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匾宿
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1 第 37 卷第 1 期西南师范大学学报 ( 自然科学版 ) 01 年 1 月 Vol.37 No. 1 JouralofSouthwestChiaNormalUiversity(NaturalScieceEditio) Ja. 01 文章编号 : (01) 离散型随机变量序列最大值的收敛速度张耿, 陈守全, 王超西南大学数学与统计学院, 重庆摘要 : 设 X1,X,,X 是独立同分布离散型随机变量序列,M = max{x1,x,,x}. 当时,(M - b)/a 的极限分布已知. 然而, 当离散分布的参数随着而变化时, 可能得到它的非退化极限分布及其收敛速度. 研究了 3 类离散型随机变量序列最大值的收敛速度. 关键词 : 均匀分布 ; 二项分布 ; 泊松分布 ; 最大值 ; 收敛速度中图分类号 :O11.4 文献标志码 :A 设 X 是非负整值离散型随机变量, 它的概率质量函数 (pmf) 为 Pr(X =k)=pk, 分布函数 (cdf) 为 F. 设 X1,X,,X 是独立且与 X 同分布的随机变量序列, 最大值 M =max{x1,x,,x}. 对某些实数 a >0 和 b, 当时 (M -b)/a 的极限分布已知. 负二项分布的一些性质和应用详见文献 [1-]. 文献 [3] 给出了 (M -b)/a 的极限分布及其收敛速度. 文献 [4] 还研究了离散型随机变量序列完备及非完备样本最大值的联合分布. 定理 A 设 M 为 {X1,,X} 的最大值,{X1,,X} 是具参数 r>0,p= 1 的独立负二项分布随机变量序列, 令 u(x)=(x+l+ (r-1)ll-lγ(r)). 则对任意 x R, lim P(M u(x))=exp(-exp(-x)) 若定义 Δ(r,x)=P(M u(x))-exp(-exp(-x)), 则当时,M 的收敛速度为 : Δ(r,x)~ exp (-x)exp(-exp(-x)) l r=1 Δ(r,x)~ (r-1) exp(-x)exp(-exp(-x)) ll l r 1 [56] 事实上, 对于正整数 r, 这个定理的结论在很早以前已被证明. 文献 [3] 证明了 r 不是整数的情形. 最大值的极限分布的收敛速度已被许多作者研究 ( 参见文献 [7] 及其参考文献 ). 本文主要讨论著名离散分布包括泊松分布二项分布均匀分布的最大值的极限分布的收敛速度. 均匀分布最大值的收敛速度容易得到, 而我们将用正态分布分别与泊松二项分布的关系去研究泊松和二项分布的最大值的收敛速度. 定理 1 设 M 为 {X1,,X} 的最大值,{X1,,X} 是具参数为 N= 的独立均匀分布随机变量序列, 令 a =,b =,u(x)=ax +b. 若定义 Δ(x)=P(M u(x))-exp(x), 则当时,M 的收敛速度为 : Δ(x)~exp(x)- 1 ö -x (1) 1 收稿日期 : 基金项目 : 重庆市首届高校人才基金资助项目 ( ). 作者简介 : 张耿 (1986 ), 女, 四川岳池人, 硕士研究生, 主要从事概率论与数理统计的研究. 通信作者 : 陈守全, 副教授, 硕士生导师.

2 1 西南师范大学学报 ( 自然科学版 ) htp://xbbjb.swu.c 第 37 卷定理设 M 为 {X1,,X} 的最大值,{X1,,X} 是具参数 N =,p >0 的独立二项分布随机变量序列. 令 a = 1,b = log - loglog+log4π,u(x)=p + p(1-p)(ax + log log b). 若定义 Δ(x)=P(M u(x))-exp(-exp(-x)), 则当时,M 的收敛速度为 : Δ(x)~ A (p -p+1) p(1-p) - 1 ö 4πlog 其中 A 是绝对正常数. 定理 3 + exp (-exp(-x))exp(-x) (loglog) log 设 M 为 {X1,,X} 的最大值,{X1,,X} 是具参数 λ= 的独立泊松分布随机变量序列. 令 a = 1,b = log P(M u(x))-exp(-exp(-x)), 则当 () log- loglog+log4π,u(x)=+ (ax +b). 若定义 Δ(x)= log 时,M 的收敛速度为 : { } Δ(x)~exp(-exp(-x)) exp (-x) + (1+ ( loglog) log )( 1+ (log) ( log) 3 ) - 1 (3) 为了证明结论, 先给出几个引理. 引理 1 若 F(x) 是二项分布函数,Φ(x) 是标准正态分布函数, 定义 a = 1,b = log - log loglog+log4π,u(x)= p(1-p)(ax +b)+p, 则对于任意的 x R, log 证令 F(u(x))=Φ(ax +b)+ A (p -p+1) p(1-p) +o ( 1 ) (4) EX j =0 Xi ~ -p 1-pö 1- p p E X j 3 =p(1-p)(p -p+1)< X j =X -p σ =p(1-p) B =p(1-p) j=1 L = p -p+1 F(x)=P X -p p(1-p) p(1-p) < ö x =F(p(1-p)x+p) 其中 X 是二项分布随机变量. 由于从而得到由文献 [9] 中的定理 5.4 得 sup F(p(1-p)x+p)-Φ(x) A (p -p+1) x p(1-p) x=ay +b ~ log F(u(x))=Φ(ax +b)+ A (p -p+1) p(1-p) +o ( 1 ) (5) 引理若 F(x) 是泊松分布函数,Φ(x) 是标准正态分布函数, 定义 a = 1,b = log - log loglog+log4π,u(x)= (ax +b)+. 则对于任意的 x R, log 证 1-F(u(x)) 1-Φ(ax +b) =exp 3 (log) 3 + ( log) 3 +o ( 1 ö ) (6) 由文献 [10] 知, 可定义 X 1,X,,X 为中心的标准泊松变量 (λ1=λ= λ =1), 令 Xi=X i

3 第 1 期张耿, 等 : 离散型随机变量序列最大值的收敛速度 13 -λi. 则 E(Xi)=0 VarXi =σ S - =1 S =S - F(x)=P < 且 S 是一个参数为 λ = 的泊松随机变量. 因为 Eexp(tX)=exp(-t-+exp(t))< 所以满足 Cramer 条件. 从文献 [9] 的定理 5.3 的证明中, 能够得到 ö x 于是 R(t)=Eexp(tX1)=(exp(-t-+exp(t))) 1 logr(t)= j= γ j Γ(j+1) tj =- t-1+exp(t)= j= t j Γ(j+1) 所以又因为故由 (7) 和 (8) 式可得 (6) 式. γ1 =0 γ =1 γ3 =1 γ4 =1 λ(t)= t+ 1-F(x +) x3 =exp 1-Φ(x) 6 + x4 1 +o ( 1 (7) x=ay +b ~ log (8) 定理 1 的证明当时 τ =(1-F(ax +b )) τ= -x. 从文献 [7] 中的定理.4. 知 exp(x) P(M u(x))-exp(-τ)~ -x 从文献 [8] 知, 因为 x-1< [x] x, 则 1- ax +b ö 最后, 由 (9) 式和 (10) 式得到 (1) 式. 定理的证明 ax +b -1ö (1-F(ax +b)) 1- ax +b -1 (1-F(ax +b))= 1- +o( 1 ) ö = 1-x +o ( 1 ) =- x+ 1 +o ( 1 ) (9) exp(-τ)-exp(-τ)=exp(x)- 1 +o ( 1 (10) 从引理 1 知 F (u(x))=φ (ax +b)+ Φ(ax +b)+ A (p -p+1) p(1-p) +o ( 1 -Φ (ax +b) F (u(x))-exp(-exp(-x))=φ (ax +b)-exp(-exp(-x))+

4 14 西南师范大学学报 ( 自然科学版 ) htp://xbbjb.swu.c 第 37 卷而且, 由文献 [7] 中的定理.4. 可得又因为于是 Φ(ax +b)+ A (p -p+1) p(1-p) +o ( 1 -Φ (ax +b) (11) Φ (ax +b)-exp(-exp(-x))~ exp (-exp(-x))exp(-x) (loglog) log exp(- x ) Φ(x)=1-Φ(-x)=- (1+o(x )),x=ay +b ~ x π 由 (11) 式 (1) 式和 (13) 式, log (1) 1 Φ(ax +b)= 4πlog +o ( 1 log ) ( 13) F (u(x))-exp(-exp(-x))= P(M u(x))-exp(-exp(-x))= exp(-exp(-x))exp(-x) (loglog) log exp(-exp(-x))exp(-x) (loglog) log + A (p -p+1) p(1-p) - 1 ö 4πlog + A (p -p+1) p(1-p) - 1 ö 4πlog - -1 ö 4πlog +o( 1 ) ~ 证明完毕. 我们知道定理 3 的证明当时,τ =(1-F(ax +b )) τ= exp(-x). 从文献 [7] 中的定理.4. 知由引理中的 (6) 式和 (15) 式可得 P(M u(x))-exp(-τ)~ exp (-x)exp(-exp(-x)) (1-Φ(ax +b))-exp(-x)~ exp (-x) (loglog) log (14) (15) (1-F(u(x)))= exp(-x)(1+ (loglog) (log) -1 )exp (log) ( log) ö 3 +o ( 1 ) ( ) exp(-τ)-exp(-τ)= exp(-exp(-x)(1+ ( loglog) log ) exp( (log) ( log) 3 )) -exp(-exp(-x))+o( 1 ) ~ exp(-exp(-x))(exp((1+ ( loglog) log )( 1+ (log) ( log) 3 ) -1)-1)~ exp(-exp(-x))((1+ ( loglog) log )( 1+ (log) ( log) 3 ) -1) (17) 由 (14) 式和 (17) 式得到 (3) 式. 参考文献 : [1] JOHNSON NL,KOTZS.DiscreteDistributios[M].Bosto:Houghto MifliCompay,1969. [] FELLER W.AItroductiotoProbabilityTheoryadItsApplicatios[M].New York:Joh WileyadSos,1970. [3] MLADENOVICP,VUKMIROVICJ.RatesofCovergeceiCertaiLimitTheoremforExtremeValus[J].Joural ofmathematicalaalysisadapplicatios,010,363: [4] TONGJiṉju,PENGZuo-xiag.JoitDistributioofMaximaofCompleteadIcompleteSamplesfrom DiscreteRaṉ

5 第 1 期张耿, 等 : 离散型随机变量序列最大值的收敛速度 15 dom Variables[J]. 西南大学学报 : 自然科学版,010,3(1):5-8. [5] MLADENOVICP.LimitTheoremsfortheMaximum TermsofaSequeceofRadom VariableswithMargialGeomeṯ ricdistributios[j].extreme,1999,(4): [6] MLADENOVICP.A Geeralizatioofthe MejzleṟdeHaaTheorem [J].TheoryProbabApp,006,50(1): [7] LEADBETTER M R,LINDGREN G,ROOTZEN H.Extremesad Related PropertiesofRadom Sequecead Processes[M].New York:SprigeṟVerlag,1983. [8] NADARAJAH S,MITOV K.AsymptoticsofMaximaofDiscreteRadom Variables[J].Extreme,00,5(3): [9] PETROV V V.LimitTheoremsofProbabilityTheory:SequeceofIdepedetRadom Varibles[M].Vetor:Claṟ edopress,1995. [10]ANDERSONC W,COLESS G,HUSLERJ.MaximaofPoissoṉlikeVariablesadRelatedTriagularArrays [J]. AalsofAppliedProbability,1997,7(4): RateofCovergeceofMaximaofDiscreteRadom Variables ZHANG Geg, CHENShou-qua, WANG Chao SchoolofMathematicsadStatistics,SouthwestUiversity,Chogqig400715,Chia Abstract:LetX1,X,,Xbeasequeceofidepedetadideticalydistributeddiscreteradomvaṟ iablesadm=max{x1,x,,x}.wehavekowthelimitigbehaviorof M-b as.how- ever,bytuigtheparameterofthediscretedistributiotovaryas,itispossibletoobtaitheoṉ degeeraterateofcovergecefor M-b.Wecosidertherateofcovergeceofthe maximaofthree a familiesofdiscreteradomvariablesithispaper. Keywords:uiform distributio;biomialdistributio;poissodistributio;maximum;rateofcoveṟ gece a 责任编辑张栒

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第 35 卷第期西南大学学报 ( 自然科学版 ) 3 年月 Vol.35 No. JouralofSouthwestUiversity (NaturalScieceEditio) Feb. 3 文章编号 :673 9868(3) 69 4 一类积分型 Meyer-KiḡZeler-Bzier 算子的点态逼近赵晓娣, 孙渭滨宁夏大学数学计算机学院, 银川 75 摘要 : 应用一阶 DitziaṉTotik