1 导数和微分的概念导数和微分的定义 1 导数和微分的概念考虑函数 y = 在 x 0 的邻域内有定义当 x x 0 时, 记 x = x x 0 ; y = f(x 0 ). 定义 1.1. 若函数 y = 在其定义域中的一点 x 0 处极限 y x x 0 x = f(x 0

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淇吞逄
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1 第三章一元微分学 2017 年 11 月 2 日目录 1 导数和微分的概念导数和微分的定义导数的几何意义单侧导数导数的计算四则运算复合函数求导反函数求导隐函数求导参数方程求导高阶导数高阶导数的概念高阶导数的计算微分中值定理及其应用 Fermat 引理和 Rolle 定理 Lagrange 中值定理和 Cauchy 中值定理 L Hospital 法则 Taylor 公式导数的应用单调性与一阶导数凸性与二阶导数极值与最值函数作图

2 1 导数和微分的概念导数和微分的定义 1 导数和微分的概念考虑函数 y = 在 x 0 的邻域内有定义当 x x 0 时, 记 x = x x 0 ; y = f(x 0 ). 定义 1.1. 若函数 y = 在其定义域中的一点 x 0 处极限 y x x 0 x = f(x 0 ) f(x 0 + x) f(x 0 ) = x x 0 x x 0 x 0 x 存在, 则称在 x 0 处可导, 并称这个极限值为在 x 0 处的导数, 记作 f (x 0 ), 或 y (x 0 ), df dx, dy dx 若在某一区间上处处可导, 则称 f (x) 为在该区间上导函数定义 1.2. 对函数 y = 定义域中的一点 x 0, 若存在只与 x 0 有关, 而与 x 无关的数 g(x 0 ) 使得当 x 0 时有 y = g(x 0 ) x + o( x), 则称在 x 0 处可微, 记作 dy = g(x 0 )dx. 定理 1.1. 一元函数 y = 在 x 0 处可微的充分必要条件是在 x 0 处可导, 且有 dy = f (x 0 )dx. 定理 1.2. 函数在 x 0 点可导, 则必在 x 0 点连续例 1.1. 用定义验证 : (c) = 0, (c 是常数 ); (a x ) = a x ln a; (log a x) = 1 (ln a)x, x > 0; (x α ) = αx α 1, x > 0; (sin x) = cos x; (cos x) = sin x. 例 1.2. 用定义验证 :y = x 2 3 在 x = 0 点不可导 1.2 导数的几何意义给定函数 y =, 导数定义中取极限的函数 : y x = f(x 0) x x 0,

3 2 导数的计算 3 表示图像上连接点 (x 0, f(x 0 )) 和点 (x, ) 的直线段的斜率若在 x 0 点可导, 则当 x x 0 时, 该斜率存在极限, 即为 (x 0, f(x 0 )) 点图像切线的斜率同时由可微与可导的等价性, 是关于 x 的高阶无穷小量记则 y = l(x) 给出切线对应的函数表达 y f (x 0 ) x = [f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 )] l(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). x 2 例 1.3. 求椭圆 a 2 + x2 b 2 = 1(a, b > 0) 上任一点 (x 0, y 0 ) 处的切线方程 1.3 单侧导数定义 1.3. 若函数 y = 在定义域中的点 x 0 处, 极限 y x x 0 + x = f(x 0 + x) f(x 0 ) x 0+ x 存在, 则称该极限值为在 x 0 点的右导数, 记作 f +(x 0 ); 若极限 y x x 0 x = f(x 0 + x) f(x 0 ) x 0 x 存在, 则称该极限值为在 x 0 点的左导数, 记作 f (x 0 ) 定理 1.3. 函数在 x 0 点可导的充分必要条件是 : 在 x 0 点的左右导数存在且相等例 1.4. 考察函数 = x 在 x = 0 处的可导情况例 1.5. 考察函数 x sin 1 x =, x > 0, 0, x 0. 在 x = 0 处的可导情况例 1.6. 设函数 x 2 + b, x > 2, = ax + 1, x 2. 试确定 a, b 使得在 x = 2 处可导 2 导数的计算 2.1 四则运算定理 2.1. 设函数, g(x) 均在点 x 处可导, 则 a + bg(x)(a, b R), g(x), (g(x) 0) g(x) 均在点 x 处可导, 且

4 2 导数的计算 4 (1) (a + bg(x)) = af (x) + bg (x); (2) (g(x)) = f (x)g(x) + g (x),(leibniz 公式 ); (3) ( ) = f (x)g(x) g (x) g(x) (g(x)) 2. 例 2.1. 验证下列函数的导数 : (tan x) = (sec x) 2 ; (cos x) = (csc x) 2 ; (sec x) = tan x sec x; (csc x) = cot x csc x. 例 2.2. 求下列函数的导数 : (1) y = e x (sin x + tan x); (2) y = x sin x x 复合函数求导定理 2.2 ( 链式法则 ). 设函数 y = 在点 u 0 处可导,u = g(x) 在点 x 0 处可导, 且 u 0 = g(x 0 ), 则复合函数 y = f(g(x)) 在点 x 0 处可导, 且有 (f(g(x))) = f (u 0 )g (x 0 ), 或写成 dy du u=u0 du dx = dy dx. 由链式法则得到复合函数的微分公式为 : dy = f (u)du = f (u)g (x)dx. 作为中间变量的 u, 在第一个等号处, 变量 u 作为自变量, 在第二个等号处, 变量 u 作为因变量复合函数的链式法则告诉我们作为自变量的 du 和作为因变量的 du 是一样的, 这也被称为一阶微分形式不变性例 2.3. 验证下列函数的导数 : (sinh x) = cosh x; (cosh x) = sinh x. 例 2.4. 求下列函数的导数 : (1) y = cos(sin x 3 ); (2) y = (sin x) cos x ; (3) y = ln(x x 2 ).

5 2 导数的计算 5 例 2.5. 设函数在 x 0 处可导, 且 f(x 0 ) 0, 证明 :(ln ) = f (x 0 ) f(x 0 ). 例 2.6. 求下列函数的导数 : (1) y = (1 + x 2 ) tan x ; (2) y = (x + 5)2 (x 4) 1 3. (x + 2) 5 (x + 4) 反函数求导定理 2.3. 设函数 y = 在 (a, b) 上可导且严格单调, 并且 f (x) 0 记 α = min{f(a+), f(b )}, β = max{f(a+), f(b )} 则它的反函数 x = f 1 (y) 在 (α, β) 上可导, 且有 ( f 1 (y) ) = 1 f (x). 例 2.7. 验证下列函数的导数 : (arcsinx) = 1 1 x 2 ; (arccosx) 1 = ; 1 x 2 (arctanx) = x 2 ; (arccotx) = x 隐函数求导设函数 y = 由方程 F (x, y) = 0 确定, 则 F (x, ) 0 故对方程两边求导, 得 d (F (x, )) = 0. dx 由此得到关于 f (x) 的方程, 并通过解方程得到 f (x) 例 2.8. 设 y = y(x) 由下列方程确定, 求 y (x): (1) e xy + cos(xy) y 2 = 0; (2) x 2 + y 2 = e arctan y x. 2.5 参数方程求导设平面曲线 C 由参数方程 x = x(t), y = y(t), t [α, β] 给出, 并且 x(t), y(t) 均可导若 x (t) 0, 由下两节的知识可知 x = x(t) 严格单调, 故存在反函数 t = t(x), 且 t = t(x) 可导, 由反函数求导法则得 t (x) = 1 x (t).

6 3 高阶导数 6 由此确定的 x, y 之间的函数关系 y = y(t(x)), 由复合函数求导法则得若 y (t) 0, 类似可得函数关系 x = x(t(y)) 以及 dy dx = dy dt dt dx = y (t) x (t). dx dy = dx dt dt dy = x (t) y (t). 例 2.9. 圆的渐开线方程为 dy 求 dx. x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t t cos t), a > 0 例求四叶玫瑰线 r = a sin(2θ)(a > 0) 在 θ = π 4 处的切线方程 3.1 高阶导数的概念 3 高阶导数定义 3.1. 设函数 y = 在点 x 0 的某邻域内有导函数 f (x) 若 f (x) 在 x 0 处可导, 则称在 x 0 处二阶可导, 的二阶导数记作 f (x 0 ), 即 f (x 0 ) = x x 0 f (x) f (x 0 ) x x 0, 也可以记作 y (x 0 ), d 2 y dx 2, d 2 f dx 2. 一般地, 若的 n 1 阶导函数 f (n 1) (x) 在 x 0 处可导, 则称在 x 0 处 n 阶可导, 的 n 阶导数记作 f (n) (x 0 ), 即 f (n) f (n 1) (x) f (n 1) (x 0 ) (x 0 ) =, x x 0 x x 0 也可以记作 y (n) (x 0 ), d n y dx n, d n f dx n. 例 3.1. 求下列函数的 n 阶导数 : (1) y = (ax + b) α ; (2) y = sin(ax); (3) y = ln x x. 例 3.2. 试求 = sin x 3 在 x = 0 处的最高阶导数

7 4 微分中值定理及其应用高阶导数的计算原则上讲, 高阶导数总是可以通过一阶一阶的求导得出定理 3.1. 设函数, g(x) 在区间 I 上 n 阶可导, 则在 I 上有 : (1) (a + bg(x)) (n) = af (n) (x) + bg (n) (x); (2) (g(x)) (n) = n Cnf k (k) (x)g (n k) (x), 其中 Cn k = k=0 n! k!(n k)!. 例 3.3. 设 g(x) 二阶可导, 且 g(x) 0, 验证 : ( ) 1 = g (x)g(x) + 2(g (x)) 2 g(x) (g(x)) 3 例 3.4. 设 y = f(u) 与 u = g(x) 均二阶可导, 验证 : 复合函数 y = f(g(x)) 的二阶导数为 d 2 y dx 2 = f (g(x))(g (x)) 2 + f (g(x))g (x) 例 3.5. 设由方程 e xy + x 2 y 1 = 0 确定的函数 y = y(x) 二节可导, 求 y. d 2 y 例 3.6. 设函数 y = y(x) 由下列参数方程确定, 求 dx 2 : x = a cos 3 t, y = a sin 3 t, (a > 0). 4 微分中值定理及其应用 4.1 Fermat 引理和 Rolle 定理定义 4.1. 设函数的定义域为 D f 若对于点 x 0 D f, 存在 δ > 0, 使得 U(x 0, δ) D f 且 f(x 0 )( 或 f(x 0 )), x U(x 0, δ) 则称 f(x 0 ) 为的极大值 ( 或极小值 ), 而点 x 0 称为极大值点 ( 或极小值点 ) 极大值点和极小值点统称为极值点定理 4.1 (Fermat 引理 ). 若函数在 x 0 点可导, 且 x 0 点为极值点, 则 f (x 0 ) = 0. 对可导函数,f (x) = 0 的点称为驻点定理 4.2 (Darboux 定理 ). 设函数在 [a, b] 上可导, 且 f +(a) < f (b), 则 λ (f +(a), f (b)), ξ (a, b), 使得 f (ξ) = λ. Darboux 定理告诉我们区间上的导函数满足介值定理, 虽然它不一定连续所以, 不是所有的函数都能称为某个可导函数的导函数定理 4.3 (Rolle 中值定理 ). 设函数在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内可导, 且 f(a) = f(b), 则存在 ξ (a, b) 使得 f (ξ) = 0.

8 4 微分中值定理及其应用 8 例 4.1. 设函数在 [a, + ) 上可导, 且有 n 个零点, 若 f(a)f +(a) > 0, 则 f (x) 在 (a, + ) 上至少有 n 个零点例 4.2. 设函数在 [0, + ) 上可导,f(0) = π 2, 且 0 arctan 1 x, 证明 : 存在 ξ (0, + ) 使得 (1 + ξ 2 )f (ξ) = Lagrange 中值定理和 Cauchy 中值定理定理 4.4 (Lagrange 中值定理 ). 设函数在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内可导, 则存在 ξ (a, b) 使得 f(b) f(a) b a = f (ξ). 定理 4.5 (Cauchy 中值定理 ). 设函数, g(x) 均在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内可导, 且 g (x) 0, x (a, b), 则存在 ξ (a, b) 使得 f(b) f(a) g(b) g(a) = f (ξ) g (ξ). 例 4.3. 证明 : 区间 I 上的函数为常值函数的充分必要条件是可导且 f (x) = 0, x I. 例 4.4. 设函数在区间 I 上可导 (1) 若 f (x) 在 I 恒正 ( 或恒负 ), 则在 I 上严格递增 ( 或严格递减 ) (2) 若 f (x) 在 I 上有界, 则在 I 上一致连续例 4.5. 设函数在点 x 0 处右连续, 且存在 δ > 0 使得在 (x 0, x 0 +δ) 内可导若 f (x 0 +0) = x0 x 0 + f (x) 存在, 证明 : 在点 x 0 处右导数存在, 且 f +(x 0 ) = f (x 0 + 0). 例 4.6. 设函数在 (a, b) 上可导证明 :(a, b) 内的点或是 f (x) 的连续点, 或是 f (x) 的第二类间断点例 4.7. 设函数在 [a, + ) 上二阶可导,f(a) > 0, f +(a) < 0 且 f (x) < 0, x > a. 证明 : 在 [a, + ) 中有且只有一个零点例 4.8. 设 a < b, ab > 0, 证明 : 存在 ξ (a, b) 使得 ae b be a = (1 ξ)e ξ (a b). 例 4.9. 设在 (a, b) 内二阶可导, 证明 : 对 (a, b) 中任意两点 x 0, x, 存在 ξ 在 x 0, x 之间, 使得 = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (ξ) (x x 0 ) 2. 2

9 4 微分中值定理及其应用 L Hospital 法则以 x x 0 的极限情形为例, 设 = A, g(x) = B, 要求分数型函数 x x 0 x x 0 x x 0 g(x) 目前以下几种情形已知 : (1) 若 A, B 是常数且 B 0, 则运用极限的四则运算法则有 : x x 0 g(x) = A B ; (2) 若 A 是常数或, A 0, B = 0, 则用定义可验证 : x x 0 g(x) = ; (3) 若 A 是常数,B =, 则用定义可验证 : x x 0 g(x) = 0. 0 剩余 A = B = 0 和 A =, B = 的情形未知, 我们简称为 0 法则用来处理这两种类型的极限型极限和型极限 L Hospital 以下两个定理我们给出 x x 0 + 和 x + 的极限情形的 L Hospital 法则, 对于 x x 0 和 x 的极限情形可类似得到, 对于 x x 0 和 x 的极限情形可以通过两侧极限的结果综合得到定理 4.6 (L Hospital 法则 I). 设函数, g(x) 在 (x 0, x 0 + δ)(δ > 0) 内可导, 并且对于 x (x 0, x 0 + δ) 有 g (x) 0 以及 f (x) x x 0 + g (x) = A (A 是常数或, ± ). 若还有 = g(x) = 0 或 g(x) = 则 x x 0 + x x 0 + x x 0 + x x 0 + g(x) = A. 定理 4.7 (L Hospital 法则 II). 设函数, g(x) 在 (a, + ) 内可导, 并且对于 x (a, + ) 有 g (x) 0 以及 f (x) x + g (x) = A (A 是常数或, ± ). 若还有 = g(x) = 0 或 g(x) = 则 x + x + x + 例求下列极限 : e x e x 2x (1) ; x 0 x sin x ( ) 1 sin x x (2) 2 ; x 0 x ( 2 (3) x 0 sin 2 x 1 1 cos x 1 (1 + x) x e (4). x 0 x ) ; x + g(x) = A.

10 4 微分中值定理及其应用 10 例当 x + 时, 下列函数 ln x, x λ (λ > 0), e x, x x 均为无穷大, 证明 : 上面排列中, 后一个函数是前一个函数的更高阶无穷大例设函数在点 x 0 处二阶可导, 证明 : 4.4 Taylor 公式 f(x 0 + h) + f(x 0 h) 2f(x 0 ) h 0 h 2 = f (x 0 ). 充分光滑的函数可以用多项式近似,Taylor 公式主要研究 : (1) 什么样的多项式可以用来最好地逼近, 它的阶数和系数如何用 f 确定? (2) 误差怎么表达或估计? 带 Peano 余项的 Taylor 公式定理 4.8 ( 带 Peano 余项的 Taylor 公式 ). 设函数在点 x 0 处 n 阶可导, 则有 = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + r n (x x 0 ). n! 其中 r n (x x 0 ) = o ((x x 0 ) n ) (x x 0 ) 称为 Peano 余项当 n = 1, 带 Peano 余项的 Taylor 公式即在点 x 0 处可微的定义当 x 0 = 0 时, 也称为带 Peano 余项的 Maclaurin 公式例验证下列函数带 Peano 余项的 Maclaurin 公式 : e x = 1 + x + x2 2! + xn n! + o(xn ), (x 0); sin x = x x3 3! + x5 5! + + ( 1)n 1 x 2n 1 (2n 1)! + o(x2n ), (x 0); cos x = 1 x2 2! + x4 x2n ( 1)n 4! (2n)! + o(x2n+1 ), (x 0); ln(1 + x) = x x2 2 + x3 n 1 xn + + ( 1) n! + o(xn ), (x 0); (1 + x) α = 1 + αx + α(α 1) x ! 例将函数展开为带 Peano 余项的 Maclaurin 公式 : (1) = 1 2 ln a + x (a > 0); a x (2) = e sin x. 例计算下列极限 : (1) x 0 e x sin x x(1 + x) x 3 ; (2) x + ( 3 x 3 + 3x x 2 2x). α(α 1) (α n + 1) x n + o(x n ), (x 0). n!

11 5 导数的应用 11 带 Lagrange 余项的 Taylor 公式定理 4.9 ( 带 Lagrange 余项的 Taylor 公式 ). 设函数在 [a, b] 上具有 n 阶连续导数, 在 (a, b) 内 n+1 阶可导, 则对于 x 0, x [a, b] 有其中 = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + R n (x x 0 ) n! R n (x x 0 ) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x x 0) n+1 称为 Lag range 余项, 点 ξ 位于 x 0, x 之间, 也写作 ξ = x 0 + θ(x x 0 ), θ (0, 1). 当 n = 0 时, 带 Lagrange 余项的 Taylor 公式即 Lagrange 中值定理当 x 0 = 0 时, 也称为带 Lagrange 余项的 Maclaurin 公式例验证下列函数带 Lagrange 余项的 Maclaurin 公式 : e x = 1 + x + x2 2! + xn n! + eθx (n + 1)! xn+1, θ (0, 1); sin x = x x3 3! + x5 5! + + ( 1)n 1 (2n 1)! x2n 1 + ( 1)n cos θx x 2n+1, θ (0, 1); (2n + 1)! cos x = 1 x2 2! + x4 4! + + ( 1)n (2n)! x2n + ( 1)n+1 cos θx x 2n+2, θ (0, 1); (2n + 2)! ln(1 + x) = x x2 2 + x3 + + ( 1)n 1 x n ( 1) n + n! (n + 1)(1 + θx) xn+1, θ (0, 1); (1 + x) α α(α 1) = 1 + αx + x 2 α(α 1) (α n + 1) + + x n 2! n! α(α 1) (α n)(1 + θx) + x n+1, θ (0, 1). n! 例设函数在点 x 0 的某邻域内三阶可导, 且 f (x 0 ) 0, 有 Taylor 公式有证明 : h 0 θ = 1 3. f(x 0 + h) = f(x 0 ) + f (x 0 )h + f (x 0 + θh) h 2, θ (0, 1). 2! 例设函数在 [0, 1] 上二阶可导, 且在 [0, 1] 上满足 a, f (x) b, (a, b 0) 证明 : x (0, 1), 有 f (x) 2a + b 2. 5 导数的应用 5.1 单调性与一阶导数定理 5.1. 设函数在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内可导, 则在 [a, b] 上单调递增 ( 或递增 ) 的充分必要条件是 : x (a, b), 有 f (x) 0 ( 或 f (x) 0)

12 5 导数的应用 12 定理 5.2. 设函数在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内可导, 则在 [a, b] 上严格单调递增 ( 或递增 ) 的充分必要条件是 : (1) x (a, b), 有 f (x) 0 ( 或 f (x) 0); (2) 在 (a, b) 内任一子区间上 f (x) 不恒为零例 5.1. 讨论函数 = x 2 3 (x 5) 的单调区间 ( 例 5.2. 讨论函数 = arctan x ) 1 2 在 (0, 1) 内的单调性 1 x 例 5.3 (Jordan 不等式 ). 证明 : 当 x (0, π 2 ) 时, 有 2 π sin x x 1. 例 5.4. 证明 : 当 x 0 时, 有例 5.5. 设 e a < b e 2, 证明 : arctanx 1 + x ln(1 + x). ln 2 b ln 2 a > 4 (b a). e2 5.2 凸性与二阶导数定义 5.1. 设函数定义在区间 I 上, 若 x 1, x 2 I, λ [0, 1] 有 f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) λf(x 1 ) + (1 λ)f(x 2 ) 则称为 I 上下凸函数 ( 习惯上将下凸函数简称为凸函数 ) 定理 5.3. 设函数定义在区间 I 上, 则以下命题等价 : (1) 则称为 I 上的凸函数 ; (2) x 1, x 2, x 3 I, x 1 < x 2 < x 3 有 (3) 若在 I 上可导, 则 x 1, x 2 I 有 f(x 2 ) f(x 1 ) x 2 x 1 f(x 3) f(x 2 ) x 3 x 2 ; f(x 2 ) f(x 1 ) + f (x 1 )(x 2 x 1 ). 定理 5.4. 设函数在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 上可导, 则在 [a, b] 上为凸函数的充分必要条件是 :f (x) 在 (a, b) 内单调递增定理 5.5. 设函数在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 上二阶可导, 则在 [a, b] 上为凸函数的充分必要条件是 : x (a, b), f (x) 0.

13 5 导数的应用 13 定义 5.2. 设函数在 x 0 的邻域 U(x 0 ) 内连续, 而在 x 0 两侧有不同的凸性, 则称 x 0 为的拐点相应地, 称 (x 0, f(x 0 )) 为函数图像的拐点定理 5.6. 设为 I 上的凸函数, 则满足以下性质 : (1) x 0 I, 函数在 I\{x 0 } 上递增 ; K(x) = f(x 0) x x 0 (2) 若 x 0 为 I 的内点, 则 f +(x 0 ) 与 f (x 0 ) 均存在, 且 f (x 0 ) f +(x 0 ); (3) I 的所有内点都是的连续点 (4) x 1, x 2 I, x 1 < x 2, 有 f +(x 1 ) f (x 2 ); (5) f +(x), f (x) 均在 I 的内部单调递增定理 5.7 (Jensen 不等式 ). 设为 I 上的凸函数, 则对于 x k I, λ k (0, 1)(k = 1, 2,, n) n 且 λ k = 1, 有 k=1 例 5.6. 设 0 < a b, 证明 : ( k ) f λ k x k k=1 n λ k f(x k ). k=1 (a + b)e a+b ae 2a + be 2b. 例 5.7 ( 广义 A-G 不等式 ). 设 x k > 0, λ k (0, 1)(k = 1, 2,, n) 且 n k=1 x λ k n k λ k x k. k=1 1 例 5.8 (Young 不等式 ). 设 a, b > 0, p, q > 1 且 p + 1 q = 1, 证明 : ab ap p + aq q. n λ k = 1, 证明 : 例 5.9. 设函数定义在区间 I 上, > 0 且 ln 是 I 上凸函数证明 : 也是 I 上凸函数 k=1 5.3 极值与最值定理 5.8 ( 极值第一充分条件 ). 设函数在点 x 0 处连续, 在 Ů(x 0 ) 内可导 (1) 若 f (x) 在 x 0 两侧异号, 则在 x 0 处取得严格极值 ; (2) 若 f (x) 在 x 0 两侧同号, 则在 x 0 处不取极值定理 5.9 ( 极值第二充分条件 ). 设函数在 U(x 0 ) 内定义, 在点 x 0 处二阶可导, 且 f (x 0 ) = 0.

14 5 导数的应用 14 (1) 若 f (x) < 0, 则在 x 0 处取得严格极大值 ; (2) 若 f (x) > 0, 则在 x 0 处取得严格极小值定理设函数在 U(x 0 ) 内定义, 在点 x 0 处 n 阶可导, 且 f (k) (x 0 ) = 0, k = 1, 2, n 1, f (n) (x 0 ) 0. (1) 当 n 是奇数, 则在 x 0 不取极值 ; (2) 当 n 是偶数 : 若 f (n) (x 0 ) < 0, 则在 x 0 处取得严格极大值 ; 若 f (n) (x 0 ) > 0, 则在 x 0 处取得严格极小值例求下列函数的极值点与极值 : (1) = (x 2) 2 x 2 3 ; (2) = e x + e x + 2 cos x. 例求函数 = 3 (x + 1) 2 (x 5) 2 在 [ 2, 2] 上的最值 x 2 例在椭圆 a 2 + y2 b 2 = 1 位于第一象限的曲线上求一点 P (x 0, y 0 ), 使得过 P 点的切线下方, 椭圆周上方以及两坐标轴所围城的部分面积最小 5.4 函数作图函数的渐进线定义 5.3. 设 C 为平面曲线 y =, 若存在直线 L 使得当动点 P 沿着曲线 C 远离原点时, 点 P 与直线 L 的距离趋于零, 则称直线 L 是曲线 C 的渐进线渐进线主要有三种 : (1) 水平渐进线 y = c: 若常数 c 使得 (2) 垂直渐进线 x = x 0 : 若有点 x 0 使得 = c ( 或 x + = ± ( 或 x x 0 + x x x 0 = c); = ± ); (3) 斜渐进线 y = ax + b: 若有常数 a, b, 使得当 x + 或 x 时, ax b 为无穷小量, 即或 a = a = x + x, b = ( ax) x + x x, b = ( ax). x

15 5 导数的应用 15 作图规范函数作图的一般步骤为 : (1) 确定函数的定义域, 考察函数的奇偶性周期性 ; (2) 找出函数的特殊点 : 不连续点驻点拐点等 ; (3) 以上点为端点将定义域划分成若干区间, 讨论各个区间上函数的单调性与凸性 ; (4) 确定函数的渐进线 ; (5) 列表反应上述信息, 并画出图像例作出下列函数的图像 : (1) = (x + 1)3 (x 1) 2 ; (2) = (x + 2)e 1 x ; (3) = x x 1 + x.

高等数学A

高等数学A 高等数学 A March 3, 2019 () 高等数学 A March 3, 2019 1 / 55 目录 1 函数三要素图像 2 导数导数的定义基本导数表求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 2 / 55 函数 y = f(x) 函数三要素 1 定义域 2 值域 3 对应关系 () 高等数学 A March

1 导数和微分的概念 导数和微分的定义 1 导数和微分的概念 考虑函数 y = 在 x 0 的邻域内有定义 当 x x 0 时, 记 x = x x 0 ; y = f(x 0 ). 定义 1.1. 若函数 y = 在其定义域中的一点 x 0 处极限 y x x 0 x = f(x 0

1 导数和微分的概念导数和微分的定义 1 导数和微分的概念考虑函数 y = 在 x 0 的邻域内有定义当 x x 0 时, 记 x = x x 0 ; y = f(x 0 ). 定义 1.1. 若函数 y = 在其定义域中的一点 x 0 处极限 y x x 0 x = f(x 0