不定积分求几何图形的面积求曲线的弧长求几何体的体积

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甘京
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1 第四章一元积分学 27 年月 6 日目录不定积分 2. 不定积分的概念不定积分的计算线性运算换元积分法分部积分法一些特殊函数的不定积分有理函数可有理化的函定积分 6 2. 定积分的概念和可积条件定积分的定义 Drboux 和可积性条件定积分基本性质线性性质区间可加性乘积可积性保序性绝对可积性积分第一中值定理积分第二中值定理 * 微积分基本定理变上限积分 Newton-Leibniz 公式定积分的分部积分法定积分的换元法定积分的几何应用

2 不定积分求几何图形的面积求曲线的弧长求几何体的体积求旋转曲面的面积求曲线的曲率定积分的实际应用 : 微元法广义积分 2 3. 广义积分的定义和计算第一类反常 : 积分区域无界第二类反常 : 函数无界反常积分的混合计算反常积分的收敛性判别法第一类反常 : 积分区间无界第二类反常 : 函数无界不定积分的概念不定积分定义.. 若在某个区间上, 函数 F (x) 和 f(x) 满足关系 F (x) = f(x), 则称 F (x) 是 f(x) 在该区间上一个原函数函数 f(x) 的原函数全体称作 f(x) 的不定积分, 记作 f(x) = F (x) + C. 例.. 求下列函数的不定积分 : () sin x; (4) x α x ; e x. (α );.2 不定积分的计算.2. 线性运算定理.. 若函数 f(x) 和 g(x) 的原函数均存在, 则, b R, 函数 f(x) + bg(x) 也有原函数, 且 [f(x) + bg(x)] = f(x) + b g(x).

3 不定积分 3 例.2. 求下列函数的不定积分 : () tn 2 x; sin 2 x 2 ; (x + x)(x 2 x) 2 ; x (4) x 4 + x 换元积分法定理.2 ( 第一类换元积分法 ). 设 u = g(x) 可微若 f(u)du = F (u) + C, 则 f(g(x))g (x) = F (g(x)) + C. 例.3. 求下列函数的不定积分 : () x ; x ; tn x; (4) (5) (6) sec x; x( + x) ; sin mx cos nx. 定理.3 ( 第二类换元积分法 ). 设 x = φ(t) 可微且有反函数 t = φ (x) 若 f(φ(t))φ (t)dt = F (t) + C, 则例.4. 求下列函数的不定积分 : f(x) = F (φ (x)) + C. () 2 x 2 ; x ;

4 不定积分 4 (4) (5) x 2 2 ; x(2x ) ; x 4 + x 分部积分法定理.4. 设 u(x), v(x) 是两个可微函数, 则 u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x). 例.5. 求下列函数的不定积分 : () x cos x; (4) (5) (6) x 2 e x ; ln x; x rctn x; x + cos x ; e x sin x; (7) x ; (8) x 2 2 ; 例.6. 求 I n = (x ) n. 例.7. 求下列函数的不定积分 : () (x + ) x 2 2x + 5;,, b R. x 2 + 2x + b2

5 不定积分 5.3 一些特殊函数的不定积分.3. 有理函数 P (x) 定理.5. 设是一个有理真分式, 其中分母 Q(x) 有唯一的有理分解 Q(x) Q(x) = (x ) m (x k ) m k (x 2 + p x + q ) n (x 2 + p l x + q l ) n l, 其中,..., k, p, q,..., p l, q l 是实数,m,..., m k, n,..., n l 是正整数则存在实数 A ij, B ij, C ij 使得 P (x) Q(x) = k m i i= j= A ij l (x i ) j + n i i= j= B ij x + C ij (x 2 + p i x + q i ) j. 注意系数 A ij, B ij, C ij 可通过待定系数法得到具体问题中, 可以通分比较等式两侧的多项式系数 ; 可以对变量取特殊点值 ; 可以将多项式求导之后再对变量取特殊点值特别地, A A (x ) j = j (x ) j, j A ln x, j = ; Bx + C (x 2 + px + q) j = B 2 d(x 2 + px + q) (C (x 2 + px + q) j + 2 ) Bp d(x + p 2 ) [(x + p 2 )2 + 4q p2 4 ] j 其中第二项, 若令 u = x + p 2, 2 = 4q p2 4, 则第二项积分化为 du (u ) j = 2j cos 2j 2 tdt ( 令 u = tn t) 例.8. 求下列函数的不定积分 : 4x 3 3x 2 + 3x + 8 () (x + )(x 2)(x ) 2 ; x 4 + x 3 + 3x 2 (x 2 + ) 2 (x )..3.2 可有理化的函 ( 第一类 f(x) = R x, n x + b cx + d ), 其中 R(u, v) 表示两个自变量的有理函数令 x + b b t = n dtn, = x = φ(t) = cx + d ct n. 则积分 ( ) x + b R x, n = cx + d R (φ(t), t) φ (t)dt 是一个关于 t 的有理函数的不定积分例.9. 求下列不定积分 : x () ; 4x 3

6 2 定积分 6 (4) x( 3 x x) ; + x x x ; (x ) 2 (x + ). 4 3 第二类 f(x) = R(sin x, cos x), 其中 R(u, v) 表示两个自变量的有理函数令 t = tn x 2 例.. 求下列函数的不定积分 : () sin n x cos m x, n, m N; (4) tn n x sec m x, n, m N; sin x + cos x ; cot x + sin x. = sin x = 2t t2, cos x = + t2 + t 2. 2 定积分 2. 定积分的概念和可积条件 2.. 定积分的定义定义 2.. 设 f(x) 是闭区间 [, b] 上的函数给定任一划分 : π : = x < x < x 2 < < x n = b, 以及任一点集取法 : ξ = {ξ i [x i, x i ] : i n}, 记 x i = (x i x i ), 则称 S(f, π, ξ) = i n f(ξ i )(x i x i ) 为 f 关于 π 和 ξ 的 Riemnn 和我们用 π = mx i n x i x i 来表示分划的精细度若 lim S(f, π, ξ) = I π 收敛, 则称 f 在 [, b] 上 Riemnn 可积, 极限值 I 称为 f 在 [, b] 上的定积分, 记作 I = b f(x).

7 2 定积分 7 注意, 上述极限过程中包含所有可能的分划和所有点集 ξ 的取法定积分的几何意义 : 若 f(x) 在 [, b] 上可积, 则其积分表示函数图像与 x- 轴, 以及 x =, x = b 两条直线未成的有向图形的面积例 2.. 证明 :Dirichlet 函数在 [, ] 上不可积例 2.2. 证明 : 若 f(x) 在 [, b] 上无界, 则 f(x) 在 [, b] 上不可积 2..2 Drboux 和定义 2.2. 设 f(x) 是闭区间 [, b] 上的有界函数给定任一划分 : 记称 m i = S(f, π) = π : = x < x < x 2 < < x n = b, inf f(x), M i = sup f(x). x [x i,x i ] x [x i,x i ] i n 分别为 f 关于 π 的 Drboux 大和以及 Drboux 小和. M i x i 和 S(f, π) = 定理 2. (Drboux 引理 ). 对任意 [, b] 上的有界函数 f, 恒有 i n m i x i lim S(f, π) = L, lim π S(f, π) = l. π 2..3 可积性条件定理 2.2. 有界函数 f 在 [, b] 上可积的充分必要条件是 lim S(f, π) = L = l = lim S(f, π). π π 定理 2.3. 有界函数 f 在 [, b] 上可积的充分必要条件是 ωi x i = 推论 2.. 闭区间上连续函数必定可积 lim π 推论 2.2. 闭区间上只有有限个不连续点的函数必定可积推论 2.3. 闭区间上单调函数必定可积例 2.3. 证明 :Riemnn 函数在 [, ] 上可积 2.2 定积分基本性质 2.2. 线性性质定理 2.4. 若 f(x), g(x) 都在 [, b] 上可积则对任意常数 α, β, αf(x) + βg(x) 在 [, b] 上可积, 且有 b [αf(x) + βg(x)] = α b f(x) + β b g(x).

8 2 定积分区间可加性定理 2.5. () 若 f(x) 都在 [, b] 上可积, 则对任意 [α, β] [, b], f(x) 在 [α, β] 上可积 ; 若 f(x) 在 [, c] 和 [c, b] 上都可积, 则 f(x) 都在 [, b] 上可积, 且 b f(x) = c f(x) + b c f(x) 乘积可积性定理 2.6. 若 f(x), g(x) 都在 [, b] 上可积则 f(x)g(x) 在 [, b] 上可积保序性定理 2.7. 若 f(x), g(x) 都在 [, b] 上可积, 且 x [, b] 有 f(x) g(x), 则绝对可积性 b f(x) b g(x). 定理 2.8. 若 f(x) 都在 [, b] 上可积, 则 f(x) 在 [, b] 上可积, 且 b b f(x) f(x) 积分第一中值定理定理 2.9. 若 f(x), g(x) 都在 [, b] 上可积, 且 g(x) 在 [, b] 上不变号, 则存在 η [m, M] 使得 b f(x)g(x) = η 这里 M, m 分别表示 f(x) 在 [, b] 上的上下确界例 2.4. 设 f(x) 在 [, b] 上连续, 且 f(x) >. 证明 : b b ln f(x) ln b ( b g(x). b ) f(x) 例 2.5 (Hölder 不等式 ). 设 f(x), g(x) 在 [, b] 上连续,p, q > 且满足 p + q =. 证明 : b ( b f(x)g(x) ) ( f(x) p p b ( ) + b 例 2.6. 设 f(x) 在 [, b] 上二阶可导, 且 f =. 记 2 M = sup f (x), x b ) g(x) q q. 证明 : b ln f(x) M(b )3. 24

9 2 定积分积分第二中值定理 * 定理 2.. 若 f(x), g(x) 都在 [, b] 上可积, 且 g(x) 在 [, b] 上单调, 则存在 ξ [, b] 使得 2.3 微积分基本定理 2.3. 变上限积分 b ξ f(x)g(x) = g() f(x) + g(b) 定理 2.. 设 f(x) 在 [, b] 上可积, 做变上限积分 b ξ f(x). F (x) = x f(t)dt, x [, b]. 则 () F (x) 是 [, b] 上的连续函数若 f(x) 在 [, b] 上连续, 则 F (x) 在 [, b] 上可导, 且有 F (x) = f(x), x [, b]. 例 2.7. 计算 F (x) = 例 2.8. 求极限 lim x + x 2 sin tdt. x 2 sin tdt x Newton-Leibniz 公式定理 2.2. 设 f(x) 在 [, b] 上连续,F (x) 是 f(x) 在 [, b] 上的一个原函数, 则成立例 2.9. 计算 x 2. π 例 2.. 计算 sin x. 例 2.. 计算 lim n 定积分的分部积分法 b ( n + + n ). 2n f(x) = F (b) F (). 定理 2.3. 设 u(x), v(x) 在区间 [, b] 上有连续导数, 则 b u(x)v (x) = [u(x)v(x)] b b u (x)v(x).

10 2 定积分例 2.2. 设 p n (x) 为 n 次 Legendre 多项式, 证明 : 例 2.3. 求 I n = π 定积分的换元法 sin n x. d n p n (x) = 2 n n! n (x2 ) n, m n; p m (x)p n (x) = 2 2n +, m = n. 定理 2.4. 设 f(x) 在区间 [, b] 上连续,x = φ(t) 在区间 [α, β] ( 或区间 [β, α]) 上有连续导数, 且 φ(α) =, φ(β) = b. 则例 2.4. 求下列定积分 () (4) (5) (6) 2 π 2 ln 2 π 2 2 例 2.5. 求 x( + x 4 ) ; sin 3 x cos 4 x; e x ; ln( + x) + x 2 ; sin 2 x sin x + cos x ; b (x ) 2 + (x ) 2 + x 2 (x 2) 2. π+ f(x) = β f(x ), 其中 f(x) 定义为 : 定理 2.5. 设 f(x) 在对称区间 [, ] 上可积 α f(φ(t))φ (t)dt. sin x 2 f(x) =, x x rctn x, x <. () 若 f(x) 是偶函数, 则成立 f(x) = 2 f(x); () 若 f(x) 是奇函数, 则成立 f(x) =.

11 2 定积分定理 2.6. 设 f(x) 在是以 T 为周期的函数, 则对任意有 +T f(x) = T f(x); 注意, 以上两个定理对可积函数 f 都对当 f 是连续函数时, 可以用换元积分法简单证明 ; 否则, 需要回到定积分的定义来直接证明 2.4 定积分的几何应用 2.4. 求几何图形的面积 () 函数 y = f(x) 与 x- 轴以及 x =, x = b 两条直线围城的图形的面积, 面积微元 : da = f(x); 曲线 r = r(θ) 与 θ = θ, θ = θ 2 两条射线围城图形的面积, 面积微元 : da = 2 r2 (θ)dθ 求曲线的弧长 () 函数 y = f(x) 的图像, 长度微元 : ds = + f 2 ; x = x(t) 参数曲线 y = y(t), 长度微元 : ds = x (t) 2 + y (t) 2 dt; 曲线 r = r(θ), 长度微元 : ds = r(θ) 2 + r (θ) 2 dθ 求几何体的体积 () 用垂直与 x- 轴的面截几何体得到的横截面积为 A(x), 体积微元 : dv = A(x); 用固定中心轴半径为 r 的圆柱面截几何体得到的截面积为 A(r), 体积微元 : dv = A(r)dr.

12 3 广义积分求旋转曲面的面积 () 设平面曲线 y = f(x) 绕 x- 轴旋转一周得旋转面, 面积微元 : da = 2πyds = 2πy(x) + f (x) 2 x = x(t) 设参数曲线 y = y(t) 绕 x- 轴旋转一周得旋转面, 面积微元 : da = 2πyds = 2πy(t) x (t) 2 + y (t) 2 dt 求曲线的曲率 () 平面图像 y = f(x) 的曲率 : K = dϕ ds = f ; ( + f 2 ) 3 2 x = x(t) 参数曲线的曲率 : y = y(t) K = dϕ ds = x (t)y (t) x (t)y (t). ( x (t) 2 + y (t) 2 ) 定积分的实际应用 : 微元法 3. 广义积分的定义和计算广义积分又称反常积分, 或瑕积分 3 广义积分 3.. 第一类反常 : 积分区域无界定义 3.. 设函数 f(x) 在 [, + ) 上有定义, 且在任意有限区域 [, A] [, + ) 上可积若极限收敛, 则称反常积分否则称反常积分 + + A lim A + f(x) f(x) 收敛 ( 或称 f(x) 在 [, + ) 上可积 ), 其积分值为 + f(x) 发散 f(x) = A lim A + f(x);

13 3 广义积分 3 否则称对反常积分对反常积分 + 例 3.. 讨论例 3.2. 讨论例 3.3. 计算 + + f(x), 可类似定义 f(x), 若 + f(x) = f(x) 和 + f(x) + f(x) 都收敛, 则称 + f(x); f(x) 发散显然, 是否收敛, 与分割点的选择无关 + + x p 的敛散性 e x 的敛散性 + x 第二类反常 : 函数无界 + f(x) 收敛且定义 3.2. 设函数 f(x) 在 x = b 的左邻域内无界, 且对于任意 η (, b ], 有 f(x) 在 [, b η] 上可积若极限收敛, 则称反常积分否则称反常积分 b b b η lim f(x) η + f(x) 收敛 ( 或称 f(x) 在 [, b] 上可积 ), 其积分值为 b f(x) 发散 b η f(x) = lim f(x). η + 若 f(x) 在区间 [, b] 上仅以左端点为奇点, 则可类似定义若 f(x) 仅以 c (, b) 为奇点, 则若需要将区间分成两部分, 若收敛, 则称否则, 称 b b f(x) 收敛, 且 f(x) 发散 b f(x) = c f(x) + b c f(x); c f(x) 和 b c f(x) 均若 f(x) 在区间上 [, b] 有多个 ( 有限个 ) 奇点, 则需将区间进行划分, 使得每个子区间上, f(x) 仅以某一端点为奇点例 3.4. 讨论例 3.5. 讨论例 3.6. 计算 + x p 的敛散性 e x x 2 的敛散性 + x 2.

14 3 广义积分反常积分的混合计算通常, 我们需要对区间进行划分, 使得在每一个子区间上, 函数有且仅有一类和一次反常现象则函数在原区间上可积, 当且仅当函数在每一个子区间上可积例 3.7. 计算下列广义积分 : () I n = I = I n = (5) I = (6) I n = + + π 2 e x x n ; ln x; + (x ) n ; ln sin x; ( + x 2 )( + x ). 3.2 反常积分的收敛性判别法 3.2. 第一类反常 : 积分区间无界设函数 f(x) 在任意区间 [, A] 上可积考虑 A +. 定理 3. (Cuchy 收敛原理 ). 反常积分使得 A, A 2 A 有定理 3.2 ( 绝对收敛原理 ). 反常积分定义 3.3. 若 + () 若 + f(x) 收敛, 但 + A2 + f(x) 收敛, 称 + A f(x) 收敛的充分必要条件是 : ɛ >, A, f(x) < ɛ. f(x) 收敛, 则 + + f(x) 绝对收敛 ; f(x) 不收敛, 则称 + f(x) 收敛 f(x) 条件收敛定理 3.3 ( 比较判别法 ). 设在 [, + ) 上恒有 f(x) Kg(x), 其中 K 是正常数则 () 若若 + + g(x) 收敛, 则 f(x) 发散, 则 + + f(x) 收敛 ; g(x) 发散定理 3.4 ( 极限判别法 ). 设在 [, + ) 上恒有 f(x), g(x) 且 f(x) lim x + g(x) = l.

15 3 广义积分 5 () 若 l < +, 则若 < l +, 则 + + g(x) 收敛时 g(x) 发散时 + + f(x) 也收敛 ; f(x) 也发散定理 3.5 (Cuchy 判别法 ). 设在 [, + ) (, + ) 上恒有 f(x), 存在常数 K 使得 () f(x) K x p, 且 p >, 则 f(x) K x p, 且 p, 则 + + f(x) 收敛 ; f(x) 发散定理 3.6 (Cuchy 判别法的极限形式 ). 设在 [, + ) (, + ) 上恒有 f(x) 且 () 若 l < + 且 p >, 则若 < l + 且 p, 则 + + lim x + xp f(x) = l. f(x) 收敛 ; f(x) 发散定理 3.7 (A-D 判别法 ). 若下列两个条件之一满足, 则 () (Abel 判别法 ) + (Dirichlet 判别法 )F (A) = 且 lim g(x) =. x + 例 3.8. 讨论下列反常积分的敛散性 : () cos 2x sin x x ; + f(x)g(x) 收敛 : f(x) 收敛, g(x) 在 [, + ) 上单调有界 ; A 3 x 4 + 3x 3 + 5x 2 + 2x ; x e x ; sin x x 第二类反常 : 函数无界设函数 f(x) 在任意区间 [, b η] 上可积考虑 η +. 定理 3.8 (Cuchy 收敛原理 ). 反常积分得 η, η (, δ) 有 b f(x) 在 A [, + ) 有界,g(x) 在 [, + ) 上单调 b η b η f(x) 收敛的充分必要条件是 : ɛ >, δ >, 使 f(x) < ɛ.

16 3 广义积分 6 定理 3.9 ( 绝对收敛原理 ). 反常积分 b f(x) 收敛, 则 b f(x) 收敛定理 3. (Cuchy 判别法 ). 设在 [, b) 上恒有 f(x), 若当 x 属于 b 的某个左邻域 (b η, b) 时, 存在常数 K 使得 () f(x) f(x) K (b x) p, 且 p <, 则 K (b x) p, 且 p, 则 b b f(x) 收敛 ; f(x) 发散定理 3. (Cuchy 判别法的极限形式 ). 设在 [, b) 上恒有 f(x) 且 () 若 l < + 且 p <, 则若 < l + 且 p, 则 b b lim (b x b x)p f(x) = l. f(x) 收敛 ; f(x) 发散定理 3.2 (A-D 判别法 ). 若下列两个条件之一满足, 则 () (Abel 判别法 ) b (Dirichlet 判别法 )F (η) = 且 lim g(x) =. x b b f(x) 收敛, g(x) 在 [, b) 上单调有界 ; b η 例 3.9. 讨论下列反常积分的敛散性 : f(x)g(x) 收敛 : f(x) 在 η (, b ] 上有界,g(x) 在 [, + ) 上单调 () /e + x p ln x ; x p sin, (p < 2); x x p, (p, q R). x p+q

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不定积分求几何图形的面积求曲线的弧长求几何体的体积第四章一元积分学 28 年 2 月 5 日目录不定积分. 不定积分的概念.......................................2 不定积分的计算.......................................2. 线性运算.......................................2.2 换元积分法....................................

不定积分 求几何图形的面积 求曲线的弧长 求几何体的体积

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