2012年 MBA系统班数学应用题部分

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1 202 年 管 理 类 研 究 生 考 试 系 统 班 数 学 应 用 题 部 分 编 写 孙 华 明 前 言 随 着 MBA,MPA,MPAcc 考 试 的 合 并, 考 查 高 等 数 学 的 时 代 已 经 过 去, 为 了 体 现 考 试 的 公 平 性, 目 前 我 们 的 联 考 只 涉 及 初 等 数 学 的 知 识 点, 而 联 考 目 的 是 选 拔 具 有 高 素 质 高 洞 察 能 力 高 思 维 判 断 能 力 的 管 理 型 人 才, 命 题 方 式 就 应 该 更 灵 活 多 变 那 么 应 用 题 的 考 查 方 式 是 必 然 的 一 个 趋 势, 而 且 数 量 和 难 度 会 不 断 增 大 那 么, 我 们 又 该 如 何 面 对 和 复 习 备 考 呢? 我 认 为 历 年 的 真 题 是 必 须 多 做 的, 可 能 需 要 做 几 遍, 掌 握 其 精 髓 把 握 命 题 方 向, 在 我 的 讲 义 中, 基 本 以 历 年 真 题 为 主 导 ; 其 次, 解 题 技 巧 也 不 容 忽 视, 因 为 应 用 题 难 度 不 大, 关 键 是 文 字 多, 上 手 慢, 辅 助 一 些 必 要 的 解 题 技 巧 是 必 须 的 最 后, 对 于 学 有 余 力 的 同 学 可 以 做 一 些 相 对 应 的 小 学 奥 数 应 用 题, 对 于 培 养 思 维 有 一 定 的 帮 助 下 面, 我 将 历 年 真 题 反 复 研 究, 提 炼 出 十 个 类 型 与 大 家 逐 一 分 享 : 类 型 一 比 例 百 分 数 问 题 : 知 识 点 归 纳 : 部 分 量 () 总 量 = 部 分 量 所 占 的 比 例 变 化 量 (2) 变 化 率 = 变 前 量 变 后 量 (3) 变 后 量 ( 终 值 )= 变 前 量 (+ 变 化 率 ) 或 者 变 前 量 = 变 化 率

2 利 润 (4) 利 润 率 = 成 本 销 售 价 - 成 本 = = 成 本 销 售 价 - 成 本 销 售 价 (5) 销 售 价 = 成 本 (+ 利 润 率 ) 或 者 成 本 = 利 润 率 2 解 题 技 巧 : () 整 除 法 与 倍 数 的 综 合 运 用 例 如 :(0-) 电 影 开 演 时 观 众 中 女 士 与 男 士 人 数 之 比 为 5:4, 开 演 后 无 观 众 入 场, 放 映 一 小 时 后, 女 士 的 20%, 男 士 的 5% 离 场, 则 此 时 在 场 的 女 士 和 男 士 人 数 之 比 为 ( ) (A)4:5 (B) : (C) 5:4 (D) 20:7 (E) 85: 解 析 : 原 女 : 原 男 : 7 D 现 女 : 现 男 5( 0.2) : 4( 0.5) 4 : 20 :7 选 5 (2) 统 一 比 例 法 的 综 合 运 用 例 如 :(02-) 某 厂 生 产 的 一 批 产 品 经 产 品 检 验, 优 等 品 与 二 等 品 的 比 是 5:2, 二 等 品 与 次 品 的 比 是 5:, 则 该 批 产 品 的 合 格 率 为. 35 优 等 品 : 二 等 品 : 次 品 =25:0:2, 则 合 格 率 为 = 94.6% 37 (3) 中 间 量 设 为 单 位 或 者 00. 例 如 : 某 商 品 单 价 上 调 20% 后, 要 降 为 原 价 的 90%, 则 降 价 率 为 单 价 设 为 00, 上 调 后 变 为 20, 降 到 90, 则 降 价 率 为 25% 20 例 : 总 量 还 原 问 题 : 甲 乙 丙 丁 四 人 共 同 作 一 批 纸 盒, 甲 做 的 纸 盒 是 另 外 三 人 做 的 总 和 的 一 半, 乙 做 的 纸 盒 数 量 是 另 外 三 人 做 的 总 和 的 /3, 丙 做 的 纸 盒 数 量 是 另 外 三 人 做 的 总 和 的 /4, 丁 一 共 做 了 69 个, 问 甲 一 共 做 了 ( ) 个 纸 盒 (A)780 (B)450 (C)390 (D)260 (E)89 甲 做 的 纸 盒 是 总 和 的 /3, 乙 做 的 纸 盒 是 总 和 的 /4, 丙 做 的 纸 盒 是 总 和 的 /5, 则 丁 做 的 纸 盒 是 总 和 的 -/3-/4-/5=3/60, 总 共 有 盒 子 780, 甲 一 共 做 了 260 个 盒 子 选 D 2 一 堆 西 瓜, 第 一 次 卖 出 总 数 的 /4 又 6 个, 第 二 次 卖 出 余 下 的 /3 又 4 个, 第 三 次 卖 出 余 下 的 /2 又 3 个, 恰 好 卖 完 问 这 堆 西 瓜 原 有 ( ) 个 (A)2 (B)24 (C)28 (D)30 (E)32 使 用 还 原 法 : 第 二 次 剩 下 6 个, 第 一 次 剩 下 (6+4)/(-/3)=5 个 ; 原 来 有 (5+6)/(-/4) =28 个, 选 C 2

3 例 2: 比 例 变 化 问 题 : (06-0) 仓 库 中 有 甲 乙 两 种 产 品 若 干 件, 其 中 甲 占 总 库 存 量 的 45%, 若 再 存 入 60 件 乙 产 品 后, 甲 产 品 占 新 库 存 量 的 25%, 那 么 甲 产 品 原 有 件 数 为 ( ) (A)80 (B)90 (C)00 (D)0 (E) 以 上 结 论 均 不 正 确 原 甲 : 原 乙 = 45:55 = 9: 现 甲 : 现 乙 =25:75 = 9:27 找 出 对 应 量 6 份 =60 件, 则 甲 原 有 9 份 =90 件 2 袋 中 红 球 与 白 球 数 量 之 比 为 9:3 放 入 若 干 个 红 球 后, 红 球 与 白 球 数 量 之 比 变 为 5:3; 再 放 入 若 干 个 白 球 后, 红 球 与 白 球 数 量 之 比 变 为 3: 已 知 放 入 的 红 球 比 白 球 少 80 个, 问 原 来 共 有 多 少 球? ( ) A.860 B.900 C.950 D.960 E.000 原 红 : 原 白 = 9:3= 57:39 现 红 : 原 白 = 5:3 = 65:39 现 红 : 现 白 = 3:= 65:55 红 球 变 化 8 份, 白 球 变 化 6 份, 相 差 8 份, 对 应 80 个 球, 份 就 是 0 个 球, 原 来 共 有 96 份, 共 960 个 球 例 3: 多 重 比 例 问 题 : 某 俱 乐 部 男 女 会 员 的 人 数 比 是 3:2, 分 为 甲 乙 丙 三 组 已 知 甲 乙 丙 三 组 的 人 数 比 为 0:8:7, 甲 组 中 男 女 会 员 的 人 数 比 是 3:, 乙 组 中 男 女 会 员 的 人 数 比 是 5:3 则 丙 组 中 男 女 会 员 的 人 数 比 ( ) (A)3:4(B)5:9(C)5:7(D)3:5(E)6: 例 4: 增 长 率 问 题 : (-) 2007 年, 某 市 的 全 年 研 究 与 试 验 发 展 (R&D) 经 费 支 出 300 亿 元, 比 2006 年 增 长 20%, 该 市 的 GDP 为 0000 亿 元, 比 2006 年 增 长 0% 2006 年, 该 市 的 R&D 经 费 支 出 占 当 年 GDP 的 ( ) A..75% B. 2% C. 2.5% D. 2.75% E. 3% 2006 年 的 R&D 为 %, 2006 年 的 GDP 为 %, 则 2006 年 的 R&D 为 GDP 的 3

4 300 20% %, 选 D % 2: 增 长 率 与 数 列 相 结 合 : (0-0) 某 地 震 灾 区 现 居 民 住 房 的 总 面 积 为 a 平 方 米, 当 地 政 府 计 划 每 年 以 0% 的 住 房 增 长 率 建 设 新 房, 并 决 定 每 年 拆 除 固 定 数 量 的 危 旧 房 如 果 0 年 后 该 地 的 住 房 总 面 积 正 好 比 现 有 住 房 面 积 增 加 一 倍, 那 么, 每 年 应 该 拆 除 危 旧 房 的 面 积 是 ( ) 平 方 米 ( 注 : , ,. 2.9 精 确 到 小 数 点 后 一 位 ) A. 80 a B. 40 a C a D. 20 a E. 以 上 结 论 都 不 正 确 设 每 年 应 该 拆 除 危 旧 房 的 面 积 是 x 平 方 米, 则 : % ax 0% 0% 0% 2a a x2a x a, 选 C. 80 例 5: 打 折 问 题 : 原 价 a 元 可 购 买 5 件 衬 衫, 现 价 a 元 可 购 买 8 件 衬 衫, 则 衬 衫 降 价 的 百 分 比 是 ( ) A.25% B.37.5% C.40% D. 60% E. 45% 8 5 设 a=40, 则 原 价 每 件 8 元, 现 价 每 件 5 元, 则 降 价 率 为 60%, 选 D 5 n 归 纳 : 原 价 a 元 买 n 件, 现 价 a 元 买 m 件 (m>n), 则 降 价 率 为 ( ) 00%, 相 当 于 打 m n ( ) 折 m a 满 a 元 返 b 元 的 购 物 券, 相 当 于 打 ( a b a b 满 a 元 返 b 元 现 金, 相 当 于 打 ( a b ) 折, 降 价 率 为 ( a ) b ) 折, 降 价 率 为 ( a b ) 例 6: 利 润 率 问 题 : 商 店 出 售 两 套 礼 盒, 均 以 20 元 出 售, 按 进 价 计 算, 其 中 一 套 盈 利 25%, 另 一 套 亏 损 25 %, 结 果 商 店 ( ) A. 不 赔 不 赚 B. 盈 利 24 元 C. 亏 损 28 元 D. 亏 了 24 元 E. 以 上 答 案 均 不 正 确 4

5 20 20 原 来 的 成 本 总 和 为 448 元, 现 在 总 售 价 为 420 元, 亏 了 28 元, 选 C 25% 25% 2 某 商 品 由 于 进 货 价 格 降 低 了 5%, 使 得 利 润 率 提 高 了 2 个 百 分 点, 则 现 在 的 利 润 率 为 ( )% (A)40(B)35(C)38(D)45(E)50 设 进 价 为 00, 降 低 了 5%, 新 的 进 货 价 为 85, 原 利 润 为 x 元 ; x x 5 2% x 9, 则 现 在 的 利 润 率 为 40%, 选 A 例 7: 多 因 素 利 润 问 题 : (07-) 某 电 子 产 品 一 月 份 按 原 定 价 的 80% 出 售, 能 获 利 20%, 二 月 份 由 于 进 价 降 低, 按 同 样 原 定 价 75% 出 售, 却 能 获 利 25%, 那 么 二 月 份 进 价 是 一 月 份 的 百 分 之 ( ) A. 92 B. 90 C. 85 D. 80 E. 75 设 原 定 价 为 00, 则 有 一 月 份 进 价 为, 二 月 份 进 价 为 所 以 60 = % 选 B 3 2(04-) 某 工 厂 生 产 某 种 新 型 产 品, 一 月 份 每 件 产 品 销 售 得 利 润 是 出 厂 价 的 25%( 假 设 利 润 等 于 出 厂 价 减 去 成 本 ), 二 月 份 每 件 产 品 出 厂 价 降 低 0%, 成 本 不 变, 销 售 件 数 比 一 月 份 增 加 80%, 则 销 售 利 润 比 一 月 份 的 销 售 利 润 增 长 ( ) (A)6% (B)8% (C)5.5% (D)25.5% (E) 以 上 结 论 均 不 正 确 出 厂 价 成 本 利 润 一 月 二 月 二 月 利 润 : , 00% 8%, 从 而 选 B 25 例 8: 两 因 素 增 长 率 问 题 : 王 女 生 以 一 笔 资 金 分 别 投 入 股 市 和 基 金, 但 因 故 要 抽 回 一 部 分 资 金 若 从 股 市 中 抽 回 0%, 从 基 金 中 抽 回 5%, 则 总 投 资 额 减 少 8%; 若 从 股 市 和 基 金 中 各 抽 回 5% 和 0%, 则 其 总 投 资 额 减 少 30 万 元 其 总 投 资 额 为 ( )(2007 年 0 月 ) A 000 万 元 B 500 万 元 C 2000 万 元 D 2500 万 元 E 3000 万 元 解 析 股 票 0% 3% 3 8% 基 金 5% 2% 2 股 票 5% 3% 3 3% 基 金 0% 2% 2 5

6 30 30 万 对 应 3%, 总 的 投 资 金 额 为 000 3% 万 元 选 A 2 某 高 校 2007 年 度 毕 业 学 生 7650 名, 比 上 年 度 增 长 2%, 其 中 本 科 毕 业 生 比 上 年 度 减 少 2%, 而 研 究 生 毕 业 数 量 比 上 年 度 增 加 0% 那 么 这 所 高 校 2006 年 毕 业 的 本 科 生 有 ( ) (A)2450 (B)2500 (C)4900 (D)5000 (E)500 解 析 上 年 度 总 人 数 为 = % 本 科 生 -2% 8% 2 2% 研 究 生 0% 4% 2 所 以 2006 年 有 本 科 生 人, 选 D 3 类 型 二 平 均 数 问 题 : 知 识 点 归 纳 : x 算 术 平 均 : x x 2 x3 x n 2 解 题 技 巧 : 交 叉 法 : 解 法 提 示 :A 部 分 的 数 值 为 a,b 部 分 的 数 值 为 b,a+b 的 平 均 值 为 C, 则 A: a c b C B: b a - c n 例 : 直 接 求 平 均 数 : 某 同 学 9 门 课 的 平 均 考 试 成 绩 为 80 分, 后 查 出 某 两 门 课 的 试 卷 分 别 少 加 了 5 分 和 4 分, 则 该 同 学 的 实 际 平 均 成 绩 应 为 ( ) A. 90 分 B. 80 分 C. 82 分 D. 8 分 E. 以 上 答 案 均 不 正 确 平 均 每 门 功 课 少 加 了 分, 则 实 际 平 均 分 为 8 分 选 D 2(0-0) 某 学 生 在 军 训 时 进 行 打 靶 测 试, 共 射 击 0 次 他 的 第 次 射 击 分 别 射 中 9.0 环 8.4 环 8. 环 9.3 环, 他 的 前 9 次 射 击 的 平 均 环 数 高 于 前 5 次 的 平 均 环 数 若 要 6

7 使 0 次 射 击 的 平 均 环 数 超 过 8.8 环, 则 他 第 0 次 射 击 至 少 应 该 射 中 ( ) 环 ( 报 靶 成 绩 精 确 到 0. 环 ) A.9.0 B.9.2 C.9.4 D.9.5 E. 9.9 由 前 9 次 射 击 的 平 均 环 数 高 于 前 5 次 的 平 均 环 数 可 以 推 出 前 5 次 的 平 均 环 数 低 于 后 4 次 的 平 均 环 数, 而 后 4 次 的 平 均 环 数 是 8.7, 所 以 他 前 9 的 平 均 环 数 低 于 8.7, 则 他 第 0 次 4 射 击 至 少 应 该 射 中 9.8 环, 只 能 选 E 例 2: 由 平 均 数 求 权 重 : (03-) 车 间 有 40 人, 某 技 术 操 作 考 核 的 平 均 成 绩 为 80 分, 其 中 男 工 平 均 成 绩 为 83 分, 女 工 平 均 成 绩 为 78 分, 该 车 间 有 女 工 ( ) 人 (A)6 人 (B)8 人 (C)20 人 (D)24 人 (E) 28 人 女 工 男 工 所 以 优 秀 生 人 数 为 人 选 D 5 2(09 0) 某 班 同 学 在 一 次 测 验 中, 平 均 成 绩 为 75 分, 其 中 男 同 学 人 数 比 女 同 学 多 80%, 而 女 同 学 平 均 成 绩 比 男 同 学 高 20%, 则 女 同 学 的 平 均 成 绩 为 ( ) (A)83 分 (B)84 分 (C)85 分 (D)86 分 (E) 87 分 5 法 一 : 交 叉 法 : 设 女 工 平 均 成 绩 为 x 分, 则 男 工 均 分 为 6 x ; 男 5 6 x x 女 x 75 x 6 x 75.8 即, 得 x x 6 法 二 : 设 女 工 人 数 为 x 人, 男 工 为.8x, 女 工 平 均 分 为 m 分, 则 男 工 平 均 分 为 5 mx.8 mx 6 75, 得 m 84, 选 B x.8x 5 6 m 分, 类 型 三 浓 度 问 题 : 知 识 点 归 纳 7

8 溶 质 () 溶 液 = 溶 质 + 溶 剂 (2) 浓 度 = 溶 液 2 解 题 技 巧 : () 交 叉 法 (2) 经 验 公 式 法 例 : 混 合 和 蒸 发 问 题 : 把 含 盐 5% 的 食 盐 水 与 含 盐 8% 的 食 盐 水 混 合 制 成 含 盐 6% 的 食 盐 水 600 克, 分 别 应 取 两 种 食 盐 水 各 多 少 千 克? (A)300 克 和 300 克 (B)400 克 和 200 克 (C)200 克 和 400 克 (D)250 克 和 350 克 (E)350 克 和 250 克 A 盐 水 5% 2% 克 6% B 盐 水 8% % 200 克 选 B 2 有 含 盐 8% 的 盐 水 40 千 克, 要 配 制 成 含 盐 20% 的 盐 水, 须 加 盐 多 少 千 克? (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 (E) 以 上 结 论 均 不 正 确 原 来 盐 水 8% 80% 千 克 20% 加 入 盐 00% 2% 3 6 千 克 选 B 3 一 种 溶 液, 蒸 发 掉 一 定 量 的 水 后, 溶 液 的 浓 度 为 0%, 再 蒸 发 掉 同 样 多 的 水 后, 浓 度 变 为 2%, 则 第 三 次 蒸 发 小 同 样 多 的 水 后, 溶 液 的 浓 度 变 为 ( ) (A)4% (B)5% (C)6% (D)7% (E)8% 蒸 发 后 溶 液 2% 0% 5 第 二 次 蒸 发 : 0% 蒸 发 的 水 0% 2% 第 三 次 蒸 发 : 蒸 发 后 溶 液 x 2% 4 2% 蒸 发 的 水 0% x-2% 2% 4 得 出 比 例 方 程 : x 5%, 选 B x 2% 变 式 : 一 种 食 盐 溶 液 加 入 一 定 量 的 盐 后, 溶 液 的 浓 度 为 0%, 再 加 入 同 样 多 的 盐 后, 浓 度 变 为 20%, 则 第 三 次 再 加 入 同 样 多 的 盐 后, 溶 液 的 浓 度 变 为 ( ) 第 二 次 : 盐 00% 0% 30% 盐 水 20% 70% 7 第 三 次 盐 00% x-30% x 盐 水 30% 00%-x 8 8

9 x 30% 3.4 得 出 比 例 方 程 : 9x3.4 x 37.8% 00% x 8 9 例 2: 多 次 兑 水 问 题 : 一 桶 纯 酒 精 倒 出 8 升 后, 用 清 水 补 满,, 然 后 又 倒 出 4 升, 再 用 水 补 满 此 时 测 得 酒 精 与 水 之 比 为 8:7, 则 此 桶 水 的 容 积 是 ( ) (A)28 升 (B)30 升 (C)40 升 (D)48 升 (E)60 升 ( V 8)( V 4) 8 V 40, 选 C 2 V 25 2 一 瓶 浓 度 为 20% 的 消 毒 液 倒 出 2/5 后, 加 满 清 水, 再 倒 出 2/5 后, 又 加 满 清 水, 此 时 消 毒 液 的 浓 度 为 ( ) (A)7.2% (B)3.2% (C)5.0% (D)4.8% (E)3.6% % 3.2%, 选 B 一 杯 浓 度 为 80% 的 酒 精, 体 积 为 0 升, 每 次 倒 出 升 后 再 加 满 清 水, 则 按 照 这 样 的 操 作 至 少 要 倒 ( ) 次 才 能 使 浓 度 低 于 50%? (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 (E)6 假 设 操 作 n 次 实 现 任 务 : n 0 n 80% 50% n 5, 选 0 ( 容 积 - 第 一 次 到 出 量 ) ( 容 积 - 第 n 次 到 出 量 ) 经 验 公 式 总 结 : 最 后 浓 度 = 最 初 浓 度 n 容 积 类 型 四 容 斥 问 题 ( 画 饼 问 题 ) 知 识 点 : 在 计 数 时, 为 了 使 重 叠 部 分 不 被 重 复 计 算, 人 们 研 究 出 一 种 新 的 计 数 方 法, 这 种 方 法 的 基 本 思 想 是 先 不 考 虑 重 叠 的 情 况, 把 包 含 于 某 内 容 中 的 所 有 对 象 的 数 目 先 计 算 出 来, 然 后 再 把 计 数 时 重 复 计 算 的 数 目 排 斥 出 去, 使 得 计 算 的 结 果 既 无 遗 漏 又 无 重 复, 这 种 计 数 的 方 法 称 为 容 斥 原 理 2 解 题 技 巧 : () 画 出 文 氏 图, 理 清 每 一 部 分 的 含 义 9

10 A AB B A ABC B (2) 熟 练 掌 握 集 合 计 数 公 式 的 运 用 : C n( A B) A) B) A B) n( A B C) A) B) C) A B) B C) C A) A B C) 注 明 :N 表 示 元 素 个 数 或 面 积 的 意 思 例 : 两 饼 问 题 : (04-0) 某 单 位 有 职 工 40 人, 其 中 参 加 计 算 机 考 核 的 有 3 人, 参 加 外 语 考 核 的 有 20 人, 有 8 人 没 有 参 加 任 何 一 种 考 核, 则 同 时 参 加 这 两 项 考 核 的 职 工 有 ( ) 人 A.0 B.3 C.5 D.9 E.20 至 少 参 加 一 种 考 核 的 有 人, 由 公 式 n( A B) A) B) A B), 计 算 出 n ( A B) 人 选 D 2(0-) 参 加 某 国 际 学 术 研 讨 会 的 60 名 学 者 中, 亚 裔 学 者 3 人, 博 士 33 人, 非 亚 裔 学 者 中 无 博 士 学 位 的 4 人 根 据 上 述 陈 述, 参 加 此 次 国 际 研 讨 会 的 亚 裔 博 士 有 ( ) 人? A. 人 B. 2 人 C. 4 人 D. 7 人 E.8 人 解 析 : n( A B) 由 公 式 n( A B) A) B) A B), 可 得 n ( A B) 人 选 E 3(08-) 9 申 请 驾 驶 执 照 时, 必 须 参 加 理 论 考 试 和 路 考, 且 两 种 考 试 均 通 过 若 在 同 一 批 学 员 中 有 70% 的 人 通 过 了 理 论 考 试,80% 的 人 通 过 了 路 考, 则 最 后 领 到 驾 驶 执 照 的 人 有 60% ()0% 的 人 两 种 考 试 都 没 有 通 过 (2)20% 的 人 仅 同 过 了 路 考 选 D, 设 通 过 理 论 考 试 ---A 通 过 路 靠 ---B 则 PA ( ) 0.7, PB ( ) 0.8 条 件 ()P( AB)=P( AB)=0. P(A+B)=0.9=P(A)+P(B)-P(AB) P(AB) 0.6 () 充 分 条 件 (2) 如 下 图, 故 (2) 也 充 分 0

11 例 2: 三 饼 问 题 : 某 专 业 有 学 生 50 人, 现 开 设 有 甲 乙 丙 三 门 选 修 课 有 40 人 选 修 甲 课 程,36 人 选 修 乙 课 程,30 人 选 修 丙 课 程, 兼 选 甲 乙 两 门 课 程 的 有 28 人, 兼 选 甲 丙 两 门 课 程 的 有 26 人, 兼 选 乙 丙 两 门 课 程 的 有 24 人, 甲 乙 丙 三 门 课 程 均 选 的 有 20 人, 问 三 门 课 程 均 未 选 的 有 ( ) 人? A. B.2 C.3 D.4 E.5 由 公 式 n( A B C) A) B) C) A B) B C) C A) A B C) 可 得 n( A B C) 48, 则 n ( A B C) 人 选 B 2(08-0) 某 班 同 学 参 加 智 力 竞 赛, 共 有 A, BC, 三 题, 每 题 或 得 0 分 或 得 满 分 竞 赛 结 果 无 人 得 0 分, 三 题 全 部 答 对 的 有 人, 答 对 两 题 的 有 5 人 答 对 A 题 的 人 数 和 答 对 B 题 的 人 数 之 和 为 29 人, 答 对 A 题 的 人 数 和 答 对 C 题 的 人 数 之 和 为 25 人, 答 对 B 题 的 人 数 和 答 对 C 题 的 人 数 之 和 为 20 人, 那 么 该 班 的 人 数 为 ( ) A.20 B.25 C.30 D.35 E.40 选 A A B C A+B= A B,C 2 A+C=25 上 图 中 区 人 数 被 算 了 次 (, 都 被 算 了 次 ), 解 : 2 4 AB A B B+C=20 区 人 数 被 算 了 次 ( 如 公 共 部 分, 既 在 中, 又 在 中 ) 2 3 设 区 人 数 为 x, 区 人 数 为 5 人, 区 人 数 为 人, 2x x4 故 总 共 人

12 类 型 五 工 程 问 题 知 识 点 : 工 作 量 = 工 作 效 率 工 作 时 间, 有 时 候 工 作 总 量 默 认 为 单 位 2 解 题 技 巧 : () 设 小 不 设 大 原 则 例 如 : 某 项 工 程 8 个 人 用 35 天 完 成 了 全 工 程 的 /5, 如 果 再 增 加 6 个 人, 那 么 完 成 剩 余 的 工 程 还 需 要 的 天 数 是 ( ) A 48 B 35 C 76 D 80 A 20 假 设 个 人 天 完 成 一 份 工 作 量, 则 8 个 人 用 35 天 完 成 280 份 工 作 量, 还 剩 下 20 份 工 作 量, 4 人 做 的 话 则 需 要 20/4=80 天 完 成 选 D (2) 等 量 代 换 法 : 例 如 : 甲 单 独 做 5 天 可 完 成 的 某 项 工 作, 乙 单 独 做 0 天 就 可 完 成, 假 设 甲 先 做 了 2 天 后 再 由 乙 接 下 去 做, 乙 要 完 成 这 项 工 作 还 需 要 ( ) 天 A /5 B 3/4 C 4/5 D 2 A 甲 做 5 天 的 量 就 是 乙 做 0 天 的 量, 则 甲 做 3 天 量 就 是 乙 做 2 天 的 量, 当 甲 做 了 2 天 后, 乙 做 还 需 要 2 天 即 可 选 D (3) 比 较 法 : 例 如 : 甲 乙 两 工 程 队 合 作 做 某 项 工 程, 合 作 4 天 后 完 成 工 程 的 一 半, 剩 下 的 工 程 由 甲 队 单 独 做 8 天, 乙 队 再 接 着 单 独 做 2 天 全 部 完 成, 则 甲 乙 两 队 单 独 完 成 此 项 工 程 所 用 时 间 比 为 ( ) A 2: B :2 C 3:2 D 2:3 A 4:3 由 甲 队 干 4 天, 乙 队 干 4 天 则 完 成 工 程 的 /2, 甲 队 干 8 天, 乙 队 干 2 天 也 完 成 工 程 的 /2, 发 现 甲 做 4 天 的 量 就 是 乙 做 2 天 的 量, 所 以 甲 乙 单 独 完 成 此 项 工 程 所 用 时 间 比 为 2: 选 A (4) 追 差 法 : 例 如 :(07-) 修 一 条 公 路, 甲 队 单 独 施 工 需 要 40 天 完 成, 乙 队 单 独 施 工 需 要 24 天 完 成 现 两 队 同 时 从 两 端 开 工, 结 果 在 距 该 路 中 点 7.5 公 里 处 会 合 完 工 则 这 条 公 路 的 长 度 为 ( ) 60 公 里 B. 70 公 里 C. 80 公 里 D. 90 公 里 E. 00 公 里 两 个 队 的 工 作 效 率 都 已 知, 故 可 先 求 出 工 期 为 5 天 进 而 完 工 时 甲 队 完 成 了 总 工 程 量 的 3/8, 故 7.5 公 里 对 应 于 总 工 程 量 的 /8, 所 以 公 路 长 度 为 7.5 8=60 公 里, 选 A. 例 : 施 工 问 题 : 某 施 工 队 承 担 了 开 凿 一 条 长 为 2400m 隧 道 的 工 程, 在 掘 进 了 400 m 后, 由 于 改 进 了 施 工 工 艺, 每 天 比 原 计 划 多 掘 进 2 m, 最 后 提 前 50 天 完 成 了 施 工 任 务, 原 计 划 施 工 工 期 是 ( ) A.200 天 B.240 天 C.250 天 D.300 天 E. 350 天 设 原 计 划 施 工 效 率 是 x : 2

13 则 50 x 8, 则 原 计 划 施 工 工 期 是 300 天 选 D x x x 一 件 工 作, 如 果 甲 单 独 做, 那 么 甲 按 照 规 定 时 间 可 提 前 2 天 完 成, 乙 则 要 超 过 规 定 时 间 3 天 完 成 现 在, 甲 乙 二 人 合 作 2 天 后, 剩 下 的 继 续 由 乙 单 独 做, 刚 好 在 规 定 时 间 内 完 成 若 二 人 合 作, 则 完 成 这 项 工 程 需 要 ( ) 天 (00% 命 中 ) (A) 5 (B)6 (C)8 (D)0 (E)5 应 用 题 十 大 技 巧 之 纵 向 比 较 法 : 设 规 定 时 间 为 t 天, 则 甲 单 独 完 成 要 t 2 天, 乙 单 独 完 成 要 t 3 天, 而 可 以 看 出 乙 做 t 天, 甲 做 2 天 也 能 完 成 工 程, 则 可 以 得 出 甲 做 2 天 的 量 等 于 乙 做 3 天 的 量, 可 以 列 等 式 :, 甲 的 效 率 乙 的 效 率 t t t 2, 则 两 人 合 作 需 要 6 天 完 成, 选 B (06-) 甲 乙 两 项 工 程 分 别 由 一 二 工 程 队 负 责 完 成 晴 天 时, 一 队 完 成 工 程 需 要 2 天, 二 队 完 成 工 程 需 要 5 天 ; 雨 天 时, 一 队 的 工 作 效 率 是 晴 天 时 的 60%, 二 队 的 工 作 效 率 是 晴 天 时 的 80%, 结 果 两 队 同 时 开 工 并 同 时 完 成 各 自 的 工 程, 那 么 在 这 段 施 工 期 间 雨 天 的 天 数 为 ( ) (2006 年 月 真 题 ) A. 8 B. 0 C. 2 D. 5 E. 以 上 结 论 均 不 正 确 法 一 : 工 程 问 题 总 是 和 工 作 效 率 相 挂 钩 晴 天 时, 一 队 的 工 作 效 率 为 /2, 二 对 的 工 作 效 率 为 /5 雨 天 时, 一 队 的 工 作 效 率 变 为 /2 60%=/20, 二 队 的 工 作 效 率 变 为 /5 80%=4/75 设 这 段 施 工 期 间 晴 天 的 天 数 和 雨 天 的 天 数 分 别 为 a,b, 则 有 a/2+b/20=,a/5+4b/75=, 两 式 相 减, 得 a/60=b/300, b=5a, 将 其 代 入 第 一 个 式 子, 得 a=3, 从 而 b=5, 选 D. 法 二 : 方 法 是 将 雨 天 换 成 晴 天 一 队 工 作 一 个 雨 天, 相 当 于 工 作 60% 个 晴 天 二 队 工 作 一 个 雨 天, 相 当 于 工 作 80% 个 晴 天 所 以 将 一 个 雨 天 换 成 晴 天, 二 队 比 一 队 多 工 作 (80%-60%) 天 最 后 全 换 成 晴 天 时, 二 队 比 一 队 多 工 作 (5-2) 天 所 以 共 有 (5-2) (80%-60%)=5 个 雨 天 例 2: 分 报 酬 问 题 : 甲 乙 丙 三 人 合 修 一 段 路, 甲 乙 合 修 5 天 完 成 全 部 工 程 的 /3, 乙 丙 合 修 2 天 完 成 了 余 下 的 /4, 然 后 甲 丙 合 修 了 5 天 才 完 工 如 果 整 个 工 程 的 报 酬 为 800 元, 那 么 乙 完 成 的 工 程 量 应 得 报 酬 ( ) 元 3

14 A 35 B 480 C 735 D 750 E 800 设 xyz 分 别 是 甲 乙 丙 三 人 每 天 完 成 的 工 程 数, 全 部 工 程 设 为 因 为 甲 乙 5 天 修 了 /3 所 以 : x+y=/5...⑴ 同 理 : y+z=/2...⑵ x+z=/0...⑶ 这 只 是 个 三 元 一 次 方 程 组 解 后 就 是 y=/40 因 为 乙 一 共 干 了 7 天 所 以 他 就 完 成 了 工 程 的 7/40 乘 以 800, 分 得 的 报 酬 为 735 元 选 C 例 3: 牛 吃 草 问 题 : 牧 场 上 有 一 片 青 草, 每 天 都 生 长 得 一 样 快 这 片 青 草 供 给 0 头 牛 吃, 可 以 吃 22 天, 或 者 供 给 6 头 牛 吃, 可 以 吃 0 天, () 如 果 供 给 5 头 牛 吃, 可 以 吃 几 天? (2) 要 在 5 天 内 吃 完 所 有 草, 至 少 放 几 头 牛? (3) 要 保 证 草 永 远 都 吃 不 完, 至 多 放 几 头 牛? 设 一 头 牛 一 天 吃 份 草, 则 0 头 牛 22 天 吃 了 220 份 草,6 头 牛 0 天 吃 了 60 份 草, 即 2 天 长 出 60 份 新 草, 天 长 出 5 份 新 草, 原 来 牧 场 有 *5=0 份 草 () 问 5 头 实 际 就 只 有 0 头 牛 在 吃 牧 场 上 的 原 来 的 草, 则 需 要 0/0= 天 吃 完 (2) 每 天 需 要 吃 掉 0/5=22 份 草, 则 需 要 22+5=27 头 牛 ;(3) 至 多 放 5 头 牛 另 解 : 列 方 程 解 应 用 题 2 一 个 水 池, 上 部 装 有 若 干 同 样 粗 细 的 进 水 管, 底 部 装 有 一 个 常 开 的 排 水 管, 当 打 开 4 个 进 水 管 时, 需 要 4 小 时 才 能 注 满 水 池 ; 当 打 开 3 个 进 水 管 时, 需 要 8 个 小 时 才 能 注 满 水 池, 现 在 需 要 2 个 小 时 内 将 水 池 注 满, 至 少 要 打 开 进 水 管 ( ) (A)8 个 (B)7 个 (C)6 个 (D)5 个 (E)4 个 设 进 水 管 的 效 率 为 x, 排 水 管 的 效 率 为 y; 8 3x y 则 列 方 程 得 : 44x y x y n 设 至 少 需 要 n 个 进 水 管 才 能 满 足 要 求, n 6 选 C ; 4

15 3 山 脚 下 有 池 塘, 山 泉 以 固 定 的 流 量 不 停 地 向 池 塘 内 流 淌 现 池 塘 中 有 一 定 深 度 的 水, 若 用 一 台 A 型 抽 水 机 则 小 时 后 正 好 把 池 塘 的 水 抽 完 ; 若 用 两 台 A 型 抽 水 机 则 20 分 钟 正 好 把 池 塘 中 的 水 抽 完, 若 用 三 台 A 型 抽 水 机 同 时 抽 水, 则 需 要 ( ) 分 钟 正 好 把 池 塘 中 的 水 抽 完 (A)0 (B)2 (C)4 (D)6 (E)8 思 路 : 设 池 塘 中 的 水 有 a, 山 泉 每 小 时 的 流 量 是 b, 一 台 A 型 抽 水 机 每 小 时 抽 水 量 是 x. 根 据 一 台 A 型 抽 水 机 则 小 时 后 正 好 能 把 池 塘 中 的 水 抽 完, 得 x=a+b; 根 据 用 两 台 A 型 抽 水 机 则 20 分 钟 正 好 把 池 塘 中 的 水 抽 完, 得 2x=a+ b, 用 x 表 示 a 和 b. 设 若 用 三 台 A 型 抽 水 机 同 时 抽, 则 需 要 t 小 时 恰 好 把 池 塘 中 的 水 抽 完, 再 进 一 步 根 据 3tx=a+bt 求 解. 解 : 设 池 塘 中 的 水 有 a, 山 泉 每 小 时 的 流 量 是 b, 一 台 A 型 抽 水 机 每 小 时 抽 水 量 是 x. 根 据 题 意, 得, 解, 得 b= x,a= x. 设 若 用 三 台 A 型 抽 水 机 同 时 抽, 则 需 要 t 小 时 恰 好 把 池 塘 中 的 水 抽 完. 3tx=a+bt, t= =. 即 t=2 分 钟 答 : 若 用 三 台 A 型 抽 水 机 同 时 抽, 则 需 要 2 分 钟 恰 好 把 池 塘 中 的 水 抽 完, 选 B 类 型 六 行 程 问 题 知 识 点 归 纳 : () 路 程 = 速 度 时 间 (2) 直 线 型 相 遇 与 追 及 问 题 : C V甲 AC 等 量 关 系 : S甲 S乙 S, ( 时 间 相 同 ) V BC (3) 圆 圈 型 同 向 问 题 : 乙 5

16 等 量 关 系 :( 经 历 时 间 相 同 ) S甲 S乙 S(S 代 表 周 长,S 甲 代 表 甲 走 了 的 路 程,S 乙 代 表 乙 走 了 的 路 程 ) 甲 乙 每 相 遇 一 次, 甲 比 乙 多 跑 一 圈, 若 相 遇 n 次, 则 有 S S ns V甲 S甲 S乙 ns = V S S 乙 乙 乙 (4) 圆 圈 型 逆 向 问 题 : 甲 乙 等 量 关 系 :S S S (S 代 表 周 长,S 甲 代 表 甲 走 了 的 路 程,S 乙 代 表 乙 走 了 的 路 程 ) 甲 乙 即 : 每 相 遇 一 次, 甲 与 乙 路 程 之 和 为 一 圈, 若 相 遇 n次 有 S S ns V S ns S V S S 甲 甲 乙 乙 乙 乙 甲 解 题 技 巧 : 在 做 圆 圈 型 追 及 相 遇 题 时, 在 求 第 k 次 相 遇 情 况 时, 可 以 将 k- 次 相 遇 看 成 起 点 进 行 分 析 考 虑 乙 2 解 题 技 巧 : () 多 画 线 段 图 (2) 纵 向 比 较 法 (3) 追 差 法 例 : 单 车 问 题 : 小 王 骑 车 到 城 里 开 会, 以 每 小 时 2 千 米 的 速 度 行 驶,2 小 时 可 以 到 达 车 行 了 5 分 钟 后, 发 现 忘 记 带 文 件, 以 原 速 返 回 原 地, 这 时 他 每 小 时 行 ( ) 千 米 才 能 按 时 到 达? A.4 B.6 C.8 D.20 E. 22 要 求 小 王 返 回 原 地 后 到 城 里 的 速 度, 就 必 须 知 道 从 家 到 城 里 的 路 程 和 剩 下 的 时 间 根 据 题 意, 这 两 个 条 件 都 可 以 求 出 5 分 钟 =/4 小 时 从 家 到 城 里 的 路 程 :2 2=24( 千 米 ) 返 回 后 还 剩 的 时 间 :2-(/4) 2=3/2( 小 时 ) 返 回 后 去 城 里 的 速 度 :24 (3/2)=6( 千 米 / 时 ) 答 : 他 每 小 时 行 6 千 米 才 能 按 时 到 达 例 2: 车 桥 问 题 6

17 知 识 点 补 充 : 列 车 过 桥 总 路 程 = 车 长 + 桥 长 错 车 时 间 =( 甲 车 身 长 + 乙 车 身 长 ) ( 甲 车 速 度 + 乙 车 速 度 ) 超 车 时 间 =( 甲 车 身 长 + 乙 车 身 长 ) ( 甲 车 速 度 - 乙 车 速 度 ) 一 条 隧 道 长 360 米, 某 列 火 车 从 车 头 入 洞 到 全 车 进 洞 用 了 8 秒 钟, 从 车 头 入 洞 到 全 车 出 洞 共 用 了 20 秒 钟 这 列 火 车 长 ( ) 米 采 用 比 差 法, 发 现 2 秒 走 了 360 米 的 隧 道, 速 度 为 30 米 / 秒, 车 身 长 为 30*8=240 米 2 客 车 长 82 米, 每 秒 行 36 米 货 车 长 48 米, 每 秒 行 30 米 两 车 在 平 行 的 轨 道 上 相 向 而 行 从 相 遇 到 错 车 而 过 需 ( ) 时 间? 错 车 时 间 为 =(82+48)/(36+30)=330/66=5 秒 3(0-0) 在 一 条 与 铁 路 平 行 的 公 路 上 有 一 行 人 与 一 骑 车 人 同 向 行 进, 行 人 速 度 为 3.6 千 米 / 小 时, 骑 车 人 速 度 为 0.8 千 米 / 小 时 如 果 一 列 火 车 从 他 们 的 后 面 同 向 匀 速 驶 来, 它 通 过 行 人 的 时 间 是 22 秒, 通 过 骑 车 人 的 时 间 是 26 秒, 则 这 列 火 车 的 车 身 长 为 ( ) 米 A.86 B. 268 C. 68 D.286 E. 88 方 法 一 : 设 火 车 的 速 度 是 x 米 / 秒, 则 26 (x-3)=22 (x-), 解 得 x=4, 车 身 长 为 286 米 方 法 二 : 设 火 车 的 车 长 是 x 米, 则 x 22 x 26 3, 解 得 x=4, 车 身 长 为 286 米, 选 D 例 3: 相 遇 问 题 甲 乙 两 人 从 相 距 8 千 米 的 两 地 同 时 出 发, 相 向 而 行, 小 时 48 分 相 遇 如 果 甲 比 乙 早 出 发 40 分 钟, 那 么 在 乙 出 发 后 小 时 30 分 相 遇, 求 两 人 每 小 时 各 走 几 千 米?( ) 7

18 (A)4,5 (B)4.5,5.5 (C)5,4 (D)5.5,4.5 (E) 以 上 均 不 对 作 图 纵 向 比 较 : 甲 22 分 钟 走 的 路 程 = 乙 8 分 钟 走 的 路 程 所 以 甲 速 度 : 乙 速 度 =8:22=9: 选 B 2 甲 乙 丙 三 车 同 时 从 A 地 出 发 到 B 地 去 甲 乙 两 车 的 速 度 分 别 为 60 千 米 / 小 时 和 48 千 米 / 小 时, 有 一 辆 卡 车 同 时 从 B 地 迎 面 开 来, 分 别 在 他 们 出 发 后 6 小 时 7 小 时 8 小 时 先 后 与 甲 乙 丙 车 相 遇 丙 车 的 速 度 为 ( ) 千 米 / 小 时 (A)35 (B)39 (C)40 (D)55 (E)63 设 丙 车 速 度 为 x, 卡 车 速 度 为 y, 则 有 60*6+6y=48*7+7y=8x+8y, 解 得 x=39, y=24, 所 以 丙 车 速 度 为 39 千 米 / 时 选 B 3. 甲 乙 两 车 分 别 从 A B 两 地 出 发, 相 向 而 行 出 发 时, 甲 乙 的 速 度 比 是 5:4, 相 遇 后, 甲 的 速 度 减 少 20%, 乙 的 速 度 增 加 20%, 这 样, 当 甲 到 达 B 地 时, 乙 离 A 地 还 有 0 千 米 那 么 A B 两 地 相 距 ( ) 千 米? A.350 B.400 C.450 D.500 E.550 选 C S 甲 :S 乙 = 5:4 S 甲 2:S 乙 2 = 4: 份 对 应 0 千 米, 份 就 是 50 千 米, 则 总 路 程 为 9 份 为 450 千 米 例 4: 重 复 相 遇 问 题 两 列 火 车 从 A 城 B 城 相 向 而 行, 第 一 次 相 遇 在 离 A 地 500 公 里 处, 相 遇 后, 两 列 车 继 续 前 进, 各 自 到 达 目 的 地 后, 又 折 回 第 二 次 相 遇 在 离 B 城 300 公 里 处, 问 A 城 B 城 相 距 ( ) 公 里 A.600 B.800 C.000 D.200 E.500 如 上 图, 两 列 火 车 从 出 发 到 第 二 次 相 遇 一 共 行 了 三 个 全 程, 分 别 为 : 第 一 列 火 车 从 A 城 到 B 城 ; 第 二 列 火 车 从 B 城 到 A 城 ; 第 二 列 火 车 从 A 城 出 发 与 从 B 城 出 发 的 第 一 列 火 车 在 途 中 相 遇 而 这 三 个 全 程 还 可 以 从 另 外 一 个 角 度 考 察, 第 一 列 火 车 行 500 公 里 时, 两 列 火 车 共 行 了 一 个 全 程, 相 遇 后, 两 车 速 度 依 然 不 变, 所 以 第 一 列 火 车 行 驶 第 二 个 500 公 里 时, 两 列 火 车 同 样 又 共 行 了 一 个 全 程 ; 当 第 一 列 火 车 行 了 第 三 个 500 公 里, 即 第 一 列 火 车 行 驶 500 3=500 公 里 时, 两 列 火 车 正 好 共 行 了 三 个 全 程, 而 这 时, 两 列 火 车 第 二 次 8

19 相 遇, 由 图 观 察 可 得, 这 时 第 一 列 火 车 又 折 回 了 300 公 里, 即 第 一 列 火 车 行 驶 的 500 公 里 比 全 程 多 了 300 公 里, 于 是, 全 程 即 为 =200 公 里 =200 选 D 例 5: 追 击 问 题 小 轿 车 的 速 度 比 面 包 车 速 度 每 小 时 快 6 千 米, 小 轿 车 和 面 包 车 同 时 从 学 校 开 出, 沿 着 同 一 路 线 行 驶, 小 轿 车 比 面 包 车 早 0 分 钟 到 达 城 门, 当 面 包 车 到 达 城 门 时, 小 轿 车 已 离 城 门 9 千 米, 问 学 校 到 城 门 的 距 离 是 ( ) 千 米? 先 计 算, 从 学 校 开 出, 到 面 包 车 到 达 城 门 用 了 多 少 时 间 此 时, 小 轿 车 比 面 包 车 多 走 了 9 千 米, 而 小 轿 车 与 面 包 车 的 速 度 差 是 6 千 米 / 小 时, 因 此 所 用 时 间 =9 6=.5( 小 时 ) 小 轿 车 比 面 包 车 早 0 分 钟 到 达 城 门, 面 包 车 到 达 时, 小 轿 车 离 城 门 9 千 米, 说 明 小 轿 车 的 速 度 是 9 =54( 千 米 / 小 时 ) 面 包 车 速 度 是 54-6=48( 千 米 / 小 时 ) 城 门 离 学 校 的 距 离 是 48.5=72( 千 米 ) 答 : 学 校 到 城 门 的 距 离 是 72 千 米 例 6: 流 水 行 船 问 题 知 识 点 : 顺 水 速 度 = 船 速 + 水 速, 逆 水 速 度 = 船 速 - 水 速 ; 水 速 = 顺 水 速 度 - 船 速, 船 速 = 顺 水 速 度 - 水 速 ; 水 速 = 船 速 - 逆 水 速 度, 船 速 = 逆 水 速 度 + 水 速 ; 船 速 =( 顺 水 速 度 + 逆 水 速 度 ) 2, 水 速 =( 顺 水 速 度 - 逆 水 速 度 ) 2 一 艘 轮 船 顺 流 航 行 20 千 米, 逆 流 航 行 80 千 米 共 用 时 6 小 时 ; 顺 流 航 行 60 千 米, 逆 流 航 行 20 千 米 也 用 时 6 千 米 则 水 流 速 度 为 ( ) 千 米 / 小 时 (A ).5 (B ) 2 (C ) 2.5 (D ) 3 (E ) 4 法 一 : 因 为 顺 流 航 行 60 千 米, 逆 流 航 行 20 千 米 也 用 6 小 时, 所 以 顺 流 航 行 20 千 米, 逆 流 航 行 240 千 米 就 要 用 32 小 时, 又 因 为 顺 流 航 行 20 千 米, 逆 流 航 行 80 千 米, 共 用 6 小 时, 所 以 逆 流 航 行 (240-80) 千 米 要 用 (32-6) 小 时, 所 以 逆 流 航 行 速 度 为 (240-80)/(32-6)=0, 又 因 为 顺 流 航 行 20 千 米, 逆 流 航 行 80 千 米, 共 用 6 小 时, 可 算 出 顺 流 航 行 速 度 5, 9

20 可 得 水 流 速 度 为 (5-0)/2=2.5 选 C 法 二 : 首 先 设 轮 船 在 静 水 中 的 速 度 为 v km/h, 水 流 速 度 为 v' km/h, 则 轮 船 顺 流 航 行 的 速 度 为 (v+v')km/h, 逆 流 航 行 的 速 度 为 (v-v')km/h 由 此, 根 据 时 间 的 等 量 关 系 可 以 列 出 方 程 组 : 20/(v+v')+80/(v-v')=6 60/(v+v')+20/(v-v')=6 解 得 :v+v'=5,v-v'=0, 故 v=2.5,v'=2.5, 水 流 速 度 为 2.5km/h, 选 C 2(09-0) 一 艘 小 轮 船 上 午 8:00 起 航 逆 流 而 上 ( 设 船 速 和 水 流 一 定 ), 中 途 船 上 一 块 木 板 落 入 水 中, 直 到 8:50 船 员 才 发 现 这 块 重 要 木 板 丢 失, 立 即 调 转 船 头 去 追, 最 终 于 9:20 追 上 木 板. 由 上 述 数 据 可 以 算 出 木 板 落 水 的 时 间 是 ( ) A.8:35 B.8:30 C.8:25 D.8:20 E.8:5 选 D 法 一 : 极 限 思 想, 设 水 速 为 0, 马 上 选 D 法 二 : 设 轮 船 在 静 水 中 的 速 度 为 v, 水 速 为 a 设 木 板 从 落 水 到 发 现 丢 失 经 历 t 分 钟, 30 ( va) a t( va) ta,30 v tv, 即 t 30 注 意 : 木 板 落 水 到 发 现 丢 失 时 间 = 发 现 丢 失 到 追 上 时 间, 与 轮 船 在 静 水 中 的 速 度 水 速 无 关 例 7: 圆 圈 型 问 题 ( 时 钟 问 题 ) 甲 乙 两 人 同 时 从 椭 圆 形 的 跑 道 反 向 跑 步, 跑 道 周 长 为 400 米, 甲 每 分 钟 跑 300 米, 乙 每 分 钟 跑 200 米, 则 () 两 人 第 三 次 相 遇 时, 用 了 多 少 时 间? (2) 求 两 人 第 四 次 相 遇 地 点? (3) 两 人 何 时 在 起 点 首 次 相 遇? (4) 改 为 同 向 答 案 以 上 三 个 答 案 又 是 多 少 呢? 400 () 0. 8, 第 三 次 相 遇 用 2.4 分 钟 (2) , , =60 米, 此 时 相 遇 地 点 在 离 起 点 处 60 米 分 钟 (3) 甲 跑 3 圈 时, 乙 跑 2 圈, 时 间 为 手 表 的 分 针 与 时 针 每 过 ( ) 小 时 相 遇 一 次? 分 针 速 度 为 : 圈 / 小 时, 时 针 速 度 为 圈 / 小 时, 使 用 追 差 法 得 :

21 3(09-0) 甲 乙 两 人 在 环 形 跑 道 跑 步, 同 时 从 起 点 出 发, 当 反 向 时 每 隔 48 秒 相 遇 一 次, 当 同 向 时 每 隔 0 分 钟 相 遇 一 次, 甲 每 分 钟 比 乙 快 40 米, 则 甲 乙 速 度 分 别 为 ( ) 米 / 秒 (A)470,430 (B)380,340 (C)370,330 (D)280,240 (E)270,230 选 E 设 乙 的 速 度 为 x 米 / 分, 则 甲 的 速 度 为 ( x +40) 米 / 分, 48 则 x( x40) 40 0, 得 x 230, 选 E 60 类 型 七 分 段 函 数 ( 阶 梯 型 价 格 ) 解 题 技 巧 : 本 类 题 目 的 特 点 是 对 于 不 同 的 范 围, 取 值 是 不 同 的 对 于 这 类 题 目 的 关 键 先 估 算 一 下 超 越 边 界 范 围 的 取 值, 然 后 与 所 给 的 数 值 进 行 比 对, 根 据 比 对 的 结 果 确 定 所 对 应 的 范 围 例 : 文 字 问 题 国 家 规 定 税 务 部 门 规 定 个 人 稿 费 纳 税 办 法 是 : 不 超 过 800 元 的 不 纳 税, 超 过 800 而 不 超 过 4000 元 的 按 超 过 800 元 部 分 的 4 % 纳 税, 超 过 4000 元 的 按 全 稿 酬 的 % 纳 税 已 知 一 人 纳 税 550 元, 则 此 人 的 稿 费 为 元. 不 超 过 800 元 :0; 超 过 800 而 不 超 过 4000 元 :3200*4%=448 元 ; 超 过 4000 元 : 按 照 全 额 % 计 算 ; 则 , 显 然 要 全 额 纳 税, 则 此 人 的 稿 费 为 550/%=5000 元 例 2: 表 格 问 题 2006 年 月 日 起, 某 市 全 面 推 行 农 村 合 作 医 疗, 农 民 每 年 每 人 只 拿 出 0 元 就 可 以 享 受 合 作 医 疗. 某 人 住 院 报 销 了 805 元, 则 花 费 了 ( ) 元 住 院 费 ( 元 ) 报 销 率 (%) 不 超 过 (450) (250) (300) (750) (4000) A.3220 B C.4350 D.4500 E. 以 上 均 不 对 元 30% 类 型 八 不 定 方 程 ( 不 等 式 ) 问 题 : 知 识 点 归 纳 : 所 谓 不 定 方 程, 就 是 方 程 个 数 少 于 未 知 数 的 个 数, 但 我 们 可 以 通 过 一 些 整 数 非 负 数 不 等 式 条 件 等 限 制 可 以 求 出 方 程 的 具 体 解 这 个 就 叫 做 求 解 不 定 方 程 例 : 分 类 讨 论 求 解 : 小 刚 有 一 个 姐 姐 和 一 个 弟 弟, 姐 姐 今 年 20 岁, 小 刚 年 龄 的 2 倍 与 他 弟 弟 年 龄 的 3 倍 之 和 是 79 岁, 则 小 刚 与 他 弟 弟 年 龄 之 和 是 ( ) 岁 2

22 A.29 B.30 C.3 D.32 E 设 小 刚 的 年 龄 为 X, 他 弟 弟 的 年 龄 为 Y; 则 有 2X+3Y=79 (20>X>Y);.33 20>(79-3Y)/2>Y, 得 3<Y<9, 所 以 Y=5 或 7;X=7 或 4( 舍 ) 结 合 实 际 可 得 X=7,Y=5 年 龄 和 为 32 选 D 例 2: 利 用 不 等 关 系 求 解 : 某 农 场 有 300 名 工 人 种 5 公 顷 地, 分 别 种 水 稻 蔬 菜 棉 花 种 植 这 些 农 作 物 所 需 工 人 和 预 计 产 值 如 下 表 : 农 作 物 每 公 顷 需 要 人 数 每 公 顷 预 计 产 值 ( 万 元 ) 水 稻 蔬 菜 8 9 棉 花 若 总 产 值 P 满 足 关 系 式 : 360 P 370 (x,y,z 均 为 整 数 ), 问 这 个 农 场 怎 么 样 安 排 水 稻, 蔬 菜, 棉 花 的 种 植 面 积? 例 3: 利 用 函 数 性 质 求 解 : 某 市 20 位 下 岗 职 工 在 近 郊 承 包 50 亩 地, 这 些 地 可 种 蔬 菜 烟 叶 和 小 麦, 钟 这 几 种 农 作 物 每 亩 所 需 职 工 数 和 产 值 预 测 如 下 表 : 作 物 品 种 每 亩 需 职 工 数 每 亩 预 计 产 值 ( 元 ) 水 稻 /2 00 蔬 菜 /3 750 棉 花 /4 600 请 你 设 计 一 个 种 植 方 案, 使 得 每 亩 都 种 上 农 作 物,20 位 工 人 都 有 工 作, 且 农 作 物 的 总 产 值 最 多? 22

23 2(0-) 某 居 民 小 区 决 定 投 资 5 元 修 建 停 车 位, 据 测 算, 修 建 一 个 室 内 车 位 的 费 用 为 5000 元, 修 建 一 个 室 外 车 位 的 费 用 为 000 元, 考 虑 到 实 际 因 素, 计 划 室 外 车 位 的 数 量 不 少 于 室 内 车 位 的 2 倍, 也 不 多 于 室 内 车 位 的 3 倍, 这 笔 投 资 最 多 可 建 车 位 的 数 量 为 ( ) (A)78 (B)74 (C)72 (D)70 (E)66 例 4: 利 用 系 数 整 体 法 求 解 : 小 李 买 3 本 练 习 本,7 支 笔, 块 橡 皮 共 用 了 6.3 元, 小 张 买 了 同 样 的 练 习 本 4 本, 同 样 的 笔 2 支 共 用 了 8.4 元, 如 果 买 同 样 的 练 习 本 笔 橡 皮 各 件 需 要 ( ) 元? 设 练 习 本 x 元 / 本, 铅 笔 y 元 / 本, 橡 皮 z 元 / 本, 列 方 程 如 下 : 3x 7y z 6.3 3x 7y z 6.3, 两 方 程 相 减 得 x y z 2. 4x 2y 8.4 2x 6y 4.2 类 型 九 建 立 函 数 求 最 值 : 23

24 例 : 建 立 二 次 函 数 求 最 值 : 利 达 经 销 店 为 某 工 厂 代 销 一 种 建 筑 材 料 ( 这 里 的 代 销 是 指 厂 家 先 免 费 提 供 资 源, 待 货 物 售 出 后 再 进 行 结 算, 未 售 出 的 由 厂 家 负 责 处 理 ) 当 每 吨 售 价 为 260 元 时, 月 销 售 量 为 45 吨, 该 经 销 店 为 提 高 经 营 利 润, 准 备 采 取 降 价 的 方 式 进 行 促 销, 经 市 场 调 查 发 现 : 当 每 吨 售 价 下 降 0 元 时, 月 销 售 量 就 会 增 加 7.5 吨 综 合 考 虑 各 种 因 素, 每 售 出 吨 建 筑 材 料 共 需 支 付 厂 家 及 其 它 费 用 00 元 问 该 经 销 店 为 获 得 最 大 月 利 润, 每 吨 材 料 售 价 应 定 为 ( ) 元 (A)60 (B)80 (C)200 (D)20 (E)230 设 每 吨 材 料 售 价 为 x 元, 月 利 润 为 y 元 : y 260 x x x 4 2 则 列 函 数 如 下 : 对 称 轴 方 程 为 :x=20. x 例 2: 利 用 均 值 定 理 求 最 值 (09-) 某 工 厂 定 期 购 买 一 种 原 料, 已 知 该 厂 每 天 需 用 该 原 料 6 吨, 每 吨 价 格 800 元 原 料 的 保 管 等 费 用 平 均 每 吨 3 元, 每 次 购 买 原 料 支 付 运 费 900 元, 若 该 厂 要 使 平 均 每 天 支 付 的 总 费 用 最 省, 则 应 该 每 ( ) 天 购 买 一 次 原 料 (A) (B)0 (C)9 (D)8 (E)7 3. 解 : 设 x天 购 买 一 次 原 料, 总 成 本 y y 8006 x( x36) 900 x 8006x900 36( ) x 平 均 每 天 花 费 y x9 x0时 y最 小 x 类 型 十 至 多 至 少 问 题 ( 抽 屉 原 理 ) 解 题 技 巧 : 极 端 估 值 法 反 面 考 虑 法 例 : 某 校 有 55 个 同 学 参 加 数 学 竞 赛, 已 知 将 参 赛 人 任 意 分 成 四 组, 则 必 有 一 组 的 女 生 多 于 2 人, 又 知 参 赛 者 中 任 何 0 人 中 必 有 男 生, 则 参 赛 男 生 的 人 生 为 ( ) 人 (A)44 (B)45 (C)46 (D)47 (E)48 可 以 推 出 女 生 人 数 只 能 为 9 人, 则 男 生 人 数 为 55-9=46 人 选 C 2 黑 白 黄 筷 子 各 8 根 混 合 在 一 起, 要 取 出 颜 色 不 同 的 筷 子 两 双, 则 至 少 要 取 ( ) 根 才 能 保 证 要 求 先 取 的 前 8 根 都 是 同 一 颜 色, 只 有 一 双 第 9 根 是 第 二 种 颜 色, 第 0 根 是 第 三 种 颜 色, 再 取 一 根 就 一 定 能 配 成 另 一 双 了 ;8+++= 或 者, 前 面 3 根 都 是 不 同 颜 色 的, 每 种 颜 色 都 只 剩 7 根 了 再 24

25 取 后 面 7 根 都 是 同 一 颜 色, 只 配 成 一 双, 再 取 一 根, 就 一 定 能 配 成 第 二 双 了 3+7+= 所 以 至 少 取 根 达 到 要 求 3(-) 某 年 级 共 有 8 个 班, 在 一 次 年 级 考 试 中, 共 有 2 名 学 生 不 及 格, 每 班 不 及 格 的 学 生 最 多 有 3 名, 则 ( 一 ) 班 至 少 有 名 学 生 不 及 格 ( ) ()( 二 ) 班 的 不 及 格 人 数 多 于 ( 三 ) 班 (2)( 四 ) 班 不 及 格 的 学 生 有 2 名 除 ( 一 ) 班 外, 只 要 其 他 7 个 班 级 不 及 格 的 人 数 小 于 2 人 就 充 分, 故 两 个 条 件 都 充 分 选 D 例 2:00 个 商 人 在 一 起 开 会, 当 中 85 人 有 手 机,80 人 有 寻 呼 机 75 人 可 以 说 两 国 语 言,70 人 穿 着 外 套, 这 00 个 人 当 中 必 有 一 部 分 人 四 种 特 征 都 有, 则 最 少 有 ( ) 人 具 有 以 上 所 有 特 征 反 面 考 虑 法 : 可 知 商 人 中 5 人 没 有 手 机,20 人 没 有 寻 呼 机,25 人 不 会 说 两 国 语 言,30 人 没 有 穿 外 套, 让 这 四 部 分 的 人 尽 可 能 的 不 重 复, 则 最 少 有 =0 人 具 有 以 上 所 有 特 征 25