Ε!!Χ ϑ : Χ Ε ϑ!
ϑ 3 : Α 3 Η ϑ 1 Ι Η Ι + Ι 5 Κ ϑ Λ Α ΜΛ Ν Ν Ν Ν Α Γ Β 1 Α Ο Α : Α 3. / Π Ο 3 Π Θ
# % & ( ) +,& ( + &. / 0 1 2 3 ( 4 4 5 4 6 7 8 4 6 5 4 9 :.; 8 0/ ( 6 7 > 5?9 > 56 Α / Β Β 5 Χ 5.Δ5 9 Ε 8 Φ 64 4Γ Β / Α 3 Γ Β > 2 ϑ 3 : Α 3 Η ϑ 1 Ι Η Ι + Ι 5 Κ ϑ Λ Α ΜΛ Ν Ν Ν Ν 3 3 3 Α3 3
4 # = # 4 Γ = 4 0 = 4 = 4 = Η, 6 3 Ι ; 9 Β Δ : 8 9 Χ Χ ϑ 6 Κ Δ ) Χ 8 Λ 6 ;3 Ι 6 Χ Δ : Χ 9 Χ Χ ϑ 6 Κ
! # % & & ( ) +, %. % / 0 / 2 3! # 4 ) 567 68 5 9 9 : ; > >? 3 6 7 : 9 9 7 4! Α = 42 6Β 3 Χ = 42 3 6 3 3 = 42 : 0 3 3 = 42 Δ 3 Β : 0 3 Χ 3 = 42 Χ Β Χ 6 9 = 4 =, ( 9 6 9 75 3 6 7 +. / 9
Microsoft PowerPoint - 09_24_Convergence.ppt
第五章 : 随机变量的收敛性 随机样本 :IID 样本, 统计量 : 对随机样本的概括 Y = T X1 X X (,..., ) X1, X..., X X i ~ F Y 为随机变量,Y 的分布称为统计量的采样分布 如 : 样本均值 样本方差 样本中值 收敛性 : 当样本数量 趋向无穷大时, 统计量的变化 大样本理论 极限定理 渐近理论 对统计推断很重要 收敛性 主要讨论两种收敛性 依概率收敛
# # 4 + % ( ) ( /! 3 (0 0 (012 0 # (,!./ %
#! # # %! # + 5 + # 4 + % ( ) ( /! 3 (0 0 (012 0 # (,!./ % ,9 989 + 8 9 % % % % # +6 # % 7, # (% ) ,,? % (, 8> % %9 % > %9 8 % = ΑΒ8 8 ) + 8 8 >. 4. ) % 8 # % =)= )
( ) (! +)! #! () % + + %, +,!#! # # % + +!
!! # % & & & &! # # % ( ) (! +)! #! () % + + %, +,!#! # # % + +! ! %!!.! /, ()!!# 0 12!# # 0 % 1 ( ) #3 % & & () (, 3)! #% % 4 % + +! (!, ), %, (!!) (! 3 )!, 1 4 ( ) % % + % %!%! # # !)! % &! % () (! %
08-01.indd
1 02 04 08 14 20 27 31 35 40 43 51 57 60 07 26 30 39 50 56 65 65 67 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ω ρ ε 23 λ ω < 1 ω < 1 ω > 0 24 25 26 27 28 29 30 31 ρ 1 ρ σ b a x x i +3 x i
!! )!!! +,./ 0 1 +, 2 3 4, # 8,2 6, 2 6,,2 6, 2 6 3,2 6 5, 2 6 3, 2 6 9!, , 2 6 9, 2 3 9, 2 6 9,
! # !! )!!! +,./ 0 1 +, 2 3 4, 23 3 5 67 # 8,2 6, 2 6,,2 6, 2 6 3,2 6 5, 2 6 3, 2 6 9!, 2 6 65, 2 6 9, 2 3 9, 2 6 9, 2 6 3 5 , 2 6 2, 2 6, 2 6 2, 2 6!!!, 2, 4 # : :, 2 6.! # ; /< = > /?, 2 3! 9 ! #!,!!#.,
Ⅰ Ⅱ 1 2 Ⅲ Ⅳ
Ⅰ Ⅱ 1 2 Ⅲ Ⅳ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
) ) ) Ο ΛΑ >. & Β 9Α Π Ν6 Γ2 Π6 Φ 2 Μ 5 ΝΒ 8 3 Β 8 Η 5 Φ6 Β 8 Η 5 ΝΒ 8 Φ 9 Α Β 3 6 ΝΒ 8 # # Ε Ο ( & & % ( % ) % & +,. &
!! # % & ( ) +,.% /.0.% 1 2 3 / 5,,3 6 7 6 8 9 6!! : 3 ) ; < < = )> 2?6 8 Α8 > 6 2 Β 3Α9 Α 2 8 Χ Δ < < Ε! ; # < # )Φ 5 Γ Γ 2 96 Η Ι ϑ 0 Β 9 Α 2 8 Β 3 0 Β 9 Β ΦΚ Α 6 8 6 6 Λ 2 5 8 Η Β 9 Α 2 8 2 Μ 6 Ν Α
一 无界区域上的二重积分 定义 1 设 f ( x, y ) 为定义在无界区域 上的二元函 数. 若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线 g, f ( x, y) 在曲线 g 所围的有界区域 E g 与 的交集 E = ( 图 1-4) g g 上二重可积. 令 { } g d = min x +
* 8 反常二重积分 与反常定积分相同, 二重积分亦有推广到积分区域是无界的和被积函数是无界的两种情形, 统称为反常二重积分. 一 无界区域上的二重积分二 无界函数的二重积分 返回 一 无界区域上的二重积分 定义 1 设 f ( x, y ) 为定义在无界区域 上的二元函 数. 若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线 g, f ( x, y) 在曲线 g 所围的有界区域 E g 与 的交集 E =
= 6 = 9 >> = Φ > =9 > Κ Λ ΘΠΗ Ρ Λ 9 = Ρ > Ν 6 Κ = 6 > Ρ Κ = > Ρ Σ Ρ = Δ5 Τ > Τ Η 6 9 > Υ Λ Β =? Η Λ 9 > Η ς? 6 = 9 > Ρ Κ Φ 9 Κ = > Φ Φ Ψ = 9 > Ψ = Φ?
4 5 6 + 5! # % & ( ) +, ). /, 0 1 # % & ( ) + 2 ( 3 ) & 8 9 : ; ? 6 Α Β9 # ΧΔ = Φ > =9 > Κ Λ
/ Ν #, Ο / ( = Π 2Θ Ε2 Ρ Σ Π 2 Θ Ε Θ Ρ Π 2Θ ϑ2 Ρ Π 2 Θ ϑ2 Ρ Π 23 8 Ρ Π 2 Θϑ 2 Ρ Σ Σ Μ Π 2 Θ 3 Θ Ρ Κ2 Σ Π 2 Θ 3 Θ Ρ Κ Η Σ Π 2 ϑ Η 2 Ρ Π Ρ Π 2 ϑ Θ Κ Ρ Π
! # #! % & ( ) % # # +, % #. % ( # / ) % 0 1 + ) % 2 3 3 3 4 5 6 # 7 % 0 8 + % 8 + 9 ) 9 # % : ; + % 5! + )+)#. + + < ) ( # )# < # # % 0 < % + % + < + ) = ( 0 ) # + + # % )#!# +), (? ( # +) # + ( +. #!,
! Β Β? Β ( >?? >? %? Γ Β? %? % % %? Χ Η Ιϑ Κ 5 8 Λ 9. Μ Ν Ο Χ? Π Β # % Χ Χ Θ Ρ% Ρ% Θ!??? % < & Θ
! # % & ( ) +,. / 0 1 + 2. 3 4. 56. / 7 89 8.,6 2 ; # ( ( ; ( ( ( # ? >? % > 64 5 5Α5. Α 8/ 56 5 9. > Β 8. / Χ 8 9 9 5 Δ Ε 5, 9 8 2 3 8 //5 5! Α 8/ 56/ 9. Φ ( < % < ( > < ( %! # ! Β Β? Β ( >?? >?
Ψ! Θ! Χ Σ! Υ Χ Ω Σ Ξ Ψ Χ Ξ Ζ Κ < < Κ Ζ [Ψ Σ Ξ [ Σ Ξ Χ!! Σ > _ Κ 5 6!< < < 6!< < α Χ Σ β,! Χ! Σ ; _!! Χ! Χ Ζ Σ < Ω <!! ; _!! Χ Υ! Σ!!!! ββ /β χ <
! # %!! ( (! +,. /0 0 1 2,34 + 5 6 7,3. 7, 8, 2 7 + 1 9 #. 3 : + ; + 5 83 8 % 8 2 ; , 1 1 8 2 =? : + 2 = 2 = Α 1,!. Β 3 + 5 Χ Β Β
2008 5-1 - 2008 5-2 - 2008 5-1 - 2008 5-2 - 200810 2007~2010 2007 3 2008 2008 5-3 - 1 2 1 2 2008 5-4 - 3 4 2008 5 9 2008 5 16 2008 5-5 - 2008 5-6 - 2008 5-7 - 2008 5-8 - 2006 7 25 21 2008 5-9 - 2008 5-10
Α 3 Α 2Η # # > # 8 6 5# Ι + ϑ Κ Ι Ι Ι Η Β Β Β Β Β Β ΔΕ Β Β Γ 8 < Φ Α Α # >, 0 Η Λ Μ Ν Ο Β 8 1 Β Π Θ 1 Π Β 0 Λ Μ 1 Ρ 0 Μ ϑ Σ ϑ Τ Ο Λ 8 ϑ
! # % & ( ) % + ( ), & ). % & /. % 0 1!! 2 3 4 5# 6 7 8 3 5 5 9 # 8 3 3 2 4 # 3 # # 3 # 3 # 3 # 3 # # # ( 3 # # 3 5 # # 8 3 6 # # # # # 8 5# :;< 6#! 6 =! 6 > > 3 2?0 1 4 3 4! 6 Α 3 Α 2Η4 3 3 2 4 # # >
2014 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1) 设 lim a = a, 且 a 0, 则当 n 充分大时有 ( )
年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 设 lim, 且, 则当 充分大时有 ( ) (A) > (B) < (C) > (D) < + () 下列曲线有渐近线的是 ( ) (A) y + si (B) y + si (C) y +
9 : : ; 7 % 8
! 0 4 1 % # % & ( ) # + #, ( ) + ) ( ). / 2 3 %! 5 6 7! 8 6 7 5 9 9 : 6 7 8 : 17 8 7 8 ; 7 % 8 % 8 ; % % 8 7 > : < % % 7! = = = : = 8 > > ; 7 Ε Β Β % 17 7 :! # # %& & ( ) + %&, %& ) # 8. / 0. 1 2 3 4 5
! # %& ( %! & & + %!, ( Α Α Α Α Χ Χ Α Χ Α Α Χ Α Α Α Α
Ε! # % & ( )%! & & + %!, (./ 0 1 & & 2. 3 &. 4/. %! / (! %2 % ( 5 4 5 ) 2! 6 2! 2 2. / & 7 2! % &. 3.! & (. 2 & & / 8 2. ( % 2 & 2.! 9. %./ 5 : ; 5. % & %2 2 & % 2!! /. . %! & % &? & 5 6!% 2.
Β Χ + Δ Ε /4 10 ) > : > 8 / 332 > 2 / 4 + Φ + Γ 0 4 Η / 8 / 332 / 2 / 4 + # + Ι + ϑ /) 5 >8 /3 2>2 / 4 + ( )( + 8 ; 8 / 8. 8 :
!! # % & % () + (. / 0 ) 1 233 /. / 4 2 0 2 + + 5. 2 / 6 ) 6. 0 ) 7. 8 1 6 / 2 9 2 :+ ; < 8 10 ; + + ( =0 41 6< / >0 7 0?2) 29 + +.. 81 6> Α 29 +8 Β Χ + Δ Ε /4 10 )+ 2 +. 8 1 6 > 2 9 2 : > 8 / 332 > 2
一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f
![一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f](/thumbs/91/105953711.jpg "一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f")
含参量正常积分 对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分, 它可用来构造新的非初等函数. 含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式. 一 含参量正常积分的定义二 含参量正常积分的连续性三 含参量正常积分的可微性四 含参量正常积分的可积性五 例题 返回 一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [
! /. /. /> /. / Ε Χ /. 2 5 /. /. / /. 5 / Φ0 5 7 Γ Η Ε 9 5 /
! # %& ( %) & +, + % ) # % % ). / 0 /. /10 2 /3. /!. 4 5 /6. /. 7!8! 9 / 5 : 6 8 : 7 ; < 5 7 9 1. 5 /3 5 7 9 7! 4 5 5 /! 7 = /6 5 / 0 5 /. 7 : 6 8 : 9 5 / >? 0 /.? 0 /1> 30 /!0 7 3 Α 9 / 5 7 9 /. 7 Β Χ9
; < 5 6 => 6 % = 5
! # % ( ),,. / 0. 1, ) 2 3, 3+ 3 # 4 + % 5 6 67 5 6, 8 8 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 9! 7 9 9 6 : 6 ; 7 7 7 < 5 6 => 6 % = 5 Δ 5 6 ; Β ;? # Ε 6 = 6 Α Ε ; ; ; ; Φ Α Α Ε 0 Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Β Α Α Α Α Α
% % %/ + ) &,. ) ) (!
! ( ) + & # % % % %/ + ) &,. ) ) (! 1 2 0 3. 34 0 # & 5 # #% & 6 7 ( ) .)( #. 8!, ) + + < ; & ; & # : 0 9.. 0?. = > /! )( + < 4 +Χ Α # Β 0 Α ) Δ. % ΕΦ 5 1 +. # Ι Κ +,0. Α ϑ. + Ι4 Β Η 5 Γ 1 7 Μ,! 0 1 0
7 6 Η : Δ >! % 4 Τ & Β( Β) 5 &! Α Υ Υ 2 Η 7 %! Φ! Β! 7 : 7 9 Λ 9 :? : 9 Λ Λ 7 Φ! : > 9 : 7Δ 2 Η : 7 ΛΔ := ς : Ν 7 Λ Δ = Ν : Ν 7 ΛΔ : = Λ ς :9 Λ 7 Λ! Λ
! % & ( ),. / & 0 1 & 2 1 // % & 3 0 4 5 ( 6( ) ( & 7 8 9:! ; < / 4 / 7 = : > : 8 > >? :! 0 1 & 7 8 Α :! 4 Β ( & Β ( ( 5 ) 6 Χ 8 Δ > 8 7:?! < 2 4 & Ε ; 0 Φ & % & 3 0 1 & 7 8 Α?! Γ ), Η % 6 Β% 3 Ι Β ϑ Ι
8 8 Β Β : ; Χ; ; ; 8 : && Δ Ε 3 4Φ 3 4Φ Ε Δ Ε > Β & Γ 3 Γ 3 Ε3Δ 3 3 3? Ε Δ Δ Δ Δ > Δ # Χ 3 Η Ι Ι ϑ 3 Γ 6! # # % % # ( % ( ) + ( # ( %, & ( #,.
! # % & ( ) ( +,.% /.0.% 1 2 3 4 5 6 #! 7 8 9 9 : ; 8 : ; &; ; < ; 7 => 9 9 8?; 8! 3 3 3 3 Β & Γ 3 Γ 3 Ε3Δ 3 3 3?
< < ; : % & < % & > & % &? > & 5 % & ( ; & & % & Α Β + 8 ; Α9 Χ Δ () Χ Δ Ε 41 Φ # (Β % Γ : 9 Χ Δ Η +9 Χ Δ 2 9 Χ Δ 2 0 /? % & Ι 1 ϑ Κ 3 % & % & + 9 Β 9
!! #! % & ( ) +,. / 0 1 2 34 5 6 % & +7 % & 89 % & % & 79 % & : % & < < ; : % & < % & > & % &? > & 5 % & ( ; & & % & Α Β + 8 ; Α9 Χ Δ () Χ Δ Ε 41 Φ # (Β % Γ : 9 Χ Δ Η +9 Χ Δ 2 9 Χ Δ 2 0 /? % & Ι 1 ϑ Κ
Α? Β / Χ 3 Δ Ε/ Ε 4? 4 Ε Φ? ΧΕ Γ Χ Η ΙΙ ϑ % Η < 3 Ε Φ Γ ΕΙΙ 3 Χ 3 Φ 4 Κ? 4 3 Χ Λ Μ 3 Γ Ε Φ ) Μ Ε Φ? 5 : < 6 5 % Λ < 6 5< > 6! 8 8 8! 9 9 9! 9 =! = 9!
# %!!! ( ) ( +, +. ( / 0 1) ( 21 1) ( 2 3 / 4!! 5 6 7 7! 8 8 9 : ; < 9 = < < :! : = 9 ; < = 8 9 < < = 9 8 : < >? % > % > % 8 5 6 % 9!9 9 : : : 9 Α % 9 Α? Β / Χ 3 Δ Ε/ Ε 4? 4 Ε Φ? ΧΕ Γ Χ Η ΙΙ ϑ % Η < 3
1#
! # % & ( % + #,,. + /# + 0 1#. 2 2 3 4. 2 +! 5 + 6 0 7 #& 5 # 8 % 9 : ; < =# #% > 1?= # = Α 1# Β > Χ50 7 / Δ % # 50& 0 0= % 4 4 ; 2 Ε; %5 Β % &=Φ = % & = # Γ 0 0 Η = # 2 Ι Ι ; 9 Ι 2 2 2 ; 2 ;4 +, ϑ Α5#!
1 <9= <?/:Χ 9 /% Α 9 Δ Ε Α : 9 Δ 1 8: ; Δ : ; Α Δ : Β Α Α Α 9 : Β Α Δ Α Δ : / Ε /? Δ 1 Δ ; Δ Α Δ : /6Φ 6 Δ
! #! %&! ( )! +,!. / 1,. + 2 ( 3 4 5 6 7 8 9: : 9: : : ; ; ? =
& & ) ( +( #, # &,! # +., ) # % # # % ( #
! # % & # (! & & ) ( +( #, # &,! # +., ) # % # # % ( # Ι! # % & ( ) & % / 0 ( # ( 1 2 & 3 # ) 123 #, # #!. + 4 5 6, 7 8 9 : 5 ; < = >?? Α Β Χ Δ : 5 > Ε Φ > Γ > Α Β #! Η % # (, # # #, & # % % %+ ( Ι # %
; 9 : ; ; 4 9 : > ; : = ; ; :4 ; : ; 9: ; 9 : 9 : 54 =? = ; ; ; : ;
! # % & ( ) ( +, +. ( /0!) ( 1!2!) ( 3 4 5 2 4 7 8 9: ; 9 < : = ; ; 54 ; = ; ; 75 ; # ; 9 : ; 9 : ; ; 9: ; ; 9 : ; ; 4 9 : > ; : = ; ; :4 ; : ; 9: ; 9 : 9 : 54 =? = ; ; ; 54 9 9: ; ;
8 9 : < : 3, 1 4 < 8 3 = >? 4 =?,( 3 4 1( / =? =? : 3, : 4 9 / < 5 3, ; > 8? : 5 4 +? Α > 6 + > 3, > 5 <? 9 5 < =, Β >5
0 ( 1 0 % (! # % & ( ) + #,. / / % (! 3 4 5 5 5 3 4,( 7 8 9 /, 9 : 6, 9 5,9 8,9 7 5,9!,9 ; 6 / 9! # %#& 7 8 < 9 & 9 9 : < 5 ( ) 8 9 : < : 3, 1 4 < 8 3 = >? 4 =?,( 3 4 1( / =? =? : 3, : 4 9 / < 5 3, 5 4
9. =?! > = 9.= 9.= > > Η 9 > = 9 > 7 = >!! 7 9 = 9 = Σ >!?? Υ./ 9! = 9 Σ 7 = Σ Σ? Ε Ψ.Γ > > 7? >??? Σ 9
! # %& ( %) & +, + % ) # % % )./ 0 12 12 0 3 4 5 ). 12 0 0 61 2 0 7 / 94 3 : ;< = >?? = Α Β Β Β Β. Β. > 9. Δ Δ. Ε % Α % Φ. Β.,,.. Δ : : 9 % Γ >? %? >? Η Ε Α 9 Η = / : 2Ι 2Ι 2Ι 2Ι. 1 ϑ : Κ Λ Μ 9 : Ν Ο 0
: ; 8 Β < : Β Δ Ο Λ Δ!! Μ Ν : ; < 8 Λ Δ Π Θ 9 : Θ = < : ; Δ < 46 < Λ Ρ 0Σ < Λ 0 Σ % Θ : ;? : : ; < < <Δ Θ Ν Τ Μ Ν? Λ Λ< Θ Ν Τ Μ Ν : ; ; 6 < Λ 0Σ 0Σ >
! # %& ( +, &. / ( 0 # 1# % & # 2 % & 4 5 67! 8 9 : ; < 8 = > 9? 8 < 9? Α,6 ΒΧ : Δ 8Ε 9 %: ; < ; ; Δ Φ ΓΗ Ιϑ 4 Κ6 : ; < < > : ; : ;!! Β : ; 8 Β < : Β Δ Ο Λ Δ!! Μ Ν : ; < 8 Λ Δ Π Θ 9 : Θ = < : ; Δ < 46
参考文献：
9 年 ( 第十一届 ) 全国大学生数学竞赛 ( 非数学类 ) 预赛模拟试题 一 填空题 ( 每小题 6 分, 共 3 分 ) 考生注意 : 考试时间 5 分钟试卷总分 分. 已知 f ( ) 在 8的邻域内有连续导数, 且 lim f ( ), lim f '( ) 673, 8 8 则极限 lim 8 8 8 t f ( u)du dt t 3 (8 ) 9 f. 设函数 f (, y ) 可微,
3 4 Ψ Ζ Ζ [, Β 7 7>, Θ0 >8 : Β0 >, 4 Ε2 Ε;, ] Ε 0, 7; :3 7;,.2.;, _ & αε Θ:. 3 8:,, ), β & Φ Η Δ?.. 0?. χ 7 9 Ε >, Δ? Β7 >7 0, Τ 0 ΚΚ 0 χ 79 Ε >, Α Ε
![3 4 Ψ Ζ Ζ [, Β 7 7>, Θ0 >8 : Β0 >, 4 Ε2 Ε;, ] Ε 0, 7; :3 7;,.2.;, _ & αε Θ:. 3 8:,, ), β & Φ Η Δ?.. 0?. χ 7 9 Ε >, Δ? Β7 >7 0, Τ 0 ΚΚ 0 χ 79 Ε >, Α Ε](/thumbs/49/25446444.jpg "3 4 Ψ Ζ Ζ [, Β 7 7>, Θ0 >8 : Β0 >, 4 Ε2 Ε;, ] Ε 0, 7; :3 7;,.2.;, _ & αε Θ:. 3 8:,, ), β & Φ Η Δ?.. 0?. χ 7 9 Ε >, Δ? Β7 >7 0, Τ 0 ΚΚ 0 χ 79 Ε >, Α Ε")
(! # # %& ) +,./ 0 & 0 1 2 / & %&( 3! # % & ( ) & +, ), %!,. / 0 1 2. 3 4 5 7 8 9 : 0 2; < 0 => 8?.. >: 7 2 Α 5 Β % Χ7 Δ.Ε8 0Φ2.Γ Φ 5 Η 8 0 Ι 2? : 9 ϑ 7 ϑ0 > 2? 0 7Ε 2?. 0. 2 : Ε 0 9?: 9 Κ. 9 7Λ /.8 720
Β Χ Χ Α Β Φ Φ ; < # 9 Φ ; < # < % Γ & (,,,, Η Ι + / > ϑ Κ ( < % & Λ Μ # ΝΟ 3 = Ν3 Ο Μ ΠΟ Θ Ρ Μ 0 Π ( % ; % > 3 Κ ( < % >ϑ Κ ( ; 7
! # % & ( ) +, + )% ). )% / 0 1. 0 3 4 5 6 7 8 7 8 9 : ; < 7 ( % ; =8 9 : ; < ; < > ;, 9 :? 6 ; < 6 5 6 Α Β 5 Δ 5 6 Χ 5 6 5 6 Ε 5 6 Ε 5 5 Β Χ Χ Α Β 7 8 9 Φ 5 6 9 Φ ; < # 9 Φ ; < # 7 8 5 5 < % Γ & (,,,,
8. e f ( e ) d = f ( t) dt, 则 ( ) b A) =, b = B) =, b = e C) =, b = D) =, b = e 9. ( sin ) d = ( ) A) B) C) D). ln( + + ) d = ( ) A) B) C) D). 若 f ( )
高等数学 试题 考试日期 :4 年 7 月 4 日星期三考试时间 : 分钟 一. 选择题. 当 时, y = ln( + ) 与下列那个函数不是等价的 ( ) A) y = B) y = sin C) y = cos D) y = e. 函数 f() 在点 极限存在是函数在该点连续的 ( ) A) 必要条件 B) 充分条件 C) 充要条件 D) 无关条件. 下列各组函数中, f () 和 () f
f ( d ) = f( d ) f ( d ) = [ f( ) f( ) ] d B: 函数 Φ ( ) 在 (, + ) 上无极值点 (5) 若函数 f ( ) 在闭区间 [, ] 上都连续., 则下列说法不正确的是 ( ) A: f () 是 的函数 B: f () 是 的函数 f () 是
![f ( d ) = f( d ) f ( d ) = [ f( ) f( ) ] d B: 函数 Φ ( ) 在 (, + ) 上无极值点 (5) 若函数 f ( ) 在闭区间 [, ] 上都连续., 则下列说法不正确的是 ( ) A: f () 是 的函数 B: f () 是 的函数 f () 是](/thumbs/93/111302294.jpg "f ( d ) = f( d ) f ( d ) = [ f( ) f( ) ] d B: 函数 Φ ( ) 在 (, + ) 上无极值点 (5) 若函数 f ( ) 在闭区间 [, ] 上都连续., 则下列说法不正确的是 ( ) A: f () 是 的函数 B: f () 是 的函数 f () 是")
高等数学 第五章 - 定积分 练习题 (A) 一 判断正误题 :( 判断下列各题是否正确, 正确的划, 错误的划 ) n () + + + d n + = n n n () f ( d ) = f( udu ) () 若函数 f ( ) 在区间 (, + ) 上连续, c,, 为任意三个常数, 则 c f ( d ) = ( ) f d+ c f( d ) (5). () (6) sin d (7)
Γ Ν Ν, 1 Ο ( Π > Π Θ 5?, ΔΓ 2 ( ΜΡ > Σ 6 = Η 1 Β Δ 1 = Δ Ι Δ 1 4 Χ ΓΗ 5 # Θ Γ Τ Δ Β 4 Δ 4. > 1 Δ 4 Φ? < Ο 9! 9 :; ;! : 9!! Υ9 9 9 ; = 8; = ; =
! 0 1 # & ( & ) +! &,. & /.#. & 2 3 4 5 6 7 8 9 : 9 ; < = : > < = 9< 4 ; < = 1 9 ; 3; : : ; : ;? < 5 51 ΑΒ Χ Δ Ε 51 Δ!! 1Φ > = Β Γ Η Α ΒΧ Δ Ε 5 11!! Ι ϑ 5 / Γ 5 Κ Δ Ε Γ Δ 4 Φ Δ Λ< 5 Ε 8 Μ9 6 8 7 9 Γ Ν
7!# 8! #;! < = >? 2 1! = 5 > Α Β 2 > 1 Χ Δ5 5 Α 9 Α Β Ε Φ 5Γ 1 Η Η1 Δ 5 1 Α Ι 1 Η Ι 5 Ε 1 > Δ! 8! #! 9 Κ 6 Λ!!!! ; ; 9 # !!6! 6! 6 # ;! ;
! #! % & % ( ) ( +, & %. / & % 0 12 / 1 4 5 5! 6 7 8 7 # 8 7 9 6 8 7! 8 7! 8 7 8 7 8 7 8 7 : 8 728 7 8 7 8 7 8 7 8 7 & 8 7 4 8 7 9 # 8 7 9 ; 8 ; 69 7!# 8! #;! < = >? 2 1! = 5 > Α Β 2 > 1 Χ Δ5 5 Α 9 Α Β
: ; # 7 ( 8 7
(! # % & ( ) +,. / +. 0 0 ) 1. 2 3 +4 1/,5,6 )/ ) 7 7 8 9 : ; 7 8 7 # 7 ( 8 7 ; ;! #! % & % ( # ) % + # # #, # % + &! #!. #! # # / 0 ( / / 0! #,. # 0(! #,. # 0!. # 0 0 7 7 < = # ; & % ) (, ) ) ) ) ) )!
3?! ΑΑΑΑ 7 ) 7 3
! # % & ( ) +, #. / 0 # 1 2 3 / 2 4 5 3! 6 ) 7 ) 7 ) 7 ) 7 )7 8 9 9 :5 ; 6< 3?! ΑΑΑΑ 7 ) 7 3 8! Β Χ! Δ!7 7 7 )!> ; =! > 6 > 7 ) 7 ) 7 )
PowerPoint 演示文稿
多元连续函数 多元函数 定义 11..1 设 D 是 R 上的点集 D 到 R 的映射 f : D R z 称为 元函数 记为 z = f 这时D 称为 f 的定义域 f D = 1 { z R z = f D} 称为 f 的值域 Γ={ z R + z = f D} 称为 f 的图象 例 11..1 1 b a z = 是二元函数 其定义域为 D= + 1 b a R 函数的图象是一个上半椭球面
,, ( Δ! # % & % ) % & )% % +, % &. + / +% % % +,. / )% )%. + /. /. 0 / +% )0 )1 2) 20 )1 % 4 0 % % 0 5 % % )) % %6 ) % 6 ) % % % ) % 6. 4 /. 2 %, 78 9
! # % & ( ) ( + % & ( ) &,.# /, 0 1 2 1 # 4 25 6 7 8 9 : 9 6; : < = ; 6= 2 9 = > 2 :! > 21!; 6 Α6Β 67
# # # #!! % &! # % 6 & () ) &+ & ( & +, () + 0. / & / &1 / &1, & ( ( & +. 4 / &1 5,
# # # #!! % &! # % 6 & () ) &+ & ( & +, () + 0. / & / &1 / &1, & ( 0 2 3 ( & +. 4 / &1 5, !! & 6 7! 6! &1 + 51, (,1 ( 5& (5( (5 & &1 8. +5 &1 +,,( ! (! 6 9/: ;/:! % 7 3 &1 + ( & &, ( && ( )
. Ν Σ % % : ) % : % Τ 7 ) & )? Α Β? Χ )? : Β Ν :) Ε Ν & Ν? ς Ε % ) Ω > % Τ 7 Υ Ν Ν? Π 7 Υ )? Ο 1 Χ Χ Β 9 Ξ Ψ 8 Ψ # #! Ξ ; Ξ > # 8! Ζ! #!! Θ Ξ #!! 8 Θ!
!! # %& + ( ) ),., / 0 12 3, 4 5 6, 7 6 6, 8! 1 9 :; #< = 1 > )& )? Α Β 3 % Χ %? 7) >ΔΒ Χ :% Ε? 9 : ; Φ Η Ι & Κ Λ % 7 Μ Ν?) 1!! 9 % Ο Χ Χ Β Π Θ Π ; Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ ; . Ν Σ % % : ) % : % Τ 7 ) & )? Α Β? Χ )?
! ΑΒ 9 9 Χ! Δ? Δ 9 7 Χ = Δ ( 9 9! Δ! Δ! Δ! 8 Δ! 7 7 Δ Δ 2! Χ Δ = Χ! Δ!! =! ; 9 7 Χ Χ Χ <? < Χ 8! Ε (9 Φ Γ 9 7! 9 Δ 99 Φ Γ Χ 9 Δ 9 9 Φ Γ = Δ 9 2
! # % ( % ) +,#./,# 0 1 2 / 1 4 5 6 7 8! 9 9 : ; < 9 9 < ; ?!!#! % ( ) + %,. + ( /, 0, ( 1 ( 2 0% ( ),..# % (., 1 4 % 1,, 1 ), ( 1 5 6 6 # 77 ! ΑΒ 9 9 Χ! Δ? Δ 9 7 Χ = Δ ( 9 9! Δ! Δ! Δ! 8 Δ!
= > : ; < ) ; < ; < ; : < ; < = = Α > : Β ; < ; 6 < > ;: < Χ ;< : ; 6 < = 14 Δ Δ = 7 ; < Ε 7 ; < ; : <, 6 Φ 0 ; < +14 ;< ; < ; 1 < ; <!7 7
! # % # & ( & ) # +,,., # / 0 1 3. 0. 0/! 14 5! 5 6 6 7 7 7 7 7! 7 7 7 7 7 7 8 9 : 6! ; < ; < ; : 7 7 : 7 < ;1< = = : = >? ) : ; < = > 6 0 0 : ; < ) ; < ; < ; : < ; < = = 7 7 7 Α > : Β ; < ; 6 < > ;:
6 Β Χ Η Ι ϑ Κ 1 1 Δ 1 =< Χ > Δ Ε > Δ <Β > 9 Φ < ; = 3Χ Χ ΓΒ 1 < ; = Κ 4 Η Λ + % # &!% () # % & #! Π? Μ Ν Ο, 0+ 1, + 2 & # 1,
! # % # & ( & # &) # + % ( &,. + 0 1 23! 4 4 4 5 5 6 4 7 8 9 : ; :
Φ2,.. + Φ5Β( 31 (+ 4, 2 (+, Η, 8 ( (2 3.,7,Χ,) 3 :9, 4 (. 3 9 (+, 52, 2 (1 7 8 ΙΜ 12 (5 4 5? ), 7, Χ, ) 3 :9, 4( > (+,,3, ( 1 Η 34 3 )7 1 )? 54
!! # %& ( ) +, ( ),./0 12,2 34 (+,, 52, 2 (67 8 3., 9: ), ; 5, 4, < 5) ( (, 2 (3 3 1 6 4, (+,,3,0 ( < 58 34 3 )7 1 54 5, 2 2 54, +,. 2 ( :5 ( > 4 ( 37 1, ( 3 4 5? 3 1 (, 9 :), ; 5 4 )1 7 4 )3 5( 34 2 Α
84 / ! / ! 9 9 9!! 9 : ; < = 1 //< & >!! ? : ; <. 1 //< &! Α
5 6! # % # & () +,. /,. + 1 2 3 4 5 6! 7 7! 8 84 5 6 9 5 6 8 84 / 5 6 5 6 56 56 5 6 56 5 6! / 49 8 9 9! 9 9 9!! 9 : ; < = 1 //< & >!! 9 5 8 4 6? 4 9 99 8 8 99 9 7 4 4 7 : ;
湖北文都考研官网 : 考研数学二考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求 的. k 1. 当 x 0 时, x tan x与 x 同阶
湖北文都考研官网 :www.hbwendu.com 9 考研数学二考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 ~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求 的. k. 当 时, tan 与 同阶, 求 k( ) A. B. C. D.4. y sin cos (, ) 的拐点坐标 A., B., C., D. (, ). 下列反常积分发散的是
) ( ) ( ) ( # ) ( <> ) ( ) ( ) < ( #6 Α! Χ, % Δ Χ 8 % Χ < 8 > Χ 3 Β,Α Α, 8 Χ? 8 > 8 % > # # < > # # # < > 8 8 8, Χ? 8 Ε % <> Ε 8 Φ 4> ( < 8 Φ # Χ, Χ!
!! 3! # % & ( ) +, ) + #. / 0 / 1 / 2 % 4 5 ) ( ) ( 6, 67 8 & ( + )4 9 ( : ; 2 ) ( ) < ( ) 8 ( 2 ) ( 5 2 = ( 2 # >? ) ( ) ( ) ( # ) ( ) ( ) ( ) < ( #6 Α! Χ, % Δ Χ 8 % Χ < 8 > Χ 3 Β,Α Α, 8 Χ? 8 > 8 %
9! >: Ε Φ Ε Ε Φ 6 Φ 8! & (, ( ) ( & & 4 %! # +! ; Γ / : ; : < =. ; > = >?.>? < Α. = =.> Β Α > Χ. = > / Δ = 9 5.
! # % & ( # ) & % ( % +, %. +, / #0 & 2 3 4 5 5 6 7 7 8 9 7:5! ; 0< 5 = 8 > 4 4? 754 Α 4 < = Β Χ 3Δ?? 7 8 7 8? 7 8 7 8 7 8 4 5 7 8 7 8 > 4> > 7 8 7 8 7 8 4 : 5 5 : > < 8 6 8 4 5 : 8 4 5 : 9! >: 48 7 8
?.! #! % 66! & () 6 98: +,. / / 0 & & < > = +5 <. ( < Α. 1
!! # % # & ( & ) # +, #,., # / 0 1. 0 1 3 4 5! 6 7 6 7 67 +18 9 : : : : : : : : : :! : : < : : ?.! #! % 66! & 6 1 1 3 4.5 () 6 98: +,. / / 0 & 0 0 + & 178 5 3 0. = +5
定理 6.5( 柯西中值定理 ) 设函数 f (), g() 在区间 (iii) f ( ) + g ( ) > ; 一 柯西中值定理 [ a, b] 上满足 : (i) f(), g() 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) f(), g() 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iv)
![定理 6.5( 柯西中值定理 ) 设函数 f (), g() 在区间 (iii) f ( ) + g ( ) > ; 一 柯西中值定理 [ a, b] 上满足 : (i) f(), g() 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) f(), g() 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iv)](/thumbs/93/112009408.jpg "定理 6.5( 柯西中值定理 ) 设函数 f (), g() 在区间 (iii) f ( ) + g ( ) > ; 一 柯西中值定理 [ a, b] 上满足 : (i) f(), g() 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) f(), g() 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iv)")
柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理是比拉格朗日定理更一般的中值定理, 本节用它来解决求不定式极限的问题. 一 柯西中值定理二 不定式极限 返回 定理 6.5( 柯西中值定理 ) 设函数 f (), g() 在区间 (iii) f ( ) + g ( ) > ; 一 柯西中值定理 [ a, b] 上满足 : (i) f(), g() 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) f(), g()
礼仪玉和葬玉
http://shop33322103.taobao.com 1 http://shop33322103.taobao.com 2 http://shop33322103.taobao.com 3 http://shop33322103.taobao.com 4 http://shop33322103.taobao.com 5 http://shop33322103.taobao.com 6 http://shop33322103.taobao.com
一 罗尔定理与拉格朗日定理 定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iii) f(a) = f(b). 那么在开区间 (a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一
![一 罗尔定理与拉格朗日定理 定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iii) f(a) = f(b). 那么在开区间 (a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一](/thumbs/49/25862895.jpg "一 罗尔定理与拉格朗日定理 定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iii) f(a) = f(b). 那么在开区间 (a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一")
拉格朗日定理和函数的单调性 中值定理是联系 中值定理, 就可以根据 质来得到 f 在该区间上的整体性质. f 一 罗尔定理与拉格朗日定理 二 函数单调性的判别 f 与 f 的桥梁. 有了 在区间上的性 返回 一 罗尔定理与拉格朗日定理 定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b)
%? = Β 2Β 2 2 <Χ Φ Α Γ 7Δ 8 3 Ε & % # %& Η! % & &, &), 1 & % & +&,,. & / 0, & 2 %. % 3 % / % 4 %
! # % # & ) + ),. / 0 1 2 ) 1 2 2 ) 3 4 5 6! 7 8 9&3 78 : & ; =? > > > 7 8 9&3 : = = = Α + =?! %? = Β 2Β 2 2
!! # % & ( )!!! # + %!!! &!!, # ( + #. ) % )/ # & /.
! # !! # % & ( )!!! # + %!!! &!!, # ( + #. ) % )/ # & /. #! % & & ( ) # (!! /! / + ) & %,/ #! )!! / & # 0 %#,,. /! &! /!! ) 0+(,, # & % ) 1 # & /. / & %! # # #! & & # # #. ).! & #. #,!! 2 34 56 7 86 9
矩阵论 第三章：矩阵分析
矩阵论 第三章 : 矩阵分析 马锦华 数据科学与计算机学院 中山大学 第三章 : 矩阵分析 3.1 矩阵序列 3.2 矩阵级数 3.3 矩阵函数 3.4 矩阵的微分与积分 3.5 矩阵分析应用举例 2 矩阵序列 定义 3.1: 设有中的矩阵序列 其中 若 m n C lim a a i 1, 2,, m; j 1, 2,, n, ij ij, 收敛于 记为 或 a ij mn 不收敛的矩阵序列称为发散.,
! # % & # % & ( ) % % %# # %+ %% % & + %, ( % % &, & #!.,/, % &, ) ) ( % %/ ) %# / + & + (! ) &, & % & ( ) % % (% 2 & % ( & 3 % /, 4 ) %+ %( %!
! # # % & ( ) ! # % & # % & ( ) % % %# # %+ %% % & + %, ( % % &, & #!.,/, % &, ) ) ( % %/ ) 0 + 1 %# / + & + (! ) &, & % & ( ) % % (% 2 & % ( & 3 % /, 4 ) %+ %( %! # ( & & 5)6 %+ % ( % %/ ) ( % & + %/
% & ( ) +, (
#! % & ( ) +, ( ) (! ( &!! ( % # 8 6 7 6 5 01234% 0 / /. # ! 6 5 6 ;:< : # 9 0 0 = / / 6 >2 % % 6 ; # ( ##+, + # 5 5%? 0 0 = 0 0 Α 0 Β 65 6 66! % 5 50% 5 5 ΗΙ 5 6 Φ Γ Ε) 5 % Χ Δ 5 55 5% ϑ 0 0 0 Κ,,Λ 5!Α
4 4 4 4 4 4! # % & ( # ) )! ) & +!. # / 0! + 1 & % / 0 2 & #. 3 0 5. 6 7 8 0 4 0 0 # 9 : ; < 9 = >9? Α = Β Χ Δ6 Ε9 8 & 9 : # 7 6 Φ = Γ Η Ι 0 ϑ 9 7 Κ 1 Λ 7 Κ % ΓΗ Δ 9 Η ΕΔ 9 = ;
: Π Δ 9 Δ 9 Δ 9 7 Θ Μ 9 8 Ρ Σ # = Μ 0 ; 9 < = 5 Λ 6 # = = # Μ Μ 7 Τ Μ = < Μ Μ Ο = Ρ # Ο Ο Ο! Ο 5 6 ;9 5 5Μ Ο 6
! # % # & ( ) +, #,. # / 0. 0 2 3 4! 5 6 5 6 7 8 5 6 5 6 8 9 : # ; 9 < = 8 = > 5 0? 0 Α 6 Β 7 5ΧΔ ΕΦ 9Γ 6 Η 5+3? 3Ι 3 ϑ 3 6 ΗΚ Η Λ!Κ Η7 Μ ΒΜ 7 Ν!! Ο 8 8 5 9 6 : Π 5 6 8 9 9 5 6 Δ 9 Δ 9 Δ 9 7 Θ Μ 9 8 Ρ
Θ Θ Γ 2 Ρ 3 Ω Ω Ω Ξ, ;;> /;? ; ;;<<; > # ( 3 ) #2# #% 3 (#) # ( #) ) ( ) #) & ) 3 % & &89#(#( #3) ) 2 (#(# % ) ()# <= +: ;8.../;< # ; / +2.. ;//.;.82
. )/,. % ) # # % & ( ) )+,,% # % ) 1 2 3 4 4 5 67 /8 9: 6 18 ; < < < 2 = 3 & 2 < 3 > 6?? 7 2 = 3 ( ΑΒ 2 Β 3 Χ 8 :? / ) Δ 2 Β 3 7 8 Ε ) Φ? 8: Γ Ε 2 Β 3 ( Η Η 2 Β 3 Ι 6 ϑ 6 / 2 3 ΚΛϑ Μ 6 : ϑ 2 Β 3 Ν 6 Δ
Υ 2 Δ Υ 1 = 1 : Φ Υ 1 Ω 5 ς ) Ν + Φ 5 ς ς Α+ ) Ν Φ 6 Ξ ς Α+ 4 Φ Ψ Ψ + = Ε 6 Ψ Ε Ε Π Υ Α Ε Ω 2? Ε 2 5 Ο ; Μ : 4 1 Ω % Β 3 : ( 6 Γ 4 Ρ 2 Ρ
# % & & ( & ) +,. / 0 11 + 23 4 4 5 6 7 %+ 8 9 : ; 8 < %+ % = 4 )>? > Α ( 8 % 1 1 Β Χ > Χ Δ Χ Β > Ε) > 4 > Ε) Φ Δ 5 Γ + % 8 + %. < 6 & % &. : 5 Η+ % Ι & : 5 &% + 8 ) : 6 %, 6, + % 5 ϑ # & > 2 3 Χ Δ Α ;
! Χ Δ? Η Δ? Β Ι Β? ϑ Κ 1 Ε?? Λ Μ Ν Ο Π Β? Δ? Β Ι ΘΗ Κ 1 Ε? Β? ϑ Ν Η Η Δ?? Ρ? Ι Β Χ Τ Τ Ο ς Ι Δ Ω Χ Β [ Υ Ψ? [ Η Β? Β Υ? Ι Δ? Δ? Ο Ξ Ψ Ι Π Β Υ?????? Ι?
! # % & () +, (. / 0, 1 ( 1 % & (). + 2 ) 3., ( 4 5 6 + 5 8 9 : ; ? Α 6Α? Β Χ Δ Δ? Α ΕΦ? Χ Γ?!! Ε 6Α >Α ! Χ Δ? Η Δ? Β Ι Β? ϑ Κ 1 Ε?? Λ Μ Ν Ο Π Β? Δ? Β Ι ΘΗ Κ 1 Ε? Β? ϑ Ν Η Η Δ?? Ρ? Ι Β Χ Τ Τ Ο ς
标题
第 37 卷第 1 期西南师范大学学报 ( 自然科学版 ) 01 年 1 月 Vol.37 No. 1 JouralofSouthwestChiaNormalUiversity(NaturalScieceEditio) Ja. 01 文章编号 :1000 5471(01)01 0011 05 1 离散型随机变量序列最大值的收敛速度 张耿, 陈守全, 王超 西南大学数学与统计学院, 重庆 400715
:::: : : : :::: :: :: :::::: :::: < ; 7 7 ; ; % < = = > = / =?? Α Β.. Β Χ (. 7 > 5 / Δ 6 Ε. Φ Δ 5 / 6 Ε. Φ 1 Γ 5 / 6 7 Η (. >5 Ι Δ 6 Φ ϑ
. /,.!! # % # & %& ( ) ) + % # & %, % # ( 1 2 3 4 5 6 7 5 6 4 8 3 9 :::: : : : :::: :: :: :::::: :::: < ; 7 7 ; ; % < = = > = / =?? Α 5 6 5 Β.. Β Χ (. 7 > 5 / Δ 6 Ε. Φ 5 3 1 6 Δ 5 / 6 Ε. Φ 1 Γ 5 / 6 7
求出所有的正整数 n 使得 20n + 2 能整除 2003n n 20n n n 20n n 求所有的正整数对 (x, y), 满足 x y = y x y (x, y) x y = y x y. (x, y) x y =
求出所有的正整数 n 使得 20n + 2 能整除 2003n + 2002 n 20n + 2 2003n + 2002 n 20n + 2 2003n + 2002 求所有的正整数对 (x, y), 满足 x y = y x y (x, y) x y = y x y. (x, y) x y = y x y 对于任意正整数 n, 记 n 的所有正约数组成的集合为 S n 证明 : S n 中至多有一半元素的个位数为
2003 3,,, (1932 ; ) 20 30,,,,,,,,, ( ),,,,,,,,,,,,,, 52
Ξ,,, :, (1928 1931) (1931 1937) (1937 1945),,,,,,,,,,,,,,,, Ξ:(1931 1945) (01JA770055) 51 2003 3,,, 1927 4 (1932 ;1937 11 1946 5 ) 20 30,,,,,,,,, (1931 1945),,,,,,,,,,,,,, 52 , ( : ),,, 1927 4,,, (1928