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充燕
5 years ago
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1 随机过程 Stochasstic processes 西安电子科技大学数学系教师冯海林 1

2 引言随机过程的研究对象随机过程是研究随机现象随时间变化过程中的规律性的一门数学学科. 是概率论的深入和发展.

3 引言随机过程应用广泛随机过程在自然科学社会科学以及工程技术的各领域均有应用. 在我校的一些专业 : 雷达通信无线电技术自动控制生物工程经济管理等领域有着极为广泛的应用. 3

4 引言教材与参考教材 1. 随机过程计算与应用冯海林薄立军西安电子科技大学出版社 01. 随机过程毛用才胡奇英西安电子科技大学出版社随机过程理论周荫清电子工业出版社第二版 An introduction to stochastic processes Edward P.C. kao Thomson 003 4

5 引言课程的教学内容随机过程的基本知识布朗运动 ( 维纳过程 ) 跳跃随机过程 ( 泊松过程 ) 平稳过程离散时间马尔可夫链 5

6 引言作业与考试作业 : 每章均有一定量的作业, 每章结束后交本章作业考试 : 闭卷考试

7 引言课程的教学目标掌握随机过程的基本理论和分析方法. 提高应用随机过程的理论和方法分析问题和解决问题的能力. 7

8 第二章随机过程基本知识教学内容随机过程的定义有限维分布函数族数字特征随机过程的分类与举例 8

9 随机过程的定义引例例 1. 给定 t 0 ( >0), 考察 [0,t 0 ] 时间内某站点收到的访问次数 X, 则 X 是一个随机变量, 可记为 X t 0. 思考 : 如果要全面了解站点的访问情况, 如何? 则需要让 t 变化起来, 即考察随机变量 X t. 此时 X t 是一族随机变量,. 可记为 {Xt, t [0, )} 一簇随机变量方能反映要了解的随机现象. 9

10 例. 具有随机初位相的简谐波 X(t) = Acos( ωt + Φ) 其中 A ω 为常数,φ 服从 [0,π] 上的均匀分布. 由于初位相的随机性, 在某时刻 t=t 0,X t0 是一个随机变量. 思考 : 如何观察该谐波的波形与规律? 需要在任意时刻 t 处观察, 即观察随机变量 X t, 此时 X t 是一族随机变量. 记为 {X t,t [0,+ )} 用一簇随机变量方能反映. 10

11 例 3. 考察某种生物群体的增长问题. 若以 X t 表示在时刻 t 生物群体的个数, 则对每一个固定的 t,x t 是一个随机变量. 思考 : 要了解其生长规律, 观察一个随机变量 Xt 是不够的, 需要怎么观察? 一般从 t=0 开始每隔一定时间对群体个数观察一次, 即观察随机变量 X t ( t=0,1,,.), 此时 X t 是一族随机变量. 记为 {X t,t=0,1,,.} 11

12 例 4. 在天气调查中, 以 X t 表示某地区第 t 次统计所得到的最高气温, 则 X t 是一个随机变量. 为了预报该地区未来的气温, 需要多次的统计该地区的最高气温, 即统计一族随机变量 X t, t=0,1,,, 记为 {X t, t=0,1,, } 1

13 以上 4 个例子说明 : 只有一族随机变量可以较为全面的反映所想了解的的随机现象. 为此将概率论中的随机变量推广为一族随机变量. 以下是其定义 : 13

14 随机过程定义设 (Ω,F,P) 为一概率空间,T 为一参数集,T R, 若对每一 t T, 均有定义在 (Ω,F,P) 上的一个随机变量 X(ω,t),(ω Ω) 与之对应, 则称 X(ω,t) 为 (Ω,F,P) 上的一个随机过程 (S.P.) 记 X={X(ω,t), ω Ω,t T}, 简记 X={X t,t T}, 或 X(t) 或 X t 14

15 T 称为参数集或参数空间, t 称为参数, 一般表示时间或空间. 参数集通常有以下形式 : ⑴ T={0,1,, } 或 T= { -,-1,0,1,, } ⑵ T=[a,b], 其中 a 可以为 -, b 可以为 +. 当参数集为形式 ⑴ 时, 随机过程 X(t) 也称为随机序列 15

16 随机过程定义的进一步解释 : 1. X(ω t) 的两个特点 : 随机性与函数性. 因此, X(ω,t), 实质上为定义在 T Ω 上的二元单值函数.. 对每一个固定的 t, X t 为一随机变量. 随机变 X t (t T) 所有可能取值的集合, 称为随机过程 X(ω,t) 的状态空间, 记为 S. S 中的元素称为状态. 3. 对每一个 ω 0 Ω,X(ω 0,t) 是定义在 T 上的普通函数. 记为 x(ω 0,t), 称为随机过程的一个样本函数. 或样本轨道. 样本函数的图形称为样本曲线. 16

17 4. 样本轨道的连续性定义 : 设 X={X(ω,t), t T} 为定义在 (Ω,F,P) 上的一个随机过程, 如果对任意的 t T 有 P( X X = 0) = 1 lim s s t t 则称随机过程 X={X(ω,t), t T} 具有连续样本轨道.

18 柯尔莫哥洛夫 ( 轨道 ) 连续性判断准则 : α 1+ β E[ X X ] C t s, 0 s, t T s t

19 例 1 的样本曲线与状态 X(t) 样本曲线 x (t) 状态 X(t 0 )=5 状态 X(t 0 )=4 状态空间 S={0,1,,.}, T=[0,+ ) t 0 样本曲线 x 1 (t) t 19

20 例的样本曲线与状态 X(t) X(t) = Acos( ωt + Φ) 状态 X(t 0 ) 样本曲线 x 1 (t) 状态 X(t 0 ) t 0 样本曲线 x (t) t 状态空间 S=[-A,A], 参数集 T=[-,+ ] 0

21 例 3 的样本曲线与状态 X(t) 状态空间 S={0,1,,.}, T=[0,4, ) 状态 X(t 0 )=40 样本曲线 x 1 (t) 样本曲线 x (t) 状态 X(t 0 )=5 状态 X(t 0 )=18 样本曲线 x 3 (t) 0 4 t 0 t 1

22 根据参数集与状态空间离散与否, 随机过程可分为离散参数, 离散状态的随机过程 ( 例 3) 离散参数, 连续状态的随机过程 ( 例 4) 连续参数, 离散状态的随机过程 ( 例 1) 连续参数, 连续状态的随机过程 ( 例 ) 参数集为离散的随机过程也称为随机序列, 或时间序列.

23 有限维分布函数族设 X={X t, t T} 是 S.P. 1. 一维分布函数对任意 t T, X t 为一随机变量. 称其分布函数 F(t ; x)=p(x t x), x R 为随机过程 X 的一维分布函数. 3

24 . 二维分布函数对任意固定的 t 1,t T, X t1,x t 为两个随机变量. 称其联合分布函数 F(t 1,t ; x 1, x )=P(X t1 x 1, X t x ), x 1, x R 为随机过程 X 的二维分布函数. 4

25 3. n 维分布函数对任意固定的 t 1,t,,t n T, X t1, X t,, X tn 为 n 个随机变量. 称其联合分布函数 F(t 1,t,,t n ; x 1, x,, x n ) = P(X t1 x 1, X t x X tn x n ) (x 1 x,, x n R) 为随机过程 X 的 n 维分布函数. 5

26 有限维分布函数族定义称随机过程 X={X t, t T} 的一维分布函数, 二维分布函数,,n 维分布函数,, 的全体为随机过程的有限维分布函数族. 注 : 有限维分布函数族能够较为全面的描述随机过程的统计规律性. 6

27 本节内容的练习例 1. 设随机过程 X={X t =Vcosωt,t (-,+ )}, 其中 ω 为常数,V 服从 [0,1] 上的均匀分布. ⑴ 确定 X 的两个样本函数. ⑵ 求 t=0,t=3π/4ω 时, 随机变量的概率密度函数. ⑶ 求 t= π ω 时 X 的分布函数. 解 (1) 取 V=1/, 1/3 分别得到两个样本函数 x1 ( t) = 1 cosωt x ( t) = 1 3 cosωt 7

28 () t = 0时, X = V cosω0 = V, 而 V为 [01], 上均匀分布, 则 t = f X 0 3π 时, 4ω 由于函数 x = 0 ( x) 1 = 0 0 x 1 其它 3 Xt = V cosω π = V 4 ω 其导数为 h ( x) = V的反函数为 V, 则利用公式 = h( x) = x, 8

29 3 4 X ( ( )) ( ) ( ) 0 V f h x h x f x π ω = 其它 1 ) ( 0 x h = 0 其它 1 0 x 其它 0 x = 0 9

30 (3) π π t = 时, X cosω 0, ω = ω = t V 此时 X 服从单点分布, 则 π ω F ( x) = P{ X x} π π X ( ) ω ω 1 = 0 x x <

31 例. 设 S.P. X = A cos tt, 0 t 1 P( A = i) =, i = 1,,3. 3 其中 A 具有以下概率分布 π 4 π, ) x 试求 (1) 该 S.P. 的一维分布函数 F (, x ), F ( π () 该 S.P. 的二维分布函数 F( 0, ; x 1, x) 3 π 解 () 1 Q X π = Acos = A, 4 4 分布律为

32 π 分布函数为 F( ; x) 4 0, 1, 3 =, 3 1, x < x < 3 x < 3 x π ()F (0, ; x1, x) = P( X0 x1, X π x) 3 3 A = PA ( x1, x) = PA ( x, A x) 1 3

33 P( A x1) = P( A x) 0, 1, 3 =, 3 1, x 1 1 < x x 1 x < x < 3 x 3 x 1 > x 1 ( x x ) 1 x < 1 1 x < 或 x1 > x x < 3 x 3 ( ) 33

34 练习题 1. 利用重复掷硬币的试验定义一个随机过程 cos πt, 出现正面 X t = 0 t <+, t 出现反面出现正面与反面的概率相等.. 利用掷一枚硬币的试验定义一个随机过程 X t cos πt, 出现正面 =, t 出现反面 0 t <+ ⑴ 求 X t 的一维分布函数 F(1/; x),f(1; x). ⑵ 求 X t 的二维分布函数 F(1/,1; x 1,x ). 34

35 随机过程可推广到多维随机过程定义设 {X t,t T} 和 {Y t,t T} 是定义在同一概率空间 (Ω,F,P) 上的两个实随机过程. 则称 {X t,y t, t T} 是二维随机过程. 复随机过程定义设 {X t,t T} 和 {Y t,t T} 是定义在同一概率空间 (Ω,F,P) 上的两个实随机过程. 令 Z t = X t +jy t t T 则称 {Z t, t T} 是复随机过程.

36 本章作业 :

Microsoft PowerPoint - 概率统计Ch02.ppt [Compatibility Mode]

Microsoft PowerPoint - 概率统计Ch02.ppt [Compatibility Mode] 66 随机变量的函数.5 随机变量的函数的分布设是一随机变量, 是的函数, g(, 则也是一个随机变量. 本节的任务 : 当取值 x 时, 取值 y g 67 ( 一离散型随机变量的函数设是离散型随机变量, 其分布律为或 P { x } p (,, x x, P p p, x p 已知随机变量的分布, 并且已知 g 要求随机变量的分布. (, 是的函数 : g(, 则也是离散型随机变