中国科学技术大学 - 学年第一学期. ( 分 ) 用数列极限的定义证明 lim n 数学分析 (B) 第一次测验 n n + sin n =.. ( 分 ) 设函数 f(x) 在 x > 有定义. 请叙述极限 lim f(x) 存在有限的 Cauchy 判别准则. x + 3. (4 分 ) 求下列

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1 数学分析 (B) 历年考试真题 说明. 这里收录了若干套中国科学技术大学数学分析 (B) 测验以及考试真题, 以及一套数学分析 (A) 的试题作为样卷.. 排序顺序优先考虑知识涵盖范围, 其次为时间先后. 即先 B 后 B, 期中复习请参考标注有期中试卷及其前面的测验试卷, 因为在它们后面试卷都会涉及到期中考试之后的内容. 3. 本附录的主要作用是供同学们考试之前模拟使用, 越靠近现在的考卷越能接近现在的出题风格. 4. 没有参考答案, 希望读者自行思考, 同时熟悉题目类型. 建议本门课程的助教在平时习题课先将学过的部分的测验题进行讲解, 在考前习题课讲解对应的考试题. 5. 正值科大 6 周年校庆, 亦为少年班成立 4 周年之际, 谨以此真题集锦, 献礼科大, 也便于以后的助教的习题课工作和同学们复习本门课程. 感谢李平教授和 7 级少创班同学们提供往年题目. 再次祝愿科大数学教育越办越好! 7-8 秋季学期数学分析 (B) 助教 7-8 春季学期数学分析 (B) 助教 5 级理科试验 班吴天 8 年 4 月于合肥

2 中国科学技术大学 - 学年第一学期. ( 分 ) 用数列极限的定义证明 lim n 数学分析 (B) 第一次测验 n n + sin n =.. ( 分 ) 设函数 f(x) 在 x > 有定义. 请叙述极限 lim f(x) 存在有限的 Cauchy 判别准则. x + 3. (4 分 ) 求下列极限 ( 其中的 n 都是正整数 ): ( () lim n 3 n + sin n n x n) 3 x + x () lim x x (3) lim ( n + 3 n ) n (4) lim( cos x) x n x 4. ( 分 ) 设正数列 {a n } 满足 a n+ ba n,n =,,, 其中 < b <. 求证 : 数列 S n = n a k 收敛. k= 5. ( 分 ) 设 a =,a n+ = a n + sin a n,n =,,. 讨论数列 {a n } 的收敛性和极限. 6. ( 分 ) 设 E 是非空有上界的数集, 且它的上确界 a 不在 E 中. 求证 :E 有数列 {x n } 严格递增 趋于 E 的上确界. 7. ( 分 ) 设 f(x) 是定义在实轴 R 上的函数且对任意 x, y 有 xf(y) yf(x) M x + M y, 其 中 M >. 求证 : f(x) () lim 收敛. x x () 存在常数 a 使得对任意 x 有 f(x) ax M.

3 3 中国科学技术大学 - 学年第一学期 数学分析 (B) 第二次测验. (5 分 ) 计算题. () 求函数 f(x) = xe x 在 R 上的最大值, 最小值和凸凹区间. ( () 计算极限 lim + ) x e x. x + x cos x + 6x e 3x (3) 计算极限 lim. x ln( x ) (4) 计算 4, 精确到 3. ( 注意 : 要求给出计算过程, 不允许使用计算器 ) (5) 水果公司在对其最新电子产品 idaydream 售前市场调研发现, 如以 3 元的价格出 售 idaydream, 会有一百万顾客有购买意向, 此时每台 idaydream 会有 元的利润 ; 而每当价格提升或者降低 元, 潜在顾客会在原来基础上降低或增加 5%. 果公司而言 idaydream 的最佳定价以及此时的利润. 近 时,ln( + x) x). ( 分 ) 设多项式 f(x) = i= 试求对水 ( 在计算中, 你可以使用 : 当 x 靠 k k (x x i ) n i, 其中 k,n,, n k 为正整数, 且 n i = n,x < x < < x k. 证明 : 对于 i k, 存在 x i < ξ i < x i+, 使得 f (x) = k k n (x x i ) n i (x ξ i ). i= i= 3. ( 分 ) 设 p, q 为正实数且 p + q =. 求证 : 对于 x, x >,x x xp p + xq q. 4. ( 分 ) 设函数 f(x) 在区间 [ A, A](A 为正常数 ) 上满足 f = f. 证明 :f(x) = f() cos x + f () sin x. 5. ( 分 ) 设 f(x) 在 [a, b] 上 阶可导, 在 (a, b) 内 阶可导, 且 f(a) = f(b) =,f (a)f (b) >. 证明 : () 存在 ξ (a, b),f(ξ) =. () 存在 a < ξ < ξ < b,f (ξ ) = f(ξ ),f (ξ ) = f(ξ ). (3) 存在 η (a.b),f (η) = f(η). i=

4 4 中国科学技术大学 -3 学年第一学期 数学分析 (B) 第一次测验. ( 分 ) 判断下列命题的真伪, 并说明理由. () 若对任意 ε >, 存在无穷多个 n, 使得 a n a < ε, 则数列 {a n } 收敛于 a; () 若对任意 ε >, 存在正整数 N, 当 n > N 时, a n a N < ε, 则数列 {a n } 收敛 ; (3) 若 f : [, ] [, ] 连续, 则存在 x [, ] 使得 f(x ) = x ; (4) 若 f : R R 一致连续, 则 f 有界.. (3 分 ) 计算下列极限. () lim ( + ) ( n () lim n (n ) ) n n n n ( x + 3 ) x tan x( + sin x ) (3) lim (4) lim x + x + x cos (sin x) + x e nx 3. ( 分 ) 设 f(x) = lim n x + e. 求 f(x), 并研究其连续性. nx 4. ( 分 ) 设函数 f : (, + ) (, + ) 满足 : 对任意 x (, ),f(x) = f(x ). 若 f(x) 在 x = 处连续, 证明 f(x) 为常值函数. 5. ( 分 ) 设 α >,x >,x n+ = α( + x n) (n =,, ). 求 lim x n. α + x n n n ( ) k 6. (8 分 ) 设 a n =, 判断数列 {a n } 的收敛性. k k= a n 7. (8 分 ) 设数列 {a n } 满足 lim n n =, 证明 : lim n n max {a k} =. k n

5 5 中国科学技术大学 -3 学年第一学期 数学分析 (B) 第二次测验. (35 分 ) 计算. ()x e x 的 n 阶导数. () 已知 sin(xy) + y dy = x, 求 dx. ( 用 x, y 的函数表示 ) cos x (3)lim x x 3 sin x. (4) lim x(a x b x ),a, b >. x ( ( + x) ) x x (5)lim. x e cos x cos x cos 3x (6)lim. x cos x (7) 求函数 ln x,x > 的曲率.. ( 分 ) 求证 A := max{ n n : n =,, } 存在, 并求出相应的 n 使得 n n = A. tan (ax), x > 3. ( 分 ) 求常数 a, b 使得 f(x) = x 在定义域上可导. (a )x + b, x 4. (5 分 ) 设函数 f 在区间 I 上可导. 证明 f(x) 在 I 上一致连续的充分条件是导函数有界. 并举例 说明必要性不成立. 5. (5 分 ) 设有界闭区间 [a, b] 上函数 f(x) 满足 f ( λx + ( λ)y ) λf(x) + ( λ)f(y), x, y [a, b],λ (, ). 证明 f(x) 在 [a, b] 上有界. 6. (5 分 ) 设 f(x) 在 附近有 阶连续导数, 且 f (). 求证, 对任意 x, 如果 x 充分小时, 则存在唯一 θ (, ) 使得 f(x) = f() + f (θx)x. 并求 lim x θ.

6 6 中国科学技术大学 3-4 学年第一学期 数学分析 (B) 第一次测验 n. ( 分 ) 用数列极限的定义证明 lim n n + ( ) n =.. (8 分 ) 判别下面两个极限是否收敛? x () lim x + ( )[x] x + () lim n n k= ( ) k ln k k 3 3. (3 分 ) 求下列极限 ( 其中的 n 都是正整数 ): n ( ) () lim n n + ( ) k () lim + ln(x + ) sin x k x k= n x + ( (3)lim (4) lim (n + ln n) α n α) ( α (, ) ) x x n 4. (5 分 ) 设 g(x) 在 (, + ) 上是单调函数,f(x) = sin g(x). 求证 f(x) 在任意点 x 的左右极 限都存在. 5. (5 分 ) 设数列 {a n } 收敛于 a, 且相邻两项之差为整数. 求证 : 从某项开始都有 a n = a. 6. ( 分 ) 设 a =,a n+ = + a n (n N ). 求证 :{a n } 收敛, 并求其极限.

7 7 中国科学技术大学 3-4 学年第一学期 数学分析 (B) 第二次测验 x n + ax + bx. ( 分 ) 试确定常数 a, b 的值, 使得 f(x) = lim 为连续函数. n x n + f(x). ( 分 ) 设函数 f(x) 在点 x = 处有二阶导数且 lim x x =, 求 f(), f f(x) (), lim ( x x. 3. ( 分 ) 设函数 f(x) 在点 x 处二阶可导,f (x ), 求 lim x x f(x) f(x ) ). (x x )f (x ) x = e t sin t dy d y 4. ( 分 ) 设由参数方程确定 y 是 x 的函数, 求和 y = e t cos t dx dx. 5. ( 分 ) 设函数 f(x) 在 x = 处可导, 在什么条件下, f(x) 在 x = 处也可导? 6. ( 分 ) 设函数 f(x) 在 x = 处连续, 且对任意 x, y (, + ), 满足 f(xy) = f(x) + f(y). 证 明 f(x) 在 (, + ) 上连续. 7. ( 分 ) 利用微分学的方法证明 : 当自然数 n > 9 时,( n) n+ > ( n + ) n. 8. ( 分 ) 今年, 中国田径运动员在男子百米比赛中创造了 秒整的全国纪录. 有人说这位运 动员在这次比赛中一定在某个一秒钟的时间内正好跑了 米. 这个说法正确吗? 请给出你 的证明. 9. ( 分 ) 设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内有二阶导数, 且满足 f (x) = e x f(x),f(a) = f(b) =, 证明 :f(x).

8 8 中国科学技术大学 5-6 学年第一学期 数学分析 (B) 第一次测验 (. ( 分 ) 用函数极限的定义证明 lim x x x + x + ) = x 3 + x x 4.. ( 分 ) 数列 { n ( n + ( ) n n ) } 是否收敛? 说明理由. 3. ( 分 ) 求下面数列的极限 : (n!) k () lim (k N ) () lim ( + sin ) n n n n n n 4. ( 分 ) 求下面函数的极限 : x + x 3 cos x cos x ()lim () lim x x + 8x x x 5. ( 分 ) 函数 x sin x 在 (, + ) 是否有界, 当 x + 时是否为无穷大量? 说明理由. 6. ( 分 ) 求数列 { n + n sin nπ } 的上极限和下极限. 7. ( 分 ) 设数列 {a n } 由 a =,a n+ = a n + a n (n ) 定义. 判断数列 收敛, 则求其极限. { an n } 是否收敛, 若 8. ( 分 ) 设 a =,a =,a n+ = 3n n a n n n a n (n =, 3, ). 求证数列 {a n } 收敛.

9 9 中国科学技术大学 5-6 学年第一学期 数学分析 (B) 第二次测验. () 设 f(x) = ax + b cx + d (x d c ), 求 f (n) (x). x = t sin t d y () 对由参数方程确定的函数 y = y(x), 求 y = cos t dx.. 求极限 : ( ()lim x x cot x ) x 3. 证明 : () 不等式 n x n y n x y 对任何 x y 成立. () 不等式 cot x > x 对任何 x 成立. n 4. 求函数 f(x) = e x x k 的极值. k! k= [ e ( () lim x + x + x ( + )] x )x e 5. 设函数 f(x) : [, + ) (, + ) 一致连续,α (, ]. 求证 : 函数 g(x) = f α (x) 也 在 [, + ) 上一致连续. 6. 证明 : 多项式 P (x) = n k= x k 当 n 是偶数时无零点, 当 n 是奇数时恰有一个零点. k

10 中国科学技术大学 3-4 学年第一学期 数学分析 (I) 期中试卷. ( 每小题 5 分 ) () 用 ε N 语言表达 数列 {a n } 不以实数 a 为极限 这一陈述. () 讨论函数 f(x) = cos 在区间 (, + ) 上的一致连续性. x cos n (3) 用极限的定义证明 lim n n =.. ( 每小题 5 分 ) 求下列极限 : () lim 3 n ( 3 n + 3 [x] 4 n) () lim n x ( + x 4 + x ) x ( ( (3) lim (4) lim x + + x x ) ) x + e x + x 3. ( 每小题 5 分 ) 求下列导数 : ( ) () (ln tan x ) () arcsin x +x (3) ( x ) (4) (xe x ) (n) 4. ( 分 ) 设 x 是一个正数, 并归纳地定义 x n+ = 6 + x n,n =,,. 求证 : 极 限 lim n x n 存在. 5. (3 分 ) 设函数 f(x) 在区间 [, + ) 上是严格凸的并有二阶导函数, 又 f() = f () =. 求 证 : 当 x > 时,f(x) >. 6. ( 分 ) 设函数 f(x) 在区间 [, + ) 上有连续的导函数, 且 f() =. 又当 x 时, f(x) e x. 求证 : 存在 x >, 使得 f (x ) = e x. 7. ( 分 ) 设函数 f(x) 在区间 [,] 上可导, 且满足 f (x) 及 f() = f() =. 求证 : 对 x (, ], 有 f(x) >.

11 中国科学技术大学 5-6 学年第一学期 数学分析 (I) 期中试卷. ( 分 ) 叙述数列 {a n } 收敛于实数 a 的定义, 并用极限定义证明 : lim n ( n + n) =.. ( 分 ) 叙述函数 f(x) 在区间 I 上一致连续的定义, 并讨论函数 f(x) = 间 (, + ) 上的一致连续性 ( 要给出证明 ). 3. ( 分 ) 求数列 a n = n nπ cos 的上极限和下极限. + n 3 4. ( 分 ) 计算下面的的极限或导数 : () lim ( + sin a x x ) x () lim x ( x e x ) ln ( + x) 在区 x ( (3) arcsin ) x (4) (xe x ) (n) + x 5. ( 分 ) 设函数 f(x) 在区间 [, + ) 上有连续的导函数, 且 f() =. 又当 x 时, f(x) e x. 求证 : 存在 x >, 使得 f (x ) = e x. 6. ( 分 ) 设函数 f(x) 把有界闭区间 [a, b] 映射到 [a, b], 并且满足 f(x) f(y) x y. 任 取 x [a, b], 并归纳地定义 x n+ = ( xn + f(x n ) ). 证明数列 {x n } 收敛于 [a, b] 内一点 c, 且 f(c) = c. 7. ( 分 ) 设 f(x) 在有限闭区间 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 中每点的右导数存在, 且 f(a) < f(b). 求 证 : 存在 c (a, b), 使 f +(c).

12 中国科学技术大学 6-7 学年第一学期 数学分析 (I) 期中试卷. ( 分 ) 叙述题 : () 用 ε N 语言表述 实数 a 不是数列 {a n } 的极限. () 叙述 函数 f(x) 当 x + 时以实数 l 为极限 的定义. (3) 叙述用来判断数列 {a n } 是否收敛的 Cauchy 准则. (4) 叙述 函数 f(x) 在区间 I 上一致连续 的定义.. ( 分 ) 求下列极限 : n x sin x () lim () lim n k= (n 3 + k) 3 x e x ( x + ) x e x x (3) lim (4) lim x + x x x ln (x + ) 3. ( 分 ) 计算下面的导数 : () ( x sin x + ln(x + ) ) () ( x sin x) (3) (arctan x + x ) (4) (xe x ) (n) 4. ( 分 ) 求函数 f(x) = x i ( x) n i, < i < n, 在 [, ] 区间上的最大值. 5. ( 分 ) 设 f(x) 是定义在实轴 R 上的函数, 且存在常数 L 和 α > 使得 f(x) f(y) L x y α,x, y R. 求证 :f(x) 是常数. 6. ( 分 ) 求证 : 在区间 (, ] 上不等式 sin x < sin x 成立. 7. ( 分 ) 设函数 f(x) 在 [, ] 上可微且满足 f() = 及 f (x) f(x),x [, ]. 求证在 [, ] 上 f(x).

13 3 中国科学技术大学 7-8 学年第一学期 数学分析 (I) 期中试卷. ( 分 ) 叙述题 : () 用 ε δ 语言表述 函数 f(x) 在区间 I 上不一致连续. () 叙述用来判断数列 {a n } 是否收敛的 Cauchy 准则.. ( 分 ) 求下列极限 : n () lim n k= (n 3 + n k) 3 ( x + (3) lim x + x 3. ( 分 ) 计算下面的导数 : () ( x sin x + ln(x + ) ) x 3 sin x () lim x cos x ) x (4) lim x e x x x x ln (x + ) () ( x (e x ) ) (3) (arctan x + x ) (4) (x sin x) (n) 4. ( 分 ) 求函数 f(x) = cos x sin x + cos x sin x 在区间 [, π ] 上的最大值. 5. ( 分 ) 设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上可导且满足 f(a) = f(b) = 及不等式 f (x) xf(x),x [a, b]. 求证 f(x). 6. ( 分 ) 设 f(x) 在实轴 R 上有二阶导数, 且满足方程 f(x) + f (x) = xf (x). 求证 f(x) 和 f (x) 都在 R 上有界. 7. ( 分 ) 证明对任意自然数 n, 方程 x + x n = 恰有一个正根 x n. 进一步证明数列 {x n } 收敛, 并求其极限.

14 4 中国科学技术大学 7-8 学年第一学期 数学分析 (B) 期中试卷 n. ( 分 ) 用数列极限的定义证明 lim n 3n + ( ) = n 3.. (8 分 ) 写出一个在 (,] 上连续且有界, 但不一致连续的函数, 并说明理由. 3. ( 每小题 8 分 ) 求极限. ( () lim ) n () lim n n + x (3) lim ln x ln( x) x 4. ( 分 ) 求极限 lim n n k n + k. k= 5. (5 分 ) 求常数 a, b 使得 f(x) = (4) lim x x(e x ) ln( + x ) (sin x x cos x) tan x ( x x ln ( + x sin (ax), x > x 在定义域内可导. (a )x + b, x 6. (5 分 ) 设函数 y = y(x) 在 R 上可导且满足方程 y + y x sin x =. 求 y (). 7. (8 分 ) 设 f(x) 在区间 [a, b] 可导. 假设存在 x (a, b] 使得 f (x ) =. 求证 : 存在 ξ (a, b) 使得 f f(ξ) f(a) (ξ) =. b a ) )

15 5 中国科学技术大学 5-6 学年第一学期 数学分析 (A) 期中试卷. ( 分 ) 设 f : R R 为连续周期函数. 证明 :f 一致连续.. ( 分 ) 回答下列问题, 并说明理由. () 设函数 f : (, ) R 满足 f(x) f(y) x y, x, y (, ), 是否一定有 f? () 设函数 f C[, ] 是单射且 f() < f(), 问 f 是否单调递增? (3) 设函数 f C[, ], 问对 t (, ), 是否存在 x, y (, ), 使得 3. (5 分 ) 计算下列极限的值. n () lim n n k= k sin πx π sin x ()lim x x 3 ( n (3) lim ( + k n n k= )) n 5 7 f(x) f(y) x y = f (t)? 4. ( 分 ) 设可微函数 f : R R 既非常值函数, 也不是一次多项式. 证明 : ξ, η (, ), 使 得 f (ξ) < f() f() < f (η). 5. ( 分 ) 设 f : [, + ) (, ] 为凸函数. 证明 :f 单调递减. 6. (5 分 ) 设数列 {a n },{b n } N 满足 a = b =,a n + 3b n = (a n + 3b n ). 证明 :{ b n a n } 收敛, 并求出该极限值. 7. ( 分 ) 设函数 f C (R) 满足 M := sup x R f (x) <, 且满足不等式 M M M. sup x R f(x) <,M := sup f (x) <. 证明 :M := x R 8. ( 分 ) 设函数 f C [, + ) 满足 f(x) f (x), x [, + ) 且 f(),f (). 证 明 : f(x) f() + f ()x, x [, + ). f(y) f(x) 9. ( 分 ) 设可导函数 f : [a, b] R 满足 y x = f ( x + y ), x, y [a, b]. 求 f.

16 6 中国科学技术大学 -3 学年第一学期 数学分析 (B) 第三次测验. (4 分 ) 求下列不定积分 : () x(x ) 7 dx () (3) sin xdx (4). (4 分 ) 求下列积分 : () arcsin xdx () + π x (3) dx (4) (x + )(x + ) 3. ( 分 ) 求下面的极限 : x t 4 () lim dt () lim x + x 4 + t3 n sin(x) cos xdx ln(x + x + )dx arctan x dx x cos x sin 5 xdx n k= n n + k 4. ( 分 ) 求极坐标方程 r =e θ ( θ < + ) 表示的螺线的长度. 5. ( 分 ) 设 f(x) C[, ] 且满足 3 6. ( 分 ) 设 f C(R). 令 g(x, y) = x f (x)dx + = 6 xf(x)dx. 求证 :f(x) = x. ( f(t + y) f(t) ) dt. 求证 :g(x, y) = g(y, x).

17 7 中国科学技术大学 -3 学年第一学期 数学分析 (B) 第四次测验. (4 分 ) 求下列微分方程的通解. ()y = x + y y ; ()y = x + y + x y ( 分 ) 求微分方程 y xy x 3 (y ) 3 =, 满足 y () =,y() = 的特解. 3. (3 分 ) 判断下列数项级数的敛散性, 对非正项级数指出其是条件收敛还是绝对收敛, 并 写出理由. n! () n ; n n= () n(ln n) ; n= ln(n + ) (3) ; n n= ( nπ ) sin (4) ; (ln n) 3 n= n (n )!! (5) ( ). (n)!! n= 4. (5 分 ) 设函数序列 {f n (x) = n α x e nx }, 试问 α 取何值时 : (){f n (x)} 在 [,] 收敛 ; (){f n (x)} 在 [,] 一致收敛 ; (3) 等式 lim f n (x)dx = 5. (4 分 ) 求幂级数 n n= 6. (5 分 ) 将函数 arctan 3x 3x + lim f n(x)dx 成立. n x n 的收敛半径及收敛区域, 并求它的和函数. n + 展开成 Maclaurin 级数, 并求 n= ( ) n 的和. n +

18 8 中国科学技术大学 3-4 学年第一学期 数学分析 (B) 第三次测验. ( 每小题 9 分 ) 计算下列积分. x + 5 () x 6x + 3 dx () (3) (4) + x xdx ln x ( + x) dx max{x 3, x, }dx. ( 每小题 9 分 ) 求极限. ( n ) () lim n n(n + 3k) k= x+a (ln t) n () lim dt,a >,n N x + x t + 3. ( 分 ) 计算由曲线 x = y 和 x = + y 所围成的平面图形的面积. 4. (8 分 ) 设 D 是由抛物线 y = x 和直线 x = a, x = 及 y = 所围成的平面区域,D 是由抛 物线 y = x 和直线 x = a 及 y = 所围成的平面区域, < a <. () 求 D 绕 x 轴旋转而成的旋转体体积 V,D 绕 y 轴旋转而成的旋转体体积 V ; () 问当 a 为何值时,V + V 最大, 并求此最大值. 5. (6 分 ) 试用积分方法证明 : 当 x > 时,x x (6 分 ) 设 f(x), g(x) 在 [a, b] 上连续, 且满足 < sin x < x x3 6 + x5. x f(t)dt x g(t)dt (x [a, b)), b f(t)dt = b a a a a g(t)dt. 证明 : b xf(x)dx b a a xg(x)dx. 7. (6 分 ) 设 f(x) 在 [a, b] 上连续, 且 b 点 x, x (a, b), 使得 f(x ) = f(x ) =. a f(x)dx =, b a xf(x)dx =, 证明 ; 至少存在两

19 9 中国科学技术大学 5-6 学年第一学期 数学分析 (B) 第三次测验. (4 分 ) 计算下列不定积分 : () x(x ) 5 dx () dx x( x) (3) dx (4) (x ) ln xdx sin x + sin x. (4 分 ) 计算下列定积分 : () x e x + 3x dx () (x + )(x + ) dx (3) 3 min(, x )dx (4) 3. 计算下列极限的值. n ()( 分 ) lim n (n + k); n n ()( 分 )lim x x x x k= x dx + e x (x t)f(t)dt, 其中 f(x) 连续, 且 f(). f(x t)dt 4. (8 分 ) 设 f(x) 在 [, ] 上连续, 且对 [, ] 上的任意连续偶函数 g(x), 有 f(x)g(x)dx =. 证明 :f(x) 是 [, ] 上奇函数. 5. (8 分 ) 设 f(x) 在 [a, b] 上有连续导函数, 证明 : max f(x) a x b b a b a f(x)dx + b a f (x) dx.

20 中国科学技术大学 3-4 学年第一学期 数学分析 (I) 期末试卷. ( 每小题 5 分 ) () 写出函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的 Riemann 积分的定义. () 写出带 Lagrange 余项的 Taylor 定理. (3) 写出关于函数是否 Riemann 可积的 Lesbegue 定理. (4) 写出微积分基本定理.. ( 每小题 5 分 ) 求下列极限 : () lim x x n+n (3) lim n n arctan tdt x4 + sin x dx (4) lim x n cos x e x () lim x x 4 n cos k= (k )π n cos + cos kπ n (k + )π n 3. ( 每小题 5 分 ) 求下列积分 : x () ln cos x sin x xdx () ( + sin x) dx n 3 x + (3) arcsin dx (4) e x dx + x x = a(cos t + t sin t) 4. ( 分 ) 求参数方程 : ( t π),( 其中 a > 是常数 ) 所表示的曲 y = a(sin t t cos t) 线的弧长和曲率. 5. ( 分 ) 求满足函数方程 : x tf(t)dt = x x f(t)dt 的连续函数 f(x). 6. ( 分 ) 设函数 f(x) 在区间 [,] 上有连续的导函数, 且 f() =. 求证 : f(x) dx ( x ) f (x) dx 并且当且仅当 f(x) cx 时等号成立, 其中 c 为常数.

21 中国科学技术大学 5-6 学年第一学期 数学分析 (I) 期末试卷. ( 每小题 5 分 ) 叙述定义或定理. () 写出带 Lagrange 余项的 Taylor 定理. () 写出函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的 Riemann 积分的定义. (3) 写出关于函数是否 Riemann 可积的 Lebesgue 定理. (4) 写出微积分基本定理.. ( 每小题 分 ) 求下列各式 : arctan x () lim dx () lim n x n (3) x(ln x) 3 dx (4) n n+n 3. (5 分 ) 求参数曲线 Γ : x = sin t, y = n k=,p > np+ x + x + x dx t, z = cos t, t π 的弧长和曲率. 4. ( 分 ) 设 f(x) 是区间 [, ] 上的连续函数, 并且对一切在 [, ] 上可积的奇函数 g(x), 有 f(x)g(x)dx =. 求证 f(x) 是 [, ] 上的偶函数. 5. ( 分 ) 设 f(x) 是定义在 (, + ) 上满足函数方程 k p x tf(t)dt = (x ) x f(t)dt 的连续函数. 求证 f(x). 6. (5 分 ) 设 f(x) 是闭区间 [, ] 上满足 f() = f() = 的连续可微函数, 求证不等式 ( ) f(x)dx 并且等号成立当且仅当 f(x) Ax( x), 这里 A 是常数. f (x) dx,

22 中国科学技术大学 6-7 学年第一学期 数学分析 (I) 期末试卷. ( 每小题 5 分 ) 求下列极限 : ( x ) ()lim e t3 dt x x x 4 (3) lim n + e x x n dx n n 3 (5) lim n n. ( 每小题 5 分 ) 求下列积分 : x () ln xdx (3) () lim n + (4) lim n () x x dx (4) n+ sin x n x dx n n + k k= cos x sin x ( + sin x) dx n + e x dx 3. ( 分 ) 求解微分方程 :(x + y)dx + xdy =. 4. ( 分 ) 讨论级数 ( n + n) α cos n 的条件收敛性和绝对收敛性. n= 5. ( 分 ) 讨论函数项级数 x e nx 在区间 x < + 上的一致收敛性. n= 6. (5 分 ) 设 f(x) 在区间 [,] 上非负连续可微,f() = f() =, 且 f (x). 求证 : f(x)dx 4. 又问上面的不等式是否可能成为等式, 为什么? ( an ) 7. ( 分 ) 设 {a n } 是正数列且满足 lim ln n n a n+ = λ >. 求证 : lim n na n =.

23 3 中国科学技术大学 7-8 学年第一学期 数学分析 (I) 期末试卷. (5 分 ) 概念题 : () 叙述函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的 Riemann 积分的定义. () 叙述函数项级数 a n (x) 在集合 E 上一致收敛的定义. n= (3) 叙述函数 f(x) 在区间 I 内一点 x 可微的定义.. (5 分 ) 计算下面的积分 : () dx x( x) () π π + cos x + e dx x (3) e x sin xdx 3. (5 分 ) 求幂级数 n= n n + xn 在其收敛域内的和函数. 4. (5 分 ) 求微分方程 y = y x + x 的通解. 5. (5 分 ) 设 {a n } 是正数列且满足 lim n a n+ 6. (5 分 ) 求证函数项级数 上的连续性. n= 7. ( 分 ) 设函数 f(x) 在 [, + ) 上连续且满足 a n = q <. 求证级数 a n 收敛. n( x) x n 在区间 (, ] 上收敛, 并讨论其和函数在此区间 f(x) e kx + k 其中 k 是常数. 求证 : f(x) (kx + )e kx. x f(t) dt, n=

24 4 中国科学技术大学 8-9 学年第一学期 数学分析 (I) 期末试卷 (A 卷 ). (5 分 ) 概念题 : () 用 ε δ 语言描述 lim x x f(x) = a. () 叙述函数列 f n (x) 在集合 E 上一致收敛于函数 f(x) 的定义. (3) 叙述函数 f(x) 在区间 [a, + ) 上的无穷积分存在的定义.. (5 分 ) 计算下面的积分 : x () ln xdx cos x sin x () ( + sin x) dx n + (3) e x dx ( 3. (5 分 ) 求幂级数 n ) x n 的收敛半径及其和函数. n n= 4. (5 分 ) 求微分方程 y = y x 的通解. 5. (5 分 ) 求证当 x >, α > 时, 有 ( + x) α > + αx. ( 6. ( 分 ) 设 α >. 研究级数 (n + ) α n α) cos n 的敛散性. 7. (5 分 ) 设 a n = n () a n n ; n k= () 极限 a = lim n a n 存在 ; (3) 数列 { n(a a n )} 有界. n= k. 求证 :

25 5 中国科学技术大学 8-9 学年第一学期 数学分析 (I) 期末试卷 (B 卷 ). (5 分 ) 概念题 : () 用 ε N 语言描述 lim f(x) = a. x + () 叙述函数项级数 a n (x) 在集合 E 上一致收敛于函数 f(x) 的定义. n= (3) 叙述函数 f(x) 在区间 [a, b] 上 Riemann 可积的定义.. (5 分 ) 计算下面的积分 : () x n ln xdx (n ) 3 x () arcsin + x dx (3) x x dx 3. (5 分 ) 讨论函数项级数 x e nx 在区间 x < + 上的一致收敛性. n= n= 4. (5 分 ) 求幂级数 n + xn+ 的收敛半径 R, 并求此幂级数在 ( R, R) 中的和. 5. (5 分 ) 求解微分方程 :(x + y)dx + xdy =. 6. (5 分 ) 设 f(x) 是定义在 (, + ) 上满足函数方程 x tf(t)dt = (x ) x f(t)dt 的连续函数. 求证 :f(x). 7. ( 分 ) 设 f(x) 在区间 [,] 上非负连续可微,f() = f() =, 且 f (x). 求证 : f(x)dx 4. 又问上面的不等式是否可能成为等式, 为什么?

26 6 中国科学技术大学 - 学年第一学期 数学分析 (B) 期末试卷. ( 分 ) 计算下列极限 : e x x ()lim x x ln ( + x) ; n+ (3) lim n n. ( 分 ) 计算下面的积分 : () n= sin x dx; (4) lim x n x( x) dx; () 3. ( 分 ) 讨论下面级数的敛散性 : () ( ) n n + 3n ; () lim (x + x + x )x ; + () n= n k= n n + k. ( + x)( + x ) dx. n n n!e n. 4. ( 分 ) 设 f(x) 在 R 上有二阶导函数且 f(x),f (x) 和 f (x) 都大于零. 求证 : lim f (x) =. x 5. (5 分 ) 求微分方程 y y = (x + )e x 的通解. e n x 6. (5 分 ) 考虑函数项级数 n. () 求该级数的收敛域 ; n= () 在收敛域内该级数是否一致收敛? 说明理由. (3) 在收敛域内该级数的和函数是否连续? 说明理由. ( an+ ) 7. ( 分 ) 设 {a n } 是正的单调递增数列且 收敛. 求证 {a n } 有界. a n 8. ( 分 ) 设 f(x) 在区间 [, ] 上有连续的导函数且 f() =,f() =. 求证 : n= f(x) + f (x) dx.

27 7 中国科学技术大学 -3 学年第一学期 数学分析 (B) 期末试卷. ( 分 ) 设函数 f(x) 在 x > 有定义. 请叙述当 x + 时, 函数 f(x) 存在有限极限的 Cauchy 判别准则.. ( 每小题 分 ) 求下面的极限. x t 4 + cos t () lim dt x + x 4 + sin x + t 3 ( () lim n 3 n ln ( + ) ) n n + n 3. ( 每小题 分 ) 求下列积分. π sin x () dx () + cos x 4. ( 每小题 分 ) 求下面微分方程的通解或初值问题. ()(x + y)dx + xdy =. + x n+ e x dx (n 为自然数 ) ()y + (y ) = y,y() = y () =. ( ) n (x + )x n 5. ( 分 ) 求级数的收敛域 和函数, 并讨论在收敛域内是否一致收敛. n n= 6. ( 分 ) 设 f(x) 在 [a, b] 连续, 在 (a, b) 可导, 且 f(a) = f(b) =. 求证 : 对任意实数 c 都存在 ξ (a, b) 使得 f (ξ) + cf(ξ) =. 7. (8 分 ) 设 f(x) 在 [, ] 上非负单调递增连续函数, < α < β <. 求证 : α 并且不能换为更大的数. β α f(x)dx α β f(x)dx, β α α

28 8 中国科学技术大学 3-4 学年第一学期 数学分析 (B) 期末试卷. ( 分 ) 计算下面的导函数 : () ( ln( + e x sin x ) ). ( 分 ) 计算下面的极限 : n +n arctan x () lim dx n + x n 3. ( 分 ) 计算下面的不定积分和积分 : () (x + )e x ln xdx () () ( (x + ) sin x ) (n) () lim n n k= n + n k x x dx 4. ( 分 ) 求解微分方程 y cos x y sin x = y ( sin x) cos x. xe nx 5. ( 分 ) 讨论函数项级数 在区间 x < + 上的一致收敛性. n n= n= x n 6. ( 分 ) 求幂级数的收敛区域及和函数. n(n + ) 7. ( 分 ) 求证对任意 x >, y > 有 e x + e y + xy < e x+y ( 分 ) 设 f(x) 在 R 上有二阶导函数,f(x), f (x), f (x) 都大于零, 假设存在正数 a, b 使得 f (x) af(x) + bf (x) 对一切 x R 成立. 求证 : () lim x f (x) = ; () 存在常数 c 使得 f (x) cf(x).

29 9 中国科学技术大学 5-6 学年第一学期 数学分析 (B) 期末试卷. ( 每小题 5 分 ) 求极限. () lim n cos nx sin x n dx n. ( 每小题 5 分 ) 求不定积分或积分. () () lim x x arctan xdx () ( x) e x (3) dx (4) ( + x ) 3. (5 分 ) 设 f(x) = x ln( + x ). 求 f (n) (). x sin tdt ln( + x 4 ) x( + x 4 ) dx x 3 + dx + 4. (5 分 ) 求在 [, + ) 上连续可微函数 f(x),f() =, 使得对任意 t >, 曲线段 L : y = f(x), x [, t] 的弧长恰好等于 L 与两个坐标轴及垂直线 x = t 所围成的区域的面积. 并 求 L 绕 x 轴旋转所得的旋转体的体积. 5. ( 每小题 分 ) 求微分方程的通解. ()(sin x)y (cos x)y = sin x + ()y 3y + y = x 6. ( 分 ) 设 f(x) 在 R 上连续, 且满足方程 f(x + a) = f(x). 求证 : a xf(x)dx = a a f(x)dx. 7. (8 分 ) 设 f(x) 在 [, ] 上连续, 且 f(x). 求证 : 并求使上式成为等式的连续函数. (, xf(x)dx f(x)dx)

30 3 中国科学技术大学 6-7 学年第一学期 数学分析 (B) 期末试卷. ( 每小题 5 分 ) 求极限. x sin tdt () lim x + ln( + x 3 ). ( 每小题 8 分 ) 求不定积分和无穷积分. () x arctan xdx () (3) + x( + x ) dx x x dx n= () lim n n( x) cos(nx) sin(x n )dx cos nx 3. ( 分 ) 设 δ >. 考察函数项级数分别在区间 [δ, + ) 和 (, + ) 上是否一致收 + n x 敛. 4. ( 分 ) 求幂级数 n n xn 的收敛半径及和函数. n= 5. ( 分 ) 求下列微分方程的通解 : ()y + y = y x; ()xy + y = 6. ( 分 ) 求微分方程 y y = e 4x 满足初始条件 y() =, y () = 的特解. 7. (8 分 ) 设 f (x) 和 f (x) 是 [, ] 上正连续函数, 满足 f (x) f (x). 设 f n+ (x) = fn(x),n =,,. f n (x) + f n (x) 求证 : ()f n (x) c n f n (x), 其中 c =,c n+ = c n,n =,, ; ( c n + ) n f () f n (x) f n (x) (x) f (x) ; 3 (3) 函数列 {f n (x)} 在 [,] 上一致收敛. a n+ a n 8. (8 分 ) 设 {a n } 是大于 的递增数列. 求证 : 级数收敛的充分必要条件是 {a n } 有 a n= n ln a n+ 界.

31 3 中国科学技术大学 7-8 学年第一学期 数学分析 (B) 期末试卷. ( 分 ) 设 a, a,, a n 是 n + 个实数,x R, 求 n 次多项式 P n (x) 满足 P (k) n (x ) = a k, k =,, n.. ( 每小题 6 分 ) 求积分和不定积分 : () dx () sin x x arctan x (3) dx (4) + x 3. ( 每小题 7 分 ) 求解下面的微分方程 : () 求 y + y + y + y = 实的通解. y + xy = 4x () 求的解. y() = π π e 3 xdx 4. ( 分 ) 设 f(x) 是在 [, π ] 上非负单调递增的连续函数. 求证 : sin x + e x dx x x f(t) sin tdt ( cos x) x f(t)dt, x π. 5. ( 分 ) 设 u n (x) = ( ) n xe nx. 证明 :() u n (x) 在 [, ] 上一致收敛 ; () 对于任何 x [, ], u n (x) 收敛 ;(3) u n (x) 在 [,] 上不一致收敛. n= 6. ( 分 ) 求函数 f(x) = ln( + x) 在 x = 处的 Taylor 级数展开, 并指出收敛集合. 7. ( 分 ) 已知函数 f(x) 在区间 (a, b) 上可导,x (a, b). 定义函数 n= n= f(x) f(x ), x (a, b) \ {x }, g(x) = x x f (x ), x = x. 设 g(x) 在 x 可导, 且 f(x) 在 x 二阶可导. 求证 :g (x) 在 x 连续. 8. ( 分 ) 设 f(x) 在 [, ] 上有二阶连续导函数, 且 f()f(). 求证 : f (x) dx f(x) dx + f (x) dx.

32 3 中国科学技术大学 - 学年第二学期 数学分析 (B) 第二次测验 x ( πx ) 4 ( πx ). (5 分 ) 计算二重积分 dx sin dy + dx sin dy. x y x y. (5 分 ) 计算二重积分 (x + y)dxdy, 其中 D 是由曲线 x xy + y + x + y = 和曲 D 线 x + y + 4 = 围成的有界区域. 3. (5 分 ) 计算三重积分 xyzdxdydz, 其中 V : 由 z = xy, z =, x =, x =, y = V, y = 3 围成. 4. (5 分 ) 设曲线 L 为圆周 x + y = x, 计算曲线积分 x + y dl. L x + y 5. (5 分 ) 计算曲面积分 zds, 其中 S: 由 z = 和 z = 4 x 3 y 所围成的立体 表面. S 6. (5 分 ) 证明 : dx dx x x x n dx n = x x n n n!. 7. ( 分 ) 设一球面的方程为 x + y + (z + ) =, 从原点向球面上任一点 Q 处的切平面作 垂线, 垂足为点 P, 当点 Q 在球面上变动时, 点 P 的轨迹形成一封闭的曲面 S, 求此封闭曲 面 S 所围成的立体的体积.

33 33 中国科学技术大学 -3 学年第二学期 数学分析 (B) 第一次测验. ( 分 ) 下面两个函数在原点的连续性如何, 偏导数是否存在, 是否可微?( 要说明理由 ) x 3 y, (x, y) (, ), ()f(x, y) = x 6 + y, (x, y) = (, ). xy sin, (x, y) (, ), ()f(x, y) = x + y, (x, y) = (, ).. (5 分 ) 设 D = {(x, y) x >, y > }. 求函数 f(x, y) = xy + 5 x + 在区域 D 上的极值, 并 y 说明所求极值是否是最值. 3. ( 分 ) 用 Lagrange 乘数法求抛物线 y = (x ) 上的点到原点的最小距离. u = x + y 4. ( 分 ) 求常数 c 使得变换将方程 z v = x + cy x 5 z z x y + y = z 简化为 u v =, 其中二阶偏导数都连续. 5. (5 分 ) 设 f(x, y) 在区域 D 上有二阶偏导数, 且二阶偏导数都为零. 求证 :f(x, y) 是至多一 次函数, 即存在常数 a, b, c 使得 f(x, y) = ax + by + c. 6. ( 分 ) 设 z = z(x, y) 是由方程 ax + by + cz = ϕ(x + y + z ) 所确定的隐函数, 其中 ϕ 是一 个可微的一元函数,a, b, c 是常数. 求证 : (cy bz) z + (az cx) z x y = bx ay. 7. ( 分 ) 设 P n = (x n, y n ),n =,,... 是平面上的一个有界点列. 求证 :{P n } 有收敛的子列.

34 34 中国科学技术大学 -3 学年第二学期 数学分析 (B) 第二次测验. ( 每小题 5 分 ) 简答题 : () 设 fdσ >, 其中 I 为闭矩形,f 在 I 上连续. I 得 f > 在 J 上成立. 说明在 I 的内部存在闭矩形 J, 使 () 构造一个 D = [, ] 上的非负函数 f(x, y), 使得 f 在 D 上积分为零, 但是 f(x, ) 关 于 x 不可积, 而对任意 y,f(x, y) 关于 x 可积. 请说明理由.. (4 分 ) 计算积分 : () x + y dxdy () x +y x+y (3) dy y y dx (4) + x 3 x x y dx dy z x dz +y x +y +z 3. (5 分 ) 计算由 x + y = 所围成闭区域的面积. 4. (5 分 ) 计算由 (x + y + z ) = z 3 围成的立体的体积. 5. ( 分 ) 设 f(x) 在 [a, b] 上连续, 试证 : 对任意 x (a, b), 有 z ln(x + y + z + ) dxdydz x + y + z + x x dx dx xn a a a f(x n+ )dx n+ = n! x a (x y) n f(y)dy, n =,, ( 分 ) 计算下述积分 : cos xdxdydz, cos(ax + by + cz)dxdydz, V V 其中 V 是单位球体 x + y + z ;a, b, c 为常数, 满足 a + b + c =.

35 35. ( 分 ) 概念题 : 中国科学技术大学 3-4 学年第二学期 数学分析 (B) 第一次测验 () 叙述 n 元函数 z = f(x) = f(x, x,, x n ) 在其定义域 D 中一点 x 可微的定义. () 叙述二元函数 f(x, y) 在 (x, y ) 沿方向 e = (u, v ) 的方向导数的定义.. (5 分 ) 下面的函数在原点的连续性如何, 偏导数是否存在, 是否可微?( 要说明理由 ) (x + y ) sin, (x, y) (, ), f(x, y) = x + y, (x, y) = (, ). 3. (5 分 ) 求函数 f(x, y) = ( + e y ) cos x ye y 的极值点. 4. (5 分 ) 求函数 f(x, y) = x a + y 在条件 x + y = 之下的条件极值. b u = x + y 5. ( 分 ) 求常数 c 使得变换将方程 z v = x + cy x 5 z z x y + y = z 简化为 u v =, 其中二阶偏导数都连续. 6. (5 分 ) 求在 R 上满足方程组 f x = af f y = bf 的二元可微函数 f(x, y), 其中 a, b 是常数. 7. ( 分 ) 设 z = z(x, y) 是由方程 ax + by + cz = ϕ(x + y + z ) 所确定的隐函数, 其中 ϕ 是一 个可微的一元函数,a, b, c 是常数. 求证 : (cy bz) z + (az cx) z x y = bx ay.

36 36 中国科学技术大学 - 学年第二学期 数学分析 (B) 第三次测验. ( 分 ) 求向量场 v = (yz, zx, xy) 的散度和旋度.. (5 分 ) 计算第二型曲线积分 : (y + z )dx + (z + x )dy + (x + y )dz, 其中曲线 L 是半球面 {x + y + z = a, z } L 与圆柱面 {x + y = b }(a > b > ) 的交线,L 的定向与 z 轴正向构成右手系. 3. (3 分 ) 计算第二型曲面积分 : () (y x)dydz +(z y)dzdx+(x z)dxdy, 其中 S = {z = x y : z },S 的 S 定向与 z 轴的正向同侧. () (x + y + z ) 3 S (xdydz + ydzdx + zdxdy), 其中曲面 S = {(x, y, z) R 3 : x 9 + y 6 + z 5 = }, 正向是曲面的外法向. 4. (5 分 ) 给定平面分段光滑曲线 L = {y = x 5 + : x [, ]} {y = x 5 + : x ydx + xdy [, ]},L 的正向是参数 x 增加的方向, 求积分. L x + y 5. (5 分 ) 设曲面 S = {x + y + z = : z }, 它的定向 n 是与 z 轴正向同侧的单位法向量, 函数 f = sin(x + y + 4xy z),g = x + y + 4z, 求积分 ( f g) ds. 6. (5 分 ) 讨论如下问题 : 若两个向量场的散度和旋度相等, 这两个向量场是否相等? 以下设 Ω 是 R 3 的有界区域, 它的边界 Ω 是光滑曲面,n 是 Ω 的单位外法向量场, 涉及 到的函数和向量场具有二阶连续偏导数. ()( 分 ) 设 f 是 Ω 上的函数, 证明 : S Ω f n ds = Ω f dxdydz, f 这里是 f 沿方向 n 的方向导数, f = f n x + f y + f z. ()(5 分 ) 设定义在 Ω 的函数满足 f =,f Ω, 证明 f. (3)(8 分 ) 设 v v 是定义在 Ω 上的向量场, 满足 :rotv =rotv divv =divv, 问能否推 出 v = v? 若成立, 请证明之 ; 若不然, 你认为在什么合理条件下 v = v?

37 37 中国科学技术大学 - 学年第二学期 数学分析 (B) 第四次测验. (5 分 ) 设函数 f(x) = arcsin(cos x), 将 f(x) 在 [ π, π] 上展开成 Fourier 级数, 讨论此 Fourier 级 数的收敛性, 并利用此求级数的和. (n ) n=. (5 分 ) 求函数 f(x) = e x sin x 的 Fourier 变换. 3. (6 分 ) 判断下面非正常积分的敛散性 : () + cos(x )dx () π 4. ( 分 ) 计算积分 5. (6 分 ) 证明 : () 含参变量积分 + () 对任一正实数 ε >, arctan(tan x) dx. tan x dx ( x )( x ) e bx sin xdx 在 < b < + 上收敛, 但不一致收敛 ; + e bx sin xdx 在 < ε b < + 上一致收敛. 6. ( 分 ) 设 f(x) 是 R 上的连续周期函数, 而其导函数 f (x) 在 R 上逐段光滑, 证明 ; 函数 f(x) 的 Fourier 系数 a n 和 b n 满足 : 当 n 时, 有 n max{a n, b n }. + π 7. (8 分 ) 利用 e x dx =, 分别解决下列问题 : () 计算 + x e nx dx (n 是正整数 ); () 对固定的参数 t >, 求函数 F (λ) = e tλ 的 Fourier 逆变换.

38 38 中国科学技术大学 -3 学年第二学期数学分析 (B) 第三次测验. ( 每小题 分 ) 已知向量场 V = (xz, yz, x + y z ). () 求 V 的旋度 rotv ; () 问 V 是否是一个有势场? 若是, 求出 V 的一个势函数.. ( 每小题 5 分 ): () 求向量场 V = (z, x, y) 沿曲线 r(t) = (a cos t, a sin t, at) (t [, π]) 的第二型曲线积分,t 是曲线的正向参数 ; () 设曲面 S : {z = a x y x +y a },S 的定向与 z 轴正向同向, 求积分 r ds, 其中 r = (x, y, z). 3. (5 分 ) 设 a > b >, 求椭圆盘 { x a + y b } 与椭圆盘 { x b + y a } 公共部分的面积. 4. (5 分 ) 设 f 是 (, + ) 上的光滑函数, 向量场 V = f(r)r, 其中 r = (x, y, z),r = r. () 证明 V 是无旋场 ; () 若 divv =, 求 f. 5. ( 分 ) 设 V 是定义在区域 Ω = {(x, y, z) : 4 < x + y + z < 5 4 } 上的光滑向量场, 曲 面 S = {x + y + z = }, 正向为外法向. 证明 : rotv ds =. 6. ( 分 ) 设 u 是定义在 R 3 上的光滑函数,V 是 R 3 的光滑向量场 ;Ω 是 R 3 的一个有界区域, 它 的边界 S = Ω 是光滑曲面, 并且函数 u 满足 :u(x, y, z) = 常数, (x, y, z) S. 证明 : (rotv gradu)dxdydz =. Ω S S

39 39. ( 分 ) 将函数 f(x) =. ( 分 ) 求函数 f(x) = 中国科学技术大学 -3 学年第二学期 数学分析 (B) 第四次测验, x <, x < π 展开成 Fourier 级数, 并求 n= sin n n., x > + sin x cos x 的 Fourier 变换, 并计算 dx., x < x + sin x 3. (5 分 ) 研究 p 的取值范围使得广义积分 x dx 绝对收敛 条件收敛 ; 请说明原因. p yf(x) 4. (5 分 ) 设 f(x) 在 [, ] 连续且 f(x) >, 研究函数 g(y) = x + y dx 的连续性. + e x e x 5. ( 分 ) 计算 ( 过程中要说明原因 ) cos xdx. x + x 4 6. ( 分 ) 试利用 Euler 积分来计算 ( + x) dx. 7. ( 分 ) 设 则 ()f(x) 在 [a, + ) 上可微且单调下降趋于 ; () + a + a f(x)dx < + ;(3)f (x) 在 [a, + ) 上可积. xf (x)dx 收敛.

40 4 中国科学技术大学 3-4 学年第二学期 数学分析 (B) 第三次测验. (5 分 ) 求向量场 v = (y, z, x) 沿曲线 r(t) = (a cos t, a sin t, bt),t [, π] 的曲线积分,t 是 曲线的正向参数, 而 a, b 为正的常数.. (5 分 ) 计算积分 y zds, 其中 Σ 为曲面 z = x + y (z ). Σ 3. ( 分 ) 已知向量场 v = (x yz, y xz, 3z xy ), 判断 :v 是否是一个保守场? 若是, 求出 v 的一个势函数. xdy ydx 4. ( 分 ) 计算曲线积分, 其中 L 是沿曲线 x = (y + ) 从点 A(, ) 到 L x + y 点 B(, ) 的一段. 5. ( 分 ) 设矢量 r = xi + yj + zk, 并记 r = r. 证明 : Ω r dv = 5 S r r nds, 其中 Ω 是由闭曲面 S 所包围的不含原点的空间区域,n 是曲面 S 的单位外法向. 6. ( 分 ) 设 Ω R 3 是有界闭区域, 其边界 Ω 为光滑闭曲面,n 是 Ω 的单位外法向. 设光滑 函数 u 是 Ω 上的调和函数, 且满足边界条件 其中 α 为常数. 证明 :u 在 Ω 上恒为零. [ αu + u n ] Ω =,

41 4. ( 每小题 8 分 ) 中国科学技术大学 3-4 学年第二学期 数学分析 (B) 第四次测验 () 有限闭区间 [a, b] 上的可积且平方可积的函数一定是绝对可积的. 这个命题是否成立? 如 成立, 请证明 ; 否则给出反例. () 把函数 f(x) = x 3 在区间 [,] 上按周期 进行 Fourier 展开, 那么得到的 Fourier 级数收敛域 是什么? 在这个收敛域上级数是否一致收敛? 这个级数在 x = 出的值是多少?. (3 分 ) 设 f(x) = x,x [ π, π]. ()(5 分 ) 把 f 延拓到整个直线上, 称为周期为 π 的函数. 写出延拓后函数的定义. ()( 分 ) 计算出 f(x) 在 [ π, π] 上展开得到的 Fourier 级数. (3)(5 分 ) 上述 Fourier 级数是否收敛? 若收敛极限是什么? 请说明理由. (4)( 分 ) 求下述两个级数的和 : (n ), (n ). 4 n= 3. ( 分 ) 设 f 在 [ π, π] 上可导,f 可积且平方可积. 如果 f( π) = f(π), 证明 : n= lim na n = lim nb n =, n + n + 其中 a n 和 b n 为 f 在 [ π, π] 上的 Fourier 系数., x <, 4. (4 分 ) 考虑函数族 :N (x) =, 其它, N m (x) = N m (x t)dt, m. ()( 分 ) 证明 :N m (X) = N (x) N (x) N (x), 其中 表示卷积运算. }{{} m 项 ()( 分 ) 给出 N m (x) 的 Fourier 变换 F [N m ](λ). (3)(4 分 ) 当 m =,,... 时,F [N m ](λ) 经 Fourier 逆变换的结果是什么? 请说明理由. 5. ( 分 ) 考虑函数 f(x) = e βx, 其中 β >,x >. ()( 分 ) 计算出 f(x) 的 Fourier 正弦变换的表达式 ; ()( 分 ) 利用上述结果, 证明 : 当 α >, β > 时 + x sin βx α + x dx = π e αβ.

42 4 中国科学技术大学 5-6 学年第二学期数学分析 (B) 第三次测验. ( 每小题 分 ) 计算题 : () 求第二型曲线积分 ydx + y x dy + zdz, 其中 L + 为球面 x + y + z = 与球 L + 面 x + y + z = z 的交线, 其方向为与 z 轴正向满足右手法则. () 利用第二型曲线积分计算心脏线 x = a( cos t cos t), y = a( sin t sin t) 所围成的平面图形的面积. (3) 求第二型曲面积分 ( f(x, y, z) + x ) dyz + ( f(x, y, z) + y ) dzdx + ( f(x, y, z) + z ) dxdy, S + 其中 f(x, y, z) 为连续函数,S + 是平面 x y + z = 在第四象限部分的上侧. (4) 求第二型曲面积分 (x+y )dydz+(y+z )dzdx+(z+x )dxdy, 其中 S + 为柱面 x +y = S + 被平面 z = 和 z = 3 所截部分的外侧. xdydz + ydzdx + zdxdy (5) 求第二型曲面积分, 其中 S + 是有界光滑闭曲面的外侧, (x + y + z ) 3 并且原点不在曲面 S + 上. S +. (5 分 ) 已知 a, b 是常向量, 且 a b = (,, ),r = (x, y, z). 求向量场 A = (a r)b 沿闭曲 线 L + 的环量, 其中 L + 为球面 x + y + z = 与平面 x + y + z = 的交线, 其方向为与 z 轴正 向满足右手法则. 3. (5 分 ) 设 f, g 为有连续导数的函数,f() = g() =, 且向量场 F (x, y, z) = ( yf(x), f(x) + zg(y), g(y) ) 是保守场, 求出 f, g 以及向量场 F (x, y, z) 的势函数. 4. ( 分 ) 设函数 ϕ(x) 有连续的导数, 在围绕原点的任意逐段光滑的简单闭曲线 C 上, 曲线积 xydx + ϕ(x)dy 分的值为常数. C x y () 设 L + 为正向闭曲线 (x ) + y xydx + ϕ(x)dy =, 在不求出 ϕ(x) 的情况下, 求. L x y () 求函数 ϕ(x). (3) 设 C + xydx + ϕ(x)dy 是围绕原点的正向光滑简单闭曲线, 求. C x y

43 43 中国科学技术大学 5-6 学年第二学期 数学分析 (B) 第四次测验. (6 分 ) 判断下列积分是否收敛 : + sin x () dx () x( + x). ( 分 ) 证明 : + k= ( cos ( (6k + )x ) 6k + + cos ( (6k + 5)x ) ) = 6k ( 分 ) 判断下列积分是否关于 u > 一致收敛 : 4. ( 分 ) 计算 : () + 5. ( 分 ) e x x + cos xdx () (ln x) sin x x dx π [, 3, x π ) 3 π 4 3, x = π ( 3 π, x 3, π ) 3 π 4 3, x = π 3 π ( π ] 3, x 3, π sin(ux) dx. x () 证明 : + sin u x, x [, ] cos(ux)du =. π u, x > + sin 3 x () 计算 : dx. x 3 6. ( 分 ) 计算极坐标下曲线 r 4 = sin 5 θ cos 3 θ 所围成的区域面积. 7. ( 分 ) 计算 e x 的 Fourier 变换. ln( + a x ) ln( + b x ) dx x.

44 44 中国科学技术大学 -3 学年第二学期 数学分析 (B) 期末试卷. (5 分 ) 设 u = u(x, y),v = v(x, y) 是由下面的方程 u + v + x + y = u + v + x + y = (u, v) 所确定的函数. 求 (x, y).. (5 分 ) 计算积分 π dy π y x sin(xy)dx. 3. (5 分 ) 计算抛物线 x = y 与直线 y = x 所围成的区域的面积. 4. (5 分 ) 求常数 a 使得向量场 F = (x + 5ay + 3yz, 5x + 3axz, (a + )xy 4z) 是有势场, 并求出这时的势函数. 5. (5 分 ) 设 α 不是整数. 求 cos αx 在 [ π, π] 上的 Fourier 级数展开并证明 + cos απ sin απ = ( π α + α ). α n n= cos t 6. (5 分 ) 求证 f(x) = + (x + t) dt 在 x < + 有二阶连续导数且满足微分方 程 f x (x) + f(x) = ( + x ). 7. ( 分 ) 设 D 是 xy 平面上有限条逐段光滑曲线围成的区域,f(x, y) 在 D 上有二阶连续偏导数 且满足方程 f x + f y = a f x + b f y + cf, 其中 a, b, c 为常数且 c a + b. 求证 : 若 f 在 D 上恒为零, 则 f 在 D 上恒为零.

45 45. ( 分 ) 级数下列各题 : 中国科学技术大学 3-4 学年第二学期 数学分析 (B) 期末试卷 () 计算 R 3 上的向量场 V = (x + y, z 3 x, y + z) 的旋度和散度 ; () 计算二重积分 arctan y x dxdy, 其中 D 为 x + y = 4 (x, y > ),x + y = (x, y > D ), 与直线 y = x 和 x = 所围成的闭区域. x = u cos v. ( 分 ) 已知螺旋面 S 的方程 y = u sin v z = v ( u 5, v π), 试求 : () 过 S 上一点 M( 3,, π 3 ) 的切平面方程 ; z () 计算曲线积分 L x + y dl, 其中 L 是 S 上对应参数 u = 5 的曲线., x π 3. ( 分 ) 试将函数 f(x) = π 展开成 Fourier 级数, 并求, < x π n= 4. ( 分 ) + e ax e bx () 计算积分 dx, 其中常数 b > a > ; x () 利用欧拉积分计算 x 4 x dx. 5. ( 分 ) 给定 R 3 中 n 个固定点 M i,i =,,..., n, 考察向量函数 ( ) n n. F (x, y, z) = n i= ( grad γ ) i, 4πr i 其中 γ i > 为正的常数, 而 r i 为点 M(x, y, z) 到固定的 M i 的距离. 现在, 已知光滑封闭曲 面 S 所围成的区域的内部包含了这 n 个固定点. 试求 :F 穿过曲面 S 的流量.

46 46 中国科学技术大学 5-6 学年第二学期 数学分析 (B) 期末试卷. (5 分 ) 设 u = u(x, y),v = v(x, y) 是由下面的方程 u + v + x + y = u + v + x + y = (u, v) 所确定的函数. 求 (x, y). π π. (5 分 ) 计算积分 dy x sin(xy)dx. y 3. ( 分 ) 设 D 是由直线 x =,y = x,y = π 所围成的区域. 计算二重积分 4. (5 分 ) 求第二型曲面积分 D sin y y dxdy. x 3 dydz + y 3 dzdx + z 3 dxdy, 其中曲面 S 是上半球面 z = x y 法向朝上. S 5. (5 分 ) 求常数 a 使得向量场 F = (x + 5ay + 3yz, 5x + 3axz, (a + )xy 4z) 是有势场, 并求出这时的势函数. n 6. (5 分 ) 设 x, x,..., x n 是正数, 且 x i = n. 用 Lagrange 乘数法证明 i= n i= x i n i= x i n, 等号当且仅当 x = x = = x n = 时成立. + e xt 7. (5 分 ) 求证 f(x) = + t dt 在 < x < + 可导且满足微分方程 f(x) f (x) = π. x

47 47 中国科学技术大学 6-7 学年第二学期 数学分析 (B) 期末试卷. ( 分 )() 设 z = f(x, y), x = u + v, y = ue v z. 求 u, z v. u () 求方程组 x = cos v+u sin v, y = sin v u cos v 所确定的反函数组的偏导数 x, u y, v x, v y.. ( 分 ) 设 a j >, b j > (j =,,..., n). n n () 用 Lagrange 乘数法求函数 f(x,, x n ) = b k x k 在条件 a k x k = 之下的极值. k= n n () 由 () 的结论证明不等式 b i x a ( n ) i. i a i x i b i= i= i i= 3. ( 分 ) 设 f(x) 有连续的导函数,f() =, 且曲线积分 (,) S C k= ( e x + f(x) ) ydx + f(x)dy 与路径 ( 无关. 求 e x + f(x) ) ydx + f(x)dy. (,) 4. (4 分 ) 设 a, b, c 是正数, 求第二型曲面积分 (by + cz )dydz + (cz + ax )dzdx + (ax + by )dxdy, 其中 S 是上半球面 x + y + z =, (z ) 的上侧. 5. ( 分 ) 设 a, b, c 不全为零,L 是球面 S : x +y +z = R (R > ) 与平面 Σ : ax+by+cz = 的 交线, 其方向这样来定 : 质点在 L 上运动的正方向与平面 Σ 的法向 (a, b, c) 成右手系. 计算第二型曲线积分 (bz + c)dx + (cx + a)dy + (ay + b)dz. L, π < x < 6. (8 分 )() 求周期为 π 的函数 f(x) = 的 Fourier 级数., x π cos(n )x () 求级数的和. (3) 由 () 的结论求级数 ( x π) 的和. (n ) (n ) n= 7. ( 分 ) 证明 : 由含参变量的广义积分 F (t) = 的可导函数. + n= sin x x ln(+tx)dx 定义的函数 F (t) 是 [, + ) 上 8. (8 分 ) 设 D 是由光滑封闭曲线 L 所围的区域, 函数 f(x, y) 在 D 上有二阶连续偏导数, 且满足 e y f x + f ex y =, 并且 f 在 L 上恒为零. () 求证 : 存在有连续偏导数的函数 P (x, y), Q(x, y) 使得 () 证明 :f 在 D 上恒为零. Q x P ( f ) ( y = ey + e x f ), (x, y) D; x y